Institut Camille Jordan

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Les semi-groupes non-conservatifs apparaissent naturellement dans plusieurs contextes différents (EDP linéaires, processus de Markov absorbé, processus de branchement, grandes déviations...).

Leur comportement en temps long peut être décrit par leur plus grande valeur propre et les vecteurs propres associés; ainsi que par le trou spectral.

Dans cet exposé, nous décrirons des méthodes simples (basées sur une généralisation de la notion d'irréductibilité pour les chaînes de Markov) pour avoir l'existence de ces éléments et la convergence du semi-groupe dans une distance en variation totale (i.e. L^1) à poids.

Ce travail est en collaboration avec V. Bansaye, P. Gabriel et A. Marguet.

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Motivés par la propagation d'ondes internes dans un océan stratifié, on regardera les équations d'Euler à densité variable dans une bande horizontale plate et étudierons l'évolution de perturbations de l'équilibre hydrostatique. Grâce à une décomposition modale associée à un opérateur de Sturm-Liouville donné par la stratification à l'équilibre, nous mettrons en évidence un phénomène de mélange dispersif lorsque la fréquence de Brünt-Vaisälä n'est pas constante (c-à-d lorsque la stratification à l'équilibre n'est pas exponentielle). Dans le cadre plus particulier de perturbation de grandes longueurs d'onde, nous montrerons comment étendre l'analyse modale au cas nonlinéaire. Nous montrerons en particulier un phénomène de mélange des modes de nature nonlinéaire, différent donc de celui mentionné précédemment. On terminera par quelques vagues considérations sur la "limite de stratification rapide" censée être décrite par des modèles bi-fluides.

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Le flot binormal est un modèle pour la dynamique d'un tourbillon filamentaire dans un fluide 3-D incompressible non-visqueux. Ce flot est également relié au modèle de Heisenberg continu classique, et à l'équation de Schrödinger. Après avoir décrit ce modèle, je vais présenter une classe de solutions qui génèrent des singularités en temps fini. En particulier, je vais mettre en évidence une énergie conservée en temps sauf au moment de l'apparition des singularités, où elle présente un saut. Interprétée au niveau de la mécanique des fluides, cette énergie fait intervenir les grands modes de Fourier de la variation de la direction de vorticité. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Luis Vega.

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La méthode de De Giorgi permet de montrer la régularité höldérienne des solutions d’équations elliptiques et paraboliques. Dans le cas elliptique, la preuve est entièrement quantitative mais dans le cas parabolique, il semble rester une étape non quantitative: le lemme des valeurs intermédiaires. Dans cet exposé, nous présenterons une version quantitative de ce lemme après avoir introduit les différentes étapes de la méthode de De Giorgi.

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La convection de Bénard-Rayleigh est un des problèmes classiques en hydrodynamique, bien connu pour avoir des solutions ayant des structures particulières (rouleaux, hexagones, rectangles). Nous étudions ici la formation de joints de grains, une classe de défauts apparaissant entre rouleaux ayant des orientations différentes. Le problème mathématique consiste à résoudre les équations de Navier-Stokes, pour la vitesse du fluide, couplées avec une équation pour la température dans l'approximation de Boussinesq. Notre analyse repose sur des méthodes de la théorie des bifurcations locales et des systèmes dynamiques.

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Le résumé peut être téléchargé ici

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Dans cet exposé, je présenterai des résultats obtenus avec Maxime Herda (INRIA Lille) et Thomas Rey (Univ. Lille). Nous nous intéressons à la discrétisation d'une équation cinétique linéaire en 1D, avec un opérateur de collision de type Fokker-Planck linéaire ou BGK linéarisé. Nous prouvons d'une part le caractère "Asymptotic Preserving" à la limite de diffusion de notre schéma, et d'autre part le retour exponentiel vers l'équilibre maxwellien, uniformément dans la limite de diffusion. Ce caractère hypocoercif est obtenu en adaptant au cadre discret les résultats de Dolbeault, Mouhot et Schmeiser (2015).

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Je présenterai un système d'équations différentielles stochastiques, avec 3 composantes et dépendant de 2 petits paramètres, modélisant la formation de disques protoplanétaires.

On s'intéressera à l'analyse asympotique de ce système, dans différents régimes.

Travail en collaboration avec Guillaume Laibe et Maxime Lombart (CRAL-ENS Lyon).

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Après avoir rappelé l'origine du problème, le but de l'exposé sera de présenter une preuve alternative de la stabilité asymptotique d'équilibres spatialement homogènes pour des perturbations localisées d'équations de Vlasov posées dans l'espace entier.

La preuve originale due à Bedrossian-Mouhot-Masmoudi, est inspirée de la preuve du Landau damping pour des solutionspériodiques et utilise les propriétés dispersives du transport libre en Fourier.

On présentera une approche basée sur la méthode des caractéristiques et une étude des propriétés dispersives du linéarisé dans l'espace physique.

(collaboration avec D. Han-Kwan (Polytechnique) et T. Nguyen (Penn-State))

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De nombreux progrès ont été effectués ces dernière années 
concernant la modélisation des transformations non-linéaires de 
vagues en zone littorale. Je ferai un tour d’horizon des 
principaux modèles développés, incluant les modèles à vorticité 
et interactions vagues-courants et présenterai les dernières 
formulations discrètes de type éléments-finis DG-HDG avec 
stabilisation par Finite-Volume sub-cells développées pour ces 
modèles.

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We introduce a new methodology based on the multirevolution idea for constructing integrators for stochastic differential equations in the situation where the fast oscillations themselves are driven by a Stratonovich noise. Applications include in particular highly-oscillatory Kubo oscillators and spatial discretizations of the nonlinear Schrödinger equation with fast white noise dispersion. We construct a method of weak order two with computational cost and accuracy both independent of the stiffness of the oscillations. A geometric modification that conserves exactly quadratic invariants is also presented.

This is a joint work with Gilles Vilmart. The preprint is available at http://www.unige.ch/~alaurent

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Dans ce travail en collaboration avec Franck Sueur,
nous nous intéressons aux solutions faibles des équations
de Landau-Lifshitz du ferromagnétisme. Le thème général
est "égalité ou inégalité d'énergie ?".
Nous prouvons tout d'abord un résultat d'unicité fort-faible.
Ensuite, nous donnons des conditions suffisantes sur la
régularité de la solution pour que la "dissipation anormale"
s'annule.
On peut interpréter ces résultats par une analyse dimensionnelle
semblable à celle qui a mené à la conjecture d'Onsager en
mécanique des fluides.

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Il est bien connu qu'une interface avec discontinuité de vitesse (du son, de l'onde sismique...) réfléchit une onde incidente, ce qui est la manière de détecter cette interface.

Une telle réflection est aussi possible si la vitesse est continue, et qu'une de ses dérivées présente un saut (y compris une dérivée fractionnaire, c'est à dire un modèle où la différence des vitesses au voisinage de z=0 est proportionnel à z_+^alpha)
Elle nécessite une bonne définition des ondes transmises.
Le but de l'exposé est de définir correctement dans un milieu à coefficients variables une onde transmise et en déduire la valeur, à haute fréquence, pour tout angle d'incidence qui ne correspond pas à une incidence rasante, le coefficient (ou la matrice de coefficients) de réflexion. Ceci sera étudié dans un modèle d'ondes et un dans un modèle d'élasticité linéaire

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Lors de simulations numériques d'écoulements de particules dans un fluide de Stokes, se pose inévitablement la question de la gestion des interactions entre particules proches. En effet, quand deux solides se rapprochent, les champs de vitesse et de pression sont singuliers et il devient difficile de les approcher numériquement. Or, la bonne prise en compte de ces interactions est primordiale, tant d'un point de vue physique que numérique. Par ailleurs, les expérimentateurs ont besoin de résultats de plus en plus précis, prenant en particulier en compte l'effet de ces interactions sur la totalité du champ fluide. La méthode que nous proposons ici consiste à résoudre le problème fluide/particules en le décomposant en deux sous problèmes : un problème singulier (quand les distances inter-particulaires tendent vers zéro) et un problème régulier. La partie singulière du champs est supposée connue et le problème initial se ramène alors à résoudre un problème régulier. Une première approche avait été proposée, dans laquelle le champs singulier était tabulé. Nous proposons ici une nouvelle méthode, basée sur un développement asymptotique du champs singulier. Cette méthode permet de prendre en compte les effets de la lubrification sur les champs de vitesse et de pression dans tout le domaine et permettent la prise en compte de particules de formes quelconques. Afin de présenter la méthode, on se concentre ici sur un problème jouet en deux dimensions d'espace. Nous présentons des résultats numériques basés sur une discrétisation éléments finis.

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Dans cet exposé nous présentons l'étude du comportement asymptotique d'une équation quasi-linéaire dans un domaine périodiquement perforé, avec une donnée dans L^1 et avec des conditions de type Robin non linéaire sur le bord des trous.

