ÉNUMÉRATIONS DE PERMUTATIONS ET J-FRACTIONS

CONTINUES

Par

Jiang ZENG

Abstract. — In this paper, we evaluate the generating function of the symmetric group with respect to five statistics. The continued fraction expansion of its ordinary generating function is then derived by the methods of Stieltjes and Rogers, which implies especially the combinatorial interpretation of the moments of the orthogonal Sheffer polynomials.

1. Introduction Soit S_{n} l’ensemble des permutations de {1, 2, …, n}. Étant donnée une permutation

σ de {1, 2, …, n}, chaque valeur x = σ(i), 1 ≤ i ≤ n, se trouve alors dans l’un des cinq cas suivants :

un pic de cycle, si σ^{−1}(x) < x > σ(x) ; un creux de cycle, si σ^{−1}(x) > x < σ(x) ; une double montée de cycle, si σ^{−1}(x) < x < σ(x) ; une double descente de cycle, si σ^{−1}(x) > x > σ(x) ;

un point fixe, si σ(i) = i. On note le nombre des pics, creux, doubles montées, points fixes et doubles descentes de cycle de σ respectivement par pic σ, cc σ, dm σ, fix σ et dd σ. D’autre part cyc σ désigne le nombre de cycles de σ. On s’intéresse au polynôme générateur suivant :

(1.1)  μ_{n} = ∑_{σ∈S_{n}} u_{1}^{cc σ}u_{2}^{pic σ}u_{3}^{dm σ}u_{4}^{dd σ}α^{fix σ}β^{cyc σ}.

Les trois premières valeurs de μ_{n} sont données par

(1.2)  \begin{aligned}μ_{1} & = αβ, \\ μ_{2} & = α^{2}β^{2} + u_{1}u_{2}β, \\ μ_{3} & = α^{3}β^{3} + 3u_{1}u_{2}αβ^{2} + u_{1}u_{2}(u_{3} + u_{4})β. \end{aligned}

Le polynôme générateur (1.1) ou ses variantes ont été beaucoup étudié dans la littérature, parmis les nombreux articles, on ne cite que [Ca-Sc1, Ca-Sc2, Fo-St, Fr-Vi, Fl2, Vi]. L’objet de cet article est de démontrer les trois théorèmes suivants.

TH^{}ÉOR^{}ÈME 1. — On a

(1.3)  1 + ∑_{n≥1} μ_{n} \frac{x^{n}}{n!} = e^{αβx} (\frac{α_{1} − α_{2}}{α_{1}e^{α_{2}x} − α_{2}e^{α_{1}x}} )^{β} ·

où α_{1}α_{2} = u_{1}u_{2} et α_{1} + α_{2} = u_{3} + u_{4}.

TH^{}ÉOR^{}ÈME 2. — On a

(1.4) 1 + ∑_{n≥1} μ_{n}x^{n} = \frac{1}{1 − (α − α_{2})βx} · ∑_{n≥0} \frac{α_{2}^{n}(β)_{n}x^{n}}{∏_{k=1}^{n}[1 − ((α − α_{2})β + k(α_{1} − α_{2}))x]},

où α_{1}α_{2} = u_{1}u_{2} et α_{1} + α_{2} = u_{3} + u_{4}.

TH^{}ÉOR^{}ÈME 3. — On a

1 + ∑_{n≥1} μ_{n}x^{n} =

\frac{1}{1 − αβx − \frac{βu_{1}u_{2}x^{2}}{1 − (αβ + u_{3} + u_{4})x − \frac{2(β + 1)u_{1}u_{2}x^{2}}{\frac{...}{1 − (αβ + n(u_{4} + u_{3}))x − \frac{(n + 1)(β + n)u_{1}u_{2}x^{2}}{...}}}}} ·

Notons que le théorème 1 a été obtenu implicitement par CARLITZ et SCOVILLE [Ca-Sc1, Ca-Sc2] par des calculs sophistiqués. Le théorème 3 est une variante améliorée d’un énoncé de VIENNOT [Vi, II-43, V-7], qui l’a démontré à l’aide d’une bijection de FRANÇON et VIENNOT [Fr-Vi] et un théorème de FLAJOLET sur fraction continue de type Jacobi [Fl2]. En fait, cet article a été motivé par le désir de déduire le théorème 3 de la fonction génératrice exponentielle des μ_{n}, i.e, le théorème 1, par la formule d’addition due à STIELTJES et ROGERS (cf. [St], [Ro] et [Wa]). Jusqu’ici, il semble que seuls les cas particuliers du théorème 3 par cette approche ont été obtenus dans la littérature, voir [Fl1, Fl2, Go-Ja].

