IREM de Lyon

Programme Juin 2012 : Cinémath !

Webmaster IREM — 2012-05-07T13:40:46Z

MathC2+

Dans les locaux de l'Institut Camille Jordan à l'Université Claude Bernard Lyon 1.

Pour les secondes :

	Mardi 26 juin	Mercredi 27 juin	Jeudi 28 juin
8h30-10h	Vincent Borrelli Math : silence on tourne !	Simon Masnou Chirurige mathématique d'une image numérique	Anne Perrut Mathe les couleurs
10h15-11h45	Thierry Dumont Modéliser, calculer, vusaliser	Plaisir Math Projet Rebond	Theresia Eisenkoelbl Des droites qui sont des points
12h-13h30	Repas (Jussieu)	Repas (Jussieu)	Repas (Jussieu)
13h30-15h	Plaisir Math Projet Rebond	Plaisir Math Institut Lumière	Plaisir Math Projet Rebond
15h15-17h	Régis Goiffon MathαLyon	Plaisir Math Institut Lumière	Pierre Gallais L'art de la mathologie

Vincent Borrelli (qui a fait l'image ci-dessus) parlera de la polémique sur le galot du cheval et du premier film scientifique par Eadweard Muybridge, pour enchaîner sur les systèmes dynamiques, le système solaire et l'effet papillon.

Thierry Dumont parlera de modélisation :

les films permettent d'analyser, c'est la première étape pour modéliser un phénomène, c'est une activité assez "qualitative".
En retour, les mathématiques permettent de simuler ces phénomènes : on calcule, ça devient quantitatif et numérique.
Ensuite, pour tirer quelque-chose de cette avalanche de nombres, il faut visualiser.

Régis Goiffon animera l'atelier Math@Lyon (peut-être délocalisé pour leur faire découvrir/arpenter le campus ?) d'activités mathématiques.

Simon Masnou expliquera ce qu'est une image numérique et comment on peut la modifier, la comprimer ou l'améliorer.

Anne Perrut expliquera ce qu'il y a de commun entre une impression colorée, un tour de prestidigitation et un mensonge dans les sondages : des statistiques, des moyennes et des écart-type.

Theresia Eisenkoelbl et Bodo Lass présenteront la géométrie projective qui est la géométrie du cinéma, où des droites de l'espace sont projetées sur un point du plan, et comment on calcule avec cette géométrie.

Pierre Gallais présentera certaines de ses œuvres et mettra au travail les jeunes sur la perspective par une réalisation artistique et mathématique.

Arithmétique avec xcas

Christian Mercat — 2012-04-04T15:19:03Z

Considérons la suite définie par avec , et .

Théorème : Si est premier, est multiple de .

Preuve : Soit , , les racines du polynôme , les suites vérifiant la relation de récurrence sont l'espace vectoriel engendré par les trois suites géométriques de raison . La combinaison linéaire adéquate, étant donné que , et , est . Ces racines sont a priori complexes, mais on peut considérer la suite dans pour premier et on a alors , donc est multiple de .

Une conjecture qui a tenu longtemps prétendait que cette condition est multiple de fournissait un critère de primalité de . Testons la avec xcas et observons pourquoi elle a tenu si longtemps car c'est effectivement un critère de primalité pour des entiers raisonnables.

Si on implémente la suite de manière naïve avec un double appel récursif, comme la suite de Fibonacci, on arrive rapidement à un dépassement des capacités de l'ordinateur avec une complexité exponentielle en mémoire. Voici une manière de gérer efficacement la mémoire à l'aide d'un tableau dynamique :

l:=[3, 0, 2];
 
 u(n):={
 local i;
 if(n for(i:=size(l); i<=n; i++) l := append(l, l[i-2]+l[i-3]);
 return l[n];
 }

Si la réponse est déjà dans la liste, on la lit. Sinon, on calcule tous les termes jusqu'à celui demandé et on les stocke dans la liste.

On peut alors vérifier que cela fournit un test de primalité pour les "petits" entiers :

for(k:=3; k<10000; k+=2) { if((irem(u(k),k)==0) et (non(est_premier(k)))) afficher(" "+k+" divise "+u(k));}

Des multiples de 2011 avec des 9

Théorème : Il existe des multiples de 2011 qui se finissent par autant de 9 qu'on veut en base dix.

Cela signifie que où est le nombre de 9 recherché.