La donnée étant peu régulière, nous utilisons la notion de solution renormalisée. Quand la taille des trous tend vers 0, nous décrivons le comportement asymptotique de la solution renormalisée, à l'aide de la méthode de l'éclatement périodique. La principale difficulté vient du manque de régularité de la solution, qui n'appartient pas à H^1 en général, et de termes non linéaires dans la formulation renormalisée. En travaillant sur les tronquées, qui appartiennent à H^1 et sur le problème "éclaté" nous passons à la limite et nous obtenons un problème "éclaté" renormalisé ainsi qu'un problème homogénéisé renormalisé.

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We introduce the optimal transportation interpretation of the Kantorovich norm on the space of signed Radon measures with finite mass, based on a generalized Wasserstein distance for measures with different masses. With the formulation and the new topological properties we obtain for this norm, we prove existence and uniqueness for solutions to non-local and non-linear transport equations with source terms, when the initial condition is a signed measure.

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On s'intéresse au mouvement d'un plasma, c'est-à-dire ici d'un fluide soumis à l'influence d'un champ magnétique. Le système est décrit par les équations dites de la magnéto-hydrodynamique. En l'absence de champ magnétique, les flots de cisaillement sont sujets aux instabilités dites de Kelvin-Helmholtz. Nous verrons comment les forts sauts de champ magnétique permettent de stabiliser ces flots de cisaillement en étudiant notamment leur stabilité vis-à-vis de petites perturbations fortement oscillantes. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Olivier Pierre.

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Dans cette présentation, nous présenterons une nouvelle façon de corriger les méthodes Galerkin Disontinu (GD) dans le cadre des lois de conservation hyperboliques. Cette correction repose sur une formulation Volumes Finis (VF) de sous-mailles, ce qui rend cette technique très simple à appréhender, tout en préservant la très grande précision des méthodes GD à l'intérieur des mailles.
À cette fin, il nous faudra tout d'abord réécrire les schémas GD comme des schémas VF sur un sous maillage sous réserve de la définition de flux numériques très spécifiques que l'on nommera "flux reconstruits". Cette partie théorique nous fournira tous les éléments nécessaires à la construction de notre correction.
En pratique, à chaque pas de temps, une solution non-limitée GD candidate est calculée, puis analysée pour savoir si cette dernière est admissible au vu de certains critères à définir (positive, non-oscillante, entropique, ...). Si c'est le cas, nous avançons en temps. Dans le cas contraire, la solution numérique serait recalculée localement à l'intérieur de la maille et seulement dans les sous-mailles problématiques, par l'utilisation d'un flux reconstruit corrigé. Cette technique nous permet de modifier la solution numérique localement à l'échelle de la sous-maille sans impacter la solution ailleurs dans la maille; ce qui rend cette correction extrêmement précise.
Nous présenterons, dans le cas 1D et 2D sur maillages cartésiens, des résultats numériques illustrant la très grande performance de la technique développée.
 

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On commencera par rappeler la théorie de Doeblin pour les systèmes conservatifs (semi-groupes de Markov) ainsi que le théorème de Harris qui la généralise via l'utilisation d'une fonction de Lyapunov. On présentera ensuite une méthode de renormalisation qui permet l'extension de ces méthodes à des systèmes non conservatifs. Les résultats obtenus sont de type Krein-Rutman / Perron-Frobenius avec stabilité exponentielle de la mesure invariante. Ils s'appliquent particulièrement bien aux EDP de dynamique des populations, qui sont naturellement non-conservatives.

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L’équation de Cahn-Hilliard a été introduite en 1958 pour modéliser la séparation de phases dans des matériaux binaires. Elle a ensuite été généralisée en 2007 par A. Bertozzi & al. pour la retouche d’images binaires (noir et blanc). Je présenterai les principaux résultats théoriques associés à cette équation ainsi que des exemples numériques d’application à la retouche d’image. Puis je proposerai deux généralisations ce modèle pour l’appliquer à la retouche d’images colorées ou en dégradé de gris.

 

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Cet exposé traite de la modélisation d'écoulements compressibles faisant intervenir un liquide, sa vapeur et un gaz.
Le gaz et la vapeur forment un mélange parfaitement miscible, qui est lui-même immiscible avec le liquide.
Ces hypothèses de modélisation se traduisent en contraintes mixtes sur les volumes de chacune des phases.
L'étude de l'équilibre thermodynamique du mélange, à l'aide d'outils d'analyse convexe, nous permet de caractériser l'entropie du système et ses propriétés.
On retrouve notamment que la vapeur et le gaz satisfont la loi de Dalton.
On s'intéresse ensuite à la dynamique du fluide, décrite par un système de type Euler.
En s'appuyant sur le formalisme thermodynamique et la structure entropique vus en première partie, on étudie les fermetures du système et son hyperbolicité.
On dérivera pour finir un système de relaxation associé.

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L'objet est de présenter des résultats récents obtenus avec Maxime Herda :

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01885015v1

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Mathematical models of  pattern formation arising in processes
described by a system of a single reaction-diffusion equation coupled
with ordinary differential equations will be discussed. In such
models, a certain natural (autocatalysis) property of the system leads
to the instability of all inhomogeneous stationary solutions. In this
talk, I will also explain   that space inhomogeneous solutions of
these models become unbounded in either finite or infinite time, even
if space homogeneous solutions are bounded uniformly in time.
These are  results obtained jointly with Anna Marciniak-Czochra from
Heidelberg University Kanako Suzuki from Ibaraki University.

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Existence of global in time radially symmetric solutions is studied for "large" initial data.
Criteria for blowup of solutions in terms of Morrey norms are derived.

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The construction of efficient iterative solvers for the time-harmonic 
Maxwell equations at high-frequency is a challenging problem. Some of 
the difficulties that arise are similar to those encountered in the case 
of the Helmholtz equation. Here we investigate how two-level domain 
decomposition preconditioners recently proposed for the Helmholtz 
equation work in the Maxwell case, both from the theoretical and 
numerical points of view.

We develop a new theory for the time-harmonic Maxwell equations with 
absorption, which physically corresponds to the case of dissipative 
materials with non zero conductivity. This theory provides rates of 
convergence for GMRES with a two-level overlapping Additive Schwarz (AS) 
preconditioner, explicit in the wavenumber, the absorption, the 
coarse-grid diameter, the subdomain diameter and the overlap size.
In particular, if the absorption is large enough, and if the subdomain 
and coarse mesh diameters are chosen appropriately, GMRES preconditioned 
with the two-level domain decomposition preconditioner converges in a 
wavenumber-independent number of iterations.

Extensive large scale numerical experiments are carried out not only in 
the setting covered by the theory, but also for the time-harmonic 
Maxwell equations without absorption, and with more efficient two-level 
preconditioners, considering for instance impedance transmission 
conditions at interfaces between subdomains.
The numerical results include an example arising from microwave medical 
imaging for the detection of  brain strokes, which shows the robustness 
of the preconditioner against heterogeneity.

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Dans ce travail nous nous intéressons à un problème classique de mécanique des fluides mettant en jeu un écoulement de fluide parfait irrotationnel et incompressible autour d’un obstacle, en présence d’une surface libre. Le sillage de vagues généré en aval engendre une force de résistance à l’avancement qui dépend de la vitesse du courant ainsi que de la forme de l’obstacle. Le problème de Neumann-Kelvin permet de rendre compte assez simplement de ce phénomène pour envisager d’utiliser des méthodes d’optimisation de formes afin de minimiser cette résistance de vagues en jouant sur la forme de l’obstacle. Nous introduirons une méthode numérique basée sur une représentation de la forme par des fonctions level-set, particulièrement bien adaptée pour l’optimisation de formes.

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Résumé : Mean field particle systems are a common model for chemical reactions in well mixed containers. Molecules (and ions, . . . ) are modelled as particles and jumps model reactions in which atoms are reorganised into new molecules. The model is then a family of Markov processes indexed by V > 0, which may heuristically be understood as size of the well mixed container. One studies the empirical measure of the particle system, which should be identified with the concentration vector. In the work reported here we study reaction fluxes and not just concentrations under assumptions which include classical mass action chemical kinetics. The reaction fluxes are the (rescaled) reaction counts and so the initial condition and the fluxes imply the state of the particle system, but they contain more information since multiple sequences of reactions may produce the same change in concentrations.

Résumé : In this talk I will present a unified approach for the effect of fast rotation and dispersion as an averaging mechanism for, on the one hand, regularizing and stabilizing certain evolution equations, such as the Navier-Stokes and Burgers equations. On the other hand, I will also present some results in which large dispersion acts as a destabilizing mechanism for the long-time dynamics of certain dissipative evolution equations, such as the Kuramoto-Sivashinsky equation. In addition, I will present some new results concerning two- and three-dimensional turbulent flows with high Reynolds numbers in periodic domains, which exhibit ``Landua-damping" mechanism due to large spatial average in the initial data.

