Institut Camille Jordan

Résumé : 

A pattern in a permutation is a subsequence with a specific relative order. What can we say about a typical large random permutation that avoids a particular pattern? We use a variety of approaches. For certain classes we give a geometric description that relates these classes to other types of well-studied concepts like random walks or random trees. Using the right geometric description we can find the the distribution of certain statistics like the number and location of fixed points.

Résumé : 

This talk will focus on the problem of constructing chaos measures for rough log-correlated fields, in the special case where the associated parameter is “critical”. For this value of the parameter the construction is more delicate than in the better understood sub-critical regime, and different techniques are required. I will discuss three different approaches to constructing these critical measures, and also mention some special tools that have been developed (together with Juhan Aru and Avelio Sepulveda) for the case when the underlying field is a planar Gaussian free field. Finally, I will give an overview of the questions we still need to answer in this critical setting, and discuss some work in progress in these directions.

Résumé : 

Le temps de mélange d'une chaîne de Markov ergodique finie a une coupure si sa distance à l'équilibre reste proche de sa valeur initiale puis chute abruptement vers zéro. Découvert à l'origine dans les mélanges de cartes par Aldous, Diaconis et Shashahani dans les années 80, ce phénomène remarquable a été établi rigoureusement pour de nombreuses chaînes de Markov. Il n'y a cependant pas de théorie générale qui explique ce phénomène. 
Dans cet exposé, dans le contexte des marches aléatoires sur des graphes expanseurs, nous établirons des liens entre la convergence forte d'opérateurs et le phénomène de coupure. Travail en collaboration avec Hubert Lacoin (IMPA).

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We give a short proof that a uniform noncrossing partition of the regular n-gon weakly converges toward Aldous's Brownian triangulation of the disk, in the sense of the Hausdorff topology. This result was first obtained by Curien & Kortchemski, using a more complicated encoding. Thanks to a result of Marchal on strong convergence of Dyck paths toward the Brownian excursion, we furthermore give an algorithm that allows to recursively construct a sequence of uniform noncrossing partitions for which the previous convergence holds almost surely.
In addition, we also treat the case of uniform noncrossing pair partitions of even-sided polygons.
 

Résumé : 

We consider two first-passage percolation processes FPP_1 and FPP_{\lambda}, spreading with rates 1 and \lambda > 0 respectively, on a non-amenable hyperbolic graph G with bounded degree. FPP_1 starts from a single source at the origin of G, while the initial con figuration of FPP_{\lambda} consists of countably many seeds distributed according to a product of iid Bernoulli random variables of parameter \mu > 0 on V (G)\{o}. Seeds start spreading FPP_{\lambda} after they are reached by either FPP_1 or FPP_{\lambda}. We show that for any such graph G, and any fixed value of \lambda > 0 there is a value \mu_0 = \mu_0(G,\lambda ) > 0 such that for all 0 < \mu < \mu_0 the two processes coexist with positive probability. This shows a fundamental difference with the behavior of such processes on Z^d. (Joint work with Alexandre Stauffer.)

Résumé : We consider statistical mechanics models defined on a lattice, such as pinning models, directed polymers, random field Ising model, in which disorder acts as an external random field. Such models are called disorder relevant, if arbitrarily weak disorder changes the qualitative properties of the model. Via a Lindeberg principle for multilinear polynomials we show that disorder relevance manifests itself through the existence of a disordered high-temperature limit for the partition function, which is given in terms of Wiener chaos and is model specific. When disorder becomes marginally relevant a fundamentally new structure emerges, which leads to universal phenomena across all different (currently of directed polymer type) models that fall in this class, including also the two dimensional stochastic heat equation with multiplicative space-time white noise. Based on joint works with Francesco Caravenna and Rongfeng Sun.

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Le cutoff désigne une transition de phase remarquable dans la convergence de certaines chaînes de Markov vers leur loi stationnaire. Découvert il y a plus de 30 ans (Aldous - Diaconis, 1986), ce phénomène est aujourd'hui encore largement incompris, et l'établir constitue un problème ouvert pour de nombreuses chaînes usuelles. Dans cet exposé, nous démontrerons le cutoff pour un célèbre système de particules en interaction: le processus zero-range en champs moyen. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Jonathan Hermon (Cambridge).

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The Vertex Reinforced Jump Process on weighted graphs can be represented as a mixture of Markov processes, i.e. as a random walk in random environment. This representation can be constructed using a certain random Schrödinger operator. This talk concerns the classification of possible representations of the VRJP. We show that any such representation involves the same random Schrödinger operator, and a positive harmonic function for this operator. Using the notion of Martin boundary, we can then give a more general form for all representations. This relies on work by C. Sabot, P. Tarrès and X. Zeng.

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I will present a microscopic model in the family of conserved lattice gases (CLG). Its stochastic short range interaction exhibits a continuous phase transition to an absorbing state at a critical value of the particle density. We prove that, in the active phase (i.e. for initial profiles smooth enough and uniformly larger than the critical density 1/2), the macroscopic behavior of this microscopic dynamics, under periodic boundary conditions and diffusive time scaling, is ruled by a non-linear PDE belonging to the class of fast diffusion equations. The first step in the proof is to show that the system typically reaches an ergodic component in subdiffusive time.

Joint work with O. Blondel, C. Erignoux and M. Sasada

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The construction of the $\Phi^4_3$ measure on the torus is quite involved and so far only achieved using various combinations of multiscale decompositions and expansion methods. In this talk I present a new method (joint work with Nikolay Barashkov) to obtain an explicit description of this measure (which is not absolutely continuous wrt. the reference Gaussian measure) via its Laplace transform. Our approach goes via a renormalized stochastic optimal control problem formulation together with a $\Gamma$-convergence result. 

Résumé : 

Joint work with Ellen Powell (ETH) and Gourab Ray (Victoria). 

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La préférence d'accouplement, c'est-à-dire le choix de partenaire pour la reproduction, est maintenant reconnue comme pouvant être à l'origine d'un isolement reproductif, dans le sens où il peut provoquer l'arrêt du flux de gènes entre deux sous-populations: chacune des sous-populations préférant se reproduire avec ses pairs. On peut alors se demander quelles forces permettent l'émergence de telles préférences sexuelles. Dans cet exposé, on présentera un modèle stochastique permettant de répondre à cette problématique. On étudiera ce modèle afin de donner les conditions qui permettent l'émergence d'individus possédant une préférence au sein d'une population sans préférence et d'estimer le temps nécessaire à la fixation de cette préférence.

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The Keller Segel (KS) model for chemotaxis is a two-dimensional system of parabolic or elliptic PDEs.
Motivated by the study of the fully parabolic model using probabilistic methods, we give rise to a non linear SDE of McKean-Vlasov type with a highly non standard and singular interaction. Indeed, the drift of the equation involves all the past of one dimensional time marginal distributions of the process in a singular way. In terms of approximations by particle systems, an interesting and, to the best of our knowledge, new and challenging difficulty arises: at each time each particle interacts with all the past of the other ones by means of a highly singular space-time kernel.
In this talk, we will analyse the above mentioned McKean-Vlasov SDE and the associated particle system in order to exhibit new well-posedness results for the fully parabolic KS model in the case of $d=1$ and $d=2$. This is a joint work with D.Talay (Inria) and J-F. Jabir (HSE, Moscow).

Résumé : 

I will review relations between supersymmetric spin models and
random walks. This is joint work with Tyler Helmuth and Andrew Swan.

 

Résumé : 

Un résultat célèbre sur les mosaïques de Poisson-Voronoi dans le plan dit que le nombre moyen de sommets de la cellule typique est égal à 6.  Sur une surface, fixons un point x_0 et rajoutons lui un processus de Poisson ponctuel d'intensité "lambda". Comme l'on s'y attend, lorsque lambda tend vers l'infini, le nombre moyen de sommets de la cellule de Voronoi associée à x_0 tend vers 6, car la taille de la cellule tend vers 0, et celle-ci "perçoit" donc peu la courbure de la surface. Nous montrerons que la correction à cette limite est équivalente à (3/pi) *(K(x_0)/ lambda) où K(x_0) est la courbure de Gauss de la surface au point x_0. Nous évoquerons comment ce résultat  se généralise à des variétés de dimension quelconque et nous montrerons comment, en dimension 2,  il fournit une preuve du théorème de Gauss-Bonnet.
(Travail en collaboration avec Pierre Calka et Aurélie Chapron).

Résumé : 

Dans ce modèle de marche aléatoire non Markovien, le marcheur effectue une marche aléatoire simple sauf à des temps exceptionels où il se téléporte à un site qu’il a déjà exploré dans le passé ; il choisit ce site aléatoirement, avec probabilité proportionelle au nombre de temps passé à ce site dans le passé. Les durées des `runs’’ entre deux ``téléportations'’ sont tirées au hasard de façon i.i.d. indépendamment du reste du processus. Dans ce travail en collaboration avec Gerónimo Uribe Bravo (UNAM), nous montrons comment l’étude de ce modèle peut être réduite à celle d’un arbre aléatoire récursif pondéré. Cette approche nous permet de montrer, entre autres, un théorème limite pour la position du marcheur, et ce dans le cas plus général où le processus sous-jacent (i.e. l’évolution du marcheur entre deux téléportations) est n’importe quel processus de Markov vérifiant lui-même un théorème limite de type TLC.

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L'équation de Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) est une EDP stochastique non-linéaire, introduite en physique pour modéliser la croissance d'interfaces rugueuses. En général, la loi de la solution n'est pas Gaussienne, mais reliée aux valeurs propres extrêmes de grandes matrices aléatoires. Dans certains cas, il est possible de calculer cette loi exactement à l'aide d'un modèle de mécanique statistique exactement soluble, le modèle à six-sommets stochastique. Dans cet exposé nous nous concentrerons sur le cas de l'équation KPZ sur R_+ avec condition au bord de type Neumann. Basé sur des travaux en commun avec Alexei Borodin, Ivan Corwin et Michael Wheeler.

 

Résumé : 

Heuristiquement, le phénomène de métastabilité correspond à un pseudo-équilibre indépendant de la condition initiale et atteint relativement rapidement, qui disparaît ensuite de manière totalement imprévisible.
On discutera de la plus simple de ses modélisations, au travers des processus de Markov finis absorbés, et on en donnera une caractérisation spectrale.

Résumé : 

On considère une marche aléatoire excitée sur un arbre : Soit M un entier positif, on se donne alors M "cookies" sur chaque sommet de l’arbre. A partir d’une position donnée, s’il y a encore des cookies, elle "mange" un cookie et elle saute vers son parent avec la probabilité 1. Si il n’y a plus de cookies, elle saute vers son parent et vers chacun de ses sommets enfants avec une probabilité respectivement proportionnelle à 1 et à λ. Je décrirai dans cet exposé un critère pour montrer la récurrence et transience de ce modèle sur un arbre quelconque. En particulier, ce résultat est une généralisation de résultats de Volkov (2003) et Basdevant-Singh (2009). Je montrerai aussi la transition de phase pour un modèle de marche aléatoire avec une famille de conductances aléatoires iid sur un arbre. Travail en collaboration avec Andrea Collevecchio et Daniel Kious.

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The PDEs system Navier-Stokes-Vlasov-Fokker-Planck (NSVFP) is a model describing particles in a fluid, where the interaction particles-fluid is described by a drag force called Stokes drag force.
In the talk I will present a particle system interacting with a fluid that converges in a suitable probabilistic sense to the (NSVFP) system.
The talk is based on a recent work in collaboration with Franco Flandoli and Cristiano Rocco.

Résumé : La décohérence quantique désigne le phénomène de "destruction" des états cohérents dans des systèmes quantiques ouverts, qui interagissent donc avec leur environnement. La répétition des interactions conduit à des états "classiques" au sens ou les superpositions deviennent impossibles. Ici, je proposerai un modèle simple pour une particule quantique sur laquelle l'environnement induira des sauts aléatoires (on peut penser par analogie d'une particules classiques qui subit des collisions aléatoires dans un gaz de Lorentz). Ces sauts quantiques sont obtenus rigoureusement en supposant l'interaction infiniment rapide. Je préciserai les effets de ces sauts sur la particule, et leur différence avec le cas classique. Ensuite, je montrerai que dans une certaine limite de "couplage faible": de nombreuses collisions avec peu d'effet, on obtient à la limite une équation maîtresse de type Lindblad. Cette équation peut être déterministe (dans ce cas on sait étudier les fluctuations autour de cette limite), ou stochastique, suivant la "densité" de l'environnement. Cela sera l'occasion de faire du calcul stochastique adapté à l'espace des opérateurs à trace, et d'adapter également un fameux critère de tension d'Aldous à ce cadre infini dimensionnel. Ces travaux ont été menés en collaboration avec Riccardo Adami, Christophe Gomez, et Claudia Negulescu.

Résumé : 

“Dimers and Circles” joint with R. Kenyon, W. Lam, S. Ramassamy;
“Holomorphic functions on t-embeddings of planar graphs” joint with D. Chelkak, B. Laslier.

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We consider a branching random walk on a regular tree and study the scaling limit of the trace. Work in progress with Thomas Duquesne (Sorbonne University) and Niccolo Torri (University Paris-Est Créteil).

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The distillation problem is to determine when copies of a given bipartite quantum state can be transformed to a maximally entangled state using local operations and classical communication. It is among the most important open questions in quantum information theory. After giving a detailed introduction to the problem and its current status, I will discuss how it connects to questions about tensor products of positive maps between matrix algebras. If time permits, I will present some recent results on these questions.

Résumé : Le problème d'Ulam consiste à estimer la longueur de la plus longue sous-suite décroissante d'une permutation aléatoire de taille n. En 1972, Hammersley fut le premier à s’intéresser à cette question et à remarquer que cette longueur correspond aussi au nombre minimal de sous-suites croissantes requises pour partitionner les n entiers de la permutation. Dans cet exposé, je rappellerai les différents résultats connus sur cette question puis je m’intéresserai à une généralisation de ce problème dans laquelle nous estimons non pas le nombre minimal de suites croissantes mais le nombre minimal d'arbres croissants requis pour partitionner les n entiers de la permutation. Travail en collaboration avec L. Gerin, J.-B. Gouéré et A. Singh.

Résumé : Les systemes conservatifs unidimensionnels asymetriques sont connus pour donner lieu a de la superdiffusion. La theorie des hydrodynamiques fluctuantes permet de donner des conjectures precises sur les differentes classe d'universalite possibles. on discutera un modele corroborant ces conjectures.

