Institut Camille Jordan

Résumé : 

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Usually we think that we are living in the real world, namely the world of real numbers. Sometimes it is useful to move to the larger and more complex world of complex numbers, since there we have various powerful tools including complex analysis and Euler's identity. Also we usually think that integers and rational numbers are parts of real numbers and complex numbers. However, it turned out that they are not enough to reveal mystery in number theory.

In the last century, we humans found parallel universes to our real world which exist for every prime number p. In the universe for p, p-adic numbers and p-adic periods play comparable roles of real numbers and complex numbers. In this talk, I will explain what they are like, and how they have contributed to developments of number theory.

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Abstract: "The vanishing viscosity problem consists of understanding the limit, or limits, of solutions of the Navier–Stokes equations, with viscosity $\nu$, as $\nu$ tends to zero. The Navier–Stokes equations are a model for real-world fluids and the parameter $\nu$ represents the ratio of friction, or resistance to shear, and inertia. Ultimately, the relevant question is whether a real-world fluid with very small viscosity can be approximated by an ideal fluid, which has no viscosity.
In this talk we will be primarily concerned with the classical open problem of the vanishing viscosity limit of fluid flows in domains with boundary. We will explore the difficulty of this problem and present some known results. We conclude with a discussion of criteria for the vanishing viscosity limit to be a solution of the ideal fluid equations."

 

 

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Abstract: The movement of a fluid can be modeled by a system of partial differential equations known as the Navier-Stokes equations. In order to describe the evolution of the fluid we need information about the solutions of this system. To do so, it is necessary to answer some fundamental questions about the existence, uniqueness and regularity of solutions.

In this talk, we will explain what each of these questions means and what are the answers to these questions in some cases. In other cases, these questions have not yet been completely answered and who answers it could become a millionaire*! 

 

*http://www.claymath.org/millennium-problems/navier-stokes-equation

 

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Résumé: 
Quasi-random structures, roughly speaking, are deterministic objects which share many characteristic properties of their random counterparts.Formalizing this concept has turned out to be tremendously fruitful. Over the last two decades it has been recognized that quasi-randomness and limits of discrete structures are two related subjects.  Being interesting on their own right, limit theories have also unveiled many connections between various branches of mathematics and theoretical computer science.

The first quasi-random structures were identified by Thomason (1987) and Chung, Graham and Wilson (1989). The theory of limit objects was launched by the work of Lovaasz and Szegedy (2006).

In this self-contained talk we expound on the theory of quasi-random structures and limit objects by focusing on simple yet fundamental discrete objects; words and convergent word sequences. Surprisingly, neither had been explicitly investigated in the rich literature of quasi-randomness and limits of discrete structures.

Join work with Hiep Han (U. de Santiago de Chile) and Matias Pavez Signé (U. de Chile)

Keywords: Quasi-randomness, limits of discrete structures, property testing.

Prérequis: Some familiarity with discrete probabilities and basic notions of calculus and measure theory.

 

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Résumé: Prenez deux coniques : s'il existe un polygone à n côtés à la fois circonscrit à l'une et inscrit dans l'autre, alors il existe une infinité de tels polygones. Voilà un théorème du début du 19ème siècle, dû à Poncelet, et reconnu plus tard par d'autres mathématiciens comme le plus célèbre des "théorèmes de clôture". Dans mon exposé, je propose de montrer comment plusieurs théorèmes de géométrie (dont celui de Poncelet), au départ énoncés et démontrés de manière indépendante les uns des, ont progressivement été reconnus comme étant les membres d'une même famille désignée par cette étiquette de "théorèmes de clôture". Nous verrons que la reconnaissance de cette famille s’est faite de plusieurs manières selon les mathématiciens, certains mettant en avant la "nature" des théorèmes, d'autres insistant sur les liens techniques existant entre eux, d'autres encore les rassemblant par des points de vue unificateurs (comme celui des fonctions elliptiques). L’exposé sera aussi l'occasion de parler des notions cognitives de catégorisation et d'airs de famille, que je discuterai sur l'exemple de la constitution de la famille des théorèmes de clôture.

Prérequis: culture mathématique niveau L1

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Abstract: Topological data analysis is a relatively new field whose goal is to extract information from data by topological methods. The basic philosophy is that data has an inherent geometry, it has "shape", and this shape carries information that we would like to quantify. The goal is to make this hidden information visible using algebraic topology. In a joint work with S. Kalisnik and V. Limic we put forward some aspects of the probabilistic foundations of the theory in order to make it more useful for statistical applications.

