\magnification=1200
\input a4new
\hsize=12.5cm
\auteurcourant={J. ZENG}
\titrecourant={Sym�tries des nombres de Genocchi}
\def\resume{\bgroup\eightpoint\noindent Abstract\pointir}
\def\endresume{\par\egroup}
\def\demonstration{\newparwithcolon
                     \it D\'emonstration
                      \endnewparwithcolon}
\def\remarque{\newparwithcolon
                \pc REMARQUE|
                 \endnewparwithcolon}

\def\cutdisplay{{}\hfill\cr\hfill{}}
\def\cf{{\it cf}}
\def\resp{{\it resp}}
\def\S{\goth S}
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\def\ymoy{\mathop {\rm ymoy}}
\def\zmoy{\mathop {\rm zmoy}}

\ctitre 
SUR QUELQUES PROPRI\'ET\'ES DE SYM\'ETRIE DES
NOMBRES DE GENOCCHI 
{\eightbf Par}
Jiang ZENG
\endctitre
\resume
 In [Du2] \pc Dumont| stated several conjectures
about some symmetric polynomial sequences which are the
refinements of the Genocchi numbers. In this paper we shall
prove all of his conjectures. We first show that some special 
cases of his main conjecture can be readily derived from a
result of \pc Wall| and then give a complete proof of this
conjecture by computing some Hankel determinants. Finally we
present a new symmetric model for 
the Dumont-Foata polynomials in terms of Motzkin paths.
\endresume   

\sectiona 1. Introduction
\endsection Un {\sl escalier} $F$ de taille $2n\,(n \geq 1)$  
est le graphe $\{(k,f(k))|1\leq k\leq 2n\}$ d'une application {\sl
surjective} $f$ de 
$[2n]:=\{1, 2, \ldots, 2n\}$ sur  $\{2, 4, 6, \ldots, 2n\}$ telle que
pour tout $k$, $f(k)\geq k$. 
Pour $1\leq k\leq 2n-2$, un point $(k, f(k))$ de $F$ 
est dit {\sl maximal} si $f(k)=2n$, est dit {\sl
point fixe} si $f(k)=k$ (ce qui implique
que $k$ est pair), est dit {\sl surfixe} 
si $f(k)=k+1$ (ce qui implique que $k$ est impair). 
Soit $E_{2n}$ l'ensemble des escaliers sur $[2n]$.
\'Etant donn\'e un escalier
$F$, on note $\max(F)$ le nombre de ses points maximaux, $\fix(F)$ le
nombre de ses points fixes, et $\sur(F)$ le nombre de ses points
surfixes. Il est bien connu (voir [Du, Du-Fo, Ha, Vi]) que le
cardinal de $E_{2n}$ est le nombre de Genocchi $G_{2n+2}$,
qui peuvent \^etre d\'efinis par leur fonction 
g\'en\'eratrice exponentielle :
 $$
{2t\over e^t+1}=t-{t^2\over
2!}+{t^4\over 4!}-3\,{t^6\over
6!}+17\,{t^8\over 8!}+\cdots +(-1)^nG_{2n}{t^{2n}\over (2n)!}
+\cdots
$$ 

En 1976, \pc Dumont| et \pc Foata| [Fo-Du] ont introduit une
suite de polyn\^omes $F_n(x, y, z)$ qui sont d�finis par
$F_1(x,y,z) =1$ et $$
F_n(x,y,z) =(x+y)(x+z)F_{n-1}(x+1,y, z)-x^2F_{n-1}(x,y,z).
$$
Ils ont montr\'e que ces polyn\^omes sont sym\'etriques en les
variables $x,\, y,\, z$ et raffinent les nombres de Genocchi en
ce sens que $F_n(1,1,1)=G_{2n+2}$. Bien qu'on connait
aujourd'hui plusieurs interpr\'etations combinatoires 
pour $F_n(x, y, z)$ (\cf. [Du1, Du-Fo, Ha, Vi]), il semble que celle la
plus simple, c'est-\`a-dire que la v\'erification de la
r\'ecurrence est la plus facile, est le r\'esultat de \pc Han| [Ha]
suivant : 
$$ 
F_n(x,y,z)=\sum_{F\in
E_{2n}}x^{\max(F)}y^{\fix(F)}z^{\sur(F)}.\leqno (1.1) 
$$
De plus, l'interpr\'etation (1.1) a permis \pc Dumont| [Du2] 
de proposer r\'ecemment une extension combinatoire
des polyn\^omes $F_n(x,y,z)$ de la fa\c con suivante.

Soit $F$ un escalier de taille $2n$, un point $(k, f(k))$ de $F$ est
dit {\sl doubl\'e�} s'il n'est pas seul sur sa ligne, c'est-\`a-dire
s'il existe $j\not=k$ tel que $f(j)=f(k)$. 
On note $\fd F$ (resp. $\fnd F$) le nombre de ses points {\sl fixes
doubl\'es} (\resp. {\sl fixes non doubl\'es}) et 
$\sd F$ (\resp. $\snd F$) le nombre de ses points {\sl surfixes
doubl\'es} (\resp. {\sl surfixes non doubl\'es}). 
On note \'egalement
$\mp F$ (\resp. $\mi F$) le nombre de ses points maximaux
d'abcisses {\sl paires} (\resp. {\sl impaires}).

L'extension propos\'ee par \pc Dumont| [Du] est d\'efinie par
$$
\Gamma_n(x, y, z, \bar x, \bar y, \bar z)=\sum_{F\in E_{2n}}x^{\mi F}
y^{\fd F}z^{\snd F}{\bar x}^{\mp F}{\bar y}^{\fnd F}{\bar
z}^{\sd F}. \leqno (1.2)
$$
\pc Dumont| [Du2] a conjectur\'e plusieurs formules remarquables sur
les polyn\^omes $\Gamma_n$. Le but principal de cet article est 
de d\'emontrer toutes ces conjectures. En effet, 
le probl\`eme central dans toutes ces \'etudes est 
d'\'etablir le r\'esultat suivant.

\th Th\'eor\`eme 1(Conjecture 2 de [Du2])
\enonce On a l'identit\'e 
$$
\sum_{n\geq 1}\Gamma_n(x, y, z, \bar x, \bar y, \bar z)t^n
={t\over\displaystyle 1-(x\bar y+y\bar z+z\bar x)\,t-
{\strut(\bar x+y)(\bar y+z)(\bar z+x)\,t^2\over\displaystyle
\ddots}} 
$$ 
o\`u le coefficient situ\'e sous le (n+1)-i\`eme trait de fraction est  
$$\displaylines{
1-[(x+n)(\bar
y+n)+(y+n)(\bar z+n)+(z+n)(\bar x+n)-n(n+1)]t\hfill\cr
\hfill-{(n+1)(\bar x+y+n)(\bar y+z+n)(\bar z+x+n)t^2\over
\displaystyle \ddots}\cr }
$$ 
\endth
\medskip
Comparant (1.1) et (1.2), on voit que 
$F_n(x,y,z)=\Gamma_n(x, y, z, x, y, z)$, $n\geq 1$,
et d\'eduit imm\'ediatement du Th\'eor\`eme 1 le r\'esultat suivant.
 
