SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS DE SYMÉTRIE DES

NOMBRES DE GENOCCHI

Par

Jiang ZENG

Abstract. — In [Du2] DUMONT stated several conjectures about some symmetric polynomial sequences which are the refinements of the Genocchi numbers. In this paper we shall prove all of his conjectures. We first show that some special cases of his main conjecture can be readily derived from a result of WALL and then give a complete proof of this conjecture by computing some Hankel determinants. Finally we present a new symmetric model for the Dumont-Foata polynomials in terms of Motzkin paths.

1. Introduction

Un escalier F de taille 2n (n ≥ 1) est le graphe {(k, f(k))|1 ≤ k ≤ 2n} d’une application surjective f de [2n] := {1, 2, …, 2n} sur {2, 4, 6, …, 2n} telle que pour tout k, f(k) ≥ k. Pour 1 ≤ k ≤ 2n − 2, un point (k, f(k)) de F est dit maximal si f(k) = 2n, est dit point fixe si f(k) = k (ce qui implique que k est pair), est dit surfixe si f(k) = k + 1 (ce qui implique que k est impair). Soit E_{2n} l’ensemble des escaliers sur [2n]. Étant donné un escalier F, on note max(F) le nombre de ses points maximaux, fix(F) le nombre de ses points fixes, et sur(F) le nombre de ses points surfixes. Il est bien connu (voir [Du, Du-Fo, Ha, Vi]) que le cardinal de E_{2n} est le nombre de Genocchi G_{2n+2}, qui peuvent être définis par leur fonction génératrice exponentielle :

\frac{2t}{e^{t} + 1} = t − \frac{t^{2}}{2!} + \frac{t^{4}}{4!} − 3 \frac{t^{6}}{6!} + 17 \frac{t^{8}}{8!} + ⋯ + (−1)^{n}G_{2n} \frac{t^{2n}}{(2n)!} + ⋯

En 1976, DUMONT et FOATA [Fo-Du] ont introduit une suite de polynômes F_{n}(x, y, z) qui sont dfinis par F_{1}(x, y, z) = 1 et

F_{n}(x, y, z) = (x + y)(x + z)F_{n−1}(x + 1, y, z) − x^{2}F_{n−1}(x, y, z).

Ils ont montré que ces polynômes sont symétriques en les variables x, y, z et raffinent les nombres de Genocchi en ce sens que F_{n}(1, 1, 1) = G_{2n+2}. Bien qu’on connait aujourd’hui plusieurs interprétations combinatoires pour F_{n}(x, y, z) (cf. [Du1, Du-Fo, Ha, Vi]), il semble que celle la plus simple, c’est-à-dire que la vérification de la récurrence est la plus facile, est le résultat de HAN [Ha] suivant :

(1.1)  F_{n}(x, y, z) = ∑_{F ∈E_{2n}} x^{max(F)}y^{fix(F)}z^{sur(F)}.

De plus, l’interprétation (1.1) a permis DUMONT [Du2] de proposer récemment une extension combinatoire des polynômes F_{n}(x, y, z) de la façon suivante.

Soit F un escalier de taille 2n, un point (k, f(k)) de F est dit doublé s’il n’est pas seul sur sa ligne, c’est-à-dire s’il existe j ≠ k tel que f(j) = f(k). On note fd F (resp. fnd F) le nombre de ses points fixes doublés (resp. fixes non doublés) et sd F (resp. snd F) le nombre de ses points surfixes doublés (resp. surfixes non doublés). On note également mp F (resp. mi F) le nombre de ses points maximaux d’abcisses paires (resp. impaires).

L’extension proposée par DUMONT [Du] est définie par

(1.2)  Γ_{n}(x, y, z, x̄, ȳ, z̄) = ∑_{F ∈E_{2n}} x^{mi F} y^{fd F} z^{snd F} x̄^{mp F} ȳ^{fnd F} z̄^{sd F} .

DUMONT [Du2] a conjecturé plusieurs formules remarquables sur les polynômes Γ_{n}. Le but principal de cet article est de démontrer toutes ces conjectures. En effet, le problème central dans toutes ces études est d’établir le résultat suivant.

TH^{}ÉOR^{}ÈME 1(Conjecture 2 de [Du2]). — On a l’identité

∑_{n≥1} Γ_{n}(x, y, z, x̄, ȳ, z̄)t^{n} = \frac{t}{1 − (xȳ + yz̄ + zx̄) t − \frac{(x̄ + y)(ȳ + z)(z̄ + x) t^{2}}{...}}

où le coefficient situé sous le (n+1)-ième trait de fraction est

1 − [(x + n)(ȳ + n) + (y + n)(z̄ + n) + (z + n)(x̄ + n) − n(n + 1)]t

−\frac{(n + 1)(x̄ + y + n)(ȳ + z + n)(z̄ + x + n)t^{2}}{...}

Comparant (1.1) et (1.2), on voit que F_{n}(x, y, z) = Γ_{n}(x, y, z, x, y, z), n ≥ 1, et déduit immédiatement du Théorème 1 le résultat suivant.

