\magnification=1200
\input a4new
\hsize=12.5cm
\def\abstract{\bgroup\eightpoint\noindent Abstract\pointir} 
 \def\endabstract{\par\egroup}
 \def\demonstration{\newparwithcolon
                     \it D\'emonstration
                      \endnewparwithcolon}
\def\remarque{\newparwithcolon
                \pc REMARQUE|
                 \endnewparwithcolon} 
\def\exemple{\newparwithcolon
                \pc EXEMPLE|
                 \endnewparwithcolon}         
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\E{\cal E}
\def\S{\cal S}
\def\f{\mathop {\rm fix}}
\def\s{\mathop {\rm sur}}
\def\ns{\mathop {\rm ns}}
\def\nf{\mathop {\rm nf}}
\def\nfs{\mathop {\rm nfs}}
\def\nms{\mathop {\rm nms}}
\def\nmf{\mathop {\rm nmf}}
\def\nmfs{\mathop {\rm nmfs}}
\def\m{\mathop {\rm max}}
\def\im{\mathop {\rm i}}
\def\p{\mathop {\rm p}}
\def\pa{\mathop {\rm pair}}
\def\imp{\mathop {\rm impair}}
\def\mi{\mathop {\rm mi}}
\def\fd{\mathop {\rm fd}}
\def\snd{\mathop {\rm snd}}
\def\mp{\mathop {\rm mp}}
\def\fnd{\mathop {\rm fnd}}
\def\sd{\mathop {\rm sd}}
\def\Inj{\mathop {\rm Inj}}
\def\car{\mathop {\rm car}}
\def\resp{{\it resp}}
\titrecourant={Interpolation de nombres classiques}
\auteurcourant={A. Randrianarivony et J. Zeng}
\ctitre
UNE INTERPOLATION DE PLUSIEURS NOMBRES CLASSIQUES 
ET FRACTIONS CONTINUES
{\eightbf Par}
Arthur RANDRIANARIVONY et Jiang ZENG
 \endctitre
\abstract
We introduce a polynomial sequence interpolating the Euler numbers,
Genocchi numbers, Eulerian numbers and the
recent median Euler numbers. We show that the ordinary generating
function of this sequence has a nice simple continued 
fraction expansion and also a combinatorial interpretation.
Finally we show also some connections of these polynomials with
Springer numbers.
\endabstract
\bigskip
\sectiona
1. Introduction
\endsection

Le pr\'esent travail prend sa source dans l'article original de \pc Gandhi| [Ga]
qui, dans les ann\'ees soisante-dix, avait conjectur\'e une expression pour les {\sl 
nombres de Genocchi} $(G_{2n})\, (n\geq 1)$ comme sp\'ecialisation 
des polyn\^omes \`a coefficients entiers $(K_n(x))\, (n\geq 1)$
d\'efinis par l'\'equation aux diff\'erences finies 
$$
\system {
K_1(x)&=&x^2,\cr
K_n(x)&=&x^2(K_{n-1}(x+1)-K_{n-1}(x)) \qquad (n\geq 2).\cr
}\leqno (1.1)
$$
La conjecture, qui s'exprimat par $K_n(1)=G_{2n+2}\, (n\geq 1)$ et
qui fut imm\'ediatement d\'emontr\'e par \pc Riordan| et \pc Stein| [Ri-St],
d'une part, et \pc Carlitz| [Ca], d'autre part, a \'et\'e la source de
l'\'etude alg\'ebrique et combinatoire des nombres de Genocchi. On
doit \`a \pc Dumont| [Du1] les premieux travaux sur cette \'etude
combinatoire. Celle-ci a permis d'introduire de nouveaux objets
g\'eom\'etriques, comme les {\sl escaliers} (voir la d\'efinition
ci-apr\`es) qui se sont av\'er\'es \^etre fondamentaux \`a la fois pour
les \'etudes combinatoires de cette suite de nombres et de leurs
d\'eriv\'es (\cf.  [Du-Fo, Vi, Ha, Du-Ra]), et pour le calcul
al\'ebrique de plusieurs polyn\^omes qui leur sont attach\'es. En
particulier, le mod\`ele combinatoire a inspir\'e directement
l'expression analytique du {\sl d\'eveloppement en fraction
continue} des fonctions g\'en\'eratrices de ces nombres, des
polyn\^omes $K_n(x)$ et de plusieurs autres familles de polyn\^omes
attach\'es \`a des suites classiques de nombres.

Le but de cet article est de proposer une {\sl globalisation} des r\'esultats
obtenus en introduisant une nouvelle suite de polyn\^omes \`a plusieurs variables
$(P_n(x,y, \bar x, \bar y))\,(n\ge 0)$, et en montrant que leur \'etude alg\'ebrique et
combinatoire couvre tous les r\'esultats r\'ecents sur les {\sl nombres de Genocchi}
et leurs polyn\^omes d\'eriv\'es $B_n(x,y)$, les polyn\^omes Eul\'eriens $A_n(x,y)$,
les polyn\^omes $C_n(x,y)$ attach\'es aux nombres d'Euler $E_n$, les polyn\^omes
$D_n(x)$ et $S_n(x)$ associ\'es aux nombres de Springer.
Ces polyn\^omes $P_n(x,y, \bar x, \bar y)\, (n\ge 0)$ sont d\'efinis par la
r\'ecurrence :
$$
\system {
P_0(x,y, \bar x, \bar y)=1,&&\cr
P_n(x,y, \bar x, \bar y)=x&(\bar x+\bar y)
P_{n-1}(x+1,&y, \bar x+1, \bar y)\cr
&&-x(\bar x+\bar y-y)P_{n-1}(x,y, \bar x, \bar y).\cr
}\leqno (1.2)
$$

Comparant (1.2) \`a (1.1) on pourra constater que la seconde r\'ecurrence s'inspire
directement de la premi\`ere et en effet
$K_n(x)=xP_n(x,1,x,1)\, (n\geq 1)$. 
D'un point de vue analytique les
polyn\^omes pr\'ec\'edents s'expriment dans l'alg\`ebre des polyn\^omes $P_n$ comme :
$$\eqalign{
A_n(x,y)&=\hbox{la somme des termes du plus haut degr\'e de }\,
yP_n(x, 1,y,1),\cr
B_n(x,y)&=x^{-1}P_n(x, 1,y,1),\cr
C_n(x,y)&=2^{2n}P_n(x/2, 1/2, y/2, 1/2),\cr 
D_n(x)&=2^{2n}P_n((x+1)/2, 1/2, (x+1)/2, 1/2),\cr
}\leqno (1.3)
$$ 
quant \`a la suite des polyn\^omes $S_n(x)$, 
elle apparait comme la suite 
initiale de la matrice de Seidel lorsqu'on prend
$(2^{2n}D_n(x))$ comme suite finale.

A partir de la relation (1.2) on peut ais\'ement 
obtenir une expression pour la
fonction g\'en\'eratrice ordinaire des polyn\^omes $P_n$ 
(voir paragraphe 2),
puis \`a l'aide d'un lemme de \pc Wall| [Wa] calculer 
explicitement le d\'eveloppement
en fraction continue de cette fonction g\'en\'eratrice 
(voir Th\'eor\`eme 3).

Par ailleurs, \pc Dumont| [Du3] a d\'efini 
une suite de polyn\^omes \`a six variables 
$\Gamma_n(x, y, z, \bar x, \bar y, \bar z)\, (n\geq 1)$ 
comme g\'en\'erateurs d'une 
statistique {\sl multivari\'ee} sur les {\sl escaliers} 
d'ordre $n$, les escaliers
sont simplement d\'efinis comme des applications surjectives 
$f$ de 
$[2n]=\{1,\, 2,\, \ldots, 2n\}$ sur l'ensemble
$\{2, 4, 6, \ldots, 2n\}$ telle que pour tout 
$k\in [2n-2]$ on ait
$f(k)\geq k$. La d\'efinition de cette statistique 
sera donn\'ee au paragraphe 2. On
doit \`a \pc Dumont| [Du3] d'avoir conjectur\'e que 
la fonction g\'en\'eratrice des
$\Gamma_n$ admettait le d\'eveloppement en 
fraction continue suivant :
$$
\sum_{n\geq 1}\Gamma_n(x, y, z, \bar x, \bar y, \bar z)t^n
={t\over\displaystyle 1-(x\bar y+y\bar z+z\bar x)\,t-
{\strut(\bar x+y)(\bar y+z)(\bar z+x)\,t^2\over\displaystyle
\ddots}} \leqno (1.4)
$$ 
o\`u les coefficients sous le (n+1)-{i\`eme} trait de fraction est
$$\displaylines{
1-[(x+n)(\bar
y+n)+(y+n)(\bar z+n)+(z+n)(\bar x+n)-n(n+1)]t\hfill\cr
\hfill-{(n+1)(\bar x+y+n)(\bar y+z+n)(\bar z+x+n)t^2\over
\displaystyle \ddots}\cr }
$$ 
un r\'esultat qui a \'et\'e prouv\'e par \pc Randrianarivony| [Ra] 
et \pc Zeng| [Ze]
par deux m\'ethodes diff\'erentes. 

Nous \'etablissons ici les relations
$$\eqalign{
P_n(x,y,\bar x,\bar y)&=\Gamma_{n+1}(\bar x, 0, y, x, 0, \bar y)\cr
&=xy\Gamma_n(\bar x, 1, y, x, 1, \bar y)\cr
&=xy\Gamma_n(x, \bar y, 1,  \bar x, y, 1).\cr
}$$
Ce qui \`a l'aide de la conjecture (prouv\'ee) de Dumont permet de
fournir une {\sl interpr\'etation combinatoire} des polyn\^omes 
$P_n$
en termes d'escaliers. Tous ces r\'esultats sont 
consign\'es dans le paragraphe 2.


Le reste de l'article est consacr\'e \`a l'\'etude des 
diverses sp\'ecialisations des
polyn\^omes $P_n$. Dans l'\'etude des polyn\^omes Euleriens 
(paragraphe 3), nous
obtenons de {\sl nouvelles interpr\'etations combinatoires} 
pour ces polyn\^omes
d'abord en termes d'escaliers (\cf. Propositions 9 et 11), 
ensuite en termes
d'application {\sl injectives} (\cf. Proposition 10). 
Nous red\'emontrons ensuite un
r\'esultat de \pc Dumont| [Du2] sur l'interpr\'etation 
des polyn\^omes $A_n(x,y)$
en termes de g\'en\'erateurs d'{\sl involutions bipartites}, 
en construisant une
bijection entre ces derniers models et les escaliers 
(\cf. Proposition 12).