Il suffit pour cela de calculer les entiers de Bézout associés à 2011 et :

aubvd(a,b):={local u,v,d,(r:=irem(a,b)),q;
 if(r==0) return [0,1,b];
 [u,v,d]:=aubvd(b,r);
 q := iquo(a,b);
 return [v,u-q*v,d];
 }

qui est toujours intéressant à programmer par l'algorithme d'Euclide, , , si l'égalité de Bézout pour et est on en déduit celle pour et : .

Cependant, pour le concours, vous pourriez aussi utiliser la fonction xcas iabcuv qui donne directement le résultat. On peut aussi utiliser la fonction double iquorem.

On a donc le résultat final avec :

multiple9(n):={local u,v,d;
 [u,v,d]:=aubvd(2011,10^n);
 afficher("2011*"+(10^n-u)+"="+(2011*(10^n-u)));

multiple9(5) donne 2011*52909=106399999.

Les Œuvres complètes de D'Alembert

Webmaster IREM — 2012-04-01T11:54:31Z

Analyse, optique, correspondance

Vendredi 30 mars 2012 salle Fokko du Cloux

Programme

9 h 30 - 10 h 15 Irène Passeron (SYRTE, Observatoire de Paris) La correspondance du responsable de la partie mathématique de l'Encyclopédie 10 h 15 - 11 h 00 Fabrice Ferlin (Institut Camille Jordan, Université Lyon 1) Le tome III des Opuscules mathématiques de D'Alembert : un traité d'optique bien oublié

Pause

11 h 15 - 12 h 00 Guillaume Jouve (Laboratoire de mathématiques de Lens, Université d'Artois) L'analyse et les équations aux différences partielles dans le tome III/4 des Opuscules mathématiques (1768)

Buffet

Lieu d'accès Salle Fokko du Cloux (premier étage), bâtiment Braconnier, 21, rue Claude Bernard, 69100 Villeurbanne

Organisateurs Fabrice Ferlin, Guillaume Jouve

Mathémagie : une approche didactique des mathématiques et des sciences par la Magie

Webmaster IREM — 2012-03-30T12:26:31Z

jeudi 29 mars 2012 à 14 h 30 amphi Émilie du Châtelet de la Bibliothèque Marie Curie de l'INSA

Pierre SCHOTT, professeur de Physique dans une école d'ingénieurs post-Bac,enseigne la physique au sens large mais également l'analyse numérique,l'algèbre linéaire pour les IUT et le langage C. Il utilise depuis 2005 la Magie comme vecteur d'enseignement, notamment dans des projets pluridisciplinaires donnés aux étudiants. Il exploite aussi cette approche lors de certaines formations didactiques s'adressant à des doctorants. Il a co-écrit avec Aimé LACHAL dans le magazine Quadrature deux articles de mathématiques démontrant quelques tours de Magie (de vrais petits miracles !).

Lors de ce séminaire, les deux auteurs se proposent de vous faire partager ces principes magiques à travers un petit spectacle de cartomagie (5 tours), de vous faire trouver les secrets magiques puis mathématiques. Pierre SCHOTT finira la présentation en exposant les différentes matières dans lesquelles il utilise la Magie.

Semaine des mathématiques 12-16 mars 2012

Webmaster IREM — 2012-03-29T09:10:17Z

13 mars	Conférence nationale : Enseignement des mathématiques à l'école et au collège	ÉNS-L
12 – 16 mars	Exposition MathαLyon	Lycée La Martinière Montplaisir, Lyon 8è
14 mars	Forum Avenirs	Amphithéâtre Thémis, La Doua
9h – 12h Lycées	Présentation Anne PERRUT : Les métiers des mathématiques
14 mars	Conférence Véronique EGLIN (INSA) : Traitement de l'image	Collège Jean Monet, Lyon
14 mars	Conférence Nathalie REVOL (INRIA-ÉNSL)	Lycée Brossolette
10h – 11h	1ère partie : Des souris (d'ordinateur) et des nombres	Villeurbanne
11h-12h	2ème partie : Les métiers des mathématiques
15 mars	Conférence Anne PERRUT : Statistiques et mensonges
10h-12h		Lycée Edouard Branly, Lyon 5è
14h-16h		Lycée Robert Doisneau et Collège Jacques Duclos, Vaulx en Velin
15 mars	Conférence Nathalie REVOL	Lycée Récamier
14h – 15h	1ère partie : Des souris (d'ordinateur) et des nombres	Lyon 2ème
15h-16h	2ème partie : Les métiers des mathématiques
16 mars 9h-17h	Correction du rallye académique de Lyon, 3ème-2nde	IREM – La Doua
17 mars 2012	Fédération française des Jeux mathématiques Demi-finales du championnat international des jeux mathématiques et logiques	ÉNS-L

