Institut Camille Jordan

Résumé : 

Voir https://semtournant-tdn.sciencesconf.org/resource/page/id/27

Résumé : 

L'exposé porte sur un travail commun avec Alain Faisant (Saint-Étienne), Ram Krishna Pandey (Roorkee) et Sai Teja Somu (Mumbai), paru à arXiv <https://arxiv.org/abs/1809.07584> et intitulé  "Additive Complements for a given asymptotique density".

Étant donné un nombre réel  a  compris entre 0 et 1, nous étudions l'existence d'ensembles A et B d'entiers naturels, tels que la densité asymptotique de leur somme A+B soit égale à a. Nous résolvons d'abord le cas où B est fini. Ensuite nous abordons, en le généralisant, le cas A=B. Plusieurs questions restent ouvertes.

Résumé : 

Résumé : 

Les nombres multizêtas peuvent s'écrire comme des sommes de séries et comme des intégrales. Leur expression intégrale fait d'eux des périodes du groupoïde fondamental pro-unipotent de $\mathbb{P}^1 \setminus \{0,1,\infty\}$. Les multizêtas p-adiques sont définis comme les analogues p-adiques de ces intégrales. Nous montrerons comment exprimer les multizêtas p-adiques comme des sommes de séries, ce qui permet en particulier de les calculer explicitement. Nous mentionnerons le rôle de la notion de multizêtas finis définie par Kaneko et Zagier, et d'une question posée par Deligne et Goncharov sur le lien entre le calcul explicite des multizêtas p-adiques et leurs propriétés algébriques. Pour exprimer les résultats nous introduirons des nouveaux objets en lien avec la théorie de Galois motivique.

Résumé : 

Striker and Williams defined promotion and rowmotion for the toggle group of an rc-poset.
They investigated the distributive lattice of the alternating sign matrices which is the lattice of order ideals of the poset $\bf{A}_n$, which is obtained by gluing the positive root posets $\Phi^+(A_k)$.
We consider the set of the half-turn symmetric alternating sign matrices as a distributive lattice by the height function and investigate the underlying poset, which is obtained by gluing the positive root posets $\Phi^+(B_k)$.

Résumé : 

We discuss the beginnings of a theory of noncommutative Mobius functions and its connections to the structure of the algebra of faces of a hyperplane arrangement. It is to be seen as a generalization of the theory of Mobius functions for lattices, developed by Rota and his school in the 70's.

Joint work with Swapneel Mahajan.

Résumé : 

En dimension $d\geq3$ on prend $n$ simplexes et on recolle leurs facettes de manière arbitraire. On obtient ainsi un espace topologique qui est a priori une pseudo-variété, mais pas toujours une variété. De combien de manières peut-on le faire, asymptotiquement, pour obtenir une variété ? On donne des réponses (très) partielles à cette question sous la forme de bornes inférieures et supérieures superexponentielles. En particulier, on détermine le comportement surexponentiel en dimension $3$, dans le cas des triangulations coloriées issues des modèles de tenseur. Au passage on croise des questions rigolotes et nouvelles d'énumération de graphes que nous laissons partiellement ouvertes.

Travail en commun avec Guillem Perarnau.

Résumé : 

During this talk, we will explore the connection between minimizers of the discrete logarithmic energy on the unit sphere  of dimension 2, univariate polynomials with optimal condition number in the Shub-Smale sense, and a quotient involving norms of polynomials.
We will show how to construct a set of polynomials with optimal condition number, how such polynomials produce spherical points with logarithmic energy close to the minimal one, and we will prove a sharp Bombieri inequality for univariate polynomials with complex coefficients.

Résumé : 

La symétrisation divisée est un opérateur linéaire sur les polynômes multivariés. Il a été introduit  pour exprimer le volume des permutoèdres généralisés, et apparaît également dans le contexte du calcul de Schubert pour la variété de drapeaux. Nous expliquerons ces termes et décrirons divers aspects combinatoires et algébriques de la symétrisation divisée, notamment son action sur diverses familles de polynômes.
Travail en commun avec V. Tewari (UPenn)

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A shelling order of a simplicial/polytopal complex is an ordering of the top dimensional faces that allows us to understand various properties of the underlying complex (when it exists). Empirically, some shelling orders are better than others in the sense that they are easier to analyze or come equipped with structured gluing data. This is especially notable for complexes that admit many shelling orders, like polytopes and and matroid independence complexes. We propose a strange connection, linking shelling orders of dual matroid polytopes to shelling orders of independence complexes. In particular, we show that several classical theorems about shellability of matroids have geometric interpretations. We use this to address to propose a new strategy for a 1977 conjecture of R. Stanley about face numbers of independence complexes: that the h-vector is a pure O-sequence. 

The talk is based on joint work with Alex Heaton

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Let L/k be a finite abelian extension of an imaginary quadratic number field k. Let p be a rational prime which does not split in k/Q and let p denote the prime of O k lying over p. We assume that p splits completely in L/k. We then generalize a construction of Solomon and obtain in this way a pair of elliptic p-units in L. 

We then express their valuations in terms of a p-adic logarithm of an explicit elliptic unit generalizing a result of Solomon in the cyclotomic sitting. Results of this kind have applications in proofs of the equivariant Tamagawa number conjecture.

This is a report on joint work with Martin Hofer.

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Let k and l be positive integers with k >=l . A cycle with two blocks C(k,l) is an oriented cycle formed by the union of two internally disjoint directed paths of lengths k and l respectively. Recently, Kim et al. proved that any strong digraph containing no subdivisions of C(k,l) has chromatic number at most 12k^2. In fact, we are able to improve this upper bound to 4k^2, not only for strong digraphs  but also for digraphs having a spanning out-tree.  Moreover, we prove that every digraph containing a Hamiltonian directed path with no subdivisions of C(k,l) has chromatic number at most 3(k-1). 

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Voir https://semtournant-tdn.sciencesconf.org/resource/page/id/25

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Un exemple d'invariant de Gromov--Witten est le nombre de courbes rationnelles de degré $d>0$ dans le plan projectif complexe $\mathbb{P}^2_\mathbb{C}$ passant par $3d-1$ points. En général, ces invariants ont une définition assez technique : ils sont obtenus comme le degré de l'intersection de certaines classes cohomologiques qui vivent dans l'espace de module des applications stables, construit par M. Kontsevich. En 2004, A. Givental et Y.P. Lee ont défini de nouveaux invariants qui sont des analogues $K$-théoriques des invariants de Gromov--Witten usuels. Ces invariants sont obtenus comme la caractéristique d'Euler de fibrés sur le même espace de module.

Dans cet exposé, on introduira une $q$-série $K$-théoriques. Il se trouve que cette $q$-série est la solution d'une équation aux $q$-différences.
On expliquera comment voir cette $q$-série comme le $q$-analogue d'une série bien connue pour les invariants de Gromov--Witten cohomologiques, appelée fonction $J$ de Givental. On tentera ensuite d'établir quelques propriétés de cette $q$-série.

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On s’intéresse aux ensembles A et B de réels pour lesquels l’ensemble somme A+B est de petite taille. On sait que la mesure de A+B est de mesure au moins la somme des mesures de A et de B et que l’on a égalité lorsque A et B sont des intervalles. En considérant les diamètres de A et B, I. Ruzsa a cependant amélioré cette minoration. Nous expliquerons son travail et nous décrirons les ensembles A et B pour lesquels la taille de A+B est proche de ce minorant. La considération de ce même problème dans le cercle permet d’améliorer les minorations pour les ensembles de réels et nous nous intéresserons donc aussi aux ensembles du cercle R/Z. Une partie de ce travail a été réalisée en collaboration avec Pablo Candela.

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In the arithmetic of elliptic curves, we are interested in the construction of points on an elliptic curve. In particular, it has been shown that we are able to bound certain Selmer groups using modular points, specifically the use of Heegner points by Kolyvagin and self points by Wuthrich. We will define these points and will show how they can be used to create the bounds and its generalisations.

Résumé : 

cf. Tapani_Lyon_ab_2018.pdf

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$M$-functions, named by Y. Ihara, are density functions which describe the value-distribution of $L$-functions. In the case of the Riemann zeta-function, the primitive form of $M$-functions already appeared in the work of H. Bohr and others in 1930s.  In the beginning of the 21st century, Ihara developed a new approach to the theory of $M$-functions in the case of Dirichlet and Hecke $L$-functions, some of which are done jointly with me.  In this talk I will survey the results of Bohr, Ihara and others, and l also report some recent developments in the theory of $M$-functions for other type of zeta and $L$-functions. In particular I will mention my recent joint researches with Y. Umegaki on the value-distribution of some kind of automorphic $L$-functions.

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Une partition d'un nombre entier positif $n$ est une suite $\Lambda : (\lambda_1 \geq \cdots \geq \lambda_l)$ telle que $\lambda_1 + \cdots + \lambda_l = n$. Les entiers qui apparaissent sont appelés les parties de $\Lambda$.
Ma recherche est centrée sur l'étude des partitions des nombres entiers et les identités entre elles. On étudie ce type d'identités en utilisant la relation entre les séries génératrices des partitions et les séries de Hilbert-Poincaré des algèbres graduées associées à un objet important de la géométrie algébrique : l'espace des arcs.

Une de ces identités est la suivante :
Théorème. (La première identité de Rogers-Ramanujan) Le nombre de partitions d'un nombre naturel $n$ dont les parties sont congruentes à 1 ou 4 modulo 5 est égal au nombre de partitions de $n$ dont les parties ne sont ni égales ni consécutives.
En utilisant des idéaux différentiels et des méthodes venant de la théorie d'espace des arcs, nous trouvons une famille d'identités de type Rogers-Ramanujan. Ensuite, nous énonçons une conjecture qui pourrait ajouter un nouveau membre aux identités de Gordon qui sont une généralisation d'identités de Rogers-Ramanujan.

Résumé : 

Les zêtas arborifiés sont une généralisation des nombres multizêtas. Ils peuvent être construit par un relèvement (branchement) de l’opérateur d’Euler-MacLaurin sur des arbres décorés. Je présenterai brièvement cette construction sans m’attarder sur les détails analytiques. Au contraire, je m’attacherai à présenter les propriétés algébriques de ces nombres, et en particulier leurs liens avec des produits de battage d’arbres.
 

Résumé : 

Soit $p > 2$ un nombre premier. Soit $X$ une courbe lisse de genre $g$ définie sur $\mathbb F_p$ ; à chaque recouvrement non ramifié $\pi:Y \rightarrow W$ de degré 2 est associée une variété de Prym, notée $P_{\pi}$, qui est une variété abélienne principalement polarisée de dimension $g-1$. On connaît en général quelles sont les valeurs des $p$-rangs possibles de $P_{\pi}$, sous certaines conditions portant sur le $p$-rang de $X$... mais il reste des cas ouverts. 

Dans la lignée des travaux d'Ozman et Pries, nous allons présenter des exemples de construction de variétés de Prym afin d'étudier l'existence de courbes lisses $X$ et de recouvrements non ramifiés de degré 2 $\pi : Y \rightarrow X$ tels que $X$ et $P_{\pi}$ ont des genres et des $p$-rangs donnés. Nous insisterons particulièrement sur les cas non résolus, qui apparaissent pour des petites valeurs du $p$-rang de $P_{\pi}$.  Les méthodes utilisent principalement les propriétés des matrices de Hasse-Witt de $X$ et $P_{\pi}$.

Collaboration avec Türkü Ozlum Celik, Yara Elias, Burçin Günes, Rachel Newton, Ekin Ozman, Rachel Pries.