Dans le paragraphe 4 nous retrouvons les r\'esultats de 
Dumont-Randrianarivony
[Du-Ra] sur les polyn\^omes $B_n(x,y)$ et \'etablissons 
deux autres interpr\'etations
combinatoires. Quant aux polyn\^omes $C_n(x,y)$ dont le d\'eveloppemnt en fraction
continue dans [Ra-Ze], ils re\c coivent ici une nouvelle interpr\'etation
combinatoire dans le model des escaliers 
(\cf. Propositions 16 et 17).

Apr\`es avoir expos\'e quelques pr\'eliminaires sur 
les {\sl matrices des Seidel} au
paragraphe 5, nous montrons, au paragraphe 6, 
que les polyn\^omes
$D_n(x)$ ont eux-m\^emes deux sp\'ecialisations 
d\'ej\`a introduites par \pc Dumont| [Du4] :
$$
L_n=D_n(-1/2),\qquad R_n=D_n(1/ 2),
$$
appel\'es nombres d'{\sl Euler m\'edians}. Nous en 
proposons deux autres
$$
l_n=2^{-n}D_n(0), \qquad r_n=2^{-n}D_n(1),
$$
dont les fonctions g\'en\'eratrices admettent des 
d\'eveloppements en fractions
continues {\sl trop} r\'eguli\`eres pour ne pas receler 
des propri\'et\'es alg\'ebriques ou
combinatoires int\'eressantes (\cf. Proposition 28).

Dans le paragraphe 7 nous retrouvons une 
{\sl extension (nouvelle)  polyn\^omiale}
des {\sl nombres de Springer} $S_n\,(n\geq 1)$ en consid\'erant 
une matrice de Seidel dont la suite {\sl
finale} est la suite $(2^{2n}D_n(x))$. Nous montrons alors que la suite 
la suite {\sl initiale}  $(S_n(x)$ de cette matrice satisfont 
$$
S_{2n}=S_n(-1/2), \qquad S_{2n+1}=S_n(1/2).
$$
Nous d\'eduisons ensuite de cette
construction une interpr\'etation des polyn\^omes $S_n(x)$, donc aussi des nombres
de Springer $S_n$. 





\sectiona
2. Etudes des polyn\^omes $P_n(x,y, \bar x, \bar y)$
\endsection
Remarquons d'abord que $P_n(x,y, \bar x, \bar y)$
est un polyn\^ome en $x$, $y$ et $\bar x+\bar y$.
En effet, si on remplace $\bar x$ par
$\bar x+t$ et $\bar y$ par $\bar y-t$ dans (1.1), nous avons
toujours la  m\^eme r\'ecurrence. Donc pour tout $t$, 
$$
P_n(x,y, \bar x, \bar y)
=P_n(x,y, \bar x+t, \bar y-t). \leqno (2.1)
$$

En particulier, nous avons 
$P_n(x,y, \bar x, \bar y)=P_n(x,y, \bar x+\bar y, 0)$.
Par cons\'equent, posant $Q_n(x,y,z)=P_n(x,y,z,0)$, 
les polyn\^omes 
$P_n(x,y, \bar x, \bar y)=Q_n(x,y, \bar x +\bar y)$
peuvent aussi  se caract\'eriser 
par la r\'ecurrence suivante :
$$
\system {
Q_0(x,y, z)&=&1,\cr
Q_n(x,y, z)&=&xzQ_{n-1}(x+1,y,z+1)-x(z-y)Q_{n-1}(x,y,z).\cr
}\leqno (2.2)
$$

Posons 
$$
(x)_0=1\qquad \textstyle{et}\qquad 
(x)_n=x(x+1)\cdots (x+n-1)\qquad\textstyle{pour}\qquad 
n\ge 1.
$$

\th Proposition 1
\enonce Nous avons
$$
\sum_{n\geq 0}P_n(x,y, \bar x,\bar y)t^n
=\sum_{n\geq 0}{(x)_n(\bar x+\bar y)_nt^n\over 
\prod_{k=0}^n [1+(x+k)(\bar x+\bar y-y+k)t]}\cdot 
\leqno (2.3) 
$$
\endth
\demonstration Soit $P(x,y,\bar x,\bar y ; t)=
\sum_{n\geq 0}P_n(x,y,\bar x,\bar y)t^n$ la s\'erie g\'en\'eratrice
ordinaire des $P_n(x,y,\bar x,\bar y)$. On d\'eduit de
la relation de r\'ecurrence (1.2) que
$$
(1+x(\bar x+\bar y-y)t)P(x,y,\bar x, \bar y;t) =
1+x(\bar x+\bar y)tP(x+1,y, \bar x+1, \bar y ; t).\leqno (2.4)
$$
Par suite,
$$
P(x,y,\bar x,\bar y;t)={1\over 1+x(\bar x+\bar y-y)t}
+{(x+1)(\bar x+\bar y)t\over 1+x(\bar x+\bar y-y)t}
P(x+1,y, \bar x+1, \bar y;t)
$$ 
et par it\'eration on obtient la formule. \qed
\medskip

\th Proposition 2
\enonce Les polyn\^omes $P_n(x,y, \bar x,\bar y)$ ($n\geq 0$) ont
l'expression explicite suivante : 
$$\displaylines {
P_n(x,y,\bar x,\bar y)=\sum_{j=0}^n\sum_{k=0}^j
{(-1)^{n-k}(x+\bar x+\bar y-y+2k)(x)_n(\bar x+\bar y)_n
\over k!(j-k)!(x+\bar x+\bar y-y+k)_{j+1}}\cr
\hfill \times (x+k)^n(x+\bar x+\bar y-y+k)^n. \cr
}$$
\endth
\demonstration D\'ecomposant la fraction rationnelle dans
le second membre de (2.3) en \'el\'ements simples, nous obtenons 
$$
{t^j\over \prod_{k=0}^j [1+(x+k)(\bar x
+\bar y-y+k)t]}=\sum_{l=0}^j{\alpha _l(j)\over
1+(x+l)(\bar x+\bar y-y+l)t}\virg 
$$
o\`u la valeur de $\alpha _l(j)$ est donn\'ee par
$$
\alpha _l(j)={(-1)^l(x+\bar x+\bar y-y+2l)\over
l!(j-l)!(x+\bar x+\bar y-y+l)_{j+1}}\qquad (j\ge l\ge 0)\cdot
$$
Par cons\'equent, le polyn\^ome $P_n(x,y,\bar x,\bar y)$ est
le coefficient de $t^n$ dans le d\'eveloppement de 
$$
\sum_{j=0}^n(x)_n(\bar x+\bar y)_n\sum_{l=0}^j
{\alpha _l(j)\over 
1+(x+l)(\bar x+\bar y-y+l)t}\cdot
$$
D'o\`u l'on tire la formule explicite. \qed
\medskip

Enfin, appliquant un lemme de \pd Wall [Wa]
 \`a l'\'equation (2.4), nous obtenons (\cf. [Ze, Ra-Ze])
le d\'eveloppement en
fraction continue de la s\'erie g\'en\'eratrice ordinaire des
polyn\^omes $P_n(x,y,\bar x,\bar y)$.

\th Th\'eor\`eme 3
\enonce Nous avons 
$$ 
\sum_{n\geq 0}P_n(x,y,\bar x,\bar y)t^n=
{1\over\displaystyle 1-
{\strut xyt\over\displaystyle 1-
{\strut 1(\bar x+\bar y)t\over\displaystyle 1-
{\strut ( x+1)(y+1)t\over\displaystyle 1-
{\strut 2(\bar x+\bar y+1)t\over\displaystyle 1- 
{\strut (x+2)(y+2)t\over\displaystyle 1-
{\strut 3(\bar x+\bar y+2)t\over\displaystyle\ddots 
}}}}}}}\cdot
$$
\endth

Pour donner une interpr\'etation combinatoire de 
ces polyn\^omes, nous avons besoin d'introduire 
quelques notions combinatoires
classiques. Rappelons qu'un {\sl escalier} $F$ 
sur $[2n] :=\{1, 2, \ldots, 2n\}$ est le graphe d'une
application {\sl surjective} $f$ de $[2n]$ sur 
$\{2, 4, 6, \ldots, 2n\}$ telle que pour tout $k\in [2n]$,
$f(k)\geq k$. Un point $(k, f(k))$ de $F$ est dit {\sl maximal} si
$f(k)=2n$, est dit {\sl point fixe} s'il n'est pas maximal et si
$f(k)=k$ (ce qui implique que $k$ est pair),
est dit {\sl surfixe} s'il n'est pas maximal et si $f(k)=k+1$
(ce qui implique que $k$ est impair). On note $\m F$ le nombre
des points maximaux de $F$ \`a l'exception des points $(2n-1,2n)$
et $(2n,2n)$, $\f F$ (\resp. $\s F$) le nombre de ses points fixes
 (\resp. surfixes). Soit $\E_{2n}$(\resp. $\E_{2n}^*$) l'ensemble
 des escaliers (resp. sans {\it {point fixe}}) sur $[2n]$.
 Il est bien connu (voir [Du1, Du-Fo, Ha, Vi]) que le
cardinal de $\E_{2n}$ est \'egal au nombre de Genocchi
$G_{2n+2}$.

Etant donn\'e un escalier $F$ sur $[2n]$, un point $(k, f(k))$ de 
$F$ est dit {\sl doubl\'e} s'il n'est pas seul sur sa ligne,
c'est-\`a-dire s'il existe $j\neq k$ tel que $f(j)=f(k)$.
 Nous notons respectivement $\mp F$ et $\mi F$ 
le nombre de ses points {\sl maximaux d'abcisses} paires 
$\neq 2n$ et celui de ses points {\sl maximaux d'abscisses
 impaires $\neq 2n-1$},
on note $\fd F$ (resp. $\fnd F$) le nombre de ses points {\sl fixes
doubl\'es} (resp. {\sl non doubl\'es}), enfin on note $\sd F$ 
(resp. $\snd F$) le nombre de ses points {\sl surfixes doubl\'es}
(resp. {\sl non doubl\'es}). 