Il est bien connu [Ch] que le théorème 3 équivaut aussi à l’énoncé suivant : les polynômes P_{n}(x) orthogonaux par rapport aux moments μ_{n} sont définis par la relation de récurrence :

P_{n+1}(x) = (x − (αβ + n(u_{4} + u_{3})))P_{n}(x) − (n + 1)(β + 1)u_{1}u_{2}P_{n−1}(x), n ≥ 0, avec P_{−1}(x) = 0 et P_{0}(x) = 1.

On constate que la récurrence ci-dessus généralise celles satisfaites par les polynômes de Sheffer [Ch, appendix]. En spécialisant les paramètres, on déduire de (1.1) les interprétations combinatoires des moments des polynômes de Sheffer dans [Vi]. Voir aussi [Ze] pour une autre démonstration de ce résultat.

Nous démontrons les théorèmes 1 et 2 au paragraphe 2. On déduit le théorème 3 au paragraphe 3 par deux méthodes, respectivement du theoréme 1 et du théorème 2. Enfin, on conclut l’article avec quelques commentaires et résultats supplémentaires au paragraphe 4 2. Fonctions génératrices exponentielles et ordinaires Pour l’évaluation de la fonction génératrice exponentielle de μ_{n} on aura besoin

une autre interprétation des statistiques introduites au début de cet article. Plus précisément on identifie chaque permutation σ ∈ σ_{n} au mot σ = σ(1)σ(2) ⋯ σ(n). Avec la convention σ(0) = n + 1 et σ(n + 1) = 0, on dira que x = σ(i), 1 ≤ i ≤ n est respectivement

un pic, si σ(i − 1) < x > σ(i + 1) ;

un creux, si σ(i − 1) > x < σ(i + 1) ;

une double montée, si σ(i − 1) < x < σ(i + 1) ;

une double descente, si σ(i − 1) > x > σ(i + 1). Enfin, l’élément σ(i) est dit un élément saillant inférieur à gauche si σ(i) < σ(j) pour tout j tel que 1 ≤ j < i.

Soit π ∈ S_{n}. Rappelons la transformation fondamentale π ↦ π̂ sur les permutations (cf. [Fo-Sc]) comme suit : étant donnée une permutation π factorisée en cycles, on écrit chaque cycle avec son plus petit élément en premier, et on arrange les cycles suivant l’ordre décroissant de leurs plus petits éléments. On obtient alors π̂ en effaçant les parenthèses. Par exemple, si π = (35)(2)(164), on aura π̂ = 352164.

D’après cette transformation, on voit aisément que les deux définitions ci-dessus sont équivalentes. En effet, chaque pic (resp. creux, double montée) de cycle de π correspond bijectivement à un pic (resp. creux, double montée) de π̂ et chaque double descente de cycle (resp. point fixe) de π correspond d’une façon biunivoque à une double descente de π̂ qui n’est pas (resp. est) à la fois un élément saillant inférieur à gauche de π̂.

Soient u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4} quatre variables commutatives. Etant donnée une permutation σ = σ(1)σ(2) ⋯ σ(n) sur {1, 2, …, n}, on lui associe le mot w_{1}(σ) = a_{1}a_{2} ⋯ a_{n} (resp. w_{2}(σ)), où a_{i} = u_{1} si σ(i) est un creux, a_{i} = u_{2} si σ(i) est un pic, a_{i} = u_{3} si σ(i) est une double montée et a_{i} = u_{4} si σ(i) est une double descente avec la convention que σ(0) = σ(n + 1) = 0 (resp. σ(0) = n + 1 et σ(n + 1) = 0). Soit

(2.1)  U(x) = ∑_{n≥1} ∑_{σ∈S_{n}} w_{1}(σ)\frac{x^{n}}{n!} ,
(2.2)  V (x) = ∑_{n≥1} ∑_{σ∈S_{n}} w_{2}(σ)\frac{x^{n}}{n!} ,

les fonctions génératrices correspondantes.

