ETUDE DES q-COMMUTATIONS DANS L’ALGEBRE U_{q}(n^{+})

PHILIPPE CALDERO

R^{}ÉSUM^{}É. Soient g une algèbre de Lie semi-simple et n^{+} une sous-algèbre nilpotente maximale de g. On définit comme dans [7] l’algèbre enveloppante quantifiée Ǔ_{q}(g) et sa sous-algèbre U_{q}(n^{+}). Nous donnons l’ensemble des éléments normaux de U_{q}(n^{+}). Nous montrons que tout idéal de U_{q}(n^{+}) peut être engendré par une suite normalisante.

ABSTRACT. Let g be a semi-simple Lie algebra with maximal nilpotent subalgebra n^{+}. Let Ǔ_{q}(g) and U_{q}(n^{+}) be the quantized enveloping algebras as defined in [7]. We describe the set of normal elements of U_{q}(n^{+}). We prove that each ideal of U_{q}(n^{+}) can be generated by a normal sequence.

0. Introduction.

Soient g une algèbre de Lie semi-simple de rang n et n^{+} une sous-algèbre nilpotente maximale de g. On note P le réseau des poids de g et P^{+} le monoïde des poids dominants. Soit q une indéterminée. On désigne par Ǔ_{q} la C(q)-algèbre enveloppante quantifiée définie comme dans [7]. On sait que Ǔ_{q} peut être munie d’une structure d’algèbre de Hopf. On définit les quantifications de la sous-algèbre de Borel Ǔ_{q}(b^{+}) et de la sous-algèbre nilpotente U^{+} = U_{q}(n^{+}). Dans [4], on a exposé une étude du centre de U^{+} qui repose sur l’action adjointe de Ǔ_{q} ainsi que sur la théorie des représentations de Ǔ_{q}. Après avoir résumé les résultats de [4] dans le paragraphe 1, nous présentons à l’aide de méthodes similaires, une étude des q-commutations dans U^{+} au sens de la définition 2.1. Nous dirons qu’un élément de U^{+} est q-central s’il q-commute avec les générateurs naturels de U^{+}. Soit C l’ensemble des éléments q-centraux de U^{+}. Le théorème 2.2 décrit C comme réunions d’espaces vectoriels. Cette description est motivée par le fait que C est exactement l’ensemble des éléments normaux de U^{+}, cf. proposition 2.1. Nous proposons des applications de ces résultats dans les chapitres 3 et 4.

Rappelons, cf. [4], que tout idéal bilatère non nul de U^{+} contient un élément central non nul. L’étude des q-commutations permet d’obtenir en 3.2 que tout idéal bilatère de U^{+} peut être engendré par une suite normalisante. Plus précisement, cet idéal possède un système de générateurs q-centralisant au sens de la définition 3.2.

Soit N l’espace vectoriel engendré par C. Il est engendré par des éléments e_{s(μ)}, μ ∈ P^{+}, décrits dans [4]. On montre alors que N est une algèbre de polynômes, isomorphe à C(q)[P^{+}], stable par tout automorphisme de U^{+}. Lorsque g est de type A_{n}, n pair, nous donnons une description de l’image de Aut U^{+} par le morphisme de restriction à N, cf. proposition 4.3. En 4.4, nous en déduisons une description de Aut U^{+} lorsque g est de type A_{2}.

Notons enfin que les théorèmes des paragraphes 2 et 4 possèdent des équivalents pour l’algèbre Ǔ_{q}(b^{+}), cf. théorème 2.3, théorème 3.3. Enfin, nous avons montré en [ 2.4, 3.2, 3.3] comment les résultats obtenus se spécialisent lorsque q = 1.

1. Notations.

1.1. Soit g l’algèbre de Lie semi-simple de rang n associée à une matrice de Cartan A = [a_{ij}]_{1≤i,j≤n}. Soient d_{i} des naturels premiers entre eux, 1 ≤ i ≤ n, tels que [d_{i}a_{ij}] soit symétrique. On fixe une sous-algèbre de Cartan h de g. On note P le réseau des poids et P^{+} = Nϖ_{1} + … Nϖ_{n} le monoïde des poids dominants, où les ϖ_{i}, 1 ≤ i ≤ n, désignent les poids fondamentaux. Soit R le système de racines de h dans g, W le groupe de Weyl associé et w_{0} son élément le plus long. On pose α_{j} = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}ϖ_{i}, 1 ≤ j ≤ n, Q = ∑_{i=1}^{n} Zα_{i}, Q^{+} = ∑_{i=1}^{n} Nα_{i}. On définit sur P × Q une forme bilinéaire par (ϖ_{i}, α_{j}) = δ_{ij}d_{i} où δ désigne le symbole de Kronecker. Soit λ ∈ P, λ = ∑_{i} m_{i}ϖ_{i}. On appellera hauteur de λ, l’entier ht(λ) = ∑_{i} m_{i}.

1.2. Soit q une indéterminée. Pour k ∈ Z, d ∈ N^{∗}, on pose :

[k]_{d} = \frac{q^{2dk} − q^{−2dk}}{q^{2d} − q^{−2d}} ; [k]_{d}! = ∏_{i=1}^{k} [i]_{d}; \left[{k \atop j}\right]_{d} = \frac{[k]_{d} … [k − j + 1]_{d}}{[j]_{d}!} .

On désigne par Ǔ_{0} la C(q)-algèbre du groupe P, notée multiplicativement. Soit τ : P → Ǔ_{0} le morphisme canonique tel que si λ, μ ∈ P, τ(λ + μ) = τ(λ)τ(μ). On a : Ǔ_{0} = C(q)[τ(ϖ_{i})^{±1}, 1 ≤ i ≤ n]. On pose k_{i} = τ(α_{i}), 1 ≤ i ≤ n, et U_{0} = C(q)[k_{i}^{±1}, 1 ≤ i ≤ n]. Soit Ǔ_{q}(b^{+}) la C(q)-algèbre engendrée par Ǔ_{0}, e_{i}, 1 ≤ i ≤ n, avec les relations

(1.2.1)  τ(λ)e_{j}τ(−λ) = q^{(λ,α_{j})}e_{j} ;

(1.2.2)  ∑_{m=0}^{1−a_{ij}} (−1)^{m}\left[{1 − a_{ij} \atop m}\right]_{d_{i}}e_{i}^{1−a_{ij}−m}e_{j}e_{i}^{m} = 0.