\th Corollaire 2 (Conjecture 1 de [Du2])
\enonce On a l'identit\'e 
$$
\sum_{n\geq 1}F_n(x, y, z)t^n=
{t\over\displaystyle 1-(xy+yz+zx)\,t-
       {\strut (x+y)(y+z)(z+x)\,t^2\over\displaystyle \ddots}}
$$
dont le coefficient situ\'e sous le $(n+1)$-i\`eme 
trait de fraction est 
$$\displaylines{
1-[(x+n)(y+n)+(y+n)(z+n)+(z+n)(x+n)-n(n+1)]t\hfill\cr
\hfill-{(n+1)(x+y+n)(y+z+n)(z+x+n)t^2\over 
\displaystyle \ddots}\cr}
$$
\endth

Par ailleurs, d'apr\`es la formule de \pc Rogers|-\pc
Stieltjes| (\cf. [Go-Ja, p. 306]), on d\'eduit du Corollaire 2 une formule
explicite et polynomiale pour $F_n(x, y, z)$, qui est diff\'erente de
celle de \pd Carlitz [Ca] et qui met en \'evidence la sym\'etrie de
$F_n(x, y, z)$. 

\th Corollaire 3
\enonce Pour $n\geq 1$ les polyn\^omes $F_n(x, y, z)$ ont l'expression
sym\'etrique suivante :  
$$\displaylines{
F_{n+1}(x, y, z)=(xy+yz+zx)^n\hfill\cr
\hfill+\sum_{k\geq 0}\sum_{
{m_0, \ldots, m_{k+1}\geq 0\atop n_0, \ldots, n_k\geq 1}}\prod_{i=0}^k[(i+1)(x+y+i)(y+z+i)(z+x+i)]^{n_i}\cr
\hfill \times\prod_{j=0}^k[(x+j)(y+j)+(y+j)(z+j)+(z+j)(x+j)-j(j+1)]^{m_j}\cr
\hfill\times{n_{k+1}+n_k-1\choose m_{k+1}}
\prod_{j=0}^{k+1}{(m_j+n_j+n_{j-1}-1)!\over m_j!n_j!(n_{j-1}-1)!}
}$$
o\`u $n_{-1}=1$ et la seconde sommation est assujettie 
\`a la condition $2(n_1+\cdots +n_k)+(m_0+\cdots + m_{k+1})=n$.
\endth 
\medskip
 
On remarque que \pc Viennot| [Vi] a d\'ej\`a donn\'e une
d\'emonstration bijective du Th\'eor\`eme 1 dans le cas particulier
o\`u $x=y=z=\bar x=\bar y=\bar z=1$. Notre preuve du Th\'eor\`eme 1 
repose sur le fait que le 
 d\'eveloppement en fraction continue de la fonction
g\'en\'eratrice ordinaire d'une suite \'equivaut au
calcul de deux d\'eterminants de Hankel construits sur 
cette suite (\cf. paragraphe 4). Enfin, lors de la r\'edaction de
cet article, l'auteur a appris que
\pc Randrianarivony| [Ra] a aussi d\'emontr\'e toutes les
conjectures de \pc Dumont| en \'etablissant le {\sl tableau de Stieltjes}
associ\'e \`a la fraction continue en question. 

Cet article est organis\'e de la fa\c con suivante. Au paragraphe 2, 
on d\'etermine la relation de r\'ecurrence de 
$\Gamma_n(x,y,z, \bar x, \bar y, \bar z)$ et en d\'eduit 
la fonction g\'en\'eratrice
ordinaire des $\Gamma_n$. Au paragraphe 3, on montre comment un
r\'esultat de \pd Wall [Wa] permet d'\'etablir imm\'ediatement le
Th\'eor\`eme 1 dans les cas particuliers o\`u� $z=\bar z=0$ ou 
$z=\bar z=1$. On pr\'esente
ensuite une preuve compl\`ete du Th\'eor\`eme~1 au 
paragraphe 4 dans le cas g\'en\'eral par
le calcul de deux  d\'eterminants de Hankel. 
Enfin, au paragraphe 5 on d\'eduit 
un nouveau mod\`ele combinatoire
 pour les polyn\^omes $F_n(x, y, z)$ qui rend leurs propri\'et\'es de 
sym\'etries {\sl �videntes}.

\sectiona
2. La relation de r\'ecurrence de 
$\Gamma_n(x,y,z, \bar x, \bar y, \bar z)$
\endsection
Pour tout ensemble fini $X\subset \bf N$, on note
respectivement $I(X)$ et $P(X)$ le nombre des entiers {\sl impairs}
et {\sl pairs} de $X$.

\th Th\'eor\`eme 4
\enonce On a $\Gamma_1(x,y,z, \bar x, \bar y, \bar z) =1$ et
$$\displaylines{
\rlap{($2.1$)}\hfill\Gamma_n(x,y,z, \bar x, \bar y, \bar z)=(x+\bar z)(y+\bar
x)\Gamma_{n-1} (x+1,y, z, \bar x+1, \bar y, \bar z)\hfill\cr
\hfill + [x(\bar y-y)-\bar x(\bar z-z)-x\bar
x]\Gamma_{n-1}(x,y,z, \bar x, \bar y, \bar z)\cr
}$$
\endth
\demonstration 
Il est \'evident que $\Gamma_1(x,y,z, \bar x, \bar y, \bar z)=1$.
On appelle {\sl escalier color\'e} de taille $2n$ 
tout couple
$(F, X)$ o\`u� $F=\{(k,f(k))|1\leq k\leq 2n\}$ est un
escalier de taille $2n$ et $X$ un {\sl sous-ensemble strict}
 de $f^{-1}(2n)=\{i\in [2n]\,|\,f(i)=2n\}$.  
On note qu'il existe une bijection naturelle $\varphi$ entre
les escaliers color\'es sur $[2n]$ et les escaliers sur $[2n+2]$,
qui \`a tout escalier
color\'e�$(F, X)$ sur $[2n]$ associe un escalier 
$F'=\{(k,f'(k))|k\in [2n+2]\}=\varphi (F, X)$ 
sur $[2n+2]$ de la fa\c con suivante : 
$$
f'(i)=\cases{
f(i)&si $i\notin X\cup \{2n+1, 2n+2\}$,\cr
2n+2&si $i\in X\cup \{2n+1, 2n+2\}$.\cr}\leqno (2.2)
$$
On remarque que le fait que $X$ est un sous-ensemble strict
assure la surjectivit\'e�\break
de $f'$.
On se propose de calculer le polyn\^ome g\'en\'erateur des escaliers
de taille $2n+2$ \`a l'aide de celui des escaliers color\'es de taille $2n$.
Rappelons que le poids de chaque escalier $F'=\varphi (F, X)$
est d\'efini par
$$
w(F')=x^{\mi F'} y^{\fd F'}z^{\snd F'}{\bar x}^{\mp F'}{\bar
y}^{\fnd F'}{\bar z}^{\sd F'}
$$
On distingue les 4 cas suivants de $X\subseteq f^{-1}(2n)$.
\medskip
(i) Cas o\`u $2n-1, \, 2n \in X$. D'apr\`es (2.2) on voit
que   
$$
w(F')=x^{I(X)} {\bar x}^{P(X)}z^{\snd F} y^{\fd F}{\bar
y}^{\fnd F}{\bar z}^{\sd F}.
$$ 
Comme
$$
\sum_{X{\subset\atop \not=}f^{-1}(2n)}
x^{I(X)-1}{\bar x}^{P(X)-1}
=(x+1)^{\mi F}(\bar x +1)^{\mp F}
-x^{\mi F}{\bar x}^{\mp F},
$$
le polyn\^ome g\'en\'erateur correspondant est donc
$$
x{\bar x}\Gamma_n(x+1, y, z, \bar x+1, \bar y,
\bar z)-x{\bar x}\Gamma_n(x,y,z, \bar x, \bar y, \bar z).\leqno (2.3)
$$