Par exemple, dans l'escalier $F$ de taille $14$ suivant :
$${\eightpoint
\vbox{\offinterlineskip
\def\tvi{\vrule height 9pt depth 4pt width 0pt}
\def\tv{\tvi\vrule}
\def\th{\vrule height 0.4pt width 1.5em}
\def\thi{\vrule height 0.4pt width 0pt}
\def\cc#1{$\hfill#1\hfill$}\cleartabs
\+\qquad&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&
\th&\th&\th&\th&\cr
\+\cc{14}&\tv&\tv&\tv&\tv&\tv&\tv&\tv
&\tv\cc{\times}&\tv&\tv\cc{\times}&
\tv\cc{\times}&\tv&\tv\cc{\times}&\tv\cc{\times}&\tv\cr
\+\qquad&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&
\th&\th&\th&\th&\cr
\+ \cc{12}&\tv&\tv&\tv&\tv&\tv\cc{\times}&\tv&\tv&\tv&
\tv&\tv&\tv&\tv\cc{\times}&\tv\cr
\+\qquad&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\cr
\+ \cc{10}&\tv&\tv&\tv&\tv&\tv&\tv&\tv\cc{\times}&
\tv&\tv\cc{\times}&\tv&\tv\cr
\+\qquad&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\cr
\+ \cc{8}&\tv&\tv\cc{\times}&\tv&\tv&\tv&\tv&\tv&\tv&\tv\cr
\+\qquad&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\cr
\+\cc{6}&\tv&\tv&\tv&\tv&\tv&\tv\cc{\times}&\tv\cr
\+\qquad&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\cr
\+\cc{4}&\tv&\tv&\tv\cc{\times}&\tv\cc{\times}&\tv\cr
\+\qquad&\th&\th&\th&\th&\cr
\+\cc{2}&\tv\cc{\times}&\tv&\tv\cr
\+\qquad&\th&\th&\cr
\+\qquad&\thi&\thi&\thi&\thi&\thi&\thi&\thi&\thi&\thi&
\thi&\thi&\thi&\thi&\thi&\cr
\+\hphantom{10}&\tvi\cc{1}&\tvi\cc{2}&\tvi\cc{3}&\tvi\cc{4}&
\tvi\cc{5}&\tvi\cc{6}&\tvi\cc{7}&\tvi\cc{8}&\tvi\cc{9}&\tvi
\cc{10}&\tvi\cc{11}&\tvi\cc{12}&\tvi\cc{13}&
\tvi\cc{14}&\tvi\cr
}}$$
les six statistiques sont respectivement les suivantes :
$$
\mi F=1,\quad\mp F=2,\quad\fd F=2,\quad\fnd F=1,\quad\sd
F=2, \quad\snd F=1.
$$

Dans [Du3], \pc Dumont| a introduit
 les polyn\^omes g\'en\'erateurs de $\E_{2n}$ suivants :
$$
\Gamma_n(x, y, z, \bar x, \bar y, \bar z)=
\sum_{F\in \E_{2n}}x^{\mi F}
y^{\fd F}z^{\snd F}{\bar x}^{\mp F}{\bar y}^{\fnd F}{\bar
z}^{\sd F} \leqno (2.5)
$$
et a conjectur\'e le d\'eveloppement en fraction continue
de leur s\'erie g\'en\'eratrice ordinaire (\cf. (1.4)). 
Au cours de la d\'emonstration
de cette conjecture (\cf. [Ra], [Ze]), nous avons \'etabli la relation suivante :
$$\system{
\Gamma_1(x,y,z, \bar x, \bar y, \bar z) =1,&&\cr
\Gamma_n(x,y,z, \bar x, \bar y, \bar z)=(x&&+\bar z)(y+\bar
x)\Gamma_{n-1} (x+1,y, z, \bar x+1, \bar y, \bar z)\cr
&& + [x(\bar y-y)-\bar x(\bar z-z)-x\bar
x]\Gamma_{n-1}(x,y,z, \bar x, \bar y, \bar z).\cr
}\leqno (2.6)$$

\th Proposition 4
\enonce Pour tout $n\ge 1$, nous avons
$$\leqalignno{
 \Gamma_n(\bar x, \bar z, \bar y, x, z, y)
&=\Gamma_n(x, y, z, \bar x,\bar y, \bar z),&(i)\cr
\Gamma_{n+1}(x, 0, z, \bar x, 0, \bar z)
&=\bar xz \Gamma_n(\bar x, \bar z, 1, x, z, 1).&(ii)\cr
}$$
\endth
\demonstration 
C'est une cons\'equence imm\'ediate de (2.6).
Nous donnons dans la suite une preuve directe \`a partir de (2.5). 

(i)\quad Soit l'application $\psi$ de $\E_{2n}$ dans
$\E_{2n}$, qui \`a $F=\{(k,f(k))\}$ associe $G=\{(k,g(k))\}$ 
telle que pour tout $k\in [n]$, 
$g(2k)=f(2k-1)$ et $g(2k-1)=f(2k)$. Il est clair
que $\psi$ est une involution de $\E_{2n}$ et satisfait
$$
\mp G=\mi F,\,  \mi G=\mp F,\,  \fd G=\sd F,\,  \fnd G=\snd F.
$$
D'o\`u l'identit\'e (i) d'apr\`es la d\'efinition (2.5). 

(ii)\quad Soit $F$ un escalier sans point fixe sur $\E_{2n+2}$. 
Nous supprimons la ligne et la colonne de son point surfixe
$(1,2)$ qui, en dehors de ce point, sont vides, nous supprimons
de m\^eme les cases vides $(2,2),(4,4),\ldots,(2n,2n)$ ainsi que la case
$(2n+2,2n+2)$. Apr\`es renum\'erotage des lignes et colonnes,
la trace de $F$ sur les cases restantes constitue un escalier
$G$ sur $[2n]$, comme le montre la figure ci-apr\`es.
\setbox7=\vbox{\offinterlineskip
\def\tvi{\vrule height 9pt depth 3pt width 0pt}
\def\TV{\vrule height 9pt depth 3pt width 1pt}
\def\tv{\tvi\vrule}
\def\th{\vrule height 0.3pt width 1.2em}
\def\TH{\vrule height 0.7pt depth 0.3pt width 1.2em}
\def\THI{\vrule height 0.3pt depth 0.7pt width 1.2em}
\def\thi{\vrule height 0.3pt width 0pt}
\def\cc#1{$\hfill#1\hfill$}\cleartabs
\+\qquad&\th&\THI&\THI&\THI&\THI&\THI&\THI&\THI&\THI&\th&\cr
\+ \cc{10}&\tv&\TV&\tv&\tv&\tv\cc{\times}&\tv&\tv&
\tv\cc{\times}&\tv\cc{\times}&\TV\cc{\times}&\tv\cr
\+\qquad&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\TH&\TH&\th&\cr
\+ \cc{8}&\tv&\TV\cc{\times}&\tv&\tv&\tv&\tv\cc{\times}
&\tv\cc{\times}&\TV&\tv\cr
\+\qquad&\th&\th&\th&\th&\th&\TH&\TH&\th&\cr
\+\cc{6}&\tv&\TV&\tv&\tv\cc{\times}&\tv&\TV&\tv\cr
\+\qquad&\th&\th&\th&\TH&\TH&\th&\cr
\+\cc{4}&\tv&\TV&\tv\cc{\times}&\TV&\tv\cr
\+\qquad&\th&\TH&\TH&\th&\cr
\+\cc{2}&\tv\cc{\times}&\tv&\tv\cr
\+\qquad&\th&\th&\cr
\+\qquad&\thi&\thi&\thi&\thi&\thi&\thi&\thi&\thi&\thi&
\thi&\thi&\thi&\thi&\thi&\cr
\+\hphantom{10}&\tvi\cc{1}&\tvi\cc{2}&\tvi\cc{3}&\tvi\cc{4}&
\tvi\cc{5}&\tvi\cc{6}&\tvi\cc{7}&\tvi\cc{8}&\tvi\cc{9}&\tvi
\cc{10}&\tvi\cr
}
\setbox8=\vbox{\offinterlineskip
\def\tvi{\vrule height 9pt depth 3pt width 0pt}
\def\tv{\tvi\vrule}
\def\th{\vrule height 0.3pt width 1.2em}
\def\thi{\vrule height 0.3pt width 0pt}
\def\cc#1{$\hfill#1\hfill$}\cleartabs
\+\qquad&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\cr
\+ \cc{8}&\tv&\tv&\tv&\tv\cc{\times}&\tv&\tv&
\tv\cc{\times}&\tv\cc{\times}&\tv\cr
\+\qquad&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\cr
\+ \cc{6}&\tv\cc{\times}&\tv&\tv&\tv&\tv\cc{\times}
&\tv\cc{\times}&\tv\cr
\+\qquad&\th&\th&\th&\th&\th&\th&\cr
\+\cc{4}&\tv&\tv&\tv\cc{\times}&\tv&\tv\cr
\+\qquad&\th&\th&\th&\th&\cr
\+\cc{2}&\tv&\tv\cc{\times}&\tv\cr
\+\qquad&\th&\th&\cr
\+\qquad&\thi&\thi&\thi&\thi&\thi&\thi&\thi&\thi&\thi&
\thi&\thi&\thi&\cr
\+\hphantom{8}&\tvi\cc{1}&\tvi\cc{2}&\tvi\cc{3}&\tvi\cc{4}&
\tvi\cc{5}&\tvi\cc{6}&\tvi\cc{7}&\tvi\cc{8}&\tvi\cr
}
\setbox9=\vbox{\offinterlineskip
\def\tvi{\vrule height 9pt depth 3pt width 0pt}
\def\tv{\tvi\vrule}
\def\th{\vrule height 0.3pt width 3em}
\def\thi{\vrule height 0.3pt width 0pt}
\def\cc#1{$\hfill#1\hfill$}\cleartabs
\+\thi&\cr
\+\tvi\cc{\longrightarrow}&\tvi\cr
\+\thi&\cr
\+\tvi&\tvi\cr
\+\thi&\cr
\+\tvi&\tvi\cr
\+\thi&\cr}
$$
\box7 \quad\box9 \qquad\box8
$$

Nous v\'erifions sans peine que l'application $F\rightarrow G$ ainsi
d\'efinie \'etablit une bijection entre
$\E_{2n+2}^*$ et $\E_{2n}$ telle que
$$
\mi G=\mp F-1,\qquad \mp G=\mi F,\qquad \fnd G=\snd F-1,
\qquad \fd G=\sd F.
$$
D'o\`u l'identit\'e (ii). \qed
\medskip
En comparant les deux relations de 
r\'ecurrence (1.1) et (2.6) et en vertu de la Proposition 6, nous 
obtenons le corollaire suivant. 

\th Corollaire 5
\enonce On a
$$\eqalign{
P_n(x,y,\bar x,\bar y)&=\Gamma_{n+1}(\bar x, 0, y, x, 0, \bar y)\cr
&=xy\Gamma_n(\bar x, 1, y, x, 1, \bar y)\cr
&=xy\Gamma_n(x, \bar y, 1,  \bar x, y, 1).\cr
}$$
\endth

Par suite, nous d\'eduisons du Corollaire 5 et de (2.5) les interpr\'etations
combinatoires suivantes pour les polyn\^omes $P_n(x,y,\bar x,\bar y)$.

