UNE INTERPOLATION DE PLUSIEURS NOMBRES CLASSIQUES

ET FRACTIONS CONTINUES

Par

Arthur RANDRIANARIVONY et Jiang ZENG

Abstract. — We introduce a polynomial sequence interpolating the Euler numbers, Genocchi numbers, Eulerian numbers and the recent median Euler numbers. We show that the ordinary generating function of this sequence has a nice simple continued fraction expansion and also a combinatorial interpretation. Finally we show also some connections of these polynomials with Springer numbers.

1. Introduction

Le présent travail prend sa source dans l’article original de GANDHI [Ga] qui, dans les années soisante-dix, avait conjecturé une expression pour les nombres de Genocchi (G_{2n}) (n ≥ 1) comme spécialisation des polynômes à coefficients entiers (K_{n}(x)) (n ≥ 1) définis par l’équation aux différences finies

(1.1)  \{ \begin{matrix}K_{1}(x) & = & x^{2}, \\ K_{n}(x) & = & x^{2}(K_{n−1}(x + 1) − K_{n−1}(x))  (n ≥ 2). \end{matrix}

La conjecture, qui s’exprimat par K_{n}(1) = G_{2n+2} (n ≥ 1) et qui fut immédiatement démontré par RIORDAN et STEIN [Ri-St], d’une part, et CARLITZ [Ca], d’autre part, a été la source de l’étude algébrique et combinatoire des nombres de Genocchi. On doit à DUMONT [Du1] les premieux travaux sur cette étude combinatoire. Celle-ci a permis d’introduire de nouveaux objets géométriques, comme les escaliers (voir la définition ci-après) qui se sont avérés être fondamentaux à la fois pour les études combinatoires de cette suite de nombres et de leurs dérivés (cf. [Du-Fo, Vi, Ha, Du-Ra]), et pour le calcul alébrique de plusieurs polynômes qui leur sont attachés. En particulier, le modèle combinatoire a inspiré directement l’expression analytique du développement en fraction continue des fonctions génératrices de ces nombres, des polynômes K_{n}(x) et de plusieurs autres familles de polynômes attachés à des suites classiques de nombres.

Le but de cet article est de proposer une globalisation des résultats obtenus en introduisant une nouvelle suite de polynômes à plusieurs variables (P_{n}(x, y, x̄, ȳ)) (n ≥ 0), et en montrant que leur étude algébrique et combinatoire couvre tous les résultats récents sur les nombres de Genocchi et leurs polynômes dérivés B_{n}(x, y), les polynômes Eulériens A_{n}(x, y), les polynômes C_{n}(x, y) attachés aux nombres d’Euler E_{n}, les polynômes D_{n}(x) et S_{n}(x) associés aux nombres de Springer. Ces polynômes P_{n}(x, y, x̄, ȳ) (n ≥ 0) sont définis par la récurrence :

(1.2) \{ \begin{matrix}P_{0}(x, y, x̄, ȳ) = 1, \\ P_{n}(x, y, x̄, ȳ) = x & (x̄ + ȳ)P_{n−1}(x + 1, & y, x̄ + 1, ȳ) \\ −x(x̄ + ȳ − y)P_{n−1}(x, y, x̄, ȳ). \end{matrix}

Comparant (1.2) à (1.1) on pourra constater que la seconde récurrence s’inspire directement de la première et en effet K_{n}(x) = xP_{n}(x, 1, x, 1) (n ≥ 1). D’un point de vue analytique les polynômes précédents s’expriment dans l’algèbre des polynômes P_{n} comme :

(1.3)

A_{n}(x, y) = la somme des termes du plus haut degré de yP_{n}(x, 1, y, 1),
B_{n}(x, y) = x^{−1}P_{n}(x, 1, y, 1),
C_{n}(x, y) = 2^{2n}P_{n}(x/2, 1/2, y/2, 1/2),
D_{n}(x) = 2^{2n}P_{n}((x + 1)/2, 1/2, (x + 1)/2, 1/2),

quant à la suite des polynômes S_{n}(x), elle apparait comme la suite initiale de la matrice de Seidel lorsqu’on prend (2^{2n}D_{n}(x)) comme suite finale.

A partir de la relation (1.2) on peut aisément obtenir une expression pour la fonction génératrice ordinaire des polynômes P_{n} (voir paragraphe 2), puis à l’aide d’un lemme de WALL [Wa] calculer explicitement le développement en fraction continue de cette fonction génératrice (voir Théorème 3).

Par ailleurs, DUMONT [Du3] a défini une suite de polynômes à six variables Γ_{n}(x, y, z, x̄, ȳ, z̄) (n ≥ 1) comme générateurs d’une statistique multivariée sur les escaliers d’ordre n, les escaliers sont simplement définis comme des applications surjectives f de [2n] = {1, 2, …, 2n} sur l’ensemble {2, 4, 6, …, 2n} telle que pour tout k ∈ [2n − 2] on ait f(k) ≥ k. La définition de cette statistique sera donnée au paragraphe 2. On doit à DUMONT [Du3] d’avoir conjecturé que la fonction génératrice des Γ_{n} admettait le développement en fraction continue suivant :

(1.4) ∑_{n≥1} Γ_{n}(x, y, z, x̄, ȳ, z̄)t^{n} = \frac{t}{1 − (xȳ + yz̄ + zx̄) t − \frac{(x̄ + y)(ȳ + z)(z̄ + x) t^{2}}{...}}

où les coefficients sous le (n+1)-ième trait de fraction est

1 − [(x + n)(ȳ + n) + (y + n)(z̄ + n) + (z + n)(x̄ + n) − n(n + 1)]t

−\frac{(n + 1)(x̄ + y + n)(ȳ + z + n)(z̄ + x + n)t^{2}}{...}

un résultat qui a été prouvé par RANDRIANARIVONY [Ra] et ZENG [Ze] par deux méthodes différentes.

Nous établissons ici les relations

P_{n}(x, y, x̄, ȳ) = Γ_{n+1}(x̄, 0, y, x, 0, ȳ)
= xyΓ_{n}(x̄, 1, y, x, 1, ȳ)
= xyΓ_{n}(x, ȳ, 1, x̄, y, 1).

Ce qui à l’aide de la conjecture (prouvée) de Dumont permet de fournir une interprétation combinatoire des polynômes P_{n} en termes d’escaliers. Tous ces résultats sont consignés dans le paragraphe 2.

Le reste de l’article est consacré à l’étude des diverses spécialisations des polynômes P_{n}. Dans l’étude des polynômes Euleriens (paragraphe 3), nous obtenons de nouvelles interprétations combinatoires pour ces polynômes d’abord en termes d’escaliers (cf. Propositions 9 et 11), ensuite en termes d’application injectives (cf. Proposition 10). Nous redémontrons ensuite un résultat de DUMONT [Du2] sur l’interprétation des polynômes A_{n}(x, y) en termes de générateurs d’involutions bipartites, en construisant une bijection entre ces derniers models et les escaliers (cf. Proposition 12).