Résumé : 

Résumé : 

Considérons la triangulation de Boltzmann du disque, couplée à un modèle d'Ising ferromagnétique sur ses faces, et soumise à une condition au bord de Dobrushin. Nous présenterons de nouveaux résultats d'énumération sur ce modèle à une température arbitraire.
En étudiant l'énergie libre, des exposants critiques, et la topologie de la limite locale, nous montrons que ce modèle admet une transition de phase à une température unique. En outre, cela confirme l'intuition que les cartes aléatoires décorées par un modèle d'Ising non-critique ressemble à une carte aléatoire brownienne avec un modèle de percolation. Nous discuterons également la fenêtre des températures presque critiques.
Basé sur un travail en préparation avec Joonas Turunen.

Résumé : Entropic hypercoercivity provides estimates uniform in the dimensions of the dynamics, that are useful in proving hydrodynamic limit. In particular we use it to prove diffusive isothermal macroscopic transformations for a chain of non-linear oscillators immersed in a heat bath with a gradient of temperatures.

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Résumé : 

Les modèles classiques de neurones physiques individuels sont des systèmes dynamiques en dimension trop importante (>= 4) pour pouvoir étudier et simuler de grands systèmes de neurones en interaction.
Une alternative bien acceptée consiste à utiliser des modèles unidimensionnels stochastiques entre les instants de décharges des neurones. Alors, les communications entre les neurones interviennent sous
la forme de saut dans les potentiels de membrane.
Dans cet exposé, nous présenterons un algorithme performant de simulation de premier temps de passage de mouvement brownien unidimensionnel au-dessus d’une courbe ainsi que des phénomènes de 
synchronisation dans les très grands systèmes de neurones en interactions.

Herrmann, S. ;  Tanré, E.  The first-passage time of the Brownian motion to a curved boundary: an algorithmic approach.
 SIAM J. Sci. Comput.  38  (2016),  no. 1, A196--A215.
Delarue, François ;  Inglis, James ;  Rubenthaler, Sylvain ;  Tanré, Etienne . Global solvability of a networked integrate-and-fire model of McKean-Vlasov type.
 Ann. Appl. Probab.  25  (2015),  no. 4, 2096--2133.
Delarue, F. ;  Inglis, J. ;  Rubenthaler, S. ;  Tanré, E.  Particle systems with a singular mean-field self-excitation. Application to neuronal networks.
 Stochastic Process. Appl.  125  (2015),  no. 6, 2451–2492.

Résumé : Il est bien connu que la distribution de Tracy-Widom, décrivant la position de la plus grande valeur propre d'une matrice aléatoire, peut être écrite en fonction d'une solution particulière de la deuxième équation de Painlevé. En 2005, Baik, Ben Arous et Péché ont prouvé que cette distribution est l'exemple le plus simple d'un ensemble plus vaste de distributions (classes d'universalités) obtenues par ''perturbations rationnelles'' à partir de la distribution originaire de Tracy-Widom. Dans mon exposé, j'expliquerai comment on peut relier, via des outils classiques de la théorie des systèmes intégrables, les distributions de Baik-Ben Arous-Péché à la théorie des équations de Painlevé et, plus généralement, à la théorie des déformations isomonodromiques. La méthode que je décrirai est très générale et s'applique à d'autres exemples intéressants de distributions provenant, par exemple, de la théorie des mouvements Brownien de Dyson. Si le temps le permet, j'aborderai aussi les lignes principales d'un nouveau projet concernant la distribution conjointe des moments de $N$ particules fermioniques. À noter que les outils abordés de la théorie des déformations isomonodromiques seront expliqués et ne nécessitent pas des connaissances pré-requises. Les résultats ont été obtenus en collaboration avec M. Bertola.

Résumé : 

https://www.univ-st-etienne.fr/fr/icj/actualites-icj/actualites-2019-2020/workshop-random-graphs.html

Résumé : Log-correlated random fields, and their extrema, show up in diverse settings, including the theory of cover times, random matrix theory and number theory. Often this can be explained by way of a multiscale decomposition which exhibits an approximate branching structure. I will recall the main ideas behind the analysis of the most basic model of the log-correlated class, namely Branching Random Walk, where the branching structure is explicit, and explain how to adapt these to models where the branching structure is approximate and not obvious.

Résumé : L'étude des cartes aléatoires s'est principalement concentrée jusqu'à présent sur le cas de cartes tirées uniformément au hasard. Cependant dans la motivation initiale de la gravité quantique, il est aussi naturel d'étudier des cartes tirées avec un poids non uniforme, plus précisément proportionnel à la fonction de partition d'un modèle de physique statistique sur la carte. Pour une carte tirée en même temps qu'une FK percolation, je présenterai la bijection de Sheffield permettant de décrire la carte à l'aide de variables iid. Je dériverai ensuite les exposants critiques annealed pour la longueur du bord des clusters FK ainsi que l'aire à l'intérieur d'un cluster.

Résumé : 

Résumé : We will review some of the recent developments in the theoretical and mathematical aspects of the non-equilibrium statistical mechanics of climate dynamics. At the intersection between statistical mechanics, turbulence, and geophysical fluid dynamics, this field is a wonderful new playground for applied mathematics. It involves large deviation theory, stochastic partial differential equations, and diffusion Monte-Carlo algorithms. We will first present new theoretical results for the computation of the transition rates between attractors for irreversible dynamics (the non-equilibrium Eyring-Kramers law). We discuss applications to stochastic partial differntial equations that describe turbulent flows. We will then consider two classes of applications. First extreme heat waves as an example of a rare event with a huge impact. Second rare trajectories that suddenly drive the complex dynamical system from one attractor to a completely different one, related to abrupt climate changes.

Résumé : 

We consider the enumeration problem of graphs on surfaces, or maps, with three boundaries, also colloquially called pairs of pants. Perhaps surprisingly, a formula due to Eynard and extended by Collet-Fusy shows that this problem has a very simple and explicit solution, which becomes even simpler when one asks that the boundaries are tight, meaning that they have smallest possible length in their free homotopy class. We provide a bijective approach to this formula which consists in decomposing the graph into elementary pieces in a way that is reminiscent of certain geometric constructions of pairs of pants in hyperbolic geometry. I will also discuss the probabilistic consequences of this bijective approach by studying statistics of minimal separating loops in random maps with boundaries. Based on joint work with Jérémie Bouttier and Emmanuel Guitter.

Résumé : 

In this talk we will review a few general statements about Random Walks on Dynamic Random Environments (RWDRE). As expected, if the random environment satisfies stronger mixing conditions, more can be said about the behavior of the random walk. Then we will focus on a recent work establishing lower bounds on fluctuations for certain RWDRE models. This result requires the environment to be symmetric, satisfy the FKG inequality as well as a mixing condition. The techniques employed in the proof are inspired by percolation theory and the Russo-Seymour-Welsh (RSW) inequality. We finally exemplify our main result with two examples of environments: a class of Gaussian fields and a Confetti percolation medium.

Résumé : 

(Séance commune avec le séminaire de physique théorique, de 13h30 à 14h30 en Amphi Schrödinger.)

One of the classic quantities in the six-vertex model is the domain wall partition function, which was computed as a determinant by Izergin. Most proofs of Izergin's formula are based on solving recursion relations and, as a consequence, a priori knowledge of the answer.

I will sketch a direct method for deriving Izergin's formula, based on Macdonald polynomials and their difference-operator eigenrelations (following ideas of Lascoux and Warnaar). The connection between the six-vertex model and Macdonald polynomials runs deeper still; I will discuss some intriguing distribution matches first observed by Borodin.

Résumé : On considère une marche aléatoire (X_n) en milieux aléatoires dans un arbre de Galton-Watson surcritique. Dans le régime lent, il est connu que le déplacement maximal de la marche aléatoire jusqu’au temps n se comporte comme (log n)^3 presque surement. Dans cet exposé, on étudie le comportement typique de X_n, en approchant la loi de X_n par une mesure invariante. Comme conséquence, on obtient la convergence en loi de |X_n| normalisée par (log n)^2. (travail en commun avec Zhan Shi).

Résumé : Dans cet exposé, nous présenterons des travaux récents réalisés en collaboration avec Charles Bordenave et Antti Knowles donnant des estimées des valeurs propres extrêmes de la matrice d'adjacence centrée d'un graphe d'Erdös-Rényi, éventuellement inhomogène. Dans le cas du Stochastic Block Model, ces travaux quantifient l'efficience de l'algorithme de clustering spectral, alors que dans le cas du graphe d'Erdös-Rényi homogène, ils établissent une transition entre un spectre compact et un spectre diffus, à un seuil qui coïncide avec le seuil d'apparition d'une composante connexe géante. Les preuves de ces résultats mettent en évidence deux régimes classiques des matrices aléatoires : le régime localisé et le régime délocalisé.

Résumé : 

Let $f_N(z)=\log |\det (zI-U_N)|$ where $U_N$ is a random unitary matrix and consider the random variable $Z_N=\max_{z: |z|=1} f_N(z)$. $f_N(\cdot)$, being a linear statistic of the eigenvalues of $U_N$, converges in distribution to a logarithmically correlated Gaussian field on the unit circle. Fyodorov, Gaith and Keating conjectured that $Z_N-\log N+(3/4) \log\log N$ converges in distribution and identified the conjectured limit. We verify their conjecture up to the second order term, that is we show that $(Z_N-\log N)/\log\log N\to 3/4$. Joint work with Elliot Paquette.

Résumé : Many classes of random planar maps, i.e. planar graphs embedded in the sphere modulo homeomorphisms, possess scaling limits (in a Gromov-Hausdorff sense) described by a universal random continuum metric space known as the Brownian map. One way to escape this universality class is to consider certain Boltzmann planar maps with carefully tuned weights on the faces. Le Gall and Miermont have shown that the scaling limits of these fall into a larger class of continuum random metric spaces, often referred to as the stable maps. In this talk I will consider the geometry of the dual (in the planar map sense) of these Boltzmann planar maps, which shows quite different scaling behavior. In particular, I will discuss the growth of the perimeter and volume of certain geodesic balls of increasing radius based on the examination of a peeling process. For a particular range of parameters, in the so-called the dilute phase, precise scaling limits may be obtained for these processes, which suggests possibility of a non-trivial scaling limit in the Gromov-Hausdorff sense. Depending on time I'll discuss a more detailed scaling limit in terms of growth-fragmentation processes and/or the connection with O(n) loop models coupled to random planar maps. Based on joint work with Nicolas Curien, and partially also with Jean Bertoin and Igor Kortchemski.

Résumé : On considère un système de N diffusions en interaction de type champ moyen (où la contribution de chaque particule est d'ordre 1/N). Les résultats usuels pour ces modèles concernent la convergence en grande population de la mesure empirique vers une équation de Fokker-Planck non linéaire de type McKean-Vlasov, ainsi d'autres résultats asymptotiques (TCL, grandes déviations). La motivation de cet exposé est de comprendre comment une modification du graphe d'interaction perturbe ces résultats asymptotiques. J'évoquerai le cas de systèmes avec interactions spatiales (où une loi des grands nombres et un TCL sont toujours valables) ainsi que le cas d'interactions selon un graphe aléatoire. Travaux en commun avec Wilhelm Stannat (TU Berlin) et Giambattista Giacomin et Sylvain Delattre (Paris 7).

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Résumé : We study some features of the energy of a deterministic chordal Loewner chain, which is defined as the Dirichlet energy of its driving function in a very directional way and is conformally invariant. Using an interpretation of this energy as a large deviation rate function for SLE_k as k goes to 0, we show that the energy of a deterministic curve from one boundary point A of a simply connected domain D to another boundary point B, is equal to the energy of its time-reversal i.e. of the same curve but viewed as going from B to A in D. In particular it measures how far does the chord differ from the hyperbolic geodesic. The relation between the energy of the curve with its regularity will be discussed, some questions are still open. If time allows, I will present the Loewner energy for loops on the Riemann sphere, and open questions related to it as well.

Résumé : We consider a zero range process evolving on a fixed and finite set. For a family of jump rates, the stationary state gives a probability close to 1, as the total number of particles increases to infinity, to configurations in which almost all particles sit on a single site, a phenomenon called condensation. We investigate the evolution of the condensate and the formation of the condensate.

Résumé : In his pioneering papers in the early 90s, Aldous established the continuum random tree (CRT) as the scaling limit of random labelled trees. He conjectured that the CRT also arises as scaling limit of trees considered up to symmetry. The convergence of random Pólya trees, that is, unlabelled rooted trees, was confirmed around 20 years later by Haas and Miermont, and we discuss an alternative proof by Panagiotou and the speaker. The second part of the talk treats random unlabelled unrooted trees and discusses a very general result that allows for a transfer of asymptotic properties of rooted trees to unrooted trees, in particular the convergence toward the CRT.

Résumé : 

In this talk we will discuss some of the history of random walks on dynamical random environments and we will present a recent result where the environment is given by a simple symmetric exclusion process. For this model, we are able to prove a law of large numbers for the displacement of the walk (for all but two densities of the underlying particle system) as well as a central limit theorem throughout its ballistic regimes. The main technique that we employ is a renormalization scheme that brings its inspiration from percolation theory.

joint work with Marcelo Hilário and Daniel Kious

Résumé : 

Résumé : On montre que la limite d'échelle de la densité des particules du processus d'exclusion à sauts longs est donnée par des solutions d'énergie de l'équation de Burgers fractionnaire. On conjecture que cette équation est reliée à la limite d'échelle des modèles dans la classe d'universalité KPZ. Joint avec Patricia Gonçalves (IST-Lisbonne)

Résumé : 

Liouville first passage percolation (LFPP) with parameter $\xi  >0$ is the family of random distance functions on the plane obtained by integrating $e^{\xi h_\epsilon}$ along paths, where $h_\epsilon$ for $\epsilon >0$ is a smooth mollification of the planar Gaussian free field.
Previous work by Ding-Dub\'edat-Dunlap-Falconet and Gwynne-Miller showed that there is a critical value $\xi_{\mathrm{crit}} > 0$ such that for $\xi < \xi_{\mathrm{crit}}$, LFPP converges under appropriate re-scaling to a random metric on the plane which induces the same topology as the Euclidean metric: the so-called $\gamma$-Liouville quantum gravity metric for $\gamma  = \gamma(\xi)\in (0,2)$.

Recently, Jian Ding and I showed that LFPP also converges when $\xi \geq \xi_{\mathrm{crit}}$.
For $\xi  >\xi_{\mathrm{crit}}$, the subsequential limiting metrics do not induce the Euclidean topology. Rather, there is an uncountable, dense, Lebesgue measure-zero set of points $z\in\mathbb C $ such that $D_h(z,w) = \infty$ for every $w\in\mathbb C\setminus \{z\}$.
These metrics are related to a supercritical phase of Liouville quantum gravity, corresponding to matter central charge in $(1,25)$.  

I will discuss the properties of the limiting metrics, their connection to Liouville quantum gravity, and several open problems.

