Institut Camille Jordan

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Les techniques d’imagerie classiques utilisent des ondes pour sonder un milieu inconnu et sont employées par exemple pour des applications médicales (échographie) ou géophysiques (séismologie). Ces ondes sont émises par des réseaux de sources et après propagation dans le milieu elles sont enregistrées par des réseaux de récepteurs. Ces techniques sont généralement mises en défaut lorsqu’on les utilise dans des milieux diffusants contenant des inhomogénéités aléatoires, car les signaux cohérents venant des réflecteurs à imager et enregistrés par les réseaux de récepteurs sont souvent noyés par les signaux incohérents venant des diffuseurs. L’analyse stochastique et multi-échelles est un outil qui permet de comprendre la situation et de proposer des fonctions d’imagerie originales. Ces nouvelles fonctions d’imagerie à base de corrélations croisées permettent d’exploiter des signaux traversant des milieux très complexes, voire même d’utiliser des signaux issus de sources de bruit ambiant.

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The classical central limit theorem tells us that the sum of n independent, identically distributed, random variables with finite second moment follows approximately a Gaussian distribution with variance of order n. Moreover, the random walk obtained as the partial sums of such random variables converges, in a suitable sense, to a Brownian motion. The aim of the talk is to describe random surfaces, a higher-dimensional analog of random walks, and discuss their fluctuation behavior focusing on analogs of the above facts. Random surfaces were introduced to model the interfaces between different media or different phases in a physical system and have been studied for over 40 years. I will discuss the many challenges remaining in their study as well as recent progress. All concepts (including the classical central limit theorem) will be explained in the talk and the models will be illustrated with several pictures.

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L'invariance conforme, dans l'espace des paramètres de temps, est souvent présente dans les limites d’échelle de modèles de mécanique statistique. L'exemple le plus simple est l'invariance par inversion du temps pour le mouvement brownien, démontrée par Paul Levy en 1940. Pour des systèmes bidimensionnels tels que le modèle d'Ising, l'invariance conforme est un résultat mathématique récent. Je présenterai une introduction au modèle de Brydges-Mitter-Scoppola, en trois dimensions, qui est relié aux modèles d'Ising avec interactions de longue portée et qui est l'objet de conjectures très récentes par des spécialistes physiciens de la théorie dite du "bootstrap" conforme. Je présenterai aussi un modèle jouet p-adique ou hiérarchique pour lequel l'invariance conforme peut se démontrer à l'aide de méthodes rigoureuses de renormalisation.

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This talk will be about some interactions between model theory and diophantine geometry. I will describe a very general diophantine conjecture in the context of multiplicative groups, its connections with the model theory of the exponential function and with Schanuel's conjecture from transcendental number theory. I will describe how these generalise to more exotic settings, involving in particular the elliptic modular function.

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The optimal transport problem consists in finding the cheapest way to transport a distribution of mass from one place to another. Apart from its applications to economics, optimal transport theory is an efficient tool to construct change of variables between probability densities, and this fact can be applied for instance to prove stability of minimizers of several geometric/functional inequalities. More recently, motivated by problems arising in random matrix theory, people have tried to apply these methods in very large dimensions. However the regularity of optimal maps seem to play an important role in this context, and unfortunately one cannot hope in general to obtain regularity estimates that are uniform with respect to the dimension. Based on these considerations, it seems hopeless to apply optimal transport theory in this context. Still, ideas coming from optimal transport can be used to construct approximate transport maps (i.e., maps which send a density onto another up to a small error) which enjoy regularity estimates that are uniform in the dimension, and such maps can then be used to show universality results for the distribution of eigenvalues in random matrices. The aim of talk is to give an overview of all results.

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Je montrerai comment le fait de considérer une relation d'équivalence sur l'ensemble X comme une famille de sous-ensembles de X paramétrée par les points de X (à x on associe sa relation d'équivalence) apporte en Géométrie complexe un point de vue nouveau et permet de produire des quotients (en général méromorphes). En particulier on obtient ainsi que toute relation d'équivalence analytique propre sur un espace complexe admet un quotient méromorphe. Je montrerai ensuite comment ces idées peuvent s'étendre dans un cadre non propre assez général grâce à des outils développés récemment.

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A matrix $M$ of real numbers is called "totally positive" if every minor of $M$ is nonnegative. This somewhat bizarre concept from linear algebra has surprising connections with analysis --- notably polynomials and entire functions with real zeros, and the classical moment problem and continued fractions --- as well as combinatorics. I will explain briefly some of these connections, and then introduce a generalization: a matrix $M$ of polynomials (in some set of indeterminates) will be called {\em coefficientwise totally positive}\/ if every minor of $M$ is a polynomial with nonnegative coefficients. Also, a sequence $(a_n)_{n \ge 0}$ of real numbers (or polynomials) will be called "(coefficientwise) Hankel-totally positive" if the Hankel matrix $H = (a_{i+j})_{i,j \ge 0}$ associated to $(a_n)$ is (coefficientwise) totally positive. It turns out that many sequences of polynomials arising in enumerative combinatorics are (empirically) coefficientwise Hankel-totally positive; in some cases this can be proven using continued fractions, while in other cases it remains a conjecture.

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À venir

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La géométrie aléatoire est un sujet d’intérêt croissant pour les physiciens. Une formulation intrinsèque, (indépendante de tout plongement) suffisamment générale et utilisable en dimension plus que deux pourrait en particulier fournir la clé de la quantification de la gravité, qui reste aujourd'hui le plus grand défi de la physique théorique. Récemment une reformulation de la notion de tenseur aléatoire a permis de créer un pont entre la géométrie aléatoire en dimension plus que deux et les méthodes de la théorie des champs. Nous décrirons succinctement les nouvelles questions mathématiques auxquelles conduisent ces progrès.

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Cet exposé sera une introduction à la théorie des types dépendants et à l'axiome d'univalence. Cette théorie est une alternative à la théorie des ensembles comme fondement des mathématiques. Guidé par une interprétation d'un type comme un espace topologique « à homotopie près » (type d'homotopie), V. Voevoedsky a introduit une stratification des types suivant la complexité de leur égalité, qui fait apparaître la théorie des types comme une généralisation de la théorie des ensembles. Il a aussi formulé l'axiome d'univalence qui est une forme très forte du principe d'extensionalité. On discutera en particulier de quelques conséquences de cet axiome pour la représentation formelle de la notion de catégorie, ainsi que quelques développements récents sur une interprétation effective de l'axiome d'univalence.

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On va parler d'une version particulière du problème de Plateau pour des ensembles de dimension 2 bordés par une courbe, pour laquelle l'existence n'est pas encore connue en général, et aussi de la régularité des solutions éventuelles. Le problème consiste simplement à minimiser la mesure de Hausdorff de dimension 2 parmi les ensembles obtenus à partir d'un ensemble initial en lui faisant subir des déformations continues qui préservent l'appartenance d'un point au bord. J'essaierai d'expliquer le peu qu'on sait de la régularité au bord des minimiseurs, et rapidement la relation éventuelle au problème d'existence.

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The positive Grassmannian is a remarkable subset of the real Grassmannian that has recently found applications in soliton solutions of the KP equation, scattering amplitudes in string theory, etc. A matroid is a combinatorial abstraction of the notion of linear independence and dependence among a set of vectors. Positroids are a class of matroids that come from the positive Grassmannian, and have many beautiful properties. In my talk I will give a gentle introduction to the positive Grassmannian and to matroids, and will then explain some combinatorial aspects of positroids, including a structure theorem, and a link with free probability. If time permits I'll discuss the fact that the positive matroid Grassmannian (or positive MacPhersonian) is homeomorphic to a closed ball. This is joint work with Federico Ardila and Felipe Rincon.

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On commencera par discuter quelques problèmes élémentaires dont la solution repose - de façon inattendue - sur l'utilisation de techniques non-archimédiennes, puis nous présenterons quelques applications plus avancées.

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The theory of regularity structures was introduced in order to give a rigorous meaning to stochastic partial differential equations from Physics such as the KPZ equation or the dynamic $\Phi_3^4$ equation. 3 The equations of interest contain a very irregular random term, often space-time white noise, which causes them to fall outside of the scope of classical solution theories. The treatment of any given equation contains of two steps. The first step consists of the construction of a suitable "algebraic framework" or regularity structure. This can be done as soon as the equation satisfies certain scaling properties. The second step consists of a (usally probabilistic) construction of a (usually) random "model", a concrete realisation of the algebraic framework. In these lectures we will give an overview over this procedure, emphasising in particular the construction of models. We present some tricks how this construction can be reduced to the analysis of certain graphs and how to perform this analysis even in complicated example. We will also show how to obtain large deviation results for some random models and how these can be used to obtain large deviation bounds for renormalised stochastic PDEs.

