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Peut-on écrire 2012 comme somme de trois entiers consécutifs ? et 2013 ?
Y a -t-il une règle ?

Peut-on écrire 2012 comme somme de quatre entiers consécutifs ?
et ton année de naissance ?

Quels sont tous les nombres qui peuvent s'écrire comme somme de quatre entiers consécutifs ?

Les élèves trouvent assez rapidement pat tâtonnement que :
669 + 670 + 671 = 2010 et 670 +671 + 672 = 2013
donc 2012 ne peut pas s'écrire sous forme de 3 entiers consécutifs alors que 2013 peut l'être.

Si l'on propose une mise en forme algébrique, on peut faire remarquer que trois entiers consécutifs peuvent s'écrire
n, n +1, n + 2 ou n - 1, n, n + 1 ou ...

Les élèves trouvent facilement la règle pour les sommes de trois entiers consécutifs.
Ils en déduisent généralement une règle fausse, mais vite abandonnée, pour les sommes de quatre entiers. Un intérêt de cette deuxième question est la diversité des réponses possibles :

  • Les nombres de la forme 4n + 2
  • Les nombres de la forme 4n + 6
  • Les nombres pairs qui ne sont pas multiples de 4
  • Tous les doubles des nombres impairs
  • ...