Résumé : 

Recent years have seen a great deal of progress in understanding the behavior of bootstrap percolation models, a particular class of monotone cellular automata. In the two dimensional lattice there is now a quite complete understanding of their evolution starting from a random initial condition, with a universality picture for their critical behavior. Much less is known for their non-monotone stochastic counterpart, namely kinetically constrained models (KCM). In KCM each vertex is resampled (independently) at rate one by tossing a p-coin iff it can be infected in the next step by the bootstrap model. In particular infection can also heal, hence the non-monotonicity. Besides the connection with bootstrap percolation, KCM have an interest in their own : when p -> 0 they display some of the most striking features of the liquid/glass transition, a major and still largely open problem in condensed matter physics. 

I will discuss some recent results on the characteristic time scales of KCM as p -> 0 and the connection with the critical behavior of the corresponding bootstrap models.

Résumé : Le problème des moments cherche à caractériser les suites de moments (algébriques ou trigonométriques) de mesures positives sur un espace donné. Dans cet exposé, on abordera un problème extrémal consistant à représenter un nombre fini de moments par une mesure borélienne finie $\mu^0$ (réelle ou complexe) de norme de variation totale minimale. On définira un estimateur de $\mu_0$ à l'aide d'un problème de minimisation convexe que l'on sait résoudre en pratique (il appartient à la classe de la programmation semi-définie positive). On donnera les garanties théoriques de cet estimateur (estimation et test). En particulier, on montrera que l'on sait "prédire" les moments de $\mu_0$ à une vitesse "MiniMax" (à un log près). C'est à dire que notre approche donne la meilleure estimation possible des moments de $\mu_0$ dans le cas où l'on ne connaitrait qu'une version "bruitée" de ceux-ci.

Résumé : We consider sample covariance matrices in the high-dimensional regime where the number of variables is comparable to the number of samples. The underlying population covariance matrix is allowed to be very general and include outliers. We prove that there exists a consistent, unified, and optimal rotational invariant estimator of the population covariance matrix that depends only on observable quantities. All results hold at a local scale of individual eigenvalues, with optimal large deviation error bounds. Joint work with J. Bun and J. Yin.

Résumé : En 2003, Angel et Schramm ont montré que la loi uniforme sur les triangulations planaires convergeait au sens de la limite locale lorsque l’on faisait tendre leur taille vers l’infini. La loi limite, appelée UIPT (pour Uniform Infinite Planar Triangulation) a été depuis très étudiée et est maintenant un objet bien compris. Dans mon exposé, je montrerai un résultat analogue à celui d'Angel et Schramm mais pour des triangulations échantillonnées selon la loi correspondant à un modèle d’Ising et non à la loi uniforme. La principale difficulté est d’étendre au modèle d’Ising les résultats combinatoires et énumératifs connus dans le cadre des triangulations « sans matière ». Je donnerai dans mon exposé, les principales idées des techniques qui permettent d’obtenir ces nouveaux résultats. Il s’agit d’un travail commun avec Laurent Ménard et Gilles Schaeffer.

Résumé : L'évolution de la densité de probabilité d'une particule cinétique dans un système markovien de N particules soumises à une interaction de type champ moyen converge, quand N tend vers l'infini, vers l'équation non-linéaire de Vlasov-Fokker-Planck. En présence d'un potentiel externe convexe, cette dernière ne possède qu'un unique équilibre. Dans cette situation, en appliquant des outils d'hypocoercivité au système à N particules, on obtient une vitesse de convergence à l'équilibre en temps long indépendante de N, dont on déduit une vitesse de convergence pour le système non-linéaire, et des estimées de propagation du chaos (l'asymptotique N grand) indépendante du temps. Contrairement aux résultats précédemment établis à ce sujet, le cadre n'est pas perturbatif : l'interaction, si elle est convexe par exemple, peut être arbitrairement grande.

Résumé : Mott variable range hopping is a basic mechanism of electron transport in strongly disordered solids. In a mean field approximation, the mathematical model is given by a random walk on a simple point process of R^d with points marked by energy random variables. Jumps can be arbitrarily large, while the jump rates decay exponentially in the jump length and depend on the energy marks by a Boltzmann-like factor. We will focus on the 1d case, recall some previous results on diffusivity and recurrence, and discuss more in detail the effect of applying an external uniform force field. We will give conditions assuring ballisticity or sub-ballisticity, which reduce to a full characterization in the case of a renewal simple point process.

Résumé : Le champ libre Gaussien (GFF) est la généralisation du mouvement Brownien aux domaines $D\subseteq\R^2$. Dans ce contexte, l'analogue des temps d'arrêts est ce qu'on appelle ensembles locaux. Dans cet exposé, on étudie les ensembles locaux de type borné (BTLS). Ces ensembles sont l'analogue des temps d'arrêts intégrables en lesquels la valeur du mouvement brownien est bornée par une constante déterministe. On montre qu'un ensemble est une BTLS ssi il est contenu dans une certaine itération de CLE$_4$. Cet exposé est fondé sur travaux avec Juhan Aru, Ellen Powell et Wendelin Werner.

Résumé : Le but de cet exposé est de discuter de processus stochastiques associés à la donnée d'un fibré vectoriel de rang arbitraire au-dessus d'un graphe, et muni d'une connexion unitaire (le cadre géométrique des théories de jauge discrètes). Plus précisément, j'expliquerai les résultats d'un travail effectué avec Thierry Lévy (Paris 6) dans lequel nous relions l'holonomie de chemins aléatoires et certains champs markoviens. Ces résultats généralisent, à un cadre avec symétrie de jauge, les théorèmes d'isomorphismes (Dynkin, Eisenbaum, Le Jan, Sznitman) reliant temps locaux et champs gaussiens, issus des travaux pionniers de Symanzik en théorie constructive des champs.

Résumé : We consider the stochastic process given by the walk of a tagged particle in the simple symmetric exclusion process and give an optimal upper bound for its transition probability. We discuss this result and motivate how it may be considered as a first building block for the proof of a quenched invariance principle. Our strategy is to take inspiration from the techniques used in the case of random walks in random conductances: In this setting, showing that an invariance principle holds is equivalent to proving homogenization for the random elliptic operator in divergence form which generates the walk. In particular, a quenched invariance principle corresponds to quantitative estimates on the homogenization process in terms of quenched estimates on the sublinearity of the corrector. This talk is based on a joint work with Yu Gu (Stanford University) and Jean-Christophe Mourrat (ENS Lyon).

Résumé : I will present a class of inverse problems called phase retrieval problems. The traditional algorithms used to solve these problems are "iterative methods", that rely on simple heuristics. They are fast and easy to implement. However, because phase retrieval problems are non-convex, these algorithms are in general not guaranteed to return the correct solution. It has recently been shown that some of these methods succeed with high probability for random instances of phase retrieval problems. I will describe this line of work, and its relevance in the more general context of non-convex optimization. I will then explain how to extend these results to the method of alternating projections (the simplest and oldest iterative method used for phase retrieval problems), and discuss open questions.

Résumé : Étant donné une surface et un groupe de Lie compact, la mesure de Yang-Mills est la loi d’une famille de variables aléatoires à valeurs dans le groupe, indexée par l’ensemble des lacets tracés sur la surface. Le champ maître est (dans ce contexte) une fonction déterministe sur l’ensemble des lacets tracés sur la surface, à valeurs réelles et qui satisfait des équations remarquables, dites de Makeenko-Migdal. Dans cet exposé, je présenterai ces objets, expliquerai comment la mesure de Yang-Mills peut être comprise comme la loi d’un morphisme aléatoire du groupe des lacets sur la surface à valeurs dans le groupe de Lie compact choisi, et comment lorsque le rang du groupe tend vers l’infini, ce morphisme aléatoire converge vers une représentation déterministe dont le champ maître est le caractère. Cet énoncé est un théorème dans le cas du plan, et l’objet de travaux en cours dans le cas d’autres surfaces.

Résumé : Les équilibres champ moyen décrivent des états consensuels asymptotiques au sein de grandes populations de particules contrôlées en interaction champ moyen. De façon générale, l'existence de tels équilibres peut être établie dans des cadres assez larges; en revanche, les conditions connues d'unicité sont restrictives. Dans cet exposé, je discuterai deux exemples pour lesquels l'unicité peut être rétablie en forçant la dynamique globale de la collectivité à l'aide d'un bruit commun à toutes les particules.

Résumé : In this talk, I will first describe some problems in large population stochastic control (e.g. Mean-Field Games). The solution to these problems are characterised by a master equation, as observed by Lasry-Lions, which is a PDE written on the Wasserstein space of probability measure. I will then recall the probabilistic representation of its solution in term of a (fully coupled) FBSDE with McKean-Vlasov interaction. Finally, I will introduce a scheme for this class of BSDEs and demonstrate its convergence both theoretically and practically. This is a joint work with D. Crisan and F. Delarue.

Résumé : Dans un travail célèbre, Lanford a montré que le comportement d’un gaz dilué de sphères dures peut être décrit (dans la limite de Boltzmann-Grad) par l’équation de Boltzmann. Cette convergence pose la question de l’apparition de l’irréversibilité dans la limite. On reviendra sur les points clés de cette preuve en insistant sur les aspects liés à l’irréversibilité et plus particulièrement sur le sens à donner à la propagation du chaos. En collaboration avec I. Gallagher, L. Saint-Raymond et S. Simonella

Résumé : Multitype Galton-Watson (GW) processes arise as a natural generalization of usual GW processes, in which individuals are differentiated by types that determine their offspring distribution. In this talk, we investigate the ancestor trees and forests associated with irreducible multitype GW processes, when the total number of types is finite. Under criticality hypotheses on the mean matrix, and such that the offspring distributions belong to the domain of attraction of a stable law, we show that these forests (after a proper rescaling) converge to the continuum random stable tree.

Résumé : Résumé : Le but de cet exposé est de présenter quelques résultats récents sur les propriétés de certaines fonctions aléatoires issues de la géométrie. Un exemple typique est le suivant : si $\lambda$ est une grande valeur propre du laplacien sur la sphère $S^2$, l’espace propre correspondant est de grande dimension, et on peut y choisir une fonction propre aléatoirement suivant la mesure gaussienne standard ; on s’intéresse alors aux propriétés asymptotiques de cette fonction $\phi_\lambda$ dans la limite $\lambda \to \infty$. En particulier, on peut se demander quelle est la structure du domaine $\{z : \phi_\lambda(z) > 0\}$ : est-il formé d’une multitude de petites composantes connexes, ou bien comporte-t-il une composante dont la taille reste d’ordre $1$ pour $\lambda$ grand ? Cette question précise reste ouverte, mais j’expliquerai comment on peut appliquer des méthodes issues de la théorie de la percolation pour l’attaquer, et obtenir des résultats pour des modèles reliés. Travail effectué avec Damien Gayet (Institut Fourier, Université Grenoble-Alpes)

Résumé : 

Résumé : 

We consider data from the Grassmann manifold $G(m,r)$ of all vector subspaces of dimension $r$ of $m$ dimensional Euclidean space, and focus on the Grassmannian statistical model which is of common use in signal processing. Canonical Grassmannian distributions are indexed by parameters from the manifold $\mathcal{M}$ of positive definite symmetric matrices of determinant 1.  M-estimates of scatter (GE) for general probability measures $\mathcal{P}$ on $G(m,r)$ are studied. One of the novel features of this work is a strong use of the fact that $\mathcal{M}$ is a CAT(0) space with known visual boundary at infinity $\partial \mathcal{M}$.
We  recall that the sample space $G(m,r)$ is a part of $\partial \mathcal{M}$, and show
that the M-functional is a weighted Busemann function. 
We then consider  the almost sure convergence of (GE) when $\mathcal{P}$ is the empirical measure of a sample in $G(m,r)$ and provide a central limit theorem.
This talk is based on a joint work with Corina Ciobotaru.

Résumé : We use ideas from large-scale stochastic dynamics to build a multiresolution scheme to analyse arbitrary functions on graphs. These types of problems emerge naturally in the context of signal processing. The goal is to obtain successive approximations at different scales of arbitrary functions on graphs which are used for signal classification, reconstruction and data compression.When the signal is defined on a graph having enough regularity structures, several methods (such as wavelets) are available in the literature and used in practice. When the regularity structure of the graph is lacking, very few methods are known.Our work aims at addressing this issue by using random spanning forests, loop-erased walks, determinantal structures, random walk kernels and intertwining of Markov chains. Joint work with Castel, Gaudilliere and Melot.

Résumé : 

On considère l'équation des ondes non linéaire perturbée par une force aléatoire régulière en espace du type bruit blanc. Cette équation engendre un processus de Markov qui admet une unique mesure stationnaire. Le but sera de décrire le comportement asymptotique de la famille de ces mesures lorsque l'amplitude du bruit tend vers zéro. On montrera que cette famille obéit au principe de grandes déviations. La preuve est basée sur le développement de la théorie introduite par Khasminskii et Freidlin-Wentzell. L’idée principale est la généralisation de la notion de mesure stationnaire.

https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxtYXJ0aXJvc3lhbmRhdml0fGd4OjNhOTQ2ZTA2MjAxMjZmYWY

Résumé : Partant de l'équation de Vlasov avec un terme de force de faible régularité, on étudie l'effet d'une pertubation par un bruit blanc en temps. On montre que l'équation est bien posée et on étudie la validité des lemmes de moyenne L1. Travail en collaboration avec Ennio Fedrizzi, Franco Flandoli et Enrico Priola.

Résumé : 

We compute large deviation estimates of probability for the largest eigenvalue of a Wigner matrix with sub-Gaussian entries. We improve the results from the work of F.Augeri, A Guionnet, J Husson. to obtain an estimate valid on the whole real line. The main tools here is the matrix and spherical integral that plays a similar role as a Laplace transform.

Résumé : En 1942, Nagumo a obtenu une condition nécessaire et suffisante pour qu'un ensemble convexe fermé de R^d soit invariant par les solutions d'une équation différentielle ordinaire. Ce résultat a été étendu en 1990 par Aubin et Da Prato aux cas des équations différentielles stochastiques. L'objet de cet exposé est d'établir un résultat analogue pour les équations différentielles rugueuses (i.e. au sens de Lyons 1998). Cela s'applique en particulier aux équations différentielles dirigées par un mouvement brownien fractionnaire. Cet exposé s’appuie sur un travail effectué avec N. Marie.