(ii) Cas o\`u $2n-1\in X$ et $2n\not\in X$.
(a) Si $X=f^{-1}(2n)\backslash \{2n\}$, alors $2n$ est un point 
fixe non doubl{\'e}�de $F'$. D'o\`u le poids associ\'e : 
$$
w(F')=x^{I(f^{-1}(2n))} {\bar x}^{P(f^{-1}(2n))-1}
z^{\snd F}y^{\fd F} {\bar y}^{\fnd F+1}{\bar z}^{\sd F}.
$$
Par suite, le polyn\^ome g\'en\'erateur de tous ces escaliers est 
$x{\bar y}\Gamma_n(x,y,z, \bar x, \bar y, \bar z)$.

(b) Si $X{\subset \atop \not=}f^{-1}(2n)\backslash
\{2n\}$, alors $2n$ est un point
fixe doubl\'e de $F'$. D'o\`u� le poids associ\'e :
$$
w(F')=x^{I(X)} {\bar x}^{P(X)}
z^{\snd F}y^{\fd F+1} {\bar y}^{\fnd F+1}{\bar z}^{\sd F}.
$$
Par suite, le polyn\^ome g\'en\'erateur correspondant est
 $$\eqalign{
 &xy\sum_{F\in E_{2n}}
\sum_{X{\subset\atop \not=}f^{-1}(2n)\backslash \{2n\}}
x^{I(X)-1} {\bar x}^{P(X)}z^{\snd F}y^{\fd F}{\bar
y}^{\fnd F}{\bar z}^{\sd F}\cr
&=xy\sum_{F\in E_{2n}}\left((x+1)^{\mi F}(\bar
x+1)^{\mp F}-x^{\mi F}{\bar x}^{\mp F}\right)
z^{\snd F}y^{\fd F}{\bar y}^{\fnd F}{\bar z}^{\sd F}\cr
&=xy\Gamma_n(x+1, y, z, \bar x+1, \bar y, \bar z)-xy
\Gamma_n(x,y,z, \bar x, \bar y, \bar z).\cr 
}$$

Compte tenu de (a) et (b), on obtient le polyn\^ome g\'en\'erateur
correspondant au cas (ii) :
 $$
xy\Gamma_n(x+1, y, z, \bar x+1, \bar y, \bar z)+x({\bar
y}-y)\Gamma_n(x,y,z, \bar x, \bar y, \bar z). \leqno (2.4)
$$

(iii) Cas o\`u $2n-1\not\in X$ et $2n\in X$. 
Un argument analogue \`a celui du cas pr\'ec\'edent montre que
le polyn\^ome g\'en\'erateur correspondant est
$$
{\bar x}{\bar z}\Gamma_n(x+1, y, z, \bar x+1, \bar y,
\bar z)+{\bar x}(z-{\bar z})
\Gamma_n(x,y,z, \bar x, \bar y, \bar z).\leqno (2.5)
$$

(iv) Cas o\`u $2n-1, 2n\not\in X$. 
On voit que $2n-1$ (\resp. $2n$) est un point surfixe 
(\resp. fixe) doubl\'e
de $F'$. Par suite, le poids associ\'e est
$$
w(F')=x^{I(X)} {\bar x}^{P(X)}
z^{\snd F}y^{\fd F+1} {\bar y}^{\fnd F}{\bar z}^{\sd F+1}.
$$
Comme
$$
\sum_{X \subseteq f^{-1}(2n)\backslash\{2n-1,2n\}} 
x^{I(X)} {\bar x}^{P(X)}
=(x+1)^{\mi F} (\bar x+1)^{\mp F},
$$
le polyn\^ome g\'en\'erateur correspondant est donc
$$
y{\bar z}\Gamma_n(x+1, y, z, \bar x+1, \bar y, \bar z). \leqno (2.6)
$$

En r\'ecapitulant les 4 cas ci-dessus, on voit que 
$\Gamma_n(x,y,z, \bar x, \bar y, \bar z)$, \'etant la somme des
quatre polyn\^omes (2.3), (2.4), (2.5) et (2.6),   
satisfait la r\'ecurrence (2.1). \qed
\medskip

Pour tout entier $n\geq 1$ on pose $(x)_n=x(x+1)\cdots (x+n-1)$
et $(x)_0=1$. Le r\'esultat suivant confirme et
g\'en\'eralise la Conjecture 3 de [Du2].

\th Th\'eor\`eme 5
\enonce On a 
$$\displaylines{
\sum_{n\geq 1}\Gamma_n(x, y, z, \bar x, \bar y, \bar z)t^n
=\hfill\cr
\hfill\sum_{n\geq 1}{(x+\bar z)_{n-1}(y+\bar x)_{n-1}t^n
\over \prod_{k=0}^{n-1}\left
\{1-[(x+k)(\bar y-y)-
(\bar x+k)(\bar z-z)-(x+k)(\bar x_k+k)]t\right\}}\cdot \cr
}$$ 
\endth
\demonstration
Posons $\Gamma(x, \bar x; t)=\sum_{n\geq
1}\Gamma_n(x, y, z, \bar x, \bar y, \bar z)t^n$.
La r\'ecurrence (2.1) entra\^{\i}ne imm\'ediatement que
$$\displaylines{
\Gamma(x,\bar x; t)=
t+(x+\bar z)(y+\bar x)t\Gamma(x+1,\bar x+1; t)\hfill\cr
\hfill +[x(\bar y-y)-\bar x(\bar z-z)-x\bar
x]t\Gamma(x, \bar x;t).\cr
}$$
D'o\`u il vient
$$\displaylines{
\Gamma(x, \bar x; t)=
{t\over 1-[x(\bar y-y)-\bar x(\bar z-z)-x\bar x]t}\hfill\cr
\hfill +{(x+\bar z)(y+\bar x)t\over 
1-[x(\bar y-y)-\bar x(\bar z-z)-x\bar x]t}
\Gamma(x+1,\bar x+1; t).\cr
}$$
Ceci ach\`eve la d\'emonstration par it\'eration. \qed
\medskip

\th  Proposition 6
\enonce Pour $n\geq 1$, le polyn\^ome 
$\Gamma_n(x,y,z, \bar x, \bar y, \bar z)$ est
de degr\'e total $2n-2$ en les variables 
$x,y,z, \bar x, \bar y$ et $\bar z$, de degr\'e $n-1$ en 
les variables $x$ et $\bar x$ (\resp. $y$ et $\bar y$, 
$z$ et $\bar z$) et en la
seule variable $x$ (\resp. $y$, $z$, $\bar x$, $\bar y$, $\bar
z$). D'autre part, pour
toute permutation circulaire $(u, v, w)$ de $(x, y, z)$, 
on a les propri\'er\'es sym\'etriques suivantes : 
$$
\Gamma_n(x,y,z, \bar x, \bar y, \bar z)
=\Gamma_n(u,v,w, \bar u, \bar v, \bar w)
=\Gamma_n(\bar u, \bar w, \bar v, u, w, v).
$$ 
\endth
\demonstration La v�rification est facile
d'apr\`es la r�currence (2.1) et laiss\'ee au lecteur. \qed

\sectiona
3. Un lemme de Wall et ses applications
\endsection
Nous montrons dans cette partie comment un r\'esultat de 
\pc Wall| permet de
d\'emontrer facilemeent certains cas particuliers du Th\'eor\`eme 1.
 
