\magnification=1200
\input  a4new
\hsize=13.1cm
\def\abstract{\bgroup\eightpoint\noindent 
                               Abstract\pointir} 
\def\endabstract{\par\egroup}     
\auteurcourant={J. ZENG}
\titrecourant={\'Enum\'erations de permutations et J-fractions}
 \def\remarque{\newparwithcolon
              \pc REMARQUE|
                 \endnewparwithcolon}
\def\demonstration{\newparwithpointir
                    \it D\'emonstration
                      \endnewparwithpointir}

\def\D{{\mathchoice{\cal D}{\cal D}{\cal D}{\cal D}}}                  
\def\S{{\mathchoice{\cal S}{\cal S}{\cal S}{\cal S}}}
\def\sid{\mathop {\rm sid}\nolimits}
\def\cc{\mathop {\rm cc}}
\def\dd{\mathop {\rm dd}}
\def\pic{\mathop{\rm pic}}
\def\dm{\mathop {\rm dm}}
\def\des{\mathop {\rm des}}
\def\cyc{\mathop {\rm cyc}} 
\def\fix{\mathop {\rm fix}}
\def\sig{\mathop {\rm sig}}
\def\exc{\mathop {\rm exc}}
\def\nex{\mathop {\rm nex}}
\def\lap{\cal L}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\vskip-60pt
\ctitre
\'ENUM\'ERATIONS DE PERMUTATIONS ET J-FRACTIONS CONTINUES
{\eightbf Par}
Jiang ZENG
\endctitre

\abstract
In this paper, we evaluate the generating function
of the symmetric group with respect to five statistics. 
The continued fraction expansion of its ordinary
generating function is then derived by the methods of Stieltjes and 
Rogers, which implies especially the 
combinatorial interpretation of the moments of 
the orthogonal
Sheffer polynomials.    
\endabstract

\sectiona
1. Introduction
\endsection
 Soit $\S_n$ l'ensemble des permutations de $\{1, 2, \ldots,
n\}$. \'Etant donn\'ee une permutation $\sigma $ de $\{1, 2,
\ldots, n\}$, chaque valeur
 $x=\sigma (i),\,1\leq i\leq n$, se trouve alors dans l'un des cinq 
cas suivants :  
{\obeylines
un {\sl pic de cycle}, si $\sigma ^{-1}(x)<x>\sigma (x)$ ;
un {\sl creux de cycle}, si $\sigma ^{-1}(x)>x<\sigma (x)$ ;
une {\sl double mont\'ee de cycle}, si $\sigma ^{-1}(x)<x<\sigma (x)$ ; 
une {\sl double descente de cycle}, si $\sigma ^{-1}(x)>x>\sigma (x)$ ; }

\noindent un {\sl point fixe}, si $\sigma (i)=i$.
On note le nombre des pics, creux,
doubles mont\'ees, points fixes et doubles descentes de cycle de
$\sigma $ respectivement par $\pic \sigma $, $\cc \sigma $, $\dm \sigma $, $\fix \sigma $ et
$\dd \sigma $. D'autre part $\cyc \sigma $ d\'esigne le nombre de cycles de
$\sigma $. On s'int\'eresse au polyn\^ome g\'en\'erateur suivant :
$$
\mu _n=\sum_{\sigma \in \S_n}
u_1^{\cc \sigma }u_2^{\pic \sigma }
u_3^{\dm \sigma }u_4^{\dd \sigma }\alpha ^{\fix \sigma }\beta ^{\cyc \sigma }.
\leqno (1.1) $$ 

Les trois premi\`eres valeurs de $\mu _n$ sont donn\'ees par
$$\eqalign{
\mu _1&=\alpha \beta ,\cr
\mu _2&=\alpha ^2\beta ^2+u_1u_2\beta ,\cr
\mu _3&=\alpha ^3\beta^3+3u_1u_2\alpha \beta^2+u_1u_2(u_3+u_4)\beta.\cr
}\leqno (1.2)$$

Le polyn\^ome g\'en\'erateur (1.1) ou ses variantes
ont \'et\'e beaucoup \'etudi\'e dans la litt\'erature, parmis les nombreux
articles, on ne cite que [Ca-Sc1, Ca-Sc2, Fo-St, Fr-Vi, Fl2, Vi].
L'objet de cet article est de d\'emontrer les trois 
th\'eor\`emes suivants. 

