Suites

dimanche 6 février 2011
par  Christian Mercat

Retrouver les fichiers associés à cette activité sur i2geo.net. Nous allons nous intéresser aux suites, à leurs valeurs d’adhérence, au moyen de les représenter visuellement, aux suites en particulier de la forme u_{n+1}=f(u_n), aux moyens d’accélérer la convergence quand f a un point fixe attractif.

Tout d’abord, une valeur d’adhérence v d’une suite (u_n)_{n\in\mathbb{N}} est un nombre qui est approché arbitrairement près par toute queue de la suite, c’est-à-dire, \forall\epsilon>0,\forall N\in\mathbb{N}, \exists n>N, |u_n-v|<\epsilon.

La suite qui va nous occuper est la suite logistique qui exhibe des propriétés intéressantes. Il s’agit de l’itération de la fonction f_a:x\mapsto a\,x\,(1-x) pour une valeur de départ dans [0,1] et 0<a\leq 4.

Théorème du point fixe de Picard

Une fonction f:A\to A sur un fermé A de \mathbb{R}^d, K-contractante admet un unique point fixe \bar x\in A et la suite de ses itérées x_n=f^n(x_0) converge vers \bar x avec ||x_k-\bar x||\leq \frac{K^{k-\ell}}{1-K}||x_{\ell+1}-x_\ell|| pour tous entiers k\geq \ell\geq 0.

Notre fonction f_a a deux points fixes sur \mathbb{R}, x=0 et x=1-\frac1a, qui n’est positif que pour a\geq 1.

Le maximum de la dérivée f'_a(x)=a\,(1-2\,x) de f_a est atteint aux bornes et vaut a, f_a est donc contractante pour a<1, avec 0 comme unique point fixe attractif, lequel devient répulsif pour a>1. La dérivée en l’autre point fixe vaut 2-a qui est plus petit que 1 en valeur absolue pour 1<a<3 à partir duquel les deux points fixes sont répulsifs. C’est alors sa composée double f_a\circ f_a qui a deux nouveaux points fixes attractifs, qui sont images l’un de l’autre par f_a. Mais quand a grandit, ceux-là deviennent à leur tour répulsifs et c’est à l’itérée suivante qu’il faut aller chercher des points fixes.

A noter le cycle d’ordre 3 pour a=1+\sqrt{8}.

Une étude fine avec Géoplan par Olivier Roizès m’a servi de guide.


Commentaires

Logo de Jérôme Germoni
lundi 7 février 2011 à 20h19, par  Jérôme Germoni

Il y a un texte de Daniel Perrin sur le sujet, que l’on peut lire à différents niveaux : le début est classique et les choses s’enrichissent et se compliquent petit à petit.

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