 \th Lemme 1 (\pd Wall [Wa])
\enonce On a 
$$
{1+t\over\displaystyle 1-
    {\strut (g_1-1)\,t\over\displaystyle 1-
       {\strut (g_2-1)g_1\,t\over\displaystyle 1-
          {\strut (g_3-1)g_2\,t\over\displaystyle
 \ddots}}}}=
1+{g_1\,t\over\displaystyle 1-
    {\strut (g_1-1)g_2\,t\over\displaystyle 1-
       {\strut (g_2-1)g_3\,t\over\displaystyle 1-
          {\strut (g_3-1)g_4\,t\over\displaystyle
 \ddots}}}}\cdot
$$
\endth

\th Proposition 7
\enonce  
Le Th\'eor\`eme 1 est vrai pour $z=\bar z=0$ et $z=\bar z=1$
\endth
\demonstration
Soit $\Gamma(x, y, \bar x, \bar y; t)=\sum_{n\geq 1}
\Gamma_n(x, y, 0, \bar x, \bar y, 0))t^n$. 
De (2.1) on d\'eduit ais\'ement l'identit\'e�:
$$
[1+x(y+\bar x-\bar y)t]
\Gamma(x, y, \bar x, \bar y; t)
=t+x(y+\bar x)t\Gamma(x+1, y, \bar x+1, \bar y; t). \leqno (3.1)
$$
On cherche une suite $\{g_n :=g_n(x, y, \bar x, \bar y)\}$ telle que 
$$
\Gamma(x, y, \bar x, \bar y; t)
={t\over\displaystyle 1-
    {\strut x(y+\bar x-\bar y)(g_1-1)\,t\over\displaystyle 1-
       {\strut x(y+\bar x-\bar y)(g_2-1)g_1\,t\over\displaystyle 1-
          {\strut x(y+\bar x-\bar y)(g_3-1)g_2\,t\over\displaystyle
 \ddots}}}}\cdot\leqno (3.2)
$$
En reportant l'expression ci-dessus dans (3.1) et 
en substituant $x(y+\bar x-\bar y)t$ par $t$, on obtient :
$$
{1+t\over\displaystyle 1-
    {\strut (g_1-1)\,t\over\displaystyle 1-
       {\strut (g_2-1)g_1\,t\over\displaystyle 1-
          {\strut (g_3-1)g_2\,t\over\displaystyle
 \ddots}}}}
=1+{{y+\bar x\over y+\bar x-\bar y}\,t\over\displaystyle 1-
{\strut {(x+1)(y+\bar x+1-\bar y)\over x(y+\bar x-\bar y)}
(g'_1-1)\,t\over\displaystyle 1-
{\strut {(x+1)(y+\bar x+1-\bar y)\over x(y+\bar x-\bar y)}
(g'_2-1)g'_1\,t\over\displaystyle 1- 
{\strut {(x+1)(y+\bar x+1-\bar
y)\over x(y+\bar x-\bar y)}
(g'_3-1)g'_2\,t\over\displaystyle 
\ddots}}}}\virg
$$
o\`u�$g'_n :=g_n(x+1, y, \bar x+1, \bar y)$.
En comparant le membre de droite ci-dessus avec celui du Lemme 1, on
obtient successivement
$$\eqalign{
g_1&={y+\bar x\over y+\bar x-\bar y}\virg\cr
g_2&={(x+1)(y+\bar x+1-\bar y)\over x(y+\bar x-\bar y)}
{g_1'-1\over g_1-1}
=1+{1\over x}\virg\cr
g_3&={(x+1)(y+\bar x+1-\bar y)\over x(y+\bar x-\bar y)}
{g_2'-1\over g_2-1}g_1'
={y+\bar x+1\over y+\bar x-\bar y}\virg\cr 
g_4&={(x+1)(y+\bar x+1-\bar y)\over x(y+\bar x-\bar y)}
{g_3'-1\over g_3-1}g_2'=1+{2\over x}\cdot\cr 
}$$
On trouve facilement par r\'ecurrence l'expression g\'en\'erale : 
$$
g_{2n-1}={y+\bar x+n-1\over y+\bar x-\bar y},\qquad
g_{2n}=1+{n\over x}\virg\quad n\geq 1. 
$$
En reportant ces valeurs dans (3.2), on obtient
$$
\Gamma(x, y, \bar x, \bar y; t)={t\over\displaystyle 1-
    {\strut x\bar y\,t\over\displaystyle 1-
       {\strut (y+\bar x)\,t\over\displaystyle 1-
          {\strut (x+1)(\bar y+1)\,t\over\displaystyle 1-
             {\strut 2(y+\bar x+1)\,t\over\displaystyle 1-
             {\strut \ddots\over\displaystyle 1-
             {\strut (x+n-1)(\bar y+n-1)\,t\over\displaystyle
1-{\strut n(y+\bar x+n-1)\,t\over\displaystyle \ddots
}}}}}}}}\cdot\leqno (3.3)
$$ 

Ceci \'etablit le Th\'eor\`eme 1 pour $z=\bar z=0$ en contractant 
la fraction continue de (3.3) \`a partir
du 2\up{�me} trait. D'autre part, comme
$$
\Gamma_n(x, y, 0, \bar x, \bar y, 0)
=x\bar y\Gamma_{n-1}(x, y, 1, \bar x, \bar y, 1), \quad  n\geq 2,
$$ 
on retrouve le Th\'eor\`eme 1 pour $z=\bar z=1$ en contractant la fraction
continue de (3.3) \`a partir du 1\up{er} trait. \qed

\medskip
Un autre cas particulier int\'eressant est la suite des polyn\^omes
$B_n(x,y)=\Gamma_n(x, y, 1, 1, 1, 1)$ d�finis par la r\'ecurrence : 
$$
B_n(x,y)=(x+1)(y+1)B_{n-1}(x+1,y+1)-xyB_{n-1}(x,y)
 \leqno (3.4)
$$
avec $B_1(x,y)=1$. On d\'eduit alors de la Proposition 7 un
r\'esultat d\'ej\`a \'etabli dans 
\pc Dumont| et \pc Randrianarivony| [Du-Ra]
par d'autre moyen.
 