COROLLAIRE 2 (Conjecture 1 de [Du2]). — On a l’identité

∑_{n≥1} F_{n}(x, y, z)t^{n} = \frac{t}{1 − (xy + yz + zx) t − \frac{(x + y)(y + z)(z + x) t^{2}}{...}}

dont le coefficient situé sous le (n + 1)-ième trait de fraction est

1 − [(x + n)(y + n) + (y + n)(z + n) + (z + n)(x + n) − n(n + 1)]t

−\frac{(n + 1)(x + y + n)(y + z + n)(z + x + n)t^{2}}{...}

Par ailleurs, d’après la formule de ROGERS-STIELTJES (cf. [Go-Ja, p. 306]), on déduit du Corollaire 2 une formule explicite et polynomiale pour F_{n}(x, y, z), qui est différente de celle de CARLITZ [Ca] et qui met en évidence la symétrie de F_{n}(x, y, z).

COROLLAIRE 3. — Pour n ≥ 1 les polynômes F_{n}(x, y, z) ont l’expression symétrique suivante :

F_{n+1}(x, y, z) = (xy + yz + zx)^{n}

+ ∑_{k≥0} ∑_{{m_{0},...,m_{k+1}≥0 \atop n_{0},...,n_{k}≥1}} ∏_{i=0}^{k}[(i + 1)(x + y + i)(y + z + i)(z + x + i)]^{n_{i}}

× ∏_{j=0}^{k}[(x + j)(y + j) + (y + j)(z + j) + (z + j)(x + j) − j(j + 1)]^{m_{j}}

×\binom{n_{k+1} + n_{k} − 1}{m_{k+1}} ∏_{j=0}^{k+1} \frac{(m_{j} + n_{j} + n_{j−1} − 1)!}{m_{j}!n_{j}!(n_{j−1} − 1)!}

où n_{−1} = 1 et la seconde sommation est assujettie à la condition 2(n_{1} + ⋯ + n_{k}) + (m_{0} + ⋯ + m_{k+1}) = n.

On remarque que VIENNOT [Vi] a déjà donné une démonstration bijective du Théorème 1 dans le cas particulier où x = y = z = x̄ = ȳ = z̄ = 1. Notre preuve du Théorème 1 repose sur le fait que le développement en fraction continue de la fonction génératrice ordinaire d’une suite équivaut au calcul de deux déterminants de Hankel construits sur cette suite (cf. paragraphe 4). Enfin, lors de la rédaction de cet article, l’auteur a appris que RANDRIANARIVONY [Ra] a aussi démontré toutes les conjectures de DUMONT en établissant le tableau de Stieltjes associé à la fraction continue en question.

Cet article est organisé de la façon suivante. Au paragraphe 2, on détermine la relation de récurrence de Γ_{n}(x, y, z, x̄, ȳ, z̄) et en déduit la fonction génératrice ordinaire des Γ_{n}. Au paragraphe 3, on montre comment un résultat de WALL [Wa] permet d’établir immédiatement le Théorème 1 dans les cas particuliers où z = z̄ = 0 ou z = z̄ = 1. On présente ensuite une preuve complète du Théorème 1 au paragraphe 4 dans le cas général par le calcul de deux déterminants de Hankel. Enfin, au paragraphe 5 on déduit un nouveau modèle combinatoire pour les polynômes F_{n}(x, y, z) qui rend leurs propriétés de symétries videntes.

2. La relation de récurrence de Γ_{n}(x, y, z, x̄, ȳ, z̄)

Pour tout ensemble fini X ⊂ N, on note respectivement I(X) et P (X) le nombre des entiers impairs et pairs de X.

TH^{}ÉOR^{}ÈME 4. — On a Γ_{1}(x, y, z, x̄, ȳ, z̄) = 1 et

(2.1) Γ_{n}(x, y, z, x̄, ȳ, z̄) = (x + z̄)(y + x̄)Γ_{n−1}(x + 1, y, z, x̄ + 1, ȳ, z̄) +[x(ȳ − y) − x̄(z̄ − z) − xx̄]Γ_{n−1}(x, y, z, x̄, ȳ, z̄)

Démonstration : Il est évident que Γ_{1}(x, y, z, x̄, ȳ, z̄) = 1. On appelle escalier coloré de taille 2n tout couple (F, X) où F = {(k, f(k))|1 ≤ k ≤ 2n} est un escalier de taille 2n et X un sous-ensemble strict de f^{−1}(2n) = {i ∈ [2n] | f(i) = 2n}. On note qu’il existe une bijection naturelle φ entre les escaliers colorés sur [2n] et les escaliers sur [2n + 2], qui à tout escalier coloré(F, X) sur [2n] associe un escalier F′ = {(k, f′(k))|k ∈ [2n + 2]} = φ(F, X) sur [2n + 2] de la façon suivante :

(2.2)  f′(i) = \{ \begin{matrix}f(i) & si i ∉ X ∪ \{2n + 1, 2n + 2\}, \\ 2n + 2 & si i ∈ X ∪ \{2n + 1, 2n + 2\}. \end{matrix}

On remarque que le fait que X est un sous-ensemble strict assure la surjectivité de f′. On se propose de calculer le polynôme générateur des escaliers de taille 2n + 2 à l’aide de celui des escaliers colorés de taille 2n. Rappelons que le poids de chaque escalier F′ = φ(F, X) est défini par

w(F′) = x^{mi F′}y^{fd F′}z^{snd F′}x̄^{mp F′}ȳ^{fnd F′}z̄^{sd F′}

On distingue les 4 cas suivants de X ⊆ f^{−1}(2n).

(i) Cas où 2n − 1, 2n ∈ X. D’après (2.2) on voit que

w(F′) = x^{I(X)}x̄^{P (X)}z^{snd F} y^{fd F} ȳ^{fnd F} z̄^{sd F} .