Dans le paragraphe 4 nous retrouvons les résultats de Dumont-Randrianarivony [Du-Ra] sur les polynômes B_{n}(x, y) et établissons deux autres interprétations combinatoires. Quant aux polynômes C_{n}(x, y) dont le développemnt en fraction continue dans [Ra-Ze], ils reçoivent ici une nouvelle interprétation combinatoire dans le model des escaliers (cf. Propositions 16 et 17).

Après avoir exposé quelques préliminaires sur les matrices des Seidel au paragraphe 5, nous montrons, au paragraphe 6, que les polynômes D_{n}(x) ont eux-mêmes deux spécialisations déjà introduites par DUMONT [Du4] :

L_{n} = D_{n}(−1/2), R_{n} = D_{n}(1/2),

appelés nombres d’Euler médians. Nous en proposons deux autres

l_{n} = 2^{−n}D_{n}(0), r_{n} = 2^{−n}D_{n}(1),

dont les fonctions génératrices admettent des développements en fractions continues trop régulières pour ne pas receler des propriétés algébriques ou combinatoires intéressantes (cf. Proposition 28).

Dans le paragraphe 7 nous retrouvons une extension (nouvelle) polynômiale des nombres de Springer S_{n} (n ≥ 1) en considérant une matrice de Seidel dont la suite finale est la suite (2^{2n}D_{n}(x)). Nous montrons alors que la suite la suite initiale (S_{n}(x) de cette matrice satisfont

S_{2n} = S_{n}(−1/2), S_{2n+1} = S_{n}(1/2).

Nous déduisons ensuite de cette construction une interprétation des polynômes S_{n}(x), donc aussi des nombres de Springer S_{n}.

2. Etudes des polynômes P_{n}(x, y, x̄, ȳ)

Remarquons d’abord que P_{n}(x, y, x̄, ȳ) est un polynôme en x, y et x̄ + ȳ. En effet, si on remplace x̄ par x̄ + t et ȳ par ȳ − t dans (1.1), nous avons toujours la même récurrence. Donc pour tout t,

(2.1)  P_{n}(x, y, x̄, ȳ) = P_{n}(x, y, x̄ + t, ȳ − t).

En particulier, nous avons P_{n}(x, y, x̄, ȳ) = P_{n}(x, y, x̄ + ȳ, 0). Par conséquent, posant Q_{n}(x, y, z) = P_{n}(x, y, z, 0), les polynômes P_{n}(x, y, x̄, ȳ) = Q_{n}(x, y, x̄ + ȳ) peuvent aussi se caractériser par la récurrence suivante :

(2.2)  \{ \begin{matrix}Q_{0}(x, y, z) & = & 1, \\ Q_{n}(x, y, z) & = & xzQ_{n−1}(x + 1, y, z + 1) − x(z − y)Q_{n−1}(x, y, z). \end{matrix}

Posons

(x)_{0} = 1  et  (x)_{n} = x(x + 1) ⋯ (x + n − 1)  pour  n ≥ 1.

PROPOSITION 1. — Nous avons

(2.3)  ∑_{n≥0} P_{n}(x, y, x̄, ȳ)t^{n} = ∑_{n≥0} \frac{(x)_{n}(x̄ + ȳ)_{n}t^{n}}{∏_{k=0}^{n}[1 + (x + k)(x̄ + ȳ − y + k)t]}·

Démonstration : Soit P (x, y, x̄, ȳ; t) = ∑_{n≥0} P_{n}(x, y, x̄, ȳ)t^{n} la série génératrice ordinaire des P_{n}(x, y, x̄, ȳ). On déduit de la relation de récurrence (1.2) que

(2.4) (1 + x(x̄ + ȳ − y)t)P (x, y, x̄, ȳ; t) = 1 + x(x̄ + ȳ)tP (x + 1, y, x̄ + 1, ȳ; t).

Par suite,

P (x, y, x̄, ȳ; t) = \frac{1}{1 + x(x̄ + ȳ − y)t} + \frac{(x + 1)(x̄ + ȳ)t}{1 + x(x̄ + ȳ − y)t}P (x + 1, y, x̄ + 1, ȳ; t)

et par itération on obtient la formule.

PROPOSITION 2. — Les polynômes P_{n}(x, y, x̄, ȳ) (n ≥ 0) ont l’expression explicite suivante :

P_{n}(x, y, x̄, ȳ) = ∑_{j=0}^{n} ∑_{k=0}^{j} \frac{(−1)^{n−k}(x + x̄ + ȳ − y + 2k)(x)_{n}(x̄ + ȳ)_{n}}{k!(j − k)!(x + x̄ + ȳ − y + k)_{j+1}}

×(x + k)^{n}(x + x̄ + ȳ − y + k)^{n}.

Démonstration : Décomposant la fraction rationnelle dans le second membre de (2.3) en éléments simples, nous obtenons

\frac{t^{j}}{∏_{k=0}^{j}[1 + (x + k)(x̄ + ȳ − y + k)t]} = ∑_{l=0}^{j} \frac{α_{l}(j)}{1 + (x + l)(x̄ + ȳ − y + l)t},

où la valeur de α_{l}(j) est donnée par

α_{l}(j) = \frac{(−1)^{l}(x + x̄ + ȳ − y + 2l)}{l!(j − l)!(x + x̄ + ȳ − y + l)_{j+1}} (j ≥ l ≥ 0)·

Par conséquent, le polynôme P_{n}(x, y, x̄, ȳ) est le coefficient de t^{n} dans le développement de

∑_{j=0}^{n}(x)_{n}(x̄ + ȳ)_{n} ∑_{l=0}^{j} \frac{α_{l}(j)}{1 + (x + l)(x̄ + ȳ − y + l)t}·

D’où l’on tire la formule explicite.

Enfin, appliquant un lemme de WALL [Wa] à l’équation (2.4), nous obtenons (cf. [Ze, Ra-Ze]) le développement en fraction continue de la série génératrice ordinaire des polynômes P_{n}(x, y, x̄, ȳ).

TH^{}ÉOR^{}ÈME 3. — Nous avons

∑_{n≥0} P_{n}(x, y, x̄, ȳ)t^{n} = \frac{1}{1 − \frac{xyt}{1 − \frac{1(x̄ + ȳ)t}{1 − \frac{(x + 1)(y + 1)t}{1 − \frac{2(x̄ + ȳ + 1)t}{1 − \frac{(x + 2)(y + 2)t}{1 − \frac{3(x̄ + ȳ + 2)t}{...}}}}}}} ·

Pour donner une interprétation combinatoire de ces polynômes, nous avons besoin d’introduire quelques notions combinatoires classiques. Rappelons qu’un escalier F sur [2n] := {1, 2, …, 2n} est le graphe d’une application surjective f de [2n] sur {2, 4, 6, …, 2n} telle que pour tout k ∈ [2n], f(k) ≥ k. Un point (k, f(k)) de F est dit maximal si f(k) = 2n, est dit point fixe s’il n’est pas maximal et si f(k) = k (ce qui implique que k est pair), est dit surfixe s’il n’est pas maximal et si f(k) = k + 1 (ce qui implique que k est impair). On note max F le nombre des points maximaux de F à l’exception des points (2n − 1, 2n) et (2n, 2n), fix F (resp. sur F) le nombre de ses points fixes (resp. surfixes). Soit E_{2n}(resp. E_{2n}^{∗}) l’ensemble des escaliers (resp. sans point fixe) sur [2n]. Il est bien connu (voir [Du1, Du-Fo, Ha, Vi]) que le cardinal de E_{2n} est égal au nombre de Genocchi G_{2n+2}.