\th Th\'eor\`eme 1 
\enonce On a
$$
1+\sum_{n\geq 1}\mu _n{x^n\over n!}=e^{\alpha \beta x}
\left({\alpha _1-\alpha _2\over \alpha _1e^{\alpha _2x}-\alpha _2e^{\alpha _1x}}\right)^\beta \cdot 
\leqno (1.3) 
$$
o\`u $\alpha _1\alpha _2=u_1u_2$ et $\alpha _1+\alpha _2=u_3+u_4$. 
\endth
\th Th\'eor\`eme 2
\enonce On a
$$
1+\sum_{n\ge 1}\mu _nx^n={1\over 1-(\alpha -\alpha _2)\beta x}
\cdot \sum_{n\ge 0}{\alpha _2^n(\beta )_n
x^n\over\prod_{k=1}^n
[1-\big((\alpha -\alpha _2)\beta +k(\alpha _1-\alpha _2)\big)x]}\virg\leqno (1.4)
$$
o\`u $\alpha _1\alpha _2=u_1u_2$ et $\alpha _1+\alpha _2=u_3+u_4$. 
\endth

\th Th\'eor\`eme 3
\enonce On a
$$\displaylines{
1+\sum_{n\geq 1}\mu _nx^n=\hfill\cr
{1\over\displaystyle 1-\alpha \beta x-
{\strut \beta u_1u_2x^2\over\displaystyle 1-(\alpha \beta +u_3+u_4)x-
{\strut 2(\beta +1)u_1u_2x^2\over\displaystyle
{\strut \ddots \over\displaystyle 1-(\alpha \beta +n(u_4+u_3))x-
{\strut (n+1)(\beta +n)u_1u_2x^2\over\displaystyle\ddots
}}}}}\cdot\hfill\cr
}$$
\endth

Notons que le th\'eor\`eme 1 a \'et\'e obtenu
implicitement par \pd Carlitz et \pd Scoville [Ca-Sc1,
Ca-Sc2] par des calculs sophistiqu\'es. 
Le th\'eor\`eme 3 est une variante
am\'elior\'ee d'un \'enonc\'e de \pd Viennot [Vi, II-43, V-7], 
qui l'a d\'emontr\'e \`a l'aide d'une bijection de \pc Fran\c con| et 
\pc Viennot| [Fr-Vi] et un th\'eor\`eme de \pc Flajolet| sur 
fraction continue de type Jacobi [Fl2].
En fait, cet article a \'et\'e motiv\'e par le d\'esir de
d\'eduire le th\'eor\`eme 3 de la fonction 
g\'en\'eratrice exponentielle des $\mu _n$, \ie, le th\'eor\`eme 1,
par la formule d'addition due \`a \pc Stieltjes|
et \pc Rogers| (\cf. [St], [Ro] et [Wa]).  
Jusqu'ici, il semble que seuls les
cas particuliers du th\'eor\`eme 3 par cette approche ont \'et\'e
obtenus dans la litt\'erature, voir [Fl1, Fl2, Go-Ja].

Il est bien connu [Ch] que le th\'eor\`eme 3 \'equivaut 
aussi \`a l'\'enonc\'e suivant :
les polyn\^omes $P_n(x)$ orthogonaux par rapport aux moments
$\mu _n$ sont d\'efinis par la relation de r\'ecurrence :
$$
P_{n+1}(x)=\bigl(x-(\alpha \beta +n(u_4+u_3))\bigr)P_n(x)-
(n+1)(\beta +1)u_1u_2P_{n-1}(x), \quad n\geq 0,
$$
avec $P_{-1}(x)=0$ et $P_0(x)=1$.

On constate que la r\'ecurrence ci-dessus g\'en\'eralise 
celles satisfaites par les polyn\^omes de Sheffer [Ch, appendix].
En sp\'ecialisant les param\`etres, 
on d\'eduire de (1.1) les interpr\'etations
combinatoires des moments des
polyn\^omes de Sheffer dans [Vi]. Voir aussi [Ze] pour une
autre d\'emonstration de ce r\'esultat.  

Nous d\'emontrons les th\'eor\`emes 1 et 2 au paragraphe 2. 
 On d\'eduit le th\'eor\`eme 3 au paragraphe 3 par deux m\'ethodes, respectivement
du theor\'eme 1 et du th\'eor\`eme 2. Enfin, on conclut l'article avec 
quelques commentaires et r\'esultats suppl\'ementaires au paragraphe 4

\sectiona
2. Fonctions g\'en\'eratrices exponentielles et ordinaires
\endsection
Pour l'\'evaluation de la fonction g\'en\'eratrice exponentielle de 
$\mu _n$ on aura besoin une autre 
interpr\'etation des statistiques 
introduites au d\'ebut de cet article. 
 Plus pr\'ecis\'ement on identifie
chaque permutation $\sigma \in \sigma _n$ au mot 
$\sigma =\sigma (1)\sigma(2)\cdots\sigma (n)$. 
Avec la convention $\sigma (0)=n+1$ et
$\sigma (n+1)=0$, on dira que $x=\sigma (i)$, $1\leq i\leq
n$ est respectivement 

un {\sl pic}, si $\sigma (i-1)<x>\sigma (i+1)$ ; 

un {\sl creux}, si $\sigma(i-1)>x<\sigma (i+1)$ ; 

une {\sl double mont\'ee}, si $\sigma (i-1)<x<\sigma (i+1)$ ; 

une {\sl double descente}, si $\sigma (i-1)>x>\sigma (i+1)$. 