\th Th\'eor\`eme 6
\enonce  Nous avons
$$\eqalign {
P_n(x,y,\bar x,\bar y)&=\sum_{F\in \E_{2n+2}^*}x^{\mp F}
{\bar x}^{\mi F}y^{\snd F}{\bar y}^{\sd F}\cr
&=\sum_{F\in \E_{2n}}x^{\mp F+1}
{\bar x}^{\mi F}y^{\snd F+1}{\bar y}^{\sd F}\cr
&=\sum_{F\in \E_{2n}}x^{\mi F+1}
{\bar x}^{\mp F}y^{\fnd F+1}{\bar y}^{\fd F}.\cr
}$$
\endth

Les premi\`eres valeurs de ces polyn\^omes sont
$$\eqalign {
P_0(x,y, \bar x, \bar y)&=1,\cr
P_1(x,y, \bar x, \bar y)&=xy,\cr
P_2(x,y,\bar x, \bar y)&=xy(xy+\bar x+\bar y),\cr
P_3(x,y, \bar x, \bar y)&=xy[x^2y^2+3xy(\bar x+\bar y)+
(\bar x+\bar y)^2+x(\bar x+\bar y)+y(\bar x+ \bar y)
+\bar x+\bar y].\cr
}$$

\sectiona
3. Polyn\^omes Eul\'eriens
\endsection
Pour tout polyn\^ome $P(x,y)$ en les variables $x$ et $y$, notons
$\Omega(P(x,y))$ la somme des termes du plus haut degr\'e de $P(x,y)$.
Posons 
$$
A_n(x,y)=\Omega(yP_n(x,1,y,1))=\Omega(yP_n(1,x,1,y)), \quad (n\ge 1). \leqno (3.1)
$$

La deuxi\`eme \'egalit\'e provient du fait que 
d'apr\`es le Th\'eor\`eme 3, les $P_n(x,\bar x,y,\bar y)$
sont sym\'etriques
en $x$ et $y$ d'une part, et en $\bar x$ et $\bar y$ d'autre part. 

\th Proposition 7
\enonce Les polyn\^omes $A_n(x,y)$ sont eul\'eriens, \ie,
satisfont la relation de r\'ecurrence :
$$\system{
A_1(x,y)&=&xy,\cr
A_n(x,y)&=&xy({\partial \over \partial x}+{\partial 
\over \partial y})A_{n-1}(x,y).\cr
}\leqno (3.2)
$$
\endth
\demonstration Remarquons d'abord que
si $l,\, m$ sont
deux entiers positifs , alors
$$
\Omega\left[(x+1)^l(y+1)^m-(x)^l
(y)^m\right]
=lx^{l-1}y^m+mx^ly^{m-1}=({\partial \over \partial x}+
{\partial \over \partial y})x^ly^m. 
$$
Par cons\'equent,
$$
\Omega\left[(y+1)P_n(x+1,1, y+1, 1)
-yP_n(x, 1, y, 1)\right]
=({\partial \over \partial x}
+{\partial \over \partial y})A_n(x,y). 
$$
Or, d'apr\`es (1.2), nous avons
$$
\Omega(yP_n(x, 1, y, 1))=xy\Omega\left[(y+1)P_{n-1}
(x+1, 1, y+1, 1)-yP_{n-1}(x, 1,y, 1)\right].
$$
D'o\`u la r\'ecurrence (3.2). \qed
\medskip


Nous d\'esuisons ais\'ement du Th\'eor\`eme 3 le r\'esultat suivant de
\pc Dumont| [Du3].

\th Proposition 8
\enonce  La s\'erie g\'en\'eratrice ordinaire des polyn\^omes $A_n(x,y)$
admet le d\'eveloppement en fraction continue suivant :
$$
y+\sum_{n\ge 1}A_n(x,y)t^n={y\over\displaystyle 1-
{\strut 1xt\over\displaystyle 1-
{\strut 1yt\over\displaystyle 1-
{\strut 2xt\over\displaystyle 1-
{\strut 2yt\over\displaystyle 1- 
{\strut 3xt\over\displaystyle 1-
{\strut 3yt\over\displaystyle\ddots 
}}}}}}}\cdot
$$
\endth
\demonstration
Le polyn\^ome $P_n(x, 1, y, 1)$ \'etant de degr\'e $n$ en $x$ et $y$,
donc $Q_n(x,y,a)=a^nyP_n(x/a, 1, y/a, 1)$ est un polyn\^ome 
en $x$, $y$ et $a$, et satisfait 
$Q_n(x,y,0)=\Omega(yP_n(x, 1, y, 1))$. D'o\`u la formule d'apr\`es 
(3.1) et le Th\'eor\`eme 3. \qed
\medskip

A leur tour on d\'eduit du Th\'eor\`eme 6 les interpr\'etations
combinatoires suivantes, qui mettent en \'evidence la sym\'etrie
en $x,\, y$ de $A_n(x,y)$.

\th Corollaire 9
\enonce Nous avons
$$\eqalign{
A_n(x,y)&=\sum_{{F\in\E_{2n}\atop \m F=n-1}}x^{\mp F+1}y^{\mi F+1}
=\sum_{{F\in\E_{2n}\atop \m F=n-1}}x^{\mi F+1}y^{\mp F+1}\cr
&=\sum_{{F\in\E_{2n}\atop \f F=n-1}}x^{\fnd F+1}y^{\fd F+1}
=\sum_{{F\in\E_{2n}\atop \s F=n-1}}x^{\snd F+1}y^{\sd F+1}\cr
}$$
\endth
\medskip
Soit $\Inj (n)$ l'ensemble des 
injections $g$ de
$[n]$ dans $[2n]$ telles que $g(j)\le 2j$ pour tout $j\in [n]$.
Pour $g\in \Inj (n)$, notons $\pa(g)$ (\resp. $\imp(g)$) le nombre des entiers
$j\in [n]$ tels que $g(j)$ soit pair (\resp. impair).

\th Proposition 10
\enonce Nous avons
$$
A_n(x,y)=\sum_{g\in \Inj (n-1)}x^{\pa(g)+1}y^{\imp(g)+1}. 
$$
\endth
\demonstration Soit  $\E'_{2n}$ l'ensemble des escaliers $F$ tels que
$\m F=n-1$. On va construire une bijection entre $\Inj (n-1)$ 
et $\E'_{2n}$.
Etant donn\'e $g\in \Inj (n-1)$, on d\'efinit son image $F=\{(k,f(k))\}$
de la mani\`ere suivante. Pour tout $k\in [2n]$, 
s'il existe $j\in [n-1]$ 
tel que $g(j)=k$, on d\'efinit $f(k)=2j$, sinon on pose $f(k)=2n$.
D'une part, comme $g(j)\le 2j$ pour tout $j\in [n-1]$, $f(k)\ge k$
pour tout $k\in [2n]$. D'autre part, il y a $pair(g)$ entiers pairs
$j$ tels que $g(j)$ pair et $impair(g)$ entiers impairs
$j$ tels que $g(j)$ impair, donc $\mp F=n-1-\pa(g)=\imp(g)$ et
$\mi F=n-1-\imp(g)=\pa(g)$. On v\'erifie facilement
que c'est bien une application bijective de
$\Inj (n-1)$ sur $\E'_{2n}$.  
D'o\`u le r\'esultat en vertu du Corollaire 9. \qed
\medskip

Soit $E_n$ l'ensemble des applications exc\'edantes $f$
de $[n]$ dans $[n]$, \ie, $f(k)\ge k$ pour tout $k\in [n]$.
On note $\car f$ le cardinal de l'ensemble $f([n])$.
On peut aussi interpr\'eter $A_n(x,y)$ en terme d'applications
exc\'edantes.

\th Proposition 11
\enonce Nous avons
$$
A_n(x,y)=\sum_{f\in E_n}x^{\car f}y^{n-\car f+1}
$$
\endth
\demonstration D'apr\`es le corollaire 11,
$$
A_n(x,y)=\sum_{{F\in\E_{2n}\atop \f F=n-1}}
x^{\fnd F+1}y^{\fd F+1}.
$$

Soit donc $F\in \E_{2n}$ tel que $\f F=n-1$. Supprimons 
toutes les colonnes paires o\`u seules les cases 
$(2,2), (4,4),\ldots, (2n,2n)$ ne sont pas vides. La trace de $F$
sur les cases restantes, apr\`es renum\'erotage des colonnes
restantes et lignes par $1, 2,\ldots, n$, constitue le graphe
d'une application exc\'edante $g$ (non necessairement surjective)
de $[n]$. L'application $F\rightarrow g$ est bien une bijection
de $\E_{2n}$ sur $E_n$ telle qu'
 une ligne vide de $g$ correspond \`a  un point fixe non
doubl\'e de $F$. D'o\`u le r\'esultat. \qed
\medskip

Appelons {\it involutions bipartites} de $[2n]$ 
les involutions sans point fixe de $[2n]$ dont
chaque cycle est compos\'e de deux entiers de parit\'es
diff\'erentes. 
Notons $Invbip(2n)$ 
l'ensemble de telles involutions. Soit $\sigma\in Invbip(2n)$,
une valeur $x\in [2n]$ est dit {\sl pic de cycle} de $\sigma$
si $\sigma ^{-1}(x)<x>\sigma (x)$.
Nous notons $i(\sigma)$ (\resp. $p(\sigma)$) le nombre
de pics de cycle impairs (\resp. pairs) de $\sigma$.
\pc Dumont| [Du2] a montr\'e que $A_n(x,y)\, (n\geq 1)$ sont des
polyn\^omes g\'en\'erateurs des $Invbip(2n)$
 selon leurs nombres de pics de cycle pairs et impairs, \ie.,  
$$
A_n(x,y)=\sum_{\sigma\in
Invbip(2n)}x^{\p(\sigma)}y^{\im(\sigma)+1}. \leqno (3.3) 
$$

Par abus de langage, nous identifions dans la suite un escalier
et son application correspondante.
  