PROPOSITION 4. — Les deux fonctions génératrices ont les expressions suivantes :

(2.3)  U(x) = u_{2} \frac{e^{α_{2}x} − e^{α_{1}x}}{α_{2}e^{α_{1}x} − α_{1}e^{α_{2}x}} = u_{2}x + (u_{3} + u_{4})u_{2} \frac{x^{2}}{2!} + …,
(2.4)  V (x) = \frac{e^{u_{4}x}(α_{2} − α_{1})}{α_{2}e^{α_{1}x} − α_{1}e^{α_{2}x}} − 1 = u_{4}x + (u_{1}u_{2} + u_{4}^{2})\frac{x^{2}}{2!} + …,

où α_{1}α_{2} = u_{1}u_{2} et α_{1} + α_{2} = u_{3} + u_{4}.

Démonstration. — Étant donnée une permutation σ = σ(1)σ(2) ⋯ σ(n) sur {1, 2, …, n}, si l’on enlève l’élément 1, on obtient deux permutations, σ′ = σ(1)σ(2) ⋯ σ(j − 1) et σ′′ = σ(j + 1) ⋯ σ(n), où σ(j) = 1. Les nombres de pics, creux, doubles montées et doubles descentes de σ sont respectivement la somme de ceux de σ′ et σ′′ à ceci près que si σ′ (resp. σ′′) est vide, on compte un creux (resp. une double descente) de plus pour σ. On obtient donc l’équation différentielle

(2.5)  U′(x) = u_{2} + (u_{3} + u_{4})U(x) + u_{1}U(x)^{2}.

Un analyse analogue conduit à

(2.6)  V′(x) = (u_{4} + u_{1}U(x))(1 + V (x)).

En résolvant (2.5) d’abord et (2.6) ensuite, qui sont à variables séparées, on obtient respectivement (2.3) et (2.4).

COROLLAIRE 5. — On a

(2.7)  1 + ∑_{n≥1} \frac{x^{n}}{n!} ∑_{σ∈S_{n}} w_{1}(σ)β^{sig σ} = e^{u_{4}βx} (\frac{α_{1} − α_{2}}{α_{1}e^{α_{2}x} − α_{2}e^{α_{1}x}} )^{β} ,

où sig σ désigne le nombre d’éléments saillants inférieurs à gauche de σ et α_{1} + α_{2} = u_{3} + u_{4}, α_{1}α_{2} = u_{1}u_{2}.

Démonstration. — Lorsque β = 1, on retrouve (2.4). Le cas général en résulte d’après la formule exponentielle (voir [Fo-Sc]) et la transformation fondamentale.

COROLLAIRE 6. — Soit D_{n} l’ensemble des permutations sans point fixe sur {1, 2, …, n}. Alors

(2.8)  1 + ∑_{n≥1} \frac{x^{n}}{n!} ∑_{σ∈D_{n}} u_{1}^{cc σ}u_{2}^{pic σ}u_{3}^{dm σ}u_{4}^{dd σ}β^{cyc σ} = (\frac{α_{1} − α_{2}}{α_{1}e^{α_{2}x} − α_{2}e^{α_{1}x}} )^{β} ,

où α_{1} + α_{2} = u_{3} + u_{4} et α_{1}α_{2} = u_{1}u_{2}.

Démonstration. — Par la transformation fondamentale rappelée plus haut, tout élément de π̂ qui est à la fois une double descente et un élément saillant inférieur à gauche correspond de façon biunivoque à un point fixe de π. On obtient donc (2.8) en divisant (2.7) par e^{u_{4}βx}.

On est maintenant en mesure de démontrer le théorème 1. Remarquons que e^{αβx} est la fonction génératrice exponentielle des permutations dont tous les points sont fixes par rapport au fonction poids (1.1). Il se résulte du corollaire précédent que la fonction génératrice exponentielle des permutations par rapport au fonction poids (1.1) est

(2.9)  e^{αβx} (\frac{α_{1} − α_{2}}{α_{1}e^{α_{2}x} − α_{2}e^{α_{1}x}} )^{β} ·

où α_{1}α_{2} = u_{1}u_{2} et α_{1} + α_{2} = u_{3} + u_{4}. C’est ce qu’il fallait démontrer.