Comme

∑_{X {⊂ \atop ≠} f^{−1}(2n)} x^{I(X)−1}x̄^{P (X)−1} = (x + 1)^{mi F} (x̄ + 1)^{mp F} − x^{mi F} x̄^{mp F} ,

le polynôme générateur correspondant est donc

(2.3)  xx̄Γ_{n}(x + 1, y, z, x̄ + 1, ȳ, z̄) − xx̄Γ_{n}(x, y, z, x̄, ȳ, z̄).

(ii) Cas où 2n − 1 ∈ X et 2n ∉ X. (a) Si X = f^{−1}(2n)\{2n}, alors 2n est un point fixe non doubléde F′. D’où le poids associé :

w(F′) = x^{I(f^{−1}(2n))}x̄^{P (f^{−1}(2n))−1}z^{snd F} y^{fd F} ȳ^{fnd F +1}z̄^{sd F} .

Par suite, le polynôme générateur de tous ces escaliers est xȳΓ_{n}(x, y, z, x̄, ȳ, z̄).

(b) Si X {⊂ \atop ≠}f^{−1}(2n)\\{2n\}, alors 2n est un point fixe doublé de F′. D’où le poids associé :

w(F′) = x^{I(X)}x̄^{P (X)}z^{snd F} y^{fd F +1}ȳ^{fnd F +1}z̄^{sd F} .

Par suite, le polynôme générateur correspondant est

xy ∑_{F ∈E_{2n}} ∑_{X {⊂ \atop ≠} f^{−1}(2n)\\{2n\}} x^{I(X)−1}x̄^{P (X)}z^{snd F} y^{fd F} ȳ^{fnd F} z̄^{sd F}

= xy ∑_{F ∈E_{2n}} ((x + 1)^{mi F} (x̄ + 1)^{mp F} − x^{mi F} x̄^{mp F} ) z^{snd F} y^{fd F} ȳ^{fnd F} z̄^{sd F}

= xyΓ_{n}(x + 1, y, z, x̄ + 1, ȳ, z̄) − xyΓ_{n}(x, y, z, x̄, ȳ, z̄).

Compte tenu de (a) et (b), on obtient le polynôme générateur correspondant au cas (ii) :

(2.4)  xyΓ_{n}(x + 1, y, z, x̄ + 1, ȳ, z̄) + x(ȳ − y)Γ_{n}(x, y, z, x̄, ȳ, z̄).

(iii) Cas où 2n − 1 ∉ X et 2n ∈ X. Un argument analogue à celui du cas précédent montre que le polynôme générateur correspondant est

(2.5)  x̄z̄Γ_{n}(x + 1, y, z, x̄ + 1, ȳ, z̄) + x̄(z − z̄)Γ_{n}(x, y, z, x̄, ȳ, z̄).

(iv) Cas où 2n − 1, 2n ∉ X. On voit que 2n − 1 (resp. 2n) est un point surfixe (resp. fixe) doublé de F′. Par suite, le poids associé est

w(F′) = x^{I(X)}x̄^{P (X)}z^{snd F} y^{fd F +1}ȳ^{fnd F} z̄^{sd F +1}.

Comme

∑_{X⊆f^{−1}(2n)\{2n−1,2n}} x^{I(X)}x̄^{P (X)} = (x + 1)^{mi F} (x̄ + 1)^{mp F} ,

le polynôme générateur correspondant est donc

(2.6)  yz̄Γ_{n}(x + 1, y, z, x̄ + 1, ȳ, z̄).

En récapitulant les 4 cas ci-dessus, on voit que Γ_{n}(x, y, z, x̄, ȳ, z̄), étant la somme des quatre polynômes (2.3), (2.4), (2.5) et (2.6), satisfait la récurrence (2.1).

Pour tout entier n ≥ 1 on pose (x)_{n} = x(x + 1) ⋯ (x + n − 1) et (x)_{0} = 1. Le résultat suivant confirme et généralise la Conjecture 3 de [Du2].

TH^{}ÉOR^{}ÈME 5. — On a

∑_{n≥1} Γ_{n}(x, y, z, x̄, ȳ, z̄)t^{n} =

∑_{n≥1} \frac{(x + z̄)_{n−1}(y + x̄)_{n−1}t^{n}}{∏_{k=0}^{n−1} \{1 − [(x + k)(ȳ − y) − (x̄ + k)(z̄ − z) − (x + k)(x̄_{k} + k)]t\}}·

Démonstration : Posons Γ(x, x̄; t) = ∑_{n≥1} Γ_{n}(x, y, z, x̄, ȳ, z̄)t^{n}. La récurrence (2.1) entraîne immédiatement que

Γ(x, x̄; t) = t + (x + z̄)(y + x̄)tΓ(x + 1, x̄ + 1; t)

+[x(ȳ − y) − x̄(z̄ − z) − xx̄]tΓ(x, x̄; t).

D’où il vient

Γ(x, x̄; t) = \frac{t}{1 − [x(ȳ − y) − x̄(z̄ − z) − xx̄]t}

+\frac{(x + z̄)(y + x̄)t}{1 − [x(ȳ − y) − x̄(z̄ − z) − xx̄]t}Γ(x + 1, x̄ + 1; t).

Ceci achève la démonstration par itération.