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Le but de cet exposé est de montrer comment on peut obtenir de façon rigoureuse le mouvement brownien à partir d'un système déterministe de sphères dures quand le nombre de particules N tend vers l'infini, et que leur diamètre tend simultanément vers 0. Comme le suggère Hilbert dans son sixième problème, on utilisera l'équation de Boltzmann linéaire comme niveau de description intermédiaire de la dynamique d'une particule marquée. On discutera en particulier l'origine de l'irréversibilité, propriété fondamentale du mouvement brownien et de l'équation de Boltzmann qui n'a pas d'équivalent au niveau microscopique.

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Motivated by a foundational question of Poincaré, Birkhoff used min-max methods to prove the existence of a closed geodesic in any Riemannian two-sphere. This has inspired great developments in the field, like the Three Geodesics Theorem of Lusternik-Schnirelmann and the Almgren-Pitts min-max theory of minimal surfaces. In this talk I will give an overview of these ideas and of applications to geometry, including recent results in collaboration with Andre Neves that lead to the existence of infinitely many minimal hypersurfaces in positive Ricci curvature.

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On doit à Désiré André (1840-1918) d'avoir imaginé la notion de permutation alternée (ou alternante), permettant d’interpréter combinatoirement les coefficients des développements en série de Taylor de la tangente et de la sécante. Dès sa découverte, il aurait pu plonger son modèle dans le champ des q-séries, car les outils fondamentaux (le théorème q-binomial (Cauchy) ou les polynômes gaussiens (Gauss)) existaient déjà. Curieusement, il a fallu attendre les années 1970 pour que l'on ait une théorie globale. Le but de cet exposé est de montrer comment Désiré André aurait dû s'y prendre.

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La sélection de modèle est un thème classique de la statistique. L’idée de choisir un modèle via un critère de type log-vraisemblance pénalisée remonte au début des années 70 avec les travaux précurseurs de Mallows et d’Akaike. Il se trouve que dans bon nombre de problèmes, tels que la sélection de variables ou la détection de ruptures multiples par exemple, il est souhaitable de laisser croitre la taille des modèles ou encore le nombre de modèles d’une dimension donnée avec le nombre d’observations. Une théorie non asymptotique de la sélection de modèles a donc émergé durant ces dix dernières années qui vise à prendre en compte ce type de situations. L’enjeu central aussi bien sur le plan théorique que pratique est de comprendre comment pénaliser un critère de type log-vraisemblance de façon à garantir une performance de sélection optimale. La théorie non asymptotique donne des indications sur la structure des pénalités qu’il convient d’utiliser mais n’est parfois pas suffisamment précise pour arbitrer la valeur de certaines constantes qui restent donc à calibrer au moment d’implémenter effectivement ce type de critères. Ces constantes peuvent être inconnues pour des raisons diverses. Il peut s’agir d’une faiblesse de la théorie qui garantit l’existence d’une constante absolue mais sans en donner la valeur numérique. Le problème peut être de nature statistique lorsque cette constante dépend objectivement de la loi inconnue des observations. Notre propos est ici de promouvoir une méthode de calibration de pénalité à partir des données. Cette méthode est en partie fondée sur des résultats théoriques établis et en partie sur une heuristique permettant de l’extrapoler à d’autres cadres que le cadre strict dans lequel la théorie permet de la valider.

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Découvertes (ou inventées ?) par Richard Laver au début des années 1990, les tables maintenant appelées tables de Laver sont une suite de structures finies à 2^n éléments qui obéissent à la loi x(yz)=(xy)(xz) et jouent un rôle fondamental dans l'étude de cette loi. Ce qui est étonnant, c'est que, alors que leur construction est totalement explicite, certaines des propriétés combinatoires de ces structures ne sont établies (pour le moment) qu'à l'aide d'arguments mettant en jeu des axiomes de grand cardinal dont ni la validité, ni même la non-contradiction ne peuvent être démontrées. L'exposé expliquera la construction des tables, puis les liens avec la théorie des ensembles et les abîmes de perplexité qu'ils ouvrent, et enfin quelques pistes en vue d'applications éventuelles à la théorie des tresses et des nœuds en topologie de basse dimension.

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La conjecture ternaire de Goldbach (1742) affirme que tout nombre impair plus grand que 5 est la somme de trois nombres premiers. À la suite des pionniers (Hardy et Littlewood), Vinogradov prouva (1937) que tout nombre impair plus grand qu'une certaine constante C satisfaisait la conjecture. Durant les trois quarts de siècle suivants, il y a eu une succession de résultats réduisant C, mais seulement à des niveaux beaucoup trop grands pour qu'une vérification mécanique jusqu'à C soit possible (C>10^{1300}). (Par ailleurs, les travaux de Ramaré et Tao ont résolu des problèmes correspondants avec six et cinq nombres nombres premiers au lieu de trois.) Mes travaux prouvent la conjecture pour tout nombre impair. L'exposé couvrira l'histoire du problème, le cadre général des approches à des problèmes arithmétiques par l'analyse de Fourier (méthode du cercle) et les obstacles qu'ont du être surmontés.

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Les modèles de croissance tumorale sont maintenant communément utilisés pour prédire l'évolution de la maladie, en utilisant l'imagerie par exemple. Ces modèles sont utilisés pour prédire l'évolution de la maladie en fonction du traitement, à comprendre les effets biologiques qui permettent la croissance tumorale, la thérapie optimale et, parfois, leur implication dans l'échec par acquisition de résistances. Ces modèles contiennent différents niveaux de complexité, en terme d'effets biomédicaux et de mécanique des tissus, et en conséquence en termes de descriptions mathématiques. Les échelles, de la molécule à l'organe, explique en partie cette complexité. Cet exposé présentera le domaine très généralement et insistera sur deux aspects. D'abord le lien sera établi entre la modélisation mécanique multiéchelle de la croissance tumorale, de la densité de cellule aux modèles à frontière libre. Ensuite un point de vue sur la résistance aux thérapie et l'optimisation thérapeutique.

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The talk explains how: (i) A thick book on mechanics (Varignon 1725), (ii) a letter by Johann Bernoulli to Varignon (1715), (iii) Euler’s Methodus (1744, on variational calculus), and (iv) d'Alembert's Dynamique from 1743, led to the famous "Mécanique analytique" (1788, 1811) by Lagrange, in which the advantage of the methods of multipliers is demonstrated at many examples and, in the second edition, finally receives its name. In the second part of the talk we extend the ideas of Euler and Lagrange to the problems of optimal control (Carathéodory, Hestenes, Bellman, Pontryagin).

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We describe two applications of some recent finiteness theorems for commutative algebraic group schemes. (i) The famous Pell equation is $x^2-dy^2=1$, $y eq 0$ over $\bf Z$. Lagrange proved that if the positive integer $d$ is not a perfect square, then there is always a solution in integers $x,y$. The situation changes completely for $X^2-DY^2=1,~Y eq 0$ over the polynomial ring ${\bf C}[t]$. For example, we can prove there are at most finitely many complex numbers $\lambda$ such for $D=t^6+t+\lambda$ there is a solution $X,Y$ in ${\bf C}[t]$; with a more general result for $D(t,\lambda)$ of higher degree. (ii) Some algebraic functions such as ${1 \over \sqrt{t(t-\lambda)}}$ can always be integrated in ``elementary terms" involving logarithms etc. But not ${1 \over \sqrt{t(t-1)(t-\lambda)}}$ unless $\lambda=0,1$. A much more interesting example is ${1 \over (t-{1+\lambda \over 3})\sqrt{t(t-1)(t-\lambda)}}$, which can be done also for $\lambda={1 +\sqrt{-3} \over 2}$. We can prove a general result that if the integration of $f(t,\lambda)$ cannot be done for a generic value of $\lambda$, then it can be done for at most finitely many special complex values.