Pour la suite de cet article, on pose

(2.10)  h(x) = h(x; u, v, β) = (\frac{v − u}{v − ue^{(v−u)x}} )^{β} ·

En fait, la série formelle h(x) est elle-même combinatoirement intéressante. Rappelons que dans une permutation σ ∈ S_{n}, un élément x = σ(i), 1 ≤ i ≤ n est dit une montée de cycle (ou excédance ) de σ ssi x < σ(x). On note exc σ le nombre des montées de cycle de σ et nex σ = n − exc σ. Le résultat suivant est dû à CARLITZ et SCOVILLE [Ca-Sc2].

PROPOSITION 7. — On a

(2.11)  1 + ∑_{n≥1} \frac{x^{n}}{n!} ∑_{σ∈S_{n}} u^{exc σ}v^{nex σ}β^{cyc σ} = (\frac{v − u}{v − ue^{(v−u)x}} )^{β} ·

Démonstration. — On remarque qu’un élément est une montée de cycle si et seulement s’il est un creux de cycle ou une double montée. La proposition en résulte donc en posant α_{2} = α_{3} = u et α_{1} = α_{4} = α = v dans le théorème 1.

Pour toute série formelle a(x) = ∑_{i≥0} a_{i}x^{i}/i!, on note sa transformée de Laplace formelle par L{a}(x) = ∑_{i≥0} a_{i}x^{i}.

LEMME 8. — On a

(2.12)  L\{h\}(x) = ∑_{n≥0} \frac{u^{n}(β)_{n}x^{n}}{[1 − (v − u)x] ⋯ [1 − n(v − u)x]}·

Démonstration. — D’après (2.10), on obtient par la formule binomiale que

h(x) = \{1 − \frac{u}{v − u} (e^{(v−u)x} − 1)\}^{−β}

= ∑_{n≥0} (\frac{u}{v − u})^{n} · \frac{(β)_{n}}{n!} (e^{(v−u)x} − 1)^{n}

= ∑_{n≥0} (\frac{u}{v − u})^{n} · \frac{(β)_{n}}{n!} ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}(−1)^{k} · e^{(n−k)(v−u)x}.

Comme la transformée de Laplace de e^{(n−k)(v−u)x} est 1/(1 − (n − k)(v − u)x), en appliquant la transformation de Laplace à l’identité précédente, on obtient

(2.13)  L\{h\}(x) = ∑_{n≥0} (\frac{u}{v − u})^{n} · \frac{(β)_{n}}{n!} ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\frac{(−1)^{k}}{1 − (n − k)(v − u)x}·

Or il est facile de vérifier que

(2.14)  \frac{x^{n}}{(1 − ax) ⋯ (1 − nax)} = \frac{1}{n!a^{n}} ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\frac{(−1)^{k}}{1 − (n − k)ax}·

Compte tenu de (2.13) et (2.14) on obtient (2.12).

LEMME 9. — Soit a(x) = ∑_{i≥0} a_{i}x^{i}/i! et b(x) = ∑_{i≥0} a_{i}x^{i}/i! deux séries formelles telles que b(x) = e^{αx}a(x). Alors

(2.15)  L\{b\}(x) = \frac{1}{1 − αx}L\{a\} (\frac{x}{1 − αx}) .

Démonstration. — La démonstration de ce lemme est laissée au lecteur.

D’après le théorème 1, la fonction génératrice exponentielle des μ_{n} peut s’écrire comme suit :

e^{(α−α_{2})βx}h(x; α_{2}, α_{1}, β).

Le théorème 2 en résulte alors en vertu des lemmes 8 et 9.

De même, par application des lemmes 8 et 9 à la proposition 4, on trouve les transformées de Laplace de U(x) et V (x).

PROPOSITION 10. — On a

\begin{aligned}L\{U\}(x) & = \frac{u_{2}}{α_{2}} ∑_{n≥1} \frac{α_{2}^{n} n! x^{n}}{[1 − (α_{1} − α_{2})x][1 − (α_{1} − α_{2})x] ⋯ [1 − n(α_{1} − α_{2})x]}, \\ L\{V \}(x) & = −1 + \frac{1}{1 − (u_{4} − α_{2})x} ∑_{n≥0} \frac{α_{2}^{n} n! x^{n}}{∏_{k=0}^{n}[1 − (u_{4} + kα_{1} − (k + 1)α_{2})x]}, \end{aligned}

où α_{1}α_{2} = u_{1}u_{2} et α_{1} + α_{2} = u_{3} + u_{4}.