PROPOSITION 6. — Pour n ≥ 1, le polynôme Γ_{n}(x, y, z, x̄, ȳ, z̄) est de degré total 2n − 2 en les variables x, y, z, x̄, ȳ et z̄, de degré n − 1 en les variables x et x̄ (resp. y et ȳ, z et z̄) et en la seule variable x (resp. y, z, x̄, ȳ, z̄). D’autre part, pour toute permutation circulaire (u, v, w) de (x, y, z), on a les propriérés symétriques suivantes :

Γ_{n}(x, y, z, x̄, ȳ, z̄) = Γ_{n}(u, v, w, ū, v̄, w̄) = Γ_{n}(ū, w̄, v̄, u, w, v).

Démonstration : La vrification est facile d’après la rcurrence (2.1) et laissée au lecteur.

3. Un lemme de Wall et ses applications

Nous montrons dans cette partie comment un résultat de WALL permet de démontrer facilemeent certains cas particuliers du Théorème 1.

LEMME 1 (WALL [Wa]). — On a

\frac{1 + t}{1 − \frac{(g_{1} − 1) t}{1 − \frac{(g_{2} − 1)g_{1} t}{1 − \frac{(g_{3} − 1)g_{2} t}{...}}}} = 1 + \frac{g_{1} t}{1 − \frac{(g_{1} − 1)g_{2} t}{1 − \frac{(g_{2} − 1)g_{3} t}{1 − \frac{(g_{3} − 1)g_{4} t}{...}}}} ·

PROPOSITION 7. — Le Théorème 1 est vrai pour z = z̄ = 0 et z = z̄ = 1

Démonstration : Soit Γ(x, y, x̄, ȳ; t) = ∑_{n≥1} Γ_{n}(x, y, 0, x̄, ȳ, 0))t^{n}. De (2.1) on déduit aisément l’identité :

(3.1) [1 + x(y + x̄ − ȳ)t]Γ(x, y, x̄, ȳ; t) = t + x(y + x̄)tΓ(x + 1, y, x̄ + 1, ȳ; t).

On cherche une suite {g_{n} := g_{n}(x, y, x̄, ȳ)} telle que

(3.2)  Γ(x, y, x̄, ȳ; t) = \frac{t}{1 − \frac{x(y + x̄ − ȳ)(g_{1} − 1) t}{1 − \frac{x(y + x̄ − ȳ)(g_{2} − 1)g_{1} t}{1 − \frac{x(y + x̄ − ȳ)(g_{3} − 1)g_{2} t}{...}}}} ·

En reportant l’expression ci-dessus dans (3.1) et en substituant x(y + x̄ − ȳ)t par t, on obtient :

\frac{1 + t}{1 − \frac{(g_{1} − 1) t}{1 − \frac{(g_{2} − 1)g_{1} t}{1 − \frac{(g_{3} − 1)g_{2} t}{...}}}} = 1 + \frac{\frac{y+x̄}{y+x̄−ȳ} t}{1 − \frac{\frac{(x+1)(y+x̄+1−ȳ)}{x(y+x̄−ȳ)}(g′_{1} − 1) t}{1 − \frac{\frac{(x+1)(y+x̄+1−ȳ)}{x(y+x̄−ȳ)}(g′_{2} − 1)g′_{1} t}{1 − \frac{\frac{(x+1)(y+x̄+1−ȳ)}{x(y+x̄−ȳ)}(g′_{3} − 1)g′_{2} t}{...}}}} ,

oùg′_{n} := g_{n}(x + 1, y, x̄ + 1, ȳ). En comparant le membre de droite ci-dessus avec celui du Lemme 1, on obtient successivement

\begin{aligned}g_{1} & = \frac{y + x̄}{y + x̄ − ȳ}, \\ g_{2} & = \frac{(x + 1)(y + x̄ + 1 − ȳ)}{x(y + x̄ − ȳ)} \frac{g′_{1} − 1}{g_{1} − 1} = 1 + \frac{1}{x}, \\ g_{3} & = \frac{(x + 1)(y + x̄ + 1 − ȳ)}{x(y + x̄ − ȳ)} \frac{g′_{2} − 1}{g_{2} − 1}g′_{1} = \frac{y + x̄ + 1}{y + x̄ − ȳ}, \\ g_{4} & = \frac{(x + 1)(y + x̄ + 1 − ȳ)}{x(y + x̄ − ȳ)} \frac{g′_{3} − 1}{g_{3} − 1}g′_{2} = 1 + \frac{2}{x}· \end{aligned}

On trouve facilement par récurrence l’expression générale :

g_{2n−1} = \frac{y + x̄ + n − 1}{y + x̄ − ȳ}, g_{2n} = 1 + \frac{n}{x}, n ≥ 1.

En reportant ces valeurs dans (3.2), on obtient

(3.3) Γ(x, y, x̄, ȳ; t) = \frac{t}{1 − \frac{xȳt}{1 − \frac{(y + x̄) t}{1 − \frac{(x + 1)(ȳ + 1) t}{1 − \frac{2(y + x̄ + 1) t}{1 − \frac{...}{1 − \frac{(x + n − 1)(ȳ + n − 1) t}{1 − \frac{n(y + x̄ + n − 1) t}{...}}}}}}}} ·

Ceci établit le Théorème 1 pour z = z̄ = 0 en contractant la fraction continue de (3.3) à partir du 2^{me} trait. D’autre part, comme

Γ_{n}(x, y, 0, x̄, ȳ, 0) = xȳΓ_{n−1}(x, y, 1, x̄, ȳ, 1), n ≥ 2,

on retrouve le Théorème 1 pour z = z̄ = 1 en contractant la fraction continue de (3.3) à partir du 1^{er} trait.

