Événements à venir |
Résumé : TBA |
Résumé : TBA |
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Événements passés |
Résumé : La construction de mesures invariantes pour des EDP Hamiltoniennes sur des domaines bornés permet de fournir une description qualitative du flot en temps long. Après avoir expliqué quelques méthodes classiques pour construire ces mesures et montrer leur invariance par le flot Hamiltonien, on s'intéressera au cas particulier de l'équation de Schrödinger fractionnaire avec non-linéarité exponentielle afin d'illustrer le rôle de la dispersion ainsi que les conditions nécessaires sur la mesure pour implémenter les méthodes précédentes.
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Résumé : On s'intéresse à l'existence d'ensembles qui minimisent leur mesure parmi une famille stable par homotopie de parties d'une variété riemannienne compacte sans bord. On considère le problème posé dans la catégorie des ensembles sans utiliser les notions affaiblies de Federer (courants) ou Almgren (varifolds). Cette formulation permet ainsi de s'affranchir d'hypothèses de régularité supplémentaires telles que l'orientabilité ou même la rectifiabilité des compétiteurs. Dans cet exposé, j'essaierai d'expliquer comment un procédé d'approximation polyédrale inspiré de Federer peut être généralisé à ce cas et permet de pallier au défaut de compacité de l'approche ensembliste. |
Résumé : Dans cet exposé, je présenterai quelques résultats récents autour de l’équation de Korteweg-de Vries obtenus en collaboration avec Lucie Baudouin, Eduardo Cerpa et Emmanuelle Crépeau. Tout d’abord, je m’intéresserai à la robustesse de la stabilité exponentielle de l’équation de KdV par rapport au retard dans des feedbacks au bord ou internes et nous verrons que le comportement n’est pas le même. Puis j’étudierai la contrôlabilité au bord de l’équation de KdV sur un réseau en forme d’arbre. |
Résumé : In this talk I will present very recent work on a continuum model for unidirectional flows in a corridor with a single entrance and exit. The inflow and outflow conditions at both the entrance and exit as well as the shape of the domain have a strong influence on the structure of stationary profiles, in particular on the formation of boundary layers. We are able to relate the location and shape of these layers to the inflow and outflow conditions as well as the shape of the domain using geometric singular perturbation theory. Furthermore, we confirm and exemplify our analytical results by means of computational experiments. If time permits, I will conclude with a brief overview how the Bayesian framework can be used to identify parameters in mean field models and quantify uncertainty in those estimates using trajectory data. |
Résumé : We introduce a new methodology based on the multirevolution idea for constructing integrators for stochastic differential equations in the situation where the fast oscillations themselves are driven by a Stratonovich noise. Applications include in particular highly-oscillatory Kubo oscillators and spatial discretizations of the nonlinear Schrödinger equation with fast white noise dispersion. We construct a method of weak order two with computational cost and accuracy both independent of the stiffness of the oscillations. A geometric modification that conserves exactly quadratic invariants is also presented. |
Résumé : |
Résumé : Dans cet exposé nous présentons l'étude du comportement asymptotique d'une équation quasi-linéaire dans un domaine périodiquement perforé, avec une donnée dans L^1 et avec des conditions de type Robin non linéaire sur le bord des trous. La donnée étant peu régulière, nous utilisons la notion de solution renormalisée. Quand la taille des trous tend vers 0, nous décrivons le comportement asymptotique de la solution renormalisée, à l'aide de la méthode de l'éclatement périodique. La principale difficulté vient du manque de régularité de la solution, qui n'appartient pas à H^1 en général, et de termes non linéaires dans la formulation renormalisée. En travaillant sur les tronquées, qui appartiennent à H^1 et sur le problème "éclaté" nous passons à la limite et nous obtenons un problème "éclaté" renormalisé ainsi qu'un problème homogénéisé renormalisé. |
Résumé : De nombreux progrès ont été effectués ces dernière années concernant la modélisation des transformations non-linéaires de vagues en zone littorale. Je ferai un tour d’horizon des principaux modèles développés, incluant les modèles à vorticité et interactions vagues-courants et présenterai les dernières formulations discrètes de type éléments-finis DG-HDG avec stabilisation par Finite-Volume sub-cells développées pour ces modèles. |
Résumé : Un enjeu majeur pour la modélisation et la simulation prédictive de l'injection de carburant dans les chambres de combustion est la description et la résolution de l'atomisation du coeur liquide en un brouillard de gouttelettes de tailles très diverses (on parle de spray polydispersé) qui va ensuite s'évaporer et piloter les régimes de combustion ainsi que la formation de polluants. Si l'on dispose actuellement de modèles et de méthodes numériques capables de décrire la dynamique d'un brouillard polydispersé dans un écoulement turbulent et réactif, la simulation directe de l'ensemble du phénomène d'injection depuis la zone de phases séparées par une interface jusqu'à la zone de brouillard polydispersé est hors de portée et on ne dispose pas de modèles d'ordre réduit permettant une approche au moins qualitative pour décrire ce type de physique multi-échelle. Le séminaire propose quelques contributions pour construire un modèle permettant d'aborder cette problématique basées sur l'obtention d'une hiérarchie de modèles bi-fluides avec identification de paramètres physique sur la base du principe de moindre action et leur validation, ainsi qu'une approche géométrique de l'interface et des méthodes de moments d'ordre élevé permettant une description statistique originale d'un brouillard de sphères de tailles diverses mais aussi d'un brouillard d'objets homéomorphes à des sphères de géométrie variée dans l'optique d'une modélisation unifiée. Ces travaux s'appuie sur les travaux de thèse de F. Drui et M. Essadki. |
Résumé : Dans cet exposé, on étudiera le caractère bien posé des équations de Navier-Stokes barotropes. En combinant une approche basée sur la régularité maximale et l'étude de la propagation de certaines structures géométriques à la Chemin, on prouvera un résultat d'existence et unicité en toute dimension d'espace, localement en temps. Pour obtenir un tel résultat, il faut demander une régularité (légèrement) sous-critique pour la vitesse initiale, tandis qu'on peut considérer des densités initiales qui sont seulement bornées. En particulier, cela permet de considérer le cas de densités présentant une discontinuité à travers d'une surface. Ce résultat peut être vu comme une extension de la théorie de D. Hoff pour des solutions faibles d'énergie petite. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Raphaël Danchin et Marius Paicu. |
Résumé : L'état de Laughlin est un ansatz approchant l'état fondamental d'un système de particules 2D soumises à un fort champ magnétique et de fortes interactions.
Ces deux effets conspirent pour générer des corrélations fortes et très spécifiques entre les particules.
Je présenterai une approche mathématique de la rigidité que ces corrélations opposent à des perturbations extérieures. Il s'agit d'un ingrédient crucial dans l'effet Hall fractionnaire.
Le message principal est que le piégeage et les impuretés peuvent être prises en compte en générant des quasi-particules peu corrélées (quasi-trous de Laughlin).
Ces quasi-particules sont remarquables pour la charge fractionnaire qu'elles portent. Si le temps le permet j'expliquerai qu'elles ont également une statistique fractionnaire interpolant entre celle des bosons et celle des fermions. travaux communs avec Elliott Lieb et Jakob Yngvason (et Douglas Lundholm si le temps le permet) |
Résumé : Bien qu'elles permettent en théorie d'assembler des structures d'une complexité quasi-arbitraire - et suscitent en cela beaucoup d'intérêt dans les milieux d'ingénierie - les techniques modernes de fabrication additive (ou impression 3D) soulèvent des difficultés inédites qui doivent être prises en compte dès les étapes préliminaires de la conception, et notamment lors de l'optimisation des designs considérés.
Au cours de cette présentation, on s'intéressera à la modélisation et à la prise en compte de deux tels enjeux majeurs liés aux processus de construction additive.
Le premier de ces enjeux consiste à éviter l'apparition de régions en porte-à-faux au cours du processus d'optimisation de formes, c'est-à-dire de grandes régions presque horizontales, reposant sur du vide, sans support de la part de la structure inférieure. La seconde difficulté cruciale à laquelle on s'intéressera est liée au fait que les processus de construction additive impliquent une altération sensible de la performance mécanique du matériau constitutif de la forme produite : celui-ci devient inhomogène, bien souvent anisotrope (dépendant de la forme elle-même).
Il s'agit de travaux en collaboration avec Grégoire Allaire, Rafael Estevez, Alexis Faure et Georgios Michailidis. |
Résumé : |
Résumé : Dans cette présentation, nous présenterons une nouvelle façon de corriger les méthodes Galerkin Disontinu (GD) dans le cadre des lois de conservation hyperboliques. Cette correction repose sur une formulation Volumes Finis (VF) de sous-mailles, ce qui rend cette technique très simple à appréhender, tout en préservant la très grande précision des méthodes GD à l'intérieur des mailles. |
Résumé : |
Résumé : Après avoir rappelé l'origine du problème, le but de l'exposé sera de présenter une preuve alternative de la stabilité asymptotique d'équilibres spatialement homogènes pour des perturbations localisées d'équations de Vlasov posées dans l'espace entier. La preuve originale due à Bedrossian-Mouhot-Masmoudi, est inspirée de la preuve du Landau damping pour des solutionspériodiques et utilise les propriétés dispersives du transport libre en Fourier. On présentera une approche basée sur la méthode des caractéristiques et une étude des propriétés dispersives du linéarisé dans l'espace physique. (collaboration avec D. Han-Kwan (Polytechnique) et T. Nguyen (Penn-State)) |
Résumé : Face à la pénurie de terres rares pour la production d'aimants performants, les industriels s'orientent vers des alternatives peu coûteuses consistant à mélanger des grains de matériaux durs et doux par frittage. L'espoir est de produire des aimants à forte aimantation et particulièrement stables. Afin de confirmer ou d'infirmer cet espoir, il convient de développer un modèle mathématique de ces aimants. Cela conduit à homogénéiser les modèles courants (énergie de Brown et équations de Landau-Lifshitz-Gilbert). L'exposé fera un tour d'horizon de différents résultats récents obtenus dans cette direction, en rappelant les enjeux mathématiques.
Il s'agit d'un travail commun avec A. de Bouard, G. di Fratta, B. Merlet et L. Nicolas. |
Résumé : L’un des obstacles majeurs lorsque l’on souhaite utiliser un schéma numérique explicite en temps pour résoudre les équations d’onde avec des élements finis est la restriction imposée par la condition CFL : le pas de temps doit être inférieur ou égal à une valeur maximale qui dépend des paramètres physiques de l’équation mais également des paramètres de discrétisation en espace, dont en particulier la taille du plus petit élément du maillage. Cela peut conduire à une perte d’optimalité dans le cas où les éléments du maillage ont des tailles très différentes, pour des raisons indépendantes de la physique (géométrie complexe, etc.). Une des stratégies possibles est la technique du « pas de temps local », qui permet d’utiliser des pas de temps différents sur différentes zones du maillage. Dans ce travail, nous nous intéressons à une autre stratégie, dans laquelle au lieu de changer le pas de temps entre les zones du maillage, on souhaite changer de schéma numérique. Il s’agit donc de coupler différents schémas numériques explicites et implicites entre les différentes zones du maillage, autrement dit de concevoir des schémas « localement implicites ». En particulier, nous souhaitons exploiter les propriétés de stabilité assouplies des schémas implicites, qui permettent d’utiliser un plus grand pas de temps que celui contraint par la stabilité du schéma explicite. Le gain en coût de calcul, induit par le choix possible d’un plus grand pas de temps partout, compense alors largement le sur-coût lié à l’inversion d’une matrice sur une petite zone. Afin de gagner en précision, en particulier de limiter la dispersion numérique, nous souhaitons développer des schémas d’ordre élevé en temps. Notre guide lors du développement de ces schémas est de préserver numériquement un invariant : une énergie discrète. Elle permet de prouver la stabilité des schémas pris séparément, avec des techniques originales, mais également des schémas couplés entre eux. Monter en ordre pour gagner en précision n’est cependant pas toujours compatible simplement avec le désir de préserver cet invariant, en particulier dans les milieux dissipatifs. Nous verrons une technique originale pour répondre à cette difficulté. |
Résumé : J’ai piqué le titre à Isabelle Gallagher, car je le trouve marrant. Je vous propose donc une lecture détaillée de cette quantité qui décrit la répartition spectrale de l’énergie cinétique turbulente, ce qu’elle signifie, et la physique qui en découle. S’il me reste suffisamment de temps, j’évoquerai quelques récents efforts visant à modéliser la nature aléatoire du champ de vitesse turbulente, et tenter notamment de comprendre la relation entre les comportements singuliers des gradients de vitesse et ceux de l’accélération des particules fluides.