En particulier, si l’on pose u_{1} = u_{2} = 1 et u_{3} = u_{4} = 0 dans la proposition 4, d’une part les polynômes générateurs ∑_{σ∈S_{n}} w_{1}(σ) et ∑_{σ∈S_{n}} w_{2}(σ) se réduisent respectivement aux nombres de permutations alternantes, i.e, ni doubles montées ni doubles descentes, d’ordre n impair et d’ordre n pair, d’autre part les séries U(x) et 1 + V (x) se réduisent respectivement à tg x et sec x. On retrouve donc le résultat classique de ANDR^{}É [An] sur l’interprétation combinatoire des coefficients E_{n} dans la série :

∑_{n≥0} E_{n} \frac{x^{n}}{n!} = sec x + tg x.

A leur tour, les identités de la proposition 10 se réduisent après simplification aux formules :

(2.16)  ∑_{n≥0}(−1)^{n}E_{2n+1}x^{2n+1} = ∑_{n≥1} \frac{n! x^{n}}{(1 + 2 x)(1 + 4 x) ⋯ (1 + 2n x)},
(2.17)  ∑_{n≥0}(−1)^{n}E_{2n}x^{2n} = ∑_{n≥0} \frac{n! x^{n}}{(1 + x)(1 + 3 x) ⋯ (1 + (2n + 1) x)}·

3. Développement en fractions continues

On dit qu’une série formelle a(x) admet une formule d’addition avec les paramètres {(p_{k}, q_{k+1})|k ≥ 0}, si a(x) a la propriété suivante :

(3.1)  a(x + y) = ∑_{k≥0} p_{k}f_{k}(x)f_{k}(y),

où p_{k} est indépendant de x, y et

(3.2)  f_{k}(x) = \frac{x^{k}}{k!} + q_{k+1} \frac{x^{k+1}}{(k + 1)!} + O(x^{k+2}).

LEMME 11 (STIELTJES - ROGERS). — La série formelle a(x) a une formule d’addition avec les paramètres {p_{k}, q_{k+1}|k ≥ 0}, si et seulement si

(3.3)  L\{a\}(x) = \frac{1}{1 − b_{0}x − \frac{λ_{1}x^{2}}{1 − b_{1}x − \frac{λ_{2}x^{2}}{\frac{...}{1 − b_{n}x − \frac{λ_{n+1}x^{2}}{...}}}}}

avec b_{n} = q_{n+1} − q_{n} et λ_{n+1} = p_{n+1}p_{n}^{−1} pour n ≥ 0.

Démonstration. — Voir, par exemple, [St] et [Ro] ou [Wa, p. 203].

Comme conséquence immédiate du lemme précédent, on a le résultat suivant, voir aussi [Go-Ja, p. 307].

LEMME 12. — Soit a(x) = ∑_{n≥0} a_{n}x^{n}/n! et b(x) = ∑_{n≥0} b_{n}x^{n}/n! deux séries formelles telles que b(x) = e^{αx}a(x). Si L{a}(x) admet le développement (3.3), alors

L\{b\}(x) = \frac{1}{1 − (α + b_{0})x − \frac{λ_{1}x^{2}}{1 − (α + b_{1})x − \frac{λ_{2}x^{2}}{\frac{...}{1 − (α + b_{n})x − \frac{λ_{n+1}x^{2}}{...}}}}} ·

Démonstration. — Supposons que la série a(x) satisfait (3.1) et (3.2). Donc

b(x + y) = e^{α(x+y)}a(x + y) = ∑_{k≥0} p_{k}(e^{αx}f_{k}(x))(e^{αy}f_{k}(y)).

Comme e^{αx}f_{k}(x) = x^{k}/k! + ((k + 1)α + q_{k+1})x^{k+1}/(k + 1)! + O(x^{k+2}), le lemme 8 en résulte alors d’après le lemme 7.