\th Proposition 12 
\enonce
Il existe une bijection entre $\E'_{2n}$ et $Invbip(2n)$ telle que
$$
\system{
\mp F+1&=& \p(\varphi(F))\cr
\mi F+1&=& \im(\varphi(F))+1.\cr
}$$
\endth
\demonstration 
Pour tout $F\in\E'_{2n}$, notons $F_i$ la restriction de $F$
\`a [2i] pour $i=1,2,\ldots,n$, c'est-\`a-dire, pour $1\le k\le
2i$, $F_i(k)=\inf\{F(k),2i\}$. Signalons tout d'abord que, pour $1\le j<i\le n$,
$2j$ n'a qu'un seul ant\'ec\'edent par $F_i$ que nous notons $F_i^{-1}(2j)$.
 Nous allons construire
successivement par r\'ecurrence la suite
 $(\varphi(F_i))\, (1\leq i\leq n)$ de sorte que $\varphi(F_i)$
satisfait la relation suivante pour $1\leq i\leq n$ :
$$
\system{
\mp (F_i)+1&=& \p(\varphi(F_i))\cr
\mi (F_i)+1&=& \im(\varphi(F_i))+1\cr
}\leqno (3.4)
$$
On d\'efinit d'abord $\varphi(F_1)=(1,2)$ et, pour $i=1,2,\ldots,n$, si
$k=F_{i+1}^{-1}(2i)$ est un pic de cycle impair (resp. pair) de
$\varphi(F_i)$, alors $\varphi(F_{i+1})$ se d\'eduit de $\varphi(F_i)$ en 
supprimant le cycle $(k',k)$ et en le rempla\c cant par les deux 
cycles $(k',2i+1)$ et $(k,2i+2)$ (resp. $(k',2i+2)$ et $(k,2i+1)$);
sinon on ajoute le cycle $(2i+1,2i+2)$.
Il est clair que l'application $\varphi$ ainsi d\'efinie v\'erifie la relation (3.4).
Montrons que c'est bien une bijection de
$\E'_{2n}$ sur $Invbip(2n)$. Pour cela, soit $\sigma\in Invbip(2n)$ et, pour
$i=1,2,\ldots,n-1$, $\sigma_i$ sa restriction \`a [2i], c'est-\`a-dire, si
$(2i+1,2i+2)$ (resp. $(k,2i+1)$ et $(k',2i+2)$) est un cycle (resp. sont des
cycles) de $\sigma_{i+1}$, alors $\sigma_i$ se d\'eduit de celle-ci en supprimant
ce cycle (resp. en  supprimant ces 
cycles puis en les rempla\c cant par $(k,k')$). 
On construit la suite d'escaliers $(F_1, F_2, \ldots, F_n)$
comme suit :\par
(i) $F_1=\pmatrix{1&2\cr 2&2\cr}$,\par
(ii) $F_{i+1}^{-1}(2j)=F_i^{-1}(2j)$ pour $1\le j<i\le n-1$,\par
(iii) si $(k,2i+1)$ et $(k',2i+2)$ sont des cycles de
$\sigma_{i+1}$, $F_{i+1}^{-1}(2i)=\sup\{k,k'\}$,\par
(iv) si $(2i+1,2i+2)$ est un cycle  de $\sigma_{i+1}$,
 $F_{i+1}^{-1}(2i)$ est le seul \'el\'ement de $[2i]$
diff\'erent de $F_i^{-1}(2j)$ $(j=1,2,\ldots,i-1)$ et qui  n'est
pas un pic de $\sigma_i$,\par
(v) Pour tout $j\neq F_{i+1}^{-1}(2k)$ quel que soit $k\le i$,
$F_{i+1}(j)=2i+2$.\par

L'application $\sigma \rightarrow F=F_n$
ainsi d\'efinie est clairement l'inverse de $\varphi$. \qed
\medskip
\exemple 
Soit l'escalier (ou application) sur $[10]$  
\setbox6=\hbox{$\pmatrix{1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\cr
8&2&10&4&10&6&10&10&10&10\cr}$}
$$
F=\box6,
$$
le d\'eroulement de la bijection $\varphi$ est d\'ecrit dans le
tableau suivant : 
\setbox5=\hbox{$\pmatrix{1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\cr
8&2&10&4&10&6&10&10&10&10\cr}$}
\setbox4=\hbox{$\pmatrix{1&2&3&4&5&6&7&8\cr
8&2&8&4&8&6&8&8\cr}$}
\setbox3=\hbox{$\pmatrix{1&2&3&4&5&6\cr
6&2&6&4&6&6\cr}$}
\setbox2=\hbox{$\pmatrix{1&2&3&4\cr
4&2&4&4\cr}$}
\setbox1=\hbox{$\pmatrix{1&2\cr
2&2\cr}$}
\def\tvi{\vrule height 16pt depth 9pt width 0pt}
\def\tv{\tvi\vrule}
$${\eightpoint\tableau\preambuleIItv[5pt]
\th
i&F_i&\varphi(F_i)\cr\th
1&\box1& (1,2)\cr\th
2&\box2&(1,4)(2,3)\cr\th
3&\box3&(1,6)(2,3)(4,5)\cr\th
4&\box4&(1,8)(2,3)(4,5)(6,7)\cr\th
5&\box5&(1,8)(2,3)(4,5)(6,7)(9,10)\cr\th
\endtableau
}$$
\medskip
Nous trouvons alors $\varphi(F)=(1,8)(2,3)(4,5)(6,7)(9,10)$.



\sectiona
4. Nombres d'Euler et de Genocchi
\endsection
Posons, pour tout $n\ge 1$,
$$
B_n(x,y)=x^{-1}P_n(x,1, y, 1).
$$
La r\'ecurrence (1.2) devient alors
$$
\system {
B_1(x,y)&=&1,\cr
B_n(x,y)&=&(x+1)(y+1)B_{n-1}(x+1,y+1)-
xyB_{n-1}(x,y).\cr
}\leqno (4.1)
$$
Ces polyn\^omes ont \'et\'e \'etudi\'es par \pc Dumont| et \pc Randrianarivony|
dans [Du-Ra] comme une extension
commune des nombres de Genocchi et des 
nombres de Genocchi m\'edians en ce sens que
$$
G_{2n}=B_n(1,1), \qquad H_{2n-1}=B_n(0,1) \qquad (n\ge 1).
$$


D'apr\`es le Th\'eor\`eme 3 nous retrouvons imm\'ediatement
le r\'esultat suivant de [Du-Ra].
\th Proposition 13
\enonce Nous avons
$$
1+x\sum_{n\ge 1}B_n(x,y)t^n={1\over\displaystyle 1-
{\strut 1xt\over\displaystyle 1-
{\strut 1(y+1)t\over\displaystyle 1-
{\strut 2(x+1)t\over\displaystyle 1-
{\strut 2(y+2)t\over\displaystyle 1- 
{\strut 3(x+2)t\over\displaystyle 1-
{\strut 3(y+3)t\over\displaystyle\ddots 
}}}}}}}\cdot
$$
\endth

D'autre
part, le Th\'eor\`eme 6, nous retrouvons imm\'ediatement

\th Proposition 14
\enonce On a les interpr\'etations combinatoires suivantes :
$$\eqalign{
B_n(x,y)&=\sum_{F\in \E_{2n+2}^*}x^{\mp F-1}y^{\mi F}\cr
&=\sum_{F\in \E_{2n}}x^{\mp F}y^{\mi F}
=\sum_{F\in \E_{2n}}x^{\mi F}y^{\mp F}.\cr
}$$
\endth

\medskip
Posons, pour $n\ge 0$,
$$
C_n(x,y)=2^{2n}P_n\left({x\over 2}\virg {1\over 2}\virg 
{y\over 2}\virg {1\over 2}\right)\virg
$$
la relation de r\'ecurrence (1.2) se r\'eduit alors
$$
\system {
C_0(x,y)&=&1,\cr
C_n(x,y)&=&x(y+1)C_{n-1}(x+2,y+2)-
xyC_{n-1}(x,y).\cr
}\leqno (4.2)
$$
Ces polyn\^omes $C_n(x,y)$ ont \'et\'e introduits
par les deux auteurs
dans [Ra-Ze] comme une extension des nombres d'Euler $E_n$. 
Nous avons d\'emontr\'e que
$$
C_n(1,1)=E_{2n}, \qquad C_n(2,2)=E_{2n+1}.\leqno (4.3)
$$

Le r\'esultat suivant, d\'ej\`a \'etabli dans [Ra-Ze], se d\'eduit du Th\'eor\`eme 4.
\th Proposition 15
\enonce Nous avons 
$$
\sum_{n\ge 0}C_n(x,y)t^n={1\over\displaystyle 1-
{\strut 1xt\over\displaystyle 1-
{\strut 2(y+1)t\over\displaystyle 1-
{\strut 3(x+2)t\over\displaystyle 1-
{\strut 4(y+3)t\over\displaystyle 1- 
{\strut 5(x+4)t\over\displaystyle 1-
{\strut 6(y+5)t\over\displaystyle\ddots 
}}}}}}}\cdot
$$
\endth

De m\^eme on peut d\'eduire du Th\'eor\`eme 6 des interpr\'etations en termes d'escaliers
de $C_n(x,y)$. Pour ce faire, on pose, pour tout escalier $F$ sur $[2n]$,
$$\eqalign{
\nf F&=2n-2-\f F, &\ns F&=2n-2-\s F,\cr
\nmf F&=2n-2-\m F-\f F,  &\nms F&=2n-2-\m F-\s F.\cr
}$$

\th Proposition 16
\enonce On a :
$$\eqalign {
C_n(x,y)&=\sum_{F\in \E_{2n+2}^*}2^{\nms F}x^{\mp F}
y^{\mi F}\cr
&=\sum_{F\in \E_{2n}}2^{\nms F}x^{\mp F+1}y^{\mi F}\cr
&=\sum_{F\in \E_{2n}}2^{\nmf F}x^{\mi F+1}y^{\mp F}.\cr
}$$
\endth

En tenant compte de (4.3), on a :
\th Corollaire 17
\enonce On a :
$$\eqalign {
E_{2n}=&\sum_{F\in \E_{2n+2}^*}2^{\nms F}
=\sum_{F\in \E_{2n}}2^{\nms F}
=\sum_{F\in \E_{2n}}2^{\nmf F},\cr
E_{2n+1}&=\sum_{F\in \E_{2n+2}^*}2^{\ns F-2}
=\sum_{F\in \E_{2n}}2^{\ns F-1}
=\sum_{F\in \E_{2n}}2^{\nf F-1}.\cr
}$$
\endth

Dans [Ra-Ze], nous avons donn\'e une interpr\'etation
en termes de {\sl records pairs} et {\sl records impairs}
de permutations alternantes sur $[2n]$ pour les polyn\^omes
$C_n(x,y)$. Le probl\`eme ouvert est de trouver une bijection
entre cette interpr\'etation et celle de la Proposition 16.
\sectiona
5. Matrices de Seidel
\endsection
Une matrice infinie $(a_{n,k})_{n,k\ge 0}$ est dite matrice de Seidel 
si les coefficients satisfont la r\'ecurrence :
$$ 
a_{n+1,k}=a_{n,k}+a_{n,k+1}. 
$$
La suite $\{a_{0,n}\}_{n\ge 0}$ (resp. $\{a_{n,0}\}_{n\ge 0}$) 
est appel\'ee suite initiale (resp. finale) de la matrice de 
Seidel. Il est clair qu'une matrice de Seidel est enti\`erement
d\'etermin\'ee par sa suite initiale ou finale.