Un autre cas particulier intéressant est la suite des polynômes B_{n}(x, y) = Γ_{n}(x, y, 1, 1, 1, 1) dfinis par la récurrence :

(3.4)  B_{n}(x, y) = (x + 1)(y + 1)B_{n−1}(x + 1, y + 1) − xyB_{n−1}(x, y)

avec B_{1}(x, y) = 1. On déduit alors de la Proposition 7 un résultat déjà établi dans DUMONT et RANDRIANARIVONY [Du-Ra] par d’autre moyen.

COROLLAIRE 8. — On a l’identité

\frac{1}{1 − \frac{y t}{1 − \frac{(x + 1) t}{1 − \frac{2(y + 1) t}{1 − \frac{2(x + 2) t}{1 − \frac{3(y + 2) t}{...}}}}}} = 1 + y ∑_{n≥1} B_{n}(x, y)t^{n}.

Les polynômes B_{n}(x, y) peuvent en effet être considérés comme une extension commune des nombres de Genocchi G_{2n} et Genocchi médians H_{2n+1} (cf. [Du-Ra]) en ce sens que

(3.5)  B_{n}(0, 1) = H_{2n+1} et B_{n}(1, 1) = G_{2n+2}.

Par ailleurs, les formules (3.5) peuvent aussi se déduire du Corollaire 8 et des développements en fractions continues des fonctions génératrices des nombres de Genocchi et Genocchi médians (cf. [Vi, Du-Ze]).

4. Déterminants de Hankel et fractions continues

Rappelons qu’un déterminant de Hankel construit sur une suite {μ_{n}}_{n≥0} avec μ_{0} = 1 est tout simplement un mineur de la matrice infinie H = (μ_{i+j})_{0≤i,j}. Un tel déterminant sera noté

H ( \begin{matrix}β_{1}, & …, & β_{k} \\ α_{1}, & …, & α_{k} \end{matrix} ) ,

où on désigne par 0 ≤ α_{1} < ⋯ < α_{k} et 0 ≤ β_{1} < ⋯ < β_{k} les indices respectifs des lignes et colonnes du mineur extrait. En particulier, on pose

Λ_{n} = H ( \begin{matrix}0, & 1, & …, & n \\ 0, & 1, & …, & n \end{matrix} ) , Ξ_{n} = H ( \begin{matrix}0, & 1, & …, & n − 1, & n \\ 0, & 1, & …, & n − 1, & n + 1 \end{matrix} ) .

On remarque que Λ_{0} = μ_{0} = 1 et Ξ_{0} = μ_{1}. D’autre part, on convient que Λ_{−1} = 1 et Ξ_{−1} = 0. Le résultat suivant est classique, voir par exemple [Wa, p. 206].

LEMME 2. — Si Λ_{n} ≠ 0 pour tout n ≥ 0, alors la série génératrice ordinaire ∑_{n≥0} _{n}t^{n} admet le développement en J-fraction continue suivant :

∑_{n≥0} μ_{n}t^{n} = \frac{1}{1 − b_{0} t − \frac{λ_{1} t^{2}}{1 − b_{1} t − \frac{λ_{2} t^{2}}{\frac{...}{1 − b_{n} t − \frac{λ_{n+1} t^{2}}{...}}}}} ,

où les coefficients b_{n} et λ_{n+1} sont donnés par

λ_{n+1} = \frac{Λ_{n+1}Λ_{n−1}}{Λ_{n}^{2}} et b_{n} = \frac{Ξ_{n}}{Λ_{n}} − \frac{Ξ_{n−1}}{Λ_{n−1}} , n ≥ 0.

Par conséquent, pour démontrer le Théorème 1, il suffit d’évaluer les deux déterminants Λ_{n} et Ξ_{n} avec μ_{n} = Γ_{n+1}(x, y, z, x̄, ȳ, z̄), n ≥ 0. Par commodité, on pose

Γ_{n}^{(k)} := Γ_{n}(x + k, y, z, x̄ + k, ȳ, z̄), k ≥ 0,

et Γ_{n} := Γ_{n}^{(0)}. On définit l’opérateur de différence Δ dans l’anneau des polynômes P (x, x̄) en x, x̄ par ΔP (x, x̄) = P (x + 1, x̄ + 1) − P (x, x̄). Ainsi la récurrence (2.1) peut s’écrire

(4.1) Γ_{n+1}(x, x̄) = (xx̄ + xy + x̄z̄ + yz̄)ΔΓ_{n}(x, x̄) + (xȳ + x̄z + yz̄)Γ_{n}(x, x̄).

Plus généralement, on définit Δ^{0}P (x, x̄) = P (x, x̄) et

Δ^{m}P (x, x̄) = Δ{Δ^{m−1}P (x, x̄)}, m ≥ 1.

Il est clair que si P (x, x̄) est un polynôme de degré n en les variables x et x̄, alors Δ^{m}P (x, x̄) = 0 pour m > n. On a également une formule analogue de celle de Leibniz pour la dérivée.

LEMME 3. — Soit u(x, x̄) et v(x, x̄) deux polynômes en x, x̄. Alors

Δ^{n}(u(x, x̄)v(x, x̄)) = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}Δ^{n−k}(u(x + k, x̄ + k))Δ^{k}(v(x, x̄)), n ≥ 0.