\noindent
Enfin, l'\'el\'ement $\sigma (i)$ est dit un 
{\sl \'el\'ement saillant inf\'erieur
\`a gauche} si $\sigma (i)<\sigma (j)$ pour tout $j$ tel que $1\leq j<i$. 

Soit $\pi \in \S_n$. Rappelons la {\sl transformation fondamentale}
$\pi \mapsto \hat \pi $ sur les permutations (\cf. [Fo-Sc]) 
comme suit : \'etant donn\'ee une permutation $\pi $ factoris\'ee en cycles, 
on \'ecrit chaque cycle avec son plus petit \'el\'ement en premier, 
et on arrange les cycles suivant l'ordre d\'ecroissant de leurs 
plus petits \'el\'ements.
On obtient alors $\hat \pi $ en effa\c cant les parenth\`eses. Par
exemple, si $\pi =(35)(2)(164)$, on aura $\hat \pi =352164$.

D'apr\`es cette transformation, on voit ais\'ement 
que les deux d\'efinitions ci-dessus sont \'equivalentes.
En effet, chaque pic (resp. creux, double mont\'ee) de {\sl cycle}
de $\pi $ correspond bijectivement \`a un pic (resp. creux, double
mont\'ee) de $\hat \pi $ et chaque double descente de {\sl cycle}
(resp. point fixe) de $\pi $ correspond d'une fa\c con biunivoque \`a
une double descente de $\hat \pi $ qui n'est pas (resp. est) \`a la fois
un \'el\'ement saillant inf\'erieur \`a gauche de $\hat \pi $.

Soient $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$ quatre variables commutatives. Etant donn\'ee
une permutation $\sigma =\sigma (1)\sigma (2)\cdots \sigma (n)$ sur $\{1, 2, \ldots,
n\}$, on lui associe le mot 
$w_1(\sigma )=a_1a_2\cdots a_n$ (resp. $w_2(\sigma )$),
 o\`u $a_i=u_1$ si  $\sigma (i)$ est un {\sl creux},
$a_i=u_2$ si $\sigma (i)$ est un {\sl pic}, 
$a_i=u_3$ si $\sigma (i)$ est une
{\sl double mont\'ee} et $a_i=u_4$ si $\sigma (i)$ est une {\sl
double descente}  avec la convention que $\sigma (0)=\sigma (n+1)=0$ 
(resp. $\sigma (0)=n+1$ et $\sigma (n+1)=0$). Soit 
$$\leqalignno{
U(x)&=\sum_{n\geq 1} \sum_{\sigma \in \S_n}w_1(\sigma ){x^n\over n!}\virg
&(2.1)\cr   V(x)&=\sum_{n\geq 1}\sum_{\sigma \in \S_n}w_2(\sigma )
{x^n\over n!}\virg &(2.2)\cr} 
$$
les fonctions g\'en\'eratrices correspondantes. 

\th Proposition 4
\enonce Les deux fonctions g\'en\'eratrices ont les expressions suivantes :
$$\leqalignno{
U(x)&=u_2{e^{\alpha _2x}-e^{\alpha _1x}
\over \alpha _2e^{\alpha _1x}-\alpha _1e^{\alpha _2x}}
=u_2x+(u_3+u_4)u_2{x^2\over
2!}+\ldots, & (2.3)\cr
V(x)&={e^{u_4x}(\alpha _2-\alpha _1)\over \alpha _2e^{\alpha _1x}-\alpha _1e^{\alpha _2x}}-1
=u_4x+(u_1u_2+u_4^2){x^2\over 2!}+\ldots, &(2.4)\cr
}$$
o\`u $\alpha _1\alpha _2=u_1u_2$ et $\alpha _1+\alpha _2=u_3+u_4$.
\endth

