Institut Camille Jordan

J'expliquerai la démarche mathématique utilisée durant ma thèse pour comprendre des mécanismes de différenciation cellulaire des cellules souches permettant la production des globules rouges (mécanisme appelé érythropoïèse). Je développerai différents modèles mathématiques permettant une compréhension à différents niveaux.
Dans un premier temps, Je présenterai un modèle déterministe qui nous a permis de mettre en lumière l'importance de la capacité d'auto-renouvellement des cellules érythropoïètiques dans la production des globules rouges.

L'élaboration d'un modèle probabiliste de dimension 3 nous a ensuite permis de comprendre les conséquences dynamiques de cette capacité sur la production des globules rouges. L'étude de ce modèle a nécessité des changements d'échelles en taille et en temps révélant un système dit lent/rapide. A l'aide de méthodes dites de moyennisation nous avons décrit l'approximation en grande population du nombre de cellules de chaque type. Nous avons également quantifié mathématiquement les grandes fluctuations biologiquement observées au niveau du nombre de globules rouges.

Au cours d'un procédé de cristallisation, la distribution en taille des cristaux est une variable importante dont la dynamique est modélisée par une équation de transport. Les capteurs actuels ne mesurent pas directement cette distribution, mais plutôt une distribution en longueur de cordes. Se pose alors la question de l'estimation de la distribution en taille des cristaux à partir de celle en longueur de cordes. Il s'agit donc d'un problème de design d'observateur: estimer en ligne de l'état complet d'un système à partir d'une connaissance partielle de l'état et d'un modèle de sa dynamique.
Dans cet exposé, nous rappellerons les résultats connus sur les systèmes linéaires de dimension finie, et présenterons des résultats récents obtenus sur les systèmes de dimension infinie. Sous des hypothèses de détectabilité et d'observabilité, nous construirons un observateur convergeant vers l'état dans la topologie faible de l'espace. Enfin, nous appliquerons ces résultats au procédé de cristallisation.

L’objectif de cet exposé est de présenter un nouveau modèle champ de phase d’ordre deux pour approximer la diffusion de surface.

Je commencerai par présenter les modèles classiques, qui sont principalement donnés par une équation de type Cahn-Hilliard avec un terme de mobilité. Le choix de la mobilité et du potentiel est crucial pour capturer la diffusion de surface. Un mauvais choix conduit en effet à une inconsistance qui se reflète par la présence d’un terme supplémentaire dans la vitesse limite.
Tout ceci peut se justifier par une analyse asymptotique formelle qui
permet en outre de montrer que les modèles classiques sont d’ordre un.

Des modèles d’ordre deux ont déjà été proposés dans la littérature, mais sont soit non variationnels, soit variationnels mais modifiant l’énergie d’origine. Cela rend difficile l’extension à plusieurs phases ou au cas anisotrope. J’introduirai donc dans une seconde partie un nouveau modèle d’ordre deux qui a l’avantage d’être variationnel, associé à l’énergie
de Cahn-Hilliard et avec deux mobilités dégénérées.

Dans une troisième partie, je présenterai des schémas simples et efficaces basés sur une méthode de splitting convexe concave qui exploite la nature variationnelle de la métrique. Je finirai enfin cette exposé par des simulations mettant en évidence les avantages ce dernier modèle.

Cette présentation est basée sur un travail en collaboration avec Élie Bretin (INSA-ICJ), Simon Masnou (ICJ, UCBL) et Arnaud Sangers (INSA). On pourra se référer à [1] pour plus de détails.

[1] Elie Bretin, Simon Masnou, Arnaud Sengers, and Garry Terii. Approximation of surface
diffusion flow : a second order variational Cahn–Hilliard model with degenerate mobilities. arXiv preprint arXiv :2007.03793, 2020.

We consider the surface quasi-geostrophic equation with
critical dissipation and dispersive forcing set on the vertical strip $\Omega=
[-1, 1] \times \mathbb{R}^2 $, with homogeneous Dirichlet boundary conditions for the surface temperature. Similar models for the quasi-geostrophic ocean circulation model of potential vorticity have been treated, where the presence of horizontal boundary layers serves to represent the western intensification of boundary currents.

Our aim is to display this phenomenon by constructing a boundary layer approximation which converges to the global weak solutions of the system, in the limit of large dispersive forcing. We adapt the Strichartz estimates from the full space to the strip and use the dispersive effects to control the nonlinearity. As in the case of the full space this also allows us to show that the asymptotic behavior of solutions is determined by the linear part of the system, that is, we obtain the stabilization effect by Rossby wave propagation. The convergence of the approximations is shown in the energy norm.

Work with Gabriela Planas (Unicamp, Campinas, Brazil)

Since Kuramoto proposed a model of coupled oscillators, the study of synchronization has pulled the attention from different point of views: biology, chemistry, neuroscience, etc. Such a phenomenon is observed very often in biological systems like the flashing of fireflies, the beating of heart cells and the synaptic firing of neurons in the brain. In this talk we review the state of the art for the Kuramoto model and its associated kinetic counterpart, namely, the Kuramoto—Sakaguchi equation.

The heart of our talk will be to introduce new quantitative estimates on the rate of convergence to the global equilibrium for solutions of the Kuramoto—Sakaguchi equation departing from generic initial data in a large coupling strength regime. Although some previous attempts have been presented for oscillators confined to a half circle, this is the first result in the literature that covers generic initial data, to the best of our knowledge. Notice that the lack of convexity of the problem and the presence of heterogeneities prevent us from using classical methods for gradient flows. Then, the key step will be to introduce a new transportation distance that endows the system with the appropriate structure. In particular, we show new generalized local logarithmic Sobolev and Talagrand type inequalities, similar to the ones derived by Otto and Villani, that quantity convergence to equilibrium.