Démonstration : La vérification par récurrence est laissée au lecteur.

LEMME 4. — On a pour tout n ≥ 0 l’identité :

(4.2)  Δ^{n}Γ_{n+1}(x, x̄) = n!(ȳ + z)_{n}.

Démonstration : L’identité (4.2) est évidemment vraie pour n = 0. Supposons l’équation (4.2) vraie pour n = m − 1. Appliquons Δ^{m} à (4.1), il vient

Δ^{m}Γ_{m+1}(x, x̄) = Δ^{m} [(xx̄ + xy + x̄z̄ + yz̄)ΔΓ_{m}(x, x̄)] +Δ^{m} [(xȳ + x̄z + yz̄)Γ_{m}(x, x̄)] .

D’après le Lemme 3 et compte tenu de l’hypothèse de récurrence qui implique en particulier que Δ^{l}Γ_{m}(x, x̄) = 0 pour tout l ≥ m, on trouve après simplification l’équation (4.2) pour n = m.

LEMME 5. — On a pour tout n ≥ 0 l’identité :

(4.3) Δ^{n}Γ_{n+2}(x, x̄) = (n + 1)!(ȳ + z)_{n}

× [xȳ + yz̄ + zx̄ + \frac{n}{2}(x + x̄ + y + ȳ + z + z̄) + \frac{n(4n − 1)}{6}] .

Démonstration : Comme Γ_{2}(x, x̄) = xȳ+ yz̄+ zx̄, l’équation (4.3) est donc vraie pour n = 0. Supposons (4.3) vraie pour n = m − 1. De même, d’après (4.1) on obtient, grace aux Lemmes 3 et 4, l’identité

Δ^{m}Γ_{m+2}(x, x̄) = m(ȳ + z + m − 1)Δ^{m−1}Γ_{m+1}(x, x̄)

+ [xȳ + zx̄ + yz̄ + m(x + x̄ + y + ȳ + z + z̄ + 2m − 1)] Δ^{m}Γ_{m+1}(x, x̄), ce qui établit, par l’hypothèse de récurrence et le Lemme 4, l’identité (4.3) pour n = m.

LEMME 6. — On a

Λ_{n} = | \begin{matrix}Γ_{1} & Γ_{2} & … & Γ_{n} & Γ_{n+1} \\ Γ_{2} & Γ_{3} & … & Γ_{n+1} & Γ_{n+2} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ \\ Γ_{n} & Γ_{n+1} & … & Γ_{2n−1} & Γ_{2n} \\ Γ_{n+1} & Γ_{n+2} & … & Γ_{2n} & Γ_{2n+1} \end{matrix} |

= ∏_{k=0}^{n−1}[(k + 1)(x + z̄ + k)(ȳ + z + k)(y + x̄ + k)]^{n−k}.

Démonstration : A chaque colonne du déterminant Λ_{n}, on ajoute successivement de droite à gauche celle de sa gauche multipliée par x(ȳ − y) − x̄(z̄ − z) − xx̄. Comme Γ_{n} + [x(ȳ− y) − x̄(z̄− z) − xx̄]Γ_{n−1} = (x + z̄)(y + x̄)Γ_{n−1}^{(1)}, cette opération implique immédiatement que

Λ_{n} = [(x + z̄)(y + x̄)]^{n} | \begin{matrix}Γ_{1} & Γ_{1}^{(1)} & … & Γ_{n−1}^{(1)} & Γ_{n}^{(1)} \\ Γ_{2} & Γ_{2}^{(1)} & … & Γ_{n}^{(1)} & Γ_{n+1}^{(1)} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ \\ Γ_{n} & Γ_{n}^{(1)} & … & Γ_{2n−2}^{(1)} & Γ_{2n−1}^{(1)} \\ Γ_{n+1} & Γ_{n+1}^{(1)} & … & Γ_{2n−1}^{(1)} & Γ_{2n}^{(1)} \end{matrix} |

En procédant de la même manière, on obtient finalement

(4.4) Λ_{n} = ∏_{k=0}^{n−1}[(x + z̄ + k)(y + x̄ + k)]^{n−k} | \begin{matrix}Γ_{1} & Γ_{1}^{(1)} & … & Γ_{1}^{(n−1)} & Γ_{1}^{(n)} \\ Γ_{2} & Γ_{2}^{(1)} & … & Γ_{2}^{(n−1)} & Γ_{2}^{(n)} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ \\ Γ_{n} & Γ_{n}^{(1)} & … & Γ_{n}^{(n−1)} & Γ_{n}^{(n)} \\ Γ_{n+1} & Γ_{n+1}^{(1)} & … & Γ_{n+1}^{(n−1)} & Γ_{n+1}^{(n)} \end{matrix} | ·

Par ailleurs, on vérifie sans peine que

Δ^{m}Γ(x, x̄) = ∑_{i=0}^{m}(−1)^{i}\binom{m}{i}Γ(x + m − i, x̄ + m − i).

Donc, par des opérations élémentaires sur les colonnes du déterminant de (4.4), on peut transformer chaque Γ_{n}^{(k)} en Δ^{k}Γ_{n}. Or, d’après la Proposition 6, le polynôme Γ_{n} est de degré n − 1 en les variables x et x̄, donc Δ^{k}Γ_{n} = 0 si k ≥ n. Par suite,

Λ_{n} = ∏_{k=0}^{n−1}[(x + z̄+ k)(y + x̄ + k)]^{n−k} | \begin{matrix}Γ_{1} & 0 & … & 0 & 0 \\ Γ_{2} & ΔΓ_{2} & … & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ \\ Γ_{n+1} & ΔΓ_{n+1} & … & Δ^{2}Γ_{n} & 0 \\ Γ_{n+1} & ΔΓ_{n+1} & … & Δ^{n−1}Γ_{n+1} & Δ^{n}Γ_{n+1} \end{matrix} | .