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Let $k$ be an imaginary quadratic number field with ring of integers $R$. We discuss how an ideal tessellation of hyperbolic 3-space on which $GL_2(R)$ acts gives rise to an explicit element $b$ of infinite order in the second Bloch group for $k$, and hence to an element $c$ in $K_3(k)$ modulo torsion, which is cyclic of infinite order.  The regulator of $c$ equals $-24 \zeta_k'(-1)$, and the Lichtenbaum conjecture for $k$ at $-1$ implies that a generator of $K_3(k)$ modulo torsion can be obtained by dividing $c$ by twice the order of $K_2(R)$. (The Lichtenbaum conjecture at $0$, because of the functional equation, amounts to the classical formula for the residue at $s=1$ of the zeta-function, involving the regulator of $R^*=K_1(R)$, the size of the torsion subgroup of $R^*$, and the class number of $R$.)

This division could be carried out explicitly in several cases by dividing $b$ in the second Bloch group.  The most notable case is that of $\mathbb{Q}(\sqrt{-303})$, where $K_2(R)$ has order 22.
                                                                                                                                                                                                                   
This is joint work with David Burns, Herbert Gangl, Alexander Rahm, and Dan Yasaki.

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Résumé : 

I shall first explain Odlyzko's method for proving lower bounds for discriminants of number fields, and then describe how one can modify it to get new unconditional lower bounds.  The idea is that since good lower bounds are available if all the low-lying zeroes of the Dedekind zeta function are on the critical line (i.e., if the Riemann hypothesis holds close to the real axis), one should exploit the contribution of a hypothetical low zero positioned away from the critical line. This works reasonably well for fields of up to degree 9 or 10, but peters out by degree 13. 

This is joint work with Karim Belabas, Francisco Diaz y Diaz and Salvador Flores. 

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L'énumération de marches dans des cônes du plan a de nombreuses applications en combinatoire et en probabilités. Ces objets peuvent être traités par des techniques variées : combinatoires, analyse complexe, théorie des probabilités, calcul formel. Les marches restreintes au quart de plan ont beaucoup été étudiées mais le cas des marches restreintes aux trois quarts de plan est plus récent. Dans cet exposé, nous appliquons la méthode analytique pour les marches dans le quart de plan aux marches dans les trois quarts de plan. Cette méthode est composée de trois grandes étapes : écrire une équation fonctionnelle vérifiée par la série génératrice des excursions, la transformer en un problème frontière et le résoudre. Le résultat est sous la forme d'une intégrale sur un contour.

Travail en commun avec Kilian Raschel (Tours)

Résumé : 

We extend from Q to each of the nine imaginary quadratic fields of class number one a result of Serre (1987) and Mestre-Oesterlé (1989), namely that if E is an elliptic curve of prime conductor then either E or a 2-, 3- or 5-isogenous curve has prime discriminant.  For four of the nine fields, the theorem holds with no change, while for the remaining five fields the discriminant of a curve with prime conductor is (up to isogeny) either prime or the square of a prime. The proof is conditional in two ways: first that the curves are modular, so are associated to suitable Bianchi newforms; and second that a certain level lowering conjecture holds for Bianchi newforms. We also classify all elliptic curves of prime conductor and non-trivial torsion over each of the nine fields: in the case of 2-torsion, we find that such curves either have CM or with a small finite number of exceptions arise from a family analogous to the Setzer-Neumann family over Q.

This is joint work with Ariel Pacetti (Córdoba, Argentina)

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La théorie des fonctions symétriques est une source particulièrement fertile d'identités combinatoires importantes (numériques ou polynomiales). Pour cela, il faut bien entendu des expressions positives (avec coefficients entiers). Les mécanismes qui permettent d'obtenir des identités combinatoires intéressantes à partir d’identités pour les fonctions symétriques font en effet intervenir des expressions dites "Schur positives". Nous allons montrer qu’il y a à la fois rareté de ce phénomène de Schur positivité, et forte invariance de celle-ci pour toutes les opérations importantes du contexte. Nous allons ensuite souligner comment plusieurs problèmes importants de la recherche récente en combinatoire algébrique font intervenir cette problématique de Schur positivité. Pour conclure, si le temps le permet, on mentionnera aussi des liens avec une version algébrique du problème P vs NP.

Résumé : 

(Joint work with Daniel Martin, Universidade Federal do ABC, Brasil)

Given two two binary phylogenetic trees on the leaf set {1,2,...,n}, we consider their maximum agreement subtree. It has been conjectured that any maximum agreement subtree of the two trees has $\Theta(\log n)$ leaves. We show that there is an agreement subtree with $\Omega(\sqrt{\log n})$ leaves, thus improving on an earlier bound of $\Omega(\log\log n)$.

To achieve this bound, we combine different special cases: we first prove the conjecture when one of the trees is balanced or when one of the trees is a caterpillar. We then prove a Ramsey theoretic result that roughly says that every binary phylogenetic tree contains a sufficiently large balanced subtree or a sufficiently large caterpillar, a result that is interesting on its own. We use this result to get the $\Omega(\sqrt{\log n})$ bound. Finally, we show that there is an $\alpha > 0$ such that when both the trees are balanced, they have a common subtree with $\Omega(n^\alpha)$ leaves.

Résumé : 

En 1995, Carré et Leclerc ont étudié une bijection due à Stanton et White entre les tableaux de dominos et les paires de tableaux de Young. Ils ont donné une description simplifiée de cette bijection qui met en évidence le rôle joué par les diagonales des tableaux. Ceci leur a permis d'étendre le monoïde plaxique de Lascoux et Schützenberger aux dominos et définir le super monoïde plaxique. Ils ont montré que chaque classe du super monoïde plaxique est représentée par un unique tableau de dominos, et ont proposé une nouvelle description combinatoire du produit de deux fonctions de Schur en utilisant les tableaux de dominos, ce qui a donné une nouvelle expression des coefficients de la règle de Littlewood-Richardson en terme de tableaux de dominos.

Dans un travail récent, on a défini de nouveaux objets combinatoires appelés les tableaux de dominos décalés. Ces objets peuvent être vus soit comme les analogues décalés des tableaux de dominos ou bien comme une généralisation des tableaux de Young décalés. Le but de cette généralisation est de développer une théorie combinatoire des tableaux de dominos décalés parallèle à la théorie des tableaux de dominos, et mettre en lumière les propriétés combinatoires des fonctions P et Q de Schur.

Dans cet exposé je vais introduire les tableaux de dominos décalés, parler d'une bijection entre les tableaux de dominos décalé et les couples de tableaux de Young décalés, et présenter de quelques résultats.

Résumé : 

Travail commun avec Luis Fredes.

Dans cette présentation, on introduira des cartes planaires décorées par un arbre (non nécessairement couvrant). C'est un modèle permettant une interpolation entre les cartes planaires et les cartes planaires décorées par un arbre couvrant. On montrera que l'ensemble des cartes planaires décorées par un arbre est en bijection avec le produit cartésien de l'ensemble des arbres et celui des cartes à bord simple. Comme conséquence on obtiendra des formules de comptage pour des ensembles de cartes décorées par un arbre.

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Résumé : An alternating sign matrix (ASM) is a square matrix in which each entry is 0,1 or -1, and along each row and column the nonzero elements alternate in sign and have a sum of 1. In the early 1980s, Robbins and Rumsey conjectured that the number of nxn ASMs is $\prod_{i=0}^{n-1} \frac{(3i+1)!}{(n+i)!}$. Proofs of this result are not quite as simple as the formula, in fact the first proof (due to Zeilberger) is 84 pages long. Stanley and Robbins also initiated the systematical study of the enumeration of ASMs invariant under the action of subgroups of the symmetry group of the square since it turned out that many of these symmetry classes are also conjecturally enumerated by simple product formulas. The program of proving these conjectures was completed by work of Kuperberg, Okada, and Razumov and Stroganov in 2006 -- with the exception of diagonally and antidiagonally symmetric alternating sign matrices (DASASMs) of odd order. We have recently proven this last conjecture and it is the purpose of the talk to describe its proof. Important ingredients are the six-vertex model, the Yang-Baxter equation, reflection equations and Schur functions. This is joint work with Roger Behrend and Matjaz Konvalinka.

Résumé : 

Les vecteurs mal approchables sont des ensembles fractals jouissant de riches propriétés diophantiennes. A ce titre, ils jouent un rôle crucial dans de nombreux problèmes dépassant le seul cadre de la théorie des nombres et de la géométrie fractale (par exemple en théorie du signal, en physique mathématique ou encore en géométrie convexe).  

Après un exposé de quelques-uns des derniers développements dans ce domaine de recherche très actif, nous nous intéresserons à la conjecture de Littlewood et à ses variantes (1930) qui admettent une reformulation naturelle dans le cadre de la théorie des vecteurs mal approchables. Nous montrerons comment l'émergence d’idées relevant de la combinatoire et de la théorie des pavages apériodiques a récemment permis de réfuter ladite conjecture de Littlewood t-adique.   

Tous les concepts nécessaires seront définis au cours de l'exposé. Certains des résultats présentés ont été obtenus en collaboration avec Fred Lunnon (université de Maynooth) et Erez Nesharim (université hébraïque de Jérusalem). 

Résumé : I will explain a construction of p-adic analogue of multiple zeta value and then show its various fundamental properties.

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Let A be a finite set. A partial clone on A is a set of partial functions closed under composition and containing all projection functions on A. We survey some results in the theory of partial clones. In particular,

1- we show the link between The Erdös-Faber-Lovsáz conjecture for graphs and combinatorial descriptions of some maximal partial clones,

2- we give a complete classification of certain intervals of partial clones, that solves an open problem by D. Lau.

These results were obtain in collaboration with C. Tardif (1) and M. Couceiro, K. Schölzel and T. Waldhauser (2).

Résumé : 

cf. Title-abstract.pdf

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Résumé : De récents résultats de Reading et Speyer suggèrent que l'ordre faible sur les groupes de Coxeter infinis doit être étendu en un ordre "plus grand", afin de permettre l'étude combinatoire des algèbres amassées. Dans ce contexte, certaines conjectures de Matthew Dyer, ouvertes depuis une vingtaine d'année, apparaissent naturellement. Cependant, en l'absence d'un cadre théorique adéquat, ces conjectures restent encore largement ouvertes. Dans cet exposé, je vous présenterai certains objets que j'ai introduit pendant ma thèse, et qui permettent de construire un cadre théorique ayant toutes les qualités requises pour l'étude des conjectures. Si le temps le permet, j'expliquerai aussi comment ce cadre peut, conjecturalement, être utilisé pour l'étude des treillis cambriens.

Résumé : 

Certain classical generating functions for elements of reflection groups can be expressed using fundamental invariants called exponents. We give new analogues of such generating functions that accommodate orbits of reflecting hyperplanes using similar invariants we call reflexponents. Our verifications are case-by-case. 

Résumé : La représentation linéaire associée au groupe des isogénies entre deux variétés abéliennes est un outil d'une grande importance théorique et algorithmique. Dans cet exposé, nous décrivons un algorithme efficace pour calculer l'image à un signe près par la représentation linéaire d'une isogénie f entre deux variétés abéliennes A et B à partir de la donnée de l'application induite par f sur les variétés de Kummer K_A et K_B. Notre algorithme se fonde sur une étude du cône tangent des variétés de Kummer dans le point singulier 0, étude dont nous tirons d'intéressantes conséquences algorithmiques. Nous donnons une application de notre algorithme de calcul de représentation en améliorant la complexité d'un algorithme de comptage de points dû à Mestre.

Résumé : In 1999, Iwan Duursma defined the zeta functions for linear codes and formulated their Riemann hypothesis. In particular, his conjecture that extremal self-dual codes satisfy the Riemann hypothesis attracted interests of both coding theorists and number theorists, because it claims in a sense that good codes satisfy the Riemann hypothesis. Later the speaker generalized Duursma's theory to the case of the formal weight enumerators. They are kinds of invariant polynomials which are close to the weight enumerators of self-dual codes and of which the special case were first introduced by Michio Ozeki. In this talk, an overview of Duursma's theory and some results on the zeta functions for formal weight enumerators are given.