Etant donné un escalier F sur [2n], un point (k, f(k)) de F est dit doublé s’il n’est pas seul sur sa ligne, c’est-à-dire s’il existe j ≠ k tel que f(j) = f(k). Nous notons respectivement mp F et mi F le nombre de ses points maximaux d’abcisses paires ≠ 2n et celui de ses points maximaux d’abscisses impaires ≠ 2n − 1, on note fd F (resp. fnd F) le nombre de ses points fixes doublés (resp. non doublés), enfin on note sd F (resp. snd F) le nombre de ses points surfixes doublés (resp. non doublés).

Par exemple, dans l’escalier F de taille 14 suivant :

14  ×  × ×  × ×
12  ×  ×
10  ×  ×
8  ×
6  ×
4  × ×
2 ×
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

les six statistiques sont respectivement les suivantes :

mi F = 1, mp F = 2, fd F = 2, fnd F = 1, sd F = 2, snd F = 1.

Dans [Du3], DUMONT a introduit les polynômes générateurs de E_{2n} suivants :

(2.5)  Γ_{n}(x, y, z, x̄, ȳ, z̄) = ∑_{F ∈E_{2n}} x^{mi F} y^{fd F} z^{snd F} x̄^{mp F} ȳ^{fnd F} z̄^{sd F}

et a conjecturé le développement en fraction continue de leur série génératrice ordinaire (cf. (1.4)). Au cours de la démonstration de cette conjecture (cf. [Ra], [Ze]), nous avons établi la relation suivante :

(2.6) \{ \begin{matrix}Γ_{1}(x, y, z, x̄, ȳ, z̄) = 1, \\ Γ_{n}(x, y, z, x̄, ȳ, z̄) = (x & +z̄)(y + x̄)Γ_{n−1}(x + 1, y, z, x̄ + 1, ȳ, z̄) \\ +[x(ȳ − y) − x̄(z̄ − z) − xx̄]Γ_{n−1}(x, y, z, x̄, ȳ, z̄). \end{matrix}

PROPOSITION 4. — Pour tout n ≥ 1, nous avons

(i)  Γ_{n}(x̄, z̄, ȳ, x, z, y) = Γ_{n}(x, y, z, x̄, ȳ, z̄),
(ii)  Γ_{n+1}(x, 0, z, x̄, 0, z̄) = x̄zΓ_{n}(x̄, z̄, 1, x, z, 1).

Démonstration : C’est une conséquence immédiate de (2.6). Nous donnons dans la suite une preuve directe à partir de (2.5).

(i) Soit l’application ψ de E_{2n} dans E_{2n}, qui à F = {(k, f(k))} associe G = {(k, g(k))} telle que pour tout k ∈ [n], g(2k) = f(2k −1) et g(2k −1) = f(2k). Il est clair que ψ est une involution de E_{2n} et satisfait

mp G = mi F, mi G = mp F, fd G = sd F, fnd G = snd F.

D’où l’identité (i) d’après la définition (2.5).

(ii) Soit F un escalier sans point fixe sur E_{2n+2}. Nous supprimons la ligne et la colonne de son point surfixe (1, 2) qui, en dehors de ce point, sont vides, nous supprimons de même les cases vides (2, 2), (4, 4), …, (2n, 2n) ainsi que la case (2n + 2, 2n + 2). Après renumérotage des lignes et colonnes, la trace de F sur les cases restantes constitue un escalier G sur [2n], comme le montre la figure ci-après.

\begin{aligned}10 & & & & & × & & & × & × & × \\ 8 & & × & & & & × & × \\ 6 & & & & × \\ 4 & & & × \\ 2 & × \\ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \end{aligned} ⟶ \begin{aligned}8 & & & & × & & & × & × \\ 6 & × & & & & × & × \\ 4 & & & × \\ 2 & & × \\ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \end{aligned}

Nous vérifions sans peine que l’application F → G ainsi définie établit une bijection entre E_{2n+2}^{∗} et E_{2n} telle que

mi G = mp F − 1,  mp G = mi F,  fnd G = snd F − 1,  fd G = sd F.

D’où l’identité (ii).

En comparant les deux relations de récurrence (1.1) et (2.6) et en vertu de la Proposition 6, nous obtenons le corollaire suivant.

COROLLAIRE 5. — On a

P_{n}(x, y, x̄, ȳ) = Γ_{n+1}(x̄, 0, y, x, 0, ȳ)
= xyΓ_{n}(x̄, 1, y, x, 1, ȳ)
= xyΓ_{n}(x, ȳ, 1, x̄, y, 1).

Par suite, nous déduisons du Corollaire 5 et de (2.5) les interprétations combinatoires suivantes pour les polynômes P_{n}(x, y, x̄, ȳ).

TH^{}ÉOR^{}ÈME 6. — Nous avons

P_{n}(x, y, x̄, ȳ) = ∑_{F ∈E_{2n+2}^{∗}} x^{mp F} x̄^{mi F} y^{snd F} ȳ^{sd F}

= ∑_{F ∈E_{2n}} x^{mp F +1}x̄^{mi F} y^{snd F +1}ȳ^{sd F}

= ∑_{F ∈E_{2n}} x^{mi F +1}x̄^{mp F} y^{fnd F +1}ȳ^{fd F} .

Les premières valeurs de ces polynômes sont

\begin{aligned}P_{0}(x, y, x̄, ȳ) & = 1, \\ P_{1}(x, y, x̄, ȳ) & = xy, \\ P_{2}(x, y, x̄, ȳ) & = xy(xy + x̄ + ȳ), \\ P_{3}(x, y, x̄, ȳ) & = xy[x^{2}y^{2} + 3xy(x̄ + ȳ) + (x̄ + ȳ)^{2} + x(x̄ + ȳ) + y(x̄ + ȳ) + x̄ + ȳ]. \end{aligned}

3. Polynômes Eulériens

Pour tout polynôme P (x, y) en les variables x et y, notons Ω(P (x, y)) la somme des termes du plus haut degré de P (x, y). Posons

(3.1)  A_{n}(x, y) = Ω(yP_{n}(x, 1, y, 1)) = Ω(yP_{n}(1, x, 1, y)), (n ≥ 1).

La deuxième égalité provient du fait que d’après le Théorème 3, les P_{n}(x, x̄, y, ȳ) sont symétriques en x et y d’une part, et en x̄ et ȳ d’autre part.

PROPOSITION 7. — Les polynômes A_{n}(x, y) sont eulériens, i.e, satisfont la relation de récurrence :

(3.2)  \{ \begin{matrix}A_{1}(x, y) & = & xy, \\ A_{n}(x, y) & = & xy(\frac{∂}{∂x} + \frac{∂}{∂y})A_{n−1}(x, y). \end{matrix}

Démonstration : Remarquons d’abord que si l, m sont deux entiers positifs , alors

Ω [(x + 1)^{l}(y + 1)^{m} − (x)^{l}(y)^{m}] = lx^{l−1}y^{m} + mx^{l}y^{m−1} = (\frac{∂}{∂x} + \frac{∂}{∂y})x^{l}y^{m}.