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Un système de contrôle est un système dynamique sur lequel on peut agir à l'aide d'une commande ou contrôle. Pour ces systèmes, deux problèmes se posent naturellement : celui de la contrôlabilité (peut-on atteindre un objectif désiré à l'aide d'un contrôle bien choisi) et celui de la stabilisation (penser à l'expérience du balai que l'on fait tenir en équilibre sur son doigt en bougeant le doigt en fonction de la position et de la vitesse du balai). On présentera des résultats et des méthodes pour ces deux problèmes, à la fois pour des systèmes de dimension finie et pour des systèmes modélisés par des équations aux dérivées partielles.

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A PET, or Polyhedron exchange transformation, is a piecewise isometric map from a polyhedron to itself, based on a dissection of the polyhedron into (the same) smaller polyhedra, in two different ways. I'll give some examples of interesting PETs and then focus on a particular 1-parameter family which has hidden symmetry related to a hyperbolic reflection triangle group. The symmetry comes from renormalization, which I will explain in simple terms and illustrate with computer pictures.

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On compare les transformations de Fourier additive et multiplicative au moyen de la théorie du scattering inverse. Lorsqu'on discrétise ce problème, le groupe E_8 affine apparaît comme un deus ex machina, agissant par des transformations rationnelles élémentaires.

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Il y a trente ans les ordinateurs faisaient irruption dans les mathématiques avec la célèbre preuve du théorème des quatre couleurs par Appel et Haken. Au départ limité au simple calcul, leur rôle s'élargit maintenant à des raisonnements dont la complexité dépasse les capacités de la plupart des humains, comme la preuve de la classification des groupes simples finis. Nous venons d'en formaliser la première étape importante, le théorème de Feit-Thompson, à l'aide d'un éventail de méthodes et techniques qui vont de la logique formelle au génie logiciel.

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On appelle ``fonctions spéciales" des fonctions analytiques complexes qui apparaissent systématiquement dans les solutions d'équations de la physique mathématique. Ces fonctions ont aussi des propriétés arithmétiques remarquables, car elles interpolent des familles de nombres complexes étudiées en théorie des nombres. Par exemple, la fonction exponentielle se spécialise aux racines de l'unité, et d'autres exemples importants sont donnés par la fonction gamma d'Euler et la fonction zêta de Riemann. Un élément commun à ces fonctions est le domaine sur lequel elles sont définies : le corps des nombres complexes. Ils existent d'autres corps qui sont à la fois algébriquement clos et complets. Dans cet exposé, nous donnerons quelques idées d'une possible théorie des fonctions spéciales définies sur un corps à première vue très étrange. Il s'agit du ``plus petit" corps complet et algébriquement clos dans lequel l'anneau des polynômes en une indéterminée à coefficients dans un corps fini est discret (nous donnerons beaucoup d'exemples d'éléments dans ce corps afin de se familiariser avec ces structures). Ce corps est uniquement determiné une fois fixé un premier p. De façon surprenante, des analogies (dans un sens profond) des fonctions exponentielle, gamma, zeta, apparaissent aussi dans ce contexte. Nous ferons un survol des résultats connus dans cette théorie, commencée par le mathématicien américain Carlitz dans les années 1930 (qui était un combinatoriste).

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Nous verrons que le célèbre pavage de Penrose peut être construit très facilement en utilisant systématiquement une propriété d'auto-similarité. Une variante de cette construction montrera qu'en toute généralité les pavages possédant toutes les propriétés du pavage de Penrose ne sont pas toujours des quasi-cristaux. Nous étudierons ensuite les propriétés d'auto-similarité du pavage de Conway et Radin. Nous présenterons des applications de ces pavages à l'architecture.

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Je présenterai des résultats sur le système de Coulomb classique bidimensionnel, et qui visent à dériver une énergie limite, dite énergie renormalisée, posée sur un ensemble discret infini de points dans le plan. Il est conjecturé que cette énergie est minimale quand les points s'organisent en réseaux triangulaires (dits d'Abrikosov). Dans le modèle de mécanique statistique, on obtient un résultat de cristallisation quand la température tend vers 0. Dans le modèle à température nulle, qui correspond aussi aux "points de Fekete", on prouve une équidistribution des points et de l'énergie. L'exposé s'appuie sur des articles en collaboration avec Etienne Sandier, et avec Simona Rota Nodari.

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Long-time integrations are an important issue in the numerical treatment of Hamiltonian systems. An example is the accurate computation of planetary motion over many millions of years. Numerical integrations are time consuming and it is natural to consider the use of parallel architectures for reasons of efficiency. In this context the parareal algorithm has been considered by several authors. This talk presents a theoretical study of the parareal algorithm when it is applied to Hamiltonian differential equations. The idea of backward error analysis is used to get insight into the long-time behaviour of numerical approximations. One of the main results is that convergence of the parareal iterations restricts the length of the time window. For nearly integrable systems its length is bounded by the inverse of the accuracy of the coarse integrator. The theoretical bounds are confirmed by numerical experiments. This is joint work with Martin Gander

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La suite des cycles lunaires, la distribution des atomes dans un quasi-cristal, et , à une plus large échelle les quasi-patterns observés dans l'expérience de Faraday, sont des exemples illustrant l'ubiquité des structures hiérarchiques. Dans cette exposé nous analyserons ces structures en nous concentrant sur les modèles mathématiques qui leur sont associés selon divers points de vue: systèmes dynamiques, géométrie et mécanique statistique.

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Les mêmes inégalités apparaissent dans deux contextes très différents: le premier est le problème de Horn en algèbre linéaire qui porte sur le spectre da la somme de deux matrices hermitiennes avec les valeurs propres données. Le deuxième est la combinatoire des graphes planaires avec les poids de Boltzmann sur les arrêts. Le lien entre les deux problèmes est établi en utilisant la géométrie de Poisson. L'exposé est basé sur le travail commun avec M. Podkopaeva et A. Szenes.

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Basic problems of the representation theory. Relation to geometric quantization. Geometry of coadjoint orbits. User's guide for the Orbit method. Some exact results and open problems.

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The study of vortex rings in incompressible 3D fluids dates back to Kelvin and Helmholtz in the mid 1800's. In 1906, Da Rios and Levi-Civita gave a formal derivation of a geometric flow that they argued should govern the dynamics of smooth filaments of infinitely small cross section and arbitrary shape. This flow is now widely called the binormal curvature flow. In the talk, I will first review some history and then present recent results (joint with Didier Smets) on a novel type of stability estimate for the binormal curvature flow, together with applications to certain related equations.

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Une carte planaire est le plongement dans la sphère d'un graphe connexe, considéré à homéomorphisme de la sphère près. W.T. Tutte, dans les années 60, a montré, par un tour de force calculatoire, que pour différentes familles de cartes planaires (les cartes générales enracinées, les triangulations, les cartes biparties, etc), le nombre $a_n$ de cartes de taille $n$ admet une formule close explicite, et la série génératrice $\sum_{n\geq0}a_n x^n$ est algébrique. Ces résultats ont été retrouvés au début des années 70 notamment par Brezin, Itzykson, Parisi et Zuber, à l'aide de calculs d'intégrales de matrices. Sous l'impulsion entre autre de M. Schutzenberger dans les années 70-80, s'est formée l'idée que la rationnalité ou l'algébricité d'une série génératrice "doivent" être le reflet d'une structure linéaire ou arborescente des objets énumérés. La recherche pour les cartes planaires de cette "nécessaire" structure arborescente a conduit à la découverte notamment par R. Cori de codages des cartes par certains arbres. Au fil d'une lente maturation, ces codages ont permis de mieux comprendre la structure des cartes, jusqu'à permettre par exemple la récente description par Le Gall et ses collaborateurs de la limite d'échelle des grandes cartes aléatoires uniformes, ou la découverte de nouvelles variantes de formules d'Hurwitz pour les revêtements ramifiés de la sphère par elle-même.

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Le travail quotidien du mathématicien consiste à confirmer ou infirmer des énoncés à l'aide de démonstrations ou de contre-exemples. Voici 80 ans, Kurt Gödel a ébranlé les certitudes de ses contemporains avec ses théorèmes d'incomplétude. En substance, ses résultats mettent en lumière un troisième type d'énoncé (au côté des démontrables et des infirmables): ce sont les énoncés indécidables. Je parlerai des outils qui permettent de formaliser mathématiquement ce qui précède. Il sera donc question de ce qui s'appelle maintenant la théorie des modèles.

