Formation ISN - Codage des entiers relatifs

La notation en complément à 1

Le premier bit est un bit de signe, le reste des bits correspond à la valeur absolue de l'entier, codé comme avant.

Cette méthode présentent cependant plusieurs Inconvénients :

deux zéros, dont l'égalité doit être gérée;
on perd une valeur représentée;
les règles d'addition ne sont pas conservées. Avec ce codage, \( a − b \neq a + (−b) \) et il faut programmer séparément l’addition et la soustraction.

La notation en complément à 2

C’est la solution usuelle pour représenter les entiers relatifs :
Les entiers naturels codés sur n bits sont répartis en deux groupes.
Pour un entier x appartenant à \( [-2^{n-1}, 2^{n-1}-1]\)

Si l’entier relatif x est positif ou nul, on le représente comme l’entier naturel x.
S’il est strictement négatif, on le représente comme l’entier naturel \(x + 2^n\) .

Ainsi :

Le bit de poids fort est à 1 pour un entier négatif.
L’addition est la même que pour les entiers positifs, indépendamment du signe.
On peut donc utiliser le même circuit pour l’addition et la soustraction.

Par exemple, pour un codage sur 3 bits, on peut représenter \(2^3 = 8\) nombres.
On utilise les 4 premiers pour coder les entiers positifs 0,+1,+2,+3 et les 4 suivants pour coder les quatre entiers négatif -4,-3,-2,-1.

Binaire	000	001	010	011	100	101	110	111
Entier signé	0	+1	+2	+3	-4	-3	-2	-1

L'intervalle de codage :

Sur 8 bits (1 octet), l'intervalle de codage est [−128, 127].
Sur 16 bits (2 octets), l'intervalle de codage est [−32768, 32767].
Sur 32 bits (4 octets), l'intervalle de codage est [−2147483648, 2147483647].
D'une manière générale sur n bits, l'intervalle de codage est [\( −2^{n-1} \), \(2^{n-1}-1\)]

Programmation

def dec2bin(d,nb):
    """Representation d un nombre entier en chaine binaire (nb: nombre de bits du mot)
    Exemple : dec2bin(23,8) retourne '00010111'
    """
    if d == 0:
        return "0".zfill(nb)
    if d<0:
        d += 1<<nb
    
    b=""
    
    while d != 0:
        d, r = divmod(d, 2)
        b = "01"[r] + b
    return b.zfill(nb)

def bin2decs(C):
    """bin2decs(C): Conversion chaine binaire signee de longueur quelconque -> nombre entier signe
    Exemple : bin2decs('1110101') retourne -11
    """
    if C[0]=="0":
        # le 1er chiffre est un '0' => le resultat sera positif
        return int(C, 2)
    else:
        # le 1er chiffre est un '1' => le resultat sera negatif
        return int(C, 2) - (1<<len(C))




def NbB(nombre_de_bits): 
    nb_bits = nombre_de_bits
    affiche(nb_bits,2**(nb_bits)-1)




def affiche(nb_bits,rangt):
    print ("Codage sur  ", nb_bits, "bits des entiers de ", -2**(nb_bits - 1), "a ", 2**(nb_bits - 1) - 1)
    b_inf = 0
    for x in range(b_inf, rangt + 1):
        chaine = dec2bin(x, nb_bits)
        print (chaine, "represente l'entier signe ", bin2decs(chaine))


NbB(8)

Enoncés
Solutions

1.
Déterminer la représentation binaire en complément à 2 sur 8 bits des entiers signés :

-54
-128
-1
-2
-127

Astuce rapide :
Pour représenter -62 sur 8 bits :
- on convertit 62 en base 2 : 111110
- on complète par des zéros à gauche pour obtenir 8 bits : 00111110
- on inverse tous les bits : 11000001
- on ajoute +1 : 11000010

2.
Quelles plages d’entiers positifs et négatifs peut-on représenter en complément à 2 sur 8 bits ?
Et sur sur 16 bits ?

3.
Déterminer l’entier représenté en complément à 2 sur 8 bits par :

10000001
11111111
11111101
01111110

1.
La représentation binaire de 54 en complément à deux est 00110110 .
La représentation binaire de -1 en complément à deux est 11111111 .
La représentation binaire de -2 en complément à deux est 11111110 .
La représentation binaire de 127 en complément à deux est 01111111 .
La représentation binaire de -127 en complément à deux est 10000001 .
La représentation binaire de -128 en complément à deux est 10000000 .

2.
Sur 8 bits on peut représenter en complément à deux les entiers de \(-2^{8−1}=−128\) à \(2^{8−1}−1=127\).

Sur 16 bits on peut représenter en complément à deux les entiers de \(−2^{16−1}=−32768\) à \(2^{16−1}−1=32767\).

3.
10000001 représente -127.
11111111 représente -1.
11111101 représente -3.
01111110 représente 126.

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Codage

La notation en complément à 1

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