Résumé : La nanophotonique est la branche de la physique dédiée à la compréhension et l'utilisation des phénomènes issus de l'illumination de matériaux nanostructurés. L'exaltation et la focalisation remarquables de la lumière qui peuvent être obtenues dans ce contexte est une brique de base pour beaucoup d'applications. Pour certaines configurations d'étude, les expérimentateurs se reposent notamment sur les simulations numériques avant d'envisager tout processus de fabrication coûteux. Il en est de même des physiciens qui essaient de décortiquer et de comprendre les divers phénomènes. Les petites échelles, les géométries complexes et les caractéristiques des matériaux mis en jeu en font un problème particulièrement stimulant du point de vue numérique. Nous proposons dans ce travail de nous concentrer sur une famille de modèles adaptés à ce contexte. Ces derniers sont des modèles de dispersion basés sur des couplage linéaires des équations de Maxwell avec d'autres EDO ou EDP décrivant la polarisation des matériaux. Pour ces équations d'évolution, nous essaierons de nous intéresser à toute l'échelle d'étude : des aspects théoriques des modèles, en passant par la formulation d'algorithmes de résolution numérique adaptés aux problématiques (ici dans le cadre d'une discrétisation de type éléments finis discontinus), jusqu'aux simulations numériques efficaces sur des cas tests réalistes.

Résumé : La conservation de propriétés géométriques, comme par exemple la symplecticité du flot pour les systèmes hamiltoniens, se révèle souvent essentielle pour une intégration numérique précise en temps long des équations différentielles, et c'est le but de l'intégration numérique géométrique. Dans cet exposé, on présente le rôle que certains outils de l'intégration numérique géométrique initialement introduits dans un cadre déterministe peuvent jouer pour la construction de nouveaux intégrateurs d'ordre élevé pour échantillonner la distribution invariante d'équations différentielles stochastiques ergodiques (ordinaires ou aux dérivées partielles). On verra en particulier comment les équations différentielles modifiées et les techniques de processing permette d'atteindre un ordre élevé de convergence pour un surcoût négligeable. Travaux en collaboration avec Assyr Abdulle (EPF Lausanne), Charles-Edouard Bréhier (Univ. Lyon), David Cohen (Univ. Umea), et Kostas Zygalakis (Univ. Edinburgh).

Résumé : On s’intéresse dans cet exposé à l’analyse des couches limites numériques développées par les schémas aux différences finies généraux, i.e. à plusieurs pas de temps et d’espace. Le cadre d’étude est celui de l’équation de transport linéaire posée sur la demi-droite réelle avec une condition de bord numérique de Dirichlet homogène. Sous des hypothèses naturelles de stabilité pour le problème de Cauchy discret et de dissipativité au bord, on obtient une estimation de semi-groupe discrète, compatible à la limite avec celle de la solution du problème aux limites hyperbolique. Travail commun avec J.-F. Coulombel.

Résumé : On étudie une famille d'énergies définies pour des fonctions $u:\Omega\subset \R^2\to\R_+$ pour lesquelles si $u$ est régulière on a \[ E(u)=0\ \Leftrightarrow\ (\pt_x u) (\pt_y u) \equiv 0. \] On considèrera aussi des généralisations aux dimensions supérieures $\Omega\subset \R^{n_1}\times\R^{n_2}$.

Résumé : In this work, we consider the development of implicit explicit total variation diminishing (TVD) methods (also termed SSP: strong stability preserving) for the compressible isentropic Euler system in the low Mach number regime. The scheme proposed is asymptotically stable with a CFL condition independent from the Mach number and it degenerates, in the low Mach number regime, to a consistent discretization of the incompressible system. Since it has been proved by Gottlieb, Tadmor and Shu in 2001 that implicit schemes of order higher than one cannot be TVD (SSP), we construct a new paradigm of implicit time integrators by coupling first order in time schemes with second order ones in the same spirit as highly accurate shock capturing TVD methods in space. For this particular class of schemes, the TVD property is first proved on a linear model advection equation and then extended to the isentropic Euler case. The result is a method which interpolates from the first to the second order both in space and time, which preserves the monotonicity of the solution, highly accurate for all choices of the Mach number and with a time step only restricted by the non stiff part of the system. One and two dimensional test cases showing that the method indeed possesses the claimed properties are also presented. This is a joint work with G. Dimarco (Ferrara), R. Loubère (Bordeaux) and M.-H. Vignal (Toulouse).

Résumé : Le système d'Euler-Korteweg est une perturbation des équations d'Euler compressibles usuelles, incluant des effets de capillarité qui se manifestent dans l'équation de moment comme un terme dispersif d'ordre trois. L'existence globale de "solutions dispersives" à petites données a été prouvée récemment (A-Haspot) en dimension au moins trois, pour de telles solutions la dynamique linéaire domine. L'objectif de cet exposé est de parler d'une dynamique opposée, ici l'existence de solitons de petite amplitude en dimension deux, qui est un comportement purement non-linéaire.

Résumé : We consider spreading properties of a competition-diffusion system of two equations. This system models the invasion of an empty favorable habitat, by two competing species, each obeying a logistic growth equation, such that any coexistence state is unstable. If the two species are initially absent from the right half-line x > 0, and the slowest one dominates the fastest one on x < 0, then the latter will invade the right space at its Fisher- KPP speed, and will be replaced by or will invade the former, depending on the parameters, at a slower speed. Thus, the system forms a propagating terrace, linking an unstable state to two consecutive stable states.

Résumé : Magneto-Optical Traps (MOT) are experimental devices used to trap cold atoms. The mathematical modeling of such devices involves the Vlasov-Poisson(-Fokker-Planck) system with an external potential. We can identify physically relevant regimes which allow us to replace this equation by a model of macroscopic nature. The analysis relies on the derivation of the Incompressible Euler system from the Vlasov equation in the quasi-neutral regime by Y. Brenier and N. Masmoudi. However, by contrast to these cases studied on the torus or with infinite charge, here, the strong external field governs the shape of the domain on which the limit equation is posed. The discussion of these phenomena has unexpected connections with the analysis of the obstacle problem. This is a joint work with J. Barré (Univ. Orl\'eans), D. Chiron (Univ. Côte d'Azur) and N. Masmoudi (CIMS-NYU).

Résumé : L'ablation partielle du foie (hépatectomie partielle) est une chirurgie qui intervient dans le traitement des lésions du foie ainsi que lors d'une transplantation partielle de foie (donneur vivant). Grâce à la capacité de régénération du foie, quelques mois après la chirurgie il retrouve sa masse initiale. Les liens entre hémodynamique du foie, le volume de l’organe, ses fonctions et la capacité de régénération restent à élucider pour mieux appréhender les causes des complications survenant après une hépatectomie partielle. Dans ce contexte, un modèle basé sur un couplage entre EDP et ODE représentant la circulation sanguine et permettant de simuler la chirurgie sera présenté. Les résultats des simulations sont comparés à des mesures faites chez le porc lors d’hépatectomie de 75%. Le schéma numérique est choisi pour être bien adapté aux phénomènes considérés. Dans une seconde partie, nous chercherons à expliquer la variabilité interindividuelle observée lors d’une réponse immunitaire des cellules T-CD8. Le but est d’expliquer les mesures obtenues par nos collaborateurs immunologistes du Centre International de Recherche en Infectiologie (CIRI, Lyon), en combinant des modèles mécaniques décrivant les différentes phases de la réponse immunitaire avec des modèles non-linéaires à effets mixtes.

Résumé : Le problème du transport branché consiste à connecter deux mesures de même masse en minimisant un coût qui est proportionnel à L m^α si l'on veut déplacer une masse m sur une distance L. J'introduirai la théorie du transport branché et la fonction paysage, essentielle à l'étude de problèmes variationnels qui y sont liés. Je m'intéresserai en particulier à la question suivante : quel est l’ensemble de volume un qui s’irrigue le mieux à partir d’une source ponctuelle située à l’origine, au sens du transport branché ? Cette question donne lieu à un problème d'optimisation de forme dont les solutions peuvent être considérées comme des sortes de « boule unité » pour le transport branché. La régularité β-Hölder de la fonction paysage permet d’obtenir une borne supérieure sur la dimension du bord, qui est non-entière et conjecturée comme étant la dimension exacte du bord. Je présenterai une première approche pour calculer numériquement une forme optimale approchée, utilisant une adaptation de l’approximation par champs de phase du transport branché introduite il y a quelques années par Oudet et Santambrogio, ainsi que quelques simulations numériques. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Q. Xia et F. Santambrogio.

Résumé : Introduites en1984 par Y. Nesterov, les accélérations pour la descente de gradient et ses dérivées dans un cadre structuré et non différentiable (basées sur l’opérateur proximal) ont démontré leur efficacité en optimisation et en traitement d’images. Nous proposons d’en donner une interprétation physique et de faire le lien entre ces schémas inertiels avec l’étude qualitative de solutions d’EDO et d’inclusions différentielles. Nous montrerons comment des fonctions de Lyapunov permettent de démontrer les vitesses d’accélération de telles méthodes. Ses travaux ont été menés en collaboration avec Charles Dossal (IMT, INSA) et Vassilis Apidopoulos (IMB, Université Bordeaux).