\th Corollaire 8  
\enonce On a l'identit\'e 
$$
{1\over\displaystyle 1-
    {\strut y\,t\over\displaystyle 1-
       {\strut (x+1)\,t\over\displaystyle 1-
          {\strut 2(y+1)\,t\over\displaystyle 1-
             {\strut 2(x+2)\,t\over\displaystyle 1-
                {\strut 3(y+2)\,t\over\displaystyle \ddots}}}}}}
 =1+y\sum_{n\geq 1}B_n(x, y)t^n.
$$
\endth

Les polyn\^omes
$B_n(x, y)$ peuvent en effet \^etre consid\'er\'es 
comme une extension commune des
nombres de Genocchi $G_{2n}$ et Genocchi m\'edians $H_{2n+1}$
(\cf. [Du-Ra]) en ce sens que  
$$ B_n(0,1)=H_{2n+1} \quad \hbox{et} \quad
B_n(1,1)=G_{2n+2}. \leqno (3.5)
$$

Par ailleurs, les formules (3.5) peuvent aussi se d\'eduire du
Corollaire 8 et des d\'eveloppements en fractions continues 
des fonctions g\'en\'eratrices des nombres de
Genocchi et Genocchi m\'edians (\cf. [Vi, Du-Ze]).

\sectiona
4. D\'eterminants de Hankel et fractions continues
\endsection
Rappelons qu'un d\'eterminant de Hankel construit sur une suite
$\{\mu_n\}_{n\geq 0}$  avec $\mu_0=1$ est tout simplement un mineur 
de la matrice infinie 
$H=(\mu_{i+j})_{0\leq i,j}$. 
Un tel d\'eterminant sera
not\'e 
$$
H\left(\matrix{\sevenrm
\beta_1,& \ldots,& \beta_k\cr
\alpha_1,& \ldots, &�\alpha_k\cr}\right),
$$ 
o\`u on d\'esigne
par $0\leq �\alpha_1<\cdots <�\alpha_k$ et 
$0\leq �\beta_1<\cdots <�\beta_k$ les 
indices respectifs des lignes et colonnes du mineur extrait. En
particulier, on pose
$$
\Lambda_n=H\left(\matrix{\sevenrm
0,&1,& \ldots,& n\cr
0,&1,& \ldots, &n\cr}\right),\qquad 
\Xi_n=H\left(\matrix{\sevenrm
0,&1,& \ldots,& n-1,&n\cr
0,&1,& \ldots, &n-1,&n+1\cr}\right).
$$
On remarque que $\Lambda_0=\mu_0=1$ et $\Xi_0=\mu_1$. D'autre part, on
convient que $\Lambda_{-1}=1$ et $\Xi_{-1}=0$. Le r\'esultat suivant est
classique, voir par exemple [Wa, p. 206].

\th Lemme 2
\enonce Si $\Lambda_n\not=0$ pour tout $n\geq 0$, alors
la s\'erie g\'en\'eratrice ordinaire $\sum_{n\geq 0}�_nt^n$ 
admet le d\'eveloppement en J-fraction continue suivant :
$$
\sum_{n\geq 0}\mu_nt^n=
{1\over\displaystyle 1-b_0\,t-
{\strut \lambda_1\,t^2\over\displaystyle 1-b_1\,t-
{\strut \lambda_2\,t^2\over\displaystyle 
{\ddots\over\displaystyle 1-b_n\,t-
{\strut \lambda_{n+1}\,t^2\over\displaystyle \ddots
}}}}}\virg
$$
o\`u les coefficients $b_n$ et $\lambda_{n+1}$ sont donn\'es par
$$
�\lambda_{n+1}={\Lambda_{n+1}\Lambda_{n-1}\over \Lambda_n^2}\quad
\hbox{et}\quad b_n={\Xi_n\over \Lambda_n}-{\Xi_{n-1}\over
\Lambda_{n-1}}\virg\qquad n\geq 0.
 $$
\endth

Par cons\'equent, pour d\'emontrer le Th\'eor\`eme 1, il suffit 
d'\'evaluer les deux
d\'eterminants $\Lambda_n$ et $\Xi_n$ avec 
$\mu_n=\Gamma_{n+1}(x, y, z, \bar x, \bar y,\bar z)$, $n\geq 0$. 
Par commodit\'e, on pose 
$$
\Gamma_n^{(k)}:=\Gamma_n(x+k, y, z, \bar x+k, \bar y, \bar z), \quad 
k\geq 0,
$$
et $\Gamma_n :=\Gamma_n^{(0)}$.
On d\'efinit l'{\sl op\'erateur de diff\'erence} $\Delta$ dans l'anneau des
polyn\^omes $P(x, \bar x)$ en $x,\, \bar x$ par 
$\Delta P(x, \bar x)=P(x+1, \bar x+1)-P(x, \bar x)$.
Ainsi la r\'ecurrence (2.1) peut s'\'ecrire 
$$
\Gamma_{n+1}(x, \bar x)=(x\bar x+xy+\bar x\bar z+y\bar z)\Delta 
\Gamma_n(x, \bar x) +(x\bar y+\bar xz+y\bar z)\Gamma_n(x, \bar x).
\leqno (4.1)
$$

Plus g\'en\'eralement, on d\'efinit $\Delta^0 P(x, \bar x)=P(x, \bar x)$ et
$$
 \Delta^m P(x, \bar x)=\Delta\{\Delta^{m-1}P(x, \bar x)\},\quad m\geq 1.
$$
Il est clair que si $P(x, \bar x)$ est un polyn\^ome 
de degr\'e $n$ en les variables $x$ et $\bar x$, alors
$\Delta^m P(x, \bar x)=0$ pour $m>n$.
On a \'egalement une formule analogue de celle de Leibniz
pour la d\'eriv\'ee.

\th Lemme 3
\enonce Soit $u(x,\bar x)$ et $v(x, \bar x)$ deux polyn\^omes 
en $x,\, \bar x$.
Alors
$$
\Delta^n(u(x,\bar x)v(x, \bar x))=\sum_{k=0}^n{n\choose k}
\Delta^{n-k}(u(x+k,\bar x+k))\Delta^k(v(x, \bar x)), \quad n\geq 0.
$$  
\endth
\demonstration
La v\'erification par r\'ecurrence est laiss\'ee au lecteur. \qed
\medskip

\th Lemme 4
\enonce On a pour tout $n\geq 0$ l'identit\'e :
$$
\Delta^n\Gamma_{n+1}(x, \bar x)=n!(\bar y+z)_n.\leqno (4.2)
$$
\endth
\demonstration  L'identit\'e (4.2) est \'evidemment vraie pour $n=0$.
Supposons l'\'equation (4.2) vraie pour $n=m-1$. 
Appliquons $\Delta^m$ �\`a (4.1),
 il vient 
$$\displaylines{
\Delta^m\Gamma_{m+1}(x, \bar x)=
\Delta^m\left[(x\bar x+xy+\bar x\bar z+y\bar z)\Delta 
\Gamma_m(x, \bar x)\right] \hfill\cr
\hfill +\Delta^m\left[(x\bar y+\bar xz+y\bar z)\Gamma_m(x, \bar x)\right].\cr
}$$
D'apr\`es le Lemme 3 et compte tenu de l'hypoth\`ese de r\'ecurrence
qui implique en particulier que $\Delta^l\Gamma_m(x,\, \bar x)=0$ 
pour tout $l\geq m$, on trouve apr\`es
simplification l'\'equation (4.2) pour $n=m$. \qed
\medskip
 