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Résumé : Existence of global in time radially symmetric solutions is studied for "large" initial data. Criteria for blowup of solutions in terms of Morrey norms are derived. |
Résumé : On s'intéresse au mouvement d'un plasma, c'est-à-dire ici d'un fluide soumis à l'influence d'un champ magnétique. Le système est décrit par les équations dites de la magnéto-hydrodynamique. En l'absence de champ magnétique, les flots de cisaillement sont sujets aux instabilités dites de Kelvin-Helmholtz. Nous verrons comment les forts sauts de champ magnétique permettent de stabiliser ces flots de cisaillement en étudiant notamment leur stabilité vis-à-vis de petites perturbations fortement oscillantes. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Olivier Pierre. |
Résumé : Dans le contexte des écoulements a surface libre, les modèles de type Saint-Venant (ou shallow water) sont très utilisés dans les études en hydraulique mais présentent des limitations qui les rendent inadéquats pour certaines applications. les deux hypothèses limitantes principales sont l'hypothèse de pression hydrostatique et l'hypothèse d'homogénéité de la vitesse selon la verticale. la levée de la première hypothèse mène a des modèles de type Green-Naghdi, la levée de la seconde à des modèles de type Navier-Stokes hydrostatiques. c'est sur ce dernier type de modèle que se concentrera cet exposé et plus particulièrement sur leur traitement numérique à travers l'extension de schémas de type volumes finis initialement développés dans un cadre Saint-Venant. la perspective évidente de ce travail est d'étendre les schémas présentés aux équations de Navier-Stokes sans hypothèse hydrostatique. |
Résumé : Lors de simulations numériques d'écoulements de particules dans un fluide de Stokes, se pose inévitablement la question de la gestion des interactions entre particules proches. En effet, quand deux solides se rapprochent, les champs de vitesse et de pression sont singuliers et il devient difficile de les approcher numériquement. Or, la bonne prise en compte de ces interactions est primordiale, tant d'un point de vue physique que numérique. Par ailleurs, les expérimentateurs ont besoin de résultats de plus en plus précis, prenant en particulier en compte l'effet de ces interactions sur la totalité du champ fluide. La méthode que nous proposons ici consiste à résoudre le problème fluide/particules en le décomposant en deux sous problèmes : un problème singulier (quand les distances inter-particulaires tendent vers zéro) et un problème régulier. La partie singulière du champs est supposée connue et le problème initial se ramène alors à résoudre un problème régulier. Une première approche avait été proposée, dans laquelle le champs singulier était tabulé. Nous proposons ici une nouvelle méthode, basée sur un développement asymptotique du champs singulier. Cette méthode permet de prendre en compte les effets de la lubrification sur les champs de vitesse et de pression dans tout le domaine et permettent la prise en compte de particules de formes quelconques. Afin de présenter la méthode, on se concentre ici sur un problème jouet en deux dimensions d'espace. Nous présentons des résultats numériques basés sur une discrétisation éléments finis. |
Résumé : Il est bien connu qu'une interface avec discontinuité de vitesse (du son, de l'onde sismique...) réfléchit une onde incidente, ce qui est la manière de détecter cette interface. |
Résumé : La problématique générale de l'exposé est l'émergence de comportements synchronisés au sein d'une grande population. Un modèle populaire de ces phénomènes de synchronisation est l'équation de Kuramoto. C'est une équation cinétique, limite de champ moyen d'un grand nombre d'oscillateurs couplés. Pour des valeurs suffisantes du paramètre de couplage, on observe une synchronisation des oscillateurs, ce qui se traduit par une "convergence" de la distribution des phases des oscillateurs vers des masses de Dirac. Le but de l'exposé est de fournir une analyse mathématique rigoureuse de ce phénomène de convergence. Celui-ci est similaire au phénomène d'amortissement Landau, la difficulté venant du caractère inhomogène et irrégulier de la distribution des phases limite. L'exposé est basé sur des travaux avec H. Dietert, B. Fernandez, G. Giacomin. |
Résumé : We introduce the optimal transportation interpretation of the Kantorovich norm on the space of signed Radon measures with finite mass, based on a generalized Wasserstein distance for measures with different masses. With the formulation and the new topological properties we obtain for this norm, we prove existence and uniqueness for solutions to non-local and non-linear transport equations with source terms, when the initial condition is a signed measure. |
Résumé : The construction of efficient iterative solvers for the time-harmonic Maxwell equations at high-frequency is a challenging problem. Some of the difficulties that arise are similar to those encountered in the case of the Helmholtz equation. Here we investigate how two-level domain decomposition preconditioners recently proposed for the Helmholtz equation work in the Maxwell case, both from the theoretical and numerical points of view. We develop a new theory for the time-harmonic Maxwell equations with absorption, which physically corresponds to the case of dissipative materials with non zero conductivity. This theory provides rates of convergence for GMRES with a two-level overlapping Additive Schwarz (AS) preconditioner, explicit in the wavenumber, the absorption, the coarse-grid diameter, the subdomain diameter and the overlap size. In particular, if the absorption is large enough, and if the subdomain and coarse mesh diameters are chosen appropriately, GMRES preconditioned with the two-level domain decomposition preconditioner converges in a wavenumber-independent number of iterations. Extensive large scale numerical experiments are carried out not only in the setting covered by the theory, but also for the time-harmonic Maxwell equations without absorption, and with more efficient two-level preconditioners, considering for instance impedance transmission conditions at interfaces between subdomains. The numerical results include an example arising from microwave medical imaging for the detection of brain strokes, which shows the robustness of the preconditioner against heterogeneity. |
Résumé : Mathematical models of pattern formation arising in processes |
Résumé : L’équation de Cahn-Hilliard a été introduite en 1958 pour modéliser la séparation de phases dans des matériaux binaires. Elle a ensuite été généralisée en 2007 par A. Bertozzi & al. pour la retouche d’images binaires (noir et blanc). Je présenterai les principaux résultats théoriques associés à cette équation ainsi que des exemples numériques d’application à la retouche d’image. Puis je proposerai deux généralisations ce modèle pour l’appliquer à la retouche d’images colorées ou en dégradé de gris.
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Résumé : On commencera par rappeler la théorie de Doeblin pour les systèmes conservatifs (semi-groupes de Markov) ainsi que le théorème de Harris qui la généralise via l'utilisation d'une fonction de Lyapunov. On présentera ensuite une méthode de renormalisation qui permet l'extension de ces méthodes à des systèmes non conservatifs. Les résultats obtenus sont de type Krein-Rutman / Perron-Frobenius avec stabilité exponentielle de la mesure invariante. Ils s'appliquent particulièrement bien aux EDP de dynamique des populations, qui sont naturellement non-conservatives. |
Résumé : Les échanges de chaleur et de masse sont deux phénomènes physiques à la base de nombreux systèmes thermiques. Dans un premier temps, on considérera une ailette, un petit dispositif utilisé notamment notamment pour refroidir les CPU, sujette à un transfert conductif. Mathématiquement, la température dans l'ailette est modélisée par une équation de Sturm-Liouville dont les coefficients dépendent non-linéairement de la forme. On se posera la question : existe-t-il une forme d'ailette maximisant le flux de chaleur véhiculé à travers elle ? Cette question est d'abord étudiée en imposant une contrainte de type volume, puis une contrainte de type périmètre sur les formes admissibles. Dans chacun des cas, nous montrons que ce problème n'a pas de solution et nous construisons des suites de formes maximisantes.
Dans un second temps, on présentera un problème plus général d'optimisation de forme appliqué aux transferts conducto-convectifs. De tels systèmes sont modélisés à l'aide d'un couplage d'EDP de type Navier-Stokes/chaleur. Divers critères physiques sont envisagés. Dans ce travail (théorique et numérique), nous prouvons pour certains choix de fonctionnelles de forme un résultat d'existence et mettons en évidence des phénomènes d'homogénéisation dans d'autres cas, à l'aide de simulations numériques. |
Résumé : Les écoulements de fluides complexes sont, par définition, complexes : les résultats mathématiques d'existence, d'unicité ou de régularité sont souvent difficiles à obtenir, principalement à cause des fortes non-linéarités provenant de la physique de ces écoulements. Ainsi, on ne sait toujours pas montrer l'existence globale de solution (faible ou forte, même en dimension 2) du modèle le plus élémentaire d'écoulements visco-élastiques, à savoir le modèle d'Oldroyd. On montrera dans cet exposé que certaines non-linéarités peuvent pourtant devenir un atout afin de montrer l'existence globale en temps pour certains modèles physiquement pertinents de fluides visco-élastiques. |
Résumé : |
Résumé : L'objet est de présenter des résultats récents obtenus avec Maxime Herda : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01885015v1 |
Résumé : In this talk, I will present a recent result obtained on the local exact controllability of the 3d compressible Navier-Stokes equation around a constant trajectory with non-zero velocity, when the control is exerted on the whole boundary of the domain. The proof of this result is based on an observability inequality for the adjoint of the linearized system. The main ingredient to obtain this inequality is the tricky combination of the equations to reduce the problem to a closed subsystem easier to deal with, and obtained by the introduction of a new quantity corresponding to the effective viscous flux for the adjoint equations. This subsystem will allow to understand independently the hyperbolic and parabolic effects of the system. We will then introduce Carleman estimates with weight functions following the characteristics allowing to handle the non-linearity of the model using a fixed point argument. This result has been obtained in collaboration with Olivier Glass (Univ. Paris Dauphine) and Sergio Guerrero (Univ. Pierre et Marie Curie). |
Résumé : We exhibit a large family of new, non-trivial stationary states of analytic regularity, that are arbitrarily close to the Kolmogorov flow on the square torus. Our construction of these stationary states builds on a degeneracy in the global structure of the Kolmogorov flow. |
Résumé : |
Résumé : We will give an overview on the thin models in elasticity derived by means of $Gamma$-convergence using simultaneous homogenization and dimensional reduction. In the case of periodic homogenization we obtain different models depending on the quotient of the periodicity of the changes in the material and the thickness of the body. Some peculiarities arise in the case of bending plate and von Karman shell as a consequence of geometric constraint (penalization) in the limiting procedure. In some simpler cases (von Karman plate, bending rod) we are able to characterize the limiting models without periodicity assumption. We are also able to analyze the equations (stationary points) in the case of von Karman rod and plate, but only under non-physical assumption on the linear growth of the differential of the stored energy density function. In the talk we will give special emphasis on the derivation of the bending rod model by simultaneous homogenization and dimensional reduction without periodicity assumption, using $Gamma$-convergence. |
Résumé : Dans ce travail en collaboration avec Franck Sueur, |
Résumé : Les systèmes de réaction-diffusion croisée ont été introduits en dynamique des populations par Shigesada et al. pour tenir compte de l'influence des populations sur les taux de diffusion inter et intra spécifiques (on parle de diffusion croisée et auto-diffusion). Nous nous intéresserons à une gamme de systèmes généralisant ceux de Shigesada et. al. pour lesquels nous établirons un résultat d'existence de solutions faibles globales, en toute dimension d'espace. Ce résultat d'existence repose sur une fonctionnelle d'entropie " cachée " du système et sur deux résultats techniques : le Lemme de dualité de Michel Pierre et un Lemme d'Aubin-Lions pour les équations paraboliques dégénérées. Nous expliciterons une preuve de ce dernier résultat, qui présente l'intérêt de s'adapter à l'étude de nombreux schémas numériques. |
Résumé : Je m'intéresserai aux lois de conservation scalaires, du type convection ou convection-diffusion, avec des interfaces internes. Je présenterai un formalisme permettant de relier, de façon aussi directe que possible, les hypothèses de modélisation au niveau de l'interface aux théories des lois de conservation "à flux discontinu" et à leur approximation numérique. On revisitera au passage la théorie des problèmes aux limites généralisant et réinterprétant celle de Bardos-LeRoux-Nédélec. Le propos sera illustré par des exemples : je présenterai notamment des modèles plus ou moins complexes de trafic routier et piétonnier basées sur l'équation LWR avec interface interne. |
Résumé : We present a variational model from micromagnetics involving a nonlocal Ginzburg-Landau type energy for S^1-valued vector fields. These vector fields form domain walls, called Neel walls, that correspond to one-dimensional transitions between two directions within the unit circle S^1. Due to the nonlocality of the energy, a Neel wall is a two length scale object, comprising a core and two logarithmically decaying tails. Our aim is to determine the energy differences leading to repulsion or attraction between Neel walls. In contrast to the usual Ginzburg-Landau vortices, we obtain a renormalised energy for Neel walls that shows both a tail-tail interaction and a core-tail interaction. This is a novel feature for Ginzburg-Landau type energies that entails attraction between Neel walls of the same sign and repulsion between Neel walls of opposite signs. This is a joint work with Roger Moser (University of Bath). |
Résumé : Typical models for collective dynamics are found in opinion dynamics, flocking, self-organization of biological organisms, and rendezvous in mobile networks.
The dynamics describes the “social engagement” of agents driven by different local means of their neighbors.
We discuss the emergent behavior of such systems. Their large-time behavior leads to the emergence of different patterns, depending on the propagation of connectivity of the underlying graphs. In particular, global interactions lead to the emergence of consensus, emergence of leaders etc. The description of large crowds of agents lends itself to “social hydrodynamics” – a class of Eulerian dynamics driven by the tendency towards the corresponding local means. We discuss the global regularity of such systems for sub-critical initial configurations. |
Résumé : Cet exposé traite de la modélisation d'écoulements compressibles faisant intervenir un liquide, sa vapeur et un gaz. |
Résumé : Dans cet exposé, nous présenterons une méthode numérique pour résoudre le problème L^2 de Monge-Kantorovich. La méthode est basée sur une approche par continuation où nous résolvons de manière itérative le problème linéarisé. Un schéma Lagrangien ainsi qu'Eulérien seront proposés. Des exemples relatifs aux transports de densités bidimensionnelles montrent que ces schémas réduisent considérablement le temps de calcul, en particulier lorsque la distance de Wasserstein entre les densités est petite. Nous terminerons cet exposé par des applications en neurosciences. |
Résumé : Since Kuramoto proposed a model of coupled oscillators, the study of synchronization has pulled the attention from different point of views: biology, chemistry, neuroscience, etc. Such a phenomenon can be observed very often in biological systems like the flashing of fireflies, the beating of heart cells and the synaptic firing of neurons in the brain. Mathematically, those patterns arise as the natural collective behavior of an ensemble of agents that interact via periodic rules. Although the discrete agent-based models are interesting by themselves, real life situations involve a large amount $N$ of agents. In those cases, the system is described by $N$ coupled ODEs, what becomes very hard to tackle both from the analytical and numerical point of views. Fortunately, we can sometimes approximate with a single PDE that governs the macroscopic/fluid description of the system. In this talk we will focus on the Kuramoto model with non-uniform and singular coupling weights obeying Hebb’s rule in neuroscience. First, we shall introduce the agent-based system of $N$ coupled oscillators and the three associated regimes with regard to singularity: subcritical, critical and supercritical. We will propose a well-posedness theory in the sense of Filippov to tackle the presence of singularities, giving rise to global solutions with new rich behaviour: finite-time phase synchronization and clustering into distinguished groups. Later, we will introduce the corresponding kinetic Vlasov equation. It consists in a macroscopic (fluid) type model governed by a continuity equation for the probability density of oscillators along the manifold $\mathbb{T}\times \mathbb{R}$, where the (compressible) velocity field is nonlocal and self-generated. Since the kernel is singular, we will propose a well posedness theory via the concept of weak measure-valued solutions in the sense of Filippov’s flows that remains valid after eventual collisions. Indeed, such solutions emerge as rigorous mean field limit when the number $N$ of agents tends to infinity. Finally, we will conclude by stating some rates of convergence for those solutions and remarking some analogies and differences with other related models in the literature like the singular Cucker—Smale model.
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Résumé : Les aérosols sont des écoulements multiphasiques dans lesquels des gouttelettes liquides sont en suspension dans un gaz porteur. Une des modélisations possibles (largement utilisée dans le cadre des applications industrielles) consiste à coupler des équations de la mécanique des fluides (Euler ou Navier-Stokes) pour le gaz, et des équations cinétiques (Vlasov) pour les gouttelettes. On présentera les difficultés mathématiques liées au traitement de telles équations couplées, ainsi que les enjeux d'une dérivation formelle des couplages en question à partir d'équations plus élémentaires. Enfin on montrera une simulation typique. |
Résumé : Deux exemples de modèles d’EDP posées sur des réseaux seront présentés au cours de cet exposé : des modèles décrivant la dynamique de l’eau dans des canaux d’irrigation et des modèles similaires décrivant le mouvement de cellules par chimiotactisme sur réseaux. On portera une attention particulière aux conditions de couplage aux noeuds et on s’intéressera également aux méthodes numériques employées pour résoudre ces systèmes, en essayant de conserver certaines propriétés numériques, comme la positivité des solutions, la conservation de la masse ou la précision autour des solutions stationnaires. |
Résumé : Les équations de Navier-Stokes constituent un modèle mathématique de base pour décrire le mouvement d'un fluide. Dans le célèbre papier publié dans Acta Mathematica en 1934, "sur le mouvement d'un fluide visqueux", Jean Leray (1906-1998) introduit (entre autres) le concept de solutions faibles globales en temps en donnant une définition précise de ce qu'est une solution irrégulière du système et montre qu'il existe une telle solution faible pour les équations de Navier-Stokes dans sa version incompressible et homogène (densité constante). On appelle maintenant ces solutions de régularité minimale (énergie finie): solutions à la Leray. Même si l'existence globale de solutions faibles apporte assez peu sur le caractère bien posé du système, une telle analyse a de nombreux intérêts pratiques. En plus de la signification physique, car la régularité des données initiales supposée est minimale et fortement liée à des quantités physiques bien identifiées, les propriétés de stabilité de solutions faibles sur le modèle continu aident à mieux comprendre comment construire des schémas numériques stables qui le plus souvent ne préservent pas les estimations de régularité faible.