Résumé : 

Matrix Concentration inequalities such as Matrix Bernstein inequality have played an important role in many areas of pure and applied mathematics. These inequalities are intimately related to the celebrated noncommutative Khintchine inequality of Lust-Piquard and Pisier. In the middle of the 2010's, Tropp improved the dimensional dependence of this inequality in certain settings by leveraging cancellations due to non-commutativity of the underlying random matrices, giving rise to the question of whether such dependency could be removed.
In this talk we leverage ideas from Free Probability to fully remove the dimensional dependence in a range of instances, yielding optimal bounds in many settings of interest. As a byproduct we develop matrix concentration inequalities that capture non-commutativity (or, to be more precise, ``freeness''), improving over Matrix Bernstein in a range of instances. No background knowledge of Free Probability will be assumed in the talk.
Joint work with March Boedihardjo and Ramon van Handel, more information at arXiv:2108.06312 [math.PR].

Résumé : Un problème fondamental en analyse de données est de partitionner, en aveugle, des données en K groupes distincts. Ce partitionnement peut être l'objectif final (découverte de "communautés" dans les données) ou une étape intermédiaire permettant de réduire la dimension et/ou la complexité algorithmique lors de l'apprentissage. Nous illustrerons à travers divers modèles probabilistes simples, comment ce partitionnement peut être réalisé à l'aide d'un algorithme de minimisation convexe, pour des vitesses de séparation optimales. Nous expliquerons aussi comment cet algorithme est relié à deux algorithmes standards pour le partitionnement: Kmeans et le spectral clustering.

Résumé : 

Dans plusieurs modèles en physique statistique on trouve des propriétés topologiques non-triviales. L'un des modèles les plus importants avec un tel comportement est le modèle XY, dont en dimension 2 on observe une transition de phase du type Kosterlitz-Thouless. Dans ce séminaire on discutera le modèle dans un cadre plus simple, en dimension 1 avec les conditions au bord périodiques, et dans un régime de températures où les observable topologiques peuvent être identifiées. On considère la dynamique de ce modèle - on cherche les échelles de temps dans lesquelles ces observables changent, et trouve un régime sans ordre topologique à l'équilibre, mais dont les états métastables possèdent une topologie non-triviale. Basé sur un travail en collaboration avec Clément Cosco.

Résumé : Spectral clustering algorithms rely on the spectrum of some data-dependent matrices to perform clustering and usually a prior knowledge on the number of clusters is needed. We consider the setting of performing spectral clustering in a Hilbert space. We show how spectral clustering, coupled with some preliminary change of representation in a reproducing kernel Hilbert space, can bring down the representation of classes to a low-dimensional space and we propose a new algorithm for spectral clustering that automatically estimates the number of classes.

Résumé : 

The elephant random walk (ERW) is a fascinating discrete-time random walk on integers which was introduced in the early 2000s by two physicists in order to investigate how long-range memory affects the behavior of the random walk. In this talk, we will present how martingale theory or Polya-type urns can be used to obtain results on the asymptotic behavior of the ERW and its generalization to higher dimension. We will also explain how the introduction of two martingales with different speeds of convergence makes it possible to study processes related to the ERW such as the center of mass or the reinforced version.

Résumé : 

Consider a random walk on the d dimensional torus of size length N, d>2, and let T be the average of the first time all the vertices of the torus have been visited by this walk. For 0<α<1, the α-late points are defined as the vertices not visited by this walk at time αT. It is known that for α large enough the α-late points are essentially i.i.d. on the torus, whereas this is not the case for α small enough. I will explain why this phase transition actually happens at some parameter α*>1/2, which can be explicitly written in terms of the Green function on the d-dimensional infinite lattice. I will also describe the law of these α-late points in the non i.i.d. region 1/2<α<α*. Based on joint work with Pierre-François Rodriguez and Perla Sousi.

Résumé : 

Résumé : 

We investigate spatial random graphs defined on the points
of a Poisson process in d-dimensional space, which combine scale-free
degree distributions and long-range effects. Every Poisson point is
assigned an independent weight. Given the weight and position of the 
points, we
form an edge between any pair of points independently with a
probability depending on the two weights of the points and their
distance. Preference is given to short edges and connections to
vertices with large weights. We characterize the parameter regime
where there is a nontrivial percolation phase transition and show that
it depends not only on the power-law exponent of the degree
distribution but also on a geometric model parameter. Based on joint
work with Peter Gracar and Lukas Luechtrath.

Résumé : There will be two 1-hour talks, first by Xin Sun, then by Nina Holden, on the following topic: Liouville quantum gravity is a random surface which is conjectured to describe the scaling limit of conformally embedded random planar maps. We present some progress towards proving this conjecture in the case of uniform triangulations, using a percolation-based embedding which we call the Cardy embedding. Based on joint works with Bernardi, Garban, Gwynne, Lawler, Li, Miller, Sepúlveda, and Sheffield.

Résumé : 

We will present a new quantitative approach to the problem of proving hydrodynamic limits from microscopic stochastic particle systems, namely the zero-range process, the simple exclusion process and the Ginzburg-Landau process with Kawasaki dynamics, to macroscopic partial differential equations. Our method combines a modulated Wasserstein-distance estimate comparing the law of the stochastic process to the local Gibbs measure, together with stability estimates a la Kruzhkov in weak distance and consistency estimates exploiting the regularity of the limit solution. It is simplified as it avoids the use of the block estimates.  This is a joint work with Daniel Marahrens and Clément Mouhot (University of Cambridge).

Résumé : Un processus stochastique est dit métastable si il reste pendant une très longue période de temps dans une région de l'espace (appelée région métastable) avant de gagner une autre région métastable, où il reste à nouveau piégé. De tels processus apparaissent de manière naturelle dans de nombreux domaines d'application, la métastabilité correspondant au fait que plusieurs échelles de temps sont présentes dans le modèle: une échelle de temps courte correspondant aux vibrations dans les régions métastables, et une échelle de temps beaucoup plus longue associée aux transitions entre états métastables. Par exemple, en simulation moléculaire, les régions métastables sont typiquement associées aux conformations atomiques d'une molécule (ou d'un ensemble de molécules), et on est intéressé par simuler et étudier les transitions entre ces conformations. Dans cet exposé, j'expliquerai comment on peut étudier les évènements de sortie d'un état métastable en utilisant la notion de distribution quasi-stationnaire et un problème aux valeurs propres associé au générateur infinitésimal du processus. Ce point de vue permet de construire des algorithmes très efficaces pour simuler de tels processus (en utilisant notamment des architectures parallèles), et donne également une nouvelle manière de prouver les lois d'Eyring-Kramers, en utilisant des techniques de l'analyse semi-classique.

Résumé : Le modèle de Poland-Scheraga, introduit en 1970 pour décrire le phénomène de dénaturation de l’ADN, a été largement étudié ces 40 dernières années aussi bien dans la littérature physique que mathématique. Plus récemment, une version généralisée de ce modèle a été considérée, notamment d’un point de vue mathématique par Giacomin et Khatib, afin de faire face aux limitations du modèle originel (qui supposaient que les deux brins étaient de longueur égale et parfaitement alignés). On décrira dans cet exposé le modèle de Poland Scheraga généralisé, qui se base sur des processus de renouvellement bidimensionels pour décrire les ‘boucles’ présentes dans l'ADN. On caractérisera la transition de dénaturation (i.e. lorsque les deux brins d’ADN se décrochent), et on soulignera l’existence d'une transition dite de condensation (i.e. l’apparition d’une boucle macroscopique), absente du modèle originel. Travail en collaboration avec G. Giacomin et M. Khatib

Résumé : Le modèle d'Ising est un modèle mathématique pour le ferromagnétisme dans lequel des spins sont positionnés sur les sommets d'un graphe. Pour une large classe de graphes planaires plongés, dits graphes isoradiaux, des poids locaux pour ce modèle peuvent être choisis pour qu'une condition d'intégrabilité, dite équation de Yang-Baxter, soit vérifiée. On dit alors que le modèle est Z-invariant. Dans un travail en collaboration avec Béatrice de Tilière et Kilian Raschel, nous étudions le modèle d'Ising Z-invariant sur des graphes isoradiaux infinis. Nous montrons que certaines quantités probabilistes ont une expression locale en fonction de la géométrie du plongement. Notre outil principal est la bijection de Temperley, entre le modèle d'Ising et un modèle de dimères sur un réseau décoré. Nous parlerons des propriétés de ce modèle en lien avec la géométrie d'une courbe algébrique naturellement associée au modèle de dimère.

Résumé : 

Résumé : We consider the positive solution of the heat equation with random potential on the d-dimensional lattice with initial condition localised at the origin. The potential is supposed i.i.d. with upper tails close to doubly-exponential. In this case, the solution is known to exhibit intermittent behaviour, i.e., its mass is asymptotically concentrated on relatively small ``islands'' that are well-separated in space. The number of islands needed is known to be a.s. asymptotically bounded by any small power of time. We show that, with probability tending to one as time increases, most of the mass of the solution is carried by a single island whose size remains bounded. Joint work with Marek Biskup and Wolfgang Koenig.

Résumé : 

Résumé : For a large number of stochastic systems of 2d statistical mechanics and asymptotic representation theory the smoothed global fluctuations remain finite as the size of the system grows. Their asymptotic is governed by (typically log-correlated) Gaussian fields. I will present a new approach for studying such fluctuations through Schur generating functions of the underlying measures. The approach produces in a unified way the asymptotic theorems for many systems, including random domino and lozenge tilings, non-intersecting random walks, decompositions of tensor products, quantum random walks on irreducible representations.

Résumé : 

We will present two models of reinforced random walks: the linearly edge-reinforced random walk (ERRW), the vertex reinforced Jump Process(VRJP) and how the two models are linked. Both models depends on initial weights, on some graphs they can be recurrent for small weights and transient for large ones. We will show that when we decrease the initial weights both models get more recurrent in a certain sense. This in turns means that both models exhibit a phase transition in dimensions 3 and more: they are recurrent up until some critical weight after which they are transient.

 

Connexion info: subscribe to sem-proba or contact Oriane Blondel.

Résumé : Growth-fragmentation processes describe systems of particles in which each particle may grow larger or smaller, and divide into smaller ones as time proceeds. Unlike previous studies, which have focused mainly on the self-similar case, we introduce a new type of growth-fragmentation which is closely related to L\'evy driven Ornstein-Uhlenbeck type processes. Our model can be viewed as a generalization of compensated fragmentation processes introduced by Bertoin (Ann. Probab. 2016). We establish a convergence criterion for a sequence of such growth-fragmentations. We also prove that, under certain conditions, the average size of the particles converges to a stationary distribution as time tends to infinity.

Résumé : In high dimension, it is customary to consider Lasso-type estimators to enforce sparsity. For standard Lasso theory to hold though, the regularization parameter should be proportional to the noise level, which is generally unknown in practice. A remedy is to consider estimators, such as the Concomitant Lasso, which jointly optimize over the regression coefficients and the noise level. However, when data from different sources are pooled to increase sample size, or when dealing with multimodal data, noise levels differ and new dedicated estimators are needed. We provide new statistical and computational solutions to perform heteroscedastic regression, with an emphasis on functional brain imaging with magneto- and electroencephalographic (M/EEG) signals. When instantiated to de-correlated noise, our framework leads to an efficient algorithm.Experiments demonstrate improved prediction and support identification with correct estimation of noise levels. Results on multimodal neuroimaging problems with M/EEG data are also reported. This is joint work with M. Massias and A. Gramfort.

Résumé : We consider the estimation of noisy low-rank matrices. We compute the minimal mean square error (MMSE) for this statistical problem. We will observe a phase transition: there exists a critical value of the signal-to-noise ratio above which it is possible to make a non-trivial guess about the signal, whereas this is impossible below this critical value. We will see that this problem reduces to the study of a spin glass system. We will show that this system enjoys specific properties, because it arises from a statistical problem. Using these properties and tools from the study of spin glasses, we compute limiting expressions for the free energy and the MMSE. (joint work with Marc Lelarge)

Résumé : We ask the question whether entropy accumulates, in the sense that the operationally relevant total uncertainty about an n-partite system A=(A1,…An) corresponds to the sum of the entropies of its parts Ai. The Asymptotic Equipartition Property implies that this is indeed the case to first order in n, under the assumption that the parts Ai are identical and independent of each other. Here we show that entropy accumulation occurs more generally, i.e., without an independence assumption, provided one quantifies the uncertainty about the individual systems Ai by the von Neumann entropy of suitably chosen conditional states. The analysis of a large system can hence be reduced to the study of its parts. This is relevant for applications in particular to quantum cryptography.

Résumé : De nouveaux algorithmes permettent aujourd’hui de minimiser efficacement la norme de la variation totale (norme 1) sur l’espace des mesures signées. Cela ouvre de nouvelles perspectives et questions en apprentissage statistique (estimation de mesures atomiques, tests…). En particulier, on peut se demander quelle est la pertinence de cette approche face à des techniques classiques où l’on préfère travailler sur une « grille » (le support des mesures atomiques est alors contraint à appartenir à une grille fixée à l’avance). Dans cet exposé nous présenterons une comparaison de ces deux approches pour un problème de test où l’on cherche à detecter des mesures atomiques. Cela nécessitera la construction d’un test sur l’espace des mesures signées, que l’on mènera grâce au calcul exact de la loi jointe du maxima et de la Hessienne d’un processus gaussien à l’aide d’une formule de Kac-Rice.

Résumé : 

In this talk, we will consider the random graph with given degree sequence and Bernoulli percolation on top. To start with, we will survey several old and new results on the component structure of this graph. Then, we will concentrate on the switching technique, which is our main tool, and will give the idea behind the proofs of our main results. If time permits, we will see an interesting example of a multi-jump behaviour for the size of the largest component at different percolation thresholds. The talk is based on a joint work with Dieter Mitsche and Guillem Perarnau.

Résumé : 

A classical problem of statistical mechanics is to understand the behaviour of a polymer in interaction with a solvent containing impurities. From a mathematical point of view, the polymer is described by a random walk on $\mathbb{Z}^d$ of length $N$ placed in a time-independent random environment (the impurities).

Over the last forty years most of the efforts in this area of research in mathematics and theoretical physics have focused on the analysis of the directed polymer model, that is a model which describes a polymer stretched along a given direction. Based on the recent articles with Q. Berger, C.-H. Huang and R. Wei (arXiv:2101.05949, arXiv:2002.06899), in this talk we present a non-directed polymer model: we consider a simple symmetric random walk on $\mathbb{Z}^d, \, d\ge 1$ where the interaction with the environment occurs on the range of the random walk, i.e. on the set of sites visited by the walk. This model can also be viewed as a randomly perturbed version of random walks penalized or rewarded by their ranges.
We discuss the results obtained for this model under the assumption that the environment has heavy-tail, that is the distribution function of the environment decades polynomially with an exponent $\alpha>0$, and we compare them to the results already known in the directed polymer framework.