On dote Ǔ_{q}(b^{+}) d’une structure d’algèbre de Hopf où la comultiplication Δ, l’antipode S et l’augmentation ε sont donnés par :

Δe_{i} = e_{i} ⊗ 1 + k_{i}^{2} ⊗ e_{i} , Δτ(λ) = τ(λ) ⊗ τ(λ)
S(e_{i}) = −k_{i}^{−2}e_{i} , S(τ(λ)) = τ(−λ) , ε(e_{i}) = 0 , ε(τ(λ)) = 1.

L’algèbre Ǔ_{q}(b^{+}) est munie d’une structure de Ǔ_{q}(b^{+})-module par l’action adjointe :

∀E ∈ Ǔ_{q}(b^{+}), u ∈ Ǔ_{q}(b^{+}) , adE (u) = ∑ E_{(1)}uS(E_{(2)}), où ΔE = ∑ E_{(1)} ⊗ E_{(2)}.

Un élément u de Ǔ_{q}(b^{+}) sera dit de poids μ ∈ Q, si pour tout λ ∈ P, on a adτ(λ)(u) = q^{(λ, μ)}u. Soit U^{+} = U_{q}(n^{+}), resp. U_{q}(b^{+}), la sous-algèbre de Ǔ_{q}(b^{+}) engendrée par e_{i}, 1 ≤ i ≤ n, resp. par U_{0} et e_{i}, 1 ≤ i ≤ n. On a les décompositions Ǔ_{q}(b^{+}) ≃ Ǔ_{0} ⊗ U^{+} et U_{q}(b^{+}) ≃ U_{0} ⊗ U^{+}. Signalons que U^{+} est l’algèbre notée V^{+} dans [4] et [5]. On pose U_{+}^{+} = U^{+} ∩ Ker ε. Enfin, on désigne par Z^{+} le centre de U^{+}.

1.3. On sait que l’algèbre de Hopf Ǔ_{q}(b^{+}), resp. U_{q}(b^{+}), s’injecte de façon naturelle dans l’algèbre enveloppante quantifiée Ǔ_{q} = Ǔ_{q}(g), resp. U_{q}, cf. [7], [3]. Pour tout λ dans P^{+}, on définit un caractère : U_{0} → C(q), τ(μ) ↦ q^{(λ,μ)}. Désignons par C(q)v_{λ} le U_{0}-module de dimension 1 associé à ce caractère ; il est muni d’une structure de U_{q}(b^{+})-module en posant U_{+}^{+} v_{λ} = 0. Soit M_{q}(λ) = U_{q} ⊗_{U_{q}(b^{+})} C(q)v_{λ}. Comme dans le cas classique, il possède un unique quotient simple L_{q}(λ) et on a dim L_{q}(λ) < +∞.

1.4. Soit μ ∈ P^{+}. Comme dans [7] et [5, Chapitre I] on note K_{μ}^{+} le sous-espace de U^{+} tel que τ(−4μ) K_{μ}^{+} = ad U^{+} (τ(−4μ)). On rappelle que, par [4, 2.2], K_{μ}^{+} est de dimension finie. Soit μ ∈ P^{+} et u ∈ K_{μ}^{+} de poids β. On vérifie aisément :

(1.4.1)  ad e_{i}(τ(−4μ) u) = τ(−4μ)(q^{(α_{i}, 4μ)}e_{i}u − q^{(α_{i}, 2β)}ue_{i}).

Pour λ ∈ P, on pose Ǔ_{q}(b^{+})^{λ} = τ(λ)U^{+}. Alors, Ǔ_{q}(b^{+})^{λ} est doté d’une structure de U^{+}-module par l’action adjointe. On pose :

L_{λ}^{+} = { u ∈ Ǔ_{q}(b^{+})^{λ} | dim adU^{+}(u) < +∞}.

La proposition suivante résume les résultats de [4, Théorème 2.2, Proposition 5.1]. La preuve repose essentiellement sur [7, Corollaire 4.8].

Proposition. On a :

(i) Si λ ∉ −4P^{+}, alors L_{λ}^{+} = 0. (ii) Si λ ∈ −4P^{+}, posons λ = −4μ, μ ∈ P^{+}. Alors, L_{λ}^{+} = ad U^{+} (τ(λ)) = τ(−4μ)K_{μ}^{+}. (iii) Pour tout μ ∈ P^{+} il existe un isomorphisme de U^{+}-module : ad U^{+} τ(−4μ) →

L_{q}(μ) qui envoie τ(−4μ) sur un vecteur de plus bas poids de L_{q}(μ). (iv) Si μ, ν ∈ P^{+}, alors K_{μ}^{+}.K_{ν}^{+} = K_{μ+ν}^{+}.

(v) U^{+} est limite inductive des K_{μ}^{+}, μ ∈ P^{+}. Précisément : K_{μ}^{+} ⊂ K_{ν}^{+}, pour ν − μ ∈ P^{+} et U^{+} = ∑_{μ∈P^{+}} K_{μ}^{+}. ♢

1.5. Par la proposition 1.4 (iii), on se fixe pour tout μ ∈ P^{+} un élément de ad U^{+}τ(−4μ) correspondant à un vecteur de plus haut poids de L_{q}(μ). On note τ(−4μ)e_{s(μ)} un tel vecteur. On montre qu’il est possible de choisir les e_{s(μ)} tels que

(1.5.1)  e_{s(μ)}e_{s(ν)} = e_{s(μ+ν)}, μ, ν ∈ P^{+}.