Résumé : In this talk we will present a new way to compute steady state solutions to the Willmore problem using a diffusion scheme on a distance function coupled with a redistanciation step following Esedoglu et al. (2010), where we added an area and volume constraints. In this approach, a complex nonlinear flow could be approximated by a combination of diffusion equations. This could be used as an efficient predictor step for the full fluid-structure coupling problem.

Résumé : Particle-laden flows are ubiquitous in environmental, geophysical and engineering processes. The intricate dynamics of these two-phase flows is governed by momentum transfer between the continuous fluid phase and the dispersed particulate phase. When significant temperature differences exist between the fluid and particles and/or chemical reactions take place at the fluid/particle interfaces, the two phases also exchange heat and/or mass, respectively. When the fluid exhibits non-Newtonian properties and in particular yield stress properties, particles can be trapped in the fluid. In this talk, I present various numerical models and computational strategies that we have been developing over the years to solve particle-laden flow problems. Many of these problems can be formulated as a constrained minimization and solved as a saddle-point problem with a robust Uzawa-like algorithm. Robust convergence is a particularly suitable property for massively parallel computing, sometimes at the expense of a lower computing speed. All over the talk, I illustrate on assorted examples of flow configuration the physical insight we are able to gain with our computational tools. Finally, I address the question of embedding the various numerical models into a comprehensive bottom-up multi-scale approach and discuss what we can expect from such an endeavour.

Résumé : Dans cette présentation, nous nous intéressons à des questions d'invisibilité et de réflexion totale dans des guides d'ondes acoustiques à section transverse bornée. Plus précisément, nous présentons deux approches permettant de construire des géométries pour lesquelles les coefficients de réflexion ou de transmission sont nuls à fréquence donnée. Puis, dans un second temps, nous proposons une méthode spectrale, basée sur des techniques de dilatation analytique, pour déterminer, à géométrie donnée, les fréquences pour lesquelles le guide est non-réflexif.

Résumé : Dans cet exposé, nous étudierons la contrôlabilité d'équations aux dérivées partielles de type transport qui apparaissent dans la modélisation des mouvements de foules. Nous contrôlerons ce système en agissant sur la vitesse des individus dans une région donnée de l'espace. Nous montrerons que sous certaines conditions géométriques, il est possible de contrôler de manière approchée le système à l'aide d'un contrôle régulier. Nous étudierons également la contrôlabilité exacte et le temps minimal pour atteindre la cible. Nous terminerons par quelques simulations numériques.

Résumé : Les propriétés spectrales des opérateurs de Schrödinger décrivant les propriétés d'électrons dans des cristaux peuvent être calculées par la théorie de Bloch-Floquet, qui exprime les quantités d'intérêt comme des intégrales sur la zone de Brillouin de propriétés spectrales d'un opérateur de Schrödinger paramétré. Cet opérateur paramétré est posé sur la cellule unité du cristal et non plus sur tout l'espace, ce qui permet des schémas numériques très efficaces. Je présenterai une analyse numérique des méthodes utilisées pour calculer ces intégrales en physique de la matière condensée, et traiterai en particulier le cas des métaux, qui présentent des difficultés de convergence particulières. Travail commun avec E. Cancès, V. Ehrlacher, D. Gontier et D. Lombardi.

Résumé : Il s'agit d'un travail en collaboration avec Pierre-Emmanuel Jabin (Univ. Maryland). Notre but est d'étudier l'existence et l'unicité trajectorielle d'équations différentielles stochastiques à coefficients irréguliers sans présupposer que le coefficient de diffusion est uniformément elliptique. Notre approche repose sur des estimées $L^p$ sur les solution de l'équation de Fokker-Planck associée et des bornes de Sobolev sur les coefficients de diffusion et le drift, qui peuvent être prouvés séparément. Ceci nous donne un critère général d'un grande flexibilité, qui permet notamment d'améliorer les critères connus dans le cas uniformément elliptique, et obtenir des résultats originaux pour des cas cinétiques (EDS de Langevin).

Résumé : The optimal transport problem defines a notion of distance in the space of probability measures over a manifold, the Wasserstein space. In his thesis, McCann discovered that this space is a length space: the distance between probability measures is given by the length of minimizing geodesics called displacement interpolants or Wasserstein geodesics. In 2000, Otto defined a (purely formal) Riemannian calculus allowing the computation of tangent vectors to displacement interpolants and the computation of Hessians of functionals along these geodesics. In this talk, I will present an Eulerian calculus on Wasserstein space, which extends the Otto calculus from a purely Riemannian setting to general Lagrangians. This Eulerian calculus allows for the computation of derivatives and Hessians of functionals involving derivatives of densities, resolving a question of Villani. New first order displacement convex functionals are presented. Finally, I will show how this calculus can be made rigorous via the DiPerna-Lions theory of renormalized solutions.

Résumé : Cet exposé est consacré à l'analyse asymptotique d'un modèle variationnel d'endommagement brutal, quand la zone d'endommagement se concentre en un ensemble de mesure nulle et quand la rigidité du matériau endommagé tend vers zéro. Deux régimes non triviaux sont mis en évidence. Pour le premier, l'endommagement est négligeable et le modèle converge vers un modèle purement élastique. Dans le second régime, les phénomènes de concentration engendrent une énergie limite à croissance linéaire par rapport au tenseur des déformations linéarisées, typique des modèles de plasticité parfaite. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Flaviana Iurlano (UPMC).

Résumé : Edition 2017, à l'ENS de LYON. Informations actualisées sur : http://math.univ-lyon1.fr/~jera/2017.html

Résumé : The abcd systems were derived by J.B. Bona, M. Chen and J.-C. Saut in 2002 as approximation models in order to study the propagation of small amplitude, long wavelength water waves in a channel with flat bottom. First, we will recall the formal derivation of these models. We will see that observations of practical order lead to the conclusion that in order to be physically relevant, solutions of the Cauchy problem associated to these systems need to exist on times which are of the same order as the ratio between the depth of the channel and a typical amplitude (which in this case is supposed to be large). Thus, in a second time, we will present such results, referred in the literature as long time existence results, that we obtain for both spatially localized respectively non-localized initial data.

Résumé : Equations with non-local flux have been recently introduced in traffic flow modeling to account for the reaction of drivers or pedestrians to the surrounding density of other individuals. While pedestrians are likely to react to the presence of people all around them, drivers will mainly adapt their velocity to the downstream traffic, assigning a greater importance to closer vehicles. In particular, and in contrast to classical (without integral terms) macroscopic equations, these models are able to display finite acceleration of vehicles through Lipschitz bounds on the mean velocity and lane formation in crossing pedestrian flows. We will also present recent results on micro-macro limits of empirical measures converging to measure-valued solutions of the corresponding macroscopic evolution equation.

Résumé : 

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Résumé : Les écoulements de fluides complexes sont, par définition, complexes : les résultats mathématiques d'existence, d'unicité ou de régularité sont souvent difficiles à obtenir, principalement à cause des fortes non-linéarités provenant de la physique de ces écoulements. Ainsi, on ne sait toujours pas montrer l'existence globale de solution (faible ou forte, même en dimension 2) du modèle le plus élémentaire d'écoulements visco-élastiques, à savoir le modèle d'Oldroyd. On montrera dans cet exposé que certaines non-linéarités peuvent pourtant devenir un atout afin de montrer l'existence globale en temps pour certains modèles physiquement pertinents de fluides visco-élastiques.

Résumé : Un enjeu majeur pour la modélisation et la simulation prédictive de l'injection de carburant dans les chambres de combustion est la description et la résolution de l'atomisation du coeur liquide en un brouillard de gouttelettes de tailles très diverses (on parle de spray polydispersé) qui va ensuite s'évaporer et piloter les régimes de combustion ainsi que la formation de polluants. Si l'on dispose actuellement de modèles et de méthodes numériques capables de décrire la dynamique d'un brouillard polydispersé dans un écoulement turbulent et réactif, la simulation directe de l'ensemble du phénomène d'injection depuis la zone de phases séparées par une interface jusqu'à la zone de brouillard polydispersé est hors de portée et on ne dispose pas de modèles d'ordre réduit permettant une approche au moins qualitative pour décrire ce type de physique multi-échelle. Le séminaire propose quelques contributions pour construire un modèle permettant d'aborder cette problématique basées sur l'obtention d'une hiérarchie de modèles bi-fluides avec identification de paramètres physique sur la base du principe de moindre action et leur validation, ainsi qu'une approche géométrique de l'interface et des méthodes de moments d'ordre élevé permettant une description statistique originale d'un brouillard de sphères de tailles diverses mais aussi d'un brouillard d'objets homéomorphes à des sphères de géométrie variée dans l'optique d'une modélisation unifiée. Ces travaux s'appuie sur les travaux de thèse de F. Drui et M. Essadki.