Nous commencerons donc cet exposé par rappeler l'état de l'art sur les solutions à la Leray pour les équations de Navier-Stokes compressible sans température. Nous montrerons qu'il est maintenant possible grâce à un travail réalisé récemment en collaboration avec Pierre-Emmanuel Jabin (Univ. Maryland) de considérer des lois
de pressions thermo-dynamiquement instables et de l'anisotropie dans les viscosités. |
Résumé : Dans l'exposé, on présentera une extension du système des équations de Saint-Venant pour décrire un écoulement de fluide à surface libre avec une rhéologie non-Newtonienne. On discutera en particulier des propriétés qualitatives du modèle, mais aussi des propriétés quantitatives, avec l'aide d'approximations numériques qui préservent la conservation de la masse et la dissipation d'une fonctionnelle "énergie". La discrétisation est non triviale, car la fonctionnelle "énergie" naturelle n'est pas convexe dans les variables conservatives.
Travaux réalisés en collaboration avec François Bouchut (CNRS - Université Paris Est, Marne la Vallée). |
Résumé : Il s’agit d’un travail en collaboration avec Lucie Baudouin et Sylvain Ervedoza. Nous nous intéressons à des problèmes inverses pour l’équation des ondes. Plus précisément, nous cherchons à retrouver un coefficient de l’équation à partir d’une unique mesure de la dérivée normale de la solution sur une partie du bord. Alors que les résultats d’unicité et de stabilité pour ce problème sont déjà bien connus, nous proposons un algorithme de reconstruction original et démontrons sa convergence globale à l’aide d’inégalités de Carleman pour l’opérateur des ondes. L’implémentation numérique de cette stratégie soulève plusieurs défis que nous proposons de résoudre dans cet exposé. Plusieurs exemples numériques illustreront l’efficacité de l’algorithme. |
Résumé : Granular materials are always involved in erosion processes on the Earth's surface such as sub-aerial and submarine landslides that occur in mountainous, volcanic, seismic and coastal areas. The geophysical and mechanical description of the behavior of these materials has received a lot of attention the last decade, and a good overview of the current knowledge can be found in [1].
Still many fundamental questions remain open. In particular, when describing granular materials by non-Newtonian fluids, relevant constitutive rheological relations remain to be set up. A striking property of granular materials is the ability to behave like a solid when the grains are blocked one against the other, or like a fluid when they just slide. This twofold behavior is usually represented by viscoplastic models with yield stress. Then the description of the solid/fluid interface (also called static/flowing interface) is a key issue to evaluate the quality of the models. Recent studies of the author's group yield an explicit description of this interface, that is valid under certain asymptotic assumptions [2,3,4]. The results from this model can be compared to two-dimensional simulations of viscoplastic models and to data issued from laboratory experiments [5,6,7].
Another issue is to establish models describing wet granular materials, which means that the material is surrounded by fluid, what happens usually in landslides. The rheological behavior of such a mixture is a difficult problem, but we however established recently a thin-layer model that is able to describe the dilating/contracting behavior of the mixture [8,9].
[1] B. Andreotti, Y. Forterre, and O. Pouliquen, Granular media, between fluid and solid, Cambridge University Press, 2013.
[2] F. Bouchut, I.R. Ionescu, and A. Mangeney, An analytic approach for the evolution of the static/flowing interface in viscoplastic granular flows, Comm. Math. Sci. 14 (2016).
[3] C. Lusso, F. Bouchut, A. Ern, and A. Mangeney, A simplified model for static/flowing dynamics in thin-layer flows of granular materials with yield, preprint (2015).
[4] C. Lusso, F. Bouchut, A. Ern, and A. Mangeney, Explicit solutions to a free interface model for the static/flowing transition in thin granular flows, preprint (2015).
[5] I.R. Ionescu, A. Mangeney, F. Bouchut, and O. Roche, Viscoplastic modeling of granular column collapse with pressure-dependent rheology, J. Non-Newtonian Fluid Mech. 219 (2015), 1-18.
[6] C. Lusso, A. Ern, F. Bouchut, A. Mangeney, M. Farin, and O. Roche, Two-dimensional simulation by regularization of free surface viscoplastic flows with Drucker-Prager yield stress and application to granular collapse, preprint (2016).
[7] N. Martin, I.R. Ionescu, A. Mangeney, F. Bouchut, M. Farin, Continuum viscoplastic simulation of a granular column collapse on large slopes: $\mu(I)$ rheology and lateral wall effects, preprint (2016).
[8] F. Bouchut, E.D. Fernandez-Nieto, A. Mangeney, and G. Narbona-Reina, A two-phase shallow debris flow model with energy balance, ESAIM: Math. Modelling Numer. Anal. 49 (2015), 101-140.
[9] F. Bouchut, E.D. Fernandez-Nieto, A. Mangeney, and G. Narbona-Reina, A two-phase two-layer model for fluidized granular flows with dilatancy effects, J. Fluid Mech. 801 (2016), 166-221. |
Résumé : Deux méthodes de domaines fictifs qui permettent de prendre en
compte des conditions de contact unilatéral seront présentées. L'intérêt
pour la prise en compte de manière indépendante du maillage de
conditions de contact est de plus en plus fort que ce soit en
interaction fluide-structure, en optimisation de forme de structures
complexes, en calcul d'avancée de fissure ou tout simplement pour le
calcul de structure quand les géométries des surfaces de contact sont
très complexes et qu'il devient plus simple de ne pas les mailler.
La première stratégie présentée sera basée sur l'utilisation d'un
multiplicateur de Lagrange. La difficulté avec ce type de méthode est la
satisfaction d'une condition LBB qui peut-être obtenue soit en ajustant
très précisément l'espace de discrétisation du multiplicateur soit en
utilisant des termes de stabilisation. Des résultats d'estimation
d'erreur a priori seront commentés.
La deuxième méthode est une méthode de type Nitsche. L'adaptation de ce
type de méthode aux conditions unilatérales est très récente et nous en
verrons en détail la construction. Dans le cadre domaine fictif avec
éléments coupés, un terme de stabilisation est nécessaire pour obtenir
un taux de convergence optimal. Cet aspect sera discuté et des résultats
optimaux de convergence seront présentés. |
Résumé : La formation d’invadopodia est la première étape du processus d’invasion métastatique: la cellule cancéreuse génère des enzymes dégradant la matrice extra cellulaire (les MT1-MMP), entraînant la formation d’une protrusion dans les zones où la matrice est moins rigide.
Après une brève revue des modèles de migration existants, nous présentons un modèle à frontière libre à 2 phases (une phase intracellulaire et une phase extra cellulaire) qui permet de décrire la formation de telles protrusions.
Nous montrerons ensuite succintement les principales étapes et une condition nécessaire au caractère bien posé de ce modèle en dimension 2 et nous nous attarderons sur les aspects numériques. En particulier, nous présenterons une famille méthodes de différences finies sur grille cartésienne régulière superconvergentes, qui permettent de résoudre efficacement le problème malgré une perte de dérivées (et donc de précision) apparente.
Ce travail a été fait conjointement avec O. Gallinato (Inria MONC), M. Ohta (Tokyo UNiversity of Sciences) and T. Suzuki (Osaka University). |
Résumé : Je considérerai des équations de mutation-sélection intervenant |
Résumé : This work deals with diffusive limit of the p-system with damping and its approximation by an Asymptotic Preserving (AP) Finite Volume scheme. Provided the system is endowed with an entropy-entropy flux pair, we give the convergence rate of classical solutions of the p-system with damping towards the smooth solutions of the porous media equation using a relative entropy method. Adopting a semi-discrete scheme, we establish that the convergence rate is preserved by the approximated solutions. Several numerical experiments illustrate the relevance of this result. |
Résumé : La conservation de propriétés géométriques, comme par exemple la symplecticité du flot pour les systèmes hamiltoniens, se révèle souvent essentielle pour une intégration numérique précise en temps long des équations différentielles, et c'est le but de l'intégration numérique géométrique.
Dans cet exposé, on présente le rôle que certains outils de l'intégration numérique géométrique initialement introduits dans un cadre déterministe peuvent jouer pour la construction de nouveaux intégrateurs d'ordre élevé pour échantillonner la distribution invariante d'équations différentielles stochastiques ergodiques (ordinaires ou aux dérivées partielles). On verra en particulier comment les équations différentielles modifiées et les techniques de processing permette d'atteindre un ordre élevé de convergence pour un surcoût négligeable.
Travaux en collaboration avec Assyr Abdulle (EPF Lausanne),
Charles-Edouard Bréhier (Univ. Lyon), David Cohen (Univ. Umea), et Kostas Zygalakis (Univ. Edinburgh). |
Résumé : Cardiac electrophysiology describes and models chemical and electrical phenomena taking place in the cardiac tissue. Given the large number of related pathologies, there is an important need for understanding these phenomena. The electric wave propagating in the cardiac tissue can be represented by a nonlinear reaction-diffusion partial differential equation "coupled with an ordinary differential equation representing cellular activity" called the bidomain model.
The complex bidomain model must be adapted to each individual case in order to produce predictive simulations for a given patient. In this context, we can use the abundant available medical data, especially the patient electrical activation maps - which correspond to the location of the front over time - in order to adapt the bidomain model.
In this presentation, we present a Luenberger observer for reaction-diffusion models with propagating front features, and for data associated with the location of the front over time. We start by proposing an observer for the eikonal equation that can be derived from the reaction-diffusion model by an asymptotic expansion, drawing our inspiration from image processing methods. We then carry over this observer to the underlying reaction-diffusion equation by an "inverse asymptotic analysis". We also discuss the extension to joint state-parameter estimation by using the earlier-proposed ROUKF strategy. We then illustrate and assess our proposed observer strategy with test problems associated with electrophysiology modeling and also with atrial real data. Our numerical trials show that state estimation is directly very effective. |
Résumé : Dans cet exposé nous nous intéresserons dans un premier temps à l'analyse d'un schéma volumes finis pour l'équation de Cahn-Hilliard associée à des conditions aux limites dynamiques.
L'équation de Cahn-Hilliard est une équation parabolique, non-linéaire, du 4ème ordre. De plus, des difficultés supplémentaires apparaissent dues à la condition aux limites dynamique qui est une équation parabolique non-linéaire, posée sur le bord et couplée avec l'intérieur du domaine.
Dans un second temps nous nous intéresserons à l'étude d'un schéma volumes finis de type dualité discrète (DDFV) pour un modèle couplé Cahn-Hilliard/Stokes (associé à des conditions aux limites dynamiques).
Les résultats seront illustrés par des simulations numériques. |
Résumé : Hybrid High-Order (HHO) methods are a class of new generation numerical schemes for PDEs with several advantageous features, including: (i) the support of arbitrary approximation orders on general meshes in arbitrary space dimension; (ii) compliance with the physics, including robustness with respect to the variations of physical coefficients and reproduction of key continuous properties at the discrete level; (iii) reduced computational cost thanks to hybridization, static condensation, and compact stencil. In this talk we will present recent advances on fundamental topics around HHO methods, as well as applications to linear and nonlinear problems. |
Résumé : We discuss a class of time-dependent Hamilton-Jacobi equations with constraint, where an unknown function of time is intended to keep the maximum of the solution to the constant value 0. Our main result is that the full problem has a unique viscosity solution, which is in fact classical. The motivation comes from evolutionary biology and a selection-mutation model which, in the limit of small mutations, exhibits concentration on a single point, corresponding to a dominant trait which evolves in time. This evolving dominant trait is indeed determined as the zero level set of the solution of the Hamilton-Jacobi equation.
This result provides also a constructive existence result and implies strong convergence and asymptotic expansion for the selection-mutation model, leading to more quantitative results for the biological applications.
This is a joint work with Jean-Michel Roquejoffre. |
Résumé : In this talk I will present new stochastic velocity averaging lemmas which allow to prove regularity of degenerate parabolic-hyperbolic SPDEs. I will also discuss how to use these results to establish a full L^1 well-posedness under no growth assumptions on the coefficients. |
Résumé : This talk is composed of two parts.
In the first part I give a brief overview of a few problems in computational imaging and why these problems lead to new kinds of ill-posed inverse problems that require novel regularization and statistical estimation approaches to solve them.
Then I shall make a brief review of patch-based image restoration methods, and their evolution from simple example-based strategies to the more recent Bayesian approaches based on local Gaussian priors. Without being exhaustive I shall highlight a few trends and open challenges under a common framework.
In the second part I shall illustrate these trends with my ongoing work on restoration of noisy images that have been compressed by quantization of their wavelet coefficients. When the noise and quantization levels are within a certain range the resulting image is corrupted by a highly structured noise in the spatial domain. However, in the wavelet domain noise has a particular statistical structure, that can be separated from the image by means of local Gaussian priors. Doing so imposes a number of technical challenges that I will explain how to overcome. |
Résumé : Dans cet exposé, on s'intéressera au comportement en temps grand des solutions de certains systèmes de réaction-diffusion de type proie-prédateur. En particulier, nous déterminerons la vitesse d'invasion de chacune des espèces, celles-ci pouvant se propager simultanément ou au contraire, selon les paramètres, à des vitesses différentes. Lorsque le nombre d'espèces considérées augmente, un phénomène de tirage non local peut se produire où une espèce, sous l'effet de la diffusion linéaire, peut bénéficier de conditions environnementales plus favorables même loin de la position du front. De nombreux problèmes ouverts persistent alors. |
Résumé : L’objectif de ces travaux est d'améliorer des images numériques issues d'un intensificateur de lumière et destinées à améliorer la vision de nuit des pilotes d'hélicoptère.
Pour cela, nous réalisons d'abord l'estimation du bruit présent dans les images. Nous avons développé une méthode non paramétrique de détection des zones homogènes dans une image afin d'extraire les statistiques du bruit et estimer la fonction de niveau de bruit via l'estimateur des moindres déviations.
Cela permet ensuite de mettre en place une méthode de débruitage d'images et de séquences d'images qui repose sur une régularisation adaptative des moyennes non locales.
Enfin, nous nous intéressons à la fusion de capteurs, et nous avons pour cela mis en place une méthode de recalage multimodal basé sur l'alignement des contours présents dans les deux modalités.
Ces travaux s’inscrivent dans un contexte opérationnel où l’on traite un flux vidéo avec une forte contrainte temps-réel. |
Résumé : We focus our attention on shape optimization problems in which one
dimensional connected objects are involved. Very old and classical
problems in calculus of variation are of this kind: euclidean Steiner's
tree problem, optimal irrigation networks, cracks propagation, etc.
In a first part we quickly recall some previous work in collaboration
with F. Santambrogio related to the functional relaxation of the
irrigation cost. We establish a $\Gamma$-convergence of Modica and
Mortola's type and illustrate its efficiency from a numerical point of
view by computing optimal networks associated to simple sources/sinks
configurations. We also present more evolved situations with non Dirac
sinks in which a fractal behavior of the optimal network is expected.