Notons que l’égalité (1.5.1) a été établie dans [4, Proposition 3.2] à une constante multiplicative près. La remarque qui suit le théorème 2.2 permet d’affirmer que cette constante est égale à 1.

On sait que par construction, pour tout μ dans P^{+}, e_{s(μ)} est un élément de poids s(μ) = μ − w_{0}(μ). On rappelle la proposition, cf. [4, Proposition 3.1].

Proposition. Soit Ǔ_{q}(b^{+})^{U^{+}} = { u ∈ Ǔ_{q}(b^{+}) | ad U_{+}^{+}(u) = 0}, le sous-espace des éléments ad U^{+}-invariants de Ǔ_{q}(b^{+}). On a Ǔ_{q}(b^{+})^{U^{+}} = ⨁_{μ∈P^{+}} C(q)τ(−4μ)e_{s(μ)}. ♢

Soit H = {μ ∈ P^{+} | w_{0}(μ) = −μ}. On sait que Z^{+} est engendré comme espace par les e_{s(μ)}, μ ∈ H. De plus, H étant un monoïde libre de base B, on montre, cf. [4, Théorème 3.2], que Z^{+} est un anneau de polynômes engendré par les e_{s(μ)}, μ ∈ B.

1.6 Soit R^{+} l’ensemble des racines positives et N son cardinal. On sait que toute décomposition de w_{0} permet de définir un ordre total dans R^{+}. Supposons fixé une telle décomposition. Notons β_{1}, β_{2}, …, β_{N} les racines positives disposées en ordre croissant. On sait par [8] et [9] que l’on peut trouver des éléments E_{α}, α ∈ R^{+}, dans U^{+} vérifiant les propriétés suivantes :

(i) E_{α} est de poids α. (ii) Les monômes E_{β_{1}}^{r_{1}} … E_{β_{N}}^{r_{N}}, m_{i} ∈ N, forment une base de U^{+}. (iii) U^{+} est muni d’une filtration telle que dans le gradué associé, on ait

gr E_{β_{j}}.gr E_{β_{i}} = q^{2(β_{i}, β_{j})}gr E_{β_{i}}.gr E_{β_{j}}, pour i < j.

Fixons i. On peut écrire e_{i} = E_{α_{i}}. Posons E = E_{β_{1}}^{r_{1}} … E_{β_{N}}^{r_{N}}, m_{i} ∈ N. Par (iii), on a

gr e_{i}.gr E = q^{m_{i}}gr E.gr e_{i}, où m_{i} = 2( ∑_{β_{j}<α_{i}} r_{j}(α_{i}, β_{j}) − ∑_{α_{i}<β_{j}} r_{j}(α_{i}, β_{j})).leqno(1.6.1)

2. Eléments q-centraux de U_{q}(n^{+}).

2.1. Nous allons nous intéresser dans cette section aux éléments dits q-centraux des algèbres définies plus haut. On appellera générateurs naturels les générateurs e_{i}, 1 ≤ i ≤ n pour U^{+} ; τ(λ), λ ∈ P et e_{i}, 1 ≤ i ≤ n pour Ǔ_{q}(b^{+}). On appellera aussi générateurs naturels dans une algèbre quotient de U^{+} ou de Ǔ_{q}(b^{+}) l’image de ces générateurs par l’application canonique. Nous avons alors la définition.

Définition. Soit A une C(q)-algèbre, on dit que deux éléments u et v q-commutent dans A s’il existe un entier m tel que vu = q^{m}uv. Un élément appartenant à une des algèbres mentionnées plus haut sera dit q-central dans cette algèbre s’il q-commute avec ses générateurs naturels. L’élément d’une algèbre quotient de Ǔ_{q}(b^{+}) sera dit semi-central s’il est q-central et s’il commute avec les générateurs naturels de la partie nilpotente, i.e. les \overline{e_{i}}, 1 ≤ i ≤ n.

Un élément q-central est donc normal dans l’algèbre considérée. Réciproquement, nous avons la proposition.

Proposition. Tout élément normal de U^{+}, resp. Ǔ_{q}(b^{+}), est q-central dans U^{+}, resp. Ǔ_{q}(b^{+}).

Preuve. Montrons la proposition pour U^{+}, la preuve pour Ǔ_{q}(b^{+}) étant similaire. Soit a un élément normal non nul de U^{+}. Décomposons a = ∑ a_{β}, où a_{β} est un élément de poids. Par hypothèse, il existe pour tout i un élément e′_{i} de U^{+} tel que ae_{i} = e′_{i}a. Il vient a_{β}e_{i} = e′_{i}a_{β}, β ∈ Q^{+}, 1 ≤ i ≤ n. Donc, e′_{i} est de poids α_{i} et il existe une constante p(q) de C(q) telle que e′_{i} = p(q)e_{i}. En regardant l’égalité ae_{i} = p(q)e_{i}a dans le gradué introduit en 1.6, on obtient que p(q) est nécessairement une puissance de q et a est q-central. ♢

Remarquons aussi qu’un élément q-central dans Ǔ_{q}(b^{+}) est un élément de poids. Ce ne sera pas le cas pour U^{+}. Nous avons :

Lemme. Soit u un élément q-central dans U^{+}. Supposons u de poids μ. Alors, il existe un unique λ dans −4P^{+} tel que τ(λ)u soit un ad U^{+}-invariant de Ǔ_{q}(b^{+}).

