Le loto

Réponse

On peut acheter 27 bouteilles et 2 gâteaux ou 19 bouteilles et 5 gâteaux ou 11 bouteilles et 8 gâteaux ou 3 bouteilles et 11 gâteaux.

Démarches possibles

Recherche exhaustive.

• On commence par calculer toutes les dépenses possibles en achat de gâteaux : 8 ; 16 ; 24 ; 32 ; 40 ; 48 ; 56 ; 64 ; 72 ; 80 ; 88 ; 96 On calcule ensuite l’argent restant dans chaque cas : 89 ; 81 ; 73 ; 65 ; 57 ; 49 ; 41 ; 33 ; 25 ; 17 ; 9 ; 1 0n regarde dans la liste ci-dessus les sommes correspondant à un nombre entier de bouteilles 81, soit 27 bouteilles et 2 gâteaux 57 soit 19 bouteilles et 5 gâteaux 33 soit 11 bouteilles et 8 gâteaux 9 soit 3 bouteilles et 11 gâteaux

• On peut calculer aussi tous les achats possibles en bouteilles et chercher les couples dont la somme est 97.
• Essai systématique avec 1 bouteille, 2 bouteilles, etc...

Essais-erreurs et ajustements successifs

• Les élèves vont souvent partir de la division 97/8, on peut acheter 12 gâteaux, et il reste 1 euro. Avec 1 gâteau de moins, on a 9 euros et on peut prendre 3 bouteilles. On a donc une première solution avec 11 bouteilles et 8 gâteaux. Avec 2 gâteaux de moins, il reste 17 euros, etc.. Il faut un peu ramer pour arriver à la solution suivante…
• Certains peuvent partir de l’idée que un lot cela fait une bouteille et un gâteau, soit 11 euros. En divisant 97 par 11, on trouve 8 lots, et il reste 9 euros, ce qui correspond à 3 bouteilles. Comme plus haut, on a une première solution avec 11 bouteilles et 8 gâteaux.

Utilisation d’échanges

A partir d’une solution quelconque, on peut en chercher une autre en utilisant l’égalité : 8 bouteilles = 3 gâteaux. De la solution 11 bouteilles et 8 gâteaux on déduit : 3 bouteilles et 11 gâteaux 19 bouteilles et 5 gâteaux 27 bouteilles et 2 gâteaux

Remarque :

Dans ce problème comme dans beaucoup d’autres, les élèves peuvent être aidés par différents dispositifs : feuille de recherche, affiche... pour utiliser leurs recherches et organiser leur travail.

La mise en commun portera tout autant sur les méthodes utilisées que sur la justification des réponses.