In the second part of the talk we restrict our study to the euclidean
Steiner's tree problem. We recall recent numerical approach which have
been developed the last five years to approximate optimal trees:
partitioning formulation, relaxation with geodesic distance terms and
energetic constraints. We describe the first results obtained in
collaboration with A. Massaccesi and B. Velichkov to certify the
optimality of a given tree. With our discrete parametrization of
generalized calibration, we are able to recover the theoretical optimal
matrix fields which certify the optimality of simple trees associated to
the vertices of regular polygons.
Finally, we focus on the delicate problem of the identification of the
optimal structure. Based on a recent approach obtained in collaboration
with G. Orlandi and M. Bonafini, we describe the first convexification
framework associated to the Euclidean Steiner tree problem which
provide relevant tools from a numerical point of view. |
Résumé : Particle-laden flows are ubiquitous in environmental, geophysical and engineering processes. The intricate dynamics of these two-phase flows is governed by momentum transfer between the continuous fluid phase and the dispersed particulate phase. When significant temperature differences exist between the fluid and particles and/or chemical reactions take place at the fluid/particle interfaces, the two phases also exchange heat and/or mass, respectively. When the fluid exhibits non-Newtonian properties and in particular yield stress properties, particles can be trapped in the fluid. In this talk, I present various numerical models and computational strategies that we have been developing over the years to solve particle-laden flow problems. Many of these problems can be formulated as a constrained minimization and solved as a saddle-point problem with a robust Uzawa-like algorithm. Robust convergence is a particularly suitable property for massively parallel computing, sometimes at the expense of a lower computing speed. All over the talk, I illustrate on assorted examples of flow configuration the physical insight we are able to gain with our computational tools. Finally, I address the question of embedding the various numerical models into a comprehensive bottom-up multi-scale approach and discuss what we can expect from such an endeavour. |
Résumé : La méthode de De Giorgi permet de montrer la régularité höldérienne des solutions d’équations elliptiques et paraboliques. Dans le cas elliptique, la preuve est entièrement quantitative mais dans le cas parabolique, il semble rester une étape non quantitative: le lemme des valeurs intermédiaires. Dans cet exposé, nous présenterons une version quantitative de ce lemme après avoir introduit les différentes étapes de la méthode de De Giorgi. |
Résumé : Les solutions des systèmes hyperboliques contiennent des discontinuités. Ces solutions faibles vérifient non seulement les EDP de départ, mais aussi une inégalité d'entropie qui agit comme un critère de sélection déterminant si une discontinuité est physique ou non. Il est très important d'obtenir une version discrète de ces inégalités d'entropie lorsqu'on approxime numériquement les solutions, sans quoi le schéma est susceptible de converger vers des solutions non physiques ou pire d'être instable. Obtenir une inégalité d'entropie discrète est en général un travail difficile, souvent inatteignable pour des schémas d'ordre élevé. Dans cet exposé, je présenterai une approche où ces inégalités sont obtenues a posteriori en minimisant une fonctionnelle bien choisie. La difficulté principale est de prendre en compte la notion de consistance. Cette méthode permet d'obtenir des "cartes de diffusion numérique" pour des schémas d'ordre quelconque. Elle permet aussi de trouver, par une autre procédure d'optimisation, la pire donnée initiale vis à vis de l'entropie. C'est un travail en collaboration avec Emmanuel Audusse, Vivien Desveaux et Julien Salomon. |
Résumé : Dispersive shock waves (DSW) are oscillatory solutions of nonlinear dispersive equations such as the KdV equation. The structure of a DSW is described as a modulated wave train joining a leading edge solitary wave to a trailing oscillatory tail of linear waves. This structure is well described by the Whitham equations, a system of three nonlinear conservation laws modeling amplitude, frequency and wave speed. In this talk, I describe the connection to dissipative-dispersive equations, specifically, the modified KdV-Burgers equation,
u_t+u^2.u_x=\mu u_{xx} +\beta u_{xxx}
in which the constant coefficients \mu >= 0 and \beta measure dissipation and dispersion. Much can be learned from the structure of solutions of initial value problems with Riemann initial data, in which u(x,0) is piecewise constant with a single jump. When \mu>0 the solutions are easily related to shock waves and rarefaction waves for the conservation law u_t+u^2.u_x=0. However, with \mu=0, the solutions involve DSWs. I show how the two cases are related, discuss the limit \mu > 0+, and demonstrate time scales over which different wave structures appear. The construction of DSWs turns out to contain subtleties related to the presence of undercompressive traveling waves for the \mu>0 case, and to the construction of shock-rarefaction wave solutions of the conservation law, due to the non-convex flux.
The BBM equation
u_t+u.u_x= u_{xxt},
is also dispersive, and an additional conservation law is enough to allow formulation of Whitham equations. The Riemann problem exhibits two notable phenomena. Numerical simulations reveal the persistence and decay of expansion shocks, which are analyzed with matched asymptotics. By appealing to Riemann invariants, a similar analysis applies to expansion shocks for the related Boussinesq system of equations for water waves. Finally, I discuss numerical simulations and beginning analysis of implosion, in which a DSW meets a singularity in the dispersion relation, corresponding to a loss of genuine nonlinearity in the Whitham equations.
This is joint work with Gennady El and Mark Hoefer. |
Résumé : Nous approcherons les solutions régulières d'Euler incompressible par des flots d'EDO à valeurs dans des espaces de dimension finie. Cette approche, "à la Brenier", est basée d'une part sur l'interprétation d'Arnold de l'équation d'Euler en tant que géodésique de l'espace des difféomorphismes qui préservent la mesure et d'autre part sur le transport optimal semi discret. À cette approche est naturellement associée un schéma numérique pour lequel nous montrerons la convergence vers des solutions régulières de l'équation d'Euler incompressible. |
Résumé : Dans ce travail ([2]) on s’intéresse à un problème d’homogénéisation périodique, posé dans un domaine occupé par deux matériaux isotropes avec des conductivités de signes opposés : un matériau classique et un métamatériau (ou matériau négatif [4]-[5]). En utilisant la méthode de la T-coercivité ([1]) d’une part et l’éclatement périodique ([3]) d’autre part, on démontre que le problème étudié, ainsi que le problème homogénéisé, sont bien posés et on obtient un résultat de convergence de la solution initiale vers la solution du problème homogénéisé. Notre résultat est valide à condition que la valeur absolue du contraste entre les deux conductivités soit suffisamment grande. La matrice homogénéisée qu’on obtient est non isotrope et indéfinie en général; néanmoins, on donne quelques exemples de géométries qui présentent des symétries et pour lesquelles la matrice est isotrope et définie positive ou définie négative.
[1] A.-S. Bonnet-Ben Dhia, L. Chesnel, P. Ciarlet, Jr., T-coercivity for scalar interface problems between dielectrics and metamaterials, Acta ESAIM Math. Model. Numer.Anal., 46, 1363–1387,2012.
[2] R. Bunoiu, K. Ramdani, Homogenization of Materials with Sign Changing Coefficients, Communications in Mathematical Sciences, Vol. 14, No. 132, 1137–1154, 2016.
[3] D. Cioranescu, A. Damlamian, G. Griso, The periodic unfolding method in homogenization, SIAM J. Math. Anal., 40, 1585–1620, 2008.
[4] E. Shamonina, L. Solymar, Metamaterials: How the subject started, Metamaterials, 1, 12–18, 2007
[5] D. R. Smith, J. B. Pendry, M.C.K. Wiltshire: Metamaterials and negative refractive index, Science, 305, 788-792, 2004. |
Résumé : On présentera un critère d'unicité pour le système de Vlasov-Poisson avec densité non bornée, ainsi que des conditions sur les données initiales qui assurent que ce critère soit satisfait pour tout temps. On établira également une estimation de stabilité pour la distance de Wasserstein, issu d'un travail en collaboration avec T. Holding. |
Résumé : On présentera quelques problèmes d’optimisation de forme sur les compacts connexes 1D dans le plan (compliance optimale, distance moyenne, Mumford-Shah, Steiner), en s’intéressant notamment à la régularité des minimiseurs. Dans un deuxième temps, nous présenterons une approximation dite « par de champ de phase » de ces problèmes. |
Résumé : In this talk we will present a new way to compute steady state solutions to the Willmore problem using a diffusion scheme on a distance function coupled with a redistanciation step following Esedoglu et al. (2010), where we added an area and volume constraints. In this approach, a complex nonlinear flow could be approximated by a combination of diffusion equations. This could be used as an efficient predictor step for the full fluid-structure coupling problem. |
Résumé : Cet exposé est consacré à l'analyse asymptotique d'un modèle variationnel d'endommagement brutal, quand la zone d'endommagement se concentre en un ensemble de mesure nulle et quand la rigidité du matériau endommagé tend vers zéro. Deux régimes non triviaux sont mis en évidence. Pour le premier, l'endommagement est négligeable et le modèle converge vers un modèle purement élastique. Dans le second régime, les phénomènes de concentration engendrent une énergie limite à croissance linéaire par rapport au tenseur des déformations linéarisées, typique des modèles de plasticité parfaite. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Flaviana Iurlano (UPMC). |
Résumé : The optimal transport problem defines a notion of distance in the space of probability measures over a manifold, the Wasserstein space. In his thesis, McCann discovered that this space is a length space: the distance between probability measures is given by the length of minimizing geodesics called displacement interpolants or Wasserstein geodesics. In 2000, Otto defined a (purely formal) Riemannian calculus allowing the computation of tangent vectors to displacement interpolants and the computation of Hessians of functionals along these geodesics.
In this talk, I will present an Eulerian calculus on Wasserstein space, which extends the Otto calculus from a purely Riemannian setting to general Lagrangians. This Eulerian calculus allows for the computation of derivatives and Hessians of functionals involving derivatives of densities, resolving a question of Villani. New first order displacement convex functionals are presented. Finally, I will show how this calculus can be made rigorous via the DiPerna-Lions theory of renormalized solutions. |
Résumé : Les champignons endomycorhiziens forment des communautés mutualistes qui aident les plantes à accroître leur système racinaire et donc leur biomasse. Depuis plusieurs décennies, ces champignons sont utilisés comme engrais vert. Cependant quel est l'impact de ces champignons commerciaux sur les communautés sauvages? Afin de comprendre ces interactions j'ai développé en collaboration avec M. Martignoni, R. Tyson et M. Hart (Univ British Columbia) un nouveau modèle mutualiste basé sur des équations aux dérivées partielles. Dans cette exposé, je vous présenterai des critères analytiques d'existence et de stabilité des solutions stationnaires pour lesquels la coexistence apparaît. Ensuite je m'intéresserai à l'invasion spatiale d'une communauté par une autre en montrant l'existence de solutions de type front progressif pour le système et en caractérisant leur vitesse de propagation. |
Résumé : Many stochastic particle systems have well-defined continuum limits: as the number of particles tends to infinity, the density of particles converges to a deterministic limit that satisfies a partial differential equation. In this talk I will discuss one example of this.
The particle system consists of particles that have finite size: in two and three dimensions they are spheres, in one dimension rods. The particles can not overlap each other, leading to a strong interaction with neighbouring particles.
Such systems of particles have been much studied, but for the continuum limit in dimensions two and up there is currently no rigorous result. There are conjectures about the form of the limit equation, often in the form of Wasserstein gradient flows, but to date there are no proofs.
We also can not give a proof of convergence in higher dimensions, but in the one-dimensional situation we can give a complete picture, including both the convergence and the gradient-flow structure that derives from the large-deviation behaviour of the particles. This gradient-flow structure shows clearly the role of the free energy and the Wasserstein-metric dissipation, and how they derive from the underlying stochastic particle system.
The proof is based on a special mapping of the particle system to a system of independent particles, that is unique to the one-dimensional setup. This mapping is an isometry for the Wasserstein metric, leading to a beautiful connection between limit equations for interacting and non-interacting particle systems.
This is a joint work with Nir Gavish and Pierre Nyquist. |
Résumé : |
Résumé : Dans cet exposé, nous étudierons la contrôlabilité d'équations aux dérivées partielles de type transport qui apparaissent dans la modélisation des mouvements de foules. Nous contrôlerons ce système en agissant sur la vitesse des individus dans une région donnée de l'espace. Nous montrerons que sous certaines conditions géométriques, il est possible de contrôler de manière approchée le système à l'aide d'un contrôle régulier. Nous étudierons également la contrôlabilité exacte et le temps minimal pour atteindre la cible. Nous terminerons par quelques simulations numériques. |
Résumé : On s’intéresse dans cet exposé à l’analyse des couches limites numériques développées par les schémas aux différences finies généraux, i.e. à plusieurs pas de temps et d’espace. Le cadre d’étude est celui de l’équation de transport linéaire posée sur la demi-droite réelle avec une condition de bord numérique de Dirichlet homogène. Sous des hypothèses naturelles de stabilité pour le problème de Cauchy discret et de dissipativité au bord, on obtient une estimation de semi-groupe discrète, compatible à la limite avec celle de la solution du problème aux limites hyperbolique.
Travail commun avec J.-F. Coulombel. |
Résumé : Equations with non-local flux have been recently introduced in traffic flow modeling to account for the reaction of drivers or pedestrians to the surrounding density of other individuals. While pedestrians are likely to react to the presence of people all around them, drivers will mainly adapt their velocity to the downstream traffic, assigning a greater importance to closer vehicles. In particular, and in contrast to classical (without integral terms) macroscopic equations, these models are able to display finite acceleration of vehicles through Lipschitz bounds on the mean velocity and lane formation in crossing pedestrian flows. We will also present recent results on micro-macro limits of empirical measures converging to measure-valued solutions of the corresponding macroscopic evolution equation. |
Résumé : Edition 2017, à l'ENS de LYON. Informations actualisées sur : http://math.univ-lyon1.fr/~jera/2017.html |
Résumé : |
Résumé : Il s'agit d'un travail en collaboration avec Pierre-Emmanuel Jabin (Univ. Maryland).
Notre but est d'étudier l'existence et l'unicité trajectorielle d'équations différentielles stochastiques à coefficients irréguliers sans présupposer que le coefficient de diffusion est uniformément elliptique. Notre approche repose sur des estimées $L^p$ sur les solution de l'équation de Fokker-Planck associée et des bornes de Sobolev sur les coefficients de diffusion et le drift, qui peuvent être prouvés séparément. Ceci nous donne un critère général d'un grande flexibilité, qui permet notamment d'améliorer les critères connus dans le cas uniformément elliptique, et obtenir des résultats originaux pour des cas cinétiques (EDS de Langevin). |
Résumé : The abcd systems were derived by J.B. Bona, M. Chen and J.-C. Saut in 2002 as approximation models in order to study the propagation of small amplitude, long wavelength water waves in a channel with flat bottom. First, we will recall the formal derivation of these models. We will see that observations of practical order lead to the conclusion that in order to be physically relevant, solutions of the Cauchy problem associated to these systems need to exist on times which are of the same order as the ratio between the depth of the channel and a typical amplitude (which in this case is supposed to be large). Thus, in a second time, we will present such results, referred in the literature as long time existence results, that we obtain for both spatially localized respectively non-localized initial data. |
Résumé : The aim of this talk is to study the boundary stabilization of one-dimensional cross-diffusion systems in a moving domain. We show first exponential stabilization and then finite-time stabilization in arbitrary small time of the linearized system around uniform equilibria, provided the system has an entropic structure with a symmetric mobility matrix. One example of such systems are the equations describing a Physical Vapor Deposition (PVD) process. This stabilization is achieved with respect to both the volumic fractions and the thickness of the domain. The feedback control is derived using the backstepping technique, adapted to the context of a time-dependent domain. In particular, the norm of the backward backstepping transform is carefully estimated with respect to time. |
Résumé : We present an extension of the results obtained by Colombo and Perrollaz regarding the set of inverse designs for a class of scalar conservation laws with compact space dependency.