Preuve. Soient m_{i} les entiers tels que e_{i}u = q^{m_{i}}ue_{i}, 1 ≤ i ≤ n. En regardant cette égalité dans le gradué introduit dans 1.6, on montre à l’aide de (1.6.1) que m_{i} est multiple de d_{i}. On peut donc trouver un poids λ de P qui vérifie

(2.1.2)  (α_{i}, λ) = −2(α_{i}, μ) + m_{i}, 1 ≤ i ≤ n

Par un calcul direct, on obtient ad e_{i}(τ(λ)u) = 0. A l’aide de la proposition 1.5, on trouve λ ∈ −4P^{+} et l’unicité d’un tel λ. ♢

2.2. Soit \overline{P} le réseau quotient de P par Ker (Id + w_{0}) |_{P}. La donnée de w_{0} selon le type de g, cf. [2, Planches I à IV], permet de vérifier que chaque classe d’éléments de \overline{P} possède un représentant dans P^{+}. Pour tout μ dans P^{+}, on note C^{μ} la droite de U^{+} engendrée par e_{s(μ)}. Pour tout \overline{π} dans \overline{P}, on pose C\overline{π} = ⨁_{μ∈\overline{π}∩P^{+}} C^{μ}. Le théorème qui suit décrit la partie C(n^{+}) des éléments q-centraux de U^{+}.

Théorème. L’ensemble des éléments q-centraux de U^{+} est donné par C(n^{+}) = ⋃_{\overline{π}∈\overline{P}} C\overline{π}. De plus, pour tous \overline{π}, \overline{π}′ de \overline{P}, on a C\overline{π}.C^{\overline{π}′} ⊂ C\overline{π+π′}.

Preuve. Soit μ dans P^{+}. Par la proposition 1.5, on a pour tout i: ad e_{i}(τ(−4μ)e_{s(μ)})=0. On vérifie alors aisément que e_{s(μ)} appartient à C(n^{+}). Inversement, si u est un élément de poids dans C(n^{+}), alors, par le lemme 2.1 et la proposition 1.5, on peut trouver μ dans P^{+} tel que u soit égal à e_{s(μ)} à un scalaire près. De plus, l’unique λ assuré par le lemme 2.1 est donné par λ = −4μ. Soit maintenant u dans C(n^{+}), u se décompose en éléments de poids u = ∑ u_{j}. Comme U^{+} est somme de ses sous-espaces de poids, on obtient que chaque u_{j} est dans C(n^{+}).

De plus, il existe m_{i}, 1 ≤ i ≤ n, tels que pour tout j, on ait e_{i}u_{j} = q^{m_{i}}u_{j}e_{i}. On peut donc supposer u_{j} = ce_{s(μ_{j})}, μ_{j} ∈ P^{+}, c ∈ C(q), u_{j} étant alors de poids μ_{j} − w_{0}(μ_{j}). Par (2.1.2), on obtient après calcul

(2.2.1)  (α_{i}, (Id + w_{0})(μ_{j})) = −\frac{m_{i}}{2} ,  1 ≤ i ≤ n, μ_{j} ∈ P^{+}.

Donc il existe \overline{π} dans \overline{P} tel que pour tout j, μ_{j} ∈ \overline{π}. La première partie du théorème est donc prouvée. Comme e_{s(μ)}e_{s(ν)} ∈ C(q)e_{s(μ+ν)}, la seconde découle directement. ♢

Remarque.

(i) Comme ((Id − w_{0})(μ), (Id + w_{0})(ν)) = 0 pour tout μ et ν dans P^{+}, il résulte de (2.2.1) que e_{s(μ)} et e_{s(ν)} commutent, cf. 1.5.

(ii) L’algèbre C^{0} est le centre Z^{+} de l’algèbre U^{+}. (iii) Si g est de type B_{n}, C_{n}, D_{n}, n pair, E_{7}, E_{8}, F_{4}, G_{2}, alors w_{0} = −Id. Il en résulte

que C(n^{+}) = Z^{+}.

Signalons enfin que Ker(Id+w_{0}) |_{P} est le réseau engendré par la base B. Une description selon le type de g en est donnée dans [3, Lemme 2.3].

2.3. Nous cherchons maintenant la partie C(b^{+}) des éléments q-centraux de Ǔ_{q}(b^{+}). Ce sont des éléments de poids qui q-commutent avec les générateurs e_{i}, 1 ≤ i ≤ n. Pour tout λ de P et μ dans P^{+}, on a τ(λ)e_{s(μ)} ∈ C(b^{+}). Remarquons que, pour μ et ν dans P^{+}, e_{s(μ)} et e_{s(ν)} ont même poids si et seulement si μ et ν appartiennent à la même classe de P^{+} modulo Ker (Id − w_{0}). Soit P̂^{+} l’ensemble de ces classes.

Fixons un n-uple d’entiers m = (m_{1}, …, m_{n}) et π̂ dans P̂^{+}. Pour tout ν dans π̂, il existe un unique λ_{ν} dans P tel que e_{i}τ(λ_{ν})e_{s(ν)} = q^{m_{i}}τ(λ_{ν})e_{s(ν)}e_{i}, 1 ≤ i ≤ n. On note C^{_{π}, m} l’espace engendré par les τ(λ_{ν})e_{s(ν)}, lorsque ν décrit π̂. Il est clair que C^{_{π}, m} ne dépend que du choix de π̂ et de m. Par une démonstration analogue à celle du théorème 2.2, on obtient :

Théorème. L’ensemble des éléments q-centraux de Ǔ_{q}(b^{+}) est donné par C(b^{+}) = ⋃_{_{π}∈_{P^{+}}, m∈Z^{n}} C^{_{π}, m}. De plus, pour tous π̂, π′ de P̂^{+}, et tout m, m′ de Z^{n}, on a

C^{_{π}, m}.C^{π′, m′} ⊂ C^{_{π+π′}, m+m′}. ♢

2.4. Posons A = C(q)[q, q^{−1}]. Notons U_{A}(b^{+}) la A-algèbre engendrée par les e_{i},

τ(λ), \frac{τ(α_{i}) − τ(−α_{i})}{q − q^{−1}}, 1 ≤ i ≤ n, λ ∈ P. On sait que U_{A}(b^{+}) se spécialise sur l’algèbre

enveloppante de la sous-algèbre de Borel U(b^{+}). Un élément q-central de U_{A}(b^{+}) se spécialise en un élément du semi-centre de U(b^{+}).