Par conséquent,

Ω [(y + 1)P_{n}(x + 1, 1, y + 1, 1) − yP_{n}(x, 1, y, 1)] = (\frac{∂}{∂x} + \frac{∂}{∂y})A_{n}(x, y).

Or, d’après (1.2), nous avons

Ω(yP_{n}(x, 1, y, 1)) = xyΩ [(y + 1)P_{n−1}(x + 1, 1, y + 1, 1) − yP_{n−1}(x, 1, y, 1)] .

D’où la récurrence (3.2).

Nous désuisons aisément du Théorème 3 le résultat suivant de DUMONT [Du3].

PROPOSITION 8. — La série génératrice ordinaire des polynômes A_{n}(x, y) admet le développement en fraction continue suivant :

y + ∑_{n≥1} A_{n}(x, y)t^{n} = \frac{y}{1 − \frac{1xt}{1 − \frac{1yt}{1 − \frac{2xt}{1 − \frac{2yt}{1 − \frac{3xt}{1 − \frac{3yt}{...}}}}}}} ·

Démonstration : Le polynôme P_{n}(x, 1, y, 1) étant de degré n en x et y, donc Q_{n}(x, y, a) = a^{n}yP_{n}(x/a, 1, y/a, 1) est un polynôme en x, y et a, et satisfait Q_{n}(x, y, 0) = Ω(yP_{n}(x, 1, y, 1)). D’où la formule d’après (3.1) et le Théorème 3.

A leur tour on déduit du Théorème 6 les interprétations combinatoires suivantes, qui mettent en évidence la symétrie en x, y de A_{n}(x, y).

COROLLAIRE 9. — Nous avons

A_{n}(x, y) = ∑_{{F ∈E_{2n} \atop max F =n−1}} x^{mp F +1}y^{mi F +1} = ∑_{{F ∈E_{2n} \atop max F =n−1}} x^{mi F +1}y^{mp F +1}

= ∑_{{F ∈E_{2n} \atop fix F =n−1}} x^{fnd F +1}y^{fd F +1} = ∑_{{F ∈E_{2n} \atop sur F =n−1}} x^{snd F +1}y^{sd F +1}

Soit Inj(n) l’ensemble des injections g de [n] dans [2n] telles que g(j) ≤ 2j pour tout j ∈ [n]. Pour g ∈ Inj(n), notons pair(g) (resp. impair(g)) le nombre des entiers j ∈ [n] tels que g(j) soit pair (resp. impair).

PROPOSITION 10. — Nous avons

A_{n}(x, y) = ∑_{g∈Inj(n−1)} x^{pair(g)+1}y^{impair(g)+1}.

Démonstration : Soit E′_{2n} l’ensemble des escaliers F tels que max F = n − 1. On va construire une bijection entre Inj(n − 1) et E′_{2n}. Etant donné g ∈ Inj(n − 1), on définit son image F = {(k, f(k))} de la manière suivante. Pour tout k ∈ [2n], s’il existe j ∈ [n − 1] tel que g(j) = k, on définit f(k) = 2j, sinon on pose f(k) = 2n. D’une part, comme g(j) ≤ 2j pour tout j ∈ [n − 1], f(k) ≥ k pour tout k ∈ [2n]. D’autre part, il y a pair(g) entiers pairs j tels que g(j) pair et impair(g) entiers impairs j tels que g(j) impair, donc mp F = n − 1 − pair(g) = impair(g) et mi F = n − 1 − impair(g) = pair(g). On vérifie facilement que c’est bien une application bijective de Inj(n − 1) sur E′_{2n}. D’où le résultat en vertu du Corollaire 9.

Soit E_{n} l’ensemble des applications excédantes f de [n] dans [n], i.e, f(k) ≥ k pour tout k ∈ [n]. On note car f le cardinal de l’ensemble f([n]). On peut aussi interpréter A_{n}(x, y) en terme d’applications excédantes.

PROPOSITION 11. — Nous avons

A_{n}(x, y) = ∑_{f∈E_{n}} x^{car f}y^{n−car f+1}

Démonstration : D’après le corollaire 11,

A_{n}(x, y) = ∑_{{F ∈E_{2n} \atop fix F =n−1}} x^{fnd F +1}y^{fd F +1}.

Soit donc F ∈ E_{2n} tel que fix F = n − 1. Supprimons toutes les colonnes paires où seules les cases (2, 2), (4, 4), …, (2n, 2n) ne sont pas vides. La trace de F sur les cases restantes, après renumérotage des colonnes restantes et lignes par 1, 2, …, n, constitue le graphe d’une application excédante g (non necessairement surjective) de [n]. L’application F → g est bien une bijection de E_{2n} sur E_{n} telle qu’ une ligne vide de g correspond à un point fixe non doublé de F. D’où le résultat.

Appelons involutions bipartites de [2n] les involutions sans point fixe de [2n] dont chaque cycle est composé de deux entiers de parités différentes. Notons Invbip(2n) l’ensemble de telles involutions. Soit σ ∈ Invbip(2n), une valeur x ∈ [2n] est dit pic de cycle de σ si σ^{−1}(x) < x > σ(x). Nous notons i(σ) (resp. p(σ)) le nombre de pics de cycle impairs (resp. pairs) de σ. DUMONT [Du2] a montré que A_{n}(x, y) (n ≥ 1) sont des polynômes générateurs des Invbip(2n) selon leurs nombres de pics de cycle pairs et impairs, i.e.,

(3.3)  A_{n}(x, y) = ∑_{σ∈Invbip(2n)} x^{p(σ)}y^{i(σ)+1}.

Par abus de langage, nous identifions dans la suite un escalier et son application correspondante.

PROPOSITION 12. — Il existe une bijection entre E′_{2n} et Invbip(2n) telle que

\{ \begin{matrix}mp F + 1 & = & p(φ(F)) \\ mi F + 1 & = & i(φ(F)) + 1. \end{matrix}

Démonstration : Pour tout F ∈ E′_{2n}, notons F_{i} la restriction de F à [2i] pour i = 1, 2, …, n, c’est-à-dire, pour 1 ≤ k ≤ 2i, F_{i}(k) = inf{F (k), 2i}. Signalons tout d’abord que, pour 1 ≤ j < i ≤ n, 2j n’a qu’un seul antécédent par F_{i} que nous notons F_{i}^{−1}(2j). Nous allons construire successivement par récurrence la suite (φ(F_{i})) (1 ≤ i ≤ n) de sorte que φ(F_{i}) satisfait la relation suivante pour 1 ≤ i ≤ n:

(3.4)  \{ \begin{matrix}mp(F_{i}) + 1 & = & p(φ(F_{i})) \\ mi(F_{i}) + 1 & = & i(φ(F_{i})) + 1 \end{matrix}