\th Lemme 18
\enonce  Si $a(t)$ (resp. $\bar a(t)$) est 
la fonction g\'en\'eratrice
ordinaire de la suite initiale 
(resp. finale) d'une matrice de Seidel, alors :
$$
a(t)={1\over 1+t}\bar a({t\over 1+t})\qquad \hbox{ou} \qquad
\bar a(t)={1\over 1-t}a({t\over 1-t})\cdot\leqno (5.1)
$$ 
De plus, si $\bar a(t)$ admet le 
d\'eveloppement en fraction continue formelle
$$
\bar a(t)={1\over\displaystyle 1-
{\strut c_1t\over\displaystyle 1-
{\strut c_2t\over\displaystyle 1-
{\strut c_3t\over\displaystyle 1-
{\strut c_4t\over\displaystyle\ddots
}}}}}\virg
$$
alors $a(t)$ a le d\'eveloppement en fraction continue 
formelle suivant :
$$
a(t)={1\over\displaystyle 1+t-
{\strut c_1t\over\displaystyle 1-
{\strut c_2t\over\displaystyle 1+t-
{\strut c_3t\over\displaystyle 1-
{\strut c_4t\over\displaystyle\ddots
}}}}}\cdot
$$
\endth
\demonstration La premi\`ere partie est classique,
voir par exemple [Du2]. La seconde partie est une cons\'equence
imm\'ediate de (5.1). \qed
\medskip

Dans ce qui suit, on adopte les notations vectorielles :
$$
{\bf x}=(x_1,x_2,\ldots,x_p)\qquad \textstyle {et}\qquad {\bf a}=(a_1,a_2,\ldots,a_p).
$$

\th Proposition 19
\enonce Si la suite finale $\{\bar a_n({\bf x})\}_{n\ge 0}$ 
d'une matrice de Seidel satisfait la r\'ecurrence, ${\bf a}$ \'etant fixe :
$$\system{
\bar a_0({\bf x})=1,&&\cr
\bar a_n({\bf x})=\alpha&({\bf x})
\bar a_{n-1}({\bf x}+{\bf a})+\beta ({\bf x})\bar a_{n-1}({\bf x}).\cr
}\leqno (5.2)
$$
Alors la suite initiale $\{a_n({\bf x})\}_{n\ge 0}$ 
satisfait la r\'ecurrence
$$
\system{
a_0({\bf x})=1,&&\cr
a_n({\bf x})=\alpha &({\bf x})
a_{n-1}({\bf x}+{\bf a})+[\beta ({\bf x})-1]a_{n-1}({\bf x}).\cr
}\leqno (5.3)
$$
\endth
\demonstration 
Soient $a({\bf x};t)=
\sum_{n\ge 0}a_n({\bf x})t^n$ et
$\bar a({\bf x};t)=
\sum_{n\ge 0}\bar a_n({\bf x})t^n$ 
les s\'eries g\'en\'eratrices
ordinaires des $a_n({\bf x})$ et 
$\bar a_n({\bf x})$. 
La relation (5.2) entra\^\i ne alors que
$$
\bar a({\bf x};t)=1+\alpha ({\bf x})t
\bar a({\bf x}+{\bf a};t)+\beta ({\bf x})t\bar a({\bf x};t).
$$
En substituant $t$ par $t/(1+t)$ dans l'identit\'e ci-dessus et en la
multipliant par $1/(1+t)$, on a d'apr\`es le Lemme 20 :
$$
a({\bf x};t)=1+\alpha ({\bf x})
ta({\bf x}+{\bf a};t)+[\beta ({\bf x})+1]ta({\bf x};t).
$$
On obtient la r\'ecurrence (5.3) 
en identifiant les coefficients de $t^n$ 
dans les deux membres de la derni\`ere identit\'e. \qed
\medskip
De m\^eme, on obtient la proposition suivante :
\th Proposition 20
\enonce Si la suite initiale $\{a_n({\bf x})\}_{n\ge 0}$ 
d'une matrice de Seidel satisfait la r\'ecurrence :
$$
\system{
a_0({\bf x})=1,&&\cr
a_n({\bf x})=\alpha &({\bf x})
a_{n-1}({\bf x}+{\bf a})+\beta ({\bf x})a_{n-1}({\bf x}).\cr
}\leqno (5.4)
$$
Alors la suite finale $\{\bar a_n({\bf x})\}_{n\ge 0}$ 
satisfait la r\'ecurrence
$$\system{
\bar a_0({\bf x})=1,&&\cr
\bar a_n({\bf x})=\alpha &({\bf x})
\bar a_{n-1}({\bf x}+{\bf a})+[\beta ({\bf x})+1]\bar a_{n-1}({\bf x}).\cr
}\leqno (5.5)
$$
\endth
\medskip
\th Proposition 21
\enonce Si une matrice de Seidel a pour suite initiale
(resp. finale) $\{\alpha^nP_n(x,y,\bar x,\bar y)\}_{n\ge 0}$, 
$\alpha$ \'etant un nombre fixe, alors sa suite finale (resp. initiale) est
$\{\alpha^n\Gamma_{n+1}(x-a,\bar y+b,0,\bar x-b,y,a)\}_{n\ge 0}$
avec $ab\alpha=+1$ (resp. $ab\alpha=-1$)
\endth

\demonstration Posons $a_n(x,y,\bar x,\bar y)=\alpha^nP_n(x,y,\bar x,\bar y)$.
D'apr\`es (1.2), les polyn\^omes $a_n(x,y,\bar x,\bar y)$ sont d\'efinis
par la r\'ecurrence :
$$
\system {
a_0(x,y, \bar x, \bar y)=1,&&\cr
a_n(x,y, \bar x, \bar y)=\alpha x&(\bar x+\bar y)
a_{n-1}(x+1,&y, \bar x+1, \bar y)\cr
&&-\alpha x(\bar x+\bar y-y)a_{n-1}(x,y, \bar x, \bar y).\cr
}\leqno (5.6)
$$
Donc, d'apr\`es la proposition pr\'ec\'edente, sa suite finale 
$\{\bar a_n(x,y,\bar x,\bar y)\}$ est d\'efinie par :
$$
\system {
\bar a_0(x,y, \bar x, \bar y)=1,&&\cr
\bar a_n(x,y, \bar x, \bar y)=\alpha x&(\bar x+\bar y)
&\bar a_{n-1}(x+1,y, \bar x+1, \bar y)\cr
&&-\alpha [x(\bar x+\bar y-y)-1/\alpha]\bar a_{n-1}(x,y, \bar x, \bar y).\cr
}\leqno (5.7)
$$
Or, en appliquant (2.6), la suite $\{\alpha^n\Gamma_{n+1}(x-a,\bar y+b,0,
\bar x-b,y,a)\}_{n\ge 0}$ avec $ab\alpha=+1$ v\'erifie bien la r\'ecurrence (5.7). 
On fait la m\^eme d\'emonstration pour l'autre. \qed
\medskip

On en d\'eduit en particulier le r\'esultat suivant. 

\th Corollaire 22
\enonce On note $\{a_n(x,y)\}_{n\ge 0}$ et $\{\bar a_n(x,y)\}_{n\ge 0}$ 
les suites initiale et finale d'une matrice de Seidel.
$$\eqalign{
\hbox{Si}\hskip 2mm a_n(x,y)&=xB_n(x,y),\hskip 1.5mm\hbox{alors}\hskip 2mm \bar a_n(x,y)=\Gamma_{n+1}(x-1,2,0,
y-1,1,1) ;\cr
\hbox{si}\hskip 2mm \bar a_n(x,y)&=xB_n(x,y), \hskip 1.5mm\hbox{alors}\hskip 2mm a_n(x,y)=\Gamma_{n+1}(x-1,0,0,
y+1,1,1) ;\cr
\hbox{si}\hskip 2mm a_n(x,y)&=C_n(x,y),\hskip 1.5mm\hbox{alors}\hskip 2mm \bar a_n(x,y)=2^{2n}\Gamma_{n+1}({x-1\over 2},1,0,
{y-1\over 2},{1\over 2},{1\over 2}) ;\cr
\hbox{si}\hskip 2mm \bar a_n(x,y)&=C_n(x,y),\hskip 1.5mm\hbox{alors}
\hskip 2mm a_n(x,y)=2^{2n}\Gamma_{n+1}({x-1\over 2},1,0,
{y+1\over 2},{1\over 2},{1\over 2}).\cr
}$$
\endth
\medskip
En particulier, on constate que
si la suite finale d'une matrice de Seidel est 
$\{H_{2n-1}\}_{n\ge 0}$ avec $H_{-1}=1$, 
alors la suite initiale d\'enombre
les escaliers $F$ tels que $\mi F=\fd F=\snd F=0$.