3. Systèmes de générateurs q-centralisants.

3.1. Soit E ∈ U^{+}, μ ∈ P^{+} et u ∈ K_{μ}^{+}. On pose ad^{μ}E(u) = τ(4μ)ad E(τ(−4μ)u). On munit ainsi K_{μ}^{+}, par la proposition 1.4, d’une structure de U^{+}-module. De plus, si u est un élément de poids, alors, par (1.4.1), ad^{μ}E(u) appartient à l’idéal bilatère engendré par u. La proposition suivante généralise [4, Théorème 5.2] aux quotients de l’algèbre U^{+}.

Théorème. Soient I et J deux idéaux bilatères de U^{+} tels que J ⊂ I. Si I/J est non nul, alors il existe dans I/J un élément non nul, q-central dans l’algèbre quotient U^{+}/J.

Preuve. Relevons un élément non nul de I/J en un élément u de I. Décomposons u en u = ∑_{β∈S_{m}} u_{β}, où S_{m} désigne une partie de Q^{+} à m éléments et u_{β} de poids β. On peut supposer sans perte de généralité qu’aucun u_{β} n’appartient à J. Nous allons montrer la proposition par récurrence sur m. Dans le cas m = 1, on considère u = u_{β_{1}} de poids β_{1} dans I. Par la proposition 1.4 (v), on peut trouver μ ∈ P^{+} tel que u ∈ K_{μ}^{+}. On va construire E dans U^{+} vérifiant la propriété :

(3.1.1)  ad^{μ}E(u_{β_{1}}) ∉ J ; ad^{μ}e_{i}E(u_{β_{1}}) ∈ J, 1 ≤ i ≤ n.

On pose pour cela E^{(0)} = 1. Supposons construit par itération un élément E^{(s)} tel que ad^{μ}E^{(s)}(u) ∉ J. Si on peut choisir un i tel que ad^{μ}e_{i}E^{(s)}(u) ∉ J, on posera E^{(s+1)} = e_{i}E^{(s)}. Sinon, on pose E = E^{(s)}. Les poids de K_{μ}^{+} étant en nombre fini, on constate que cette itération fournit l’élément E annoncé. Posons v = ad^{μ}E(u). Par (1.4.1) et (3.1.1), on obtient que \overline{v} est un élément non nul de I/J, q-central dans l’algèbre quotient. Supposons avoir montré la proposition jusqu’à l’ordre m − 1. Soit u = ∑_{β∈S_{m}} u_{β} = u_{β_{1}} + ∑_{β∈S_{m−1}} u_{β}. Comme pour le cas m = 1, on peut trouver un μ dans P^{+} et une suite finie d’éléments E^{(s)} associés à u_{β_{1}}, dont le dernier terme E vérifie (3.1.1). Soit π_{s} le poids de E^{(s)}, π le poids de E. On construit par récurrence les éléments

u^{(s)} = q^{(α_{j}, 4μ)}e_{j}u^{(s−1)} − q^{(α_{j}, 2β_{1}+2π_{s})}u^{(s−1)}e_{j}, u^{(0)} = u,

où α_{j} est la racine simple π_{s} − π_{s−1}. Si un des éléments ainsi construits est q-central non nul dans l’algèbre quotient, alors le théorème est vérifié. Sinon, soit v le dernier élément de la suite. Comme par hypothèse v n’est pas q-central dans l’algèbre quotient, on peut trouver i tel que w = q^{(α_{i}, 4μ)}e_{i}v − q^{(α_{i}, 2β_{1}+2π)}ve_{i} n’appartienne pas à J. On a alors \overline{w} ∈ I/J − \{0\}. De plus, par construction et par (2.1.2), w se décompose en au plus m − 1 éléments de poids. Le théorème est alors prouvé par récurrence. ♢

3.2. Définition. Soit a_{1}, a_{2}, …, a_{m} dans U^{+}, resp. dans Ǔ_{q}(b^{+}). Pour tout idéal I de U^{+}, resp. Ǔ_{q}(b^{+}), on dira que (a_{1}, …, a_{m}) est un système de générateurs q-centralisant, resp. semi-centralisant, si

(i) L’idéal I est engendré par a_{1}, …, a_{m}.

(ii) Pour tout i, 1 ≤ i ≤ m, a_{i} est q-central, resp. semi-central, dans l’algèbre quotient U^{+}/U^{+}a_{1} + … + U^{+}a_{i−1}, resp. Ǔ_{q}(b^{+})/Ǔ_{q}(b^{+})a_{1} + … + Ǔ_{q}(b^{+})a_{i−1}.

En particulier, tout système de générateurs q-centralisant ou semi-centralisant est normalisant. Par 1.6, l’algèbre U^{+} peut être munie d’une filtration dont le gradué associé est une algèbre quasi-polynomiale. L’algèbre U^{+} est donc noethérienne. Le corollaire suivant découle donc immédiatement du théorème 3.1.

Corollaire. Tout idéal bilatère de U^{+} peut être engendré par un systeme q-cen-tralisant. ♢

Par [4, Théorème 5.2], on peut choisir l’élément a_{1} de la définition dans Z^{+}. Soit I un idéal bilatère de U^{+}, alors on peut choisir les a_{i} dans I ∩U_{A}^{+} . La spécialisation de cette suite donne une suite centralisante dans l’algèbre enveloppante classique.

3.3. Le théorème suivant est l’analogue quantique de [6, 4.4.1].

Théorème. Soient I et J deux idéaux bilatères non nuls de l’algèbre Ǔ_{q}(b^{+}) tels que J ⊂ I. Si I/J est non nul, alors il existe dans I/J un élément non nul semi-central dans l’algèbre quotient Ǔ_{q}(b^{+})/J.