Résumé : Mauduit et Rivat ont mis en place une méthode permettant de trouver efficacement un Théorème des Nombres Premiers pour des fonctions définies sur les chiffres. Cette méthode a permis notamment de déterminer la densité des nombres premiers satisfaisant chacune des contraintes suivantes: (1) La somme des chiffres en base q est congrue à un nombre fixé (M-R 2010) (2) Le nombre de blocs '11' en base 2 vérifie une certaine congruence (M-R 2015) (3) Plus généralement, le nombre d'occurrences d'un bloc donné en une base fixée vérifie une certaine congruence (Hanna 201?) (4) Toute contrainte donnée par la sortie d'un automate fortement connexe (Mullner 201?). Notons que les trois premières contraintes sont englobées par la quatrième. Dans cet exposé, nous verrons comment il est possible de modifier la méthode de Mauduit et Rivat pour fournir un Théorème des Nombres Premiers pour la fonction qui compte la parité du nombre de blocs '1.....1' en base 2, mais où la taille du bloc dépend du nombre de chiffres du nombre premier. Cette fonction ne peut pas être reliée à un automate fini. Nous aurons auparavant rappelé les grandes idées de la méthode de Mauduit et Rivat.

Résumé : Les G-fonctions de Siegel sont des séries entières solutions d'équations différentielles linéaires "arithmétiques", comme les séries hypergéométriques de Gauss à coefficients rationnels ou la série génératrice des nombres d'Apéry. Dans de nombreux cas, leurs coefficients de Taylor vérifient des congruences "à la Lucas". Je décrirai une nouvelle approche utilisant ces congruences pour démontrer l'indépendance algébrique de G-fonctions. Ce travail est en commun avec B. Adamczewski et J. Bell.

Résumé : En 2010, J.-C. Novelli, J.-Y. Thibon et L. K. Williams ont conjecturé l'équirépartition de deux triplets de statistiques sur les permutations. Nous nous intéresserons à une preuve de cette conjecture grâce à une suite de bijections impliquant également des histoires de Laguerre, des codes de Lehmer et de nouveaux objets Catalan.

Résumé : 

 http://goo.gl/onj3vD

Résumé : Les suites dites automatiques sont produites par des automates, qui eux-mêmes sont des graphes orientés sur lesquels on a placé une certaine quantité de décoration. La plupart des suites d'entiers que l'on étudie en combinatoire sont automatiques lorsqu'on les réduit modulo une puissance d'un nombre premier. Les graphes de Cayley, d'un autre côté, sont des graphes orientés obtenus à partir de groupes finis dans lesquels on a choisi des générateurs. Afin de répondre à une question posée par Rowland, on étudie les suites automatiques produites par un graphe de Cayley. Pour les suites 2-automatiques -- c'est-à-dire grosso modo les suites dont le n-ième terme se calcule "facilement" en fonction des chiffres de n écrit en base 2 -- la réponse est particulièrement satisfaisante : une suite donnée provient d'un graphe de Cayley si et seulement si elle possède une certaine symétrie, que nous appelons "auto-similarité". Nous décrirons une application au calcul de certaines fractions rationnelles associées aux suites automatiques.

Résumé : We present a particular connection between classical partition combinatorics and the theory of quiver representations. Specifically, we give a bijective proof of an analogue of A. L. Cauchy's Durfee square identity to multipartitions. We then use this result to give a new proof of M. Reineke's identity in the case of quivers Q of Dynkin type A of arbitrary orientation. Our identity is stated in terms of the lacing diagrams of S. Abeasis - A. Del Fra, which parameterize orbits of the representation space of Q for a fixed dimension vector. This is joint work with R. Rimanyi and A. Yong.

Résumé : Nous considérons le groupe alterné des permutations paires, engendré par les cycles de longueur 3. Une structure d'ordre gradué provient naturellement du graphe de Cayley correspondant, et nous étudions plusieurs aspects de cet ordre: fonction de rang, relations de couverture, propriétés énumératives de certains intervalles et action des groupes de tresses. Ces résultats sont motivés par l'ordre classique sur les permutations vues comme produits de transpositions, et nous soulignerons les parallèles et différences avec ce cas. Travail en commun avec Henri Mühle (TU Dresden)

Résumé : 

Plactic monoids are objects that model the representation theory of complex semisimple Lie algebras with the tensor product. These objects enjoy a rich combinatorial structure, with their elements parameterized by tableaux, and their product encoded by Schensted's insertion algorithm. Moreover the algebraic structure of representations can be encoded via crystals, a graph theoretic notion introduced by Kashiwara which descends to the plactic monoids. The work of Cain-Gray-Malheiro identifies column presentations of plactic monoids of classical types A, B, C, D, and G_2, that is presentations via generators and 'well-behaved' oriented relations. Their work opened up a rewriting theory approach to the study of plactic monoids. In this talk, we show that the column presentations interact well with the crystal structure of the plactic monoids, and thus their study via rewriting theory is reduced to words and relations of highest weight. We then introduce combinatorial tools in types A and C, called Yamanouchi trees, which parameterize the words of highest weight and allow for computations of the oriented relations. We relate this notion to GT-patterns and the Q-tableaux of the RSK correspondence. Finally, we show applications of Yamanouchi trees to the combinatorial R-matrix, as well as to the identification of the generating relations between relations i.e. syzygies for the plactic monoids of types A and C.

Résumé : We study the number of domino tilings of an Aztec rectangle with even number of consecutive holes in a line and we obtain a formula which express the number of such domino tilings by a product of a power of 2, a nice product and a polynomial of the coordinates of the holes. We will find a formula which expresses this polynomial as a determinant of terminating Gauss hypergeometric series. First we use the Lindstrom-Gessel-Viennot theorem to enumerate the domino tilings of an Aztec rectangle with consecutive holes and obtain a determinant whose entries are generalized large Schroder numbers.

Résumé : Les cartes combinatoires sont un modèle combinatoire riche à la rencontre de différents domaines des mathématiques et de la physique. Leur énumération peut aussi nous aider à étudier d'autres objets combinatoires. Dans cet exposé, nous examinerons un aspect algébrique des cartes, en regardant le lien bijectif entre les cartes et les intervalles dans le treillis de Tamari et ses généralisations. Plus précisément, nous commençons par une bijection entre les cartes planaires non-séparables et les intervalles dans les treillis de Tamari généralisés, définis par Viennot et Préville-Ratelle (2014). Ensuite, nous présenterons une bijection entre les cartes planaires sans isthme et les intervalles du treillis de Tamari ordinaire, inspirée par une restriction de la bijection précédente. Des corollaires énumératifs et structurels de ces bijections seront aussi discutés.  Travaux partiellement joints avec Louis-François Préville-Ratelle.

Résumé : 

On tentera d’expliquer pourquoi le demi-plan p-adique de Drinfeld et ses revêtements jouent un rôle important dans la correspondance de Langlands locale p-adique, de la même manière que les courbes modulaires jouent un rôle important dans la correspondance globale.

Résumé : Une partie importante de la combinatoire additive s'intéresse à des problèmes inverses cherchant en particulier à décrire la structure des ensembles dont la somme est petite. Freiman a en particulier consacré une grande partie de sa vie mathématique à ces questions. Les premiers ensembles ayant fait l'objet de telles études sont des ensembles d'entiers. Dans cet exposé, nous montrerons que de nombreux résultats connus pour les entiers sont transposables aux réels. Nous espérons par ailleurs convaincre que ce contexte permet de mieux comprendre les idées des preuves car il donne lieu à une interprétation graphique qui les rendent naturelles. Nous montrerons par ailleurs que la simplicité des arguments dans le cadre des réels permet d'obtenir des résultats à ce jour inconnus dans le cas discret.

Résumé : The most reasonable analogue of de Jong's conjecture on the image of representations with coefficients in local fields of characteristic p, for fundamental groups of smooth projective varieties over finite fields of characteristic p, is false in general. However the key ingredient of its proof, an analogue of the modularity conjecture in this setting, might be true. The proof of the latter uses heavily Grothendieck's six functor formalism, so in order to prove our analogue it is natural to look for a category which contains characteristic p Galois representations, but has a chance of being closed under at least some of the six operations. Based on the analogy with rigid cohomology we suggest such a category, namely rigid tau-crystals, and we establish some of its basic properties.

Résumé : Les jeux combinatoires sont des jeux à exactement deux joueurs, à information totale, sans hasard ni coalition entre les joueurs. S'ils existent depuis très longtemps, on constate très peu de travaux concernant leur résolution dans la littérature précédent la première moitié du 20ème siècle. La première théorie mathématique permettant de bien les comprendre est apparue dans les années 1970 avec les travaux de Conway. Dès lors, une communauté très active est née, et aujourd'hui, les problèmes les plus difficiles concernent les jeux à score (type Othello ou Dots and Boxes) ou encore les jeux en version misère (càd celui qui joue le dernier coup gagne). Par ailleurs, ces jeux présentent l'intérêt d'être un domaine d'application pour de nombreux autres, comme la théorie des graphes ou la théorie des nombres. Dans cet exposé, j'aborderai dans un premier temps la jolie théorie de Conway où chaque jeu combinatoire se voit attribuer une valeur (dyadique, infinitésimale, ou autre) qui correspond à sa classe d'équivalence selon la relation "somme de jeux". Puis je m'attarderai sur différents exemples de résolution de jeux (certaines très actuelles, d'autres moins) faisant intervenir des outils variés comme les systèmes de numération.

Résumé : De nombreuses G-fonctions, hypergéométriques ou pas, ont des coefficients satisfaisant des congruences modulo des nombres premiers. Ces congruences sont de même nature que celles découvertes par Lucas pour les coefficients binomiaux, qui se généralisent en des congruences modulo les polynômes cyclotomiques pour les coefficient q-binomiaux. Je donnerai un résultat général simple permettant d'étendre la plupart des congruences connues de ce type. En me focalisant sur les séries à coefficients dans Z[q] satisfaisant ce genre de congruences, je décrirai ensuite comment obtenir des résultats d'indépendance algébrique pour de telles fonctions. Il s’agit de travaux communs avec B. Adamczewski, J. Bell et E. Delaygue.

Résumé : Modular forms and their generalizations are one of the most central concepts in number theory. It took almost 300 years to cultivate the mathematics lying behind the classical (i.e. scalar) modular forms. All of the famous modular forms (e.g. Dedekind eta function) involve a multiplier, this multiplier is a 1-dimensional representation of the underlying group. This suggests that a natural generalization will be matrix valued multipliers, and their corresponding modular forms are called vector valued modular forms. These are much richer mathematically and more general than the (scalar) modular forms. In this talk, a story of vector valued modular forms for any genus zero Fuchsian group of the first kind will be told. The connection between vector-valued modular forms and Fuchsian differential equations will be explained.

Résumé : We prove a conjecture due independently to Yan and Martinez-Savage that asserts inversion sequences with no weakly decreasing subsequence of length 3 and enhanced 3-noncrossing partitions have the same cardinality. Our approach applies both West's generating tree technique and the so-called obstinate kernel method developed by Bousquet-Mélou. One application of this equinumerosity is a discovery of an intriguing identity involving numbers of classical and enhanced 3-noncrossing partitions.

Résumé : 

We investigate the Membership Problem for hypergeometric sequences: given a hypergeometric sequence ⟨u_n⟩ of rational numbers and a rational value t, decide whether t occurs in the sequence. We show decidability of this problem under the assumption that in the defining recurrence f(n) u_{n+1} = g(n) u_n, the roots of the polynomials f and g are all rational numbers. We further show the problem remains decidable if the splitting fields of the polynomials f and g are distinct or if f and g are monic polynomials that both split over a quadratic number field.

 

Our proof relies on bounds on the density of primes in arithmetic progressions. We also observe a relationship between the decidability of the Membership problem (and variants) and the Rohrlich-Lang conjecture in transcendence theory.

 

This talk is based on works done in collaboration with George Kenison, Amaury Pouly, Mahsa Shirmohammadi and James Worrell.