On définit d’abord φ(F_{1}) = (1, 2) et, pour i = 1, 2, …, n, si k = F_{i+1}^{−1}(2i) est un pic de cycle impair (resp. pair) de φ(F_{i}), alors φ(F_{i+1}) se déduit de φ(F_{i}) en supprimant le cycle (k′, k) et en le remplaçant par les deux cycles (k′, 2i + 1) et (k, 2i + 2) (resp. (k′, 2i + 2) et (k, 2i + 1)) ; sinon on ajoute le cycle (2i + 1, 2i + 2). Il est clair que l’application φ ainsi définie vérifie la relation (3.4). Montrons que c’est bien une bijection de E′_{2n} sur Invbip(2n). Pour cela, soit σ ∈ Invbip(2n) et, pour i = 1, 2, …, n − 1, σ_{i} sa restriction à [2i], c’est-à-dire, si (2i + 1, 2i + 2) (resp. (k, 2i + 1) et (k′, 2i + 2)) est un cycle (resp. sont des cycles) de σ_{i+1}, alors σ_{i} se déduit de celle-ci en supprimant ce cycle (resp. en supprimant ces cycles puis en les remplaçant par (k, k′)). On construit la suite d’escaliers (F_{1}, F_{2}, …, F_{n}) comme suit :

(i) F_{1} = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 2 \end{matrix} ),

(ii) F_{i+1}^{−1}(2j) = F_{i}^{−1}(2j) pour 1 ≤ j < i ≤ n − 1,

(iii) si (k, 2i + 1) et (k′, 2i + 2) sont des cycles de σ_{i+1}, F_{i+1}^{−1}(2i) = sup{k, k′}, (iv) si (2i + 1, 2i + 2) est un cycle de σ_{i+1}, F_{i+1}^{−1}(2i) est le seul élément de [2i]

différent de F_{i}^{−1}(2j) (j = 1, 2, …, i − 1) et qui n’est pas un pic de σ_{i}, (v) Pour tout j ≠ F_{i+1}^{−1}(2k) quel que soit k ≤ i, F_{i+1}(j) = 2i + 2. L’application σ → F = F_{n} ainsi définie est clairement l’inverse de φ.

EXEMPLE : Soit l’escalier (ou application) sur [10]

F = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 8 & 2 & 10 & 4 & 10 & 6 & 10 & 10 & 10 & 10 \end{matrix} ),

le déroulement de la bijection φ est décrit dans le tableau suivant :

\begin{matrix}i & F_{i} & φ(F_{i}) \\ 1 & ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 2 \end{matrix} ) & (1, 2) \\ 2 & ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 4 & 4 \end{matrix} ) & (1, 4)(2, 3) \\ 3 & ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 2 & 6 & 4 & 6 & 6 \end{matrix} ) & (1, 6)(2, 3)(4, 5) \\ 4 & ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 8 & 2 & 8 & 4 & 8 & 6 & 8 & 8 \end{matrix} ) & (1, 8)(2, 3)(4, 5)(6, 7) \\ 5 & ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 8 & 2 & 10 & 4 & 10 & 6 & 10 & 10 & 10 & 10 \end{matrix} ) & (1, 8)(2, 3)(4, 5)(6, 7)(9, 10) \end{matrix}

Nous trouvons alors φ(F) = (1, 8)(2, 3)(4, 5)(6, 7)(9, 10).

4. Nombres d’Euler et de Genocchi

Posons, pour tout n ≥ 1,

B_{n}(x, y) = x^{−1}P_{n}(x, 1, y, 1).

La récurrence (1.2) devient alors

(4.1)  \{ \begin{matrix}B_{1}(x, y) & = & 1, \\ B_{n}(x, y) & = & (x + 1)(y + 1)B_{n−1}(x + 1, y + 1) − xyB_{n−1}(x, y). \end{matrix}

Ces polynômes ont été étudiés par DUMONT et RANDRIANARIVONY dans [Du-Ra] comme une extension commune des nombres de Genocchi et des nombres de Genocchi médians en ce sens que

G_{2n} = B_{n}(1, 1),  H_{2n−1} = B_{n}(0, 1)  (n ≥ 1).

D’après le Théorème 3 nous retrouvons immédiatement le résultat suivant de [Du-Ra].

Interpolation de nombres classiques 13

PROPOSITION 13. — Nous avons

1 + x ∑_{n≥1} B_{n}(x, y)t^{n} = \frac{1}{1 − \frac{1xt}{1 − \frac{1(y + 1)t}{1 − \frac{2(x + 1)t}{1 − \frac{2(y + 2)t}{1 − \frac{3(x + 2)t}{1 − \frac{3(y + 3)t}{...}}}}}}} ·

D’autre part, le Théorème 6, nous retrouvons immédiatement PROPOSITION 14. — On a les interprétations combinatoires suivantes :

B_{n}(x, y) = ∑_{F ∈E_{2n+2}^{∗}} x^{mp F −1}y^{mi F}

= ∑_{F ∈E_{2n}} x^{mp F} y^{mi F} = ∑_{F ∈E_{2n}} x^{mi F} y^{mp F} .

Posons, pour n ≥ 0,

C_{n}(x, y) = 2^{2n}P_{n} (\frac{x}{2},\frac{1}{2},\frac{y}{2} ,\frac{1}{2}),

la relation de récurrence (1.2) se réduit alors

(4.2)  \{ \begin{matrix}C_{0}(x, y) & = & 1, \\ C_{n}(x, y) & = & x(y + 1)C_{n−1}(x + 2, y + 2) − xyC_{n−1}(x, y). \end{matrix}

Ces polynômes C_{n}(x, y) ont été introduits par les deux auteurs dans [Ra-Ze] comme une extension des nombres d’Euler E_{n}. Nous avons démontré que

(4.3) C_{n}(1, 1) = E_{2n}, C_{n}(2, 2) = E_{2n+1}.

Le résultat suivant, déjà établi dans [Ra-Ze], se déduit du Théorème 4. PROPOSITION 15. — Nous avons

∑_{n≥0} C_{n}(x, y)t^{n} = \frac{1}{1 − \frac{1xt}{1 − \frac{2(y + 1)t}{1 − \frac{3(x + 2)t}{1 − \frac{4(y + 3)t}{1 − \frac{5(x + 4)t}{1 − \frac{6(y + 5)t}{...}}}}}}} ·

De même on peut déduire du Théorème 6 des interprétations en termes d’escaliers de C_{n}(x, y). Pour ce faire, on pose, pour tout escalier F sur [2n],

nf F = 2n − 2 − fix F,  ns F = 2n − 2 − sur F,
nmf F = 2n − 2 − max F − fix F, nms F = 2n − 2 − max F − sur F.

PROPOSITION 16. — On a :

C_{n}(x, y) = ∑_{F ∈E_{2n+2}^{∗}} 2^{nms F} x^{mp F} y^{mi F}

= ∑_{F ∈E_{2n}} 2^{nms F} x^{mp F +1}y^{mi F}

= ∑_{F ∈E_{2n}} 2^{nmf F} x^{mi F +1}y^{mp F} .

En tenant compte de (4.3), on a :

COROLLAIRE 17. — On a :

E_{2n} = ∑_{F ∈E_{2n+2}^{∗}} 2^{nms F} = ∑_{F ∈E_{2n}} 2^{nms F} = ∑_{F ∈E_{2n}} 2^{nmf F} ,
E_{2n+1} = ∑_{F ∈E_{2n+2}^{∗}} 2^{ns F −2} = ∑_{F ∈E_{2n}} 2^{ns F −1} = ∑_{F ∈E_{2n}} 2^{nf F −1}.

