Institut Camille Jordan

L’objectif de cet exposé est de présenter un nouveau modèle champ de phase d’ordre deux pour approximer la diffusion de surface.

Je commencerai par présenter les modèles classiques, qui sont principalement donnés par une équation de type Cahn-Hilliard avec un terme de mobilité. Le choix de la mobilité et du potentiel est crucial pour capturer la diffusion de surface. Un mauvais choix conduit en effet à une inconsistance qui se reflète par la présence d’un terme supplémentaire dans la vitesse limite.
Tout ceci peut se justifier par une analyse asymptotique formelle qui
permet en outre de montrer que les modèles classiques sont d’ordre un.

Des modèles d’ordre deux ont déjà été proposés dans la littérature, mais sont soit non variationnels, soit variationnels mais modifiant l’énergie d’origine. Cela rend difficile l’extension à plusieurs phases ou au cas anisotrope. J’introduirai donc dans une seconde partie un nouveau modèle d’ordre deux qui a l’avantage d’être variationnel, associé à l’énergie
de Cahn-Hilliard et avec deux mobilités dégénérées.

Dans une troisième partie, je présenterai des schémas simples et efficaces basés sur une méthode de splitting convexe concave qui exploite la nature variationnelle de la métrique. Je finirai enfin cette exposé par des simulations mettant en évidence les avantages ce dernier modèle.

Cette présentation est basée sur un travail en collaboration avec Élie Bretin (INSA-ICJ), Simon Masnou (ICJ, UCBL) et Arnaud Sangers (INSA). On pourra se référer à [1] pour plus de détails.

[1] Elie Bretin, Simon Masnou, Arnaud Sengers, and Garry Terii. Approximation of surface
diffusion flow : a second order variational Cahn–Hilliard model with degenerate mobilities. arXiv preprint arXiv :2007.03793, 2020.

Au cours d'un procédé de cristallisation, la distribution en taille des cristaux est une variable importante dont la dynamique est modélisée par une équation de transport. Les capteurs actuels ne mesurent pas directement cette distribution, mais plutôt une distribution en longueur de cordes. Se pose alors la question de l'estimation de la distribution en taille des cristaux à partir de celle en longueur de cordes. Il s'agit donc d'un problème de design d'observateur: estimer en ligne de l'état complet d'un système à partir d'une connaissance partielle de l'état et d'un modèle de sa dynamique.
Dans cet exposé, nous rappellerons les résultats connus sur les systèmes linéaires de dimension finie, et présenterons des résultats récents obtenus sur les systèmes de dimension infinie. Sous des hypothèses de détectabilité et d'observabilité, nous construirons un observateur convergeant vers l'état dans la topologie faible de l'espace. Enfin, nous appliquerons ces résultats au procédé de cristallisation.

J'expliquerai la démarche mathématique utilisée durant ma thèse pour comprendre des mécanismes de différenciation cellulaire des cellules souches permettant la production des globules rouges (mécanisme appelé érythropoïèse). Je développerai différents modèles mathématiques permettant une compréhension à différents niveaux.
Dans un premier temps, Je présenterai un modèle déterministe qui nous a permis de mettre en lumière l'importance de la capacité d'auto-renouvellement des cellules érythropoïètiques dans la production des globules rouges.

L'élaboration d'un modèle probabiliste de dimension 3 nous a ensuite permis de comprendre les conséquences dynamiques de cette capacité sur la production des globules rouges. L'étude de ce modèle a nécessité des changements d'échelles en taille et en temps révélant un système dit lent/rapide. A l'aide de méthodes dites de moyennisation nous avons décrit l'approximation en grande population du nombre de cellules de chaque type. Nous avons également quantifié mathématiquement les grandes fluctuations biologiquement observées au niveau du nombre de globules rouges.