Ce qui achève la démonstration en vertu du Lemme 4.

LEMME 7. — Soit

Ξ_{n} = | \begin{matrix}Γ_{1} & Γ_{2} & … & Γ_{n} & Γ_{n+2} \\ Γ_{2} & Γ_{3} & … & Γ_{n+1} & Γ_{n+3} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ \\ Γ_{n} & Γ_{n+1} & … & Γ_{2n−1} & Γ_{2n+1} \\ Γ_{n+1} & Γ_{n+2} & … & Γ_{2n} & Γ_{2n+2} \end{matrix} | ·

Alors

\frac{Ξ_{n}}{Λ_{n}} = (n + 1)[xȳ + yz̄ + zx̄ + \frac{n}{2}(x + x̄ + y + ȳ + z + z̄) + \frac{n(4n − 1)}{6}].

Démonstration : Par un raisonnement analogue à celui du Lemme 6, mais en manipulant les lignes au lieu de colonnes de déterminants, on obtient

Ξ_{n} = ∏_{k=0}^{n−1}[(x + z̄ + k)(y + x̄ + k)]^{n−k} | \begin{matrix}Γ_{1} & Γ_{2} & … & Γ_{n} & Γ_{n+2} \\ Γ_{1}^{(1)} & Γ_{2}^{(1)} & … & Γ_{n}^{(1)} & Γ_{n+2}^{(1)} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ \\ Γ_{1}^{(n−1)} & Γ_{n}^{(n−1)} & … & Γ_{n}^{(n−1)} & Γ_{n+2}^{(n−1)} \\ Γ_{1}^{(n)} & Γ_{n}^{(n)} & … & Γ_{n}^{(n)} & Γ_{n+2}^{(n)} \end{matrix} |

= ∏_{k=0}^{n−1}[(x + z̄ + k)(y + x̄ + k)]^{n−k} | \begin{matrix}Γ_{1} & Γ_{2} & … & Γ_{n} & Γ_{n+2} \\ 0 & ΔΓ_{2} & … & ΔΓ_{n} & ΔΓ_{n+2} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & … & Δ^{n−1}Γ_{n} & Δ^{n}Γ_{n+2} \\ 0 & 0 & … & 0 & Δ^{n}Γ_{n+2} \end{matrix} |

= ∏_{k=0}^{n−1}[(x + z̄ + k)(y + x̄ + k)]^{n−k}Δ^{n}Γ_{n+2} ∏_{k=0}^{n−1} Δ^{k}Γ_{k+1}.

Ceci achève la démonstration en vertu des Lemmes 5 et 6.

Le Théorème 1 en résulte finalement en tenant compte des Lemmes 2, 6 et 7.

5. Un modèle symétrique ternaire pour F_{n}(x, y, z)

Plusieurs auteurs (cf. [Du-Fo, Vi, Ha]) ont proposé de trouver un modèle combinatoire pour les polynômes F_{n}(x, y, z) de sorte que la symétrie ternaire soit évidente. L’expression symétrique polynomiale de F_{n}(x, y, z) du Corollaire 3 nous ouvre en effet une nouvelle voie pour une telle interprétation en termes de chemins de Motzkin valués (cf. [Fl, Vi]).

D^{}ÉFINITION 5.1. — Un chemin de Motzkin en n pas est une application ω de {0, 1, …, n} dans {0, 1, …, n} telle que ω(0) = ω(n) = 0 et ∀i ∈ {1, 2, …, n}, on a |ω(i) − ω(i − 1)| ≤ 1, autrement dit les pas (ω(i − 1), ω(i)) sont, soit des montées de +1, soit des paliers, soit des descentes de −1. On appelle ω(i) le niveau du i^{e} pas (ω(i − 1), ω(i)) de ω.

Soient a_{k}, b_{k}, c_{k+1} (k ≥ 0) des variables commutatives. Pour tout chemin de Motzkin ω, on dfinit la valuation d’un palier situé au niveau k par b_{k}, d’une descente du niveau k + 1 vers le niveau k par c_{k+1} et d’une montée du niveau k vers le niveau k + 1 par a_{k}. On définit la valuation w(ω) de ω par le produit des valuations de tous ses pas.

En particulier, si l’on pose pour tout k ≥ 0,

\begin{aligned}a_{k} & = k + 1, \\ b_{k} & = (x + 2k)y + (y + 2k)z + (z + 2k)x + k(2k − 1), \\ c_{k+1} & = (x + y + k)(y + z + k)(z + x + k), \end{aligned}

alors d’après FLAJOLET [Fl], le Corollaire 2 donne immédiatement l’équation suivante :

(5.1)  F_{n+1}(x, y, z) = ∑_{ω∈Γ(n)} w(ω),  n ≥ 1.

où Γ(n) désigne l’enemble des chemins de Motzkin en n pas.

D^{}ÉFINITION 5.2. — Un chemin de Motzkin coloré en n pas est la donnée d’un chemin de Motzkin ω en n pas et d’un coloriage en quatre couleurs x, y, z, 1 des paliers de ω. Un palier de couleur x (resp. y, z, 1) s’appelle ainsi x-palier (resp. y-palier, z-palier, 1-palier).

