Institut Camille Jordan

The construction of Tropical Geometry began with optimisation problems. Back then we would have used the word idempotent instead of tropical. The idea was to reformulate some optimisation problems in the vocabulary of linear algebra by weakening the hypotheses that make a field. It provided a translation of optimisation problems into geometric ones. Even if tropical linear algebra doesn't behave completely as in the classical case the resemblance was close enough to leave the linear realm, consider polynomials and define a "tropical algebraic geometry". Which is what people usually mean by tropical geometry. In my talk I will present through examples the basics of tropical geometry and try to highlight (in dimension 2) the interactions between complex, realistic and tropical with 3 fundamental theorems: Maslov's dequantisation theorem by Kapranov, Itenberg/Katzarkov/Mikhalkin/Zharkov's theorem on tropical homology and Viro's patchworking.

En 2012, Lenny Taelman a démontré un analogue de la formule du nombre de classes pour les $A$-modules de Drinfeld quand $A$ est un anneau de polynômes. Cette formule relie une série $L$ à certaines quantités provenant d'un régulateur d'unités et d'un module de classes.

Pour un anneau de coefficients arbitraire $A$, plusieurs résultats généralisant la formule de Taelman ont été obtenus par différents auteurs pour des familles de $A$-modules de Drinfeld, voire pour certains $A$-modules d'Anderson.

Je présenterai une nouvelle approche basée sur la notion d'unités de Stark qui permet d'établir la formule de classes pour tous les $A$-modules de Drinfeld, et en fait pour une large famille de $A$-modules d'Anderson. Il s'agit d'un travail en commun avec Bruno Anglès (Caen) et Tuan Ngo Dac (Lyon).

L'équation cinétique des ondes apparaît en théorie de la turbulence faible d'ondes. Dans cet exposé nous nous intéressons à sa dérivation en tant qu'équation effective pour un système dont l'évolution au niveau microscopique est régie par l'équation de Schrodinger non linéaire (NLS). Plus précisément, nous considérons (NLS) dans un régime faiblement non linéaire sur un tore de dimension au moins égale à deux, et pour un champ gaussien fortement oscillant comme donnée initiale. Une conjecture en physique statistique est qu'il existe une échelle de temps cinétique sur laquelle, statistiquement, les modes de Fourier évoluent selon l'équation cinétique des ondes.

Il y a deux paramètres dans ce problème : la longueur d'oscillation du champ, et la force de la non linéarité. Le problème de savoir dans quel régime l'équation cinétique des ondes est rigoureusement valide est toujours ouvert. La relation de dispersion - de manière équivalente, la géométrie du tore - semble jouer un rôle important, puisque les propriétés de distribution de la forme quadratique sur les points à coordonnées entières qui lui est associée sont directement reliées à la structure des termes résonants dans la dynamique.

Dans le cas d'un tore standard, nous montrons qu'un seul régime particulier permet la convergence de la série de Dyson jusqu'au temps cinétique. Nous prouvons également, pour une relation de dispersion générique (tore non rectangulaire), que la série de Dyson converge pour des temps bien plus longs. Ceci nous permet dans un second temps de contrôler la solution complète jusqu'au temps cinétique, dans le régime particulier pour le tore standard, et pour un plus grand nombre de régimes pour des tores génériques, à erreur polynomial arbitrairement petite.

Ceci est un travail en collaboration avec P. Germain (Courant Institute, New York University).

In this talk, we aim to study time periodic solutions for 3D inviscid quasi-geostrophic model. We show the existence of non trivial rotating patches by suitable perturbation of stationary solutions given by generic revolution shapes around the vertical axis. The construction of those special solutions are done through bifurcation theory. In general, the spectral problem is very delicate and strongly depends on the shape of the initial stationary solutions. Indeed, the spectral study can be related to an eigenvalue problem of a self-adjoint compact operator and we are able to implement the bifurcation only from the largest eigenvalues of such operator which are simple. This is a joint work with T. Hmidi and J. Mateu.