Dans [Ra-Ze], nous avons donné une interprétation en termes de records pairs et records impairs de permutations alternantes sur [2n] pour les polynômes C_{n}(x, y). Le problème ouvert est de trouver une bijection entre cette interprétation et celle de la Proposition 16.

5. Matrices de Seidel

Une matrice infinie (a_{n,k})_{n,k≥0} est dite matrice de Seidel si les coefficients satisfont la récurrence :

a_{n+1,k} = a_{n,k} + a_{n,k+1}.

La suite {a_{0,n}}_{n≥0} (resp. {a_{n,0}}_{n≥0}) est appelée suite initiale (resp. finale) de la matrice de Seidel. Il est clair qu’une matrice de Seidel est entièrement déterminée par sa suite initiale ou finale.

LEMME 18. — Si a(t) (resp. ā(t)) est la fonction génératrice ordinaire de la suite initiale (resp. finale) d’une matrice de Seidel, alors :

(5.1)  a(t) = \frac{1}{1 + t}ā(\frac{t}{1 + t})  ou  ā(t) = \frac{1}{1 − t}a(\frac{t}{1 − t})·

De plus, si ā(t) admet le développement en fraction continue formelle

ā(t) = \frac{1}{1 − \frac{c_{1}t}{1 − \frac{c_{2}t}{1 − \frac{c_{3}t}{1 − \frac{c_{4}t}{...}}}}} ,

alors a(t) a le développement en fraction continue formelle suivant :

a(t) = \frac{1}{1 + t − \frac{c_{1}t}{1 − \frac{c_{2}t}{1 + t − \frac{c_{3}t}{1 − \frac{c_{4}t}{...}}}}} ·

Démonstration : La première partie est classique, voir par exemple [Du2]. La seconde partie est une conséquence immédiate de (5.1).

Dans ce qui suit, on adopte les notations vectorielles :

x = (x_{1}, x_{2}, …, x_{p})  et  a = (a_{1}, a_{2}, …, a_{p}).

PROPOSITION 19. — Si la suite finale {ā_{n}(x)}_{n≥0} d’une matrice de Seidel satisfait la récurrence, a étant fixe :

(5.2)  \{ \begin{matrix}ā_{0}(x) = 1, \\ ā_{n}(x) = α & (x)ā_{n−1}(x + a) + β(x)ā_{n−1}(x). \end{matrix}

Alors la suite initiale {a_{n}(x)}_{n≥0} satisfait la récurrence

(5.3)  \{ \begin{matrix}a_{0}(x) = 1, \\ a_{n}(x) = α & (x)a_{n−1}(x + a) + [β(x) − 1]a_{n−1}(x). \end{matrix}

Démonstration : Soient a(x; t) = ∑_{n≥0} a_{n}(x)t^{n} et ā(x; t) = ∑_{n≥0} ā_{n}(x)t^{n} les séries génératrices ordinaires des a_{n}(x) et ā_{n}(x). La relation (5.2) entraîne alors que

ā(x; t) = 1 + α(x)tā(x + a; t) + β(x)tā(x; t).

En substituant t par t/(1 + t) dans l’identité ci-dessus et en la multipliant par 1/(1 + t), on a d’après le Lemme 20 :

a(x; t) = 1 + α(x)ta(x + a; t) + [β(x) + 1]ta(x; t).

On obtient la récurrence (5.3) en identifiant les coefficients de t^{n} dans les deux membres de la dernière identité.

De même, on obtient la proposition suivante :

PROPOSITION 20. — Si la suite initiale {a_{n}(x)}_{n≥0} d’une matrice de Seidel satisfait la récurrence :

(5.4)  \{ \begin{matrix}a_{0}(x) = 1, \\ a_{n}(x) = α & (x)a_{n−1}(x + a) + β(x)a_{n−1}(x). \end{matrix}

Alors la suite finale {ā_{n}(x)}_{n≥0} satisfait la récurrence

(5.5)  \{ \begin{matrix}ā_{0}(x) = 1, \\ ā_{n}(x) = α & (x)ā_{n−1}(x + a) + [β(x) + 1]ā_{n−1}(x). \end{matrix}

PROPOSITION 21. — Si une matrice de Seidel a pour suite initiale (resp. finale) {α^{n}P_{n}(x, y, x̄, ȳ)}_{n≥0}, α étant un nombre fixe, alors sa suite finale (resp. initiale) est {α^{n}Γ_{n+1}(x − a, ȳ + b, 0, x̄ − b, y, a)}_{n≥0} avec abα = +1 (resp. abα = −1)

Démonstration : Posons a_{n}(x, y, x̄, ȳ) = α^{n}P_{n}(x, y, x̄, ȳ). D’après (1.2), les polynômes a_{n}(x, y, x̄, ȳ) sont définis par la récurrence :

(5.6) \{ \begin{matrix}a_{0}(x, y, x̄, ȳ) = 1, \\ a_{n}(x, y, x̄, ȳ) = αx & (x̄ + ȳ)a_{n−1}(x + 1, & y, x̄ + 1, ȳ) \\ −αx(x̄ + ȳ − y)a_{n−1}(x, y, x̄, ȳ). \end{matrix}

Donc, d’après la proposition précédente, sa suite finale {ā_{n}(x, y, x̄, ȳ)} est définie par :

(5.7)  \{ \begin{matrix}ā_{0}(x, y, x̄, ȳ) = 1, \\ ā_{n}(x, y, x̄, ȳ) = αx & (x̄ + ȳ) & ā_{n−1}(x + 1, y, x̄ + 1, ȳ) \\ −α[x(x̄ + ȳ − y) − 1/α]ā_{n−1}(x, y, x̄, ȳ). \end{matrix}

Or, en appliquant (2.6), la suite {α^{n}Γ_{n+1}(x − a, ȳ + b, 0, x̄ − b, y, a)}_{n≥0} avec abα = +1 vérifie bien la récurrence (5.7). On fait la même démonstration pour l’autre.

On en déduit en particulier le résultat suivant.

COROLLAIRE 22. — On note {a_{n}(x, y)}_{n≥0} et {ā_{n}(x, y)}_{n≥0} les suites initiale et finale d’une matrice de Seidel.

Si a_{n}(x, y) = xB_{n}(x, y), alors ā_{n}(x, y) = Γ_{n+1}(x − 1, 2, 0, y − 1, 1, 1);
si ā_{n}(x, y) = xB_{n}(x, y), alors a_{n}(x, y) = Γ_{n+1}(x − 1, 0, 0, y + 1, 1, 1);
si a_{n}(x, y) = C_{n}(x, y), alors ā_{n}(x, y) = 2^{2n}Γ_{n+1}(\frac{x − 1}{2}, 1, 0, \frac{y − 1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2});
si ā_{n}(x, y) = C_{n}(x, y), alors a_{n}(x, y) = 2^{2n}Γ_{n+1}(\frac{x − 1}{2}, 1, 0, \frac{y + 1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}).