\th Lemme 5
\enonce On a pour tout $n\geq 0$ l'identit\'e :
$$\displaylines{
(4.3)\qquad\Delta^n\Gamma_{n+2}(x, \bar x)=(n+1)!(\bar y+z)_n \hfill\cr
\hfill \times \left[x\bar y+y\bar z+z\bar x+{n\over 2}
(x+\bar x+y+\bar y+z+\bar z)+{n(4n-1)\over 6}\right].\cr
}$$
\endth
\demonstration Comme $\Gamma_2(x, \bar x)=x\bar y+y\bar z+z\bar x$,
l'\'equation (4.3) est donc vraie pour $n=0$. Supposons (4.3) 
vraie pour $n=m-1$.
De m\^eme, d'apr\`es (4.1) on obtient, grace aux Lemmes 3 et 4,
l'identit\'e 
$$\displaylines{
\Delta^m\Gamma_{m+2}(x, \bar x)=m(\bar y+z+m-1)\Delta^{m-1}\Gamma_{m+1}(x,\bar x)
\hfill\cr
\hfill +\left[x\bar y+z\bar x+y\bar z+m(x+\bar x+y+\bar y+z+\bar
z+2m-1)\right]�\Delta^m\Gamma_{m+1}(x, \bar x),\cr
}$$
ce qui \'etablit, par l'hypoth\`ese de
r\'ecurrence et le Lemme 4, l'identit\'e (4.3) pour $n=m$. \qed
\medskip

\th Lemme 6
\enonce  On a 
$$\eqalign{
\Lambda_n&=\left|\,\matrix{
\Gamma_1&\Gamma_2\hfill&\ldots&\Gamma_n\hfill&\Gamma_{n+1}\hfill\cr
\Gamma_2&\Gamma_3\hfill&\ldots&\Gamma_{n+1}\hfill&\Gamma_{n+2}\hfill\cr
\,\, \vdots\hfill&\, \vdots\hfill&\ddots&\,\vdots\hfill &\,\vdots\hfill\cr
\Gamma_n&\Gamma_{n+1}\hfill&\ldots\hfill&\Gamma_{2n-1}\hfill&
\Gamma_{2n}\hfill\cr
\Gamma_{n+1}&\Gamma_{n+2}\hfill&\ldots&\Gamma_{2n}\hfill&
\Gamma_{2n+1}\hfill\cr}\right|\cr
&=\prod_{k=0}^{n-1}[(k+1)(x+\bar z+k)
(\bar y+z+k)(y+\bar x+k)]^{n-k}.\cr 
}$$
\endth
\demonstration 
A chaque colonne du d\'eterminant $\Lambda_n$, on ajoute
successivement de droite \`a gauche celle de sa gauche multipli\'ee
par $x(\bar y-y)-\bar x(\bar z-z)-x\bar x$. 
Comme $\Gamma_n+
[x(\bar y-y)-\bar x(\bar z-z)-x\bar x]\Gamma_{n-1}=
(x+\bar z)(y+\bar x)\Gamma_{n-1}^{(1)}$, cette op\'eration
implique imm\'ediatement que
 $$
\Lambda_n
=[(x+\bar z)(y+\bar x)]^n
\left|\,\matrix{
\Gamma_1&\Gamma_1^{(1)}\hfill&\ldots&\Gamma_{n-1}^{(1)}\hfill
&\Gamma_n^{(1)}\hfill\cr
\Gamma_2&\Gamma_2^{(1)}\hfill&\ldots&\Gamma_n^{(1)}\hfill
&\Gamma_{n+1}^{(1)}\hfill\cr
\,\, \vdots\hfill&\, \vdots\hfill&\ddots&\,\vdots\hfill &\,\vdots\hfill\cr
\Gamma_n&\Gamma_n^{(1)}\hfill&\ldots\hfill&\Gamma_{2n-2}^{(1)}\hfill&
\Gamma_{2n-1}^{(1)}\hfill\cr
\Gamma_{n+1}&\Gamma_{n+1}^{(1)}\hfill&\ldots&\Gamma_{2n-1}^{(1)}\hfill&
\Gamma_{2n}^{(1)}\hfill\cr}\right|
$$
En proc\'edant de la m\^eme mani\`ere, on obtient finalement
$$
\Lambda_n=\prod_{k=0}^{n-1}[(x+\bar z+k)(y+\bar x+k)]^{n-k}
\left|\,\matrix{
\Gamma_1&\Gamma_1^{(1)}\hfill&\ldots&\Gamma_1^{(n-1)}\hfill
&\Gamma_1^{(n)}\hfill\cr
\Gamma_2&\Gamma_2^{(1)}\hfill&\ldots&\Gamma_2^{(n-1)}\hfill
&\Gamma_2^{(n)}\hfill\cr
\,\, \vdots\hfill&\, \vdots\hfill&\ddots&\, \vdots\hfil&\,\vdots\hfill\cr
\Gamma_n&\Gamma_n^{(1)}\hfill&\ldots\hfill&\Gamma_n^{(n-1)}\hfill&
\Gamma_n^{(n)}\hfill\cr
\Gamma_{n+1}&\Gamma_{n+1}^{(1)}\hfill&\ldots&\Gamma_{n+1}^{(n-1)}\hfill&
\Gamma_{n+1}^{(n)}\hfill\cr 
}\right|\cdot\leqno (4.4)
$$
Par ailleurs, on v\'erifie sans peine que
$$
\Delta^m\Gamma(x, \bar x)=\sum_{i=0}^m(-1)^i{m\choose i}
\Gamma(x+m-i, \bar x+m-i).
$$
Donc, par des op\'erations \'el\'ementaires sur les colonnes du 
d\'eterminant de (4.4),
 on peut
transformer chaque $\Gamma_n^{(k)}$ en $\Delta^k\Gamma_n$. 
Or, d'apr\`es la Proposition 6,  
le polyn\^ome $\Gamma_n$ est de degr\'e
$n-1$ en les variables $x$ et $\bar x$,
donc $\Delta^k\Gamma_n=0$ si $k\geq n$. Par suite,
$$
\Lambda_n=
\prod_{k=0}^{n-1}[(x+\bar z+k)(y+\bar x+k)]^{n-k}
\left|\,\matrix{
\Gamma_1&0\hfill&\ldots&0\hfill&0\hfill\cr
\Gamma_2&\Delta \Gamma_2\hfill&\ldots&0\hfill&0\hfill\cr \,\,
\vdots\hfill&\, \vdots\hfill&\ddots&\, \vdots\hfill&\,
\vdots\hfill\cr
\Gamma_{n+1}&\Delta\Gamma_{n+1}\hfill &\ldots
&\Delta^2\Gamma_n\hfill&0\hfill\cr  
\Gamma_{n+1}&\Delta\Gamma_{n+1}\hfill
&\ldots &\Delta^{n-1}\Gamma_{n+1}\hfill& \Delta^n\Gamma_{n+1}\hfill\cr 
}\right|.
$$
Ce qui ach\`eve la d\'emonstration en vertu du Lemme 4. \qed
\medskip