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First, we revisit the stochastic Luria-Delbrück model: a classic two-type branching process which describes cell proliferation and mutation. We prove limit theorems and exact results for the mutation times, clone sizes, and number of mutants. Second, we extend the framework to consider mutations at multiple sites along the genome. The number of mutants in the two-type model characterises the mean site frequency spectrum in the multiple-sites model. Further, we provide law-of-large-numbers and large-deviations results for the infinite-sites limit. Our predictions are consistent with previously published cancer genomic data. To conclude, we briefly discuss ongoing work in collaboration with biologists on branching random walks and the phylogenetic reconstruction of cancer evolution.

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In this talk we will present the formalism of s-embeddings of weighted abstract planar graphs carrying the Ising model, introduced recently by Chelkak. In that setup and under rather mild geometric assumptions, we derive usual crossing estimates for the FK Ising model that indentifies some critical and near critical regime for a given abstract graph. We finish by presenting new convergence statements enlightening the rather unexpected link between the Ising model and the Lorentz geometry discovered by Chelkak, which leads to reimebed planar graphs as a space-like surface in the Minkowski space.

Résumé : 

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Résumé : 

Tom Hutchcroft and I have been working to develop a general theory of percolation on arbitrary finite transitive graphs. We have had to apply tools from the study of percolation on infinite transitive graphs (traditionally studied by "probabilists") to percolation on high-degree finite graphs (traditionally studied by "combinatorialists") and vice versa. In this presentation, I would like to advertise a tool that we have brought back from the high-degree setting. It is a new way to apply a sharp threshold result originally due to Bourgain then sharpened by Hatami. I will explain how this tool can be applied to give a very short proof of a new result in the setting of percolation on infinite transitive graphs, namely that in the supercritical phase, the infinite cluster density `theta' is determined by the (Benjamini-Schramm) local geometry of the underlying graph.

Résumé : 

For finite size Markov chains, the probability that a time-averaged observable take an anomalous value in the long time limit was quantified in a celebrated result by Donsker and Varadhan. In the study of interacting particle systems, one is interested not only in the large time, but also in the large system size limit. To each observable (for instance the density of particles or the two point correlations) corresponds a different scaling in terms of the system size. In the large size limit, one then has to focus on a specific observable, and could try to extract, from the Donsker-Varadhan functional, information pertaining to the scale of that observable. 
For reversible dynamics, the functional is explicit, and taking the large system size limit boils down to a computation. For non-reversible dynamics, i.e. out of equilibrium, the functional is not explicit. In this case, using the Donsker-Varadhan result as a starting point seems considerably more difficult. 

In a joint work with Thierry Bodineau, we study a paradigmatic example of out of equilirium interacting particle systems: the one-dimensional symmetric simple exclusion process connected with reservoirs of particles at different density. We focus on two point correlations and obtain the long time, large system size limits on the probability of observing anomalous correlations. This is done through quantitative, non-asymptotic estimates at the level of the dynamics. The key ingredient is a precise approximation of the dynamics and its invariant measure (not explicitly known), that is of independent interest. The quality of this approximation is controlled through relative entropy bounds, making use of recent results of Jara and Menezes.

Résumé : 

Dans cet exposé, on s'intéresse à un certain type de champ aléatoire: le champ de Brown-Resnick. La loi de ce dernier est décrite par deux paramètres: l'un d'échelle, l'autre de Hurst. On suppose que le champ est observé dans une fenêtre fixée en un nombre fini de sites. Les sites sont donnés par la réalisation d'un processus ponctuel de Poisson. Estimer les paramètres par maximum de vraisemblance est en pratique impossible car les lois fini-dimensionnelles ne peuvent être calculées de façon efficace. Pour y remédier, nous considérons les estimateurs par maximum de vraisemblance composite en retenant comme pairs les pairs de points qui sont voisins dans la triangulation de Delaunay sous-jacent et comme triplets les triplets qui sont sommets d'un triangle de Delaunay. Les résultats sont des théorèmes limites sur ces estimateurs, lorsque l'intensité du processus de Poison tend vers l'infini. Travail joint avec Christian Y. Robert.

Résumé : 

Résumé : 

Résumé : 

We consider a stochastic model for the evolution of a discrete population structured by a trait taking finitely many values on a grid of [0, 1] with mutation and selection. Our aim is the study of the dynamics of the population in logarithm size and time scales, under a large population assumption.

In the first part of the talk, individual mutations are rare but the global mutation rate tends to infinity. Then negligible sub-populations may have a strong contribution to evolution. The traits can also be horizontally transferred, leading to a trade-off between natural evolution to higher birth rates and transfer which drives the population towards lower birth rates. We prove that the stochastic discrete exponent process converges to a piecewise affine continuous function, which can be described along successive phases determined by dominant traits.

In the second part of the talk, the individual mutations are small but not rare, we don’t have transfer and we assume the grid mesh for the trait values becoming smaller and smaller. Here again, the contribution of small sub-populations is important. We establish that under our rescaling, the stochastic discrete exponent process converges to the viscosity solution of a Hamilton-Jacobi equation, filling the gap between individual-based evolutionary models and Hamilton-Jacobi equations.

Joint works with N. Champagnat and V.C. Tran, and S. Mirrahimi for the second part.

Résumé : 

Résumé : 

We investigate the macroscopic behaviour of the density fluctuations of a one dimensional dynamics of hard rods with random length. After recentering on the effective velocity the density fluctuations of particles of a given velocity v will evolve on the diffusive scaling driven by a browian motion with a diffusivity depending on v. This rigid evolution of fluctuations is expected in other completely integrable systems (Box-Ball, Toda Lattice,..), in contrast with the behavior in chaotic dynamics.
Joint work with Pablo Ferrari (U. Buenos Aires).

Résumé : 

We introduce the notion of a Markov process indexed by a random tree, and discuss how one can develop an excursion theory for such a class of random objects. The study of this universal class, in the particular case when the random tree is the Brownian tree and the Markov process is a Brownian motion,  has been essential in the development of the so-called Brownian geometry. No prerequisites aside from basic properties of Brownian motion will be assumed. The content of this talk is based on joint works with Armand Riera.

Résumé : 

In this talk I will show how the same algebraic approach, which relies on the su(1,1) Lie algebra, can be used to construct two duality results. One is well-known: the two processes involved are the symmetric inclusion process and a Markov diffusion called Brownian Energy process. The other one is a new result which involves a particle system of zero-range type, called harmonic process, and a redistribution model similar to the Kipnis-Marchioro-Presutti model. Despite the similarity, it turns out that the second relation involves integrable models and thus duality can be pushed further. As a consequence, all moments in the stationary nonequilibrium state can be explicitly computed.

Résumé : 

Run-and-tumble particles (RTP) are a paradigmatic active matter model, typically modelling the evolution of bacteria. I will present how, by directly modelling the system of two RTP on a torus at the continuous-space and -time level thanks to piecewise deterministic Markov processes (PDMP), we can derive the conservation conditions which sets the invariant distribution and explicitly construct two universality classes for the steady state, the detailed-jamming and the global-jamming classes. They respectively identify with the preservation or not of a detailed symmetry at the level of the dynamical internal states between probability flows entering and exiting jamming configurations. I will further discuss how a spectral analysis of the tumble kernel gives explicit expressions for the invariant measure in the general case. Interestingly, the invariant measure follows, away from jamming configurations, a catenary-like constraint, which results from the interplay between probability conservation and the dynamical skewness introduced by the jamming interactions. This work shows the powerful analytical approach PDMP provide for the study of the stationary behaviors of RTP sytems and motivates their future applications to larger systems, with the goal to derive microscopic conditions for motility-induced phase transitions.

Résumé : 

I will introduce the directed polymer model in dimension 1+d, which describes a one-dimensional polymer chain placed in some disordered medium. I will give an overview of the model and I will discuss its relation to the stochastic heat equation (SHE) with multiplicative noise. This has been widely studied in the case where the disorder admits a second moment ; it corresponds to the SHE with Gaussian white noise.
I will then present the results obtained in collaboration with Carsten Chong (Columbia, USA) and Hubert Lacoin (IMPA, Brazil) on directed polymers and the SHE with Lévy noise.

Résumé : 

I will discuss a two-dimensional stochastic heat equation with a nonlinear noise strength, and consider a limit in which the correlation length of the noise is taken to 0 but the noise is attenuated by a logarithmic factor. The limiting pointwise statistics can be related to a stochastic differential equation in which the diffusivity solves a PDE somewhat reminiscent of the porous medium equation. This relationship is established through the theory of forward-backward SDEs. I will also explain several cases in which the PDE can be solved explicitly, some of which correspond to known probabilistic models. This talk will be based on current joint work with Cole Graham and earlier joint work with Yu Gu.

Résumé : The Ensemble Kalman filter is a sophisticated and powerful data assimilation method for filtering high dimensional problems arising in fluid mechanics and geophysical sciences. This Monte Carlo method can be interpreted as a mean-field McKean-Vlasov type particle interpretation of the Kalman-Bucy diffusions. Besides some recent advances on the stability of nonlinear Langevin type diffusions with drift interactions, the long-time behaviour of models with interacting diffusion matrices and conditional distribution interaction functions has never been discussed in the literature. One of the main contributions of the talk is to initiate the study of the long time behavior of these models.

Résumé : Bayesian inference and statistical physics are formally closely related. Therefore methodology and concepts developed in statistical physics to understand disordered materials such as glasses and spin glasses can be elevated to analyze models of statistical inference. We will present this approach in a rather general setting that covers analysis of compressed sensing, generalized linear regression, and the perceptron - a kind of a single layer neural network. At the one hand, this approach leads to the approximate message passing algorithm that is gaining its place among other widely used regression and classification algorithms. At the other hand, the related analyses leads to identification of phase transitions in the performance of Bayes-optimal estimators. We will discuss relation between these phase transitions and algorithmic hardness, and in the case of compressed sensing we will show how this understanding leads to a design of optimal measurement protocols. Based partly on "Statistical-physics-based reconstruction in compressed sensing" PRX 2012 and reviewed in "Statistical physics of inference: Thresholds and algorithms" Advances of Physics 2016.

Résumé : L'apprentissage des paramètres d'un système dynamique pour que ses trajectoires présentent des propriétés voulues est au coeur de l'utilisation des réseaux de neurones pour modéliser des données temporelles (texte, séries numériques, traduction automatique...). Une approche standard est une descente de gradient stochastique sur un signal d'erreur. Malheureusement cet algorithme a l'inconvénient de "remonter le temps" le long de la trajectoire, ce qui nécessite de l'entraîner à partir d'un grand nombre de trajectoires courtes qui sont chacune analysées en partant de la fin. Cela rend impossible l'apprentissage en temps réel. Un problème similaire se retrouve dans d'autres modèles, par exemple, l'ajustement de modèles markoviens pour prédire des observations. Nous présenterons une analyse mathématique de la convergence de nouveaux algorithmes pour l'ajustement en temps réel d'un système dynamique. Contrairement aux approches précédentes, nous n'avons pas besoin d'hypothèses probabilistes sur l'environnement du système.

Résumé : Nous verrons comment combiner la formule géométrique de Steiner avec la méthode probabiliste de Stein permet étudier les fluctuations autour de la transition de phase qu'on peut observer dans un grand nombre de problèmes linéaires inverses avec contraintes aléatoires

Résumé : Je vais raconter une brève histoire des équations aux dérivées partielles stochastiques d'un point de vue personnel, pour introduire et motiver les équations qui m'ont le plus intéressé, et arriver jusqu'à la théorie récente des structures de régularité.

Résumé : We study random walks on groups with the feature that, roughly speaking, successive positions of the walk tend to be "aligned". We formalize and quantify this property by means of the notion of deviation inequalities. We show that deviation inequalities have several consequences including Central Limit Theorems, the local Lipschitz continuity of the rate of escape and entropy, as well as linear upper and lower bounds on the variance of the distance of the position of the walk from its initial point. In a second part of the paper, we show that the (exponential) deviation inequality holds for measures with exponential tail on acylindrically hyperbolic groups. These include non-elementary (relatively) hyperbolic groups, Mapping Class Groups, many groups acting on CAT(0) spaces and small cancellation groups.

Résumé : On considère l’opérateur obtenu en perturbant le Laplacien par un bruit blanc, sur un segment de taille L. Cet opérateur, appelé Hamiltonien d’Anderson, est la limite d’échelle de modèles de matrices aléatoires, et joue un rôle important dans l’étude du modèle d’Anderson parabolique. Dans ce travail, nous nous intéressons au comportement asymptotique (quand L tend vers l’infini) du bord du spectre de cet opérateur. Nous montrons que les valeurs propres convergent vers un processus de Poisson ponctuel et que les vecteurs propres convergent vers des masses de Dirac localisées en des points iid uniformes. Par ailleurs, nous montrons que la forme de chaque vecteur propre autour de son centre de localisation converge vers une fonction déterministe simple. Travail en collaboration avec Laure Dumaz (Dauphine).

Résumé : Dans cet exposé, nous nous intéresserons à des marches aléatoires sur des graphes aléatoires à degrés prescrits. Nous présenterons des résultats établissant le phénomène de cutoff pour la marche aléatoire simple et pour la marche dite "sans rebroussement": pour chacune de ces deux marches, le temps de mélange peut être décrit de façon extrêmement précise, la distance à l'équilibre restant très proche de 1 jusqu'au temps de mélange et chutant abruptement de 1 à 0 en une période de temps bien plus petite appelée la fenêtre du cutoff. Une interprétation du temps de mélange en terme de l'entropie des marches sur un arbre de Galton-Watson nous permettra ensuite de comparer ces deux temps de mélange et de montrer que sur les graphes aléatoires, la marche sans rebroussement mélange plus vite que la marche simple. Ces résultats ont été obtenus en collaboration avec Justin Salez d'une part, Eyal Lubetzky et Yuval Peres d'autre part.

Résumé : The dimer model with two-periodic weights on the square grid features all three possible macroscopic phases. In this talk, we introduce the domino shuffle dynamics on both the Aztec diamond and the torus. We also discuss Wolf's prediction for Anisotropic KPZ models featuring a `rigid' phase. This talk is based on joint work with Fabio Toninelli.

Résumé : Nous montrons que les vecteurs aléatoires iid qui satisfont une hypothèse de moment assez faible peuvent être utilisés comme vecteurs de mesure pour le problème d'acquisition comprimée. Pour ce type de vecteurs de mesures, nous montrons que le nombre de mesures nécessaires pour une reconstruction exacte est identique à celui obtenu pour une matrice de mesures Gaussienne. Nous montrons ensuite que cette condition de moment est nécessaire à un facteur log log près.