\demonstration
\'Etant donn\'ee une permutation $\sigma =\sigma (1)\sigma (2)\cdots \sigma (n)$ sur
$\{1, 2, \ldots, n\}$, si l'on enl\`eve l'\'el\'ement 1, on obtient
deux permutations, $\sigma '=\sigma (1)\sigma (2)\cdots \sigma (j-1)$ et 
$\sigma ''=\sigma (j+1)\cdots \sigma (n)$, o\`u $\sigma (j)=1$. 
Les nombres de pics, creux, doubles mont\'ees et doubles descentes 
de $\sigma $ sont respectivement la somme de ceux de $\sigma '$ et $\sigma ''$ 
\`a ceci pr\`es que si $\sigma '$ (resp. $\sigma ''$) est vide, on compte
un creux (resp. une double descente) de plus pour $\sigma $.
On obtient donc l'\'equation diff\'erentielle
$$
U'(x)=u_2+(u_3+u_4)U(x)+u_1U(x)^2.\leqno (2.5)
$$
Un analyse analogue conduit \`a
$$
V'(x)=(u_4+u_1U(x))(1+V(x)).\leqno (2.6)
$$
En r\'esolvant (2.5) d'abord et (2.6) ensuite, qui sont \`a
variables s\'epar\'ees, on obtient respectivement (2.3) et (2.4). \qed
\medskip
\th Corollaire 5
\enonce On a
$$
1+\sum_{n\geq 1}{x^n\over n!}
\sum_{\sigma \in \S_n}w_1(\sigma )\beta ^{\sig \sigma }=
e^{u_4\beta x}\left({\alpha _1-\alpha _2\over 
\alpha _1e^{\alpha _2x}-\alpha _2e^{\alpha _1x}}\right)^\beta \virg\leqno (2.7)  
$$
o\`u $\sig \sigma $ d\'esigne le nombre d'\'el\'ements saillants inf\'erieurs \`a
gauche de $\sigma $ et $\alpha _1+\alpha _2=u_3+u_4$, $\alpha _1\alpha _2=u_1u_2$. 
\endth
\demonstration 
Lorsque $\beta =1$, on retrouve (2.4). Le cas g\'en\'eral en r\'esulte
d'apr\`es la formule exponentielle (voir [Fo-Sc]) et 
la transformation fondamentale. \qed
\medskip
\th Corollaire 6
\enonce Soit $\D_n$ l'ensemble des permutations
sans point fixe sur $\{1, 2, \ldots, n\}$. Alors  
$$
1+\sum_{n\geq 1}{x^n\over n!}
\sum_{\sigma \in \D_n}u_1^{\cc \sigma }u_2^{\pic \sigma }u_3^{\dm \sigma }
u_4^{\dd \sigma }\beta ^{\cyc \sigma }
=\left({\alpha _1-\alpha _2\over 
\alpha _1e^{\alpha _2x}-\alpha _2e^{\alpha _1x}}\right)^\beta ,\leqno(2.8) 
$$ 
o\`u $\alpha _1+\alpha _2=u_3+u_4$ et $\alpha _1\alpha _2=u_1u_2$.  
\endth
\demonstration Par la transformation fondamentale 
rappel\'ee plus haut,
tout \'el\'ement de $\hat \pi $ qui est \`a la fois une double descente et 
un \'el\'ement saillant inf\'erieur \`a gauche correspond de fa\c con
biunivoque \`a un point fixe de $\pi $. On obtient donc (2.8) en
divisant (2.7) par  $e^{u_4\beta x}$. \qed

\medskip
 On est maintenant en mesure de d\'emontrer le th\'eor\`eme 1.
Remarquons que $e^{\alpha \beta x}$ est la fonction g\'en\'eratrice 
exponentielle des permutations dont tous les points sont fixes par rapport 
au fonction poids (1.1). Il se r\'esulte du corollaire pr\'ec\'edent que
la fonction g\'en\'eratrice exponentielle des permutations par rapport 
au fonction poids (1.1) est
$$
e^{\alpha \beta x}\left({\alpha _1-\alpha _2\over \alpha _1e^{\alpha _2x}-\alpha _2e^{\alpha _1x}}
\right)^\beta \cdot\leqno (2.9) 
$$
o\`u $\alpha _1\alpha _2=u_1u_2$ et $\alpha _1+\alpha _2=u_3+u_4$.
C'est ce qu'il fallait d\'emontrer. 
\medskip
Pour la suite de cet article, on pose
$$
h(x)=h(x; u, v, \beta )=\left({v-u\over v-ue^{(v-u)x}}
\right)^\beta \cdot\leqno (2.10) 
$$
En fait, la s\'erie formelle $h(x)$ est elle-m\^eme combinatoirement
int\'eressante.
Rappelons que dans une permutation $\sigma \in \S_n$, un \'el\'ement 
$x=\sigma (i)$, $1\leq i\leq n$ est dit
une {\sl mont\'ee de cycle} (ou exc\'edance ) de $\sigma $ 
ssi $x<\sigma (x)$. On note $\exc \sigma $ le nombre des mont\'ees de cycle
de $\sigma $ et $\nex \sigma =n-\exc \sigma $. Le r\'esultat suivant est d\^u \`a
\pd Carlitz et \pd Scoville [Ca-Sc2].
\th Proposition 7
\enonce On a
$$
1+\sum_{n\geq 1}{x^n\over n!}\sum_{\sigma \in \S_n}
u^{\exc \sigma }v^{\nex \sigma }\beta ^{\cyc \sigma }=
\left({v-u\over v-ue^{(v-u)x}}
\right)^\beta \cdot\leqno (2.11) 
$$
\endth
\demonstration 
On remarque qu'un \'el\'ement est une mont\'ee de cycle si et seulement
s'il est un creux de cycle ou une double mont\'ee. 
La proposition en r\'esulte donc en posant 
$\alpha _2=\alpha _3=u$ et $\alpha _1=\alpha _4=\alpha =v$ dans le th\'eor\`eme 1. \qed
\medskip 
Pour toute s\'erie formelle $a(x) =\sum_{i\geq
0}a_ix^i/i!$, on note sa {\sl transform\'ee de Laplace formelle}
par ${\cal L}\{a\}(x)=\sum_{i\geq 0}a_ix^i$.