\th Lemme 7
\enonce Soit
$$
\Xi_n=\left|\,\matrix{
\Gamma_1&\Gamma_2\hfill&\ldots&\Gamma_n\hfill&\Gamma_{n+2}
\hfill\cr
\Gamma_2&\Gamma_3\hfill&\ldots&\Gamma_{n+1}\hfill&
\Gamma_{n+3}\hfill\cr
\,\, \vdots\hfill&\, \vdots\hfill&\,
\ddots\hfill&\, \vdots\hfill&\, \vdots\hfill\cr
\Gamma_{n}&\Gamma_{n+1}\hfill&\ldots&\Gamma_{2n-1}\hfill&
\Gamma_{2n+1}\hfill\cr
\Gamma_{n+1}&\Gamma_{n+2}\hfill&\ldots&\Gamma_{2n}\hfill&
\Gamma_{2n+2}\hfill\cr
}\right|\cdot
$$
Alors 
$$
{\Xi_n\over\Lambda_n}=(n+1)\big[x\bar y+y\bar z+z\bar
x+{n\over 2} (x+\bar x+y+\bar y+z+\bar z)+{n(4n-1)\over
6}\big]. $$ 
\endth
\demonstration
Par un raisonnement analogue \`a celui du Lemme 6, mais en
manipulant les lignes au lieu de colonnes de d\'eterminants, on
obtient  
$$\eqalign{
\Xi_n&=\prod_{k=0}^{n-1}[(x+\bar z+k)(y+\bar x+k)]^{n-k} 
 \left|\,\matrix{
\Gamma_1&\Gamma_2\hfill&\ldots&\Gamma_n\hfill&\Gamma_{n+2}
\hfill\cr
\Gamma_1^{(1)}&\Gamma_2^{(1)}\hfill&\ldots&\Gamma_n^{(1)}
\hfill&\Gamma_{n+2}^{(1)}\hfill\cr
\,\, \vdots\hfill&\,
\vdots\hfill&\ddots&\,\vdots\hfill&\,
\vdots\hfill\cr
\Gamma_1^{(n-1)}&\Gamma_n^{(n-1)}\hfill&\ldots&
\Gamma_n^{(n-1)}\hfill&\Gamma_{n+2}^{(n-1)}\hfill\cr
\Gamma_1^{(n)}&\Gamma_n^{(n)}\hfill&\ldots&\Gamma_n^{(n)}
\hfill&\Gamma_{n+2}^{(n)}\hfill\cr
}\right| \cr
&=\prod_{k=0}^{n-1}[(x+\bar
z+k)(y+\bar x+k)]^{n-k} 
\left|\,\matrix{
\Gamma_1&\Gamma_2\hfill&\ldots&\Gamma_n\hfill&\Gamma_{n+2}
\hfill\cr
0&\Delta\Gamma_2\hfill&\ldots&\Delta\Gamma_n
\hfill&\Delta\Gamma_{n+2}\hfill\cr
\,\, \vdots\hfill&\,
\vdots\hfill&\ddots&\,\vdots\hfill&\,
\vdots\hfill\cr
0&0\hfill&\ldots&
\Delta^{n-1}\Gamma_n\hfill&\Delta^n\Gamma_{n+2}\hfill\cr
0&0\hfill&\ldots&0
\hfill&\Delta^n\Gamma_{n+2}\hfill\cr
}\right|\cr 
&=\prod_{k=0}^{n-1}[(x+\bar
z+k)(y+\bar x+k)]^{n-k} \Delta^n\Gamma_{n+2}
\prod_{k=0}^{n-1}\Delta^k\Gamma_{k+1}.\cr
}$$
Ceci ach\`eve la d\'emonstration en vertu des Lemmes 5 et 6. \qed

\medskip

Le Th\'eor\`eme 1 en r\'esulte finalement en tenant compte des
Lemmes 2, 6 et 7. 

\sectiona
5. Un mod\`ele sym\'etrique ternaire pour $F_n(x,y,z)$
\endsection
Plusieurs auteurs (\cf. [Du-Fo, Vi, Ha]) ont propos\'e de trouver 
un mod\`ele
combinatoire pour les polyn\^omes $F_n(x,y,z)$ de sorte que 
la sym\'etrie ternaire
soit \'evidente. L'expression sym\'etrique polynomiale de $F_n(x,y,z)$ du
Corollaire 3 nous ouvre en effet une nouvelle voie pour une 
telle interpr\'etation
en termes de chemins de Motzkin valu\'es (\cf. [Fl, Vi]).

\th D\'efinition 5.1 
\enonce Un chemin de Motzkin en $n$
 pas est une application $\omega$ de $\{0, 1, \ldots, n\}$ dans
$\{0, 1, \ldots, n\}$ telle que $\omega(0)=\omega(n)=0$ et
$\forall i\in \{1, 2, \ldots, n\}$, on a $|\omega(i)-\omega(i-1)|\leq 1$,
autrement dit les pas $(\omega(i-1), \omega(i))$ sont, 
soit des mont\'ees de $+1$,
soit des paliers, soit des descentes de $-1$. On appelle $\omega(i)$
le niveau du i\up{e} pas $(\omega(i-1), \omega(i))$ de $\omega$.
\endth

Soient $a_k,\, b_k,\,c_{k+1}\, (k\geq 0)$ des variables commutatives. 
Pour tout
chemin de Motzkin $\omega$, on d�finit la valuation d'un palier situ\'e 
au niveau $k$
par $b_k$, d'une descente du niveau $k+1$ vers le niveau $k$ par $c_{k+1}$ 
et d'une mont\'ee du niveau $k$ vers le niveau $k+1$
par $a_k$. On d\'efinit la valuation $w(\omega)$ de $\omega$ par le produit des 
valuations de tous ses pas. 

En particulier, si l'on pose pour tout $k\geq 0$,
$$\eqalign{
a_k&=k+1,\cr
b_k&=(x+2k)y+(y+2k)z+(z+2k)x+k(2k-1),\cr
c_{k+1}&=(x+y+k)(y+z+k)(z+x+k),\cr
}$$
alors d'apr\`es \pc Flajolet| [Fl], 
le Corollaire 2 donne imm\'ediatement l'\'equation suivante :  
$$
F_{n+1}(x,y,z)=\sum_{\omega�\in \Gamma(n)}w(\omega), \qquad n\geq 1.\leqno (5.1)
$$
o\`u $\Gamma(n)$ d\'esigne l'enemble des chemins de Motzkin en $n$ pas.