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Dans de nombreux problèmes d'analyse d'images, on utilise des modèles de champs aléatoires pour modéliser les images. Ceci est particulièrement vrai dans le cas de l'analyse et de la synthèse de textures, où des modèles de champs gaussiens ou encore de shot-noise peuvent être utilisés. Mais de façon plus générale, la modélisation des images d'un point de vue stochastique permet d'aborder de nombreuses questions de détection de structures géométriques ou de motifs particuliers dans les images.

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En travaillant sur la théorie de la supraconductivité, Bourgain et Brezis ont découvert de surprenantes inégalités analytico-géométriques. Ces inégalités s'interprètent comme des résultats de régularité pour des systèmes de Hodge sous-déterminés. Je présenterai l'approche de Bourgain et Brezis et les développements qui ont suivi.

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La formulation énergétique de l'hystérésis a manifesté son potentiel de modélisation dans des cas de l'évolution lente des matériaux à mémoire, où le système reste dans des configurations d'équilibre au cours du processus. Par contre, dans des systèmes à oscillations rapides, la méthode des opérateurs d'hystérésis offre une alternative qui permet de faire le bilan d'énergie aussi en dehors de l'équilibre. On montrera qu'en fait, dans des cas typiques, les opérateurs d'hystérésis admettent deux niveaux de dissipation d'énergie sur deux échelles temporelles différentes, qui permettent de construire des solutions régulières globales des problèmes hyperboliques d'hystérésis.

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The role of mathematics in understanding and simulating fluid dynamics and biochemical processes in the physiological and pathological functioning of the human cardiovascular system is becoming more and more crucial. These phenomena are indeed correlated with the origin of some major cardiovascular pathologies, and influence the efficacy of the treatments to heal the arteries from their diseases. Mathematical models allow the description of the complex fluid-structure interaction which govern the artery wall deformation under the pressure pulse. Moreover, appropriate reduction strategies can be devised to allow for an effective description of the interaction between large, 3D components, and small 1D branches of the circulatory system, as well as the transfer of drugs and chemicals between the arterial lumen and the vessel wall. This presentation will address some of these issues and a few representative applications.

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Etant donné un groupe topologique G agissant continûment sur un espace topologique X, une question naturelle est de déterminer, pour un x dans X, l'adhérence de son orbite Gx. Ceci n'est en général pas toujours possible, mais dans certaines situations, liées à des problèmes issus de la théorie des nombres, où X est un espace homogène d'un surgroupe de G, des réponses précises peuvent être apportées. Après un rappel des résultats connus grâce à la théorie de Ratner, je présenterai une stratégie d'étude de ce type de problème, reposant sur des propriétés des marches aléatoires dans G, que nous avons développée avec Yves Benoist.

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Comment Fatou et Julia ont-ils inventé ce que l'on appelle aujourd'hui les ensembles de Julia, avant, pendant et après la première guerre mondiale? Je raconterai les mathématiques, avec leur histoire, ses conflits, les personnalités des différents acteurs.

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Je vais présenter un résultat de Pila et Wilkie pour une estimation asymptotique des points rationnels d'une variété, ainsi que des applications aux conjectures de Manin-Mumford, André-Oort et Zilber-Pink. Je vais notamment essayer d'expliquer comment la théorie des modèles s'avère utile pour des questions de géométrie et d'arithmétique.

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De nombreux problèmes issus des applications font intervenir des fonctions d'un très grand nombre de variables. On peut citer en particulier les problèmes de théorie de l'apprentissage, les EDP ou modèles numériques dépendant de variables paramétriques ou stochastiques. Il en découle des difficultés numériques, souvent appelées ''plaies des grandes dimensions''. Après avoir introduit les fondements permettant de comprendre ces difficultés, nous montrerons comment elles peuvent être traitées dans le cas des EDP paramétriques/stochastiques, en faisant appel à des notions d'approximation non-linéaire et de parcimonie.

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La théorie du transport optimal quadratique nous offre une notion naturelle de géodésique dans un espace de probabilités sur un espace d'états X qui est analogue à celle de géodésique dans une variété Riemannienne. Cette analogie est un support intuitif fécond dont la formalisation rigoureuse, lorsque X est un espace métrique général, est l'objet de travaux récents (Ambrosio, Gigli, Lott, Savaré, Sturm, Villani, ...) On peut aussi obtenir une autre notion de géodésique en remplaçant le problème de transport optimal de Monge-Kantorovich par un problème de minimisation d'entropie portant sur des probabilités sur les trajectoires à valeurs dans X. Ce problème de minimisation d'entropie a été introduit par Schrödinger au début des années 30 pour souligner une troublante analogie entre la mécanique quantique et la physique statistique. Nous présenterons ces deux approches qui sont liées du fait que le problème de Monge-Kantorovich s'obtient comme limite de problèmes de Schrödinger lorsqu'un paramètre de fluctuation tend vers zéro.

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Une conjecture de Green-Griffiths et Lang stipule que les courbes holomorphes entières tracées dans une variété algébrique de type général doivent satisfaire une certaine équation algébrique non triviale. Il est également conjecturé d'un point de vue arithmétique que le lieu algébrique "exceptionnel" correspondant est celui qui contient presque tous les points rationnels de la variété; ceci constituerait une vaste généralisation du théorème de Mordell-Faltings. Nous expliquerons ici un résultat récent affirmant que les courbes entières doivent au moins satisfaire une équation différentielle algébrique. La preuve repose sur des calculs de courbure probabilistes combinés avec les inégalités de Morse holomorphes.

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Quantum mechanics is difficult for many people to understand because it is difficult to believe. The heart of the problem is quantum probability, which is an entirely rigorous theory; nonetheless even many working mathematicians have trouble believing it. (Quantum field theory is far from entirely rigorous, but that is a very different issue that I will not discuss.) In the past 15 years or so, quantum probability has greatly expanded as a mathematical topic in the guise of quantum computation and quantum information theory. In this talk, I will discuss some of the ideas of quantum probability, quantum computation, and quantum information, using the language of pure mathematics. A particular theme is that a good scientific interpretation of quantum probability can be exactly matched to basic ideas in operator algebras.

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On montre comment la dichotomisation de l'addition des entiers mène tout naturellement à l'étude de structures algébriques supérieures. Celles-ci gèrent les propriétés des battages et donne une notion de battage non-commutatif. Elles permettent, par exemple, d'introduire une exponentielle et un logarithme sans dénominateur (proche du logarithme de Kontsevich), et de construire des solutions à la conjecture de Kashiwara-Vergne.

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We will remind some principles of construction of the neurogeometrical model of the functional architecture of the primary visual cortex. we will outline that the neurogeometry is structured as the Lie group E2 of rotation and translation and that the horizontal connectivity is related to the integral curves of the algebra, that is strictly non-commutative. Subjective boundary completion will be achieved by means of geodesic curves in the E2 structure equipped with a suitable subriemannian metric. Image completion will be performed as minimal surfaces of the structure. Joint work with Giovanna Citti.

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When choosing a name for a mathematical object, mathematicians often put efforts to keep any object that they consider pathological out of consideration. This imposes limitations on the mathematical language, mathematicians and mathematics. In the talk I will tell about a few nice mathematical objects and ideas and prejudices against them. We will discuss general principles, that may help to keep the mathematical language ready to an unforeseen development.

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Parmi les suites infinies à valeurs dans un ensemble fini ou les ensembles d'entiers, certains sont très réguliers, comme les suites périodiques ou les progressions arithmétiques, tandis que d'autres, comme les suites et les ensembles aléatoires, ne peuvent être décrits de façon simple. Les automates finis sont des machines de Turing particulièrement rudimentaires qui, en arithmétique, sont utilisés de façon naturelle pour définir des suites et des ensembles dits "automatiques". Un des principaux intérêts de ces structures automatiques est qu'elles jouissent d'une grande régularité sans pour autant être triviales. Elles se situent ainsi quelque part entre ordre et chaos, même si par bien des aspects leur régularité prévaut. Cette caractéristique se trouve à l'origine d'applications variées de la théorie des automates à la théorie des nombres ; ces dernières concernent aussi bien les nombres premiers, le développement décimal des nombres algébriques, la clôture algébrique du corps F_p(t) ou encore certaines équations diophantiennes en caractéristique non nulle (liées par exemple aux théorèmes de Skolem-Mahler-lech et de Mordell-Lang). L'exposé aura pour but d'aborder certains de ces thèmes.