The key ingredients are the notion of generalized characteristics of Dafermos and the correspondence with the associated Hamilton-Jacobi equation. Numerical simulations are presented to highlight the diffferences with the homogeneous case.
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Résumé : We present a model for chemotaxis that is based on local sensing, that |
Résumé : |
Résumé : Dans cet exposé, on étudiera un modèle de dynamique |
Résumé : Le développement de méthodes numériques pour les EDP elliptiques applicables sur maillages généraux a connu un essor spectaculaire ces 15 dernières années. Les motivations pour considérer des mailles polygonales/polyédriques générales sont variées. Ce peut être une contrainte inhérente au problème (comme en géosciences où le maillage résulte de l'analyse sismique des propriétés du sous-sol), mais aussi une volonté (parfois une nécessité) de s'affranchir des fortes contraintes géométriques imposées par les maillages conformes. Dans le cadre polytopal, la notion de nœud orphelin devient en effet caduque, permettant des simplifications substantielles dans la prise en compte d'interfaces immergées ou dans les procédures de raffinement/déraffinement local. Nous essaierons dans cet exposé de proposer un panorama historique sur le développement des méthodes polytopales, en motivant la nécessité d'aller au-delà des méthodes DG, et en mettant l'accent sur les avancées plus récentes comme la montée en ordre. |
Résumé : Reduced models of the water wave equations are essential for coastal engineering applications issues such as sediment transport and wave energy converters. Many of these dispersive models, and in particular the Green-Naghdi model, have inherited from the incompressibility constraint a projection structure onto a set of admissible solutions. We will see how we can use it to its advantage for many numerical and modeling problems: entropic stability, high order schemes, boundary conditions. Finally, we will focus on the steady states of the model and propose a well-balanced numerical strategy able to preserve them. |
Résumé : La variation totale (du gradient) est une régularisation qui a beaucoup été utilisée dans les problèmes inverses en traitement d'images, à la suite des travaux de Rudin, Osher et Fatemi notamment. Lorsque l'on dispose d'un nombre fini de mesures, on peut montrer que certaines solutions sont constantes par morceaux. Dans cet exposé, je discuterai du lien entre cette propriété et la structure des faces de la boule unité de la variation totale. Puis, je montrerai comment la stabilité de cette représentation est liée à des résultats de stabilité dans certains problèmes variationnels géométriques comme le problème à courbure prescrite. |
Résumé : Je présenterai quelques résultats concernant la modélisation du développement des plantes dans leur environnement. En partant d'un nouveau modèle de distribution de sucrose dans les arbres, nous arriverons à la propagation de ravageurs (végétales ou animales) dans des paysages agricoles. Mon propos sera centré sur des systèmes continus de type advection-réaction-diffusion. |
Résumé : The goal of a posteriori validation methods is to get a quantitative and |
Résumé : On propose ici un modèle simplifié de corrosion. Plus précisément, dans cette étude, les espèces chargées, cations et électrons, seront négligées et seules les lacunes d'oxygène seront prises en compte. Leurs déplacements sont en effet responsables de la création ou de la diminution de la couche d'oxyde. L'idée est de partir d'un modèle unidimensionnel avec deux interfaces traversées par les lacunes d'oxygène. L'une est supposée fixe et se situe entre la solution et la couche d'oxyde, l'autre mobile se trouve entre la couche d'oxyde et le métal. Le modèle proposé (avec des conditions atypiques aux interfaces) a pour but de retrouver le comportement attendu, à savoir la croissance de la couche d'oxyde. L'étude de ce modèle utilise la théorie du transport optimal, puisque malgré les échanges aux interfaces, nous développerons un schéma de type JKO pour montrer l'existence de solutions faibles. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Benoît Merlet (Université de Lille - INRIA Lille Nord Europe) et Antoine Zurek (Université de Technologie de Compiègne). |
Résumé : En apprentissage automatique et en problèmes inverses, il est parfois nécessaire de générer (ou déformer) un nuage de points de sorte à approcher une mesure de probabilité modèle $\rho$. Une manière naturelle d'y parvenir est de chercher à minimiser la distance de Wasserstein de la mesure uniforme sur le nuage de points par rapport à la distribution modèle :
$$ \min_{y_1,\hdots,y_N\in\mathbb{R}^N} F(y_1,\hdots,y_N) := \mathrm{W_2}\left(\frac{1}{N}\sum_{1\leq i\leq N}\delta_{y_i},\rho\right).
$$
Ce problème de minimisation, dans lequel les inconnues sont les positions des atomes (et non leur masse), n'est pas convexe. Il admet des points critiques dont l'énergie est beaucoup plus grande que celle du minimiseur. Pourtant, dans la plupart des cas, une version adaptée de l'algorithme de Lloyd --- une méthode de descente de gradient à pas constant --- conduit à des configurations présentant une faible énergie. Nous expliquons quantitativement ce comportement, en montrant en particulier que si les points initiaux ne sont pas trop proches les uns des autres, alors une seule étape de l'algorithme de Lloyd est suffisante pour obtenir une bonne approximation de de $\rho$. Je parlerai également d'un résultat plus récent, qualitatif, montrant en dimension $d=2$ que l'énergie de quantification des points critiques stables est en réalité commensurable à l'énergie du minimiseur. Cet exposé est basé sur des travaux en commun avec A. Figalli, F. Santambrogio et C. Sarrazin. |
Résumé : On considère l’équation semi-linéaire de la chaleur avec une non-linéarité sous-critique Sobolev. Nous construisons une solution qui explose en temps fini uniquement à l'origine, avec un profil d'explosion complètement nouveau, en forme de croix. Notre méthode est générale et s'étend à la construction de nouvelles solutions explosant uniquement à l'origine, avec une grande variété de profils d'explosion, dégénérés ou non. Il s'agit d'une collaboration avec Frank Merle. |
Résumé : Dans cet exposé, on tentera de construire des solutions régulières d'une équation non linéaire elliptique-parabolique dont la direction naturelle de parabolicité change de sens le long d'une ligne critique. Pour éviter l'apparition de singularités, on imposera des conditions d'orthogonalité aux termes sources, qu'il faudra préserver pendant l'exécution du schéma non linéaire.
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Résumé : La prise en compte de la force de Coriolis liée à la rotation de la Terre dans les équations de Saint-Venant permet de modéliser la dynamique de fluides à grande échelle. Dans ce contexte, plusieurs travaux ont proposé des schémas numériques capables de préserver les états d'équilibre au repos, c'est-à-dire à vitesse nulle. Le but de ce travail est de construire un schéma numérique capable de préserver tous les états d'équilibre. On commencera par rappeler le principe des schémas de type Godunov qui sera le cadre de notre schéma. On montrera ensuite comment construire un solveur de Riemann approché permettant d'obtenir un schéma numérique qui préserve à la fois tous les états d'équilibre et la positivité de la hauteur du fluide. Une extension à l'ordre 2 qui préserve ces propriétés sera également proposée. Elle repose sur une adaptation de la méthode classique MUSCL. Enfin, plusieurs simulations numériques viendront illustrer la pertinence des schémas ordre 1 et ordre 2. |
Résumé : |
Résumé : On s'intéresse dans cet exposé à des modèles décrivant l'évolution de particules (telles que des particules solides de poussière ou des goutelettes) dans un gaz raréfié. De nombreux modèles de spray pour les mélanges gaz-particules existent, mais la plupart du temps le gaz (appelé aussi la "phase porteuse" dans les modèles de spray) est décrit par des équations portant sur les grandeurs macroscopiques du fluide. On adopte ici une approche à l'échelle mésoscopique pour décrire le gaz. Je présenterai deux types de modèles destinés à décrire une situation où les particules (correspondant à la phase "dispersée" du spray) sont macroscopiques comparées aux molécules. |
Résumé : Dans cet exposé, nous nous intéresserons à des systèmes d'équations de réaction-diffusion (systèmes paraboliques non-linéaires) qui apparaissent notamment en épidémiologie.
On regardera des modèles de type SIR : on considère une population dont les individus peuvent être de type Sains, Infectés ou Remis (d'où l'acronyme SIR), et on se donne des règles simples décrivant la façon dont ces sous-populations interagissent et se déplacent.
Travail en collaboration avec S. Nordmann (Université de Tel-Aviv). |
Résumé : In this talk I will present some results on stricly hyperbolic operators which coefficients are not Lipschitz-continuous with respect to time. In particular if the coefficients are only Zygmund-continuous with respect to time and Lipschitz-continuous with respect to space, then an energy estimate holds, with no loss of derivatives. The content of the talk is part of a joint work with Ferruccio Colombini (Pisa) and Francesco Fanelli (Lyon). |
Résumé : |
Résumé : Modèles asymptotiques et méthodes numériques pour les milieux continus et la biologie Inscription (vivement recommandée) et programme: https://perso.univ-st-etienne.fr/cf39911h/MAMNMCB.html |
Résumé : In the limit of vanishing but moderate external magnetic field, we |
Résumé : On parlera de diffusion de l'énergie au sein de systèmes physiques conservatifs, et plus précisément, de ses origines microscopiques.
En particulier, on s'intéressera à un phénomène inattendu, observé récemment (par exemple sur les mitochondries présentes dans les cellules humaines) : lorsque le système est maintenu dans un bain à température constante, son profil de température stationnaire atteint son maximum à l'intérieur du système, et celui-ci est plus élevé que la température extérieure.
Dans un travail récent en collaboration avec T. Komorowski et S. Olla, nous avons obtenu ce phénomène macroscopique via une limite d'échelle d'une chaîne infinie d'oscillateurs couplés, maintenue aux deux extrémités à différentes températures, et soumise à une force externe sur l'un des deux bords. L'énergie mécanique produite par la force se transforme en énergie thermique grâce à la dynamique interne des oscillateurs couplés. L'étude mathématique rigoureuse est possible dans le cas d'oscillateurs harmoniques, perturbés par un bruit stochastique qui conserve l'énergie, grâce à l'utilisation des transformées de Wigner. Celles-ci permettent de décrire la répartition de l'énergie sur différents modes de fréquence et séparent naturellement les origines mécaniques et thermique de l'énergie.
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Résumé : La modélisation des épidémies via les modèles comportementaux classiques souffre de certaines lacunes (par exemple de ne pas pouvoir prendre en compte l'hétérogénéité au sein de la population). Des modèles stochastiques sur graphe permettent de pallier ces faiblesses mais ils sont généralement coûteux à simuler et difficiles à optimiser. Nous introduisons tout d'abord un modèle réduit déterministe construit à l'aide d'un réseau de neurones afin d'imiter la dynamique locale du modèle sur graphe original. Dans un second temps, nous proposons de déterminer une politique de santé optimale au moyen d'un problème de contrôle optimal sur le modèle réduit. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Emmanuel Franck, Killian Lutz, Laurent Navoret et Yannick Privat. |
Résumé : Un écoulement multiphasique est un écoulement mettant en jeu des espèces qui se trouvent dans différents états de la matière (gazeux, liquide, solide) ou des espèces qui sont dans le même état mais aux propriétés chimiques différentes (mélanges liquide-liquide non miscibles par exemple).
Dans l'industrie nucléaire, de nombreuses configurations industrielles font intervenir des écoulements multiphasiques. C'est le cas par exemple du phénomène de l'explosion de vapeur: suite à un défaut d'évacuation de chaleur dans le cœur d'un réacteur, celui-ci peut entrer en fusion créant un magma métallique appelé corium, composé de combustible nucléaire et d'éléments fondus issus de la structure du cœur. Lorsque les particules de corium entrent en contact avec l'eau du circuit primaire, originellement à l'état liquide, un phénomène d'évaporation violente de l'eau (flashing) peut se produire, s'accompagnant d'une augmentation soudaine de la pression et de la propagation d'ondes de choc et de détente pouvant endommager la structure du réacteur. La compréhension d'un tel phénomène nécessite de travailler avec des modèles d'écoulements compressibles faisant intervenir plus de trois phases.
Dans cet exposé, je considérerai un modèle dit multi-fluide introduit par Jean-Marc Hérard (EDF R&D) en 2007 pour le cas de 3 phases puis en 2016 pour le cas plus général de N phases, N étant arbitraire. Pensé comme une extension du fameux modèle diphasique de Baer-Nunziato, le modèle à N phases consiste en N systèmes d'Euler couplés par des termes non conservatifs ainsi que des termes sources de relaxation dont le rôle est d'amener les phases en présence vers un équilibre mécanique et thermodynamique. Dans un premier temps, je présenterai une méthode de dérivation du modèle, ainsi que ses principales propriétés, puis je présenterai un schéma dit de relaxation à la Suliciu, pour l'approximation des solutions du modèle. Nous verrons que ce schéma permet une approximation relativement précise des solutions bien qu'il soit d'ordre 1. Nous verrons aussi qu'il vérifie au niveau discret des propriétés de stabilité similaires à celles du modèle continu: positivité des masses volumiques et des taux de présence statistiques des phases, inégalités d'entropie discrète. |
Résumé : De nombreuses techniques permettent de préserver les asymptotiques de diffusion pour des systèmes de lois de conservation avec termes source idoines. Il est en revanche beaucoup plus difficile de conserver en même temps les trois propriétés suivantes i) préservation des états admissibles ii) avoir des schémas d'ordre élevé quel que soit le régime iii) être fonctionnel sur des maillages non-structurés. On présentera une technique qui permet d'obtenir toutes ces particularités tout en restant générique. Les résultats seront notamment illustrés sur une application au couplage conducto-radiatif dans des matériaux poreux de protection thermique. |
Résumé : In this work, we consider the development of implicit explicit total variation diminishing (TVD) methods (also termed SSP: strong stability preserving) for the compressible isentropic Euler system in the low Mach number regime. The scheme proposed is asymptotically stable with a CFL condition independent from the Mach number and it degenerates, in the low Mach number regime, to a consistent discretization of the incompressible system. Since it has been proved by Gottlieb, Tadmor and Shu in 2001 that implicit schemes of order higher than one cannot be TVD (SSP), we construct a new paradigm of implicit time integrators by coupling first order in time schemes with second order ones in the same spirit as highly accurate shock capturing TVD methods in space. For this particular class of schemes, the TVD property is first proved on a linear model advection equation and then extended to the isentropic Euler case. The result is a method which interpolates from the first to the second order both in space and time, which preserves the monotonicity of the solution, highly accurate for all choices of the Mach number and with a time step only restricted by the non stiff part of the system. One and two dimensional test cases showing that the method indeed possesses the claimed properties are also presented. This is a joint work with G. Dimarco (Ferrara), R. Loubère (Bordeaux) and M.-H. Vignal (Toulouse). |
Résumé : Au cours des vingt dernières années, des modèles de champ moyen tenant compte des fluctuations thermiques et visant à décrire les condensats de Bose-Einstein proches de la température critique de condensation ont été introduits, en particulier l’équation de “Gross-Pitaevskii stochastique projetée”. L’exposé concernera les résultats mathématiques sur l'analyse et la dynamique en temps long d'une version non tronquée du modèle, une EDP stochastique qui est une équation de Ginzburg Landau complexe avec un potentiel harmonique de confinement et un bruit blanc espace-temps additif. Nous discuterons en particulier le cas de la dimension deux, dans laquelle une renormalisation est nécessaire pour donner un sens aux solutions, et l’étude de la mesure de Gibbs formelle présente des difficultés particulières. Cet exposé est basé sur des travaux en collaboration avec A. Debussche (ENS Rennes) et R. Fukuizumi (Tohoku University, Japon). |
Résumé : On étudie une famille d'énergies définies pour des fonctions $u:\Omega\subset \R^2\to\R_+$ pour lesquelles si $u$ est régulière on a
\[
E(u)=0\ \Leftrightarrow\ (\pt_x u) (\pt_y u) \equiv 0.