\th Lemme 8
\enonce On a
$$
{\cal L}\{ h\}(x)=
\sum_{n\ge 0}{u^n(\beta )_nx^n\over [1-(v-u)x]
\cdots [1-n(v-u)x]}\cdot\leqno (2.12)
$$
\endth
\demonstration D'apr\`es (2.10), on obtient par la formule
binomiale que 
$$\eqalign{
h(x)&=\left\{1-{u\over v-u}
\left(e^{(v-u)x}-1\right)\right\}^{-\beta }\cr
&=\sum_{n\ge 0}\left({u\over v-u}\right)^n\cdot
   {(\beta )_n\over n!}(e^{(v-u)x}-1)^n\cr 
&=\sum_{n\ge 0}\left({u\over v-u}\right)^n\cdot
{(\beta )_n\over n!}\sum_{k=0}^n{n\choose k}(-1)^k\cdot 
e^{(n-k)(v-u)x}.\cr
}$$
Comme la transform\'ee de Laplace de $e^{(n-k)(v-u)x}$ est
$1/(1-(n-k)(v-u)x)$, en appliquant la transformation de Laplace
\`a l'identit\'e pr\'ec\'edente, on obtient
$$
{\cal L}\{ h\}(x)=\sum_{n\ge 0}\left({u\over
v-u}\right)^n\cdot {(\beta )_n\over n!}
\sum_{k=0}^n{n\choose k}
{(-1)^k\over 1-(n-k)(v-u)x}\cdot\leqno (2.13)
$$
Or il est facile de v\'erifier que
$$
{x^n\over (1-ax)\cdots (1-nax)}={1\over n!a^n}\sum_{k=0}^n
{n\choose k}{(-1)^k\over 1-(n-k)ax}\cdot\leqno (2.14)
$$ 
Compte tenu de (2.13) et (2.14) on obtient (2.12). \qed
\medskip 
\th Lemme 9
\enonce Soit $a(x)=\sum_{i\ge 0}a_ix^{i}/i!$ et 
$b(x)=\sum_{i\ge 0}a_ix^{i}/i!$ deux
s\'eries formelles telles que $b(x)=e^{\alpha x}a(x)$. Alors
$$
\cal L\{b\}(x)={1\over 1-\alpha x} \cal L\{a\} 
\left(x\over 1-\alpha x \right).
\leqno (2.15)
$$
\endth
\demonstration La d\'emonstration de ce lemme est laiss\'ee au lecteur. \qed
\medskip

D'apr\`es le th\'eor\`eme 1, la fonction g\'en\'eratrice exponentielle 
des $\mu _n$ peut s'\'ecrire comme suit :
$$
e^{(\alpha -\alpha _2)\beta x}h(x; \alpha _2, \alpha _1, \beta  ).
$$
Le th\'eor\`eme 2 en r\'esulte alors en vertu des lemmes 8 et 9. 

De m\^eme, par application des lemmes 8 et 9 \`a la proposition 4, 
on trouve les transform\'ees de Laplace de $U(x)$ et $V(x)$.
\th Proposition 10 
\enonce On a
$$\eqalign{
\cal L\{U\}(x)&={u_2\over \alpha _2}\sum_{n\geq 1}
{\alpha _2^n\,n!\,x^n\over 
[1-(\alpha _1-\alpha _2)x][1-(\alpha _1-\alpha _2)x]\cdots [1-n(\alpha _1-\alpha _2)x]}
\virg\cr
\cal L\{V\}(x)&=-1+{1\over 1-(u_4-\alpha _2)x}
\sum_{n\geq 0}{\alpha _2^n\,n!\,x^n\over \prod_{k=0}^n
[1-(u_4+k\alpha _1-(k+1)\alpha _2)x]}\virg\cr
}$$
o\`u $\alpha _1\alpha _2=u_1u_2$ et $\alpha _1+\alpha _2=u_3+u_4$.
\endth

En particulier, si l'on pose $u_1=u_2=1$ et $u_3=u_4=0$ 
dans la proposition 4, d'une part les polyn\^omes g\'en\'erateurs
$\sum_{\sigma \in \S_n}w_1(\sigma )$
 et $\sum_{\sigma \in \S_n}w_2(\sigma )$ se r\'eduisent 
respectivement aux nombres de permutations {\sl alternantes},
\ie, ni doubles mont\'ees ni doubles descentes, d'ordre $n$ impair
 et d'ordre $n$ pair, d'autre part
les s\'eries $U(x)$ et $1+V(x)$ se r\'eduisent 
respectivement \`a $\tg x$ et $\sec x$. 
On retrouve donc le r\'esultat classique de \pc Andr\'e| [An] sur l'interpr\'etation
combinatoire des coefficients $E_n$ dans la s\'erie :
$$
\sum_{n\geq 0}E_n{x^n\over n!}=\sec x +\tg x.
$$
 