Résumé : Il a été conjecturé par Jaeger, Linial, Payan, et Tarsi en 1992 que pour tout nombre premier p, il existe une constante c telle que pour tout n, l'union (avec répétition) des vecteurs de toute famille de c bases linéaires de (Z_p)^n forme une base additive de (Z_p)^n (i.e tout élément de de (Z_p)^n peut s'écrire comme la somme d'un sous-ensemble de ces vecteurs). J'expliquerai comment montrer la conjecture lorsque chaque vecteur contient au plus deux entrées non nulles. Ce cas contient déjà plusieurs applications non-triviales en théorie des graphes, en particulier liées à l'existence de flots non nuls et d'orientations particulières dans les graphes hautement connexes. J'expliquerai ces applications et les liens qui les unissent. Travail en commun avec Rémi de Joannis de Verclos, Tien-Nam Le, et Stéphan Thomassé.

Résumé : Les nombres de Mahler forment une large classe de nombres incluant les nombres automatiques. La simplicité de leur définition et de l'étude de leurs propriétés Diophantiennes en fait un outil efficace pour étudier les approximations Diophantiennes des nombres automatiques. Au début de l'exposé, je présenterai les nombres de Mahler, je décrirai les classes des approximations Diophantiennes qui apparaîtront plus tard dans l'exposé puis je parlerai des résultats récents liés aux approximations Diophantiennes des nombres de Mahler. Je vais aussi expliquer une motivation possible pour cette direction de recherche.

Résumé : Les congruences de Dwork interviennent dans plusieurs domaines de la théorie des nombres. Elles permettent le prolongement p-adique par continuité de certaines fonctions, de démontrer l'intégralité de groupes formels ou encore l'intégralité des coefficients de q-coordonnées associées à des familles de variétés de Calabi-Yau. Dans cet exposé je donnerai plusieurs techniques pour obtenir ces congruences. En particulier, je montrerai que ces congruences généralisent naturellement celles de Lucas pour les coefficients binomiaux. Je montrerai que ces congruences sont stables par diagonalisation, ce qui donnera une large classe de diagonales de fractions rationnelles satisfaisant ces congruences. Cet exposé traite d'un travail en commun avec Masha Vlasenko.

Résumé : Les G-fonctions, définies par Siegel en 1929, sont des séries entières holonomes dont les coefficients algébriques vérifient certaines contraintes arithmétiques. Le prototype est la fonction log(1-z). La nature diophantienne des valeurs prises par ces fonctions en des points algébriques demeure assez mystérieuse ; en particulier, on ne dispose pas d'un analogue du théorème de Siegel-Shidlovsky pour les E-fonctions, telles que exp(z). Après avoir fait le point sur les résultats connus, je présenterai un nouveau résultat diophantien sur les valeurs de G-fonctions, obtenu récemment avec Stéphane Fischler (Orsay).

Résumé : We give a generalization of the Dwork congruences for a Laurent polynomial with one internal integral point in the Newton polytope to the case of arbitrary Laurent polynomial. Next, we consider crystals attached to a Laurent polynomial and draw a relation between our congruences and p-adic approximation to the Frobenius operator and the Gauss--Manin connection on it. This is work in progress jointly with Frits Beukers.

Résumé : 

Soit p un nombre premier. Nous étudions les liens entre les suites p-automatiques et les propriétés asymptotiques des automates linéaires cellulaires, en mettant l'accent sur les méthodes constructives. Ceci est un travail en commun avec Eric Rowland.

Résumé : 

Voir http://math.univ-lyon1.fr/~biagioli/SLC80/slc80.html 

Résumé : A Theorem of Gao, Jackson and Seward, originally conjectured to be false by Glasner and Uspenskij, asserts that every countable group admits a strongly aperiodic subshift over a 2-symbol alphabet. Their proof consists of a quite technical construction. We give a shorter proof of their result by using the asymmetrical version of Lovasz Local Lemma which allows us also to prove that this subshift is effectively closed in the case of a finitely generated group with decidable word problem. This will all be preceded by a gentle introduction to symbolic dynamics. This is joint work with Nathalie Aubrun and Stéphan Thomassé.

Résumé : 

We introduce four classes of domino plane partitions and give two weights, i.e., $t$-weight and $\tau$-weight. We observe that many interesting integer sequences related to alternating sign matrices and plane partition appear by specializing the parameters $t$ and $\tau$. We obtain determinantal expressions for the generating functions, but the evaluation of the determinants are not completed. Hence I state several conjectures related to  the generating functions of these classes of domino plane partitions.

Résumé : Un ensemble de Kakeya classique est un sous-ensemble du plan balayé par une aiguille de longueur 1 qui fait un demi-tour sur elle-même (autour d'un centre mobile). Au début au 20ème siècle, Besicovitch a démontré qu'il existait des ensembles de Kakeya de mesure arbitrairement petite. Des questions analogues se posent lorsque l'on remplace le corps des nombres réels par d'autres corps munis d'une valeur absolue et d'une mesure de Haar. Je donnerai, dans cet exposé, des résultats valables sur le corps des nombres p-adiques (voire plus généralement des corps ultramétriques complets). Précisément, je définirai une mesure naturelle sur l'ensemble des ensembles de Kakeya puis je montrerai que, pour cette mesure, un ensemble de Kakeya est presque sûrement de mesure nulle.

Résumé : The talk is going to highlight some problems and results related to studying arithmetic subsequences in infinite words, more precisely: Let A be a finite alphabet and w=w_0w_1w_2… be an infinite word over this alphabet. The arithmetic subsequence (or arithmetic factor) of length k, difference d and starting number c is the word consisting of symbols of w with indices c, c+d, c+2d,…, c+(k-1)d. Given a word w, there are several questions to ask: What is the cardinality of the set of arithmetic factors of length k in w ? How do such sets look like? E.g. are there words with period 1 in these sets for every k (words of the form a^k)? How does the cardinality above grow when k tends to infinity? Does the word w contain infinite arithmetic subsequences with period 1? In studying these questions, we are interested in words which are fixed points of morphisms. I am going to present the known results and the problems we are studying.

Résumé : L'exposé présentera un majorant optimal pour le degré de la plus petite extension sur laquelle tous les endomorphismes d'une variété abélienne sont définis. L'essentiel de la démonstration s'exprime uniquement en termes de groupes finis : ce sera l'occasion de voir apparaître plusieurs théorèmes remarquables sur les sous-groupes finis des groupes linéaires, allant d'énoncés classiques de Jordan (1878), Minkowski (1887) et Schur (1905) jusqu'à un résultat bien plus récent de Feit (1995).

Résumé : 

Résumé : 

Je présenterai le problème des classes galoisiennes réalisables par des puissances de la différente d'extensions galoisiennes modérément ramifiées et quelques conjectures. Ensuite, je traiterai le cas où le groupe de Galois est d'ordre un nombre premier. (Les résultats qui seront  exposés se trouvent dans l'article : Int. J. Number Theory 17 (2021), no. 7, 1645–1664.)

Résumé : 

 La méthode modulaire désigne l'approche utilisée par Wiles à la suite, notamment, des travaux de Mazur, Frey, Ribet et Serre, pour démontrer le dernier théorème de Fermat. Elle repose sur la modularité des courbes elliptiques rationnelles et les propriétés de leurs représentations galoisiennes. La généralisation de cette méthode à d'autres équations diophantiennes (notamment de type Fermat) fait apparaître de nombreuses et profondes difficultés. Après un tour d'horizon de la méthode modulaire, nous discuterons des nouvelles approches de ces questions dans le cadre des équations de Fermat de signature (r,r,p), en lien notamment avec le programme de Darmon.

Il s'agit d'un travail en cours et en collaboration avec Imin Chen, Luis
Dieulefait et Nuno Freitas.

Résumé : 

La variété permutoédrale $Perm_n$ est une variété algébrique
complexe, jouant un rôle central dans de nombreuses questions
algébriques et géométriques. C'est en particulier la variété
projective torique associée à l'arrangement de Coxeter de type $A$.
  $Perm_n$ peut être réalisée comme sous-variété de la variété de
drapeaux complets $Flag_n$. Il est alors naturel de chercher à
connaître les nombres d'intersection de $Perm_n$ avec les
sous-variétés fondamentales de Schubert de $Flag_n$.
   Nous montrerons que ces nombres énumèrent certains objets
combinatoires nouveaux. Pour cela nous rappellerons la théorie
classique qui permet de reformuler le problème d'intersection initial
en une question algébrique, et décrirons une nouvelle correspondance
bijective au coeur de notre approche.

Travail commun avec Vasu Tewari (Université de Hawaï)

Résumé : 

In the context of the shuffle theorem, many classical integer sequences appear with a natural refinement by two statistics q and t, like the Catalan and Schröder numbers. In particular, the bigraded Hilbert series of diagonal harmonics is a q, t-analog of (n + 1)^(n−1) (and can be written in terms of symmetric functions via the nabla operator). The motivation for this talk is the observation that at q = −1, this q, t-analog becomes a t-analog of Euler numbers, a famous integer sequence that counts alternating permutations. We prove this observation via a more general statement, that involves the Delta operator on symmetric functions (on one side), and new combinatorial statistics on permutations involving peaks and valleys (on the other side).

Résumé : 

The flag variety of rank r=(r_1,...,r_k) has points corresponding to collections of subspaces (V_1,..., V_k) with V_i of dimension r_i such that V_i is contained in V_{i+1}. It can be embedded into a multi-projective space, where it is cut out by the incidence Plücker relations. We explore two natural extensions of this variety: First, we study the nonnegative flag variety, which corresponds to a subset of the flag variety consisting of flags that can be represented by totally positive matrices. Second, we study the tropicalization of the flag variety and, more specifically, its nonnegative part. In both cases, we provide equivalent descriptions of these spaces for flag varieties of rank r=(a,a+1,...,b), where r consists of consecutive integers. We also explore descriptions of the nonnegative tropical flag variety in terms of polytopal subdivisions. The supports of points in the nonnegative flag Dressian give a natural notion of a flag positroid. Once again restricting to the consecutive rank case, we give a combinatorial description of flag positroids. This talk is based on joint work with Chris Eur and Lauren Williams.
 

Résumé : 

Entre 2006 et 2008, de nombreux travaux en théorie des représentations, théorie de jauge et combinatoire ont conduit à la découverte de la formule de Nekrasov-Okounkov, qui relie produit d'équerres de partitions d'entiers et des puissances de la fonction eta de Dedekind. En 2018, par deux méthodes différentes, Rains et Warnaar d'une part et Carlsson et Rodriguez-Villegas d'autre part ont montré un (q,t)-analogue de cette formule, avec des applications en géométrie algébrique. Il se trouve que le cas q=t peut s'obtenir en réécrivant l'identité de Macdonald pour le système de racines affines de type A. Le but de cet exposé est de montrer comment l'utilisation des partitions d'entiers vues comme des mots binaires bi-infinis permet de reformuler combinatoirement et de façon uniforme les identités de Macdonald pour tous les systèmes de racines affines infinis. J'expliquerai comment il est alors possible d'en déduire des formules de type q-Nekrasov-Okounkov pour tous ces types.

Résumé : 

On considère des intersections de formes diagonales à coefficients entiers de degrés distincts. Nous établissons une formule asymptotique pour le nombre N(X)  des points rationnels de hauteur au plus X sur ces variétés. La preuve utilise la méthode de Hardy-Littlewood (dite Méthode du Cercle) et des avancées récentes sur le système de Vinogradov. Nous établissons également un résultat plus fin pour un choix particulier de degrés, en utilisant une technique due à Wooley et une estimation de sommes d'exponentielles issue d'une approche récente de la méthode de van der Corput. Les résultats présentés ici font l'objet d'un travail en commun avec S. Boyer.