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We develop an arithmetic analogue of differential equations. The independent variable x is replaced by a prime number p. Functions of x are replaced by integer numbers n. The derivative operator d/dx is replaced by the Fermat quotient operator that sends any integer n into (n-n^p)/p. The jet spaces of differential geometry are replaced by ``arithmetic jet spaces" constructed using Fermat quotients in place of derivatives. Finally the classical Lagrangians invariant under group actions are replaced by functions on arithmetic jet spaces invariant under correspondences. The resulting theory can be used to prove purely arithmetic results about torsion points on curves, Heegner points, and modular forms.

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Avec le développement de la modélisation en biologie, épidémiologie, écologie, dynamique des populations, évolution des espèces, etc..., les modèles mathématiques prenant en compte le couplage des phénomènes de réaction (genre réaction chimique) et de diffusion spatiale, connaissent un vif regain d'intérêt et apportent toute une panoplie de nouvelles questions mathématiques. Citons quelques exemples. Dans ses travaux sur la morphogénèse, A. Turing avait remarqué dès 1950 que l'apport de diffusion dans un processus réactif stable pouvait le déstabiliser (et du même coup enrichir considérablement son comportement). On est amené à se demander si la diffusion peut même aller jusqu'à générer des explosions en temps fini. Ceci conduit pour les systèmes d'équations correspondants à de jolis problèmes d'existence globale qui ne sont pas encore entièrement compris aujourd'hui. Les grandes variations dans les échelles caractéristiques des divers phénomènes en jeu conduisent à des questions passionnantes de perturbations singulières. Certaines études de comportement asymptotique rejoignent curieusement des sujets géométriques d'actualité en optimisation de formes. L'introduction de plus en plus fréquente de diffusions croisées apporte aussi son lot d'originalité. Nous donnerons un aperçu de plusieurs de ces questions dans cet exposé.

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Pour décrire des fonctions et étudier des équations d’évolution ou des propriétés fonctionnelles, il est commode d’écrire les fonctions dans des bases orthonormées pour une certaine mesure de référence. Les bases les plus souvent utilisées dans Rn sont de deux types : les polynômes orthogonaux ou bien les bases de vecteurs propres de certains opérateurs symétriques. En probabilité, les opérateurs qui nous intéressent sont des opérateurs différentiels du second ordre, de la forme L(f )(x) = a[ij] (x) ∂[ij]f +b[i] (x) ∂[i]f. Ce sont ceux qui gouvernent les lois des processus de Markov continus (qu’on appelle diffusions) en résolvant l’équation "de la chaleur" associée ∂[t] f = Lf. Une question naturelle est donc de déterminer quand ces deux notions coïncident. En dimension 1, il n’y a pas beaucoup d’exemples: il s’agit essentiellement des polynômes de Jacobi, de Laguerre et de Hermite. Le premier exemple a comme espace d’état un intervalle borné, le second [0,∞) et le troisième R tout entier. Ces trois familles sont très utilisées dans de nombreux domaines des mathématiques, depuis la théorie des matrices aléatoire à la mécanique des fluides, et une gigantesque littérature leur est consacrée. En dimension plus grande, la situation est plus riche. En dimension 2, pour les domaines compacts (qui correspondent aux polynômes de Jacobi de la dimension 1), il y a exactement 10 familles, à transformation affine près. Ces domaines sont tous des domaines dont le bord est défini par des équations algébriques de degré au plus 4. Chacun d’entre eux correspond en fait à des modèles géométriques qui peuvent être assez simples (groupes de symétrie d’un espace affine, systèmes de racines), ou plus sophistiqués (provenant par exemple de matrices aléatoires, ou de la fibration de Hopf). Certains modèles ne sont d’ailleurs pas encore entièrement compris. La classification en dimension supérieure reste à faire, et on ne dispose alors que d’exemples. On montrera comment on arrive à une telle classification (la formalisation du problème est très simple, même si la solution du problème requiert des outils un peu sophistiqués), et sur certains exemples on parlera des modèles géométriques dont ils proviennent.

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Un très joli théorème de F.Piquard explique pourquoi il n’est pas raisonnable de prétendre reconnaitre si un tableau donné ́A = (a(i,j)) de scalaires est la matrice d’un opérateur *borné* A sur l’espace de Hilbert. On se limite alors à des classes de tableaux ou d’opérateurs A[φ] dépendant d’une fonction φ appelée le symbole de l’opérateur, par exemple la classe des opérateurs de Hankel (cf.matrice de Hilbert) ou de Toeplitz (cf.shift unilatéral). Et la comparaison entre les propriétés d’analyse fonctionnelle de A[φ] compacité, caractère nucléaire,...) et des propriétés d’analyse dure de φ (appartenance à des espaces de fonctions spécifiques) est souvent complexe et instructive. Cette comparaison a été mené à bien pour les opérateurs de Hankel, entre autres (V.Peller). Elle est en cours pour une autre classe d’opérateurs à symbole, les opérateurs de composition. Nous présenterons ici des résultats classiques, et d’autres plus récents, sur ces opérateurs de composition.

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C’est à Vito Volterra que revient en 1907 le mérite de l’élaboration du premier modèle « proie-prédateur » pour les problèmes d’équilibre entre les espèces animales. A côté des actions périodiques externes comme la succession des saisons, et qui produisent des oscillations forcées dans le nombre des individus des diverses espèces, il s’est posé la question s’il n’y en a pas d’autres internes avec des périodes propres, indépendantes des causes externes et qui se superposent à celles-ci. Pour tenir compte de ces phénomènes internes, Volterra a introduit la notion de système « héréditaire » ou à « retard ». Il s’agit de supposer que l’évolution des espèces dépend non seulement de leur état actuel, mais aussi des états passés jusqu’à une époque plus au moins reculées. La signification du retard dans les modèles peut-être différente : durée de gestation pour une population animale, période d’incubation ou de résistance d’une maladie contagieuse, ... etc. La nature aussi du retard peut être multiple, discret, distribué, dépendant de l’état, … etc. Dans cet exposé, nous ferons une introduction rapide aux équations différentielles à retard et nous présenterons quelques unes de leurs propriétés intéressantes.

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Dans cette exposé, nous nous attacherons a présenter différents aspects historiques de la bar construction, pour les algèbres associatives, pour les monades, pour les catégories linéaires et nous montrerons dans quelle mesure on peut unifier ces différentes constructions. Plus récemment, la bar construction a été employée pour les opérades, et nous verrons comment cette bar construction s'insère dans les modèles historiques. En particulier nous définirons la notion d'opérades et montrerons que différents types de bar construction s'appliquent selon la définition prise. Cependant, de manière assez étonnante, la bar construction originalement définie par Ginzburg et Kapranov pour les opérades, n'en est pas réellement une ! Nous montrerons en quoi cette "bar construction" est en fait reliée a un complexe de Koszul d'une catégorie d'arbres et expliquerons ainsi la raison d'être de cette définition. Enfin, nous montrerons les équivalences entre ces bar constructions.

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Que peut-on dire du spectre de la somme de 2 matrices hermitiennes connaissant uniquement les spectres des 2 termes ? Bien que l'histoire de cette question élémentaire commence avec H. Weyl en 1912, elle n'a été résolue que très récemment. Un ingrédient essentiel dans cette résolution est une interprétation en terme de représentations ou d'action de groupes algébriques. Soit $G$ un groupe complexe réductif (e.g. ${\mathbb C}^*,\, SL_n({\mathbb C}),\, SO_n({\mathbb C})$). Soit $H$ un sous-groupe réductif de $G$. Une représentation irréductible $V$ de $G$ est une représentation de $H$ qui n'est plus nécessairement irréductible. On se demande alors quels sont les sous-$H$-modules irréductibles de $V$. Nous présenterons quelques développements récents autour de cette question et en particulier ses liens avec celle concernant les matrices hermitiennes.

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Quantum mechanics is difficult for many people to understand because it is difficult to believe. The heart of the problem is quantum probability, which is an entirely rigorous theory; nonetheless even many working mathematicians have trouble believing it. (Quantum field theory is far from entirely rigorous, but that is a very different issue that I will not discuss.) In the past 15 years or so, quantum probability has greatly expanded as a mathematical topic in the guise of quantum computation and quantum information theory. In this talk, I will discuss some of the ideas of quantum probability, quantum computation, and quantum information, using the language of pure mathematics. A particular theme is that a good scientific interpretation of quantum probability can be exactly matched to basic ideas in operator algebras.