A leur tour, les identit\'es de la proposition 10 se r\'eduisent
apr\`es simplification aux formules :
$$\leqalignno{
\sum_{n\geq 0}(-1)^nE_{2n+1}x^{2n+1}&=\sum_{n\geq 1}
{n!\,x^n\over (1+2\,x)(1+4\,x)\cdots (1+2n\,x)}\virg&(2.16)\cr
\sum_{n\geq 0}(-1)^nE_{2n}x^{2n}&=\sum_{n\geq 0}
{n!\,x^n\over (1+x)(1+3\,x)\cdots (1+(2n+1)\,x)}\cdot&(2.17)\cr
}$$
\sectiona
3. D\'eveloppement en fractions continues
\endsection
On dit qu'une s\'erie formelle $a(x)$ admet une {\sl formule
d'addition} avec les param\`etres $\{(p_k, q_{k+1})|k\geq 0\}$, si
$a(x)$ a la propri\'et\'e suivante :  
$$
a(x+y) =\sum_{k\geq 0} p_kf_k(x)f_k(y),\leqno (3.1)
$$
o\`u $p_k$ est ind\'ependant de $x$, $y$ et
$$
f_k(x) = {x^k\over k!} + q_{k+1}{x^{k+1}\over (k+1)!} +
 O(x^{k+2}).\leqno (3.2)
$$      

\th LEMME 11 (\pc Stieltjes| - \pc Rogers|) 
\enonce
La s\'erie formelle $a(x)$ a une formule d'addition avec les
param\`etres $\{p_k, q_{k+1}|k\geq 0\}$, si et seulement si
$$
\lap\{a\}(x)={1\over\displaystyle 1-b_0x-
{\strut \lambda _1x^2\over\displaystyle 1-b_1x-
{\strut \lambda _2x^2\over\displaystyle
{\strut \ddots\over\displaystyle 1-b_nx-
{\strut \lambda _{n+1}x^2\over\displaystyle \ddots
}}}}}\leqno (3.3) 
$$
avec $b_n=q_{n+1}- q_n$ et $\lambda _{n+1}=p_{n+1}p_n^{-1}$
pour $n\geq 0$.
\endth
\demonstration
Voir, par exemple, [St] et [Ro] ou [Wa, p. 203]. \qed
\medskip
Comme cons\'equence imm\'ediate du lemme pr\'ec\'edent, on a
le r\'esultat suivant, voir aussi [Go-Ja, p. 307].
\th LEMME 12  
\enonce Soit $a(x)=\sum_{n\geq 0}a_n x^n/n!$ et 
$b(x)=\sum_{n\geq 0}b_n x^n/n!$ deux s\'eries formelles telles
que $b(x)=e^{\alpha x}a(x)$. Si $\lap\{ a\}(x)$ admet le
d\'eveloppement (3.3), alors
$$
\lap\{b\}(x)={1\over\displaystyle 1-(\alpha +b_0)x-
{\strut \lambda _1x^2\over\displaystyle 1-(\alpha +b_1)x-
{\strut \lambda _2x^2\over\displaystyle
{\strut \ddots\over\displaystyle 1-(\alpha +b_n)x-
{\strut \lambda _{n+1}x^2\over\displaystyle \ddots
}}}}}\cdot
$$
\endth
\demonstration
Supposons que la s\'erie $a(x)$
satisfait (3.1) et (3.2). Donc
$$
b(x+y)=e^{\alpha (x+y)}a(x+y)=\sum_{k\geq 0} p_k
(e^{\alpha x}f_k(x))(e^{\alpha y}f_k(y)).
$$
Comme $e^{\alpha x}f_k(x)
=x^k/k!+((k+1)\alpha +q_{k+1})x^{k+1}/(k+1)!+ O(x^{k+2})$, le 
lemme 8 en r\'esulte alors d'apr\`es le lemme~7. \qed
\medskip
\th Proposition 13a
\enonce On a le d\'eveloppement suivant :
$$
\lap\{ h\}(x)={1\over\displaystyle 1-
{\strut \beta u\,x\over\displaystyle 1-
{\strut v\,x\over\displaystyle 
{\strut \ddots\over\displaystyle 1-
{\strut (\beta +n-1)u\,x\over\displaystyle 1-
{\strut nv\,x\over\displaystyle \ddots
}}}}}}\cdot\leqno (3.4)
$$
\endth
\demonstration
Soit $f(\beta , x)=\lap\{ h\}(x; u, v, \beta )$. De (2.13) on d\'eduit sans peine que
$$
f(\beta , x)=1+\frac{u\beta x}{1-(v-u)x}f\left(\beta +1,
{x\over 1-(v-u)x}\right)\cdot\leqno (3.5)  
$$
Supposons que
$$ 
f(\beta , x)={1\over\displaystyle 1-
{\strut c_1(\beta )\,x\over\displaystyle 1-
{\strut c_2(\beta )\,x\over\displaystyle 1-
{\strut c_3(\beta )\,x\over\displaystyle \ddots
}}}}\cdot\leqno(3.6)
$$
En contractant (3.6) \`a partir du 1\up{i\`eme} trait, on obtient
$$ 
f(\beta , x)=1+
{c_1(\beta )x\over\displaystyle 1-(c_1(\beta )+c_2(\beta ))x-
{\strut c_2(\beta )c_3(\beta )\,x^2\over\displaystyle
1-(c_3(\beta )+c_4(\beta ))x- {\strut
c_4(\beta )c_5(\beta )\,x^2\over\displaystyle\cdots }}}\cdot\leqno(3.7)
$$

