On peut se contenter dans ce problème de l'observation que les fins de ligne sont les carrés des entiers.
Le démontrer serait un autre problème*.

Pour trouver la position de 795 471, il suffit donc de l'encadrer par deux carrés d'entiers successifs.
Une simple calculette suffit à cela.
795 471 est compris entre les carrés de 891 et 892 donc se trouve sur la 892ème ligne.
Le nombre d'éléments sur cette ligne est 892² - 891² soit 1783.
La colonne de 795 471 est donnée par 795 471 - 891² soit 1590.

La disposition des nombres en rangées de 1, 3, 5, 7, ... fait qu'en bout de ligne on a les entiers de rangs 1, 1+3, 1+3+5, etc.... Il s'agit donc de montrer que la somme des n premiers entiers impairs est un carré parfait. Quelques idées :

Démonstration géométrique. L'aire du premier triangle est prise comme unité .
Le deuxième triangle, qui contient les deux premières lignes, est un agrandissement du premier, de coefficient 2, et ainsi de suite.
Le triangle qui contient les n premières lignes est un agrandissement de coefficient n du triangle de base, donc son aire est égale à n², ou encore il contient n² triangles de base, donc n² éléments.

On peut aussi penser à la démonstration figurée de l'égalité : n² + (2n + 1) = (n+1)²

On peut faire un calcul analogue au calcul de la somme des premiers entiers, un peu difficile pour des collégiens.


La somme des éléments de chaque colonne est 2n + 2. En additionnant les (n+1) éléments de chaque ligne, on a la somme S = 1 + 3 + 5 + ... + 2n+1 D'où :
2S =(n+1)(2n+2)
S = (n+1)²