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L'exposé concerne l'émergence de la statistique mathématique moderne en France au lendemain de la Première Guerre Mondiale. Après une description de la manière dont Emile Borel s'est emparé de la question du hasard mathématisé, nous nous intéresserons aux deux institutions qu'il a créées dans les années 1920, l'Institut de Statistique de l'Université de Paris en 1922 et surtout l'Institut Henri Poincaré en 1928. A l'IHP, une nouvelle publication, les "Annales de l'IHP" est fondée en 1931 et nous nous intéresserons aux premières publications qu'on y trouve concernant des sujets de statistique.

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La symétrie miroir fournit une correspondance (conjecturale en général) entre paires de variétés "miroir", telles que la géométrie symplectique de l'une peut être reformulée en termes de géométrie algébrique complexe sur l'autre et vice-versa. Ce phénomène a été étudié en détail pour les variétés de Calabi-Yau, puis pour les variétés de Fano, mais il a été récemment montré que la symétrie miroir s'étend aux variétés de type général. Dans cet exposé nous considérerons spécifiquement le cas de surfaces de Riemann non compactes (par exemple la sphère privée d'au moins 3 points, ou des surfaces de genre supérieur), afin de décrire la relation entre leur géométrie symplectique (homologie de Floer lagrangienne et catégories de Fukaya) et la géométrie algébrique de leurs miroirs (des modèles de Landau-Ginzburg de dimension complexe 3). (Travail en collaboration avec Mohammed Abouzaid, Alexander Efimov, Ludmil Katzarkov, et Dmitri Orlov).

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Votre ordinateur ou votre téléphone mobile recourent, parfois intensivement, à des évaluations de fonctions cosinus, exponentielle ou racine carrée par exemple. La manière dont on élabore et implante ce processus de calcul a un impact sur sa précision, sa fiabilité ou son coût (que ce soit la surface de silicium sur la puce ou l'énergie consommée pour effectuer ce calcul). Dans cet exposé, nous présenterons un survol de ce processus, en insistant sur deux étapes qui font appel pour l'une à de la théorie algorithmique des nombres et pour l'autre à un mélange de calcul formel et de calcul numérique. Cet exposé s'appuiera notamment sur des travaux en collaboration avec S. Chevillard, G. Hanrot, M. Joldes, J.-M. Muller, A. Tisserand et S. Torres.

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L'objectif de la réécriture algébrique est de développer un cadre mathématique commun afin de favoriser les interactions entre la combinatoire algébrique et la réécriture, thème de l'informatique théorique qui étudie les propriétés calculatoires de présentations par générateurs et relations. Dans cet exposé, je présenterai la réécriture algébrique au travers de deux applications de la réécriture en algèbre : la preuve de théorèmes de cohérence et la construction effective de résolutions.

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Dans cet exposé, on s'intéressera aux équations de transport en théorie cinétique. Dans un premier temps, on passera en revue les différentes notions de solutions (solution classique, faible, renormalisée). Puis, on s'intéressera à quelques propriétés, qui peuvent sembler paradoxales, comme les effets régularisants. Ces propriétés seront le plus souvent illustrées par des résultats numériques permettant de se faire une idée des des phénomènes étudiés. Finalement, on abordera d'un point de vue numérique le retour à l'équilibre des solutions d'équations de transport. On découvrira alors que l'amortissement Landau n'est que la première étape d'un vaste programme. Ref. - Travaux de P.-L. Lions - R. Diperna sur les équations de transport, solutions renormalisées - Travaux de F. Golse - B. Perthame - R. Sentis sur les lemmes de moyennes - Travaux de C. Mouhot - C. Villani, L. Desvillettes - C. Villani sur le retour à l'équilibre.

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Je montrerai comment la méthode de régularisation par inf-convolution, dite de Lasri-Lions, et certaines de ses variantes, permet de régulariser les solutions de certaines inégalités fonctionnelles.

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Les systèmes intégrables toriques ont été beaucoup étudiés depuis les années 1980. Ils s'interprètent comme des actions hamiltoniennes de tores sur des variétés symplectiques. Des résultats remarquables d'Atiyah, Guillemin- Sternberg et Delzant permettent de les classifier complètement: ce sont les variétés kählériennes toriques, déterminées par leur polytope moment. Je me suis intéressé à deux questions: 1. la quantification de ces systèmes (et la théorie spectrale qui va avec) 2. l'extension à des systèmes intégrables plus généraux. Je présenterai des avancées récentes dans ces domaines, dont plusieurs en collaboration avec Alvaro Pelayo (Berkeley).

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La notion de sous-groupe approximatif d'un groupe ambient, introduite récemment par T.Tao, permet de comprendre les parties finies A d'un groupe dont la taille de l'ensembledes produits AA est beaucoup plus petite que |A|^2. Cette notion et les méthodes combinatoires utilisées pour l'étudier ont été couronnées de succès par le rôle qu'elles jouent dans la théorie spectrale des graphes (graphes expanseurs) d'une part et pour les applications arithmétiques qui en découlent (crible de Bourgain-Gamburd-Sarnak). Récemment, motivé par des questions propres à la théorie des modèles et des groupes stables, Hrushovski s'est intéressé au problème de la classification des groupes approximatifs et a réussi à obtenir plusieurs résultats remarquables dans cette direction. Entre autres, une classification des sous-groupes approximatifs des groupes linéaires, ainsi qu'une version améliorée du fameux théorème de Gromov sur les groupes à croissance polynomiale. Dans cet exposé, je présenterai ces travaux ainsi qu'une autre approche (travail en commun avec Ben Green et Terence Tao) qui permet de retrouver ces résultats et de donner dans certains cas des bornes explicites, lesquelles sont souvent cruciales pour les applications.

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Une variété algébrique complexe est singulière en un de ses points si elle n'est pas une variété analytique (ou différentielle réelle) au voisinage de ce point. Les variétés algébriques singulières se présentent naturellement dès que l'on projette une variété sans singularité, que l'on prend l'enveloppe d'hyperplans paramétrés par une variété sans singularité, ou que l'on prend l'adhérence dans l'espace projectif d'une variété affine sans singularité. Même si l'on sait que l'ensemble des points non singuliers est dense, sur des variétés singulières il est difficile de faire de l'analyse, par exemple. On cherche donc comment les remplacer par des variétés non singulières en les modifiant le moins possible. Une résolution des singularités d'une variété algébrique X est un morphisme algébrique X'-->X qui est propre et surjectif et est un isomorphisme au dessus des points non singuliers de X. Je discuterai la question de savoir si toute variété algébrique sur un corps algébriquement clos peut être plongée analytiquement au voisinage de chacun de ses points dans un espace affine de telle manière que ses singularités soient, au voisinage de ce point, résolues par un morphisme localement décrit, dans des coordonnées convenables de l'espace ambiant, par des monômes dont la matrice des exposants est unimodulaire. Ces morphismes, dits toriques, sont les plus simples que l'on puisse utiliser en géométrie algébrique. La difficulté de la preuve de la résolution locale des singularités se concentre alors sur la recherche de ces plongements "non dégénérés", recherche pour laquelle on dispose en particulier de techniques issues de la théorie des valuations. L'exposé sera de nature plutôt heuristique que technique. Aucune familiarité avec les singularités n'est requise.

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Étant donné un polynôme en n variables à coefficients entiers, existe-t-il un algorithme permettant de décider s'il a un zéro entier? C'est le dixième problème de Hilbert, dont la solution (négative) par Yuri Matyasevich en 1970 (à la suite de travaux de Martin Davis, Hilary Putnam et Julia Robinson) n'a pas clos le sujet: le problème peut être posé en remplaçant Z par un anneau R quelconque, et le cas R=Q est encore ouvert. Après une présentation des notions fondamentales (décidabilité existentielle, ensembles diophantiens) on tentera d'expliquer aux non-spécialistes une méthode maintenant classique, due à J. Denef, d'attaque du problème lorsque R est un corps de fonctions de caractéristique nulle.

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We introduce discrete concepts for soap films and constant mean curvature surfaces. Such novel shape discretizations induce a wealth of applications in geometry processing and computer graphics. The concepts are illustrated with numerous pictures and award-winning video animations.

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Using Eisenbud's category of matrix factorizations, isolated hypersurface singularities can be viewed as smooth non-commutative spaces. In this picture the Milnor algebra of the singularity plays the role of the de Rham cohomology of the space (interpreted as the Hochschild homology of the category of matrix factorizations). We will also describe the Chern character map and an analog of the Hirzebruch-Riemann-Roch formula for computing the Euler characteristic of the Hom-space between two matrix factorizations. The talk is based on a joint work with Alexander Polishchuk.