Résumé : The six vertex model can be reformulated as a theory of random stepped surfaces called height functions. In the thermodynamic limit, the random height function of the model typically converge to a deterministic limit shape. We study the limit shapes of the six vertex model with stochastic weights, for which the six vertex model can be viewed as a Markov process. We show that the limit shapes are determined by a conservation law type PDE, that can be solved by the method of characteristics.

Résumé : 

The Blotto game was introduced in 1921 by Émile Borel, together with the foundations of game theory. It is a simple resource allocation problem where two players have to allocate a fixed budget across N battlefields; the highest bidder wins the battlefield. Over its century-long existence, the game has received a lot of attention and many variants have been proposed. Solving this game means finding optimal strategies when they exist or, if they don't, finding Nash equilibria. Despite this interest, important cases (including constant-sum games where optimal solutions are known to exist) were still out of reach of explicit methods. In this talk, after an overview of the literature, I will present an algorithmic approach based on probabilistic arguments and that can be implemented using a modification of Sinkhorn iterations, made popular recently in computational optimal transport. This talk assumes no background on game theory. Joint work with Vianney Perchet (ENSAE) et Thibaut Le Gouic (Centrale Marseille).

Résumé : It is a well known prediction that, at least in the case of Temperley discretizations, individual double-dimer interfaces and the full loop ensemble converge to SLE(4) curves and the nested CLE(4), respectively. After the breakthrough works of Kenyon (the link between statistics of loops and determinants of vector-bundle Laplacians defined by SL(2,C) connections) and of Dubédat (the link with tau-functions in the case of locally unipotent monodromies), the current state-of-the-art looks like that this prediction is "almost proven". Nevertheless, there are some nontrivial "technicalities" needed to complete such a virtual proof, thus the main goal of this _informal_ talk is to discuss what is still missing, especially on the probabilistic side. In particular, it seems that a good RSW-type theory for double-dimer interfaces should be eventually sufficient to complete the argument (warning: this is not about the topology of convergence). On a more rigorous note, I will explain how to derive the convergence of the probability that a double-dimer interface in a Temperley domain (linking two marked boundary points) passes to the left of two given inner points from a version of Dubédat's results. Based on a joint project with Mikhail Basok (St.Petersburg).

Résumé : In the 70's, Tutte developed a clever algebraic approach, based on certain "invariants", to solve a functional equation that arises in the enumeration of properly coloured triangulations. The enumeration of plane lattice walks confined to the first quadrant is governed by similar equations, and has led in the past decade to a rich collection of attractive results dealing with the nature (algebraic, D-finite or not) of the associated generating function, depending on the set of allowed steps. To be applicable, the method requires the existence of two functions called "invariant", and "decoupling function", respectively. We construct those using the interpretation of the kernel of the model as a Riemann surface of genus 1, and using the transformation theory of elliptic functions.

Résumé : On considère le problème général (limite de champ moyen) de remplacer un problème à N corps par un problème à un corps dans la limite d'un grand nombre de particules. Un point de vue fructueux est de se baser sur l'indépendance statistique asymptotique des particules. En mécanique classique, un outil bien connu pour ce faire est le théorème de de Finetti (ou Hewitt-Savage), qui convertit de l'indiscernabilité en indépendance dans un grand système de mécanique classique. L'analogue en mécanique quantique est moins connu, mais son usage s'est révélé tout aussi important ces dernières années. Cet exposé sera une revue assez basique et informelle des idées générales impliquées dans la preuve du théorème de de Finetti quantique et dans ses applications (en particulier pour un programme de recherche en collaboration avec Mathieu Lewin et Phan Thành Nam). Si le temps le permet, je présenterais des résultats plus récents sur le problème plus difficile des limites diluées.

Résumé : In the paper "Arctic curves of the six-vertex model on generic domains: the Tangent Method" [J. Stat. Phys. 164 (2016) 1488, arXiv:1605.01388], by Filippo Colomo and myself, we pose the basis for a method aimed at the determination of the "arctic curve" of large random combinatorial structures, i.e. the boundary between regions with zero and non-zero local entropy, in the scaling limit. In this paper many things are claimed, and few are proven. In particular a few questions remain only vaguely answered: * how rigorous is this method? * in which cases does it apply, rigorously or heuristically? * in the cases where other methods exist, how does it compare? We will try to answer to this partially, by giving a "top-to-bottom" rigorous derivation for the simplest and oldest case: the arctic circle phenomenon for "domino tilings of the aztec diamond", first discovered by Jockusch, Propp and Shor [arXiv:math/9801068, but in fact from 1995]. We suppose that, of the nowadays many possible derivations of the arctic circle phenomenon, those coming from the tangent method (and restricted to the rigorous versions of it) are the fastest and cheapest ones. The audience will judge...

Résumé : We consider TASEP in continuous time with non‐random initial conditions and arbitrary fixed density of particles rho. We show GOE Tracy‐Widom universality of the one‐point fluctuations of the associated height function. The result phrased in last passage percolation language is the universality for the point‐to‐line problem where the line has an arbitrary slope. (Joint work with Alessandra Occelli)

Résumé : Nous étudions le processus de Schur avec deux bords libres, une généralisation du processus de Schur original de Okounkov et Reshetikhin. Nous calculons ses fonctions de corrélation et utilisons le résultat pour analyser, entre outre, les modèles de percolation de dernier passage symétrique. Travail joint avec Jérémie Bouttier, Dan Betea et Mirjana Vuletić.

Résumé : Quand on veut étudier propriétés de la percolation orientée dans la phase surcritique, on doit la conditionner par l'événement de percolation, et ce conditionnement nous fait perdre un certain nombre de propriétés (indépendance, stationarité...). Le but de cet exposé sera d'expliquer comment construire des temps de renouvellement, qui permettent de retrouver le cadre d'application des théorèmes ergodiques sous-additifs, et d'obtenir par exemple un théorème de forme asymptotique, des inégalités de grandes déviations, et un théorème de convergence pour le nombre de chemins. Ces travaux sont en collaboration avec Olivier Garet et Jean-Baptiste Gouéré.

Résumé : Nous nous intéressons à des EDPs stochastiques avec Laplacien fractionnaire d'ordre rho dans ]0,2[, conduites par un bruit blanc spatiotemporel. La théorie des structures de régularité de Martin Hairer peut être appliquée à ces équations lorsqu'elles sont localement souscritiques, ce qui requiert que rho soit supérieur à une valeur critique, dépendant de la dimension de l'espace et de l'ordre du terme non-linéaire. Lorsque rho s'approche de cette valeur, la taille du secteur singulier de la structure de régularité diverge d'une manière que l'on peut déterminer en comptant des arbres décorés satisfaisant un certain nombre de contraintes. Dans cet exposé, j'éviterai les aspects les plus techniques des structures de régularité, pour me concentrer sur le problème de combinatoire posé par la caractérisation de leur espace modèle, et leur étude par des méthodes probabilistes. Travail en commun avec Christian Kuehn (TU Munich) (J. Statist. Phys. 168 (2):331-368 (2017), arXiv:1701.03066).

Résumé : 

Résumé : Le modèle des graphes aléatoires hyperboliques était introduit comme un modèle prometteur pour les réseaux complexes. Nous considérons le modèle de Krioukov et al. et nous calculons le trou spectral de la Laplacienne de ce modèle. Plus précisément, nous montrons que $\lambda_2$ d'un tel graphe est $\Omega(n^{-(2\alpha-1)}/polylog(n))$, où $n$ est le nombre de noeuds et $ 1/2 < \alpha < 1$ est un paramètre du modèle. Nous concluons aussi que la borne supérieure de $\lambda_2$ obtenue par l'inégalité de Cheeger est presque atteinte. Nous caractérisons aussi les ensembles des noeuds pour lesquelles cette borne est atteinte. (travail en collaboration avec Marcos Kiwi)

Résumé : 

Joint work with F. Bassino, M. Bouvel, V. Féray, L. Gerin, A. Pierrot -- The subject of pattern-avoiding permutations is a classic of enumerative combinatorics, still rich of interesting open problems. We adopt a probabilistic point of view: What does the diagram of a large permutation in a pattern-avoiding class typically look like?  Generalizing previous results, we consider classes that possess a finite specification with regard to the so-called substitution decomposition. We obtain convergence results to either Brownian separable permutons or deterministic limit shapes. In the proof, we use tree encodings and classical analytic combinatorics tools. If I have some time left, I will talk about some computations that we can perform on the limiting objects, with interesting consequences in the discrete.

Résumé : On introduit une nouvelle classe de systèmes de processus de renforcement. L'interaction a lieu à travers le renforcement. Elle est de type champ moyen. Différentes applications sont possibles : systèmes d'urnes, systèmes d'algorithmes stochastiques, systèmes de marches aléatoires sur le simplexe. On établit des résultats de type synchronisation, au sens où, à taille de système finie, une limite temporelle presque sûre commune apparaît. Cette limite peut être déterministe ou aléatoire selon le type de renforcement. Les fluctuations par rapport à cette limite seront considérées à travers un résultat de type théorème central limite fonctionnel. Les résultats sont fondés principalement sur un article avec I. Crimaldi (IMT Lucca), P. Dai Pra (Padova), I.G. Minelli (l'Aquila), Stoc. Proc. Appl. 2018.

Résumé : Soit P un polynôme non-commutatif quelconque en $k$ unitaires algébriquement libres $u_i$ et leur inverse, et soient $S_1^{(n)},…, S_k^{(n)}$ des matrices de permutations iid. Nous considérons la matrice aléatoire en dimension $P^{(n)}$ obtenue en remplaçant $u_i$ par $S_i^{(n)}$ et nous nous intéressons à son action sur le sous-espace vectoriel de $C^n$ des vecteurs dont la somme des coordonnées est nulle. Le spectre asymptotique de $P^{(n)}$ est approximativement connu avec forte probabilité grâce à des résultats de liberté asymptotique de Nica. Nous prouvons en plus qu’il n’y a pas d’aberration (outlier), i.e. que la convergence forte a lieu. Nous décrivons ensuite quelques conséquences en théorie des graphes. Cet exposé se base sur un preprint en collaboration avec Charles Bordenave arXiv:1801.00876.

Résumé : (Travaux en commun avec E. Le Masson, M. Sabri) Nous nous intéresserons aux phénomènes de (dé)localisation pour les fonctions propres du laplacien discret sur des graphes. Après avoir passé en revue diverses notions de localisation/délocalisation, nous nous intéresserons plus spécifiquement à la notion d'ergodicité quantique et démontrerons (sous certaines hypothèses supplémentaires) le théorème suivant : si un arbre infini possède du spectre absolument continu, et si on ``approxime'' cet arbre par des grands graphes finis, alors les fonctions propres de ces derniers sont à peu près équidistribuées sur les sommets. Notons qu'il s'agit d'un énoncé déterministe ; pour les graphes réguliers aléatoires, un résultat d' ``unique ergodicité quantique" a été démontré par Yau, Huang, Bauerschmidt et Knowles.

Résumé : On considère une marche markovienne en temps discret et aux plus proches voisins dans Z^d dont les transitions, inhomogènes en temps, sont déterminées par l’environnement suivant. Initialement, on tire de façon i.i.d. en chaque site de Z^d un vecteur de transition selon une loi \mu dont on suppose que le drift moyen associé v est non nul. On munit ensuite chaque arrête d’une horloge de Poisson de paramètre c>0. Quand une horloge sonne on actualise l’environnement en échangeant les vecteurs situés à chacune des extrémités de l’arrête concerné. A chaque pas de temps le marcheur détermine son saut suivant en regardant le vecteur de transition associé au site où il est. Dans le cas où l’environnement est renouvelé complètement entre chaque pas de temps (c=+\infty) le marcheur réalise une marche simple de vitesse $v$. Nous montrons que la vitesse empirique du marcheur est p.s. arbitrairement proche de cette vitesse si on choisit $c$ suffisamment grand. Dans le cas de la dimension 1, le résultat est plus précis puisque nous montrons l’existence d’une vitesse dans le cas perturbatif de $c=+\infty$ et, également, de $c=0$ sous l’hypothèse que la marche est transiente à $c=0$. Ces résultats ont été établis en collaboration avec Michele Salvi et François Huveneers.

Résumé : 

The theory of Loewner chains provides a one-to-one correspondence between real valued continuous curves (called the Driver) and certain increasing family of compact sets in upper half plane. In this correspondence, one dimensional Brownian motion gives rise to Schramm-Loewner Evolution (SLE). One obstacle in this construction is that one has to additionally prove that the corresponding family of compact sets is given by a curve, called the Trace. We will address this existence of trace problem both in random and deterministic frameworks. We will also address the continuity of the map which maps the driver to the trace and present some new results in this direction.

Résumé : Let $G$ be a bounded-degree infinite graph. The first step to study percolation on $G$ is to prove the nontriviality of the phase transition. Let $p_c$ be the critical parameter of bond percolation on $G$ to be the infimum value of $p$ that you have an infinite cluster almost surely. We prove that if the isoperimetric dimension of $G$ is higher than 3, then $p_c(G)<1$. The theorem settles affirmatively two conjectures of Benjamini and Schramm. Notably, if $G$ is a transitive graph with super-linear growth, then $p_c(G) <1$. In particular, it implies that if $G$ is a Cayley graph of a finitely generated group without a finite index cyclic subgroup, then $p_c(G)<1$. The proof of the theorem starts with the existence of an infinite cluster for percolation in a certain in-homogeneous random environment governed by the Gaussian free field. Then, by proving a differential inequality, we relate the existence of an infinite cluster in percolation in the random environment to that of percolation with a parameter $p<1$. This talk is based on a joint work with H. Duminil-Copin, S. Goswami, F. Severo, and A. Yadin.

Résumé : Un agent doit choisir à chaque instant parmi K options produisant chacune une variable aléatoire de distribution inconnue. Son but est de maximiser la somme des variables obtenues. Comment doit-il s’y prendre ? Pour le cas où les variables sont seulement supposées bornées, nous présentons une solution asymptotiquement optimale basée sur la construction de bornes supérieures de confiance par la méthode de la vraisemblance empirique.

Résumé : 

Nous développerons une interprétation probabiliste de l’équation de fragmentation.
Cette équation est une équation intégro-différentielle déterministe. L’originalité de ce
travail est d’utiliser des équations mathématiques de fragmentation qui modélisent le
phénomène d’avalanche.
Nous introduisons d’abord des processus de branchement associés à l’équation de
fragmentation. La proposition d’un noyau de fragmentation propre à l’avalanche, qui est
discontinu, permet de construire un processus stochastique adapté, pour décrire les pro-
priétés physiques de la phase de fragmentation de l’avalanche. En outre, nous montrons
que ces processus sont solutions d’une équation différentielle stochastique à sauts. Nous
construisons ensuite une méthode de simulation probabiliste. En utilisant cet algorithme
on met en évidence la propriété fractale observée dans les avalanches. Une propriété de
scaling est aussi étudiée.
Ce travail est développé dans le cadre d’une collaboration avec Lucian Beznea (IMAR,
Bucarest) et Oana Lupaşcu-Stamate (ISMMA, Bucarest).