Preuve. Relevons un élément non nul de I/J en un élément u de I. Décomposons u = ∑_{β∈S_{m}} u_{β}, où u_{β} est de poids β et où S_{m} désigne une partie de Q^{+} à m éléments. Nous allons montrer qu’il existe un élément non nul dans I/J qui se relève dans I en une somme d’éléments de poids en nombre strictement inférieur. Il est clair que l’on peut trouver α dans Q tel que les (α, β) soient distincts. En appliquant à u l’action adjointe des τ(pα), p ∈ N, on trouve à l’aide d’un déterminant de Vandermonde un élément de poids dans I. Si cet élément n’appartient pas à J, alors notre assertion est vraie. Sinon, il existe dans l’espace I/J une relation de liaison entre les \overline{u_{β}}, qui permet de réduire la décomposition en somme de poids dans I. Notre assertion est donc prouvée. Il en résulte par itération qu’il existe dans I/J un élément non nul qui se relève en un élément a de poids de I. Cet élément se décompose dans Ǔ_{0} ⊗ U^{+}. Montrons maintenant qu’il existe dans I/J un élément non nul q-central dans l’algèbre quotient. Supposons tout d’abord que a = τ(λ)u, où u ∈ U^{+}. Alors u ∈ I − J et notre assertion résulte du cas m=1 de la preuve du théorème 3.1. Supposons maintenant a = ∑_{λ_{i}∈S_{m}} τ(λ_{i})u_{i}, où S_{m} désigne une partie de P à m éléments et où les u_{i} sont des éléments de même poids dans U^{+}. On peut, par multiplication d’un τ(λ) adéquat, se ramener au cas où λ_{1} = −4μ, μ ∈ P^{+} et u_{1} ∈ K_{μ}^{+}. Notons que idéaux I et J sont des adU^{+}-modules et que τ(−4μ)u_{1} est fini pour l’action adjointe de U^{+}. On peut donc trouver en itérant l’action d’éléments de poids de U^{+}, soit un élément de poids, adU^{+}- invariant dans I − J, soit un élément de poids de I − J possédant une décomposition dans Ǔ_{0} ⊗ U^{+} strictement plus petite. Par récurrence sur m, nous obtenons un élément v de poids μ dans I −J dont l’image dans I/J est q-central. Par construction, on a dans I/J, \overline{ad e_{i}(v)} = 0. Ceci entraîne \overline{e_{i}v} = q^{2(α_{i}, μ)}\overline{ve_{i}}. On pose alors λ = ∑ 2\frac{(α_{i}, μ)}{d_{i}}ϖ_{i} ∈ P, et on vérifie facilement que \overline{τ(λ)}\overline{v} est un élément semi-central non nul dans l’algèbre quotient. ♢

Nous pouvons énoncer le corollaire.

Corollaire. Tout idéal bilatère de Ǔ_{q}(b^{+}) peut être engendré par un système semicentralisant. ♢

Comme précédemment, on peut choisir ce système dans Ǔ_{A}(b^{+})∩I. Celui-ci se spécialise en une suite semi-centralisante de l’algèbre enveloppante classique.

4. Applications.

4.1. On note N l’espace vectoriel engendré par les éléments q-centraux de U^{+}. Avec les notations de 2.2, on a N = ⨁_{\overline{π}∈\overline{P}} C\overline{π}. De plus par (1.5.1), N est l’algèbre de polynômes engendrée par les e_{s(ϖ_{i})}, 1 ≤ i ≤ n. Tout élément normal de U^{+} est transformé en un élément normal de U^{+} par tout automorphisme de U^{+}. Par la proposition 2.1 et le théorème 2.2, N est stable par tout automorphisme de U^{+}. Soit Θ : Aut U^{+} ⟶ Aut N, le morphisme de restriction. On note G l’image du groupe des automorphismes de U^{+} par Θ. Soit (l) = (l_{1}, …, l_{n}), où l_{i} ∈ C(q)^{∗}. On note σ_{(l)} l’automorphisme donné par σ_{(l)}(e_{i}) = l_{i}e_{i}. On vérifie à l’aide de (1.2.2) que cet automorphisme est bien défini.

4.2. Soit ϕ un automorphisme de U^{+}. Remarquons que e_{i} q-commute avec tout élément normal de U^{+}, cf. proposition 2.1. Il en est donc de même de ϕ(e_{i}). Nous avons le lemme.

Lemme. Soit u dans U^{+}. L’élément u q-commute avec tout élément normal de U^{+} si et seulement si tous les poids de la décomposition de u sont dans une même classe modulo Ker(Id + w_{0}). De plus, il existe un morphisme injectif

ψ : Q^{+}/Ker(Id + w_{0}) ∩ Q^{+} → C(q)^{n},

tel que, pour tout \overline{π} ∈ Q^{+}/Ker(Id+w_{0})∩Q^{+}, et pour tout u de U^{+} de poids appartenant à \overline{π}, on ait ue_{s(ϖ_{i})} = q^{ψ(\overline{π})_{i}}e_{s(ϖ_{i})}u.

Preuve. Supposons u = ∑ u_{β}, où u_{β} est un élément de poids β. Par hypothèse, il existe pour tout i, un entier m_{i} tel que ue_{s(ϖ_{i})} = q^{m_{i}}e_{s(ϖ_{i})}u. Alors, en décomposant en somme d’éléments de poids, on obtient u_{β}e_{s(ϖ_{i})} = q^{m_{i}}e_{s(ϖ_{i})}u_{β}, pour tout β de la décomposition. Comme pour (2.2.1), cela implique (β, (Id+w_{0})(ϖ_{i})) = −\frac{m_{i}}{2} . Le lemme en découle directement. ♢ 4.3. Dans cette section, on suppose que g est de type A_{n}, n pair. Nous aurons besoin du lemme suivant

Lemme 1. Soient u et v deux éléments distincts de {1; e_{i}, 1 ≤ i ≤ n}. L’expression uv − vu est nulle si et seulement si l’un des éléments est égal à 1, ou u = e_{i}, v = e_{j} avec | i − j |≥ 2. L’expression u^{2}v − (q^{2} + q^{−2})uvu + vu^{2} est nulle si et seulement si u = e_{i}, v = e_{j} avec | i − j |=1.

