Les oies mathématiciennes. Problèmes 22 et 23.
par
Les oies mathématiciennes (1) et (2)
L’idée des problèmes provient du site canadien Récréomath, où l’on en trouve une étude détaillée.
Préambule : les nombres triangulaires
Dans la réalité les oies communes forment de simples V pour voler, mais nos oies mathématiciennes préfèrent remplir le V, et plus précisément former des nombres triangulaires
Les nombres triangulaires sont les nombres de la forme :
| 1 | 1+2 | 1+2+3 | 1+2+3+4 | |
La règle de formation n’est pas donnée dans l’énoncé. La faire expliciter sera donc une étape préalable à la recherche.
On peut facilement calculer de proche en proche les nombres triangulaires. Voici les vingt premiers :
| 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 | 36 | 45 | 55 | 66 | 78 | 91 | 105 | 120 | 136 | 153 | 171 | 190 | 210 |
Il existe une formule simple qui permet de calculer directement le nième nombre triangulaire :
Sans nécessairement passer par la formule générale, voici deux méthodes de calcul direct (qui permettent d’ailleurs d’établir la formule).
| Première façon : Calcul de 1 + 2 + ... + 7 de façon "figurée" | |
|---|---|
| Avec deux triangles de base n, on fabrique un rectangle nx(n+1) |
|
| S = | 1 | + | 2 | + | 3 | + | 4 | + | 5 | + | 6 | + | 7 | + | 8 | + | 9 |
| S = | 9 | + | 8 | + | 7 | + | 6 | + | 5 | + | 4 | + | 3 | + | 2 | + | 1 |
| 2S = | 10 | + | 10 | + | 10 | + | 10 | + | 10 | + | 10 | + | 10 | + | 10 | + | 10 |
22. Les oies mathématiciennes (1)
Bien entendu, on n’attend pas des élèves une recherche exhaustive !! Il s’agit de favoriser une démarche exploratoire, assistée de différentes façons : gommettes, dessins, calculette...
Un préalable déjà signalé est de s’assurer que les élèves ont bien compris la règle de formation des nombres triangulaires.
- Les élèves peuvent travailler seulement sur les nombres en faisant des additions systématiques.
- Ils peuvent aussi s’appuyer sur le dessin ou une représentation matérielle des triangles
Partant d’un nombre triangulaire on peut essayer de le compléter pour obtenir un autre nombre triangulaire.
| Exemple | |
|---|---|
| Quel nombre d’oies peut compléter la formation suivante ? |
|
Le triangle est formé de 15 oies, on peut le compléter avec une rangée de 6 oies, tout va bien puisque 6 est triangulaire.
Peut-on mettre une rangée de plus ?
6 + 7 = 13 ; ce n’est pas un nombre triangulaire.
Essayons avec 3 rangées. 6 + 7 + 8 = 21 ; 21 est triangulaire, ça marche !
- On peut partir dans l’autre sens. On dispose en une seule ligne les éléments d’un triangle A, et on complète les lignes du dessus pour former un triangle B.
Si le triangle A comporte 15 oies, par exemple, la dernière rangée de B en a 14, ce qui fait que le triangle B a au total :
1 + 2 + 3 + .... + 14 oies.
| Triangle A | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 | 36 | 45 | 55 | 66 | 78 | 91 |
| Triangle B | 3 | 15 | 45 | 105 | 210 | 378 | 630 | 990 | 1485 | 2145 | 3003 | ... | |
| Triangle "A+B" | 6 | 21 | 55 | 120 | 231 | 406 | 666 | 1035 | 1540 | 2211 | 3081 | ... |
Et si l’on veut disposer les oies d’un triangle sur deux lignes au lieu d’une ? Il suffit pour cela que le triangle A ait un nombre impair d’éléments (supérieur à 3 !). Supposons 21 oies, 21 = 11 +10, la dernière rangée du triangle B a 9 éléments, ce qui donne au total pour ce triangle :
1 + 2 + 3 + 4 +... + 9 =45.
| Triangle A | 15 | 21 | 45 | 55 | ... |
| Triangle B | 21 | 45 | 231 | 351 | ... |
| Triangle "A+B" | 36 | 66 | 276 | 406 | ... |
23. Les oies mathématiciennes (2)
Il s’agit cette fois de décomposer des nombres entiers en sommes de nombres triangulaires.
Pour 40 il y a une solution évidente : 10 + 10 + 10 + 10. Il faut donc encourager les élèves à trouver toutes les solutions, soit, en partant du plus grand nombre triangulaire possible :
36 + 3 + 1 (pauvre oie solitaire)
28 + 6 + 6
28 + 6 + 3 + 3
28 + 3 + 3 + 3 + 3
21 + 15 + 3 + 1
21 + 6 + 6 + 6 et ses développements
15 + 15 + 10
etc
48 se décompose en deux nombres triangulaires 45 + 3. On peut ensuite proposer d’autres nombres en ajoutant différentes contraintes : le moins de formations possibles, l’effectif de chaque formation supérieur à 3, ou à 6.
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