\sectiona
6. Nombres d'Euler m\'edians
\endsection
Prenons comme suite initiale d'une matrice de Seidel 
celle d\'efinie par :
$$
a_0=0,\qquad a_{2n-1}=
(-1)^{n-1}E_{2n-1},\qquad
a_{2n}=(-1)^nE_{2n},
$$
alors la matrice $(a_{n,k})_{n,k\ge 0}$ est
$$\matrix{
0& 1& -1& -2& 5& 16& -61& -272&\cdots\cr
1& 0& -3& 3& 21& -45& -333&\cdots &\cr
1& -3& 0& 24& -24& -378&\cdots &&\cr
-2& -3& 24& 0& -402&\cdots &&&\cr
-5& 21& 24& -402&\cdots &&&&\cr
16& 45& -378&\cdots &&&&&\cr
61& -333&\cdots &&&&&&\cr
-272&\cdots &&&&&&&}
$$

Si l'on prend comme suite initiale d'une matrice de Seidel
celle d\'efinie par :
$$
b_0=0,\qquad b_{2n-1}=
(-1)^{n-1}E_{2n-1},\qquad
b_{2n}=(-1)^{n-1}E_{2n},
$$
alors la matrice de Seidel correspondante $(b_{n,k})_{n,k\ge 0}$ est
$$\matrix{
0& 1& 1& -2& -5& 16& 61& -272&\cdots\cr
1& 2& -1& -7& 11& 77& -211& \cdots &\cr
3& 1& -8& 4& 88& -134& \cdots &&\cr
4& 7& -4& 92& -46& \cdots &&&\cr
-3& -11& 88& 46& \cdots &&&&\cr
-14& 77& 134& \cdots &&&&&\cr
63& 211& \cdots &&&&&&\cr
274& \cdots &&&&&&&\cr}$$

Inspir\'e par les travaux d'\pc Arnold| [Ar], 
\pc Dumont| [Du2] a r\'ecemment d\'efini les nombres
d'Euler m\'edians
$L_n$ et $R_n$ comme les coefficients qui se trouvent dans 
les surdiagonaux de ces deux matrices de Seidel plus haut, \ie., 
$$
R_n=(-1)^na_{n,n+1}, \qquad L_n=(-1)^nb_{n,n+1}.
$$

Le r\'esultat suivant est d\^u \`a \pd Dumont [Du4].
\th Th\'eor\`eme 23
\enonce On a les d\'eveloppements en fractions continues 
formelles suivants :
$$\displaylines{
\sum_{n\ge 0}L_nt^n=1+t+4t^2+46t^3+\cdots=
{1\over\displaystyle 1-
{\strut 1\cdot 1t\over\displaystyle 1-
{\strut 1\cdot 3t\over\displaystyle 1-
{\strut 2\cdot 5t\over\displaystyle 1-
{\strut 2\cdot 7t\over\displaystyle 1- 
{\strut 3\cdot 9t\over\displaystyle 1-
{\strut 3\cdot 11t\over\displaystyle \ddots
}}}}}}}\virg\cr
\sum_{n\ge 0}R_nt^n=1+3t+24t^2+402t^3+\cdots=
{1\over\displaystyle 1-
{\strut 1\cdot 3t\over\displaystyle 1-
{\strut 1\cdot 5t\over\displaystyle 1-
{\strut 2\cdot 7t\over\displaystyle 1-
{\strut 2\cdot 9t\over\displaystyle 1- 
{\strut 3\cdot 11t\over\displaystyle 1-
{\strut 3\cdot 13t\over\displaystyle \ddots
}}}}}}}\cdot\cr
}$$
\endth

Nous allons montrer dans la suite que 
les polyn\^omes $D_n(x)$ d\'efinis par :

$$
D_n(x)=2^{2n}P_n\left({x+1\over 2}\virg 1\virg
{x+1\over 2}\virg {1\over 2}\right),\qquad (n\ge 0). \leqno (6.1)
$$ 

sont une extension des nombres d'Euler m\'edians. 

De la relation (1.1) on d\'eduit la relation de r\'ecurrence :
$$\system{
D_0(x)&=&1,\cr
D_n(x)&=&(x+1)(x+2)D_{n-1}(x+2)-x(x+1)D_{n-1}(x).\cr
}\leqno (6.2)$$
Les premi\`eres valeurs de ces polyn\^omes sont :
$$\eqalign{
D_0(x)&=1,\cr
D_1(x)&=2(x+1),\cr
D_2(x)&=4(x+1)(2x+3),\cr
D_3(x)&=8(x+1)(6x^2+22x+21).\hskip 3cm\cr
}$$
On voit ais\'ement que $D_n(x)$ est un polyn\^ome
\`a c\oe fficients entiers positifs et divisible par $2^n(x+1)$
dans ${\bf Z}[x]$. On d\'eduit aussi de la Proposition 2 
le r\'esultat suivant.
\th Proposition 24
\enonce On a
$$
\eqalign{
\sum_{n\geq 0}D_n(x)t^n&={1\over 1+x(x+1)t} +{(x+1)(x+2)t
\over (1+x(x+1)t)(1+(x+2)(x+3)t)}+\cdots \cr
&=\sum_{n\geq 0}{(x+1)_{2n}t^n\over 
\prod_{k=0}^n [1+(x+2k)(x+2k+1)t]}\cdot\cr
}$$
\endth

Du Th\'eor\`eme 3 on d\'eduit le 
d\'eveloppement en fraction continue 
formelle de la s\'erie g\'en\'eratrice ordinaire 
des polyn\^omes $D_n(x)$ suivant. 

\th Th\'eor\`eme 25
\enonce On a
$$ 
\sum_{n\geq 0}D_n(x)t^n={1\over\displaystyle 1-
{\strut 2(x+1)t\over\displaystyle 1-
{\strut 2(x+2)t\over\displaystyle 1-
{\strut 4(x+3)t\over\displaystyle 1-
{\strut 4(x+4)t\over\displaystyle\ddots 
}}}}}\cdot
$$
\endth

Enfin le Th\'eor\`eme 6 implique les interpr\'etations suivantes
pour les polyn\^omes $D_n(x)$.
\th Proposition 26
\enonce On a :
$$\eqalign {
D_n(x)&=\sum_{F\in \E_{2n+2}^*}2^{2n-\m F-\sd F}(x+1)^{\m F}\cr
&=\sum_{F\in \E_{2n}}2^{2n-1-\m F-\fd F}(x+1)^{\m F+1}\cr
&=\sum_{F\in \E_{2n}}2^{2n-1-\m F-\sd F}(x+1)^{\m F+1}.\cr
}$$
\endth
\th Th\'eor\`eme 27
\enonce On a, pour tout $n\ge 0$ :
$$
D_n(-{1\over2})=L_n, \qquad D_n({1\over2})=R_n.
$$
\endth
\demonstration Si l'on substitue $x$ par $-1/2$ et $1/2$
respectivement dans le Th\'eor\`eme 25, on trouve les m\^emes
fractions continues du Th\'eor\`eme 23. \qed 
\medskip

Nous constatons que les nombres d'Euler m\'edians sont
deux sp\'ecialisations des polyn\^omes $D_n(x)$. En sp\'ecialisant
 les polyn\^omes $D_n(x)$ de fa\c con diff\'erente, nous pouvons obtenir
d'autres suites d'entiers positifs. Par exemple, posons
$$
l_n=2^{-n}D_n(0)\qquad r_n=2^{-n}D_n(1) \qquad n\ge 0,
$$ 
alors le Th\'eor\`eme 25 implique les d\'eveloppements en fractions continues
suivants.
\th Th\'eor\`eme 28
\enonce Nous avons
$$ \displaylines{
\sum_{n\ge 0}l_nt^n=1+t+3t^2+21t^3+\cdots=
{1\over\displaystyle 1-
{\strut 1\cdot 1t\over\displaystyle 1-
{\strut 1\cdot 2t\over\displaystyle 1-
{\strut 2\cdot 3t\over\displaystyle 1-
{\strut 2\cdot 4t\over\displaystyle 1- 
{\strut 3\cdot 5t\over\displaystyle 1-
{\strut 3\cdot 6t\over\displaystyle \ddots
}}}}}}}\virg\cr
\sum_{n\ge 0}r_nt^n=1+2t+10t^2+98t^3+\cdots=
{1\over\displaystyle 1-
{\strut 1\cdot 2t\over\displaystyle 1-
{\strut 1\cdot 3t\over\displaystyle 1-
{\strut 2\cdot 4t\over\displaystyle 1-
{\strut 2\cdot 5t\over\displaystyle 1- 
{\strut 3\cdot 6t\over\displaystyle 1-
{\strut 3\cdot 7t\over\displaystyle \ddots
}}}}}}}\cdot\cr
}$$
\endth

D'apr\`es les fractions continues dans les Th\'eor\`emes 23 et 28, 
il semble que les nombres $l_n$ et $r_n$
doivent avoir des propri\'et\'es voisines 
des nombres d'Euler m\'edians.


De la Proposition 26 on obtient les interpr\'etations suivantes.

\th Proposition 29
\enonce Nous avons
$$\eqalign {
L_n&=\sum_{F\in \E_{2n+2}^*}2^{2(n-\m F)-\sd F}
=\sum_{F\in \E_{2n}}2^{2(n-1-\m F)-\sd F},\cr
R_n&=\sum_{F\in \E_{2n+2}^*}2^{2(n-\m F)-\sd F}3^{\m F}
=\sum_{F\in \E_{2n}}2^{2(n-1-\m F)-\sd F}3^{\m F}.\cr
}$$
\endth

On voit que les exposants de 2 dans 
la proposition ci-dessus sont tous positifs ou nuls. Par cons\'equent, 
les nombres $L_n$ et $R_n$ sont des entiers $\ge 1$.
D'autre part, en appliquant la Proposition 1 avec  $t=1/2$, on a aussi :

\th Proposition 30
\enonce On a 
$$\eqalign {
L_n&=\sum_{F\in \E_{2n+2}^*}(-1)^{\mi F}4^{n-\m F}
=\sum_{F\in \E_{2n}}(-1)^{\mi F}4^{n-1-\m F},\cr
R_n&=\sum_{F\in \E_{2n+2}^*}3^{\mp F}4^{n-\m F}
=\sum_{F\in \E_{2n}}3^{\mp F+1}4^{n-1-\m F}.\cr
}$$
\endth

On d\'eduit \'egalement de la Proposition 26 le r\'esultat suivant.
\th Th\'eor\`eme 31
\enonce On a
$$\eqalign {
l_n&=\sum_{F\in \E_{2n+2}^*}2^{n-\m F-\sd F}
=\sum_{F\in \E_{2n}}2^{n-1-\m F-\fd F}
=\sum_{F\in \E_{2n}}2^{n-1-\m F-\sd F},\cr
r_n&=\sum_{F\in \E_{2n+2}^*}2^{n-\sd F}
=\sum_{F\in \E_{2n}}2^{n-\fd F}
=\sum_{F\in \E_{2n}}2^{n-\sd F}\cr
}$$
\endth

D'autre part, compte tenu de (6.1), du Th\'eor\`eme 8 et de la
Proposition 1 avec $t=-1/2$ et $1/2$, on obtient le r\'esultat
suivant. 