Résumé : 

Le modèle de Derrida--Retaux est un modèle simple de renormalisation sur
un arbre, introduit en physique statistique pour étudier une transition
de phase d'un modèle de polymères. De nombreuses conjectures restent
ouvertes sur cette famille de modèles. Dans cet exposé, on construira
une version continue de ce modèle, qui se trouvera être intégrable.
Nous verrons les résultats que l’on peut obtenir sur cette version du
modèle, en se concentrant sur le comportement à la criticalité.

Résumé : We discuss conformally invariant measures on families of curves known as multiple Schramm-Loewner evolutions ($SLE_\kappa$), that naturally correspond to interfaces in critical planar lattice models with alternating (”generalized Dobrushin”) boundary conditions. These measures are uniquely characterized by a natural cascade property, and can be explicitly constructed using the Brownian loop measure. 
The talk is based on joint works with Hao Wu (Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University) and Vincent Beffara (Université Grenoble Alpes, Institut Fourier).

Résumé : L'équation de Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) est un modèle de croissance d'interface mis à l'honneur par une série de travaux explicitant son comportement asymptotique à grande échelle sous forme de processus déterminantal en dimension un. Dans le régime inverse, à petite échelle, Hairer et Gubinelli ont montré que l'équation était bien posée en temps petit à condition de soustraire un contre-terme. Nous nous intéressons dans une série de travaux au cas d'une dimension spatiale sur-critique $\ge 3$, pour laquelle l'équation n'est bien posée qu'à condition de mettre un cut-off sur le bruit. Une des façons de la comprendre est de la voir comme énergie libre de polymères dirigés sur le réseau. Nous avons montré récemment avec J. Magnen que l'équation se comportait à grande échelle comme le modèle linéaire sous-jacent (modèle d'Edwards-Wilkinson ou équation d'Ornstein-Uhlenbeck) avec des coefficients renormalisés. La démonstration repose sur une approche par résolvante inspirée de travaux de J. Magnen et D. Iagolnitzer sur les marches faiblement auto-évitantes en dimension 4, suivant les principes généraux de la théorie constructive des champs (développements en cluster, analyse multi-échelle).

Résumé : Soit $(Z_n)_{n\geq 0}$ un processus de branchement dans un environnement $\xi = (\xi_0, \xi_1, \cdots ) $ indépendant et identiquement distribué, indexé par le temps $n=0,1, \cdots$. Lorsque l'environnement $\xi$ est donné, $(Z_n)_{n\geq 0}$ est un processus de Galton -Watson non-homogène, dont la loi de reproduction des individus de la $n$-ème génération est $ p(\xi_n) : = (p_0(\xi_n), p_1(\xi_n), p_2(\xi_n), ...)$ (qui dépend de l'environnement au temps $n$). Nous considérons le cas sur-critique où $P(p_0(\xi_0)=0) =1 $ et $P (p_1 (\xi_0) >0) >0$. Nous montrons que pour tout $j\geq 1$, la limite $q_j = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{P(Z_n=j) }{ [Ep_1(\xi_0)]^n } $ existe à valeurs dans $[0,\infty)$, avec $q_j >0$ si et seulement si l'état $j$ est accessible. La mesure limite $(q_1,q_2, \cdots)$ peut être calculée par une relation de récurrence, dont la fonction génératrice $G(s) = \sum_{j\geq 1} q_j s^j$ est caractérisée par une équation fonctionnelle. Dans la démonstration, nous trouvons un phénomène de changement de phases pour les propriétés asymptotiques des moments harmoniques $E Z_n^{-r}$ de $Z_n$, dont la valeur critique est différente que celle pour l'existence des moments harmoniques de la variable limite $W = \lim_{n\rightarrow \infty} Z_n/ E(Z_n | \xi)$. Ce dernier résultat montre une différence remarquable de nature entre le cas d'un environnement aléatoire et le cas d'un environnement constant. (Travail commun avec Ion Grama et Eric Miqueu.)

Résumé : In the talk we consider a variant of the basic problem of the calculus of variations, where the Lagrangian is convex and subject to randomness adapted to a Brownian filtration. We solve the problem by reducing it, via a limiting argument, to an unconstrained control problem that consists in finding an absolutely continuous process minimizing the expected sum of the Lagrangian and the deviation of the terminal state from a given target position. Using the Pontryagin maximum principle one can characterize a solution of the unconstrained control problem in terms of a fully coupled forward-backward stochastic differential equation (FBSDE). We use the method of decoupling fields for proving that the FBSDE has a unique solution. The talk is based on joint work with Alexander Fromm, Thomas Kruse and Alexandre Popier.

Résumé : Machine learning deals with mathematical objects that have structure. Two common structures arising in applications are point clouds / histograms, as well as time series. Early progress in optimization (linear and dynamic programming) have provided powerful families of distances between these structures, namely Wasserstein distances and dynamic time warping scores. Because they rely both on the minimization of a linear functional over a (discrete) space of alignments and a continuous set of couplings respectively, both result in non-differentiable quantities. We show how two distinct smoothing strategies result in quantities that are better behaved and more suitable for machine learning applications, with applications to the computation of Fréchet means.

Résumé : 

We are interested in recovering information on a stochastic block model from the subgraph discovered by an exploring random walk. Stochastic block models correspond to populations structured into a finite number of types, where two individuals are connected by an edge independently from the other pairs and with a probability depending on their types. We consider here the dense case where the random network can be approximated by a graphon. This problem is motivated from the study of chain-referral surveys where each interviewee provides information on her/his contacts in the social network. First, we write the likelihood of the subgraph discovered by the random walk: biases are appearing since hubs and majority types are more likely to be sampled. Even for the case where the types are observed, the maximum likelihood estimator is not explicit any more. When the types of the vertices is unobserved, we use an SAEM algorithm to maximize the likelihood. Second, we propose a different estimation strategy using new results by Athreya and Röllin. It consists in de-biasing the maximum likelihood estimator proposed in Daudin et al. and that ignores the biases.

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Résumé : 

In this talk we are going to study branching processes and their extension when the offspring distribution is changing over time. We are going to analyse the extinction probability. By using a two-spine decomposition we are going to give the law of the process conditioned on survival.

Résumé : 

Une marginale d’un opérateur agissant sur un produit tensoriel d’espaces de Hilbert est la matrice obtenue en prenant la trace partielle sur un sous-ensemble de facteurs tensoriels. On considère la loi jointe de toutes les marginales d’une matrice aléatoire de Wishart multipartite et on montre, dans certains régimes asymptotiques, que ces matrices aléatoires sont asymptotiquement libres. Dans d’autres régimes, où certains espaces de Hilbert ont une dimension fixe, on n’a plus la liberté asymptotique, et on calcule les cumulants libres mixtes de la loi
limite. On utilise la méthode des moments pour décrire la loi limite, et on développe la combinatoire des cartes avec des arêtes colorées, nécessaires pour l’analyse des moments de ces tenseurs aléatoires. Ceci est un travail en commun avec Stéphane Dartois et Luca Lionni, arXiv:1808.08554, à paraître dans Random Matrices: Theory and Applications.

Résumé : 

 In planar first and last passage percolation, one considers an i.i.d. field of noise and the weight of a given path is obtained by integrating the noise along it. The object of interest then is the optimum weight of a path joining two given far away vertices and the geodesic that attains it. Under rather general conditions, these models are believed to be in the Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) universality class and are conjectured to exhibit  a number of shared universal features governing the weight and geometry of the geodesics. The rigorous understanding of this, however, is mostly limited to the integrable, or, exactly solvable, models of last passage percolation. In this talk, we shall discuss some recent and some not so recent results regarding the geometry of geodesics in certain exactly solvable models of planar last passage percolation focussing on transversal fluctuations, coalescence and rarity of disjoint geodesics among others.

Résumé : 

The contact process is a particle system introduced by Ted Harris as a simple toy model for the spread of disease on a network. Governed by simple rules, this process has been widely studied over more than 40 years on a number of different networks such as lattices, trees, the configuration model and the preferential attachment model, to name a few. We will address the question of survival and extinction on each of these examples, and then ask what could be the effect of adding some stationary dynamics to the networks. We will show two examples in which the addition of dynamics hurt and benefit the infection, respectively. (Joint work with E. Jacob, P. Mörters and D. Remenik)

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Résumé : 

Nous considérons un modèle stochastique de dynamique des populations où chaque individu est caractérisé par un trait dans {0,1,…, L} et possède un taux de reproduction naturel, un taux de mortalité logistique dû à l'âge ou la compétition et une probabilité de mutation vers des traits voisins à chaque événement de reproduction.
Nous choisissons les paramètres pour créer une vallée de fitness : des mutations délétères doivent être créées avant d'atteindre la première mutation avantageuse.
Nous étudions la limite des grandes populations et des mutations rares selon plusieurs échelles. En particulier, lorsque le taux de mutation est suffisamment faible, on observe un comportement métastable : le temps de sortie de la vallée est aléatoire, à distribution exponentielle.
Travail en collaboration avec Anton Bovier et Charline Smadi.
 

Résumé : 

Résumé : 

On va présenter la combinatoire de l'expansion topologique pour des champs gaussiens à valeurs dans les matrices symétriques, hermitiennes ou quaternioniques hermitiennes. En particulier en présence d'une connexion orthogonale/unitaire/compacte symplectique, l'expansion topologique fait apparaître des traces d'holonomie de la connexion le long de boucles de marche aléatoire.

Résumé : 

We analyse the spectrum of the (scaled) adjacency matrix A of the Erdős-Rényi graph G(N, d/N) in the critical regime d = b log N. We establish a one-to-one correspondence between vertices of degree at least 2d and nontrivial eigenvalues outside the asymptotic bulk [−2, 2]. This correspondence implies a transition at an explicit b*. For d>b* log N the spectrum is just the bulk [−2, 2] and the eigenvectors are completely delocalized. For d< b* log N another phase appears. The spectrum outside [−2, 2] is not empty and there the eigenvectors concentrate around the large degree vertices.

(Joint work with Antti Knowles and Johannes Alt)

Résumé : 

Erythropoiesis is a biological phenomenon (process) of production of red blood cells by cellular differentiation. It is based on amplification steps due to an interplay between renewal and differentiation in the successive cell types from stem cells to red blood cells. We will study this mechanism with a stochastic point of view to explain unexpected fluctuations on the red blood cell numbers, as surprisingly observed by biologists and medical doctors in a rest erythropoiesis.
We consider three cell types: stem cells, progenitors and red blood cells. Each cell type is characterized by its own dynamics parameters: its division rate and by the renewal and differentiation probabilities at each division event. We model the global population dynamics by a three-dimensional stochastic decomposable branching process. We show that the amplification mechanism is given by the inverse of the small difference between the differentiation and renewal probabilities. Introducing a parameter $K$ which scales simultaneously the size of the first component, the differentiation and renewal probabilities and the red blood cell death rate, we describe the asymptotic behavior of the process for large $K$.
We show that each cell type has its own size scale and its own time scale. Focusing on the third component, we prove that the red blood cell population size, conveniently renormalized (in time and size), is expanded in an usual way inducing large fluctuations. The proofs are based on a fine study of the different scales involved in the model and on the use of different convergence and average techniques in the proofs.

Résumé : 

The arboreal gas is a probability measure that arises from conditioning the random subgraph given by Bernoulli(p) bond percolation to be a spanning forest, i.e., to contain no cycles. This conditioning makes sense on any finite graph G, and specializes to the uniform measure on spanning forests when p = 1/2. One is naturally lead to ask about the percolative properties of the arboreal gas, and this turns out to be a surprisingly rich question. I will discuss some results and conjectures about the arboreal gas, most of which are based on important relations between the arboreal gas and spin systems with hyperbolic symmetry.

 

Based on joint work in progress with Roland Bauerschmidt, Nick Crawford, and Andrew Swan.

 

Résumé : 

Activated Random Walks (ARW) is an interacting particle system which is believed to be an example of Self-Organised Criticality (SOC), in that the competition between the particles' activity and inactivity spontaneously drives the system to a critical state. In this talk I will discuss several notions of criticality and, specialising to ARW on the one-dimensional lattice, I will illustrate how some of them relate to each other. Based on joint work with Lionel Levine (Cornell).

Résumé : 

Résumé : 

Ideas from physics have predicted a number of important properties of
sparse random constraint satisfaction problems such as the satisfiability
threshold and the free energy (the exponential growth rate of the number of
solutions). Another prediction is the condensation regime where most of the
solutions are contained in a small number of clusters and the overlap of
two random solutions is concentrated on two points. We establish this
phenomenon for the first time in the random regular NAESAT model.

Résumé : 

Résumé : 

We define an inhomogeneous percolation model on "ladder graphs" obtained as direct products of an arbitrary graph G = (V;E) and the set of integers (vertices are thought of as having a "vertical" component indexed by an integer). We make two natural choices for the set of edges, producing an unoriented graph and an oriented graph. These graphs are endowed with percolation configurations in which independently, edges inside a fixed infinite "column" are open with probability q, and all other edges are open with probability p. For all fixed q one can define the critical percolation threshold p_c(q). We show that this function is continuous in (0, 1). Joint work with Daniel Valesin.

 

Connexion info: send an email to blondel@math.univ-lyon1.fr.

Résumé : 

The focus of this talk will be on random matrices with square-integrable i.i.d. cooefficients, also known as Girko matrices. It is known, by a series of works that begins with Girko (1984) and ends with Tao and Vu (2010), that the empirical measures of properly normalized Girko matrices converge to the uniform measure on the unit disk. The question of the existence of outliers naturally appears. I will show, by a study of the characteristic polynomial of Girko matrices, that this question can be answered negatively. This talk is based on a joint work with Charles Bordenave and Djalil Chafaï [arXiv:2012.05602].

Résumé : 

Les forêts aléatoires (random forests, Breiman, 2001) sont très couramment utilisées en statistique, avec de très bonnes performances pratiques, mais leur analyse théorique complète reste un problème ouvert. 
Des modèles simplifiés comme les forêts purement aléatoires ont alors été introduits, afin de faire un premier pas vers la compréhension théorique des forêts aléatoires de Breiman. On dispose alors d'une décomposition du risque comme la somme de deux termes, que l'on peut interpréter comme une erreur d'approximation (du signal par le "modèle" défini par la forêt) et une erreur d'estimation (des paramètres de ce "modèle"). Robin Genuer (2010) a étudié la diminution de l'erreur d'estimation lorsque la taille de la forêt augmente.
Sous des hypothèses de régularité sur la fonction de régression, nous verrons que l'erreur d'approximation peut être significativement plus petite avec une forêt infinie qu'avec un arbre seul, ce qui se traduit par une vitesse d'apprentissage plus rapide. 

