Institut Camille Jordan

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La convection de Bénard-Rayleigh est un des problèmes classiques en hydrodynamique, bien connu pour avoir des solutions ayant des structures particulières (rouleaux, hexagones, rectangles). Nous étudions ici la formation de joints de grains, une classe de défauts apparaissant entre rouleaux ayant des orientations différentes. Le problème mathématique consiste à résoudre les équations de Navier-Stokes, pour la vitesse du fluide, couplées avec une équation pour la température dans l'approximation de Boussinesq. Notre analyse repose sur des méthodes de la théorie des bifurcations locales et des systèmes dynamiques.

Rendez-vous à 17 h 30 pour un café, un thé, un gâteau, discussion avec l'invité-e... Exposé à 18 h, suivi d'un pot.

The Vertex Reinforced Jump Process on weighted graphs can be represented as a mixture of Markov processes, i.e. as a random walk in random environment. This representation can be constructed using a certain random Schrödinger operator. This talk concerns the classification of possible representations of the VRJP. We show that any such representation involves the same random Schrödinger operator, and a positive harmonic function for this operator. Using the notion of Martin boundary, we can then give a more general form for all representations. This relies on work by C. Sabot, P. Tarrès and X. Zeng.

Elliptic curves with complex multiplication have historically formed a fertile test ground for many conjectures on the arithmetic of elliptic curves. In this talk, we will explore one instance of this phenomenon by looking at the conjectures relating special values of L-functions to the Mahler measure of polynomials in multiple variables. These conjectures, initiated by the work of Boyd on Lehmer’s problem, can be approached for elliptic curves with complex multiplication using the proof of the Beilinson conjectures for CM elliptic curves, due to Deninger and Rohrlich.

Dans cet exposé, nous commencerons par rappeler les formules classiques reliant la caractéristique d'Euler d'une fibre d'un polynôme à coefficients complexes f, à ses singularités et à son défaut d'équisingularité à l'infini dans une compactification. En utilisant les techniques de Denef-Loeser et Guibert-Loeser-Merle, nous définirons ensuite des invariants motiviques à l'infini de f. 
Ceux-ci sont construits à l'aide d'une compactification mais n'en dépendent pas. Ils se réalisent sur les invariants topologiques classiques à l'infini de f et sont génériquement nuls. Il est alors naturel de se demander si la nullité de l'invariant motivique à l'infini pour une valeur a implique la trivialité topologique de f au voisinage de a. En utilisant certains résultats de Parusinski, nous considérerons par exemple le cas des singularités isolées à l'infini. Nous traiterons par exemple le cas à deux variables où les calculs peuvent être formulés en termes des polygones de Newton de f. Techniquement, lorsque le polynôme est non dégénéré pour son polygone de Newton, le calcul est aisé, dans le cas contraire, nous proposons un raisonnement par induction utilisant des transformations de Newton et des polygones itérés à hauteur décroissante. Enfin, si le temps le permet nous donnerons une version analytique à la Berkovich des invariants motiviques à l'infini. 

Travail en commun avec Pierrette Cassou-Nogues (Bordeaux) et Lorenzo Fantini (Frankfurt)

Uni-directional boundary modes are the hallmark of Chern insulators. Such topological states have been engineered in various platforms, from condensed matter to artificial crystals e.g. in photonics, acoustics or cold atoms physics. Remarkably, such chiral modes also exist in continuous media encountered in nature.This is the case of oceanic and atmospheric equatorial waves that only propagate their energy eastward. This remarkable property, that triggers the El-Nino southern oscillations and impacts the climate over the globe, has a topological interpretation analogous to those of Chern insulators [1]. Similar topological arguments also allow the prediction of new kinds of waves in strongly stratified fluids that might be observed e.g. in stars. In the presence of a solid boundary, Kelvin already pointed out the existence of one-way directional waves propagating along the coasts of lakes. In strong contrast with crystals, the existence of these chiral modes in continuous media depends on the boundary conditions: they are not topologically protected as one would naively expect from the analogy with the celebrated bulk-boundary correspondence in condensed matter. However, a generalization to this cornerstone concept of topological physics can be formulated, leading to the prediction of ”ghost modes” that coexist with the bulk states.