\]
On considèrera aussi des généralisations aux dimensions supérieures $\Omega\subset \R^{n_1}\times\R^{n_2}$. |
Résumé : La nanophotonique est la branche de la physique dédiée à la compréhension et l'utilisation des phénomènes issus de l'illumination de matériaux nanostructurés.
L'exaltation et la focalisation remarquables de la lumière qui peuvent être obtenues dans ce contexte est une brique de base pour beaucoup d'applications.
Pour certaines configurations d'étude, les expérimentateurs se reposent notamment sur les simulations numériques avant d'envisager tout processus de fabrication coûteux. Il en est de même des physiciens qui essaient de décortiquer et de comprendre les divers phénomènes. Les petites échelles, les géométries complexes et les caractéristiques des matériaux mis en jeu en font un problème particulièrement stimulant du point de vue numérique.
Nous proposons dans ce travail de nous concentrer sur une famille de modèles adaptés à ce contexte. Ces derniers sont des modèles de dispersion basés sur des couplage linéaires des équations de Maxwell avec d'autres EDO ou EDP décrivant la polarisation des matériaux. Pour ces équations d'évolution, nous essaierons de nous intéresser à toute l'échelle d'étude : des aspects théoriques des modèles, en passant par la formulation d'algorithmes de résolution numérique adaptés aux problématiques (ici dans le cadre d'une discrétisation de type éléments finis discontinus), jusqu'aux simulations numériques efficaces sur des cas tests réalistes. |
Résumé : In this talk I will present a unified approach for the effect of fast rotation and dispersion as an averaging mechanism for, on the one hand, regularizing and stabilizing certain evolution equations, such as the Navier-Stokes and Burgers equations. On the other hand, I will also present some results in which large dispersion acts as a destabilizing mechanism for the long-time dynamics of certain dissipative evolution equations, such as the Kuramoto-Sivashinsky equation. In addition, I will present some new results concerning two- and three-dimensional turbulent flows with high Reynolds numbers in periodic domains, which exhibit ``Landua-damping" mechanism due to large spatial average in the initial data. |
Résumé : Dans cet exposé, nous présenterons plusieurs résultats concernant un problème d’optimisation en écologie spatiale et qui peut se formuler ainsi: comment, au sein d’un domaine, répartir les ressources accessibles à une population afin de garantir que cette dernière soit de taille maximale? Dans cet exposé, nous nous concentrerons sur les propriétés qualitatives de ce problème. Nous mettrons en évidence, entre autres, des propriétés de type concentration/fragmentation des ressources: vaut-il mieux répartir le plus possible les ressources ou, au contraire, les concentrer en un unique endroit? Contrairement à plusieurs critères mieux connus (comme la capacité de survie), où la concentration de ressources est toujours favorable, et ce indépendamment de la vitesse de déplacement des individus, pour la taille de la population, nous montrons que, plus cette vitesse de déplacement est faible, plus la fragmentation est un atout. La première partie de l’exposé sera essentiellement descriptive, et nous donnerons des éléments de preuve dans la seconde.
Les différents travaux qui seront présentés ont été réalisés en collaboration avec G. Nadin, Y. Privat et D. Ruiz-Balet. |
Résumé : Le résumé peut être téléchargé ici |
Résumé : Mean field particle systems are a common model for chemical reactions in well mixed containers. Molecules (and ions, . . . ) are modelled as particles and jumps model reactions in which atoms are reorganised into new molecules. The model is then a family of Markov processes indexed by V > 0, which may heuristically be understood as size of the well mixed container. One studies the empirical measure of the particle system, which should be identified with the concentration vector. In the work reported here we study reaction fluxes and not just concentrations under assumptions which include classical mass action chemical kinetics. The reaction fluxes are the (rescaled) reaction counts and so the initial condition and the fluxes imply the state of the particle system, but they contain more information since multiple sequences of reactions may produce the same change in concentrations. |
Résumé :
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Résumé : Le fast marching est un algorithme efficace pour la résolution de l'équation eikonale, qui permet de calculer le plus court chemin entre deux points d'un domaine de R^d. Ses applications sont nombreuses, et vont de la planification de mouvement à la segmentation d'images médicales. L'unité de longueur, pour la mesure du chemin, peut varier dans le domaine.
Motivés par certaines applications, nous généralisons l'algorithme au cas où l'unité de longueur dépend également de la direction, voire de l'orientation du chemin. Un conflit apparait entre cette géométrie anisotrope et la grille cartésienne utilisée pour la discrétisation. Son étude fait intervenir des outils élégants et peu communs en analyse des EDP, allant de la classification des réseaux euclidiens à l'arbre de Stern-Brocot (qui répartit les nombres rationnels aux noeuds d'un arbre binaire complet infini). |
Résumé : Nous nous focaliserons essentiellement dans cet exposé sur les techniques qui permettent la prise en compte de conditions aux limites et d'interface complexes dans le cadre de la méthode des éléments finis, par exemple en interaction fluide-structure ou pour les contacts et les frottements en élasticité. Nous présenterons en particulier une technique alternative à celles traditionnelles (dualité et pénalisation), originellement proposée par J. Nitsche en 1971 pour le traitement des conditions aux limites de Dirichlet non-homogènes, et remise au goût du jour par R. Stenberg et ses collaborateurs à partir du milieu des années 1990. La méthode de Nitsche a pour avantage de rester primale (aucune inconnue supplémentaire n'est introduite) tout en préservant la consistance (contrairement à la pénalisation). Nous montrerons qu'elle peut s'étendre à divers problèmes, tout en conservant les avantages mentionnés ci-dessus.
Dans le cas, par exemple, des conditions de contact (sans frottement, ou avec frottement de Tresca) en élasticité linéarisée, une condition aux limites fortement non-linéaire apparaît sur le bord de contact. Nous verrons alors qu'il est possible d'écrire une formulation de type Nitsche qui traduit cette condition. Nous parvenons alors à établir la convergence optimale de la méthode, en deux et trois dimensions. Cette dernière propriété de convergence optimale est en général difficile à obtenir pour les autres méthodes, et il faut souvent avoir recours à des hypothèses techniques, par exemple sur la topologie de la zone de contact effective. De telles hypothèses ne sont pas nécessaires pour la méthode de Nitsche. Nous avons de plus réalisé des expériences numériques qui valident l'analyse théorique et montrent l'intérêt potentiel de la méthode pour la simulation numérique en mécanique des solides.
Nous verrons alors comme autre application l'interaction entre une structure élastique et un fluide visqueux incompressible, où un traitement de la condition d'interface inspiré par Nitsche permet d'améliorer la stabilité de certains schémas en temps sans dégrader leur performance. De même, si l'on souhaite mettre en oeuvre une méthode de décomposition de domaine avec maillages non-conformes, la méthode de Nitsche peut s'avérer une alternative viable à la méthode des joints (ou "mortar"), y compris dans le cas des équations intégrales de frontière, où l'application de telles techniques est plus récente. On arrive en particulier ici à montrer une convergence presque quasi-optimale malgré la faible régularité des solutions. |
Résumé : TBA |
Résumé : De nombreux progrès ont été effectués ces 5 dernières années autour de la modélisation, l’analyse théorique et numérique des asymptotiques shallow water pour écoulements à surface libre. Cette brève immersion en eaux peu profondes nous permettra de faire un point sur les différentes formulations discrètes qui ont été proposées récemment concernant les modèles dispersifs fortement non-linéaires de type Green-Naghdi, la possibilité de surmonter l’hypothèse classique d’irrotationalité des écoulements ou encore la gestion numérique de la singularité « déferlement ». |
Résumé : We consider a system of two parabolic PDEs arising in modeling of motility of eukaryotic cells on substrates. The two key properties of this system are (i) presence of gradients in the coupling terms (gradient coupling) and (ii) mass (volume) preservation constraints.
We derive the equation of the motion of the cell boundary, which is the mean curvature motion perturbed by a novel nonlinear term and prove that the sharp interface property of initial conditions is preserved in time. We next show that this novel term leads to surprising features of the motion of the interface such as discontinuities of the interface velocity and hysteresis.
Because of the properties (i)-(ii), classical comparison principle techniques do not apply to this system. Furthermore, the system can not be written in a form of gradient flow, which is why recently developed Gamma-convergence techniques also can not be used. A special form of asymptotic expansion is introduced to reduce analysis to a single nonlinear PDE: a one-dimensional model problem. Stability analysis reveals a qualitative change in the behavior of the system depending on the main physical parameter. This is joint work with V. Rybalko and M. Potomkin. |
Résumé : The practice of domain decomposition methods is often confronted with a certain lack of robustness or optimality, especially in the framework of large deformation elasticity with highly heterogeneous materials, curvilinear subdomains, incompressible behavior, and contact. We design a general method to guarantee a prescribed convergence ratio for a wide class of domain decomposition methods, through the automatic computation of a proper coarse grid using local eigen-problems. This work has been performed in collaboration with Nicole Spillane, Frédéric Nataf, Victorita Dolean and Daniel Rixen, and is illustrated on specific cases. |
Résumé : Les semi-groupes non-conservatifs apparaissent naturellement dans plusieurs contextes différents (EDP linéaires, processus de Markov absorbé, processus de branchement, grandes déviations...). Leur comportement en temps long peut être décrit par leur plus grande valeur propre et les vecteurs propres associés; ainsi que par le trou spectral. Dans cet exposé, nous décrirons des méthodes simples (basées sur une généralisation de la notion d'irréductibilité pour les chaînes de Markov) pour avoir l'existence de ces éléments et la convergence du semi-groupe dans une distance en variation totale (i.e. L^1) à poids. Ce travail est en collaboration avec V. Bansaye, P. Gabriel et A. Marguet. |
Résumé : Dans cet exposé je présenterai d’abord en des termes généraux un problème qui prend une importance croissante dans la littérature de réaction-diffusion : la caractérisation du sillage des ondes progressives dans des problèmes de type KPP avec compétition non-locale. Ce problème est rendu très difficile par l’absence de principe de comparaison et, à ce jour, il n’a été attaqué qu’au cas-par-cas avec des outils ad hoc. Je me concentrerai ensuite plus spécifiquement sur une classe de systèmes KPP et je présenterai des résultats récents qui illustrent la variété de techniques mobilisées et de conclusions possibles. |
Résumé : Nous montrons que des résonances en espace-temps, au sens de Germain, Masmoudi et Shatah, sont à l'origine d'instabilités fortes pour le système d'Euler-Maxwell, qui décrit la propagation d'un laser dans un plasma. Cela implique en particulier que l'approximation par le système de Zakharov n'est stable que si la vitesse de groupe est nulle. Notre analyse montre aussi que, dans le cas où le profil WKB présente de fortes variations transverses, les résonances en temps peuvent ne pas induire d'instabilités rapides, même en présence de nonlinéarités qui ne satisfont pas les conditions de compatibilité. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Eric Dumas (Grenoble) et Lu Yong (Prague). |
Résumé : En 2004, C. Besse a présenté pour l’équation de Schrödinger non linéaire la méthode numérique appelée méthode de relaxation. Celle-ci est une méthode d’ordre 2 permettant de préserver une énergie discrète. Dans cet exposé j’en présenterai deux « généralisations ». La première permet d’étendre la méthode au cas d’exposants de non linéarité généraux tout en conservant l’ordre 2 et la préservation d’une énergie discrète. La seconde, qui peut également s’appliquer à d’autres équations, permet d’obtenir des méthodes d’ordre élevé.
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Résumé : In this talk we present the starting mechanical model of the lamellipodial actin-cytoskeleton meshwork. The model is derived starting from the microscopic description of mechanical properties of filaments and cross-links and also of the life-cycle of cross-linker molecules. We introduce a simplified system of equations that accounts for adhesions created by a single point on which we apply a force.
We present the adimensionalisation that led to a singular limit motivating our mathematical study. Then we explain the mathematical setting and results already published. In the last part we present the latest developments~: we give results for the fully coupled system with unbounded non-linear off-rates. This leads to two possible regimes :
under certain hypotheses on the data there is global existence,
out of this range we are able to prove blow-up in finite time.