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Poncelet's theorem provides a relation between ellipses and circumscribing polygons with vertices on another ellipse. We will show how finite Blaschke products can be used to produce a class of these ellipses. This can be generalized to curves of higher degree. We will use our Blaschke products to give a proof of the Sendov conjecture, a conjecture about the distance between zeroes and critical points of a polynomial, in the case that all zeroes of the polynomial lie on the unit circle. (This result, with a different proof, was known before.) This proof relies on the association between polynomials and Blaschke products. The association has a particularly nice geometric ninterpretation in the degree three case.

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Le lieu d'annulation d'un polynôme réel de degré d à deux variables est en général une courbe lisse du plan dont le nombre de composantes se trouve majoré par m(d) = 1/2(d-1)(d-2) + d. Damien Gayet et moi-même avons (en particulier) démontré que les courbes dont le nombre de composantes diffère de m(d) par une quantité linéaire en d se raréfient exponentiellement lorsque le degré d tend vers l'infini. J'essayerai de fournir une introduction à ces objets et problèmes de géométrie algébrique réelle et d'expliquer notre résultat, lequel fait intervenir des techniques probabilistes et d'analyse complexe.

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Les structures de contact apparaissent naturellement dans de nombreuses situations, à la fois topologiques et dynamiques. En vedette, la conjecture de Weinstein, démontrée récemment par Taubes en dimension trois, pronostique que tout champ de Reeb possède une orbite fermée. On présentera quelques uns de ces aspects et notamment la correspondance de Giroux entre structures de contact et livres ouverts.

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Un arbre discret, ou plus généralement un graphe, peut être vu comme un espace métrique, à condition de munir l'ensemble des sommets de la distance de graphe. On peut alors étudier les limites de tels espaces métriques lorsqu'on fait tendre le nombre de sommets vers l'infini, mais que simultanément la distance est multipliée par un facteur tendant vers 0, de manière à ce que le diamètre reste borné. La distance de Gromov-Hausdorff permet de donner un sens à la convergence d'une suite d'espaces métriques compacts. Nous discutons les problèmes de convergence précédents lorsque l'arbre, ou le graphe, est choisi uniformément au hasard dans une classe convenable, par exemple l'ensemble de tous les arbres planaires à n sommets ou l'ensemble de toutes les triangulations du plan à n faces.

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L'exposé portera sur un problème de traitement d'images qui a fait l'objet d'une attention grandissante depuis une dizaine d'années : le problème de l'"inpainting", c'est-à-dire de la restauration de parties manquantes, endommagées ou indésirables dans une image numérique 2D/3D ou un film. Les applications sont nombreuses : restauration de photos ou de films, compression, super-résolution, extraction d'objets singuliers en imagerie médicale, etc. Je présenterai en particulier deux modèles de restauration, de nature très différente mais qui se ramènent tous deux à un problème de minimisation dans le domaine continu : minimisation d'une fonctionnelle faisant intervenir la courbure de certaines lignes de niveau pour le premier modèle, minimisation d'une fonctionnelle non locale pour le second. Je montrerai que ces modèles peuvent être étudiés dans l'espace des fonctions à variation bornée et à l'aide d'outils de la théorie géométrique de la mesure. Je présenterai également plusieurs simulations numériques.

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Peut-on, à l’aide d’un logiciel basé sur la modélisation physique, reproduire la richesse et la complexité du son du piano ? A la différence des pianos numériques qui restituent des sons préenregistrés, le piano virtuel « Pianoteq » fournit pour la première fois des sons construits en temps réels, introduisant ainsi la « quatrième génération » du piano. Nous présenterons le piano et sa modélisation, illustrés par des exemples sonores, et montrerons des applications à la reproduction et la restauration d’instruments historiques.

Résumé : 
Dans des articles célèbres et difficiles, Scheffer et Shnirelman ont construit des solutions ``paradoxales'' de l'équation d'Euler incompressible, à support compact en espace-temps. Récemment, De Lellis et Székélyhidi ont propose une nouvelle construction simple et élégante de telles solutions, basée entre autres sur l'analyse en ondes planes à la Tartar et l'intégration convexe à la Gromov.

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Un nombre négatif est-il plus petit que zéro ? D'Alembert: non, c'est absurde. La probabilité d'obtenir pile en deux coups vaut-elle 2/3 ou 3/4 ? D'Alembert: plutôt 2/3. On regarde habituellement la combinaison qui amènera face cent fois de suite comme aussi possible que chacune de celles où pile et face seront mêlés. D'Alembert: je demande si cette supposition est bien juste. Soient les équations aux dérivées partielles du mouvement d'un fluide dans un vase. D'Alembert: dans la plupart des cas, le problème est impossible. Séries D'Alembert: 1) pour que la série soit convergente, il faut que le rapport du (n+1)-ème terme au n-ème (abstraction faite du signe qu'il doit avoir) soit < 1; 2) une série peut être divergente dans ses derniers termes et par conséquent donner faux, quoiqu'elle paraisse convergente dans ses premiers termes. Daniel Bernoulli prétend que toute courbe composée à l'infini de parties égales et semblables [càd périodique], alternativement situées au-dessus et au au-dessous de l'axe, peut être représentée par l'équation y = p sin \pi x/a + q sin 2\pi x/a + etc. D'Alembert: j'en doute; d'ailleurs on sait combien cette méthode de faire coïncider une courbe cherchée, avec une courbe de genre donné, est fautive.

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We discuss the following nonholonomic version of the classical Moser theorem: given a bracket-generating distribution on a connected compact manifold (possibly with boundary), two volume forms of equal total volume can be isotoped by the flow of a vector field tangent to this distribution. We also present the Hamiltonian framework for the corresponding mass transport problem as an infinite-dimensional Hamiltonian reduction on diffeomorphism groups. The subriemannian heat equation turns out to be a gradient flow on the "nonholonomic" Wasserstein space with the potential given by the Boltzmann relative entropy functional. (This is a joint work with Paul Lee.)

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Les inegalites de Horn classiques caracterisent les valeurs propres possibles de la somme de deux matrices autoadjointes. On va prouver que des inegalites analogues sont valables dans toute algebre de von Neumann finie, et expliquer la relation de ce fait avec une fameuse conjecture de Connes. La methode utilisee est le developpement combinatoire d'un calcul de Schubert constructif, qui permet d'obtenir des resultats nouveaux meme dans le cas classique.

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Au début de ce siècle, les physiciens Razumov et Stroganov ont fait apparaître cette séquence de nombres entiers dans des modèles de "chaînes de spin quantique". Cette séquence était connue également par les combinatoristes comme dénombrant diverses classes d'objets: matrices à signes alternants, partitions d'entiers en 3D, pavages d'hexagones sur un réseau triangulaire. Depuis une trentaine d'années, ces objets ont fait l'objet de recherches intensives, des formules d'énumération d'une simplicité désarmante sont restées longtemps conjecturées. Mais beaucoup reste à faire, en particulier "comprendre" ces formules ainsi que le lien avec les chaînes de spin. Aucune connaissance particulière n'est requise pour cette conférence. Je ferai une courte introduction à la combinatoire énumérative et terminerai par une approche algébrique récente avec opérateurs et règles de commutation.

Résumé : 
Dans cet exposé, je voudrais présenter quelques aspects qualitatifs de certains systèmes dynamiques, en me limitant pour l'essentiel à des situations simples de champs de vecteurs en dimension 3. Je parlerai de sections de Poincaré et de Birkhoff, en montrant des exemples concrets, et j'essaierai d'expliciter quelques critères qui permettent d'en construire.

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Les polynômes Eulériens ont été introduits par Euler dans son calcul de la somme alternée des premières puissances des entiers. La même somme (sans signe) est due à Jacques Bernoulli, et s'exprime à l'aide de ses fameux nombres. L'algèbre de ces polynômes a impliqué plusieurs mathématiciens au tournant du vingtième siècle (Frobenius, Worpitzky). Leur combinatoire ne date que des années 1950, essentiellement due à Riordan. Dès 1954, Carlitz avait proposé une q-extension. Aujourd'hui, on sait construire des polynômes Eulériens attachés à d'autres groupes de Weyl, mais c'est sur le groupe symétrique qu'on obtient les résultats les plus probants avec une combinatoire riche et des extensions à plusieurs variables.