De m\^eme en contractant (3.6) \`a partir du 2\up{i\`eme} trait on
obtient
$$
f(\beta , x)={1\over\displaystyle 1-c_1(\beta )x-
{\strut c_1(\beta )c_2(\beta )\,x^2\over\displaystyle
1-(c_2(\beta )+c_3(\beta ))x- {\strut
c_3(\beta )c_4(\beta )\,x^2\over\displaystyle  \cdots }}}\cdot\leqno(3.8)
$$
Il s'en suit que
$$\displaylines{
(3.9)\qquad\frac{u\beta x}{1-\lambda x}
f\left(\beta +1, {x\over 1-\lambda x}\right) =\hfill\cr
\hfill{u\beta x\over\displaystyle 1-(\lambda +c_1(\beta +1))x-
{\strut c_1(\beta +1)c_2(\beta +1)x^2\over\displaystyle 1
-(\lambda +c_2(\beta +1)+c_3(\beta +1))x-
{\strut c_3(\beta +1)c_4(\beta +1)x^2\over\displaystyle \cdots
}}}\cdot\cr
}$$

En substituant (3.6) et (3.9) dans l'\'equation (3.5) avec
$\lambda =v-u$ et en identifiant les coefficients des termes
correspondant, on obtient successivement que
$$\eqalign{
&c_1(\beta )=u\beta ,\cr
&c_1(\beta )+c_2(\beta )=v-u+c_1(\beta +1)\hfill &\Rightarrow
c_2(\beta )&=v,\cr 
&c_2(\beta )c_3(\beta )=c_1(\beta +1)c_2(\beta +1)\hfill 
&\Rightarrow c_3(\beta )&=u(\beta +1),\cr
&c_3(\beta )+c_4(\beta )=v-u+c_2(\beta +1)+c_3(\beta +1)
\hfill &\Rightarrow c_4(\beta )&=2v,\cr
&\ldots\ldots&\ldots\ldots\cr
}$$
On obtient ais\'ement la solution g\'en\'erale :
$$
c_{2n-1}(\beta )=(\beta +n-1)u,\quad
c_{2n}(\beta )=nv,\quad n\geq 1. 
$$
Ceci ach\`eve la d\'emonstration. \qed
\medskip
Par contraction, on peut r\'e\'ecrire (3.4) sous la forme suivante (3.10), 
que nous allons donner une deuxi\`eme 
d\'emonstrations en utilisant directement la
 formule d'addition de \pd Stieltjes et \pd Rogers.
\th Proposition 13b
\enonce On a
$$\displaylines{
(3.10)\quad \lap\{h\}(x)=\hfill\cr
\hfill{1\over\displaystyle 1-\beta ux-
{\strut \beta uvx^2\over\displaystyle 1-(u\beta +u+v)x-
{\strut 2(\beta +1)uvx^2\over\displaystyle
{\strut \ddots\over\displaystyle 1-(u\beta +n(u+v))x-
{\strut (n+1)(\beta +n)uvx^2\over\displaystyle \ddots
}}}}}\cdot\cr
}$$
\endth
\demonstration
Par d\'efinition (2.11), on a
$$
h(x+y)=\left\{1-{\alpha _2\over
v-u}\left(e^{(v-u)(x+y)}-1\right)
\right\}^{-\beta }.\leqno (3.11) $$
Posons 
$$
\theta (x)= e^{x(v-u)}-1=(v-u)x+
{(v-u)^2x^2\over 2!}+\ldots,
$$ 
on peut alors r\'e\'ecrire (3.11) comme suit :
$$\leqalignno{
h(x+y)&=\left\{
\left(1-{u\theta(x)\over v-u}
\right )
\left(1-{u\theta(y)\over v-u}
\right )-
{uv\theta(x)\theta(y)\over (v-u)^2}
\right \}^{-\beta }&(3.12)\cr
&=\sum_{k\geq 0}k!(\beta )_k(uv)^k
f_k(x)f_k(y),\cr}
$$
dans laquelle
$$\leqalignno{
f_k(x)&={1\over k!}{\theta^k(x)\over (v-u)^k}
\left(1-{u\over v-u}\theta (x)\right)^{-(k+\beta )}&(3.13)\cr
&={1\over k!}\left\{x^k+{k(v-u)\over 2}x^{k+1}+\cdots
\right \}\left\{1+u(k+\beta )x+\cdots \right\}\cr
&={x^k\over k!}+{x^{k+1}\over (k+1)!}
\left \{{k(u+v)+2u\beta \over 2}\right \}(k+1)+O(x^{k+2}).\cr
}$$
On tire donc de (3.11) et (3.13) la formule d'addition pour $h(x)$ avec 
les param\`etres $\{(p_k, q_{k+1})|k\geq 0\}$ o\`u  
$$
p_k=k!(\beta )_k(uv)^{k+1},\quad q_{k+1}
=u\beta (k+1)+{k(k+1)\over 2}(u+v).
$$
Il s'en suit que
$$
q_{k+1}-q_k=u\beta +k(u+v),
\quad p_{k+1}p_k^{-1}=(k+1)(\beta +k)uv.
$$
Le lemme 9 en r\'esulte en vertu du lemme 7. \qed