Preuve. Ceci résulte clairement des relations (1.2.2) et du fait que U^{+} est une algèbre intègre. ♢

L’algèbre N est engendrée par les e_{s(ϖ_{i})}, 1 ≤ i ≤ n. L’assertion qui suit résulte de [2, Planche I] et des définitions de 1.5 et 2.2.

Assertion. (Cas A_{n}, n pair) On a :

(i) H est le monoïde engendré par les ϖ_{i} + ϖ_{n+1−i}, 1 ≤ i ≤ \frac{n}{2} et H = Ker(Id + w_{0}) |_{P^{+}},

(ii) Soit i ≠ j, alors α_{i} − α_{j} ∉ Ker(Id + w_{0}), (iii) Q^{+}/Ker(Id+w_{0})∩Q^{+} est engendré par \overline{α_{i}}, \overline{α_{n+1−i}}, avec les relations \overline{α_{i}}+\overline{α_{n+i−1}} =

0, 1 ≤ i ≤ \frac{n}{2}, (iv) C^{0} = Z^{+} = C(q)[e_{s(ϖ_{i}+ϖ_{n+1−i})}, 1 ≤ i ≤ \frac{n}{2}],

(v) Toute classe \overline{μ} de \overline{P^{+}} possède un représentant μ^{0} dans P^{+} de hauteur minimale et C\overline{μ} = e_{s(μ^{0})}Z^{+}. En particulier C\overline{ϖ_{i}} = e_{s(ϖ_{i})}Z^{+}, 1 ≤ i ≤ n. ♢

Soit d l’automorphisme “de diagramme” de U^{+} donné par d(e_{i}) = e_{n+1−i}. On vérifie que d(e_{s(ϖ_{i})}) = e_{s(ϖ_{n+1−i})}. L’automorphisme d fixe donc le centre Z^{+} point par point. Tout automorphisme ϕ de U^{+} laisse stable l’ensemble des éléments normaux. Le lemme suivant précise cette assertion.

Lemme 2. Tout automorphisme ϕ de U^{+} établit une permutation dans l’ensemble des sous-espaces C\overline{ϖ_{i}}, 1 ≤ i ≤ n.

Preuve. Considérons l’élément ϕ(e_{s(ϖ_{i})}). Cet élément appartient à C(n^{+}), donc à l’un des sous-espaces C\overline{μ}. Comme ϕ laisse le centre globalement invariant, il découle du théorème 2.2 et de l’assertion 4.3 que ϕ(C\overline{ϖ_{i}}) ⊂ C\overline{μ}. Inversement, si v ∈ C\overline{μ}, v possède par ϕ un antécédent normal u. Comme ϕ(u) et ϕ(e_{s(ϖ_{i})}) appartiennent tous deux à C\overline{μ}, ϕ(u + e_{s(ϖ_{i})}) est un élément normal, donc u + e_{s(ϖ_{i})} est normal. Il vient, par le théorème 2.2 que u ∈ C\overline{ϖ_{i}}. D’où ϕ(C\overline{ϖ_{i}}) = C\overline{μ}. Par la remarque 2.2 (ii), on a ϕ(C^{0}) = C^{0}, donc \overline{μ} ≠ 0. Supposons \overline{μ} ≠ \overline{ϖ_{j}}. En posant X_{i} = e_{s(ϖ_{i})}, on identifie N à l’algèbre de polynômes C(q)[X_{1}, …, X_{n}]. Par hypothèse et d’après l’assertion 4.3 (iv), ϕ(X_{i}) possède une valuation au moins égale à ht(μ^{0}), donc strictement supérieure à 1. Ceci est impossible car ϕ |_{N} est un automorphisme d’algèbre de polynômes. Le lemme est donc prouvé. ♢ Notons encore ϕ la permutation de \{1, …, n\} telle que ϕ(C\overline{ϖ_{i}}) = C\overline{ϖ_{ϕ(i)}}. On peut montrer la proposition

Proposition. Le groupe G est engendré par les restrictions à N des automorphismes σ_{(l)}, (l) ∈ (C(q)^{∗})^{n}, et d.

Preuve. Soit ϕ un automorphisme de U^{+}. Avec la convention précédente, on a ϕ(C\overline{ϖ_{i}}) = C\overline{ϖ_{ϕ(i)}}. D’après la proposition 2.1, l’élément ϕ(e_{i}) q-commute avec tout élément normal de U^{+}. Donc, comme ϕ(e_{s(ϖ_{i})}) ∈ C\overline{ϖ_{ϕ(i)}}, on montre par le lemme 4.2 que les poids de la décomposition de ϕ(e_{i}) sont dans la classe de α_{ϕ(i)} modulo Ker(Id + w_{0}) ∩ Q^{+}. De plus, par l’assertion 4.3 (ii), chacune de ces classes contient une racine simple et une seule. Comme ϕ est surjectif, ϕ(e_{i}) possède une composante non nulle dont le poids est une racine simple. Soient i et j deux entiers distincts de {1, …, n}. Par le lemme 1, on obtient

ϕ(e_{i})ϕ(e_{j}) − ϕ(e_{j})ϕ(e_{i}) = 0 ⇔| i − j |= 1 ;
ϕ(e_{i})^{2}ϕ(e_{j}) − (q^{2} + q^{−2})ϕ(e_{i})ϕ(e_{j})ϕ(e_{i}) + ϕ(e_{j})ϕ(e_{i})^{2} = 0 ⇔| i − j |= 1.

La composante de plus bas poids des égalités précédentes donne

e_{ϕ(i)}e_{ϕ(j)} − e_{ϕ(j)}e_{ϕ(i)} = 0 ; e_{ϕ(i)}^{2}e_{ϕ(j)} − (q^{2} + q^{−2})e_{ϕ(i)}e_{ϕ(j)}e_{ϕ(i)} + e_{ϕ(j)}e_{ϕ(i)}^{2} = 0.