\th D\'efinition 5.2
\enonce Un chemin de Motzkin color\'e en $n$
 pas est la donn\'ee d'un chemin de Motzkin $\omega$ en n pas et d'un
coloriage en quatre couleurs ${x, y, z, 1}$ des paliers de $\omega$. 
Un palier de couleur $x$ (\resp. $y, z, 1$)
s'appelle ainsi $x$-palier (\resp. $y$-palier, $z$-palier,
$1$-palier).
\endth

\th D\'efinition 5.3
\enonce Un complexe de Genocchi sur $[n]$ est un quadruple 
$(\omega, f, g, h)$ o\`u� $\omega�$ est un chemin de Motzkin color\'e de $n$
pas et o\`u $f, g, h$ sont des applications de $[n]$ dans
$\bf Z$ telles que pour tout $i$, $1\leq i\leq n$, soit
$k=\omega(i-1)$ le niveau du i\up{e} pas, \break
si le i\up{e} pas $(\omega(i-1), \omega(i))$ est une
mont\'ee alors 
$$
0\leq f(i)=g(i)=h(i)\leq k \pv
$$
si le i\up{e} pas $(\omega(i-1), \omega(i))$ est une
descente alors
$$
0\leq f(i)\leq k,\quad 0\leq g(i)\leq k,\quad 
0\leq h(i)\leq k\pv
$$ 
si le i\up{e} pas $(\omega(i-1), \omega(i))$ est un x-palier (\resp.
y-palier, z-palier), alors
$$
-\omega(i-1)\leq f(i)= g(i)= h(i)\leq \omega(i-1) ; 
$$ 
si le i\up{e} pas $(\omega(i-1), \omega(i))$ est un 1-palier, alors
$$
1\leq f(i)= g(i)= h(i)\leq k(2k-1).
$$ 
\endth

Soit ${\cal C}_n$ l'ensemble des complexes de Genocchi sur
$[n]$. De (14), on d\'eduit imm\'ediatement que
le cardinal de ${\cal C}_n$ est
$F_{n+1}(1,1,1)=G_{2n+4}$ pour $n\geq 1$.
Afin de trouver une interpr\'etation combinatoire pour voir la sym\'etrie
de $F_{n+1}(x,y,z)$,  on va introduire quelques 
statistiques appropri\'ees sur
les complexes de Genocchi. 

Soit $\pi�=(\omega,f,g,h)\in {\cal C}_n$. On d\'esigne par 
$\fmin \pi�$ (\resp. $\gmin \pi�$, $\hmin \pi�$ ) 
le nombre des entiers $i$, $1\leq
i\leq n$, tels que $f(i)=0$ (\resp. $g(i)=0$, $h(i)=0$) et le pas
$(\omega(i-1), \omega(i))$ est une descente. 
On d\'esigne par 
$\fmax \pi�$ (\resp. $\gmax \pi�$, $\hmax \pi�$ ) 
le nombre des entiers $i$, $1\leq
i\leq n$, tels que $f(i)=\omega�(i-1)$ (\resp. $g(i)=\omega�(i-1)$,
$h(i)=\omega(i-1)$) et le pas $(\omega�(i-1), \omega�(i))$ est une descente. 
On note $\xpal \pi�$ (\resp. $\ypal \pi�$, $\zpal \pi�$) le nombre 
des x-paliers (\resp. y-paliers, z-paliers) de $\omega�$ et
$\xmoy \pi�$ (\resp. $\ymoy \pi�$, $\zmoy \pi�$) le nombre des entiers
$i$, $1\leq i\leq n$, tels que $f(i)=g(i)=h(i)=0$ et le i\up{e} pas
$(\omega(i-1), \omega(i))$ est un x-palier (\resp. y-palier,  z-palier).
Posons
$$\leqalignno{
�\alpha(\pi�)&=\fmin \pi�+\hmax \pi�+\xpal \pi�+\ymoy \pi�,\cr
\beta�(\pi�)&=\gmin \pi�+\fmax \pi�+\ypal \pi�+\zmoy \pi�,&(5.2)\cr
�\gamma(\pi�)&=\hmin \pi�+\gmax \pi�+\zpal \pi�+\xmoy \pi�.\cr
}$$ 
On d\'eduit donc du Corollaire 2 et de (5.1) 
$$
F_{n+1}(x,y,z)=\sum_{\pi�\in {\cal
C}_n}x^{\alpha(\pi�)}y^{\beta�(\pi�)}z^{\gamma�(\pi�)}.\leqno (5.3)
$$

Montrons maintenant que la sym\'etrie ternaire de $F_{n+1}(x,y,z)$
est facile \`a voir selon l'interpr\'etation combinatoire (5.3),
c'est-\`a-dire qu'il est ais\'e d'exhiber deux involutions sur
${\cal C}_n$,
 l'une \'echangeant les param\`etres $\alpha�$ et $\beta�$ en conservant $\gamma$,
l'autre \'echangeant $\beta$ et $\gamma$ en conservant $\alpha$.

Voici une involution $\varphi$ sur ${\cal C}_n$ telle que
$$
\alpha�(\pi�)=\beta�(\pi�'),\qquad \beta�(\pi�)=�\alpha(�\pi'),\qquad �
\gamma(\pi�)=\gamma�(\pi�'), 
\qquad\forall \pi�\in {\cal C}_n,\leqno (5.4)
$$
o\`u $\pi'=\varphi(\pi�)$.

Etant donn\'e $\pi�=(\omega�, f,g,h)\in {\cal C}_n$, on construit 
$\pi'=(\omega', f',g',h')=\varphi (\pi�)\in {\cal C}_n$ comme suit : 

(i) si $(\omega(i-1),\omega(i))$ est un x-palier (\resp. z-palier) et
$f(i)=g(i)=h(i)=0$, alors $(\omega'(i-1),\omega'(i))$ est un z-palier 
(\resp. x-palier) et $f'(i)=g'(i)=h'(i)=0$ ;

(ii) si $(\omega(i-1),\omega(i))$ est un x-palier (\resp., y-palier) et
$f(i)=g(i)=h(i)=k\not=0$, alors $(\omega'(i-1),\omega'(i))$ est 
un y-palier (\resp. x-palier) et $f'(i)=g'(i)=h'(i)=k$ ;

(iii) si $(\omega(i-1),�\omega(i))$ est une descente et
$f(i)=0$ (\resp. $�\omega(i-1)$), 
alors $(\omega'(i-1),�\omega'(i))=(\omega(i-1),�\omega(i))$ 
et $f'(i)=�(i-1)$ (\resp. $0$), $g'(i)=\omega(i-1)-g(i)$, 
$h'(i)=\omega(i-1)-h(i)$ ;

(iv) dans tous les autres cas, on d\'efinit
$((\omega'(i-1), \omega'(i)), f'(i), g'(i), h'(i))=
((\omega(i-1), \omega(i)), f(i), g(i), h(i))$.

Il est clair que $\varphi$ est une involution sur 
${\cal C}_n$ satisfaiant (5.4). 

Dans l'involution ci-dessus,
si l'on substitue respectivement $x,\; y,\; z$ par $y,\; z,\; x$
dans (i), (ii) et $f,\; g,\; h$ par $g,\; h,\; f$ dans (iii), on obtient
une involution sur ${\cal C}_n$ qui \'echange $\beta�$ et $\alpha�$ en
conservant $\gamma$.
\medskip

\section
Remerciement
\endsection
L'auteur tient \`a remercier les deux arbitres anonymes pour leurs
remarques pr\'ecieuses sur une version ant\'erieure de cet article.
\eightpoint
\ctitre
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\leftline{D\'epartement de Math\'ematiques}
\leftline{Universit\'e Louis-Pasteur}
\leftline{7, rue Ren\'e Descartes}
\leftline{67084 Strasbourg Cedex, France}
\leftline{Email : jzeng@math.u-strasbg.fr}}
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