Résumé : 

Tchebyshev a observé que lorsque l'on énumère les nombres premiers par ordre croissant, on a souvent l'impression d'en croiser plus qui soient congrus à 3 qu'à 1 modulo 4. Cette observation est maintenant bien comprise et expliquée, notamment par les travaux de Rubinstein et Sarnak. Dans cet exposé, nous étudierons un analogue dans l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps fini. Dans ce cadre, Cha a aussi établi l'existence d'un biais dans la répartition de type Tchebyshev sous une hypothèse d'indépendance linéaire des zéros de fonctions L. Mais on observe aussi, quelques cas exceptionnels où il se passe le contraire de ce qui est attendu. Nous donnons une borne supérieure sur le nombre de cas exceptionnels.
Les résultats présentés sont principalement issus d'un travail joint avec Alexandre Bailleul, Daniel Keliher et Wanlin Li.

Résumé : 

Je présenterai diverses facettes d'une transformation impliquant les nombres de Hurwitz doubles monotones. Dans un premier temps, je montrerai une instance combinatoire de cette opération par le biais des cartes simples et ordinaires. Dans un second temps je détaillerai les conséquences de cette transformation pour les probabilités libres, en la traduisant en terme de permutations surfaciques. D'une part, cela nous mène à généraliser la notion de "liberté d'ordre supérieur" en "liberté surfacique". Cela permet de prendre en compte les corrections de genres supérieurs des moments et cumulants libres, qui apparaissent par exemple dans le développement asymptotique en 1/N de modèles invariants unitaires de matrices aléatoires hermitiennes de taille N. D'autre part, la transformation permet de trouver des relations fonctionnelles entre les séries génératrices des moments et des cumulants libres d'ordres supérieurs, ce qui résout un problème ouvert posé par Collins, Mingo, Śniady et Speicher.

En collaboration avec G. Borot, N. Do, E. Garcia-Failde, F. Leid et S. Shadrin.

Résumé : 

voir https://www.univ-st-etienne.fr/fr/icj/actualites-icj/actualites-2021-2022/lean-in-lyon.html

Résumé : 

Les fonctions de parking sont des objets centraux de la combinatoire énumérative et algébrique. Elles peuvent être définies par une simple procédure prenant un mot sur les entiers en entrée et donnant un ensemble d'entiers en sortie. Nous généralisons cette procédure pour définir une large classe d'algorithmes "locaux". Nous montrerons que pour tout algorithme A de cette classe, les fonctions de A-parking associées sont "universellement" énumérées par la suite (r+1)^(r-1). Nous expliquerons aussi comment de tels algorithmes sont naturellement liés aux arbres binaires, et étendrons nos résultats à un cadre probabiliste.

Résumé : 

Cobham's theorem is one of the most fundamental results in the theory of automatic sequences, that is, sequences whose n-th term can be computed by a finite automaton which receives as input the expansion of n in a given base k. The theorem asserts, roughly speaking, that a sequence cannot be computed by finite automata in two different bases, except for the arguably trivial cases where the bases are multiplicatively dependent (and hence lead to the same notion of automaticity) or if the sequence is eventually periodic (and hence automatic in each base). Over the years, many extensions and analogues of this theorem have been established. During my talk, I will introduce an asymptotic analogue of the notion of an automatic sequence and show that such asymptotically automatic sequences obey a variant of Cobham's theorem.

Résumé : 

La structure des extensions algébriques du corps des rationnels Q est décrite par son groupe de Galois absolu G_Q, que nous pouvons étudier à travers ses représentations. Les formes modulaires sont des objets analytiques complexes qui produisent une vaste classe de représentations de G_Q à coefficients dans des corps p-adiques. Ces formes, ainsi que les représentations galoisiennes qu'elles portent, peuvent être souvent intérpolées par les points d'une variétés p-adique, ce qui permet de les étudier par des outils géométriques. Cela est possible notamment dans le cas où les formes sont de pente finie, c'est-à-dire, ne sont pas dans le noyau d'un certain opérateur de Hecke. Je vais expliquer comment montrer que l'interpolation est impossible lorsque la pente est infinie, sauf que dans le cas exceptionnel des formes à multiplication complexe.

Résumé : 

Les suites automatiques ne sont pas des suites pseudo-aléatoires car elles ont une complexité en sous-mots et une complexité d'expansion trop faibles ainsi qu'une corrélation d'ordre 2 trop grande. Ces suites sont alors trop prévisibles malgré qu’elles possèdent une complexité d'ordre maximal très grande. Cependant, de récents résultats suggèrent que des sous-suites polynomiales de certaines suites automatiques, comme la suite de Thue-Morse, sont de meilleurs candidats pour être des suites pseudo-aléatoires. Une généralisation naturelle des suites automatiques sont les suite morphiques, données par le point fixe d'un morphisme prolongeable pas nécessairement uniforme. Dans cet exposé, je parlerai de mes résultats sur les bornes inférieures de la complexité d'ordre maximal de la suite de Thue-Morse et de la fonction somme des chiffres en base de Zeckendorf, qui sont respectivement automatiques et morphiques. 

Résumé : 

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Résumé : 

An old result of Littlewood gives a factorisation for the Schur polynomial at a set of variables "twisted" by a primitive root of unity in terms of the core and quotient of the indexing partition. While somewhat neglected, Littlewood's formula has still found important applications in the representation theory of the symmetric group, plethysm, and much more. Recently, Ayyer and Kumari proved similar results for the characters of the symplectic and orthogonal groups. I will explain how all of these factorisations lift to the more general level of universal characters.

Résumé : 

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Résumé : 

We present a combinatorial study of the super plactic monoid of type A, which is related to the representations of the general linear Lie superalgebra. We introduce the analogue of the Schützenberger's jeu de taquin on super tableaux over a signed alphabet. We show that this procedure which transforms super skew tableaux into super Young tableaux is compatible with the super plactic congruence and it is confluent. We deduce properties relating the super jeu de taquin to insertion algorithms on super tableaux. Moreover, we introduce a super version of the Robinson—Schensted—Knuth correspondence for super tableaux and we give a combinatorial version of the super Littlewood--Richardson rule, which describes the multiplicity of a super Schur polynomial in a product of super Schur polynomials.

Résumé : 

La géométrie paramétrique des nombres de W. M. Schmidt et L. Summerer traite de l’approximation d’un point de R^n par des points à coordonnées rationnelles. La force de cette théorie s’exprime notamment à travers un théorème fondamental démontré par D. Roy (Annals of Math.,  2015) qui ramène l’étude d’exposants diophantiens classiques - de type exposant d’irrationalité « multi-dimensionnel » - à l’étude d’objets combinatoires appelés n-systèmes. Dans un travail conjoint avec D. Roy, nous développons la théorie sur un corps de nombres K afin de traiter l’approximation d’un point de K_w^n par des points à coordonnées dans K, où K_w désigne le complété de K en une place fixée w. En particulier, nous étendons la géométrie paramétrique des nombres au cadre p-adique. Dans notre exposé, nous commenceront par présenter la théorie classique et la notion de n-système avant d’énoncer notre résultat principal, à savoir la généralisation du théorème fondamental de la géométrie paramétrique des nombres à un corps de nombres quelconque. Si le temps le permet, nous mentionnerons les difficultés principales qui apparaissent dans ce contexte généralisé (et qui n’existent pas sur Q) et nous exposerons quelques-unes des applications diophantiennes que l’on peut dériver de nos travaux.

Résumé : 

Résumé : 

Résumé : 

Résumé : 

Je présenterai des résultats sur l'énumération exacte et asymptotique de rectangulations (partitions d'un rectangle en régions rectangulaires) et de polyèdres en coin (structures qui peuvent se voir comme une version "topologique" des partitions planes). Ces objets sont en correspondance avec certains modèles de cartes planaires orientées, et je montrerai comment ils peuvent se réduire à des modèles d'orientations bipolaires planaires (décorées), ce qui permet de les encoder par certains chemins dans le quart de plan en appliquant une bijection dûe à Kenyon, Miller, Sheffield et Wilson.

Travaux en commun avec Erkan Narmanli et Gilles Schaeffer 

Résumé : 

Le problème d’Abel consiste à déterminer les équations linéaires différentielles homogènes d’ordre 1, à coefficient une fonction algébrique, qui admettent une solution algébrique non nulle. Étant donnée une telle équation, Risch a élaboré une méthode algébrique pour déterminer en temps fini si une solution algébrique non nulle existe. Je donnerai une caractérisation arithmétique du problème d’Abel à l’aide des congruences de Gauss dans le cas où le coefficient de l’équation admet un développement de Puiseux à coefficients rationnels. Ce critère permet de résoudre entièrement le cas hypergéométrique et confirme une prédiction de Golyshev issue de la théorie des motifs. Ce travail est en commun avec T. Rivoal.

Résumé : For a given pair of two graphs (F,H), let R(F,H) be the smallest positive integer r such that for any graph G of order r, either G contains F as a subgraph or the complement of G contains H as a subgraph. Baskoro, Broersma and Surahmat (2005) conjectured that R(F_l,K_n)=2l(n-1)+1 for l≧n≧3, where F_l is the join of K_1 and lK_ 2. In this talk, we prove that this conjecture is true for the case n=6. This is a joint work with Shin-ya Kadota (Nagoya Univ.) and Tomokazu Onozuka (Toyota Tech. Inst.). Joint work with Shin-ya Kadota and Tomokazu Onozuka.

Résumé : R. Proctor gives a combinatorial definition of d-complete poset, which is a heap of a minuscule element of simply laced Kac-Moody Lie algebra. R. Proctor defined irreducibility of d-complete poset and classified d-complete posets into 15 irreducible classes. Dale Peterson and Proctor give the theorem that d-complete poset has hook-length property. We define leaf posets which generalize d-complete posets, and show that leaf posets has hook length property. We define 6 classes of basic leaf posets and show that the hook-length property reduces to certain Schur function identities which is also new.

Résumé : 

cf. https://dossier.univ-st-etienne.fr/esdr9935/public/ICJ_WorkshopSL.html

Résumé : To each permutation in S_n, one can associate an arrangement of hyperplanes in R^n called the inversion arrangement. A hyperplane arrangement cuts R^n into connected components called chambers. One would like to know the number of chambers in the inversion arrangement of a given permutation. On the set of all permutations in S_n, one can define a graph called the Bruhat graph and a partial order called Bruhat order. Given one permutation w, one can count the number of permutations less than or equal to w in Bruhat order. Hultman, Linusson, Shareshian, and Sjostrand (HLSS) show that the number of permutations less than or equal to w is an upper bound for the number of chambers for the inversion arrangement of w, with equality holding if and only if w avoids 4231, 35142, 42513, and 351624. The set of permutations avoiding 4231, 35142, 42513, and 351624 has an alternate characterization due to Gasharov and Reiner in terms of the minimal permutations not smaller than w (in Bruhat order). On the other hand, Hultman extended the HLSS theorem to arbitrary finite reflection groups using a Bruhat graph criterion to describe when equality holds. After explaining all of the above with several examples, I will state at the very end a new theorem giving a Gasharov--Reiner style criterion for equality (of chamber counts and Bruhat interval sizes) for elements of the symmetry group of the n-dimensional cube.

Résumé : 

Résumé : The alternating subgroup of the colored permutation group is the natural analogue of the alternating group inside the wreath product (\mathbb{Z}_r \wr S_n\). We present a 'Coxeter like' presentation for this group and calculate the length function with respect to this presentation. Then, we present this group as covering of \(\mathbb{Z}_{\frac{r}{2}} \wr S_n\) and use this point of view to give another expression for the length function. We also apply this covering to lift a known parameter of \(\mathbb{Z}_{\frac{r}{2}} \wr S_n\) to the alternating colored permutation group. Based on a joint work with Eli Bagno and Toufik Mansour.