 D'apr\`es le th\'eor\`eme 1, on sait que
la fonction g\'en\'eratrice exponentielle des $\mu _n$ est
$$
e^{(\alpha -\alpha _2)\beta x}h(x; \alpha _2, \alpha _1; \beta ).
$$
Le th\'eor\`eme 3 en r\'esulte donc d'apr\`es le lemme 8 et la proposition
13b. 

\sectiona
4. Remarques
\endsection
Les autres J-fractions continues 
obtenues par des moyens combinatoires dans [Fl] pourraient 
aussi \^etre \'etablies par la
m\^eme m\'ethode classique illustr\'ee plus haut. Par exemple, 
comme $\lap\{ U\}(x)=x\lap\{ U'\}(x)$ et 
$$
U'(x)=u_2e^{(\alpha _2-\alpha _1)x}\left({\alpha _2-\alpha _1 \over
\alpha _2-\alpha _1e^{(\alpha _2-\alpha _1)x}}\right)^2\cdot
\leqno(4.1)
$$
D'autre part, d'apr\`es le th\'eor\`eme 1 et la proposition 4,
la s\'erie $1+\lap\{ V\}(x)$ est un cas particulier de
$1+\sum_{n\geq 1}\mu _nx^n$,
on en d\'eduit donc de fa\c con analogue le r\'esultat suivant, qui
correspond essentiellement aux th\'eor\`emes 3A et 3B de [Fl2].
\th
Th\'eor\`eme 14
\enonce Les transform\'ees de Laplace de $U(x)$ et $V(x)$ 
admettent les 
d\'evelopements en fractions continues suivants :
$$\displaylines{
\lap\{ U\}(x)=\hfill\cr
{u_2x\over\displaystyle 1-(u_3+u_4)x-
{\strut 1\cdot 2u_1u_2x^2\over\displaystyle 1-2(u_3+u_4)x-
{\strut 2\cdot 3u_1u_2x^2\over\displaystyle
{\strut \ddots\over\displaystyle 1-(n+1)(u_3+u_4)x-
{\strut (n+1)(n+2)u_1u_2x^2\over\displaystyle \ddots
}}}}}\virg\hfill\cr}
$$
\vskip -10pt
$$
\displaylines{
\lap\{ V\}(x)=\hfill\cr
\hskip 1cm {1\over\displaystyle 1-u_4x-
{\strut 1^2\cdot u_1u_2x^2\over\displaystyle 1-(u_3+2u_4)x-
{\strut 2^2\cdot u_1u_2x^2\over\displaystyle
{\strut \ddots\over\displaystyle 1-(u_3+n(u_3+u_4))x-
{\strut (n+1)^2\cdot u_1u_2x^2\over\displaystyle \ddots
}}}}}\cdot\hfill\cr}
$$
\endth

Enfin, il est bien connu que l'\'evaluation du d\'eterminant 
de Hankel d'une suite donn\'ee est li\'ee
au d\'eveloppement en fraction continue de sa fonction g\'en\'eratrice ordinaire (Voir [Ch, Vi]). 
Par exemple, on d\'eduit imm\'ediatement du th\'eor\`eme 10 que le d\'eterminant de Hankel construit sur
$\mu _n$ a pour expression explicite suivante :  
$$
\left|\,\matrix{
\mu_0&\mu_1           &\ldots     &\mu_n\cr
\vdots       &\vdots       &\ddots     &\vdots\cr
\mu_{n-1} &\mu_n&\ldots     &\mu_{2n-1}\cr
\mu_n &\mu_{n+1}&\ldots     &\mu_{2n}\cr
}\right|
=\prod_{i=1}^n\left\{(n-i+1)(\beta +n-i)u_1u_2\right\}^i.
\leqno (4.2)
$$

En particulier, si l'on pose $\alpha =z-1$, $\beta =1$ et
$u_1=u_2=u_3=u_4=z$, on trouve alors
 $\mu _n=z^n\sum_{\sigma \in \S_n}(1-1/z)^{\fix \sigma }= 
\sum_{i=0}^n(-1)^in!z^{n-i}/i!$ 
et l'identit\'e (4.2) se r\'eduit \`a une formule r\'ecemment
\'etablie par \pd Radoux [Ra].


\bigskip
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