Résumé : Hybrid High-Order (HHO) methods are a class of new generation numerical schemes for PDEs with several advantageous features, including: (i) the support of arbitrary approximation orders on general meshes in arbitrary space dimension; (ii) compliance with the physics, including robustness with respect to the variations of physical coefficients and reproduction of key continuous properties at the discrete level; (iii) reduced computational cost thanks to hybridization, static condensation, and compact stencil. In this talk we will present recent advances on fundamental topics around HHO methods, as well as applications to linear and nonlinear problems.

Résumé : Dans ce travail ([2]) on s’intéresse à un problème d’homogénéisation périodique, posé dans un domaine occupé par deux matériaux isotropes avec des conductivités de signes opposés : un matériau classique et un métamatériau (ou matériau négatif [4]-[5]). En utilisant la méthode de la T-coercivité ([1]) d’une part et l’éclatement périodique ([3]) d’autre part, on démontre que le problème étudié, ainsi que le problème homogénéisé, sont bien posés et on obtient un résultat de convergence de la solution initiale vers la solution du problème homogénéisé. Notre résultat est valide à condition que la valeur absolue du contraste entre les deux conductivités soit suffisamment grande. La matrice homogénéisée qu’on obtient est non isotrope et indéfinie en général; néanmoins, on donne quelques exemples de géométries qui présentent des symétries et pour lesquelles la matrice est isotrope et définie positive ou définie négative. [1] A.-S. Bonnet-Ben Dhia, L. Chesnel, P. Ciarlet, Jr., T-coercivity for scalar interface problems between dielectrics and metamaterials, Acta ESAIM Math. Model. Numer.Anal., 46, 1363–1387,2012. [2] R. Bunoiu, K. Ramdani, Homogenization of Materials with Sign Changing Coefficients, Communications in Mathematical Sciences, Vol. 14, No. 132, 1137–1154, 2016. [3] D. Cioranescu, A. Damlamian, G. Griso, The periodic unfolding method in homogenization, SIAM J. Math. Anal., 40, 1585–1620, 2008. [4] E. Shamonina, L. Solymar, Metamaterials: How the subject started, Metamaterials, 1, 12–18, 2007 [5] D. R. Smith, J. B. Pendry, M.C.K. Wiltshire: Metamaterials and negative refractive index, Science, 305, 788-792, 2004.

Résumé : In this talk I will present new stochastic velocity averaging lemmas which allow to prove regularity of degenerate parabolic-hyperbolic SPDEs. I will also discuss how to use these results to establish a full L^1 well-posedness under no growth assumptions on the coefficients.

Résumé : Dispersive shock waves (DSW) are oscillatory solutions of nonlinear dispersive equations such as the KdV equation. The structure of a DSW is described as a modulated wave train joining a leading edge solitary wave to a trailing oscillatory tail of linear waves. This structure is well described by the Whitham equations, a system of three nonlinear conservation laws modeling amplitude, frequency and wave speed. In this talk, I describe the connection to dissipative-dispersive equations, specifically, the modified KdV-Burgers equation, u_t+u^2.u_x=\mu u_{xx} +\beta u_{xxx} in which the constant coefficients \mu >= 0 and \beta measure dissipation and  dispersion.  Much can be learned from the structure of solutions of initial value problems with Riemann initial data, in which u(x,0) is piecewise constant with a single jump. When \mu>0 the solutions are easily related to shock waves and rarefaction waves for the conservation law u_t+u^2.u_x=0. However, with \mu=0, the solutions involve DSWs. I show how the two cases are related, discuss the limit \mu > 0+, and demonstrate time scales over which different wave structures appear. The construction of DSWs turns out to contain subtleties related to the presence of undercompressive traveling waves for the \mu>0 case, and to the construction of shock-rarefaction wave solutions of the conservation law, due to the non-convex flux. The BBM equation u_t+u.u_x= u_{xxt}, is also dispersive, and an additional conservation law is enough to allow formulation of Whitham equations. The Riemann problem exhibits two notable phenomena. Numerical simulations reveal the persistence and decay of expansion shocks, which are analyzed with matched asymptotics. By appealing to Riemann invariants, a similar analysis applies to expansion shocks for the related Boussinesq system of equations for water waves. Finally, I discuss numerical simulations and beginning analysis of implosion, in which a DSW meets a singularity in the dispersion relation, corresponding to a loss of genuine nonlinearity in the Whitham equations. This is joint work with Gennady El and Mark Hoefer.

Résumé : Nous approcherons les solutions régulières d'Euler incompressible par des flots d'EDO à valeurs dans des espaces de dimension finie. Cette approche, "à la Brenier", est basée d'une part sur l'interprétation d'Arnold de l'équation d'Euler en tant que géodésique de l'espace des difféomorphismes qui préservent la mesure et d'autre part sur le transport optimal semi discret. À cette approche est naturellement associée un schéma numérique pour lequel nous montrerons la convergence vers des solutions régulières de l'équation d'Euler incompressible.

Résumé : Cardiac electrophysiology describes and models chemical and electrical phenomena taking place in the cardiac tissue. Given the large number of related pathologies, there is an important need for understanding these phenomena. The electric wave propagating in the cardiac tissue can be represented by a nonlinear reaction-diffusion partial differential equation "coupled with an ordinary differential equation representing cellular activity" called the bidomain model. The complex bidomain model must be adapted to each individual case in order to produce predictive simulations for a given patient. In this context, we can use the abundant available medical data, especially the patient electrical activation maps - which correspond to the location of the front over time - in order to adapt the bidomain model. In this presentation, we present a Luenberger observer for reaction-diffusion models with propagating front features, and for data associated with the location of the front over time. We start by proposing an observer for the eikonal equation that can be derived from the reaction-diffusion model by an asymptotic expansion, drawing our inspiration from image processing methods. We then carry over this observer to the underlying reaction-diffusion equation by an "inverse asymptotic analysis". We also discuss the extension to joint state-parameter estimation by using the earlier-proposed ROUKF strategy. We then illustrate and assess our proposed observer strategy with test problems associated with electrophysiology modeling and also with atrial real data. Our numerical trials show that state estimation is directly very effective.

Résumé : We focus our attention on shape optimization problems in which one dimensional connected objects are involved. Very old and classical problems in calculus of variation are of this kind: euclidean Steiner's tree problem, optimal irrigation networks, cracks propagation, etc. In a first part we quickly recall some previous work in collaboration with F. Santambrogio related to the functional relaxation of the irrigation cost. We establish a $\Gamma$-convergence of Modica and Mortola's type and illustrate its efficiency from a numerical point of view by computing optimal networks associated to simple sources/sinks configurations. We also present more evolved situations with non Dirac sinks in which a fractal behavior of the optimal network is expected. In the second part of the talk we restrict our study to the euclidean Steiner's tree problem. We recall recent numerical approach which have been developed the last five years to approximate optimal trees: partitioning formulation, relaxation with geodesic distance terms and energetic constraints. We describe the first results obtained in collaboration with A. Massaccesi and B. Velichkov to certify the optimality of a given tree. With our discrete parametrization of generalized calibration, we are able to recover the theoretical optimal matrix fields which certify the optimality of simple trees associated to the vertices of regular polygons. Finally, we focus on the delicate problem of the identification of the optimal structure. Based on a recent approach obtained in collaboration with G. Orlandi and M. Bonafini, we describe the first convexification framework associated to the Euclidean Steiner tree problem which provide relevant tools from a numerical point of view.

Résumé : On présentera quelques problèmes d’optimisation de forme sur les compacts connexes 1D dans le plan (compliance optimale, distance moyenne, Mumford-Shah, Steiner), en s’intéressant notamment à la régularité des minimiseurs. Dans un deuxième temps, nous présenterons une approximation dite « par de champ de phase » de ces problèmes.

Résumé : L’objectif de ces travaux est d'améliorer des images numériques issues d'un intensificateur de lumière et destinées à améliorer la vision de nuit des pilotes d'hélicoptère. Pour cela, nous réalisons d'abord l'estimation du bruit présent dans les images. Nous avons développé une méthode non paramétrique de détection des zones homogènes dans une image afin d'extraire les statistiques du bruit et estimer la fonction de niveau de bruit via l'estimateur des moindres déviations. Cela permet ensuite de mettre en place une méthode de débruitage d'images et de séquences d'images qui repose sur une régularisation adaptative des moyennes non locales. Enfin, nous nous intéressons à la fusion de capteurs, et nous avons pour cela mis en place une méthode de recalage multimodal basé sur l'alignement des contours présents dans les deux modalités. Ces travaux s’inscrivent dans un contexte opérationnel où l’on traite un flux vidéo avec une forte contrainte temps-réel.

Résumé : We discuss a class of time-dependent Hamilton-Jacobi equations with constraint, where an unknown function of time is intended to keep the maximum of the solution to the constant value 0. Our main result is that the full problem has a unique viscosity solution, which is in fact classical. The motivation comes from evolutionary biology and a selection-mutation model which, in the limit of small mutations, exhibits concentration on a single point, corresponding to a dominant trait which evolves in time. This evolving dominant trait is indeed determined as the zero level set of the solution of the Hamilton-Jacobi equation. This result provides also a constructive existence result and implies strong convergence and asymptotic expansion for the selection-mutation model, leading to more quantitative results for the biological applications. This is a joint work with Jean-Michel Roquejoffre.