This is joint work with Dietmar Oelz. |
Résumé : Je présenterai un système d'équations différentielles stochastiques, avec 3 composantes et dépendant de 2 petits paramètres, modélisant la formation de disques protoplanétaires. |
Résumé : Le flot binormal est un modèle pour la dynamique d'un tourbillon filamentaire dans un fluide 3-D incompressible non-visqueux. Ce flot est également relié au modèle de Heisenberg continu classique, et à l'équation de Schrödinger. Après avoir décrit ce modèle, je vais présenter une classe de solutions qui génèrent des singularités en temps fini. En particulier, je vais mettre en évidence une énergie conservée en temps sauf au moment de l'apparition des singularités, où elle présente un saut. Interprétée au niveau de la mécanique des fluides, cette énergie fait intervenir les grands modes de Fourier de la variation de la direction de vorticité. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Luis Vega. |
Résumé : Motivés par la propagation d'ondes internes dans un océan stratifié, on regardera les équations d'Euler à densité variable dans une bande horizontale plate et étudierons l'évolution de perturbations de l'équilibre hydrostatique. Grâce à une décomposition modale associée à un opérateur de Sturm-Liouville donné par la stratification à l'équilibre, nous mettrons en évidence un phénomène de mélange dispersif lorsque la fréquence de Brünt-Vaisälä n'est pas constante (c-à-d lorsque la stratification à l'équilibre n'est pas exponentielle). Dans le cadre plus particulier de perturbation de grandes longueurs d'onde, nous montrerons comment étendre l'analyse modale au cas nonlinéaire. Nous montrerons en particulier un phénomène de mélange des modes de nature nonlinéaire, différent donc de celui mentionné précédemment. On terminera par quelques vagues considérations sur la "limite de stratification rapide" censée être décrite par des modèles bi-fluides. |
Résumé : Dans cet exposé, je présenterai des résultats obtenus avec Maxime Herda (INRIA Lille) et Thomas Rey (Univ. Lille). Nous nous intéressons à la discrétisation d'une équation cinétique linéaire en 1D, avec un opérateur de collision de type Fokker-Planck linéaire ou BGK linéarisé. Nous prouvons d'une part le caractère "Asymptotic Preserving" à la limite de diffusion de notre schéma, et d'autre part le retour exponentiel vers l'équilibre maxwellien, uniformément dans la limite de diffusion. Ce caractère hypocoercif est obtenu en adaptant au cadre discret les résultats de Dolbeault, Mouhot et Schmeiser (2015). |
Résumé : We are interested in simulating wave propagation in
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Résumé : Dans cet exposé, on présente une technique astucieuse introduite par Dmitry Turaev pour permuter des modes propres de l'opérateur de Schrödinger 1D. Elle s'appuie entre autre sur une variation de la forme du domaine. Dans un travail en collaboration avec lui et Alessandro Duca, nous transposons cette idée dans l'EDP dépendante du temps pour obtenir une nouvelle façon de contrôler la solution de l'équation de Schrödinger par un mouvement lent d'un haut mur de potentiel. |
Résumé : Dans un article récent sur un problème de contrôle dans l'espace de Wasserstein W_2, A. Marigonda et M. Quincampoix ont introduit une nouvelle notion de solutions de viscosité. Cette notion, définie à partir de sous-sur differentiels, leur a permis de caractériser une fonction valeur ayant pour argument une variable temporelle et une mesure de probabilité. Beaucoup de questions se posent sur ce nouvel objet, sur ses propriétés et sur son lien avec la notion de dérivation dans W_2 introduite par J.-M. Lasry et P.-L. Lions pour les jeux à champ moyen. Je vous propose de répondre à quelques unes d'entre elles. Il s'agit d'un travail en cours avec A. Marigonda et M. Quincampoix.
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Résumé : |
Résumé : Le but de cet exposé est de présenter les mécanismes de dérivation de modèles d'écoulements diphasiques compressibles. Partant des équations de Navier-Stokes pour chacun des fluides avec des relations aux interfaces les couplant, nous montrons comment en déduire un modèle moyenné permettant d'éviter une résolution complète du modèle à interface. Cette approche, remontant aux travaux de Denis Serre, Weinan E, puis plus récemment de Matthieu Hillairet et Didier Bresch (entre autres), fait appel aux outils de l'homogénéisation. L'originalité de ce travail avec Matthieu Hillairet et Didier Bresch est la tentative d'inclusion de la tension de surface dans les conditions aux interfaces, dans le cas d'écoulements à bulles. |
Résumé : L'équation de Boltzmann est l'un des piliers de la théorie cinétique des gaz. Celle-ci, établie indépendamment par Maxwell et Boltzmann dans les années 1860, peut maintenant être utilisée pour modéliser de nombreux types de systèmes complexes, comme la rentrée d'une sonde dans l'atmosphère ou des écoulement microfluidiques dans des puces à ADN. La simulation numérique efficace d'une telle équation (ainsi que de ses généralisations) est donc d'une importance croissante. C'est pourtant une question encore largement ouverte. Nous présenterons dans cet exposé une classe de méthodes efficaces et précises pour résoudre numériquement de telles équations, ainsi que leurs propriétés mathématiques. |
Résumé : Dans cet exposé, j'expliquerai la construction de schémas numériques pour des équations issues de la biologie. Ces équations ont en commun de dépendre d'un paramètre, qui les rend raides -et donc difficiles à résoudre numériquement- quand il est petit. Je me placerai dans des cas où les solutions tendent, quand ce paramètre tend vers 0, vers la solution d'une équation de Hamilton-Jacobi. On attend alors que les solutions numériques aient le même comportement. Je détaillerai tout d'abord un exemple à partir d'une équation cinétique, puis je donnerai des exemples de construction de tels schémas numériques pour des équations de type réaction-diffusion. |
Résumé : Dans cet exposé, on s’intéresse à la régularité des solutions d’équations d’évolution associées à deux classes d’opérateurs non-autoadjoints avec des applications à l’étude de la contrôlabilité à zéro de ces mêmes équations. La première classe est constituée des opérateurs non-locaux d’Ornstein-Uhlenbeck fractionnaires qui apparaissent comme la somme d’une diffusion fractionnaire et d’un transport linéaire. La deuxième classe est celle des opérateurs différentiels quadratiques. L’objectif est de comprendre comment les possibles phénomènes de non-commutation entre les parties autoadjointe et anti-autoadjointe de ces opérateurs permettent aux semi-groupes qu’ils engendrent de jouir de propriétés de régularisation et de décroissance dans certaines directions spécifiques de l’espace des phases que l’on décrit précisément.
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Résumé : La théorie de l'homologie persistante, qui a largement investi le champ de la géométrie algorithmique depuis les années 2000, permet de mettre en application des outils théoriques de la topologie algébrique (en particulier, l'homologie singulière des espaces topologiques). L'homologie persistante permet de répondre au problème d'estimation suivant : étant donné une sous-variété M d'un espace euclidien, et un ensemble fini de points X que l'on suppose proche de la sous-variété, estimer les groupes d'homologie singulière de M à partir de la simple observation de X.
Je commencerai par vous présenter ces invariants de la topologie algébrique, et motiverai leur intérêt dans les mathématiques abstraites comme dans les applications. Je présenterai ensuite l'homologie persistante classique, formalisée dans un cadre algébrique. Enfin, je discuterai quelques extensions de cette théorie, dans le cas où l'observation X contient des points aberrants. |
Résumé : Les expériences de fusion par confinement inertiel ne parviennent pas a produire de quantités substantielles d'énergie en particulier du fait de l'instabilité Raman. Je parlerai de ce phénomène dans le cadre des équations d'Euler-Maxwell, pour lesquelles des résonances de type espace-temps sont responsables de l'instabilité Raman. C'est une étude de type "optique géométrique" qui porte sur le comportement en temps court de solutions rapidement oscillantes de systèmes d'équations aux dérivées partielles quasi-linéaires. Avec Eric Dumas (Grenoble) et Lu Yong (Nanjing). |
Résumé : In this talk, we give a brief explanation of Harris's Theorem that is developed for studying ergodic behaviour of Markov processes.
The approach is based on quantitatively verifying minorisation and geometric drift conditions in order to obtain quantitative estimates on the long-time behaviour of some linear, non-local PDEs. We will see how this method applies to elapsed-time structured neuron populations and growth-fragmentation equations.
This talk is based on joint works with José A. Cañizo (U. Granada) and Pierre Gabriel (U. Versailles).
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Résumé : Dans cet exposé, je présenterai l’étude d’une technique de neuroimagerie: l’électroencéphalographie ou EEG. Ces résultats sont issus d’un projet pluridisciplinaire |
Résumé : When analyzing systems governed by Coulomb-interaction, we are faced with the problem of infinite reach: A localized perturbation has a significant influence over arbitrarily large distances. However, in many physically relevant cases the influence of a perturbation is immediately shielded by the response of the system, and the interaction becomes effectively of short range. This effect is known as Debye screening in plasma physics. The onset of Debye screening has been proved for the Gibbs distribution by Brydges and Federbush. For systems out of equilibrium, mathematically rigorous results are scarce. We prove (exponential) Debye screening for the perturbation induced by a point charge in the nonlinear Vlasov-Poisson system. Joint work with Adolfo Arroyo-Rabasa. |
Résumé : Dans cet exposé, nous montrerons que la solution T_mu du problème du transport optimal entre une densitéde probabilité et une mesure de probabilité mu dépend de manière Hölder de mu, avec un exposant indépendant de la dimension de l'espace ambiant. Ce résultat améliore des théorèmes de stabilité d'Ambrosio-Gigli (cas où mu est une densité régulière) et de Berman (exposant de Hölder dépendant de la dimension). Il a des conséquences en analyse numérique du transport optimal, mais ce travail est surtout motivé par des applications en apprentissage statistique, car il permet de construire un plongement bi-Hölder de l'espace des mesures de probabilités sur un compact de R^d, (muni de la distance de Wasserstein quadratique) dans un espace de Hilbert. Travail en commun avec Alex Delalande et Frédéric Chazal. |
Résumé : On peut associer à certaines équations de Schrödinger non linéaires une mesure de Gibbs invariante basée sur l'énergie conservée. C'est l'ingrédient de base de l'approche Euclidienne en théorie quantique des champs, ainsi que l'asymptote naturelle en temps grand pour l'équation de la chaleur stochastique. Je présenterais une certaine limite de champ moyen reliant ces mesures de Gibbs et le modèle N-corps sous-jacent, le gaz de Bose à température positive. Une difficulté est que la mesure de Gibbs vit sur un espace de distributions non régulières, de telle sorte que la non-linéarité doit se définir via une renormalisation. J'insisterais sur le contrôle de la renormalisation correspondante au niveau du problème N corps. travaux avec Mathieu Lewin et Phan Thành Nam |
Résumé : Ces dernières années, les solutions mesures pour les EDPs, en particulier celles modélisant des populations, ont bénéficié d'une attention grandissante. Cet exposé s'attachera à la présentation d'un résultat récent et original dans ce domaine, que nous avons obtenu avec Pierre Gabriel. D'abord, je présenterai des résultats d'existence, unicité et comportement asymptotique pour deux équations de populations structurées, à la fois dans le cadre L^p et dans le cadre mesure, et introduirai le cas particulier qui nous a intéressé. Ensuite, j'expliciterai la notion de solution que nous avons retenue. Ensuite, je passerai à la preuve en elle-même, et présenterai les principales étapes de la preuve du caractère bien posé, qui repose sur une relation de dualité utilisée pour construire une solution, que l'on exprime sous la forme d'un semigroupe agissant sur une condition initiale. Pour finir, j'entrerai un peu plus dans les détails de la démonstration du résultat en temps long. En particulier, je montrerai comment on a utilisé le théorème ergodique de Harris pour obtenir une "convergence" uniforme exponentielle en norme de la variation totale vers une mesure oscillante. |
Résumé : La théorie des jeux à champ moyen a été introduite par J.-M. Lasry et P.-L. Lions en 2006. L'objectif principal de la théorie est celui de simplifier l'analyse de jeux différentiels stochastiques comportant un grand nombre de joueurs. Dans sa forme la plus simple, un équilibre de jeux à champ moyen est caractérisé par un système d'équations aux dérivées partielles comportant une équation d'Hamilton-Jacobi-Bellman et une équation de Kolmogorov-Fokker-Planck. Dans certains cas particuliers, ledit système correspond au système d'optimalité d'un problème variationnel.
Dans cet exposé, nous ferons un survol de certains résultats théoriques et méthodes numériques qui permettent d'approcher efficacement cette classe d'équilibres.
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Résumé : Les méthodes de validation a posteriori visent à obtenir des théorèmes permettant de décrire précisément certaines solutions de systèmes d’EDO ou d’EDP non linéaires, en se basant sur des simulations numériques. La stratégie générale consiste à combiner des estimations d’erreur a posteriori, l’arithmétique d’intervalles et un théorème de point fixe, appliqué à un opérateur de type quasi-Newton, pour démontrer rigoureusement l’existence d’une vraie solution, dans un voisinage explicite d’une solution numérique obtenue au préalable. Je présenterai un cadre général dans lequel ces méthodes s’appliquent, illustrerai leur potentiel à travers plusieurs exemples allant de la dynamique des populations aux équations de Navier-Stokes, et évoquerai de possibles directions de recherche en lien avec ces nouvelles techniques. |
Résumé : Quand un solide se déplace dans un fluide visqueux, il induit une perturbation de l’écoulement ainsi qu’une force agissant sur le fluide.
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Résumé : Les premiers résultats d'existence de solutions faibles pour les équations de Navier-Stokes compressibles avec une loi de pression de la forme p=rho^gamma furent établis par P.-L. Lions en 1998, qui démontra que dans le cas stationnaire, et en dimension 3 d'espace, de telles solutions existent sous la condition (technique) gamma >5/3. En 2002, Novo et Novotny améliorèrent ce résultat grâce à la méthode des troncatures développée par E. Feireisl, pour atteindre la condition (optimale dans le cadre des solutions faibles) gamma > 3/2. En ce qui concerne les approximations numériques, les seuls résultats de convergence existants jusqu'à récemment font l'hypothèse d'un indice adiabatique gamma > 3. Dans ce travail en commun avec Charlotte Perrin, nous démontrons la convergence des solutions approchées d'un schéma numérique vers une solution faible des équations de Navier-Stokes isentropiques dès lors que gamma > 3/2. On obtient alors une preuve alternative (mais similaire) à celle proposée par Novo et Novotny. A des termes de stabilisation près, le schéma considéré est le schéma numérique sur grille décalées utilisé dans le code industriel Calif3S développé par l'IRSN. Dans cet exposé, après avoir décrit dans les grandes lignes la preuve de Novo et Novotny, je m'attacherai à expliquer comment adapter au cadre discret les résultats d'analyse fonctionnelle utilisés dans la preuve dans le cadre continu (théorie des solutions renormalisées, opérateur de Bogovskii, théorème de compacité de Rellich, compacité du flux visqueux effectif...).
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Résumé : Many multi-species applications can be described by cross-diffusion systems, which are systems of quasilinear parabolic equations. Although the diffusion matrices are generally neither symmetric and nor positive definite, the systems often possess an entropy structure. This means that there exists a change of unknowns such that the transformed diffusion matrix becomes positive semi-definite and defining a Lyapunov functional (entropy). The resulting entropy structure yields a priori estimates needed for the existence analysis. We wish to "translate" this entropy structure to finite-volume discretizations. The main difficulty is to adapt the nonlinear chain rule to the discrete level. In this talk, we present two strategies to define a discrete chain rule, assuming either that the total entropy is the sum of individual entropies or that the entropy describes volume-filling models. Both strategies use suitable mean formulas, based on the mean-value theorem and the convexity of the entropy functional. We prove the existence of finite-volume solutions and the convergence of the numerical scheme. Our assumptions include the Shigesada- Kawasaki-Teramoto population model and the vapor-deposition model for solar panels of Bakhta and Ehrlacher.