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Je montre qu'on peut donner une description géométrique simple du mouvement des valeurs propres d'une matrice effectuant un mouvement Brownien. Dans la deuxième partie de l'exposé je considérerai un article de Polya concernant une fonction proche de la fonction zêta de Riemann, qui satisfait l'hypothèse de Riemann. Je montrerai comment ces deux fonctions peuvent d'interpréter à l'aide de mouvements Browniens matriciels.

Résumé : 
La combinatoire des mots est un domaine relativement jeune qui trouve ses origines dans des domaines variés des mathématiques comme l'algèbre, la théorie des nombres ou la géométrie et trouve des applications dans plusieurs directions, dont l'informatique. Dans cet exposé, je ferai le tour de ces différents aspects et des liens avec d'autres domaines de la combinatoire.

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We study sets of solutions to equations over a free group, projections of sets, and the structure of definable sets over a free group. The tools we develop enable us to obtain quantifier elimination over free groups, and answer some of A. Tarski's problems on the first order theory of these groups. Generalizations to other classes of groups, as well as further model theoretic consequences will also be discussed.

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J'introduirai la théorie de Floer lagrangienne à l'aide d'un formalisme qui semble adapté aux problèmes de symétrie miroir. Il s'agit de travaux en cours.

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Dans les années 1920, Denjoy et Carleman ont voulu savoir si deux mesures positives sur l’axe réel étaient forcément les mêmes quand leurs moments (les intégrales des puissances de x) étaient égaux. La réponse fût oui, mais seulement si les moments ne croissent pas trop vite. Cette question est liée à une autre, plus élémentaire : si toutes les dérivées à l’origine d’une fonction lisse sont 0, quand est-elle forcément la fonction nulle ? Récemment on a étudié des extensions naturelles de ces deux questions : par exemple, si les n-ième moments diffèrent par au plus C^n et ne croissent pas trop vite, les mesures peuvent être différentes seulement sur [-C,C]. On donnera aussi des extensions à R^N, et des applications quasi-pratiques à la théorie des bases et d’échantillonnage. Nous avons utilisé comme seuls outils des techniques d’analyse complexe élémentaire. [Il s’agit de travaux communs avec Chalendar, Habsieger et Ransford.]

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Gödel, qui a pu être décrit comme le plus grand logicien depuis Aristote, est surtout connu pour ses travaux des années trente (théorème d'incomplétude, 1931, non contradiction de l'hypothèse du continu dans la théorie usuelle des ensembles, 1938). La lecture des cahiers que Gödel a rédigés pour l'essentiel entre 1940 et 1946, permet de saisir certains aspects du monde de logicien et de l'unité qui semble lier son travail logique, ses recherches philosophiques et, disons, ses troubles dans la vie quotidienne. C'est sur cette unité que portera l'exposé : sur les éléments qui semblent ainsi passer de la vie dans la philosophie et dans la logique, ainsi que sur les problèmes que pose ce lien de la logique à la subjectivité d'un logicien.

Résumé : 
Gödel, qui a pu être décrit comme le plus grand logicien depuis Aristote, est surtout connu pour ses travaux des années trente (théorème d'incomplétude, 1931, non contradiction de l'hypothèse du continu dans la théorie usuelle des ensembles, 1938). La lecture des cahiers que Gödel a rédigés pour l'essentiel entre 1940 et 1946, permet de saisir certains aspects du monde de logicien et de l'unité qui semble lier son travail logique, ses recherches philosophiques et, disons, ses troubles dans la vie quotidienne. C'est sur cette unité que portera l'exposé : sur les éléments qui semblent ainsi passer de la vie dans la philosophie et dans la logique, ainsi que sur les problèmes que pose ce lien de la logique à la subjectivité d'un logicien.

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Le pseudospectre est une généralisation de la notion de spectre, devenue un outil très utile dans l'étude de l'évolution des puissances d'une matrice. Cet exposé se veut une introduction au sujet en partant des problèmes provenant des mathématiques appliquées, en passant par l'analyse fonctionnelle, et en aboutissant à l'algèbre, avec la théorie des invariants.

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Les matrices symétriques, tout le monde le sait, se diagonalisent dans des bases orthonormées ; et plusieurs matrices symétriques ont une diagonalisation commune si et seulement si elles commutent. Des propriétés analogues pour certains tenseurs symétriques à plus de deux indices seront présentées dans un cadre d'algèbre multilinéaire élémentaire. Les dernières minutes seront consacrées à une application probabiliste, la classification des martingales d'Azéma.

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Les matrices symétriques, tout le monde le sait, se diagonalisent dans des bases orthonormées ; et plusieurs matrices symétriques ont une diagonalisation commune si et seulement si elles commutent. Des propriétés analogues pour certains tenseurs symétriques à plus de deux indices seront présentées dans un cadre d'algèbre multilinéaire élémentaire. Les dernières minutes seront consacrées à une application probabiliste, la classification des martingales d'Azéma.

Résumé : 
Soit A une classe d'objets munis d'une taille entière telle que pour tout n, le nombre a_n d'objets de taille n est fini. On s'intéresse aux cas où la série génératrice associée, A(t)= Σ_n≥0 a_n tⁿ, est rationnelle, ou plus généralement algébrique. Ces propriétés présentent un intérêt pratique, car on sait alors dire beaucoup de choses sur les nombres a_n, mais aussi un intérêt plus spécifiquement combinatoire : la nature rationnelle ou algébrique de la série suggère que les objets possèdent une structure (peut-être bien cachée) semblable, en gros, à la structure linéaire des mots dans le cas rationnel, et à la structure branchante des arbres dans le cas algébrique. On discutera cette intuition combinatoire, en l'illustrant par des exemples. L'impression finale devrait être que, si cette intuition paraît satisfaisante dans le cas rationnel, elle est probablement incomplète dans le cas algébrique. Au travers de l'exposé, on apportera quelques réponses à la question (essentielle) suivante : et au fait, comment prouve-t-on qu'une série génératrice est rationnelle, ou algébrique ?

Résumé : 
Introduite par un géologue anglais en 1816, la suite de Farey d'ordre n est la famille croissante des nombres rationnels compris entre 0 et 1, dont le dénominateur est au plus n. Lorsque n tend vers +∞, cette suite est équirépartie sur l'intervalle [0;1]. Cependant cette suite est loin d'être aléatoire et des phénomènes diophantiens intéressants se révèlent dès qu'on s'intéresse à la structure fine de la distribution de cette suite. On peut étendre cette étude en dimension supérieure, en munissant l'espace projectif de dimension n sur Q d'une fonction hauteur définie par H((x₀ : x₁ : ... : x_n)) = max_0≤i≤n|x_i| si x₀,..., x_n sont des entiers premiers entre eux dans leur ensemble. Pour toute partie W de l'espace projectif définie par des équations polynomiales a coefficients entiers, on peut s'intéresser à distribution asymptotique des points de W dont la hauteur est majorée par un nombre B. Les mesures obtenues dépendent à la fois de la géométrie intrinsèque de W et de la facon dont il est plongé dans l'espace projectif. Cet exposé a pour but de présenter sur des exemples simples les phénomènes parfois inattendus qui se produisent quand on essaye de prévoir la façon dont les points rationnels se comportent.

Résumé : 
I will describe a new notion, of a motivic integrable system over a field of any characteristic. Such systems are similar in the case of zero characteristic to usual algebraic quantum integrable systems, i.e. large commutative algebras of polynomial differential operators. Motivic integrable systems can replace the usual representation theory and lead to a higher-dimensional generalization of Langlands correspondence in the functional field case.

Résumé : 
The correspondence between Lie algebras and Lie groups may be expressed by means of the Campbell- Hausdorff formula, which is the Taylor series around the identity for the product in the Lie group. In this talk, we explain how this formula follows from the de Rham theorem (for the 2-simplex!). We will then show how generalizations of this approach to higher-dimensional simplices lead to generalizations of the Campbell-Hausdorff formula, with applications to algebraic geometry and rational homotopy theory.

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Michel Campillo (LGIT, Grenoble) et ses collaborateurs ont développé ces dernières années une nouvelle méthode pour déterminer la structure de la croute terrestre. Cette méthode s'appuie sur le calcul des corrélations du bruit sismique. J'essaierai d'expliquer ce que j'ai compris de leur méthode et comment la décrire de façon mathématiquement "simple" à l'aide de l'analyse semi-classique.

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Une présentation accessible à tous des travaux de notre médaille Fields nationale.