########################################## # La loi binomiale B(n,p) centree reduite ########################################## # parametres pour la loi binomiale B(n,p) n=8 p=0.5 # Def variable aleatoire X = c(0:n) # X est variable avec valeurs 0,1,...,n PX=dbinom(X,n,p) # association des probas a X # PX est la distribution P(X=x) avec x=0,...,n de loi B(n,p) plot(X,PX,type="h",xlim=c(-1,(n+1)),ylim=c(0,1)) # moyenne de X m=sum(X*dbinom(X,n,p)) m # ecart type de X s = (sum(X^2*dbinom(X,n,p))-m^2)^(1/2) s # centrer et reduire X Y = (X - m)/s # Y variable centree reduite plot(X,Y,type="p") # loi de Y plot(Y,PX,type="h",xlim=c(-5,5),ylim=c(0,1)) ######################################################### # La loi binomiale B(n,p) centree reduite si n -> infini ######################################################### rm(n) rm(p) # Def variable aleatoire X <- function(n) c(0:n) # X est variable avec valeurs 0,1,...,n PX<- function(n,p) dbinom(X(n),n,p) # association des probas a X # PX est la distribution P(X=x) avec x=0,...,n de loi binomiale B(n,p) # moyenne de X m<- function(n,p) n*p # ecart type de X s <- function(n,p) (n*p*(1-p))^(1/2) # centrer et reduire X Y <- function(n,p) (X(n) - m(n,p))/s(n,p) # Y variable centree reduite # p = 0.5 (loi symmetrique) plot(Y(5,0.5),PX(5,0.5),type="h",xlim=c(-10,10),ylim=c(0,1)) plot(Y(10,0.5),PX(10,0.5),type="h",xlim=c(-10,10),ylim=c(0,1)) plot(Y(50,0.5),PX(50,0.5),type="h",xlim=c(-10,10),ylim=c(0,1)) plot(Y(500,0.5),PX(500,0.5),type="h",xlim=c(-10,10),ylim=c(0,1)) plot(Y(5000,0.5),PX(5000,0.5),type="h",xlim=c(-10,10),ylim=c(0,1)) ############## # Observations # les proba tendent vers 0 # l'espacement entre variable tend vers 0 # ecartement tend vers + infini ############## # p = 0.5 (loi symmetrique) changement d'echelle # (on multiplie les proba avec l'ecart type) Gauss <- function(t) exp(-t^2/2)/(2*pi)^(1/2) t=-100:100/20 plot(Y(5,0.5),s(5,0.5)*PX(5,0.5),type="h",xlim=c(-10,10),ylim=c(0,1)) plot(Y(10,0.5),s(10,0.5)*PX(10,0.5),type="h",xlim=c(-10,10),ylim=c(0,1)) plot(Y(50,0.5),s(50,0.5)*PX(50,0.5),type="h",xlim=c(-10,10),ylim=c(0,1)) plot(Y(100,0.5),s(100,0.5)*PX(100,0.5),type="h",xlim=c(-10,10),ylim=c(0,1)) lines(t,Gauss(t),col="blue") ############## # Observation # le produit ecart-type*proba tends vers les valeurs de la fonction gaussienne ##############