Résumé : 

Voir https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~rivoal/seminairetournant.html

 

Résumé : Accessible à l'adresse https://goo.gl/UVEh0N

Résumé : 

Pour illustrer cela, nous introduirons des sommes de Gauss pour les corps de fonctions - les sommes de Gauss-Thakur - et montrerons comment généraliser canoniquement cette définition aux modules d'Anderson (les analogues des variétés abéliennes). Nous construirons également des familles de fonctions analytiques - appelées fonctions spéciales - qui "interpolent" les sommes de Gauss-Thakur. Assez mystérieusement, le module de ces fonctions spéciales est naturellement isomorphe, modulo le diviseur canonique, à la "réalisation de Betti" des modules d'Anderson.

C'est un travail en commun avec Andreas Maurischat

Résumé : 

Voir https://indico.math.cnrs.fr/event/2804/material/0/0.pdf

 

Résumé : We discuss generalizations of the well-known congruences u(mp^r) = u(mp^(r-1)) mod p^r of the Lucas sequence u(0)=2, u(1)=1, u(2)=3, u(3)=4, ... Here m,r are arbitrary positive integers and p is an arbitrary prime. The generating function of the u(n) is (x+2x^2)/(1-x-x^2). It turns out that similar congruences occur for coefficients of certain multivariable rational functions. We explore this phenomenon. The ultimate goal will be to find cases where congruences mod p^(2r) and p^(3r) hold.

Résumé : 

Voir https://indico.math.cnrs.fr/event/3159/material/slides/0.pdf

Résumé : Je ferai un tour d'horizon de certains résultats récents concernant le problème de Lehmer drinfeldien et la propriété (B) sur les corps de fonctions. J'expliquerai aussi un travail en cours avec Cécile Armana et Vincent Bosser sur le comptage des points de petite hauteur canonique.

Résumé : 

Désignons par $P^+(n)$ (resp. $P^-(n)$) le plus grand (resp. le plus petit) facteur premier d'un entier $n$.

Pour trois entiers consécutifs, nous démontrons qu'il existe une proportion positive d'entiers $n$ tels que $P^+(n-1)>P^+(n)P^+(n+1)$. En utilisant les méthodes analogues, nous pouvons obtenir un résultat plus général.

Pour deux entiers consécutifs, nous montrons que la proportion d'entiers $n$ tels que $P^+(n)<P^+(n+1)$ est plus grande que 0,1356. 

Pour deux entiers consécutif voisins d'un entiers criblé, nous démontrons qu'il existe une proportion positive d'entiers $n$ tels que $P^+(n)<P^+(n+1), P^-(n)>x^{\alpha}$ pour $0<\alpha<1/3$.

De plus, nous démontrons que la proportion de nombres premiers $p$ avec $P^+(p-1)<P^+(p+1)$ est plus grand que 0,1779, sous la conjecture d'Elliott-Halberstam. 

 

Résumé : Parmi les nombreux objets combinatoires comptés par les nombres de Catalan, les partitions non-croisées sont particulièrement intéressantes à cause de leur structure d'ordre partiel. Dans ce travail on raffine cette structure d'ordre partiel en considérant deux types de relation de couverture. Cela apparaît naturellement quand on considère l'ordre de Bruhat. On fait apparaître un nouvel ordre dont les intervalles sont reliés bijectivement aux faces positives du complexe d'amas.

Résumé : 

9:40 — 10:20 Caius Wojcik. Factorisations monochromatiques et 
périodicité en théorie de Ramsey.

10:30— 11:10 Xavier Roblot. Valeurs et zéros des fonctions $L$ d’Artin 
$p$-adiques.

11:20 — 12:00 Driss Essouabri. Valeurs régularisées des multizêtas aux $n-$uplets d'entiers négatifs.

12:00 — 14:00 Dejeuner à DOMUS

14:00 — 14:40 Gwladys Fernandez. Méthode de Mahler en caractéristique non nulle.

14:50 — 15:30. Eric Delaygue. TBA

 

Résumé : L’étude des propriétés asymptotiques des corps globaux et des variétés définies sur un corps fini revêt de multiples facettes. Développée tant pour répondre à des questions issues de la théorie de l’information que pour ses liens avec des théorèmes classiques de la théorie des nombres, elle implique des techniques algébriques et analytiques subtiles : les méthodes algébriques y garantissent l’existence d’objets intéressants dont les propriétés sont comprises à travers l’étude de fonctions zeta ou L en famille. Dans notre exposé, nous introduirons par une construction d'empilements de sphères ou de codes correcteurs la théorie asymptotique des corps globaux initiée par Ihara, Tsfasman et Vladuts. Ensuite nous montrerons comment des résultats profonds sur les pro-p-groupes sont utiles dans cette théorie, et enfin nous exposerons des résultats analytiques concernant le comportement en famille des valeurs des fonctions zeta et L. Les résultats algébriques que nous exposons sont en partie obtenus avec A. Schmidt, les résultats analytiques avec notre regretté collègue et ami A. Zykin, disparu en 2017.

Résumé : We use analytic tools to prove that the dynamical system corresponding to any automatic sequence fulfills the Sarnak conjecture. In particular, any complex valued automatic sequence is orthogonal to the Mobius function. In this talk we describe a method to reduce the treatment of automatic sequences to a structure combining synchronizing and invertible aspects. We use (and adopt) a method developed by Mauduit and Rivat, as well as combine ideas for invertible automata by Drmota and Morgenbesser and synchronizing automata by Deshouillers, Drmota and myself. Furthermore, we prove a prime number theorem for many automatic sequences.

Résumé : 

https://indico.math.cnrs.fr/event/3215/material/slides/0.pdf

Résumé : La technique de relèvement modulaire de Kisin-Taylor-Wiles nous permet de traduire les phénomènes de congruences entre formes automorphes en termes de déformations Galoisiennes locales. Dans ce cadre les conjectures de Serre se traduisent en voyant le poids d'une forme modulaire comme un système local sur les espaces des formes automorphes algébriques de $p$-torsion sur $U(n)$, avec niveau infini en $p$ ; elles suggèrent donc un lien étroit entre la géométrie des espaces de déformation Galoisiens potentiellement semistables avec des représentations lisses de $\mathrm{GL}_n(\mathbf{Q}_p)$ de $p$-torsion. C'est le scénario proposée par la conjecture de Breuil-Mézard géométrique et la conjecture cristalline de Breuil, qui sont à la base du programme de Langlands modulo $p$ et $p$-adique. Dans cet exposé on donnera une présentation de ces phénomènes et conjectures, en introduisant des techniques nouvelles en théorie de Hodge $p$-adique pour calculer les espaces de déformations locaux et les structures entières dans les $K$-types modérés, ce qui nous permet de prouver plusieurs cas de ces conjectures pour $U(3)$. Il s'agit de travaux en commun avec Bao-Viet Le Hung, Daniel Le et Brandon Levin.

Résumé : 

Dans cet exposé je parlerai d’une application de la géométrie analytique non-archimedienne de Berkovich aux questions d’existence de points rationnels sur les variétés algébriques. Plus précisément, je présenterai des principes locaux-globaux de nature plus ou moins classique qui s’appliquent aux formes quadratiques et que l'on peut obtenir sur les courbes de Berkovich. Ces dernières sont des objets qui ont la structure d'un graphe réel. J’introduirai aussi une technique clé utilisée pour obtenir ces applications : le recollement. L'exposé débutera par une brève introduction aux principales notions qui apparaîtront par la suite.

Résumé : 

En 2012, F. Pellarin a introduit une nouvelle classe de fonctions $L$ à plusieurs variables associée à la droite affine sur un corps fini. Peu de temps après, B. Anglès, F. Demeslay, F. Pellarin, R. Perkins et F. Tavares Ribeiro ont montré que ces fonctions à plusieurs variables sont intimement liées à l'arithmétique des tordues du module de Carlitz par la fonction de chtouca associée. De plus, il y a un lien profond entre ces fonctions $L$ et la formule de classes de Taelman qui est incarné par un polynôme symétrique à plusieurs variables $\mathbb B_s$.

Dans la première partie de mon exposé, je vais présenter quelques nouveaux résultats dans le contexte général où le module de Carlitz est remplacé par des modules de Drinfeld-Hayes en introduisant la notion d'unités de Stark dans notre contexte.
 

Dans la deuxième partie, je vais expliquer comment certaines propriétés combinatoires du polynôme $\mathbb B_s$ mentionné plus haut entraînent des conséquences arithmétiques remarquables : 

• une analogue d'une conjecture de Kaneko-Zagier sur les nombres de Bernoulli-Carlitz,
• et quelques identités entre les fonctions $L$ conjecturées très récemment par Pellarin. 

Cet exposé est basé sur des travaux en collaboration avec B. Anglès, F. Pellarin et F. Tavares Ribeiro.
 

Résumé : L'étude des marches dans le plan a connu des développements récents passionnants. C'est à la nature des séries génératrices des marches dans un quart de plan que sera consacré cet exposé. Nous nous intéresserons aux questions suivantes : ces séries génératrices sont-elles rationnelles ? algébriques ? vérifient-elles des équations différentielles linéaires ? non linéaires ? Nous commencerons par rappeler ce qu'il en est de la nature des séries génératrices des marches dans le plan tout entier ou dans un demi-plan. Nous passerons ensuite à la nature des marches dans un quart de plan, dont l'étude a été entreprise dans un article majeur de Bousquet-Mélou et Mishna. Nous présenterons la teneur de cet article et passerons en revue un certain nombre de travaux récents l'ayant suivi. A l'issue de ces beaux travaux, la question suivante restait largement ouverte : quelles marches dans le quart de plan possèdent une série génératrice vérifiant une équation différentielle non linéaire? Nous avons apporté une réponse à cette question dans un article en collaboration avec Dreyfus, Hardouin et Singer. C'est à ce travail que sera consacré la suite de cet exposé.

Résumé : Ce travail est en collaboration avec Florent Jouve (Bordeaux). Dans une lettre datant de 1853, Tchebychev nota qu'en comparant les nombres premiers dans les classes d'équivalence 1 et 3 modulo 4, il y a un sérieux excès de ceux de la première forme. De nombreuses généralisations de ce phénomène ont été étudiées au fil des années. Dans cet exposé nous discuterons du biais de Tchebychev dans la distribution des nombres premiers selon des conditions de type Tchebotarev. Par exemple, on comparera la quantité de nombres premiers p congrus à 1 modulo 3 pour lesquels 2 est un cube modulo p à celle pour laquelle cette condition n'est pas satisfaite. Un de nos buts sera d'étudier les biais extrêmes, c'est-à-dire que nous donnerons des conditions sur les groupes de Galois impliqués qui garantissent de sérieuses asymétries. Nous verrons que ces questions sont fortement liées à la théorie de la représentation de ce groupe. Par exemple, dans le cas d'extensions S_n nous exploiterons la richesse de la théorie de la représentation du groupe symétrique ainsi que les récentes bornes sur ses caractères dues à Roichman, Féray, Sniady, Larsen et Shalev. Nous appliquerons aussi des résultats de type Galois inverse effectif.

Résumé : Une partition d'un entier n est une suite décroissante d'entiers dont la somme est égale à n. Une identité du type Rogers-Ramanujan est un théorème de la forme "pour tout entier n, le nombre de partitions de n satisfaisant certaines conditions de différence égale le nombre de partitions de n satisfaisant certaines conditions de congruence". En 1993, Alladi et Gordon ont inventé la méthode des mots pondérés pour prouver des raffinements du théorème de Schur et d'autres identités de partitions du type Rogers-Ramanujan. Après avoir expliqué leur méthode qui repose sur des identités de q-séries, j'en présenterai une nouvelle version utilisant des équations de récurrence et équations aux q-différences, et l'appliquerai pour raffiner deux identités de partitions issues de la théorie des représentations.