Documents (mars 2012)

Gilles Aldon, Jérôme Germoni, Jean-Manuel Mény — 2012-03-27T07:40:00Z

Documents proposés pendant le stage des 13 et 22 mars 2012.

Mise à jour le 27 mars : ajout des documents du 22 mars.

Tous les fichiers xcas.

Premier jour (13 mars) :

présentation générale :
- quelques mots sur l'algorithmique dans les programmes de math. et d'ISN,
- algorithme et programme,
- types de questions qu'on peut se poser pour comprendre un algorithme,
programmation avec Xcas,
terminaison, validité, complexité d'un algorithme et un problème de complexité adapté au lycée,
iterated function systems : quelques algorithmes graphiques pour rire un peu en fin de journée.

Devoir à la maison : le problème des reines sur l'échiquier (pas de chance, c'est écrit « pour » Python...).

Deuxième jour (22 mars) :

différents paradigmes de programmation : exposé par Emmanuel Coquery (département d'informatique de l'UCBL, LIRIS) ;
algorithmes de tri (principe, mise en œuvre, complexité) : tri sélection, tri rapide ;
aparté : arbres en algorithmique ;
algorithmes gloutons : problème du gymnase (question du critère), problème du monnayeur ;
essai de synthèse.

Troisième jour (dimanche 1er avril) :

tri fusion ;
problème du rendu de monnaie : comment déterminer si l'algorithme glouton est optimal pour un système de pièces donné ? problème et corrigé (Centrale 2001, tiré du site de l'UPS) ;
algorithmes gloutons pour les arbres (recherche d'un arbre couvrant, algorithme de Dijkstra) ;
parcours d'un arbre (en largeur, en profondeur) ;
coloriage d'un graphe.

Géométrie plane, systèmes, polynômes d'endomorphismes

Jérôme Germoni — 2012-03-07T13:28:00Z

Quelques mots sur les trois leçons vues avec moi les 14 et 15 février :

isométries du plan,
systèmes linéaires,
polynôme d'endomorphisme.

Isométries du plan ou de l'espace

Une remarque. Une propriété très utile des isométries est la décomposition suivante.

Théorème. Pour toute isométrie , il existe une unique isométrie et une unique translation de vecteur telles que :

on ait : ,
l'isométrie possède un point fixe,
le vecteur est stable par l'application linéaire associée à .

Remarques sur cet énoncé :

les isométries et ont la même application linéaire associée ;
par le principe de conjugaison, on a : , si bien qu'il est équivalent de demander que et commutent et que ;
toute application affine peut s'écrire comme composée d'une application ayant un point fixe et d'une translation mais les contraintes supplémentaires la rendent unique et (donc) utile ;
l'unicité n'est pas garantie pour une application affine quelconque , voici un exemple : et pour dans ; on peut prendre et mais aussi (qui fixe ) et ;
compte tenu de ce qui précède, la propriété qui permet de prouver la décomposition du théorème est que l'espace propre possède un supplémentaire stable par ; lorsque est une isométrie, c'est parce que son orthogonal est stable par ;
pour plus de détails, voir le livre de Michèle Audin, Géométrie, fin du paragraphe I.3 et proposition II.2.8.

Systèmes linéaires et algorithme de Gauss

Remarques sur le plan de la leçon « Systèmes »

Il faut distinguer les parties purement algébriques et les parties numériques.
Le comptage des opérations nécessaires pour pratiquer l'algorithme de Gauss n'est pas très difficile (cela revient, in fine, à calculer et ) mais sera, je n'en doute pas, fort apprécié en ces temps pro-algorithmiques.
Les questions des erreurs d'arrondi et de conditionnement sont délicates à traiter mais les évoquer ne coûte pas grand-chose (voir référence ci-dessous).
Le rapport du jury dit : « Cette leçon repose, fondamentalement, sur la notion de rang qui doit donc être évoquée sans tarder. On doit aussi mettre en valeur l'interprétation des systèmes d'équations linéaires en termes d'images réciproques par une application linéaire. La comparaison de différentes méthodes de résolution (y compris les méthodes du pivot) est également attendue. » Ce qui impose en particulier au plan d'évoquer au moins une autre méthode que le pivot.