En particulier, on constate que si la suite finale d’une matrice de Seidel est {H_{2n−1}}_{n≥0} avec H_{−1} = 1, alors la suite initiale dénombre les escaliers F tels que mi F = fd F = snd F = 0.

6. Nombres d’Euler médians Prenons comme suite initiale d’une matrice de Seidel celle définie par :

a_{0} = 0,  a_{2n−1} = (−1)^{n−1}E_{2n−1},  a_{2n} = (−1)^{n}E_{2n},

alors la matrice (a_{n,k})_{n,k≥0} est

0  1  −1  −2  5  16 −61 −272 ⋯
1  0  −3  3  21 −45 −333 ⋯
1  −3  0  24 −24 −378 ⋯
−2  −3  24  0 −402 ⋯
−5  21  24 −402 ⋯
16  45 −378 ⋯
61 −333 ⋯
−272 ⋯

Si l’on prend comme suite initiale d’une matrice de Seidel celle définie par :

b_{0} = 0,  b_{2n−1} = (−1)^{n−1}E_{2n−1},  b_{2n} = (−1)^{n−1}E_{2n},

alors la matrice de Seidel correspondante (b_{n,k})_{n,k≥0} est

0  1  1 −2 −5 16  61 −272 ⋯
1  2 −1 −7 11  77 −211 ⋯
3  1 −8 4 88 −134 ⋯
4  7 −4 92 −46 ⋯
−3 −11 88 46 ⋯
−14 77 134 ⋯
63 211 ⋯
274 ⋯

Inspiré par les travaux d’ARNOLD [Ar], DUMONT [Du2] a récemment défini les nombres d’Euler médians L_{n} et R_{n} comme les coefficients qui se trouvent dans les surdiagonaux de ces deux matrices de Seidel plus haut, i.e.,

R_{n} = (−1)^{n}a_{n,n+1}, L_{n} = (−1)^{n}b_{n,n+1}.

Le résultat suivant est dû à DUMONT [Du4].

TH^{}ÉOR^{}ÈME 23. — On a les développements en fractions continues formelles suivants :

∑_{n≥0} L_{n}t^{n} = 1 + t + 4t^{2} + 46t^{3} + ⋯ = \frac{1}{1 − \frac{1 · 1t}{1 − \frac{1 · 3t}{1 − \frac{2 · 5t}{1 − \frac{2 · 7t}{1 − \frac{3 · 9t}{1 − \frac{3 · 11t}{...}}}}}}} ,

∑_{n≥0} R_{n}t^{n} = 1 + 3t + 24t^{2} + 402t^{3} + ⋯ = \frac{1}{1 − \frac{1 · 3t}{1 − \frac{1 · 5t}{1 − \frac{2 · 7t}{1 − \frac{2 · 9t}{1 − \frac{3 · 11t}{1 − \frac{3 · 13t}{...}}}}}}} ·

Nous allons montrer dans la suite que les polynômes D_{n}(x) définis par :

(6.1)  D_{n}(x) = 2^{2n}P_{n} (\frac{x + 1}{2},1,\frac{x + 1}{2},\frac{1}{2}) ,  (n ≥ 0).

sont une extension des nombres d’Euler médians. De la relation (1.1) on déduit la relation de récurrence :

(6.2)  \{ \begin{matrix}D_{0}(x) & = & 1, \\ D_{n}(x) & = & (x + 1)(x + 2)D_{n−1}(x + 2) − x(x + 1)D_{n−1}(x). \end{matrix}

Les premières valeurs de ces polynômes sont :

\begin{aligned}D_{0}(x) & = 1, \\ D_{1}(x) & = 2(x + 1), \\ D_{2}(x) & = 4(x + 1)(2x + 3), \\ D_{3}(x) & = 8(x + 1)(6x^{2} + 22x + 21). \end{aligned}

On voit aisément que D_{n}(x) est un polynôme à cœfficients entiers positifs et divisible par 2^{n}(x + 1) dans Z[x]. On déduit aussi de la Proposition 2 le résultat suivant.

PROPOSITION 24. — On a

\begin{aligned}∑_{n≥0} D_{n}(x)t^{n} & = \frac{1}{1 + x(x + 1)t} + \frac{(x + 1)(x + 2)t}{(1 + x(x + 1)t)(1 + (x + 2)(x + 3)t)} + ⋯ \\ & = ∑_{n≥0} \frac{(x + 1)_{2n}t^{n}}{∏_{k=0}^{n}[1 + (x + 2k)(x + 2k + 1)t]}· \end{aligned}

Du Théorème 3 on déduit le développement en fraction continue formelle de la série génératrice ordinaire des polynômes D_{n}(x) suivant.

TH^{}ÉOR^{}ÈME 25. — On a

∑_{n≥0} D_{n}(x)t^{n} = \frac{1}{1 − \frac{2(x + 1)t}{1 − \frac{2(x + 2)t}{1 − \frac{4(x + 3)t}{1 − \frac{4(x + 4)t}{...}}}}} ·

Enfin le Théorème 6 implique les interprétations suivantes pour les polynômes D_{n}(x).

PROPOSITION 26. — On a :

D_{n}(x) = ∑_{F ∈E_{2n+2}^{∗}} 2^{2n−max F −sd F} (x + 1)^{max F}

= ∑_{F ∈E_{2n}} 2^{2n−1−max F −fd F} (x + 1)^{max F +1}

= ∑_{F ∈E_{2n}} 2^{2n−1−max F −sd F} (x + 1)^{max F +1}.

TH^{}ÉOR^{}ÈME 27. — On a, pour tout n ≥ 0 :

D_{n}(−\frac{1}{2}) = L_{n}, D_{n}(\frac{1}{2}) = R_{n}.

Démonstration : Si l’on substitue x par −1/2 et 1/2 respectivement dans le Théorème 25, on trouve les mêmes fractions continues du Théorème 23.

Nous constatons que les nombres d’Euler médians sont deux spécialisations des polynômes D_{n}(x). En spécialisant les polynômes D_{n}(x) de façon différente, nous pouvons obtenir d’autres suites d’entiers positifs. Par exemple, posons

l_{n} = 2^{−n}D_{n}(0)  r_{n} = 2^{−n}D_{n}(1)  n ≥ 0,

alors le Théorème 25 implique les développements en fractions continues suivants.

TH^{}ÉOR^{}ÈME 28. — Nous avons

∑_{n≥0} l_{n}t^{n} = 1 + t + 3t^{2} + 21t^{3} + ⋯ = \frac{1}{1 − \frac{1 · 1t}{1 − \frac{1 · 2t}{1 − \frac{2 · 3t}{1 − \frac{2 · 4t}{1 − \frac{3 · 5t}{1 − \frac{3 · 6t}{...}}}}}}} ,

∑_{n≥0} r_{n}t^{n} = 1 + 2t + 10t^{2} + 98t^{3} + ⋯ = \frac{1}{1 − \frac{1 · 2t}{1 − \frac{1 · 3t}{1 − \frac{2 · 4t}{1 − \frac{2 · 5t}{1 − \frac{3 · 6t}{1 − \frac{3 · 7t}{...}}}}}}} ·

D’après les fractions continues dans les Théorèmes 23 et 28, il semble que les nombres l_{n} et r_{n} doivent avoir des propriétés voisines des nombres d’Euler médians.

