## TP 5 ##

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## LOI NORMALE vs LOI STUDENT ##
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?distributions

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## Ex.1 ##
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# 1
d_normal=function(x){  exp(-0.5*x**2)/(sqrt(2*pi))}

# 2
d_normal(0)

# 3
x <- seq(-4, 4, length=100)
plot(x,d_normal(x),ylab="Density", main="Loi Normale Centrée-Réduite")
points(x,dnorm(x), type='l', xlab="x value",col='red')

# 4
d_normal_bis=function(x,mu,sigma){
  exp(-0.5*((x-mu)/sigma)**2)/(sigma*sqrt(2*pi))
}
# verifier la fonction en faisant un plot
x <- seq(-10, 10, length=100)
mu = 1.5
sigma = 3
plot(x,d_normal_bis(x,mu,sigma), xlab="x value",col='red',ylab="Density", main="N(1.5,3)")
points(x,dnorm(x,mu,sigma), type='l')

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## Ex.2 ##
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# 1
x <- seq(-4, 4, length=100)
plot(x,dt(x,df = 1), type='l', xlab="x value",lty=2,
     ylab="Density", main="Loi de Student")

# 2 
cols = rainbow(5)
dfs <- c(1, 3, 8, 30)
labels <- c("df=1", "df=3", "df=8", "df=30", "normal")

x <- seq(-4, 4, length=100)
plot(x,dnorm(x), type='l', xlab="x value",lty=2,
     ylab="Density", main="Loi normale vs Lois de Student", col=cols[5])

for (i in 1:4){
  lines(x, dt(x,dfs[i]), lwd=2, col=cols[i])
}

legend("topright", inset=.05, title="Distributions",
       labels, lwd=2, lty=c(1, 1, 1, 1, 2), col=cols)


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## Intervalles de confiance ##
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# Remarque: exo 4 & 5 sans utiliser t.test(), exo 6 avec t.test()

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## Ex.3 ##
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# 1 => la taille des garcons suit une loi normale, l'échantillon est de grande taille et est tiré aléatoirement (on l'admet ici)

# 2
x = c(180, 170, 186, 184, 182, 171, 184, 167, 180, 177)
n = length(x)
# Calcule de la moyenne et delta à 95%
moyenne = mean(x)
sigma = sqrt(5)
delta_95 = (qnorm(0.975)*sigma) / sqrt(n)
# IC associé
IC_95 = c(moyenne - delta_95, moyenne + delta_95)
print("IC - 95%")
print(IC_95)

# 3
delta_99 = (qnorm(0.995)*sigma) / sqrt(n)
# IC associé
IC_99 = c(moyenne - delta_99, moyenne + delta_99)
print("IC - 99%")
print(IC_99)

# 4
x_bis = c(x,173, 167, 170, 174, 178, 178, 175, 166, 172, 170)
n = length(x_bis)
# Calcule de la moyenne et delta à 95%
moyenne_bis = mean(x_bis)
sigma = sqrt(5)
delta_95_bis = (qnorm(0.975)*sigma) / sqrt(n)
# IC associé
IC_95_bis = c(moyenne_bis - delta_95_bis, moyenne_bis + delta_95_bis)
print("IC bis - 95%")
print(IC_95_bis)

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## Ex.4 ##
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# 1
x = c(166, 170, 161, 167, 168, 169, 169, 166, 163, 161, 162, 171, 169, 156, 168)
# Calcul de la moyenne et de l'estimateur de la variance
m = mean(x)
n = length(x)
s = sd(x); # l'ecart type 
# Delta
delta_var_inconnue = qt(0.975, df = n -1) * (s/sqrt(n))
# IC associé
print("IC var inconnue - 95%")
IC_var_inconnue_95 = c(m - delta_var_inconnue, m + delta_var_inconnue)
print(IC_var_inconnue_95)

# 2
delta_var_connue_95 = qnorm(0.975) * (sqrt(3) / sqrt(n))
print("IC var connue - 95%")
IC_var_connue_95 = c(m - delta_var_connue_95, m + delta_var_connue_95)
print(IC_var_connue_95)

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## Ex. 5 ##
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n=36
poids=c(50.34,51.41,51.51,52.07,52.22,52.38,
        52.62,53.13,53.28,53.30,53.32,53.39,
        53.79,53.89,54.63,54.76,54.78,54.93,
        54.99,55.04,55.12,55.24,55.28,55.56,
        55.82,55.91,55.95,57.05,57.18,57.31,
        57.67,57.99,58.10,59.30,60.58,63.15)
mean(poids)
sd(poids)
t.test(poids,conf.level=0.95)$conf.int
t.test(poids,conf.level=0.98)$conf.int

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## Ex 6 ##
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ech1=rnorm(100,3,2)

# a la main
mu=mean(ech1)
s=sd(ech1)
# intervalle de confiance 95% pour la moyenne
c(mu-(s/sqrt(99))*qnorm(0.975),mu+(s/sqrt(99))*qnorm(0.975))
# 3.3 appartient a l'intervalle, donc accepte H_0 que la moyenne est 3.3  

# avec t.test
t.test(ech1,m=3.3)
# p-value est plus grand que 0.05, donc accepte H_0 que la moyenne est 3.3

ech2=rnorm(1000,3,2)
t.test(ech2,m=3.3)
# p-value est tres petit (plus petit que 0.05), donc rejet de H_0