PROPOSITION 13a. — On a le développement suivant :

(3.4)  L\{h\}(x) = \frac{1}{1 − \frac{βu x}{1 − \frac{v x}{\frac{...}{1 − \frac{(β + n − 1)u x}{1 − \frac{nv x}{...}}}}}} ·

Démonstration. — Soit f(β, x) = L{h}(x; u, v, β). De (2.13) on déduit sans peine que

(3.5)  f(β, x) = 1 + \frac{uβx}{1 − (v − u)x} f (β + 1, \frac{x}{1 − (v − u)x}) ·

Supposons que

(3.6)  f(β, x) = \frac{1}{1 − \frac{c_{1}(β) x}{1 − \frac{c_{2}(β) x}{1 − \frac{c_{3}(β) x}{...}}}} ·

En contractant (3.6) à partir du 1^{ième} trait, on obtient

(3.7) f(β, x) = 1 + \frac{c_{1}(β)x}{1 − (c_{1}(β) + c_{2}(β))x − \frac{c_{2}(β)c_{3}(β) x^{2}}{1 − (c_{3}(β) + c_{4}(β))x − \frac{c_{4}(β)c_{5}(β) x^{2}}{⋯}}} ·

De même en contractant (3.6) à partir du 2^{ième} trait on obtient

(3.8)  f(β, x) = \frac{1}{1 − c_{1}(β)x − \frac{c_{1}(β)c_{2}(β) x^{2}}{1 − (c_{2}(β) + c_{3}(β))x − \frac{c_{3}(β)c_{4}(β) x^{2}}{⋯}}} ·

Il s’en suit que

(3.9) \frac{uβx}{1 − λx} f (β + 1, \frac{x}{1 − λx}) =

\frac{uβx}{1 − (λ + c_{1}(β + 1))x − \frac{c_{1}(β + 1)c_{2}(β + 1)x^{2}}{1 − (λ + c_{2}(β + 1) + c_{3}(β + 1))x − \frac{c_{3}(β + 1)c_{4}(β + 1)x^{2}}{⋯}}} ·

En substituant (3.6) et (3.9) dans l’équation (3.5) avec λ = v − u et en identifiant les coefficients des termes correspondant, on obtient successivement que

c_{1}(β) = uβ,
c_{1}(β) + c_{2}(β) = v − u + c_{1}(β + 1)  ⇒ c_{2}(β) = v,
c_{2}(β)c_{3}(β) = c_{1}(β + 1)c_{2}(β + 1)  ⇒ c_{3}(β) = u(β + 1),
c_{3}(β) + c_{4}(β) = v − u + c_{2}(β + 1) + c_{3}(β + 1) ⇒ c_{4}(β) = 2v,
. . . . . .  . . . . . .

On obtient aisément la solution générale :

c_{2n−1}(β) = (β + n − 1)u, c_{2n}(β) = nv, n ≥ 1.

Ceci achève la démonstration.

Par contraction, on peut réécrire (3.4) sous la forme suivante (3.10), que nous allons donner une deuxième démonstrations en utilisant directement la formule d’addition de

STIELTJES et ROGERS.

10 J. ZENG

PROPOSITION 13b. — On a

(3.10) L{h}(x) =

\frac{1}{1 − βux − \frac{βuvx^{2}}{1 − (uβ + u + v)x − \frac{2(β + 1)uvx^{2}}{\frac{...}{1 − (uβ + n(u + v))x − \frac{(n + 1)(β + n)uvx^{2}}{...}}}}} ·

Démonstration. — Par définition (2.11), on a

(3.11)  h(x + y) = \{1 − \frac{α_{2}}{v − u} (e^{(v−u)(x+y)} − 1)\}^{−β} .

Posons

θ(x) = e^{x(v−u)} − 1 = (v − u)x + \frac{(v − u)^{2}x^{2}}{2!} + …,

on peut alors réécrire (3.11) comme suit :

(3.12)  h(x + y) = \{(1 − \frac{uθ(x)}{v − u}) (1 − \frac{uθ(y)}{v − u}) − \frac{uvθ(x)θ(y)}{(v − u)^{2}}\}^{−β}

= ∑_{k≥0} k!(β)_{k}(uv)^{k}f_{k}(x)f_{k}(y),

dans laquelle

(3.13)  f_{k}(x) = \frac{1}{k!} \frac{θ^{k}(x)}{(v − u)^{k}} (1 − \frac{u}{v − u}θ(x))^{−(k+β)}

= \frac{1}{k!} \{x^{k} + \frac{k(v − u)}{2}x^{k+1} + ⋯\} \{1 + u(k + β)x + ⋯\}

= \frac{x^{k}}{k!} + \frac{x^{k+1}}{(k + 1)!} \{\frac{k(u + v) + 2uβ}{2} \} (k + 1) + O(x^{k+2}).