De la Proposition 26 on obtient les interprétations suivantes.

PROPOSITION 29. — Nous avons

L_{n} = ∑_{F ∈E_{2n+2}^{∗}} 2^{2(n−max F)−sd F} = ∑_{F ∈E_{2n}} 2^{2(n−1−max F)−sd F} ,
R_{n} = ∑_{F ∈E_{2n+2}^{∗}} 2^{2(n−max F)−sd F} 3^{max F} = ∑_{F ∈E_{2n}} 2^{2(n−1−max F)−sd F} 3^{max F} .

On voit que les exposants de 2 dans la proposition ci-dessus sont tous positifs ou nuls. Par conséquent, les nombres L_{n} et R_{n} sont des entiers ≥ 1. D’autre part, en appliquant la Proposition 1 avec t = 1/2, on a aussi :

PROPOSITION 30. — On a

L_{n} = ∑_{F ∈E_{2n+2}^{∗}}(−1)^{mi F} 4^{n−max F} = ∑_{F ∈E_{2n}}(−1)^{mi F} 4^{n−1−max F} ,
R_{n} = ∑_{F ∈E_{2n+2}^{∗}} 3^{mp F} 4^{n−max F} = ∑_{F ∈E_{2n}} 3^{mp F +1}4^{n−1−max F} .

On déduit également de la Proposition 26 le résultat suivant.

TH^{}ÉOR^{}ÈME 31. — On a

l_{n} = ∑_{F ∈E_{2n+2}^{∗}} 2^{n−max F −sd F} = ∑_{F ∈E_{2n}} 2^{n−1−max F −fd F} = ∑_{F ∈E_{2n}} 2^{n−1−max F −sd F} ,
r_{n} = ∑_{F ∈E_{2n+2}^{∗}} 2^{n−sd F} = ∑_{F ∈E_{2n}} 2^{n−fd F} = ∑_{F ∈E_{2n}} 2^{n−sd F}

D’autre part, compte tenu de (6.1), du Théorème 8 et de la Proposition 1 avec t = −1/2 et 1/2, on obtient le résultat suivant.

TH^{}ÉOR^{}ÈME 32. — On a

l_{n} = ∑_{{F ∈E_{2n} \atop fd F =0}} 2^{n−1−mi F} , r_{n} = ∑_{F ∈E_{2n}} 2^{n−mp F} .

On voit que l_{n} est impair et r_{n} pair pour tout n ≥ 1.

7. Nombres de Springer Considérons la matrice de Seidel ayant {2^{2n}D_{n}(x)} comme suite finale. D’après

la Proposition 19 et les relations (6.1) et (6.2), sa suite initiale {S_{n}(x)}_{n≥0} est définie par la récurrence :

(7.1)  \{ \begin{matrix}S_{0}(x) & = & 1, \\ S_{n}(x) & = & (2x + 2)(2x + 4)S_{n−1}(x + 2) − (2x + 1)^{2}S_{n−1}(x). \end{matrix}

Les premières valeurs de ces polynômes sont :

\begin{aligned}S_{0}(x) & = 1, \\ S_{1}(x) & = 8x + 7, \\ S_{2}(x) & = 128x^{2} + 304x + 177, \\ S_{3}(x) & = 3072x^{3} + 13952x^{2} + 21080x + 10199. \end{aligned}

En faisant une démonstration analogue à celle de la Proposition 2, on obtient la représentation suivante.

22 A. Randrianarivony et J. Zeng

PROPOSITION 33. — On a

∑_{n≥0} S_{n}(x)t^{n} = ∑_{n≥0} \frac{2^{2n}(x + 1)_{2n}t^{n}}{∏_{k=0}^{n}[1 + (1 + (2x + 4k)(2x + 4k + 2))t]}·

Le théorème suivant se déduit du Théorème 27 et du Lemme 18. TH^{}ÉOR^{}ÈME 34. — La série génératrice ordinaire des polynômes S_{n}(x) admet le

développement en fraction continue

∑_{n≥0} S_{n}(x)t^{n} = \frac{1}{1 + t − \frac{4 · 2(x + 1)t}{1 − \frac{4 · 2(x + 2)t}{1 + t − \frac{4 · 4(x + 3)t}{1 − \frac{4 · 4(x + 4)t}{...}}}}} ·

Comme dans le cas des D_{n}(x), on peut aussi interpréter les S_{n}(x). TH^{}ÉOR^{}ÈME 35. — On a

S_{n}(x) = ∑_{F ∈E_{2n+2}} 3^{fix F} 4^{nmfs F} (2x + 1)^{max F} .

Démonstration : Il est facile de montrer que les polynômes

4^{2n}Γ_{n+1}(\frac{2x + 1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{4}, \frac{2x + 1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{4})

vérifient la récurrence (7.1). Le Theorème 35 en résulte.

PROPOSITION 36 (Dumont [Du2]). — Si {S_{2n}}_{n≥0} (resp. {S_{2n+1}}_{n≥0}) est la suite initiale d’une matrice de Seidel, alors {2^{2n}L_{n}}_{n≥0} (resp. {2^{2n}R_{n}}_{n≥0}) est la suite finale.

Le Théorème 27 et la Proposition 36 nous donnent le résultat suivant. TH^{}ÉOR^{}ÈME 37. — On a

S_{n}(−\frac{1}{2}) = S_{2n} et S_{n}(\frac{1}{2}) = S_{2n+1}.

Posons, pour tout n ≥ 1,

n!! = \{ \begin{matrix}2 · 4 ⋯ 2p & si n = 2p, \\ 1 · 3 ⋯ (2p + 1) & si n = 2p + 1. \end{matrix}

On tire de la Proposition 35 les représentations suivantes.

COROLLAIRE 38. — Nous avons

\begin{aligned}∑_{n≥0} S_{2n}t^{n} & = ∑_{n≥0} \frac{(4n + 1)!!t^{n}}{∏_{k=0}^{n}[1 + [1 + (4k + 1)(4k + 3)]t]}, \\ ∑_{n≥0} S_{2n+1}t^{n} & = 1 + ∑_{n≥1} \frac{(4n − 1)!!t^{n}}{∏_{k=1}^{n}[1 + [1 + (4k − 1)(4k + 1)]t]}· \end{aligned}

COROLLAIRE 39. — On a

S_{2n} = ∑_{F ∈E_{2n}} 3^{fix F +1}4^{nfs F −2},

S_{2n+1} = ∑_{F ∈E_{2n+2}} 2^{max F} 3^{fix F} 4^{nmfs F}

Démonstration : A tout escalier F sur [2n + 2] tel que max F = 0, on associe l’escalier G sur [2n] déduit de F par suppression de la ligne supérieure. Ceci établit une bijection entre E_{2n} et l’ensemble des escaliers F sur [2n+2] tels que max F = 0, ayant la propriété :

fix G = fix F − 1, sur G = sur F − 1.

D’où le résultat en appliquant les Théorèmes 29 et 31.

Dans [Ar], ARNOLD a donné des interprétations combinatoires des nombres de Springer en terme de permutations signées alternées. Donc, le problème ouvert est d’établir des liens entre son modèle et le nôtre.

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