L'idée « plus »

Le théorème suivant est relativement peu connu en France alors qu'il apparaît dès les premiers chapitres d'algèbre linéaire dans d'autres pays.

Théorème (fang sheng). Soit et deux matrices de même taille. Il est équivalent de dire :

les noyaux de et sont égaux (i.e. les systèmes et sont équivalents) ;
il existe une matrice inversible telle que ;
les matrices et ont même forme échelonnée réduite.

Références pour cette leçon :

Michelle Schatzman, Analyse numérique, :
- chap. 9, paragraphe 9.2 : calcul de la complexité de l'algorithme de Gauss ;
- juste après : exemple d'un système 2×2 mal conditionné, donnant lieu à des erreurs numériques importantes ;
- pas trop loin : méthodes itératives ;
Cognet, Algèbre linéaire, chap. 4 : on y trouve l'engendrement de GL(n) par les transvections et les dilatations et celui de SL(n) par les transvections, puis des applications au centre de GL(n), au groupe dérivé de GL(n) et SL(n) et à la simplicité de PSL(n). Pour les applications, le Cours d'algèbre de Daniel Perrin est une bonne référence.
Roudier, Algèbre linéaire, chapitre 8 : je ne sais déjà plus ce qu'il y a dedans !
Pierre Gabriel, Matrices, géométrie, algèbre linéaire, partie A, chapitre 2 (début du livre) : présentation compacte de la forme échelonnée sous le nom d'algorithme Fang sheng (car la méthode apparaît sous ce nom dans Les neuf chapitres sur l'art mathématique, livre chinois du Ier siècle de notre ère).
Goblot, Algèbre linéaire : quelque chose de semblable avec un plus : l'idée de l'appliquer, mutatis mutandis, à des matrices à coefficients entiers : chapitre 3, II et chapitre 8 pour les modules sur les anneaux principaux —et application aux groupes abéliens de type fini et aux modules sur les anneaux principaux. On trouvait ça aussi dans le Cours d'algèbre de Daniel Guin mais il semble dur à trouver ; voir ceci.
Denis Serre, Les matrices, chap. 9 : méthodes itératives : d'autres méthodes que l'algorithme de Gauss pour résoudre un système.

Polynôme d'endomorphisme

Ajout du 7/3 : une preuve du lemme des noyaux.

On fixe un espace vectoriel de dimension finie sur un corps et un endomorphisme de . Voici quelques questions :

Quelle est la dimension de l'espace vectoriel des polynômes en ?
Soit un endomorphisme satisfaisant à .
1. Calculer .
2. Prouver qu'il existe un endomorphisme dont le carré est . Donner une expression d'un tel endomorphisme comme polynôme en .
3. Mêmes questions en remplaçant le polynôme annulateur par .
Donner un polynôme qui annule ue matrice de permutation. Quel est le polynôme minimal (resp. le polynôme caractéristique) d'une matrice de permutation ?
On suppose qu'il existe un vecteur de tel que engendre . Prouver que tout endomorphisme qui commute à est un polynôme en [Variante : on suppose que est une matrice-compagnon d'un polynôme : prouver que toute matrice qui commute à est un polynôme en .]

Faisceaux de cercles

Christian Mercat — 2012-02-14T16:51:42Z

On étudie un faisceau de cercle particulier associé à une homographie puis on présente les faisceaux de cercles produits par intersection d'une famille de plans avec une sphère et leur projection stéréographique.

Soit . On s'intéresse aux courbes de niveau du module de et de son argument. Une première approche est d'observer la covariation de et , en renommant un point libre du plan et en définissant

w=(z-i)/(z+i)

et pourquoi pas ses itérés

v=(w-i)/(w+i)

u=(v-i)/(v+i)

On s'aperçoit alors que la fonction est d'ordre trois, sa réciproque est donc son carré, .

Pour visualiser le lieu des tels que , il suffit de prendre le lieu de sa réciproque lorsque décrit un cercle.