On tire donc de (3.11) et (3.13) la formule d’addition pour h(x) avec les paramètres {(p_{k}, q_{k+1})|k ≥ 0} où

p_{k} = k!(β)_{k}(uv)^{k+1}, q_{k+1} = uβ(k + 1) + \frac{k(k + 1)}{2}(u + v).

Il s’en suit que

q_{k+1} − q_{k} = uβ + k(u + v), p_{k+1}p_{k}^{−1} = (k + 1)(β + k)uv.

Le lemme 9 en résulte en vertu du lemme 7.

D’après le théorème 1, on sait que la fonction génératrice exponentielle des μ_{n} est

e^{(α−α_{2})βx}h(x; α_{2}, α_{1}; β).

Le théorème 3 en résulte donc d’après le lemme 8 et la proposition 13b.

4. Remarques

Les autres J-fractions continues obtenues par des moyens combinatoires dans [Fl] pourraient aussi être établies par la même méthode classique illustrée plus haut. Par exemple, comme L{U}(x) = xL{U′}(x) et

(4.1)  U′(x) = u_{2}e^{(α_{2}−α_{1})x} (\frac{α_{2} − α_{1}}{α_{2} − α_{1}e^{(α_{2}−α_{1})x}} )^{2} ·

D’autre part, d’après le théorème 1 et la proposition 4, la série 1 + L{V }(x) est un cas particulier de 1 + ∑_{n≥1} μ_{n}x^{n}, on en déduit donc de façon analogue le résultat suivant, qui correspond essentiellement aux théorèmes 3A et 3B de [Fl2].

TH^{}ÉOR^{}ÈME 14. — Les transformées de Laplace de U(x) et V (x) admettent les dévelopements en fractions continues suivants :

L{U}(x) =

\frac{u_{2}x}{1 − (u_{3} + u_{4})x − \frac{1 · 2u_{1}u_{2}x^{2}}{1 − 2(u_{3} + u_{4})x − \frac{2 · 3u_{1}u_{2}x^{2}}{\frac{...}{1 − (n + 1)(u_{3} + u_{4})x − \frac{(n + 1)(n + 2)u_{1}u_{2}x^{2}}{...}}}}} ,

L{V }(x) =

\frac{1}{1 − u_{4}x − \frac{1^{2} · u_{1}u_{2}x^{2}}{1 − (u_{3} + 2u_{4})x − \frac{2^{2} · u_{1}u_{2}x^{2}}{\frac{...}{1 − (u_{3} + n(u_{3} + u_{4}))x − \frac{(n + 1)^{2} · u_{1}u_{2}x^{2}}{...}}}}} ·

Enfin, il est bien connu que l’évaluation du déterminant de Hankel d’une suite donnée est liée au développement en fraction continue de sa fonction génératrice ordinaire (Voir [Ch, Vi]). Par exemple, on déduit immédiatement du théorème 10 que le déterminant de Hankel construit sur μ_{n} a pour expression explicite suivante :

(4.2)  | \begin{matrix}μ_{0} & μ_{1} & … & μ_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ μ_{n−1} & μ_{n} & … & μ_{2n−1} \\ μ_{n} & μ_{n+1} & … & μ_{2n} \end{matrix} | = ∏_{i=1}^{n} \{(n − i + 1)(β + n − i)u_{1}u_{2}\}^{i} .

En particulier, si l’on pose α = z − 1, β = 1 et u_{1} = u_{2} = u_{3} = u_{4} = z, on trouve alors μ_{n} = z^{n} ∑_{σ∈S_{n}}(1 − 1/z)^{fix σ} = ∑_{i=0}^{n}(−1)^{i}n!z^{n−i}/i! et l’identité (4.2) se réduit à une formule récemment établie par RADOUX [Ra].

BIBLIOGRAPHIE

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