Résumé : The tangent number T_{2n+1} is equal to the number of increasing labelled complete binary trees with 2n + 1 vertices. This combinatorial interpretation immediately proves that T_{2n+1} is divisible by 2^n. However, a stronger divisibility property is known in the studies of Bernoulli and Genocchi numbers, namely, the divisibility of (n + 1)T_{2n+1} by 2^(2n). The traditional proofs of this fact need significant calculations. In the present paper, we provide a combinatorial proof of the latter divisibility by using the hook length formula for trees. Furthermore, our method is extended to k-ary trees, leading to a new generalization of the Genocchi numbers.

Résumé : 

Voir https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~rivoal/seminairetournant.html

 

Résumé : 

Les mots Sturmiens sont les mots infinis définis comme les mots non-ultimement périodiques de complexité minimale. Le développement en fraction continue de la proportion de 1 dans ces mots permet la construction combinatoire de leur ensemble de facteur, et nous présenterons une étude combinatoire du second paramètre les caractérisant, leurs intercepts formels. 

Les intercepts formels sont introduits comme des développements infinis dans le système de numération d'Ostrowski à la manière des nombres p-adiques. Nous les utiliserons pour calculer la fonction de répétition ainsi que l'exposant diophantien des mots Sturmiens. Nous terminerons par plusieurs résultats concernant les factorisations des mots Sturmiens, où nous définirons le complémentaire d'un intercept formel, et présenterons la construction de relations entre les continuants d'une fraction continue comme des relations de torsions pour un procédé conjectural de sommation sur l'ensemble des intercepts formels.

Résumé : 

Abstract. 

Taelman discovered an analog of BSD conjecture for Drinfeld modules and
proved it for the coefficient ring F_q[t]. His methods do not generalize
easily to more complicated rings. A different approach to Taelman's BSD
conjecture is provided by the theory of shtuka cohomology. This approach
allows one to treat all the coefficient rings in a uniform way. It leads
to a rather conceptual proof of the conjecture which resonates well with
equivariant Tamagawa number conjecture for motives.

My aim is to explain the shtuka-theoretic proof of Taelman's analog
of the BSD conjecture. The course can be naturally divided into three
parts:

1. Statement of the conjecture, overview of the proof and introduction to shtuka cohomology.
2. Shtuka models of Drinfeld modules and their cohomology.
3. Regulator theory and trace formula for elliptic shtukas.

 

Résumé : 

 

Abstract. 

Taelman discovered an analog of BSD conjecture for Drinfeld modules and
proved it for the coefficient ring F_q[t]. His methods do not generalize
easily to more complicated rings. A different approach to Taelman's BSD
conjecture is provided by the theory of shtuka cohomology. This approach
allows one to treat all the coefficient rings in a uniform way. It leads
to a rather conceptual proof of the conjecture which resonates well with
equivariant Tamagawa number conjecture for motives.

My aim is to explain the shtuka-theoretic proof of Taelman's analog
of the BSD conjecture. The course can be naturally divided into three
parts:

1. Statement of the conjecture, overview of the proof and introduction to shtuka cohomology.
2. Shtuka models of Drinfeld modules and their cohomology.
3. Regulator theory and trace formula for elliptic shtukas.

 

Résumé : 

Statement of the conjecture, overview of the proof and introduction to shtuka cohomology.

 

Abstract. 

Taelman discovered an analog of BSD conjecture for Drinfeld modules and
proved it for the coefficient ring F_q[t]. His methods do not generalize
easily to more complicated rings. A different approach to Taelman's BSD
conjecture is provided by the theory of shtuka cohomology. This approach
allows one to treat all the coefficient rings in a uniform way. It leads
to a rather conceptual proof of the conjecture which resonates well with
equivariant Tamagawa number conjecture for motives.

My aim is to explain the shtuka-theoretic proof of Taelman's analog
of the BSD conjecture. The course can be naturally divided into three
parts:

1. Statement of the conjecture, overview of the proof and introduction to shtuka cohomology.
2. Shtuka models of Drinfeld modules and their cohomology.
3. Regulator theory and trace formula for elliptic shtukas.

 

Résumé : Random partitions are of fundamental importance in many subjects, such as representation theory of symmetric groups, random permutations and random matrices. A central topic in the study of random partitions is to determine their asymptotic behavior such as limit shapes and fluctuations under Plancherel measures. In this talk, we will derive polynomiality results on several Plancherel type averages for certain functions of partitions by the difference operator technique, and use them to study limit shapes of random partitions and random strict partitions.

Résumé : 

First, we introduce bielliptic curves $C$ over a number field $K$ and the relation with non-finiteness of quadratic points (running all quadratic field extension over $K$) for $C$. Next, we observe for a fixed non-bielliptic smooth plane curve a consequence on quadratic points (in particular for Fermat equation). The main part of the talk we will discuss on biellipticity for the modular curves $X_0^*(N)$. This is a joint work with Prof. Josep González Rovira.

Résumé : 

cf. la page du séminaire tournant

Résumé : 

https://journee-diff.sciencesconf.org/

Résumé : 

We will introduce three families of posets depending on a nonnegative integer parameter $m$, having underlying sets enumerated by the $m$-Fuss Catalan numbers.
Among these, one is a generalization of Stanley lattices and another one is a generalization of Tamari lattices. We will see how these three families of posets are related  in several ways. Indeed, they fit into a chain for the order extension relation and they share some properties. Moreover, we will notice some isomorphisms of posets between specific elements of these posets. Then, we will introduce two associative  algebras built as quotients of generalizations of the Malvenuto-Reutenauer algebra. Their products describe intervals of our analogues of Stanley lattices and Tamari lattices. In particular, we will see that one is a generalization of the Loday-Ronco algebra. This is a joint work with S. Giraudo.

Résumé : 

Dans cet exposé, je présenterai plusieurs résultats sur des questions de combinatoire extrémale liées à la théorie algébrique / élémentaire des nombres. Ces questions s'intéressent aux conditions sous lesquelles il est possible d'extraire d'une suite finie d'éléments d'un groupe abélien fini une sous-suite non vide dont les éléments somment à zéro. Ce domaine regorge d'invariants, comme la constante de Davenport ou bien encore le nombre de Krause (cross number en anglais). Je présenterai divers problèmes ouverts les concernant, ainsi que des résultats permettant de préciser leur comportement asymptotique et de conforter certaines conjectures classiques du domaine.

Résumé : 

Algebraic extensions of the rational function field $K=\mathbb{F}_q(\theta)$ can be obtained by adjoining torsion points of Drinfeld modules over $K$. The Anderson generating functions for such Drinfeld modules are defined as certain power series $\sum c_it^i \in \bar{K}[[t]]$ which converge for all $|t| \leq 1$ with respect to (an extension of) the norm associated to the infinite place of $K$. In particular, they converge at all roots of unity.
After an introduction to the subject, the main goal of this talk is to explain how the coefficients of the Taylor expansions of the Anderson generating functions at roots of unity give rise to prime power torsion points of the Drinfeld module. This is joint work with Rudy Perkins.

Résumé : 

We present some basic facts about the Drinfeld symmetric space Omega = complement of the K-rational hyperplanes in P^(r-1). Here K is a complete local field of arbitrary characteristic with finite residue class field F. Such spaces play a determining role in the theories of Shimura varieties and Drinfeld modular forms, and the representation theory of GL(r,K). Essentially, we sketch the relationship with the associated Bruhat-Tits building and describe the group of units (invertible holomorphic functions) on Omega.

Résumé : 

10h00-10h50 Marina Poulet. Sous-groupes denses dans les groupes de Galois des équations de Mahler. Résumé: Le théorème de densité de Schlesinger assure que la monodromie d'une équation différentielle à points singuliers réguliers est dense dans son groupe de Galois. Un analogue de ce théorème a été obtenu pour les équations aux q-différences vers les années 2000. Pour les équations aux q-différences régulières un sous-groupe dense a été construit à l'aide des solutions locales en 0 et en l'infini. Des sous-groupes denses pour les équations singulières régulières ont été obtenus en utilisant la théorie des catégories tannakiennes (catégories des modules aux q-différences, catégories des connexions etc) ou la théorie de Picard-Vessiot. Mais, on ne disposait pas d'un analogue de ce théorème pour les équations de Mahler. Nous présenterons les difficultés du cas mahlérien ainsi qu'un analogue du théorème de densité de Schlesinger pour les équations de Mahler.

 

Café et croissants.

 

11h10-12h00 QiongQiong Pan. Les coefficients gamma des $(p,q)$-polynômes eulériens de Brädén et permutations d'André. Résumé: Tout d'abord, je vous présenterai des permutations d'André, des polynômes eulériens $A_n(t)$ et des $(p,q)$-polynômes eulériens de Brädén $A_n(p,q,t)$. En 2008, P. Brädén (European J. Combin. 29 (2008), no. 2, 514-531) a conjecturé que le coefficient gamma de $A_n(p,q,t)$ designé par $a_{n,k}(p,q)$ est divisible par $(p+q)^k$, dans cet exposé, je vous donnerai une interprétation combinatoire pour $a_{n,k}(p,q)/(p+q)^k$ en termes de permutation d'André, ainsi ça proposera une démonstration pour cette conjecture. En particulier, ce résultat conduit à un modèle combinatoire pour $q$-nombres eulériens de G.-N. Han(Trans. Amer. Math Soc, 2019).

 

12h15, Repas (buffet froid en salle de détente)

 

14h00-14h50 Mickaël Postic. Factorisations de Lyndon généralisées. 

 

Café et biscuits.

 

15h10-16h Daniel Vargas. Structure de Frobenius forte, rigidité et équations hypergéométriques. Résumé: Le but de cet exposé est de montrer que les opérateurs différentiels fuchsiens à coefficients dans $Q(z)$ dont les exposants sont de nombres rationnels et dont le groupe de monodromie est rigide, possèdent une structure de Frobenius forte pour presque tout nombre premier $p$. Finalement, nous montrerons le lien entre l'existence d'une structure de Frobenius forte pour le nombre $p$ et l'algébricité modulo $p$ des solutions de l'opérateur correspondant.

Résumé : 

Les valeurs centrales des fonctions L sont des objets arithmétiques importants en théorie des nombres : elles encodent souvent des informations intéressantes sur les objets arithmétiques qui lui sont attachés (nombres premiers, courbes elliptiques…). 

Petridis-Risager (2017) et Nordentoft (2018) ont montré que les tordues additives de ces valeurs associées aux formes modulaires ont un comportement gaussien, répondant en partie à une question de Mazur, Rubin et Stein.
Cet exposé portera sur des travaux avec Sandro Bettin (Gênes), où nous étudions ce problème par le biais des propriétés dynamiques de l'application de Gauss, qui permet d'obtenir le comportement gaussien des valeurs centrales de la fonction d'Estermann. Nous obtenons aussi une nouvelle preuve des résultats de Nordentoft pour le niveau 1.

Résumé : 

Résumé : 

Résumé : 

The study of patterns in permutations has steadily gathered interest in combinatorics.
The notion of classical pattern has been well studied so far, for instance giving rise to the limit object of a permuton.
The proportions of these patterns takes values between zero and one and the precise range for each pattern is well known.

The question thus arises for a family of patterns, if we can find permutations whose proportions of patterns match assigned values simultaneously for each pattern in the family.
This forms a feasible region, and the description of this feasible region in the context of classical patterns has had wide range of answers.
In this talk we will see how the feasible region in the context of consecutive patterns, a notion closely related to classical patterns, behaves much better.
Specifically, we will encode consecutive patterns as walks on a suitable graph, the overlap graph, and see that the feasible region is a polytope whose vertices correspond to cycles of the overlap graph. We finally give some insight on its face structure.

Résumé : 

Résumé : 

Résumé : 

Let $p$ be a rational prime and $q>1$ a $p$-power integer. Drinfeld modular forms are rigid analytic functions on the Drinfeld upper half plane over $\mathbb F_q((1/t))$ satisfying a similar transformation condition and holomorphy condition to elliptic modular forms. Though numerical computations suggest that they have interesting $\wp$-adic structures, we still have poor understanding of them.