Pour avoir tout un faisceau de cercles, utilisons le tableur : en initialisant la première colonne A à un incrément décrivant , on définit

B1=Point[Cercle[(0,0),A1]]

un point sur le cercle de centre O et de rayon puis

C1=-i*(B1+1)/(B1-1)

son image par et enfin

D1=Lieu[C1,B1]

le lieu recherché. On étend ces formules à toutes les trois colonnes.

On peut colorier le lieu d'une couleur qui dépend de .

Pour l'argument constant, la seule variante est, si varie de 1 à 30 :

E1=Point[DemiDroite[(0,0),exp(2*i*A1*pi/30)]]

F1=-i*(E1+1)/(E1-1)

G1=Lieu[F1,E1]

La figure est disponible sur i2geo

Projection stéréographique et faisceaux de cercles

On peut voir un faisceau de cercles comme la projection stéréographique d'un faisceau de cercles sur la sphère, lequel est produit par l'intersection d'une famille de plan partageant une même droite.

Nous allons illustrer ce point avec geospace. Construisons la sphère unité S. Son pôle Nord N et le plan définissent la projection stéréogrpahique : un point M sur la sphère se projette sur le plan comme intersection de la droite (NM) et du plan.

Définissons une droite (AB) par deux points libres de l'espace. Cette droite peut intersecter la sphère ou pas. La famille de plans passant par (AB) intersecte la sphère. Si (AB) intersecte la sphère, tous les plans l'intersectent aussi en un faisceau de cercles à points base et (les points d'intersection), tandis que si (AB) n'intersecte pas la sphère, seule une portion de ces plans intersectera la sphère et formera un faisceau de cercles à points à points limite et (les points où les plans sont tangents à la sphère).

La droite (AB) est associée à une autre droite qu'on peut définir géométriquement comme l'intersection des deux plans tangents à S en et si (AB) intersecte la sphère, ou bien la droite dans le cas contraire. Les deux faisceaux associés à ces deux droites sont conjugés, ils sont orthognaux et les points base de l'un sont les points limites de l'autre.

La projection stéréographique de ces faisceaux produit des familles de faisceaux de cercles du plan.

Sur i2geo

Multiples, puissance dans Z/nZ et test de primalité de Miller-Rabin

Christian Mercat — 2012-02-14T10:00:11Z

Nous visualisons les tables de multiplication et d'exponentiation dans à l'aide de Géogébra.

On choisit un entier n (par un curseur entier), et on visualise comme une séquence de points sur le cercle unité :

z=exp(2*i*pi/n)

C=Cercle[(0,0),1]

O=(1,0)

zk=Séquence[z^k,k,2,n-1]

On choisit une classe m (curseur entier) et on visualise ses multiples comme une étoile, un polygone non convexe :

zm = z^m

zkm=Séquence[z^(k*m),k,1,n]

Séquence[Segment[Elément[zkm,k],Elément[zkm,k+1]],k,1,n-1]

Si ce polygone passe par 1, m et n sont premiers entre eux, sinon, m est un diviseur de zéro. Quand n est premier, toutes les classes non nulles sont inversibles. On visualise la table de multiplication :

Tableau[Séquence[Séquence[Reste[j*k, n], k, 0, n - 1], j, 0, n - 1]]

On regarde ensuite les puissances de m :

zmk=Séquence[z^(Reste[m^k,n]),k,1,n]

Séquence[Segment[Elément[zmk,k],Elément[zmk,k+1]],k,1,n-1]

On visualise la table des puissances :

Tableau[Séquence[Séquence[Reste[j^k, n], k, 0, n - 1], j, 1, n - 1]]

L'ordre de l'élément divise l'ordre du groupe (n-1) et on a donc quand est premier, c'est le petit théorème de Fermat.

On ne peut malheureusement pas aller très loin avec cette méthode naïve, on aboutit à des "non défini" assez rapidement, par exemple est un entier à plus de 16 chiffres et ne peut pas être utilisé pour ce genre d'arithmétique. Il faut alors recourir au tableur :

Après avoir initialisé la première ligne et la première colonne par des entiers croissants, on colle comme expression :

B2=Reste[A2 $A2, n]

qu'on étend à tout le tableau. Ainsi, dans la ligne m, la kième case est le produit de la première colonne (m) par la case précédente à gauche (), modulo n, ce qui garantit le non dépassement. On observe que, pour n premier, la colonne n-1 est bien remplie de 1, sauf aux lignes d'indices multiples de n.