 

Prerequisites:

basic topology: topological space, metric space, knowledge of homology is a psychological advantage, but not necessary to be able to follow. (I will briefly explain what I need)

basic algebra: field, group, vector spaces

basic probability theory and analysis: measure, random variable, Banach space, completion

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Résumé: La réécriture est une théorie du calcul visant à parcourir des classes d'équivalence
via une orientation des règles équationnelles, afin de brosser le calcul dans un sens et de le rendre optimal. Au cours du 20ème siècle, la réécriture s'est développée dans de nombreux domaines en informatique fondamentale mais aussi en algèbre, ou l'on tente de déduire des propriétés de structures algébriques admettant des présentations par générateurs et relations. Un exemple typique nous est donné par l'introduction par Buchberger des bases de Gröbner pour calculer avec des idéaux dans des algèbres commutatives.

Dans cet exposé, je vais montrer comment utiliser la théorie de la réécriture afin de calculer dans des algèbres définies par des diagrammes de cordes. J'introduirai les concepts fondamentaux de terminaison et de confluence et montrerai comment calculer explicitement des bases linéaires pour ces algèbres à partir de ces 2 propriétés.

Prérequis: culture mathématique niveau L3

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Titre : Univers aléatoires non-commutatifs en grande dimension et physique du solide.

Résumé : Le très classique théorème de la limite centrale énonce que les fluctuations d'une somme d'un grand nombre de variables aléatoires correctement rescalées sont données par une loi normale (loi de Gauss). Nous explorerons ici des analogues de ce théorème dans des modèles matriciels issus de la physique (matrices aléatoires en grande dimension, opérateurs de Schrödinger avec potentiel aléatoire -- modèle d'Anderson  -- modélisant le mouvement d'électrons dans un métal réel avec défauts).
La non-commutativité joue ici un rôle crucial, obligeant à revisiter les concepts traditionnels de la théorie des probabilités. Le sujet se prête à de nombreuses illustrations graphiques provenant de la combinatoire et des techniques de graphes de Feynman.

Pour finir sur une note plus personnelle, nous discuterons l'analogie formelle entre la supraconductivité basse température d'une part, et le comportement à grande échelle du modèle d'Anderson (régimes délocalisé  -- électrons mobiles -- versus localisé  -- électrons piégés --), objet d'une conjecture célèbre constituant un problème ouvert fondamental de la physique mathématique.

 

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Titre : "Quelques résultats autour des événements rares et de leur modélisation stochastique"

Résumé : Dans cet exposé, nous allons tenter de présenter de manière pédagogique la théorie des valeurs extrêmes et notamment certains résultats liés aux processus max-stables. La théorie des valeurs extrêmes se situe à la frontière entre probabilité et statistiques et concerne l’étude probabiliste d'événements rares, i.e., dont la probabilité d’occurence est extrêmement faible. De cet fait, elle a été largement utilisée lors d’applications liées à la finance (krach boursier), l’environnement (catastrophe naturelle) ou les télécoms (défaillance de réseau).  Après avoir introduit le jargon propre aux « extrêmistes », nous nous intéresserons plus particulièrement aux fameux processus stochastiques dit max-stables, processus notamment utiles pour la modélisation spatiale des extrêmes, e.g., vague de chaleur, inondations…

Ceci sera pour nous l’occasion de croiser de nombreux champs des statistiques modernes (e.g., statistiques algorithmiques) mais aussi quelques résultats probabilistes (e.g., un peu de géométrie stochastique).

Tout au long de cette présentation, et ce malgré la présentation de résultats plutôt récents, un effort particulier sera mis afin de rendre l’exposé complètement accessible aux non initiés.

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Résumé et Pré-requis

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Titre : Étude numérique de problème de contact élastodynamique basées sur la méthode de redistribution de masse

Résumé : Un ou plusieurs corps déformables en mouvement peuvent entrer en contact en un point, le long d’une ligne ou d’une surface. Les systèmes aux dérivées partielles sont particulièrement bien adaptés pour modéliser les mouvements complexes de corps soumis à des conditions aux limites faisant intervenir des conditions de contact. Ces problèmes de contact occupent un rôle prépondérant dans de nombreux domaines d’ingénierie comme par exemple dans l’industrie automobile où on s’interesse au contact entre le pneu et la chaussée, ainsi que dans les crash tests.
On considère une barre élastique homogène vibrant longitudinalement dont une de des extrémités est libre en déplacement, tant qu’elle ne touche pas un obstacle rigide. L’autre extrémité est fixée. Le problème mathématique peut être formulé comme un problème de contact élastodynamique unilatérale. On introduit la méthode de redistribution de masse. Ensuite, on décrit plusieurs discrétisations possibles en utilisant les méthodes d’intégration en temps.

 

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Résumé : Dans les années 70, Bruhat et Tits ont introduits les immeubles de Bruhat-Tits afin d'étudier certains groupes importants en arithmétique. Nous expliquerons la construction d'un cas particulier de ces immeubles : l'arbre de SL_2(F), où F est un corps local (il ne sera pas important de savoir ce qu'est un corps local). Nous montrerons comment ce groupe agit sur cet arbre et quels genres de résultats on peut en déduire. Nous essaierons ensuite de donner une intuition de ce qu'est un immeuble.