In this talk, I will explain how to construct $\wp$-adic continuous families of Drinfeld eigenforms of finite slope using Teitelbaum's description of Drinfeld cuspforms via the Steinberg module, and also what we can say about slope zero Drinfeld cuspforms.

Résumé : 

Les cartes combinatoires, que l’on peut voir comme le plongement de graphes sur des surfaces, sont des modèles de géométrie discrète que l’on retrouve dans plusieurs domaines des maths. On se penchera ici sur l’étude asymptotique des cartes aléatoires.

La notion d’universalité est un concept important dans l’étude des cartes aléatoires : on observe des phénomènes similaires pour différents modèles de cartes. L’exemple le plus célèbre est la convergence d’échelle de nombreux modèles de cartes planaires aléatoires vers la carte brownienne.

Résumé : 

Résumé : 

Depuis les années 80, les interactions entre algèbres de Lie et identités de partitions ont été largement étudiées. L'idée de départ est due à Lepowsky et Wilson, qui ont interprété et reprouvé les identités de Rogers-Ramanujan en termes de représentations de l'algèbre de Lie affine $A_1^{(1)}$. Dans la continuité de ces travaux, Capparelli a obtenu une nouvelle identité en étudiant l’algèbre $A_2^{(2)}$, et Primc deux nouvelles identités en utilisant des bases cristallines dans $A_1^{(1)}$ et $A_2^{(1)}$.
Dans cet exposé, nous présenterons une famille infinie d'identités de partitions qui généralise les deux identités de Primc, et montrerons qu'elle est liée aux bases cristallines de $A_{n-1}^{(1)}$. Grâce à une bijection, nous donnerons aussi deux familles infinies d'identités généralisant l'identité de Capparelli. Ces trois familles d'identités relient des partitions avec conditions de différences à une généralisation des partitions de Frobenius. De plus, elles permettent de donner une formule à coefficients positifs pour le caractère des module standards de niveau 1 de $A_{n-1}^{(1)}$ pour tout $n$.
Travail en commun avec Isaac Konan.

Résumé : 

Voir JMD_resume_Lyon-St-Etienne.pdf

Résumé : 

L'équirépartition d'une suite $(x_n)_n$ à valeurs dans l'intervalle [0,1) peut être vue comme une propriété pseudo-aléatoire à un niveau global. A un niveau plus local, on peut s'intéresser aux statistiques des écarts entre les éléments de la suite $(x_n)_n$. Lorsqu'au niveau local le comportement de notre suite est aléatoire on dit qu'elle a la propriété de Poisson.

Les travaux de Rudnick, Sarnak et Zaharescu ont permis de développer une théorie métrique donnant des résultats sur les écarts des suites $(a_n \alpha)_n$ pour presque tout réel $\alpha$ où $(a_n)_n$ est une suite d'entiers. Récemment, un critère général a été démontré permettant de caractériser la propriété de Poisson pour presque tout $\alpha$ à l'aide de l'énergie additive de la suite d'entiers $(a_n)_n$.

Dans cet exposé, on présente un critère général dans le cas plus délicat d'une suite de réels $(a_n)_n$. Celui-ci fait intervenir le comptage de points définis par une inégalité diophantienne. On donne quelques exemples d'applications de notre méthode et propose plusieurs problèmes ouverts.

Travail en collaboration avec Christoph Aisleitner et Daniel EL-Baz.

Résumé : 

Résumé : 

Two number fields K and L are said to be arithmetically equivalent if, for almost every prime number p, the factorizations of p in the rings of integers of K and L are analogous (in a precise sense that will be explained). A completely similar definition can be given for finite extensions of a function field F(T), where F is a finite field.
In this talk we discuss the concept of arithmetic equivalence in both contexts, focusing on the similarities and the differences between the two cases. In particular, we will show a group-theoretic analogue of the problem and we will explain the relation between arithmetic equivalence and equality of certain zeta function (the classical Dedekind zeta function for number fields, a more complicated function for function fields). Finally, we will show how to produce examples of equivalent but not isomorphic fields in both contexts.

Résumé : 

10h-10h50. David Wahiche. Théorèmes de multiplication pour les partitions auto-conjuguées

Résumé : En 2011 Han et Ji, et plus récemment Walsh et Warnaar, ont prouvé des théorèmes de multiplication-addition pour des partitions d'entiers. De ces derniers, on peut obtenir beaucoup d'applications intéressantes permettant des généralisations de formules d'équerre, parmi lesquelles des généralisations de la formule de Nekrasov-Okounkov. Dans cet exposé, j'expliquerai comment prouver des analogues et des extensions de la plupart de ces résultats aux partitions auto-conjuguées en utilisant les propriétés de la décomposition de Littlewood.

 

11h-11h50. Colin Faverjon. Relations algébriques entre les valeurs de séries de Hecke-Mahler 

Résumé : La méthode de Mahler, initiée à la fin des années 1920 par K.Mahler, s'intéresse aux fonctions analytiques de plusieurs variables, à coefficients algébriques, solutions d'équations linéaires pour un opérateur de la forme : /z/_/i/ -> /M_i/(/z_1/,...,/z_n/), où /z_1/,...,/z_n/ sont des nombres complexes, et /M_1/,...,/M_n/ sont des monômes. Elle tend à montrer que les relations algébriques entre les valeurs de ces fonctions aux points algébriques non nuls proviennent des relations algébriques entre les fonctions elles-même. Un exemple historique de fonctions accessibles par cette méthode sont les séries de Hecke-Mahler, /f/(/w/,/z/) = \sum_/n /[/nw/]/z^n/, pour lesquelles /w/ est un nombre réel quadratique irrationnel. K. Mahler a démontré la transcendance des valeurs de ces fonctions en tout point algébrique non nuls du disque unité. Ces travaux ont été repris, notamment, par Ku. Nishioka et D. W. Masser, qui ont énoncé à la fin du siècle dernier certains critères d'indépendance algébrique.

 Dans cet exposé, je montrerai comment les récents résultats obtenus en méthode de Mahler, d'un travail commun avec B. Adamczewski, permettent de déterminer l'ensemble des relations algébriques entre les nombres /f/(/w/,/a/), où /w/ parcourt les nombres réels quadratiques irrationnels et /a/ les nombres algébriques non nuls du disque unité.

 

 

13h40-14h30. Jakub Konieczny.  Higher order Fourier analysis

Abstract: Higher order Fourier analysis is a relatively new field of study with some remarkable applications in additive combinatorics.

When utilizing Fourier-analytic methods in number theory, one often deals with averages of the form $\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} f(n) e^{i \alpha n}$, where $N$ is a large integer, $\alpha \in \mathbb{R}$, and $f \colon \{0,1,...,N\} \to \mathbb{C}$ encodes some number-theoretic information. If the aforementioned averages are small for all $\alpha$ then, in many contexts, $f$ can be considered to be pseudorandom. For instance, if $A \subset \{0,1,...,N-1\}$ is a set of integers containing $a$ elements and if the balanced characteristic function $1_A - a/N$ is pseudorandom in the sense described above then $A$ contains approximately $a^{3}N^{2}/4$ $3$-term arithmetic progressions, just like a random set of the same size.

Higher order Fourier analysis generalises the techniques alluded to above in such a way that they are applicable to more complicated patterns, such as arithmetic progressions of length $4$ and greater. The linear phase functions $e^{i \alpha n}$ are replaced with more complex, but still tractable, expressions such as $e^{i \alpha n^2}$ or $e^{i \alpha n[\beta n]}$, called nilsequences. A sequence $f$ is considered to be pseudorandom if has small Gowers uniformity norms - a concept introduced by Gowers in his work on a new proof of Szemeredi's theorem. The Inverse Theorem for Gowers Uniformity norms, due to Green, Tao and Ziegler, provides a connection between correlations with nilsequences and Gowers uniformity norms. These ideas were heavily utilised, for instance, in the work of Green and Tao on additive patterns in the primes.

During my talk, I will provide an introduction to the concepts mentioned above, and also briefly discuss joint work with Byszewski and Müllner on higher order Fourier analysis approach to automatic sequences.

 

 

14h40-15h30. Isaac Konan.  Multi-grounded partitions and character formulas

Abstract: In 1980, the Lepowsky-Wilson proof of Rogers-Ramanujan identities unveiled a profound connection between the representation theory of Lie algebras and the partition theory. The idea behind the proof is twofold. Using vertex operators, Lepowsky and Wilson interpret a basis of Lie-algebras' standard modules as a family of partitions and then deduce a partition identity through the specialization of the Weyl-Kac character formula. In this spirit, subsequent works of Capparelli, Meurnann, Primc, and others led to numerous partition identities.
In this talk, we present an alternative method from joint work with J.Dousse. Our construction of the module's basis uses perfect crystals instead of vertex operators. We then introduce a new type of partition, the multi-ground partitions,  which allows us to interpret the basis in terms of partitions. The novelty of this method consists of computing the unspecialized character formulas for Lie algebras' standard modules as the generating functions of multi-grounds partitions. We end the presentation by giving explicit examples for level one standard modules of certain types.

 

Résumé : 

En 2012, Lenny Taelman a démontré un analogue de la formule du nombre de classes pour les $A$-modules de Drinfeld quand $A$ est un anneau de polynômes. Cette formule relie une série $L$ à certaines quantités provenant d'un régulateur d'unités et d'un module de classes.

Pour un anneau de coefficients arbitraire $A$, plusieurs résultats généralisant la formule de Taelman ont été obtenus par différents auteurs pour des familles de $A$-modules de Drinfeld, voire pour certains $A$-modules d'Anderson.

Je présenterai une nouvelle approche basée sur la notion d'unités de Stark qui permet d'établir la formule de classes pour tous les $A$-modules de Drinfeld, et en fait pour une large famille de $A$-modules d'Anderson. Il s'agit d'un travail en commun avec Bruno Anglès (Caen) et Tuan Ngo Dac (Lyon).

Résumé : 

Durant les vingt dernières années, des techniques mélangeant théorie des modèles et algèbre différentielle ont eu de nombreuses applications à l’étude des relations algébriques entre solutions d’équations différentielles algébriques non linéaires (noyaux de Manin, équations de Painlevé, équations différentielles schwarziennes…)

Dans mon exposé, je discuterai certaines de ces techniques sur un exemple concret issu des travaux de Poizat dans les années 80 : les équations différentielles d’ordre deux de la forme y’’/y’ = f(y) où f(y) est une fonction rationnelle d’une variable. En particulier, je décrirai intégralement la structure des relations algébriques entre solutions de telles équations différentielles obtenue dans un récent travail avec James Freitag, David Marker et Joel Nagloo. 

Résumé : 

J'expliquerai comment certaines algèbres graduées permettent de retrouver les identités de Rogers-Ramanujan en théorie des partitions, ainsi que leurs généralisations dues à Gordon. Cette connexion  a récemment conduit Afsharijoo à conjecturer un nouveau membre pour les identités d'Andrews-Gordon. Je donnerai une preuve de cette conjecture, qui utilise de nouvelles dissections de type Durfee pour les partitions, ainsi que des outils de q-séries liés au lemme de Bailey.

Il s'agit d'un travail en commun avec Pooneh Afsharijoo, Jehanne Dousse et Hussein Mourtada.

Résumé : 

La première partie de l’exposé sera consacrée à un rapide  bilan comparé de deux « théories transcendantes » : celle des M-fonctions de Mahler et celle des E-fonctions de Siegel. Ces théories, qui ont toutes deux émergé dans des articles publiés la même année, en 1929, ont récemment abouti à des résultats qui, pour l’essentiel, sont définitifs.

Je présenterai ensuite un théorème d’un genre nouveau pour les M-fonctions, ainsi que ses principales conséquences. Celles-ci portent sur des problèmes liés aux développements des nombres réels (ou entiers) dans des bases entières qui prennent notamment leur source dans des conjectures de Borel et Furstenberg. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Colin Faverjon.