D^{}ÉFINITION 5.3. — Un complexe de Genocchi sur [n] est un quadruple (ω, f, g, h) où ω est un chemin de Motzkin coloré de n pas et où f, g, h sont des applications de [n] dans Z telles que pour tout i, 1 ≤ i ≤ n, soit k = ω(i − 1) le niveau du i^{e} pas, si le i^{e} pas (ω(i − 1), ω(i)) est une montée alors

0 ≤ f(i) = g(i) = h(i) ≤ k ;

si le i^{e} pas (ω(i − 1), ω(i)) est une descente alors

0 ≤ f(i) ≤ k, 0 ≤ g(i) ≤ k, 0 ≤ h(i) ≤ k ;

si le i^{e} pas (ω(i − 1), ω(i)) est un x-palier (resp. y-palier, z-palier), alors

−ω(i − 1) ≤ f(i) = g(i) = h(i) ≤ ω(i − 1);

si le i^{e} pas (ω(i − 1), ω(i)) est un 1-palier, alors

1 ≤ f(i) = g(i) = h(i) ≤ k(2k − 1).

Soit C_{n} l’ensemble des complexes de Genocchi sur [n]. De (14), on déduit immédiatement que le cardinal de C_{n} est F_{n+1}(1, 1, 1) = G_{2n+4} pour n ≥ 1. Afin de trouver une interprétation combinatoire pour voir la symétrie de F_{n+1}(x, y, z), on va introduire quelques statistiques appropriées sur les complexes de Genocchi.

Soit π = (ω, f, g, h) ∈ C_{n}. On désigne par fmin π (resp. gmin π, hmin π ) le nombre des entiers i, 1 ≤ i ≤ n, tels que f(i) = 0 (resp. g(i) = 0, h(i) = 0) et le pas (ω(i − 1), ω(i)) est une descente. On désigne par fmax π (resp. gmax π, hmax π ) le nombre des entiers i, 1 ≤ i ≤ n, tels que f(i) = ω(i − 1) (resp. g(i) = ω(i − 1), h(i) = ω(i − 1)) et le pas (ω(i − 1), ω(i)) est une descente. On note xpal π (resp. ypal π, zpal π) le nombre des x-paliers (resp. y-paliers, z-paliers) de ω et xmoy π (resp. ymoy π, zmoy π) le nombre des entiers i, 1 ≤ i ≤ n, tels que f(i) = g(i) = h(i) = 0 et le i^{e} pas (ω(i − 1), ω(i)) est un x-palier (resp. y-palier, z-palier). Posons

α(π) = fmin π + hmax π + xpal π + ymoy π,
(5.2)  β(π) = gmin π + fmax π + ypal π + zmoy π,
γ(π) = hmin π + gmax π + zpal π + xmoy π.

On déduit donc du Corollaire 2 et de (5.1)

(5.3)  F_{n+1}(x, y, z) = ∑_{π∈C_{n}} x^{α(π)}y^{β(π)}z^{γ(π)}.

Montrons maintenant que la symétrie ternaire de F_{n+1}(x, y, z) est facile à voir selon l’interprétation combinatoire (5.3), c’est-à-dire qu’il est aisé d’exhiber deux involutions sur C_{n}, l’une échangeant les paramètres α et β en conservant γ, l’autre échangeant β et γ en conservant α.

Voici une involution φ sur C_{n} telle que

(5.4)  α(π) = β(π′),  β(π) = α(π′),  γ(π) = γ(π′),  ∀π ∈ C_{n},

où π′ = φ(π).

Etant donné π = (ω, f, g, h) ∈ C_{n}, on construit π′ = (ω′, f′, g′, h′) = φ(π) ∈ C_{n} comme suit :

(i) si (ω(i − 1), ω(i)) est un x-palier (resp. z-palier) et f(i) = g(i) = h(i) = 0, alors (ω′(i − 1), ω′(i)) est un z-palier (resp. x-palier) et f′(i) = g′(i) = h′(i) = 0 ;

(ii) si (ω(i − 1), ω(i)) est un x-palier (resp., y-palier) et f(i) = g(i) = h(i) = k ≠ 0, alors (ω′(i − 1), ω′(i)) est un y-palier (resp. x-palier) et f′(i) = g′(i) = h′(i) = k;

(iii) si (ω(i − 1), ω(i)) est une descente et f(i) = 0 (resp. ω(i − 1)), alors (ω′(i−1), ω′(i)) = (ω(i−1), ω(i)) et f′(i) = (i−1) (resp. 0), g′(i) = ω(i−1)−g(i), h′(i) = ω(i − 1) − h(i) ;

(iv) dans tous les autres cas, on définit ((ω′(i − 1), ω′(i)), f′(i), g′(i), h′(i)) = ((ω(i − 1), ω(i)), f(i), g(i), h(i)).

Il est clair que φ est une involution sur C_{n} satisfaiant (5.4).

Dans l’involution ci-dessus, si l’on substitue respectivement x, y, z par y, z, x dans (i), (ii) et f, g, h par g, h, f dans (iii), on obtient une involution sur C_{n} qui échange β et α en conservant γ.

Remerciement. — L’auteur tient à remercier les deux arbitres anonymes pour leurs remarques précieuses sur une version antérieure de cet article.

BIBLIOGRAPHIE

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