Résumé : Dans cet exposé nous nous intéresserons dans un premier temps à l'analyse d'un schéma volumes finis pour l'équation de Cahn-Hilliard associée à des conditions aux limites dynamiques. L'équation de Cahn-Hilliard est une équation parabolique, non-linéaire, du 4ème ordre. De plus, des difficultés supplémentaires apparaissent dues à la condition aux limites dynamique qui est une équation parabolique non-linéaire, posée sur le bord et couplée avec l'intérieur du domaine. Dans un second temps nous nous intéresserons à l'étude d'un schéma volumes finis de type dualité discrète (DDFV) pour un modèle couplé Cahn-Hilliard/Stokes (associé à des conditions aux limites dynamiques). Les résultats seront illustrés par des simulations numériques.

Résumé : On présentera un critère d'unicité pour le système de Vlasov-Poisson avec densité non bornée, ainsi que des conditions sur les données initiales qui assurent que ce critère soit satisfait pour tout temps. On établira également une estimation de stabilité pour la distance de Wasserstein, issu d'un travail en collaboration avec T. Holding.

Résumé : This talk is composed of two parts.
In the first part I give a brief overview of a few problems in computational imaging and why these problems lead to new kinds of ill-posed inverse problems that require novel regularization and statistical estimation approaches to solve them. Then I shall make a brief review of patch-based image restoration methods, and their evolution from simple example-based strategies to the more recent Bayesian approaches based on local Gaussian priors. Without being exhaustive I shall highlight a few trends and open challenges under a common framework. In the second part I shall illustrate these trends with my ongoing work on restoration of noisy images that have been compressed by quantization of their wavelet coefficients. When the noise and quantization levels are within a certain range the resulting image is corrupted by a highly structured noise in the spatial domain. However, in the wavelet domain noise has a particular statistical structure, that can be separated from the image by means of local Gaussian priors. Doing so imposes a number of technical challenges that I will explain how to overcome.

Résumé : This work deals with diffusive limit of the p-system with damping and its approximation by an Asymptotic Preserving (AP) Finite Volume scheme. Provided the system is endowed with an entropy-entropy flux pair, we give the convergence rate of classical solutions of the p-system with damping towards the smooth solutions of the porous media equation using a relative entropy method. Adopting a semi-discrete scheme, we establish that the convergence rate is preserved by the approximated solutions. Several numerical experiments illustrate the relevance of this result.

Résumé : La formation d’invadopodia est la première étape du processus d’invasion métastatique: la cellule cancéreuse génère des enzymes dégradant la matrice extra cellulaire (les MT1-MMP), entraînant la formation d’une protrusion dans les zones où la matrice est moins rigide. Après une brève revue des modèles de migration existants, nous présentons un modèle à frontière libre à 2 phases (une phase intracellulaire et une phase extra cellulaire) qui permet de décrire la formation de telles protrusions. Nous montrerons ensuite succintement les principales étapes et une condition nécessaire au caractère bien posé de ce modèle en dimension 2 et nous nous attarderons sur les aspects numériques. En particulier, nous présenterons une famille méthodes de différences finies sur grille cartésienne régulière superconvergentes, qui permettent de résoudre efficacement le problème malgré une perte de dérivées (et donc de précision) apparente. Ce travail a été fait conjointement avec O. Gallinato (Inria MONC), M. Ohta (Tokyo UNiversity of Sciences) and T. Suzuki (Osaka University).

Résumé : L’un des obstacles majeurs lorsque l’on souhaite utiliser un schéma numérique explicite en temps pour résoudre les équations d’onde avec des élements finis est la restriction imposée par la condition CFL : le pas de temps doit être inférieur ou égal à une valeur maximale qui dépend des paramètres physiques de l’équation mais également des paramètres de discrétisation en espace, dont en particulier la taille du plus petit élément du maillage. Cela peut conduire à une perte d’optimalité dans le cas où les éléments du maillage ont des tailles très différentes, pour des raisons indépendantes de la physique (géométrie complexe, etc.). Une des stratégies possibles est la technique du « pas de temps local », qui permet d’utiliser des pas de temps différents sur différentes zones du maillage. Dans ce travail, nous nous intéressons à une autre stratégie, dans laquelle au lieu de changer le pas de temps entre les zones du maillage, on souhaite changer de schéma numérique. Il s’agit donc de coupler différents schémas numériques explicites et implicites entre les différentes zones du maillage, autrement dit de concevoir des schémas « localement implicites ». En particulier, nous souhaitons exploiter les propriétés de stabilité assouplies des schémas implicites, qui permettent d’utiliser un plus grand pas de temps que celui contraint par la stabilité du schéma explicite. Le gain en coût de calcul, induit par le choix possible d’un plus grand pas de temps partout, compense alors largement le sur-coût lié à l’inversion d’une matrice sur une petite zone. Afin de gagner en précision, en particulier de limiter la dispersion numérique, nous souhaitons développer des schémas d’ordre élevé en temps. Notre guide lors du développement de ces schémas est de préserver numériquement un invariant : une énergie discrète. Elle permet de prouver la stabilité des schémas pris séparément, avec des techniques originales, mais également des schémas couplés entre eux. Monter en ordre pour gagner en précision n’est cependant pas toujours compatible simplement avec le désir de préserver cet invariant, en particulier dans les milieux dissipatifs. Nous verrons une technique originale pour répondre à cette difficulté.

Résumé : We present a variational model from micromagnetics involving a nonlocal Ginzburg-Landau type energy for S^1-valued vector fields. These vector fields form domain walls, called Neel walls, that correspond to one-dimensional transitions between two directions within the unit circle S^1. Due to the nonlocality of the energy, a Neel wall is a two length scale object, comprising a core and two logarithmically decaying tails. Our aim is to determine the energy differences leading to repulsion or attraction between Neel walls. In contrast to the usual Ginzburg-Landau vortices, we obtain a renormalised energy for Neel walls that shows both a tail-tail interaction and a core-tail interaction. This is a novel feature for Ginzburg-Landau type energies that entails attraction between Neel walls of the same sign and repulsion between Neel walls of opposite signs. This is a joint work with Roger Moser (University of Bath).

Résumé : Typical models for collective dynamics are found in opinion dynamics, flocking, self-organization of biological organisms, and rendezvous in mobile networks. The dynamics describes the “social engagement” of agents driven by different local means of their neighbors. We discuss the emergent behavior of such systems. Their large-time behavior leads to the emergence of different patterns, depending on the propagation of connectivity of the underlying graphs. In particular, global interactions lead to the emergence of consensus, emergence of leaders etc. The description of large crowds of agents lends itself to “social hydrodynamics” – a class of Eulerian dynamics driven by the tendency towards the corresponding local means. We discuss the global regularity of such systems for sub-critical initial configurations.

Résumé : Deux méthodes de domaines fictifs qui permettent de prendre en compte des conditions de contact unilatéral seront présentées. L'intérêt pour la prise en compte de manière indépendante du maillage de conditions de contact est de plus en plus fort que ce soit en interaction fluide-structure, en optimisation de forme de structures complexes, en calcul d'avancée de fissure ou tout simplement pour le calcul de structure quand les géométries des surfaces de contact sont très complexes et qu'il devient plus simple de ne pas les mailler. La première stratégie présentée sera basée sur l'utilisation d'un multiplicateur de Lagrange. La difficulté avec ce type de méthode est la satisfaction d'une condition LBB qui peut-être obtenue soit en ajustant très précisément l'espace de discrétisation du multiplicateur soit en utilisant des termes de stabilisation. Des résultats d'estimation d'erreur a priori seront commentés. La deuxième méthode est une méthode de type Nitsche. L'adaptation de ce type de méthode aux conditions unilatérales est très récente et nous en verrons en détail la construction. Dans le cadre domaine fictif avec éléments coupés, un terme de stabilisation est nécessaire pour obtenir un taux de convergence optimal. Cet aspect sera discuté et des résultats optimaux de convergence seront présentés.

Résumé : Dans cet exposé, nous présenterons une méthode numérique pour résoudre le problème L^2 de Monge-Kantorovich. La méthode est basée sur une approche par continuation où nous résolvons de manière itérative le problème linéarisé. Un schéma Lagrangien ainsi qu'Eulérien seront proposés. Des exemples relatifs aux transports de densités bidimensionnelles montrent que ces schémas réduisent considérablement le temps de calcul, en particulier lorsque la distance de Wasserstein entre les densités est petite. Nous terminerons cet exposé par des applications en neurosciences.