La figure se trouve sur i2geo.

Test de primalité de Miller-Rabin

Remarquez bien, dans la construction précédente, dans la table des puissances, la dernière colonne, qui n'est composée que de 1 si est premier et qui est beaucoup plus complexe quand est composé. Cette condition nécessaire pour que soit premier constitue un test de primalité de . Beaucoup moins coûteux est le test de primalité de Miller-Rabin : pour un grand nombre premier, est pair et s'écrit avec impair. Pour que , il faut nécessairement que soit soit qu'il existe un entier tel que , ce qui fait beaucoup moins de cas à tester et des puissances simples à calculer par carrés successifs. Et il suffit en fait de tester peu de nombres différents pour avoir une probabilité très faible que ne soit pas premier si tous ces entiers passent le test. Dans le cas contraire, on tient un témoin de Miller-Rabin qui prouve que n'est pas premier. Le test de Miller-Rabin est un test probabiliste de primalité. On peut vérifier numériquement que pour n < 9 080 191 il suffit de tester m=31 et m=73. Si n < 4 759 123 141, il suffit de tester m=2, m=7 et m=61. Si n < 341 550 071 728 321, il suffit de tester m = 2, 3, 5, 7, 11, 13, et 17. Le test devient alors déterministe pour des nombres n pas trop énormes.

Il est très simple d'implémenter ce test avec xcas :

MR(n):={// Test de primalité de Miller-Rabin

local (d:=n-1), (s:=0), a, r, j;

while((d mod 2)==0){ s:=s+1; d:= d/2; }

// a = 2^s*d, d impair

for( j:=2; j<11; j++) { // 2(log n)^2

a := j; // hasard n;

a := powmod(a, d, n); r:=0;

if(a<>1) {

while((((a+1)mod n)!=0) and (r
a:=powmod(a,2,n); r:=r+1; // a = 2^r*d, r
}

}

if (((a mod n)!=0) and (r==s)) return faux; //N'est pas premier

}; // Si a réussi 10 fois

return vrai; // Probablement premier

}

:;

Et on peut constater que c'est très rapide et conforme à un test non probabiliste de primalité :

for j from 10001 to 20000 by 2 do if(MR(j)!=isprime(j)) afficher(i+MR(j)+isprime(j)); end_do

Analyse 2D avec Xcas

Christian Mercat — 2012-02-14T09:12:20Z

Dans la séance du 14 décembre, vous avez dû trouver les points critiques d'une fonction de dans ; déterminer la nature de ces points critiques (max, min, point selle). xcas peut vous aider à automatiser ces tâches et visualiser les résultats pour articuler le registre algébrique et le registre graphique.

La question concerne . On entre cette fonction avec une affectation := On la visualise avec densityplot

plotdensity(f(x,y),[x=-2..2,y=-2..2],xstep=0.05,ystep=0.05)

On voit clairement le point selle en (0,0) et deux minima. On la dérive avec diff :

df:=diff(f(x,y),[x,y])

On cherche ses points critiques avec solve :

s:=solve(df,[x,y])

Attention, ici seules les solutions réelles nous intéressent !

rs := select(x->(im(x[0])==0),s)

On vérifie que la différentielle y est bien nulle :

for( j:=0; j< size(rs); j++) {

afficher(rs[j]+":"+evalf(subst(df,[x,y],rs[j])[0]));

}

On place ces points sur le graphique :

for( j:=0; j< size(rs); j++) {

point(rs[j]);

}

On trouve le type des points critiques en calculant la hessienne formelle avec diff :

ddf := simplify(diff(df,[x,y]))

On est intéressé par la hessienne numérique à chacun des points critiques :

for( j:=0; j< size(rs); j++) {

h[j]:=simplify(subst(ddf,[x,y],rs[j]))

}

On en étudie la forme quadratique associée :

for( j:=0; j< size(rs); j++) {

q[j]:=([x,y]*h[j]*[[x],[y]])[0]

}

La forme de Gauss de chacune nous donne la signature et donc le type de point critique : max si (-,-), selle si (+,-) et min si (+,+).

for( j:=0; j< size(rs); j++) {

afficher(rs[j]+": "+(gauss(q[j],[x,y])))

}

qui confirme bien ce que nous avons observé graphiquement.