Par le lemme 1, on a | ϕ(i) − ϕ(j) |≥ 2 ⇔| i − j |≥ 2. Ceci prouve que ϕ agit sur {1, …, n} comme l’identité ou comme l’automorphisme de diagramme d. On peut donc se ramener au cas où

(4.3.1)  ϕ(C\overline{ϖ_{i}}) = C\overline{ϖ_{i}}, 1 ≤ i ≤ n.

Remarquons qu’alors, ϕ(e_{i}) possède une composante de poids de la forme l_{i}^{−1}e_{i}, où l_{i} ∈ C(q)^{∗}. Cette composante est de poids minimal. Maintenant on munit N d’une N^{n}-graduation en posant deg(e_{s(ϖ_{i})}) = (0, …, 1, …, 0), où le 1 se situe à la i-ème position. On dote N^{n} de l’ordre lexicographique. Le terme de plus haut degré de tout élément de N est donc un monôme. Supposons deg(ϕ(e_{s(ϖ_{i})})) > deg(e_{s(ϖ_{i})}). Alors, par l’assertion 4.3 (v), on obtient deg(ϕ(u)) > deg(e_{s(ϖ_{i})}), pour tout u dans C\overline{ϖ_{i}}. Ceci est en contradiction avec (4.3.1). On a donc ϕ(e_{s(ϖ_{i})}) = ae_{s(ϖ_{i})}, a ∈ C(q)^{∗}. Grâce à l’automorphisme σ_{(l)}, on peut se ramener au cas l_{i} = 1, pour tout i. En écrivant les e_{s(ϖ_{i})} en somme de monômes en e_{j} et en projetant sur la composante de poids minimale l’égalité précédente, on obtient a = 1. Ceci achève la démonstration. ♢

Signalons que cette preuve n’est valable que pour le cas où g est de type A_{n}, n pair. Effectivement, si g n’est pas de ce type, alors l’analogue de l’assertion 4.3 (v) n’est plus vraie.

Soit S_{2} = {1, s} le groupe de permutations d’un ensemble à deux éléments. Faisons agir S_{2} sur C(q)^{∗n} par s(λ_{1}, λ_{2}, …, λ_{n}) = (λ_{n}, …, λ_{2}, λ_{1}). Nous pouvons énoncer.

Corollaire. Le groupe G est abélien. Il est isomorphe au produit direct (C(q)^{∗n})^{S_{2}}×S_{2}, où (C(q)^{∗n})^{S_{2}} désigne le sous-groupe des invariants de C(q)^{∗n} par S_{2}.

Preuve. A l’aide de la proposition précédente, il suffit de montrer que le morphisme de restriction Θ envoie le groupe engendré par les σ_{(λ)}, sur un groupe isomorphe à (C(q)^{∗n})^{S_{2}}. Fixons (λ) dans C(q)^{∗n}. Par 1.5, e_{s(ϖ_{i})} est de poids ϖ_{1} + ϖ_{n+1−i}. Par [2, Planche I], il vient σ_{(λ)}(e_{s(ϖ_{i})}) = Λ_{i}e_{s(ϖ_{i})}, avec Λ_{i} = λ_{1}λ_{2}^{2} … λ_{i}^{i} … λ_{n+1−i}^{i} … λ_{n−1}^{2}λ_{n} si i ≤ \frac{n}{2} et Λ_{i} = Λ_{n+1−i}. L’assertion en résulte aisément. ♢

Soit A le sous-groupe de (C(q)^{∗n})^{S_{2}} engendré par les (λ) tels que λ_{i} = λ_{n+1−i} = ±1. Le corollaire et l’assertion 4.3 montrent que l’image de Aut U^{+} par le morphisme de restriction à l’algèbre Z^{+} est isomorphe au groupe quotient (C(q)^{∗n})^{S_{2}}/A.

4.4. Soit g de type A_{2}. Dans ce cas, nous allons voir que la proposition 4.3 permet de déterminer le groupe des automorphismes de U^{+}. Avant toute chose, nous donnons une description des objets introduits dans les sections précédentes. Le réseau Ker(Id + w_{0}) est engendré par ϖ_{1} + ϖ_{2}. Le monoïde \overline{P^{+}} s’identifie à Z en associant à \overline{a_{1}ϖ_{1} + a_{2}ϖ_{2}} l’entier a_{1} − a_{2}. L’algèbre N est engendrée par les éléments

(4.4.1)  e_{s(ϖ_{1})} = e_{2}e_{1} − q^{−2}e_{1}e_{2} et e_{s(ϖ_{2})} = e_{1}e_{2} − q^{−2}e_{2}e_{1}.

Le centre Z^{+} est engendré par e_{s(ϖ_{1}+ϖ_{2})} = e_{s(ϖ_{1})}e_{s(ϖ_{2})}. Enfin, on a C^{n} = e_{s(ϖ_{1})}^{n}Z^{+}, resp. C^{n} = e_{s(ϖ_{2})}^{−n}Z^{+}, si n est positif, resp. si n est négatif. Soit ϕ dans Ker Θ. Par les relations (4.4.1), on vérifie que ϕ fixe e_{1}e_{2} et e_{2}e_{1}. En décomposant ϕ(e_{1}) et ϕ(e_{2}) sur les sous-espaces de poids, il vient que ϕ(e_{1}) et ϕ(e_{2}) sont de poids respectifs α_{1} et α_{2}. Cela entraîne que ϕ = σ_{(λ_{1}, λ_{2})}, pour λ_{1}, λ_{2} ∈ C(q)^{∗}. Nous avons montré

Proposition. Soit g de type A_{2}. Le groupe des automorphismes de U^{+} est isomorphe au produit semi-direct C(q)^{∗2} × S_{2}. ♢

Notons que ce résultat a été établi parallèlement dans [1, Proposition 2.3].