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Résumé : Après avoir décrit l'origine des lois de conservations et quelques exemples, on rappellera rapidement les résultats et techniques classiques concernant la résolution du problème de Cauchy homogène. |
Résumé : We consider a family of scalar conservation laws on a star-shaped network and their vanishing viscosity approximations. At the parabolic level the equations are coupled by transmission conditions at the node which do not impose continuity of the unknown. The sequence of approximate solutions converges to a weak solution of the original problem. However the limit differs from the weak solution we obtain when implementing vanishing viscosity with a continuous coupling. The results are part of an ongoing research project in collaboration with B. Andreianov (Tours) and G. M. Coclite (Bari) |
Résumé : Je rappellerai d'abord la notion de flot de gradient et la discrétisation temporelle qu'on peut en faire grâce aux mouvements minimisants (qui donnent lieu à un schéma d'Euler implicite). J'expliquerai ensuite quelles EDP peuvent être obtenues en utilisant dans les mouvements minimisants la distance de Wasserstein, issue du transport optimal. Le schéma discret correspondant est maintenant appelé schéma de Jordan-Kinderlehrer-Otto. En le regardant dans le cas le plus simple,celui de l'équation de Fokker-Planck avec diffusion linéaire et un drift de type gradient, je monterai une estimation sur la constante de Lipschitz de la solution (ou plutôt de son logarithme). Je terminerai l'exposé en expliquant les conséquences de cette estimation sur le coût computationnel de certaines méthodes numériques et en mentionnant des problèmes connexes où ces estimations ne sont pas (encore) connues. |
Résumé : Intermittency is a property observed in turbulence and, in some sense, it represents how much real turbulence diverges from Kolmogorov's K41 theory. It is usually measured using the so-called flatness, based on structure functions in the physical space but also on Fourier high-pass filters. In experiments, the two approaches often give different measurements. After presenting these concepts, I will talk about the similarities and differences between these two flatnesses from an analytical point of view. To do so, I will compare them using Riemann's non-differentiable function, which has been related to turbulence, the multifractal formalism and the motion of vortex filaments before. This work follows the trend of "mathematizing" turbulence, and is in collaboration with Alexandre Boritchev and Victor Vilaça da Rocha.
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Résumé : Dans cet exposé, après avoir énoncé un résultat concernant l’unicité et la non-dégénérescence des solutions radiales positives d’une classe d’équations elliptiques semi-linéaires, je m’intéresserai au cas particulier d’une équation de Schrödinger avec une non-linéarité donnée par une différence de puissances, i.e. $g(u)=u^q-u^p-mu u$ pour $p>q>1$ et |
Résumé : In this talk I will present several techniques and concepts used in the context of the mean-field and the semiclassical limit allowing to go from the quantum models to the classical mean-field equations of kinetic theory. |
Résumé : States of matter (such as solid, liquid, etc) are characterized by different types of order associated with local invariances under different transformation groups. Recently, a new notion of topological order, popularized by the 2016 physics nobel prize awarded to Haldane, Kosterlitz and Thouless, has emerged. It refers to the global rigidity of the system arising in some circumstances from topological constraints. Topologically ordered states are extremely robust i.e. « topologically protected » against localized perturbations. Collective dynamics occurs when a system of self-propelled particles organizes itself into a coherent motion, such as a flock, a vortex, etc. Recently, the question of realizing topologically protected collective states has been raised. In this work, we consider a system of self-propelled solid bodies interacting through local full body alignment up to some noise. In the large-scale limit, this system can be described by hydrodynamic equations with topologically non-trivial explicit solutions. At the particle level, these solutions persist for a certain time but eventually, for some of them, decay towards a topologically trivial state, due to the noise induced by the stochastic nature of the particle system. We numerically analyse these topological phase transitions and investigate to what extent topologically non-trivial states are ‘protected’ against perturbations. To our knowledge, it is the first time that a hydrodynamic model guides the design of topologically non-trivial states of a particle system and allows for their quantitative analysis and understanding. In passing, we will raise interesting mathematical questions underpinning the analysis of collective dynamics systems. |
Résumé : This talk is based on a joint work with Havva Yoldas. We discuss the run and tumble equation for bacterial chemotaxis and our upcoming work showing convergence to equilibrium for this equation via Harris's theorem. I will spend some time discussing how the problem of long time behaviour for the linear run and tumble equation is both similar to, and very different from other kinetic equations. In particular, we can contrast the run and tumble equation to linear BGK equation. We also discuss the challenges inherent in the unusual mechanism for confinement in this model namely the fact that the bacteria jump faster when travelling away from high concentrations of chemoattractant than when travelling towards them. |
Résumé : I will present an application of semi-discrete optimal transport theory to simplified models of large-scale rotational flows (weather). In particular, I will discuss the 3D semi-geostrophic equation and the 2D Eady model.
The 3D semi-geostrophic equation is used by researchers at the Met Office in the UK to diagnose problems in simulations of more complicated weather models. It has also attracted a lot of attention in the applied analysis community, e.g., Alessio Figalli's work on the semi-geostrophic equation is listed in his Fields Medal citation. In this talk I will discuss the semi-geostrophic equation in geostrophic coordinates (SG), which is a nonlocal transport equation, where the transport velocity is defined via an optimal transport problem, or equivalently a Monge-Ampère equation. Using recent results from semi-discrete optimal transport theory, we give a new proof of the existence of weak solutions of SG. The proof is constructive and leads to an efficient numerical method. We illustrate this numerical method by using it to solve the closely related 2D Eady model. By quantizing the initial data, the nonlocal transport equation is approximated by a nonlocal interacting particle system, which can be solved using a standard ODE solver coupled with a semi-discrete optimal transport solver to evaluate the velocity field in the ODE at every time step. Our simulations agree well with simulations of the full incompressible Euler-Boussinesq system, and they demonstrate that the Eady model is capable of predicting weather fronts. The problem of approximating the initial data for the Eady model by a discrete density with the same energy leads to an interesting constrained quantization problem. This is joint work with Charlie Egan and Beatrice Pelloni (Heriot-Watt University and the Maxwell Institute for Mathematical Sciences), Mark Wilkinson (Nottingham Trent University), Steven Roper (University of Glasgow), Colin Cotter (Imperial College London) and Mike Cullen (Met Office). |
Résumé : Dans le cadre du stockage souterrain en site profond des déchets nucléaires, solution choisie par la France, des déchets à vie longue sont collectés dans des containers d’acier et stockés dans un milieu aqueux. Une modélisation fine de la corrosion de l’acier est alors nécessaire, à la fois pour anticiper sa dégradation, et surtout pour anticiper la production de dihydrogène issue de la réaction chimique. Dans cet exposé, on s’intéresse à l’évolution de la couche d’oxyde (magnétite) à la surface d’un bloc d’acier plongé dans un milieu aqueux. Des porteurs de charges (cations ferriques, électrons et lacunes d’oxygènes) se déplacent dans la structure cristalline de l’oxyde et s’échangent avec la solution et le métal, faisant évoluer la géométrie de la couche d’oxyde et sa composition dans le temps. Nous proposons un modèle unidimensionnel de type Nernst-Planck-Poisson permettant de modéliser l’évolution de la couche d’oxyde au cours du temps en faisant attention à ce que le modèle encode le second principe de la thermodynamique, contrairement au modèle référence de l’état de l’art. Dans le cas simplifié ou l’on néglige le déplacement des lacunes d’hydrogène (et donc l’évolution géométrique de la couche d’oxyde), nous montrons l’existence d’une solution à notre modèle. L’analyse s’appuie sur la décroissance de l’énergie libre au cours du temps, ainsi que sur des bornes uniformes obtenues par itérations de Moser. |
Résumé : Les équations d’agrégation-diffusion modélisent de nombreux phénomènes, notamment en astrophysique et en biologie (chimiotactisme). Il s’agit d’un travail en collaboration avec P.Biler et G.Karch (Wroclaw) et Ph.Laurençot (Toulouse) : |
Résumé : On considère une équation d'évolution non-linéaire et non-locale généralisant l'équation des milieux poreux classique.
Une construction de solutions du problème de Cauchy est présentée, ainsi qu'une famille de solutions explicites, à support compact, qui ressemblent à des solutions de Barenblatt. |
Résumé : In a short introduction, I will explain what is cross diffusion, physical phenomenons producing these systems, an example of these systems and a few key mathematical challenges and results. Then I will illustrate the key ideas of the discretization and numerical analysis of the example presented in the introduction in a simplified setting. After that, I intend to provide a brief explanation on how these techniques should be adapted to the full system. If there is enough time, I would like to give a brief overview on a way to couple distinct possibly non-smooth physical phenomena in a thermodynamically consistant way. |
Résumé : Les structures plasmoniques sont habituellement composées de métaux et de matériaux diélectriques. Aux fréquences optiques, les propriétés optiques des métaux deviennent remarquables (permittivitié de partie réelle négative), ce qui permet la propagation d'ondes électromagnétiques très oscillantes à l'interface métal-diélectrique. Ces ondes sont appelées plasmons de surface, et ce phénomène hyper-oscillant (sous-longueur d'onde) est d'autant plus fort en présence de coins ou pointes. En conséquence, les méthodes numériques standards ne parviennent pas à capturer ces comportements multi-échelle. Dans cet exposé nous présentons quelques méthodes (à base d'éléments finis ou de méthodes d'équations intégrales) pour calculer de façon efficace le champ proche pour des problèmes de diffraction 2D dans des structures plasmoniques. |
Résumé : We make a connection between a famous analytical object introduced in the 1860s by Riemann, as well as some variants of it, and a nonlinear geometric PDE, the binormal curvature flow. As a consequence this analytical object has a non-obvious non- linear geometric interpretation. We recall that the binormal flow is a standard model for the evolution of vortex filaments. We prove the existence of solutions of the binormal flow with smooth trajectories that are as close as desired to curves with a multifractal behavior. Finally, we show that this behavior falls within the multifractal formalism of Frisch and Parisi, which is conjectured to govern turbulent fluids.
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Résumé : Les propriétés spectrales des opérateurs de Schrödinger décrivant les propriétés d'électrons dans des cristaux peuvent être calculées par la théorie de Bloch-Floquet, qui exprime les quantités d'intérêt comme des intégrales sur la zone de Brillouin de propriétés spectrales d'un opérateur de Schrödinger paramétré. Cet opérateur paramétré est posé sur la cellule unité du cristal et non plus sur tout l'espace, ce qui permet des schémas numériques très efficaces. Je présenterai une analyse numérique des méthodes utilisées pour calculer ces intégrales en physique de la matière condensée, et traiterai en particulier le cas des métaux, qui présentent des difficultés de convergence particulières. Travail commun avec E. Cancès, V. Ehrlacher, D. Gontier et D. Lombardi. |
Résumé : Magneto-Optical Traps (MOT) are experimental devices used to trap cold atoms. The mathematical modeling of such devices involves the Vlasov-Poisson(-Fokker-Planck) system with an external potential. We can identify physically relevant regimes which allow us to replace this equation by a model of macroscopic nature. The analysis relies on the derivation of the Incompressible Euler system from the Vlasov equation in the quasi-neutral regime by Y. Brenier and N. Masmoudi. However, by contrast to these cases studied on the torus or with infinite charge, here, the strong external field governs the shape of the domain on which the limit equation is posed. The discussion of these phenomena has unexpected connections with the analysis of the obstacle problem. This is a joint work with J. Barré (Univ. Orl\'eans), D. Chiron (Univ. Côte d'Azur) and N. Masmoudi (CIMS-NYU). |
Résumé : L'ablation partielle du foie (hépatectomie partielle) est une chirurgie qui intervient dans le traitement des lésions du foie ainsi que lors d'une transplantation partielle de foie (donneur vivant). Grâce à la capacité de régénération du foie, quelques mois après la chirurgie il retrouve sa masse initiale. Les liens entre hémodynamique du foie, le volume de l’organe, ses fonctions et la capacité de régénération restent à élucider pour mieux appréhender les causes des complications survenant après une hépatectomie partielle. Dans ce contexte, un modèle basé sur un couplage entre EDP et ODE représentant la circulation sanguine et permettant de simuler la chirurgie sera présenté. Les résultats des simulations sont comparés à des mesures faites chez le porc lors d’hépatectomie de 75%. Le schéma numérique est choisi pour être bien adapté aux phénomènes considérés.
Dans une seconde partie, nous chercherons à expliquer la variabilité interindividuelle observée lors d’une réponse immunitaire des cellules T-CD8. Le but est d’expliquer les mesures obtenues par nos collaborateurs immunologistes du Centre International de Recherche en Infectiologie (CIRI, Lyon), en combinant des modèles mécaniques décrivant les différentes phases de la réponse immunitaire avec des modèles non-linéaires à effets mixtes. |
Résumé : Dans cette présentation, nous nous intéressons à des questions d'invisibilité et de réflexion totale dans des guides d'ondes acoustiques à section transverse bornée. Plus précisément, nous présentons deux approches permettant de construire des géométries pour lesquelles les coefficients de réflexion ou de transmission sont nuls à fréquence donnée. Puis, dans un second temps, nous proposons une méthode spectrale, basée sur des techniques de dilatation analytique, pour déterminer, à géométrie donnée, les fréquences pour lesquelles le guide est non-réflexif. |
Résumé : Introduites en1984 par Y. Nesterov, les accélérations pour la descente de gradient et ses dérivées dans un cadre structuré et non différentiable (basées sur l’opérateur proximal) ont démontré leur efficacité en optimisation et en traitement d’images. Nous proposons d’en donner une interprétation physique et de faire le lien entre ces schémas inertiels avec l’étude qualitative de solutions d’EDO et d’inclusions différentielles. Nous montrerons comment des fonctions de Lyapunov permettent de démontrer les vitesses d’accélération de telles méthodes.
Ses travaux ont été menés en collaboration avec Charles Dossal (IMT, INSA) et Vassilis Apidopoulos (IMB, Université Bordeaux). |
Résumé : Le problème du transport branché consiste à connecter deux mesures de même masse en minimisant un coût qui est proportionnel à L m^α si l'on veut déplacer une masse m sur une distance L. J'introduirai la théorie du transport branché et la fonction paysage, essentielle à l'étude de problèmes variationnels qui y sont liés. Je m'intéresserai en particulier à la question suivante : quel est l’ensemble de volume un qui s’irrigue le mieux à partir d’une source ponctuelle située à l’origine, au sens du transport branché ? Cette question donne lieu à un problème d'optimisation de forme dont les solutions peuvent être considérées comme des sortes de « boule unité » pour le transport branché. La régularité β-Hölder de la fonction paysage permet d’obtenir une borne supérieure sur la dimension du bord, qui est non-entière et conjecturée comme étant la dimension exacte du bord. Je présenterai une première approche pour calculer numériquement une forme optimale approchée, utilisant une adaptation de l’approximation par champs de phase du transport branché introduite il y a quelques années par Oudet et Santambrogio, ainsi que quelques simulations numériques. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Q. Xia et F. Santambrogio. |
Résumé : We consider spreading properties of a competition-diffusion system of two equations. This system models the invasion of an empty favorable habitat, by two competing species, each obeying a logistic growth equation, such that any coexistence state is unstable. If the two species are initially absent from the right half-line x > 0, and the slowest one dominates the fastest one on x < 0, then the latter will invade the right space at its Fisher- KPP speed, and will be replaced by or will invade the former, depending on the parameters, at a slower speed. Thus, the system forms a propagating terrace, linking an unstable state to two consecutive stable states. |
Résumé : Le système d'Euler-Korteweg est une perturbation des équations d'Euler compressibles usuelles, incluant des effets de capillarité qui se manifestent dans l'équation de moment comme un terme dispersif d'ordre trois.
L'existence globale de "solutions dispersives" à petites données a été prouvée récemment (A-Haspot) en dimension au moins trois, pour de telles solutions la dynamique linéaire domine. L'objectif de cet exposé est de parler d'une dynamique opposée, ici l'existence de solitons de petite amplitude en dimension deux, qui est un comportement purement non-linéaire. |
Source : Indico - Math évènementiel - GDS Mathrice |