Résumé : Granular materials are always involved in erosion processes on the Earth's surface such as sub-aerial and submarine landslides that occur in mountainous, volcanic, seismic and coastal areas. The geophysical and mechanical description of the behavior of these materials has received a lot of attention the last decade, and a good overview of the current knowledge can be found in [1]. Still many fundamental questions remain open. In particular, when describing granular materials by non-Newtonian fluids, relevant constitutive rheological relations remain to be set up. A striking property of granular materials is the ability to behave like a solid when the grains are blocked one against the other, or like a fluid when they just slide. This twofold behavior is usually represented by viscoplastic models with yield stress. Then the description of the solid/fluid interface (also called static/flowing interface) is a key issue to evaluate the quality of the models. Recent studies of the author's group yield an explicit description of this interface, that is valid under certain asymptotic assumptions [2,3,4]. The results from this model can be compared to two-dimensional simulations of viscoplastic models and to data issued from laboratory experiments [5,6,7]. Another issue is to establish models describing wet granular materials, which means that the material is surrounded by fluid, what happens usually in landslides. The rheological behavior of such a mixture is a difficult problem, but we however established recently a thin-layer model that is able to describe the dilating/contracting behavior of the mixture [8,9]. [1] B. Andreotti, Y. Forterre, and O. Pouliquen, Granular media, between fluid and solid, Cambridge University Press, 2013. [2] F. Bouchut, I.R. Ionescu, and A. Mangeney, An analytic approach for the evolution of the static/flowing interface in viscoplastic granular flows, Comm. Math. Sci. 14 (2016). [3] C. Lusso, F. Bouchut, A. Ern, and A. Mangeney, A simplified model for static/flowing dynamics in thin-layer flows of granular materials with yield, preprint (2015). [4] C. Lusso, F. Bouchut, A. Ern, and A. Mangeney, Explicit solutions to a free interface model for the static/flowing transition in thin granular flows, preprint (2015). [5] I.R. Ionescu, A. Mangeney, F. Bouchut, and O. Roche, Viscoplastic modeling of granular column collapse with pressure-dependent rheology, J. Non-Newtonian Fluid Mech. 219 (2015), 1-18. [6] C. Lusso, A. Ern, F. Bouchut, A. Mangeney, M. Farin, and O. Roche, Two-dimensional simulation by regularization of free surface viscoplastic flows with Drucker-Prager yield stress and application to granular collapse, preprint (2016). [7] N. Martin, I.R. Ionescu, A. Mangeney, F. Bouchut, M. Farin, Continuum viscoplastic simulation of a granular column collapse on large slopes: $\mu(I)$ rheology and lateral wall effects, preprint (2016). [8] F. Bouchut, E.D. Fernandez-Nieto, A. Mangeney, and G. Narbona-Reina, A two-phase shallow debris flow model with energy balance, ESAIM: Math. Modelling Numer. Anal. 49 (2015), 101-140. [9] F. Bouchut, E.D. Fernandez-Nieto, A. Mangeney, and G. Narbona-Reina, A two-phase two-layer model for fluidized granular flows with dilatancy effects, J. Fluid Mech. 801 (2016), 166-221.

Résumé : Les équations de Navier-Stokes constituent un modèle mathématique de base pour décrire le mouvement d'un fluide. Dans le célèbre papier publié dans Acta Mathematica en 1934, "sur le mouvement d'un fluide visqueux", Jean Leray (1906-1998) introduit (entre autres) le concept de solutions faibles globales en temps en donnant une définition précise de ce qu'est une solution irrégulière du système et montre qu'il existe une telle solution faible pour les équations de Navier-Stokes dans sa version incompressible et homogène (densité constante). On appelle maintenant ces solutions de régularité minimale (énergie finie): solutions à la Leray. Même si l'existence globale de solutions faibles apporte assez peu sur le caractère bien posé du système, une telle analyse a de nombreux intérêts pratiques. En plus de la signification physique, car la régularité des données initiales supposée est minimale et fortement liée à des quantités physiques bien identifiées, les propriétés de stabilité de solutions faibles sur le modèle continu aident à mieux comprendre comment construire des schémas numériques stables qui le plus souvent ne préservent pas les estimations de régularité faible. Nous commencerons donc cet exposé par rappeler l'état de l'art sur les solutions à la Leray pour les équations de Navier-Stokes compressible sans température. Nous montrerons qu'il est maintenant possible grâce à un travail réalisé récemment en collaboration avec Pierre-Emmanuel Jabin (Univ. Maryland) de considérer des lois de pressions thermo-dynamiquement instables et de l'anisotropie dans les viscosités.

Résumé : Il s’agit d’un travail en collaboration avec Lucie Baudouin et Sylvain Ervedoza. Nous nous intéressons à des problèmes inverses pour l’équation des ondes. Plus précisément, nous cherchons à retrouver un coefficient de l’équation à partir d’une unique mesure de la dérivée normale de la solution sur une partie du bord. Alors que les résultats d’unicité et de stabilité pour ce problème sont déjà bien connus, nous proposons un algorithme de reconstruction original et démontrons sa convergence globale à l’aide d’inégalités de Carleman pour l’opérateur des ondes. L’implémentation numérique de cette stratégie soulève plusieurs défis que nous proposons de résoudre dans cet exposé. Plusieurs exemples numériques illustreront l’efficacité de l’algorithme.

Résumé : Dans l'exposé, on présentera une extension du système des équations de Saint-Venant pour décrire un écoulement de fluide à surface libre avec une rhéologie non-Newtonienne. On discutera en particulier des propriétés qualitatives du modèle, mais aussi des propriétés quantitatives, avec l'aide d'approximations numériques qui préservent la conservation de la masse et la dissipation d'une fonctionnelle "énergie". La discrétisation est non triviale, car la fonctionnelle "énergie" naturelle n'est pas convexe dans les variables conservatives. Travaux réalisés en collaboration avec François Bouchut (CNRS - Université Paris Est, Marne la Vallée).

Résumé : La problématique générale de l'exposé est l'émergence de comportements synchronisés au sein d'une grande population. Un modèle populaire de ces phénomènes de synchronisation est l'équation de Kuramoto. C'est une équation cinétique, limite de champ moyen d'un grand nombre d'oscillateurs couplés. Pour des valeurs suffisantes du paramètre de couplage, on observe une synchronisation des oscillateurs, ce qui se traduit par une "convergence" de la distribution des phases des oscillateurs vers des masses de Dirac. Le but de l'exposé est de fournir une analyse mathématique rigoureuse de ce phénomène de convergence. Celui-ci est similaire au phénomène d'amortissement Landau, la difficulté venant du caractère inhomogène et irrégulier de la distribution des phases limite. L'exposé est basé sur des travaux avec H. Dietert, B. Fernandez, G. Giacomin.

Résumé : In this talk, I will present a recent result obtained on the local exact controllability of the 3d compressible Navier-Stokes equation around a constant trajectory with non-zero velocity, when the control is exerted on the whole boundary of the domain. The proof of this result is based on an observability inequality for the adjoint of the linearized system. The main ingredient to obtain this inequality is the tricky combination of the equations to reduce the problem to a closed subsystem easier to deal with, and obtained by the introduction of a new quantity corresponding to the effective viscous flux for the adjoint equations. This subsystem will allow to understand independently the hyperbolic and parabolic effects of the system. We will then introduce Carleman estimates with weight functions following the characteristics allowing to handle the non-linearity of the model using a fixed point argument. This result has been obtained in collaboration with Olivier Glass (Univ. Paris Dauphine) and Sergio Guerrero (Univ. Pierre et Marie Curie).

Résumé : We will give an overview on the thin models in elasticity derived by means of $Gamma$-convergence using simultaneous homogenization and dimensional reduction. In the case of periodic homogenization we obtain different models depending on the quotient of the periodicity of the changes in the material and the thickness of the body. Some peculiarities arise in the case of bending plate and von Karman shell as a consequence of geometric constraint (penalization) in the limiting procedure. In some simpler cases (von Karman plate, bending rod) we are able to characterize the limiting models without periodicity assumption. We are also able to analyze the equations (stationary points) in the case of von Karman rod and plate, but only under non-physical assumption on the linear growth of the differential of the stored energy density function. In the talk we will give special emphasis on the derivation of the bending rod model by simultaneous homogenization and dimensional reduction without periodicity assumption, using $Gamma$-convergence.

Résumé : Les systèmes de réaction-diffusion croisée ont été introduits en dynamique des populations par Shigesada et al. pour tenir compte de l'influence des populations sur les taux de diffusion inter et intra spécifiques (on parle de diffusion croisée et auto-diffusion). Nous nous intéresserons à une gamme de systèmes généralisant ceux de Shigesada et. al. pour lesquels nous établirons un résultat d'existence de solutions faibles globales, en toute dimension d'espace. Ce résultat d'existence repose sur une fonctionnelle d'entropie " cachée " du système et sur deux résultats techniques : le Lemme de dualité de Michel Pierre et un Lemme d'Aubin-Lions pour les équations paraboliques dégénérées. Nous expliciterons une preuve de ce dernier résultat, qui présente l'intérêt de s'adapter à l'étude de nombreux schémas numériques.