Cet exposé se fonde sur un travail en collaboration avec Robin Genuer.
http://arxiv.org/abs/1407.3939
http://arxiv.org/abs/1604.01515

Résumé : 

We prove a phase transition for the contact process (a simple model for infection without immunity) on a homogeneous random graph that is initially Erdős–Rényi, but reacts dynamically to the infection to try to prevent an epidemic via updating edges in only the infected neighbourhoods. Under this graph dynamic, the presence of additional infection can help to prevent the spread and so many monotonicity-based techniques fail but analysis is made possible nonetheless via a forest construction. This talk is based on joint work in progress with Marcel Ortgiese and Peter Mörters.

Résumé : 

If lengths 1 and 2 are assigned randomly to each edge in Z^2, what are the fluctuations of distances between far away points?

This problem is open, yet we know, in great detail, what to expect. The directed landscape, a universal random plane geometry, provides the answer to such questions.

What is the directed landscape? What does it teach us about longest increasing subsequences in random permutations, about random polymers, about models for spread of infection, about tetris, about random Schrodinger operators, and about cell biology?

Résumé : 

Interface growth models are described microscopically by a random discrete height function that evolves according to an irreversible Markovian dynamic (often related to interacting particles systems like ASEP or dimer models). The macroscopic behaviour of the interface is given by the Hydrodynamic limit (Law of Large Numbers) i.e the convergence of the space-time rescaled height function to the solution of a non-linear Hamilton-Jacobi PDE $\partial_t u = v( \nabla u)$. Fluctuations are conjecture to share universal features in link with the KPZ equation, depending on the dimension and the convexity of $v$. I will present the Hydrodynamic limit of the Gates-Westcott model, a (2+1)-dimensional generalisation of the Polynuclear Growth Model in the anisotropic KPZ class and of the Borodin-Ferrari dynamic, a long-jump version of the corner growth model.

Résumé : 

We consider the Gaussian free field on the cable system corresponding to a transient weighted graph and study the percolation problem associated to its excursion sets above a given real-valued height h. Owing to certain `integrability properties’ of this setup, involving the strong Markov property of the field and the central role played by a certain capacity observable, we rigorously determine the behavior of several quantities related to the (near-)critical picture for this problem. In particular, our results apply in case the base graph is the three-dimensional cubic lattice, and unveil the values of the associated critical exponents.

 

Joint work with A. Drewitz and A. Prévost.

Résumé : 

Graph alignment refers to recovering the underlying vertex correspondence between two random graphs with correlated edges. This problem can be viewed as an average-case and noisy version of the well-known graph isomorphism problem. 

For correlated Erdös-Rényi random graphs, we will first give insights on the fundamental limits for the planted formulation of this problem, establishing statistical thresholds for partial recovery. 

Then, motivated by designing an efficient (polynomial-time) algorithm to recover the underlying alignment in a sparse regime, a message-passing algorithm based on testing correlation in trees is proposed. We study this related correlation detection problem in trees and identify a sharp phase transition in the limit of large degrees for the existence of suitable tests. 

As a byproduct, this result gives insights on the performance of the message-passing algorithm for our initial problem on graphs.

 

Based on joint works with Laurent Massoulié, Marc Lelarge and Guilhem Semerjian.

Résumé : 

In this talk I will discuss a simple generalization of the resolvent to real symmetric tensors which yields a spectral representation of a subclass of tensor invariants. I will then discuss the expected resolvent for a random tensor distributed on a Gaussian (generalizing the Gaussian Orthogonal Ensemble) and show that the spectral density (discontinuity of the resolvent at the cut) respects a universal lay generalizing the Wigner semicircle law to higher order tensors. Finally I will discuss an application of this resolvent to the spiked tensor model.

 

Résumé : 

On décrit comment le processus limite pour un modèle de percolation de dernier passage stationnaire dans un demi-espace est obtenu. Le processus limite est une famille de distributions à deux paramètres: un pour les poids sur la diagonale délimitant le demi-espace (intensité de la source à l'origine dans la représentation équivalente en termes de TASEP sur la demi-droite) et l'autre pour la distance du point d'observation depuis l'origine. Basé sur des travaux communs avec Dan Betea et Patrik Ferrari.

Résumé : 

I will discuss the large time behaviour of a Brownian diffusion in two dimensions, whose drift is divergence-free, ergodic and given by the curl of the 2-dimensional Gaussian Free Field. Together with G. Cannizzaro and L. Haundschmid, we prove the conjecture by B. Toth and B. Valko that the mean square displacement is of order $t \sqrt{\log t}$. The same type of superdiffusive behaviour has been predicted to occur for a wide variety of (self)-interacting diffusions in dimension d = 2: the diffusion of a tracer particle in a fluid, self-repelling polymers and random walks, Brownian particles in divergence-free random environments, and, more recently, the 2-dimensional Anisotropic KPZ equation. To the best of our authors’ knowledge, ours is the first instance in which $\sqrt{\log t}$ superdiffusion is rigorously established in this universality class.

Résumé : 

Les verres de spin sont des modèles de mécanique statistique codant des interactions désordonnées entre de nombreuses unités simples. Une des quantités d'intérêt fondamentales est l'énergie libre du modèle, dans la limite où le nombre d'unités tend vers l'infini. Pour une classe restreinte de modèles, cette limite a été prédite par Parisi, et plus tard prouvée rigoureusement par Guerra et Talagrand. Je montrerai d'abord comment reformuler ce résultat en utilisant une équation de Hamilton-Jacobi de dimension infinie. Je présenterai ensuite des résultats partiels suggérant que ce nouveau point de vue pourrait nous permettre de comprendre les énergies libres limites d'une plus grande classe de modèles, en me concentrant en particulier sur le cas où les unités sont organisées sur deux couches, et n'interagissent que d'une couche à l'autre.

Résumé : 

Les bandits stochastiques multi-bras multi-joueurs sont un modèle où plusieurs joueurs font à chaque étape un choix parmi plusieurs options, et cherchent simultanément à se fixer sur les meilleures options et à éviter les collisions entre joueurs. En se concentrant sur le plus petit cas non trivial (trois bras et deux joueurs), on étudiera le regret optimal pour ce modèle dans le cas i.i.d.. On verra qu'il est le même que dans le modèle à un joueur à un facteur logarithmique près. Travaux en commun avec Sébastien Bubeck et Mark Sellke.

Résumé : 

Résumé : 

I will discuss proofs of optimal (up to constants) variance bounds on the solutions to the KPZ equation on a torus, as the time scale and the size of the torus are taken to infinity together, in the super-relaxation regime and part of the relaxation regime. The arguments are based on stochastic analysis and do not use a connection to a discrete system. Joint work with Yu Gu and Tomasz Komorowski.

Résumé : 

Nous présenterons une classe générale de processus de Markov branchants pour modéliser la prolifération de parasites dans une population de cellule. La quantité de parasites dans chaque cellule croit suivant une diffusion avec des sauts positifs. Chaque cellule se divise à un taux dépendant de la quantité de parasites qu'elle contient et répartit ses parasites à la division entre ses deux cellules filles, possiblement de façon asymétrique. Les cellules peuvent également mourir. Nous étudierons le comportement en temps long du processus, notamment l'influence de deux paramètres sur la probabilité de survie de la population de cellules : la loi de répartition des parasites à la division entre les cellules filles, et la forme de la dépendance des taux de division et de mort des cellules en la quantité de parasites qu'elles contiennent.

Il s'agit d'un travail en collaboration avec Charline Smadi (Inrae Grenoble).

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Un processus d'Ornstein-Uhlenbeck avec seuil est un processus d'autoregression à temps continu. Il suit une dynamique d'Ornstein-Uhnlenbeck au dessus ou dessous d'un seuil fixé, pourtant à ce seuil les coefficients peuvent être discontinus. Nous considérons l'estimation par (quasi)-maximum de vraisemblance des paramètres de dérive, à partir d'observations à temps continu ou discret. Dans le cas ergodique, nous montrons consistance et vitesse de convergence en temps long et haute fréquence pour ces estimateurs. En se basant sur ces résultats, nous développons un test pour la présence d'un seuil dans la dynamique. Si le temps le permettra, nous discuterons aussi les extensions à d’autres diffusions avec un ou plusieurs seuils et l’estimation pour un pas de discrétisation fixé.

Ceci est un travail avec Paolo Pigato (Rome).

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Il y a par contre cette semaine la conférence :

Determinantal and permanental point processes, quantum physics, and signal processing

https://indico.in2p3.fr/event/25182/timetable/

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Nous nous intéressons aux déviations des temps locaux d’une marche branchante critique sur Z^d.

Dans un travail récent, Angel, Hutchcroft et Jarai considèrent le cas des temps locaux en un point donné de Z^d, et observent des comportements nouveaux et variés de la queue de distribution en fonction de la dimension. Dans cet exposé je parlerai d’une extension de leur résultat au cas de boules de rayon arbitraire.

L’exposé est basé sur un travail en cours, en commun avec Amine Asselah (Créteil).

Résumé : 

Les forêts aléatoires (random forests, Breiman, 2001) sont très couramment utilisées en statistique, avec de très bonnes performances pratiques, mais leur analyse théorique complète reste un problème ouvert. Des modèles simplifiés comme les forêts purement aléatoires ont alors été introduits, afin de faire un premier pas vers la compréhension théorique des forêts aléatoires de Breiman. 

En régression, on dispose alors d'une décomposition du risque quadratique comme la somme de deux termes, que l'on peut interpréter comme une erreur d'approximation (du signal par le "modèle" défini par la forêt) et une erreur d'estimation (des paramètres de ce "modèle"). Dans cet exposé, nous étudions comment chacun de ces termes dépend de la profondeur de chaque arbre et du nombre d'arbres dans la forêt. 

Nous obtenons des résultats théoriques précis pour un modèle jouet. Sous des hypothèses de régularité sur la fonction de régression, la vitesse d'apprentissage d'une grande forêt est strictement meilleure que celle d'un arbre seul, et ceci provient uniquement de ses meilleures qualités d'approximation. 

Ces résultats théoriques se généralisent à plusieurs autres types de forêts purement aléatoires. Ils sont complétés par une étude numérique des forêts "hold-out" (un type de forêt purement aléatoire proche des forêts de Breiman), mettant en évidence un comportement similaire, ce qui éclaire comment les forêts aléatoires "classiques" fonctionnent. 

Cet exposé se fonde sur un travail en collaboration avec Robin Genuer.
http://arxiv.org/abs/1407.3939v2
http://arxiv.org/abs/1604.01515

Résumé : 

Résumé : 

The polynuclear growth model is one of the most important models in the KPZ universality class. Generally it has been studied in the droplet geometry, where it is equivalent to the longest increasing subsequence of a random permutation, whose solution sparked the KPZ revolution. We study it for general initial data and show that it is an integrable Markov process sharing the key structures of the KPZ fixed point, determinantal formulas for the transition probabilities and fixed time n-point distributions governed by completely integrable equations, the non-Abelian 2D Toda lattice. Joint with Konstantin Matetski and Daniel Remenik.

Résumé : 

Consider a large random permutation satisfying some constraints or biased according to some statistics. What does it look like?
 
In this seminar we make sense of this question introducing the notion of permutons. Permuton convergence has been established for several models of random permutations in various works: we will give an overview of some of these results, mainly focusing on the case of pattern-avoiding permutations.

The main goal of the talk is to present a new family of universal limiting permutons, called skew Brownian permutons. This family includes (as particular cases) some already studied limiting permutons, such as the biased Brownian separable permuton and the Baxter permuton. We also show that some natural families of random constrained permutations converge to some new instances of skew Brownian permutons.

The construction of these new limiting objects will lead us to investigate an intriguing connection with some perturbed versions of the Tanaka SDE and the SDEs encoding skew Brownian motions.
 
At the end of the talk, we will present some conjectures on how it should be possible to construct these new limiting permutons directly from the Liouville quantum gravity decorated with two SLE curves.

Résumé : 

Résumé : Le modèle de Duarte est un modèle de mécanique statistique dans lequel chaque site de Z² peut être sain ou infecté. Dans sa version percolation bootstrap, la dynamique est déterministe, les sites infectés le restent pour toujours, et un site sain est infecté lorsqu’une contrainte est satisfaite. Dans sa version modèle avec contraintes cinétiques, la dynamique est stochastique, les sites infectés peuvent guérir et les sites sains être infectés, et un site peut changer d’état lorsque la même contrainte est satisfaite. Dans cet exposé, on étudiera la vitesse de divergence du premier temps auquel un site est infecté lorsque la probabilité d’infection tend vers zéro, et on constatera qu’un phénomène de barrière d’énergie rend cette divergence beaucoup plus rapide dans le modèle avec contraintes cinétiques que dans le modèle de percolation bootstrap.

Résumé : 

Nous obtenons des inégalités de concentration Gaussienne non-asymptotiques pour la différence entre la mesure invariante $\nu$ d'un processus de diffusion ergodique et la distribution empirique d'un schéma d'approximation à pas décroissants le long d'une classe appropriée de fonctions tests $f$ ( suffisamment régulières ) telles que $ f - \nu (f)$ soit un cobord du générateur infinitésimal. Avec des hypothèses supplémentaires sur le "carré du champ``, nous montrons que les déviations de la mesure empirique est majorée par une loi normale correspondant au Théorème Centrale Limite associée. Ces estimées permettent d'avoir des intervalles de confiance non-asymptotiques explicitement calculables pour le schéma d’approximation.

Résumé : 

Hurwitz numbers count ramified coverings of the complex projective line, and a particular family of maps. They can also be interpreted as partition functions for random integer partitions under deformations of the Plancherel measure. The same measures were studied by Diaconis and Shahshahani in the context of random walks on the symmetric group, and were related to tau-functions of the Toda lattice integrable hierarchy by Okounkov. We study these measures in new regimes, finding limit shapes of large random partitions and approximate asymptotics of unconnected Hurwitz numbers. From the corresponding model of random unconnected maps, we consider the asymptotic enumeration of high genus connected maps. Based on ongoing joint work with Guillaume Chapuy and Baptiste Louf.

 

Résumé : Dans cet exposé nous construisons un nouvel algorithme pour approcher la solution de l'équation de la chaleur avec condition initiale et condition au bord. Cet algorithme est une version sophistiquée de la marche aléatoire sur les sphères, utilisée pour résoudre le problème de Dirichlet. L'idée centrale est d'utiliser des résultats récents pour l'approximation des temps d'atteinte des processus de Bessel. La convergence de l'algorithme sera démontrée et illustrée.