Institut Camille Jordan

In view of the symposium on topological insulators and quantum chemistry which will take place on the 21st of December, I will give an introduction to topological insulators and explain some of the mathematical concepts behind the theory. Keywords are: topological phase, bulk boundary correspondance, K-theory.

La connexion entre les propriétés arithmétiques d'un entier et les propriétés de ses chiffres dans une base donnée est à l'origine de nombreuses questions et travaux. Dans le contexte des corps finis, la structure algébrique permet de formuler et d'étudier de nouveaux problèmes intéressants qui pourraient être hors d'atteinte dans $\mathbb{N}$. C. Dartyge et A. Sàrközy ont initié cette étude dans $\mathbb{F}_q$. Nous étudierons de nouvelles questions dans cet esprit : 
1) estimer avec précision le nombre d'éléments de certaines suites remarquables de $\mathbb{F}_q$ dont la somme des chiffres est fixée; 
2) étant donné deux sous-ensembles $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ de $\mathbb{F}_q$, trouver des conditions sur $|\mathcal{C}|$ et $|\mathcal{D}|$ pour assurer l'existence de $(c,d) \in \mathcal{C} \times \mathcal{D}$ tel que la somme des chiffres de $cd$ appartienne à un sous-ensemble donné de $\mathbb{F}_p$; 
3) estimer le nombre d'éléments d'une suite intéressante de $\mathbb{F}_q$ avec des chiffres préassignés.
La notion de chiffres dans $\mathbb{F}_q$ est directement liée à la notion de trace qui est fondamentale dans l'étude des corps finis et nos résultats peuvent être reformulés avec ce point de vue.

La fonctionnelle de Griffith est une variante de la fonctionnelle de Mumford-Shah, qui met en compétition l’énergie élastique d’un déplacement u dans un domaine fissuré de type $\Omega \setminus K$, avec une énergie de surface, i.e. la mesure $H^1$ (i.e. longueur en $2$D) de l’ensemble K. Cette fonctionnelle intervient dans certains modèles variationnels de propagation de fissures, basés sur les postulats de A.A. Griffith (1893-1963) en rupture fragile. L’énergie élastique ressemble à une énergie de type Dirichlet sur la fonction  u, à valeurs vectorielles ($\mathbb{R}^2$), mais où seule la partie symétrique du gradient apparaît. Comparée à l’énergie « classique » de Mumford-Shah (1989), cette fonctionnelle donne lieu a des difficultés techniques majeures. En particulier l’inégalité de Korn dans le domaine irrégulier $\Omega \setminus K$ n’est pas disponible et de nombreux outils classiques du cas scalaire ne fonctionnent plus en vectoriel. Ceci explique par exemple que l’existence d’un minimiseur, établi en 1989 pour Mumford-Shah, n’ait été démontré que très récemment (2017) pour Griffith avec des outils nouveaux. Dans cet exposé je présenterai un résultat de régularité $C^{1,\alpha}$ sur l’ensemble singulier $K$, comparable au théorème de Bonnet (1996) ou David (1997) concernant Mumford-Shah, en essayant d’expliquer les difficultés rencontrées et l’approche utilisée pour les contourner. Le cas de la dimension $N>2$ reste encore largement ouvert. Ceci est un travail en collaboration avec J.-F. Babadjian et F. Iurlano.