Résumé : Les échanges de chaleur et de masse sont deux phénomènes physiques à la base de nombreux systèmes thermiques. Dans un premier temps, on considérera une ailette, un petit dispositif utilisé notamment notamment pour refroidir les CPU, sujette à un transfert conductif. Mathématiquement, la température dans l'ailette est modélisée par une équation de Sturm-Liouville dont les coefficients dépendent non-linéairement de la forme. On se posera la question : existe-t-il une forme d'ailette maximisant le flux de chaleur véhiculé à travers elle ? Cette question est d'abord étudiée en imposant une contrainte de type volume, puis une contrainte de type périmètre sur les formes admissibles. Dans chacun des cas, nous montrons que ce problème n'a pas de solution et nous construisons des suites de formes maximisantes. Dans un second temps, on présentera un problème plus général d'optimisation de forme appliqué aux transferts conducto-convectifs. De tels systèmes sont modélisés à l'aide d'un couplage d'EDP de type Navier-Stokes/chaleur. Divers critères physiques sont envisagés. Dans ce travail (théorique et numérique), nous prouvons pour certains choix de fonctionnelles de forme un résultat d'existence et mettons en évidence des phénomènes d'homogénéisation dans d'autres cas, à l'aide de simulations numériques.

Résumé : Les aérosols sont des écoulements multiphasiques dans lesquels des gouttelettes liquides sont en suspension dans un gaz porteur. Une des modélisations possibles (largement utilisée dans le cadre des applications industrielles) consiste à coupler des équations de la mécanique des fluides (Euler ou Navier-Stokes) pour le gaz, et des équations cinétiques (Vlasov) pour les gouttelettes. On présentera les difficultés mathématiques liées au traitement de telles équations couplées, ainsi que les enjeux d'une dérivation formelle des couplages en question à partir d'équations plus élémentaires. Enfin on montrera une simulation typique.

Résumé : In this talk we present the starting mechanical model of the lamellipodial actin-cytoskeleton meshwork. The model is derived starting from the microscopic description of mechanical properties of filaments and cross-links and also of the life-cycle of cross-linker molecules. We introduce a simplified system of equations that accounts for adhesions created by a single point on which we apply a force. We present the adimensionalisation that led to a singular limit motivating our mathematical study. Then we explain the mathematical setting and results already published. In the last part we present the latest developments~: we give results for the fully coupled system with unbounded non-linear off-rates. This leads to two possible regimes : under certain hypotheses on the data there is global existence, out of this range we are able to prove blow-up in finite time. This is joint work with Dietmar Oelz.

Résumé : TBA

Résumé : On s'intéresse à l'existence d'ensembles qui minimisent leur mesure parmi une famille stable par homotopie de parties d'une variété riemannienne compacte sans bord. On considère le problème posé dans la catégorie des ensembles sans utiliser les notions affaiblies de Federer (courants) ou Almgren (varifolds). Cette formulation permet ainsi de s'affranchir d'hypothèses de régularité supplémentaires telles que l'orientabilité ou même la rectifiabilité des compétiteurs. Dans cet exposé, j'essaierai d'expliquer comment un procédé d'approximation polyédrale inspiré de Federer peut être généralisé à ce cas et permet de pallier au défaut de compacité de l'approche ensembliste.

Résumé : De nombreux progrès ont été effectués ces 5 dernières années autour de la modélisation, l’analyse théorique et numérique des asymptotiques shallow water pour écoulements à surface libre. Cette brève immersion en eaux peu profondes nous permettra de faire un point sur les différentes formulations discrètes qui ont été proposées récemment concernant les modèles dispersifs fortement non-linéaires de type Green-Naghdi, la possibilité de surmonter l’hypothèse classique d’irrotationalité des écoulements ou encore la gestion numérique de la singularité « déferlement ».

Résumé : Nous montrons que des résonances en espace-temps, au sens de Germain, Masmoudi et Shatah, sont à l'origine d'instabilités fortes pour le système d'Euler-Maxwell, qui décrit la propagation d'un laser dans un plasma. Cela implique en particulier que l'approximation par le système de Zakharov n'est stable que si la vitesse de groupe est nulle. Notre analyse montre aussi que, dans le cas où le profil WKB présente de fortes variations transverses, les résonances en temps peuvent ne pas induire d'instabilités rapides, même en présence de nonlinéarités qui ne satisfont pas les conditions de compatibilité. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Eric Dumas (Grenoble) et Lu Yong (Prague).

Résumé : The practice of domain decomposition methods is often confronted with a certain lack of robustness or optimality, especially in the framework of large deformation elasticity with highly heterogeneous materials, curvilinear subdomains, incompressible behavior, and contact. We design a general method to guarantee a prescribed convergence ratio for a wide class of domain decomposition methods, through the automatic computation of a proper coarse grid using local eigen-problems. This work has been performed in collaboration with Nicole Spillane, Frédéric Nataf, Victorita Dolean and Daniel Rixen, and is illustrated on specific cases.

Résumé : We consider a system of two parabolic PDEs arising in modeling of motility of eukaryotic cells on substrates. The two key properties of this system are (i) presence of gradients in the coupling terms (gradient coupling) and (ii) mass (volume) preservation constraints. We derive the equation of the motion of the cell boundary, which is the mean curvature motion perturbed by a novel nonlinear term and prove that the sharp interface property of initial conditions is preserved in time. We next show that this novel term leads to surprising features of the motion of the interface such as discontinuities of the interface velocity and hysteresis. Because of the properties (i)-(ii), classical comparison principle techniques do not apply to this system. Furthermore, the system can not be written in a form of gradient flow, which is why recently developed Gamma-convergence techniques also can not be used. A special form of asymptotic expansion is introduced to reduce analysis to a single nonlinear PDE: a one-dimensional model problem. Stability analysis reveals a qualitative change in the behavior of the system depending on the main physical parameter. This is joint work with V. Rybalko and M. Potomkin.

Résumé : Nous nous focaliserons essentiellement dans cet exposé sur les techniques qui permettent la prise en compte de conditions aux limites et d'interface complexes dans le cadre de la méthode des éléments finis, par exemple en interaction fluide-structure ou pour les contacts et les frottements en élasticité. Nous présenterons en particulier une technique alternative à celles traditionnelles (dualité et pénalisation), originellement proposée par J. Nitsche en 1971 pour le traitement des conditions aux limites de Dirichlet non-homogènes, et remise au goût du jour par R. Stenberg et ses collaborateurs à partir du milieu des années 1990. La méthode de Nitsche a pour avantage de rester primale (aucune inconnue supplémentaire n'est introduite) tout en préservant la consistance (contrairement à la pénalisation). Nous montrerons qu'elle peut s'étendre à divers problèmes, tout en conservant les avantages mentionnés ci-dessus. Dans le cas, par exemple, des conditions de contact (sans frottement, ou avec frottement de Tresca) en élasticité linéarisée, une condition aux limites fortement non-linéaire apparaît sur le bord de contact. Nous verrons alors qu'il est possible d'écrire une formulation de type Nitsche qui traduit cette condition. Nous parvenons alors à établir la convergence optimale de la méthode, en deux et trois dimensions. Cette dernière propriété de convergence optimale est en général difficile à obtenir pour les autres méthodes, et il faut souvent avoir recours à des hypothèses techniques, par exemple sur la topologie de la zone de contact effective. De telles hypothèses ne sont pas nécessaires pour la méthode de Nitsche. Nous avons de plus réalisé des expériences numériques qui valident l'analyse théorique et montrent l'intérêt potentiel de la méthode pour la simulation numérique en mécanique des solides. Nous verrons alors comme autre application l'interaction entre une structure élastique et un fluide visqueux incompressible, où un traitement de la condition d'interface inspiré par Nitsche permet d'améliorer la stabilité de certains schémas en temps sans dégrader leur performance. De même, si l'on souhaite mettre en oeuvre une méthode de décomposition de domaine avec maillages non-conformes, la méthode de Nitsche peut s'avérer une alternative viable à la méthode des joints (ou "mortar"), y compris dans le cas des équations intégrales de frontière, où l'application de telles techniques est plus récente. On arrive en particulier ici à montrer une convergence presque quasi-optimale malgré la faible régularité des solutions.

Résumé : Le fast marching est un algorithme efficace pour la résolution de l'équation eikonale, qui permet de calculer le plus court chemin entre deux points d'un domaine de R^d. Ses applications sont nombreuses, et vont de la planification de mouvement à la segmentation d'images médicales. L'unité de longueur, pour la mesure du chemin, peut varier dans le domaine. Motivés par certaines applications, nous généralisons l'algorithme au cas où l'unité de longueur dépend également de la direction, voire de l'orientation du chemin. Un conflit apparait entre cette géométrie anisotrope et la grille cartésienne utilisée pour la discrétisation. Son étude fait intervenir des outils élégants et peu communs en analyse des EDP, allant de la classification des réseaux euclidiens à l'arbre de Stern-Brocot (qui répartit les nombres rationnels aux noeuds d'un arbre binaire complet infini).