\th Th\'eor\`eme 32
\enonce On a
$$
l_n=\sum_{{F\in \E_{2n}\atop \fd F=0}}2^{n-1-\mi F},\qquad
r_n=\sum_{F\in \E_{2n}}2^{n-\mp F}.
$$
\endth

On voit que $l_n$ est impair et $r_n$ pair pour tout $n\ge 1$.
\sectiona
7. Nombres de Springer
\endsection
Consid\'erons la matrice de Seidel ayant $\{2^{2n}D_n(x)\}$ comme 
suite finale. D'apr\`es la Proposition 19 et les relations (6.1) et (6.2), 
sa suite initiale $\{S_n(x)\}_{n\ge 0}$ est 
d\'efinie par la r\'ecurrence :
$$
\system{
S_0(x)&=&1,\cr
S_n(x)&=&(2x+2)(2x+4)S_{n-1}(x+2)-(2x+1)^2S_{n-1}(x).\cr
}\leqno (7.1)$$
Les premi\`eres valeurs de ces polyn\^omes sont :
$$\eqalign{
S_0(x)&=1,\cr
S_1(x)&=8x+7,\cr
S_2(x)&=128x^2+304x+177,\cr
S_3(x)&=3072x^3+13952x^2+21080x+10199.\cr
}$$

En faisant une d\'emonstration analogue \`a celle de 
la Proposition 2,
on obtient la repr\'esentation suivante.
\th Proposition 33
\enonce On a
$$
\sum_{n\geq 0}S_n(x)t^n=\sum_{n\geq 0}{2^{2n}(x+1)_{2n}t^n\over 
\prod_{k=0}^n [1+\bigl(1+(2x+4k)(2x+4k+2)\bigr)t]}\cdot
$$
\endth

Le th\'eor\`eme suivant se d\'eduit du Th\'eor\`eme 27
 et du Lemme 18.
\th Th\'eor\`eme 34
\enonce La s\'erie g\'en\'eratrice ordinaire des polyn\^omes $S_n(x)$
admet le d\'eveloppement en fraction continue
$$ 
\sum_{n\geq 0}S_n(x)t^n={1\over\displaystyle 1+t-
{\strut 4\cdot 2(x+1)t\over\displaystyle 1-
{\strut 4\cdot 2(x+2)t\over\displaystyle 1+t-
{\strut 4\cdot 4(x+3)t\over\displaystyle 1-
{\strut 4\cdot 4(x+4)t\over\displaystyle\ddots 
}}}}}\cdot
$$
\endth
 
Comme dans le cas des $D_n(x)$, on peut aussi interpr\'eter les
$S_n(x)$.
\th Th\'eor\`eme 35
\enonce On a
$$
S_n(x)=\sum_{F\in \E_{2n+2}}3^{\f F}4^{\nmfs F}
(2x+1)^{\m F}.
$$
\endth
\demonstration  Il est facile de montrer que les polyn\^omes
$$
4^{2n}\Gamma_{n+1}({2x+1\over 4}, {3\over 4}, {1\over 4},
{2x+1\over 4}, {3\over 4}, {1\over 4})
$$
v\'erifient la r\'ecurrence (7.1). Le Theor\`eme 35 en r\'esulte. \qed


\th Proposition 36 (Dumont [Du2])
\enonce Si $\{S_{2n}\}_{n\ge 0}$ 
(resp. $\{S_{2n+1}\}_{n\ge 0}$) est la suite initiale d'une matrice de Seidel,
 alors $\{2^{2n}L_n\}_{n\ge 0}$ 
(resp. $\{2^{2n}R_n\}_{n\ge 0}$) est la suite finale.
\endth

Le Th\'eor\`eme 27 et la Proposition 36 nous donnent le r\'esultat
suivant.
\th Th\'eor\`eme 37
\enonce On a
 $$
S_n(-{1\over 2})=S_{2n}\quad \hbox{et}\quad
 S_n({1\over 2})=S_{2n+1}.
$$
\endth

Posons, pour tout $n\ge 1$, 
$$
n!!=\cases{
2\cdot 4\cdots 2p &si $n=2p$,\cr
1\cdot 3\cdots (2p+1) &si $n=2p+1$.\cr
}$$
On tire de la Proposition 35 les repr\'esentations suivantes.
\th Corollaire 38
\enonce Nous avons
$$
\eqalign{
\sum_{n\ge 0}S_{2n}t^n&=\sum_{n\ge 0}{(4n+1)!!t^n\over \prod_{k=0}^n
[1+[1+(4k+1)(4k+3)]t]}\virg \cr
\sum_{n\ge 0}S_{2n+1}t^n&=1+\sum_{n\ge 1}{(4n-1)!!t^n\over
\prod_{k=1}^n[1+[1+(4k-1)(4k+1)]t]}\cdot \cr
}$$
\endth

\th Corollaire 39
\enonce On a
$$\displaylines{
S_{2n}=\sum_{F\in \E_{2n}}3^{\f F+1}4^{\nfs F-2},\cr
S_{2n+1}=\sum_{F\in \E_{2n+2}}2^{\m F}3^{\f F}
4^{\nmfs F}\cr
}$$
\endth
\demonstration A tout escalier $F$ sur $[2n+2]$ tel que $\m F=0$, 
on associe l'escalier $G$ sur $[2n]$ d\'eduit de $F$ par suppression de la 
ligne sup\'erieure.
Ceci \'etablit une bijection entre $\E_{2n}$ et l'ensemble
des escaliers $F$ sur $[2n+2]$ tels que $\m F=0$, ayant
la propri\'et\'e :
$$ 
\f G=\f F-1, \qquad \s G=\s F-1.
$$
D'o\`u le r\'esultat en appliquant les Th\'eor\`emes 29 et 31. \qed
\medskip

Dans [Ar], \pc Arnold| a donn\'e des interpr\'etations combinatoires 
des nombres de Springer en terme de 
{\sl permutations sign\'ees altern\'ees}. Donc, le probl\`eme
ouvert est d'\'etablir des liens entre son mod\`ele et le n\^otre.
%\eject


\bigskip
\eightpoint
\ctitre
BIBLIOGRAPHIE
\endctitre
\ref  Ar
\auteur  Arnold (V.I.)
\titre The calculus of snakes and the combinatorics of 
Bernoulli, Euler and Springer numbers of Coxeter groups
\nomrevue  Russian Math. Surveys
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\tome  47 : 1
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\ref  Ca1
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\titre Explicit formulas for the Dumont-Foata polynomials
\nomrevue  Disc. Math.
\date  1980
\pages 211-225
\tome  30
\endref
%-------------------------------------------------
\ref Co
\auteur Comtet (L.)
\divers  {\sl Analyse Combinatoire}, 
t.1, Collection SUP., PUF, Paris, 1970, pp. 63-64
\endref
%-------------------------------------------------
\ref Du1
\auteur  Dumont (D.)  
\titre  Interpr\'etations combinatoires des nombres de Genocchi
\nomrevue Duke Math. J. 
\date 1974
\pages 305-318
\tome 41(2)
\endref
%-------------------------------------------------
\ref Du2
\auteur  Dumont (D.)  
\divers  {\sl Pics de cycle et d\'eriv\'ees partielles},
Actes du S\'eminaire lotharingien de Combinatoire, 13\up{e}
session, 1985, Publication IRMA, Strasbourg
\endref
%-------------------------------------------------
\ref Du3
\auteur Dumont (D.) 
\titre Conjectures sur des sym\'etries ternaires li\'ees aux nombres de Genocchi
\nomrevue àDiscrete Math.
\date 1995
\pages 469-472
\tome 139
\endref
%-------------------------------------------------
\ref Du4
\auteur  Dumont (D.)  
\titre  Further triangles of Seidel-Arnold type
and continued fractions related to Euler and Springer numbers
\nomrevue Adv. Appl. Math.
\date 1995
\pages 275-296
\tome 16
\endref
%-------------------------------------------------
\ref Du-Fo
\auteur Dumont (D.) et \pc Foata| (D.)
\titre Une propri\'et\'e de sym\'etrie des nombres de Genocchi
\nomrevue Bull. Soc. Math. France
\date  1976
\pages 433-451
\tome  104
\endref
%------------------------------------------------
\ref  Du-Ra
\auteur  Dumont (D.) et \pc Randrianarivony| (A.)
\titre  Sur une extension des nombres de Genocchi
\nomrevue Europ. J. Comb.
\date 1995
\pages 147-151
\tome 16 
\endref
%-------------------------------------------------
%\ref  Fo-Sc
%\auteur Foata (D.) et \pc Sch\"utzenberger| (M.P.)
%\divers {\sl Th\'eorie g\'eom\'etrique des polyn\^omes euleriens}, Lecture
%Notes in Math., Vol. 138, Springer Verlag, Berlin, 1970
%\endref
%-------------------------------------------------
\ref Ga
\auteur Gandhi (J.)
\titre A conjectured representation of Geenocchi numbers
\nomrevue Amer. Math. Monthly
\date  1970
\pages 505-506
\tome  77(1)
\endref
%------------------------------------------------
\ref Ha
\auteur  Han (G. N.)
\titre Interpr\'etations combinatoires des nombres de Genocchi
et propri\'et\'es de sym\'etrie
\nomrevue Actes de l'atelier de combinatoire franco-qu\'ebecois,
Publ. de LACIM
\date  1992
\pages 119-137
\tome  10
\endref
%________________________________________________
\ref Ra
\auteur Randrianarivony (A.)
\divers 
{\sl  Sur une extension des polyn\^omes de Dumont-Foata}~, \`a para\^\i tre
\endref
%------------------------------------------------
\ref Ra-Ze
\auteur Randrianarivony (A.) et \pc Zeng| (J.)
\titre Sur une extension des nombres d'Euler et les
records des permutations alternantes
\nomrevue J. Comb. Th., Ser. A
\date  1994
\pages 86-99
\tome  66
\endref
%-------------------------------------------------
\ref Ri-St
\auteur  Riordan (J.) et \pc Stein| (P.)
\titre Proof of a conjecture on Genocchi numbers
\nomrevue Discrete Math. 
\date  1973
\pages 381-388
\tome  5
\endref
%-------------------------------------------------
\ref Vi
\auteur Viennot 
\divers {\sl Th\'eorie combinatoire des nombres d'Euler et
de Genocchi}, S\'eminaire de Th\'eorie des nombres, expos\'e $n^\circ 11$,
Publ. de l'Universit\'e de Bordeaux I, 1980
\endref
%________________________________________________________________
\ref Wa
\auteur Wall (H. S.)
\titre Continued fractions and totally monotone sequences
\nomrevue Trans. Amer. Math. Soc. 
\date 1940
\pages 165-184
\tome 48
\endref
%------------------------------------------------
\ref Ze
\auteur Zeng (J.)
\titre Sur les sym\'etries ternaires des nombres de Genocchi
\nomrevue Discrete Math.
\date 1996
\pages 319-333
\tome 153
\endref
\vskip 40pt
{\obeylines{\sl
\hskip 7cm D\'epartement de Math\'ematiques
\hskip 7cm Universit\'e Louis-Pasteur
\hskip 7cm 7, rue Ren\'e Descartes
\hskip 7cm 67084 Strasbourg Cedex, France}


\bye
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