Les prérequis sont : Avoir une vague intuition de ce qu'est un isomorphisme, savoir ce qu'est un corps, Z/pZ, une série formelle à coefficients dans Z/pZ (éventuellement savoir ce qu'est un polynôme suffit), un groupe, un sous-groupe, un quotient de groupes,  SL_2, un espace vectoriel sur un corps quelconque,  une base d'un espace vectoriel de dimension finie, une relation d'équivalence, un ensemble quotienté par une relation d'équivalence, une distance.

 

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Titre : Introduction to index theory

Résumé : The celebrated index theorem of Atiyah and Singer provides a fundamental link between an analytic object (the index of an elliptic operator) and the geometric and topological properties of the underlying compact manifold.  
This talk will give an overview of this classical result, some of its geometric applications, and sketch the proof relying on the "heat-kernel method”.
If time allows, we will introduce other important spectral invariants studied in index theory and discuss their geometrical and topological significance.  
In the talk, all the important concepts will be introduced at least by examples.

As prerequisite : it helps to have already met manifolds, to know some basic differential geometry and have notions of functional analysis such as Banach and Hilbert spaces.

 

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Résumé : Le théorème d'Olivier-Abel dit que si une série à termes positifs est convergente et si son terme général a(n) décroît, alors  n.a(n)  tend vers zéro, quand   n  tend vers plus l'infini. Dans un travail, en commun avec Alain Faisant et Ladislav Misik, nous recherchons des analogues de ce théorème quand la convergence usuelle est remplacée par la convergence selon un "filtre". Je présenterai un bref historique, les notions de "filtre"   et de la convergence selon un filtre, et un aperçu des résultats et des preuves.

Prérequis : Notion de série et de limite

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Titre : Dynamiques McKean-Vlasov et leurs applications.

Résumé : Le présent exposé sera consacré à une classe particulière de processus stochastiques, la classe des modèles de McKean-Vlasov. Ces modèles sont liés à une famille d'équations différentielles stochastiques issue de l'interprétation probabiliste d'équations aux dérivées partielles nonlinéaires et interviennent dans la description de limites de systèmes de particules en interaction. La première partie de l'exposé portera sur un bref rappel sur la théorie générale des équations différentielles stochastiques et leurs applications en finance et en physique. A la suite, nous aborderons le cadre particulier des processus de McKean-Vlasov, présentant leurs particularités mathématiques, les phénomènes de propagation du chaos associés ainsi que leurs applications en mécanique statistique, mécanique des fluides et en économie.

Prérequis : Théorie des probabilités, équations différentielles (ordinaires et aux dérivées partielles), ainsi que des bases élémentaires sur la théorie des processus stochastiques.

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Titre: "Mixed joint universality for zeta-functions"

Résumé:
"The Riemann zeta-function has the universality
property, that is, roughly, it approximates any holomorphic
function on a given compact set.   Now it is known that many other
zeta and $L$-functions satisfy the same property.   Under some
suitable conditions, simultaneous (or "joint") universality among
several zeta-functions also holds.    In particular, the joint
universality between a zeta-function with Euler product and
another zeta-function without Euler product, first discovered by
H. Mishou, is called the mixed joint universality.    In this talk
we will discuss how general the mixed joint universality holds.
(This is a joint work with R. Kacinskaite.)"

Prérequis: "un peu d'analyse complexe de base et  un peu de proba de base"

Résumé : We are interested in approximate solutions of the Fredholm integral equations of the second kind using projection methods. Classical methods such as the Galerkin method associated with an orthogonal projection and the collocation method associated with an interpolatory projection are discussed. We also consider the iterated Galerkin and the iterated collocation methods which have higher orders of convergence. A method proposed by author which improves upon the iterated Galerkin/iterated collocation is next described. The proofs for orders of convergence for various methods in the case of a smooth kernel are discussed briefly. We obtain orders of convergence in the case of a kernel of the type of a Green's function and validate these results by a numerical example. Prerequisite: Niveau d'Analyse L3

Résumé : In this introductory talk, all concepts will be defined and explained in detail. We talk about the meaning of quivers with relations and motivate the theory by basic examples from Linear Algebra. By looking at representations of such quivers, we discuss an important example in detail: How is the Jordan Normal form of matrices of square size n related to this setup? The strength of methods and techniques which are available for quiver representations will be sketched. Prerequisite: Linear algebra, Jordan normal form

Résumé : In the 1930s, Emil Artin put forward an influential chain of conjectures that concern the existence of p-adic points on projective hypersurfaces. The status of these conjectures is uncertain : in some ways, the conjecture is completely wrong, in others it is almost true. The lecture will formulate Artin's conjectures in elementary terms and then explain their relevance to diophantine analysis. The state of the art will be summarized, with combinatorial methods at the focus of attention.