La lecture de nombre de manuels de mathématiques de niveau lycée nous a fait ressentir combien la contribution apportée ci-dessus par ce thème de discussion Spécification d’un algorithme est essentielle :

1) le calcul du pgcd de deux entiers peut se calculer de plusieurs façons, la méthode qui porte le nom d’algorithme d’Euclide se différencie des autres méthodes sans que la saisie des données ni la transmission du résultat aient quoi que ce soit à y voir ; dont acte ;

2) la question de la spécification des algorithmes est sans doute une façon de confronter au concept de fonction des élèves qui sont plus à l’aise lors d’une approche « concrète » (si on peut dire, mais peut y contribuer l’aspect boîte noire qu’on peut utiliser pour tester les données — y compris, par exemple, avec des entiers négatifs, ou nul, ou encore des décimaux) ; nous laissons naturellement aux enseignants de terrain le soin de donner in fine leur sentiment sur ce point.

Une remarque encore concernant notre choix du calcul du pgcd.

Si on ne connaît pas l’expression algébrique donnant directement la somme des n premiers entiers positifs en fonction de n, on peut toujours calculer cette somme au moyen d’un algorithme consistant à effectuer la somme de ces entiers. La méthode est sans subtilité, certes, mais elle demande néanmoins la mise en œuvre d’une répétitive, et autorise de se poser les questions de son contrôle et éventuellement de sa preuve.

En revanche, faire de l’unique instruction consistant à affecter une variable la valeur de l’expression n(n+1)/2 un exemple d’algorithme est quand même un cas limite. Pour éviter tout faux débat, disons qu’il s’agit bien d’un algorithme, mais, c’est un peu comme si on choisissait la fonction constante x ↦ 2 pour introduire le concept de fonction. Certes, c’en est une, mais ce n’est pas pour elle qu’on a dégagé le concept de fonction (il peut même paraître incongru aux yeux d’un élève qu’on appelle ça une fonction puisque le résultat n’est justement pas fonction de x, comme il peut paraître incongru qu’on appelle algorithme une simple affectation).

Encore une fois, bravo pour cet article fort réconfortant après la lecture un peu déprimante de manuels qui enseignent « l’algorithme du calcul du milieu d’un segment ».