Institut Camille Jordan

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Lascoux and Schützenberger introduced the structure of plactic monoids after the works of Schensted and Knuth on the combinatorial study of Young tableaux. Using his jeu de taquin, Schützenberger gave the first correct proof of the Littelwood-Richardsonrule. This rule describes in a combinatorial way the multiplicity of a Schur polynomial in
a product of Schur polynomials. Recently, similar classes of monoids such as hypoplactic,  Chinese, Sylvester and patience sorting monoids are also introduced and have found several applications on algebraic combinatorics and representation theory.

 

In this talk, we define plactic-like monoids using the notions of string of columns constructed by insertion algorithms. We also introduce the notions of string data structures and morphism of string data structures and we explain how such a morphism can transfer combinatorial properties from a string data structure to another one, using sliding
algorithms and string of columns rewriting. Finally, we relate the string data structures of skew, Young and quasi-ribbon tableaux. In particular, we describe Schützenberger's jeu de taquin as a string of columns rewriting, showing that it is a morphism between the string data structures of skew and Young tableaux, using rewriting properties of the corresponding string of columns rewriting.

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Soit $\Lambda$ un groupe totalement ordonné non trivial.
En 1994, Bennett a introduit une notion de $\Lambda$-immeuble qui généralise celle des immeubles de Tits. Si K désigne un corps $\Lambda$-valué, Bennett a construit un $\Lambda$-immeuble de type $A_n$ sur lequel le groupe $\mathrm{SL}_{n+1}(\mathbb{K})$ agit naturellement.

Soit $\mathbf{G}$ un groupe réductif quasi-déployé sur un corps $\Lambda$-valué $\mathbb{K}$ (supposé hensélien lorsque $\mathbf{G}$ est non-déployé).
Le but des deux exposés est d'expliquer, d'une part pourquoi la construction de Bruhat-Tits se généralise pour la paire $(\mathbf{G},\mathbb{K})$ en un espace qui est un $\Lambda$-immeuble au sens de Bennett;
d'autre part, d'expliquer comment cette construction munit naturellement les $\Lambda$-immeubles ainsi obtenus de certaines projections naturelles dont les images et les fibres sont encore des $\Lambda'$-immeubles pour certains groupes totalement ordonnés $\Lambda'$ non triviaux.
 

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Soit $\Lambda$ un groupe totalement ordonné non trivial.
En 1994, Bennett a introduit une notion de $\Lambda$-immeuble qui généralise celle des immeubles de Tits. Si K désigne un corps $\Lambda$-valué, Bennett a construit un $\Lambda$-immeuble de type $A_n$ sur lequel le groupe $\mathrm{SL}_{n+1}(\mathbb{K})$ agit naturellement.

Soit $\mathbf{G}$ un groupe réductif quasi-déployé sur un corps $\Lambda$-valué $\mathbb{K}$ (supposé hensélien lorsque $\mathbf{G}$ est non-déployé).
Le but des deux exposés est d'expliquer, d'une part pourquoi la construction de Bruhat-Tits se généralise pour la paire $(\mathbf{G},\mathbb{K})$ en un espace qui est un $\Lambda$-immeuble au sens de Bennett;
d'autre part, d'expliquer comment cette construction munit naturellement les $\Lambda$-immeubles ainsi obtenus de certaines projections naturelles dont les images et les fibres sont encore des $\Lambda'$-immeubles pour certains groupes totalement ordonnés $\Lambda'$ non triviaux.

Dans ce premier exposé, on s'intéressera plus spécifiquement à la construction du $\Lambda$-immeuble. suivant la méthode de Bruhat-Tits. Celle-ci repose sur l'utilisation de sous-groupes parahoriques et d'une décomposition de Bruhat. On expliquera comment construire un modèle d'appartement à partir d'un corps $\Lambda$-valué et ce qu'est l'action du tore maximal et de son normalisateur sur cet espace.
 

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Superconformal algebras are simple Lie superalgebras with a centerless Virasoro subalgebra which are Z-graded by the Cartan element of the Virasoro and have a global bound on the dimensions of components. Superconformal algebras play an important role in Conformal Field Theories. Kac and van de Leur gave a conjectural list of superconformal algebras. We will review progress made towards this classification by Fattori-Kac and Kac-Lau-Pianzola. These partial results were obtained under an additional assumption of locality. Using the machinery of cuspidal modules developed by Billig-Futorny, we prove that superconformal algebras are indeed local.

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Soit G un groupe de Lie réel semisimple, A son sous-espace de Cartan (ou “tore déployé maximal”), W = N_G(A)/Z_G(A) son groupe de Weyl restreint. Considérons une représentation irréductible de dimension finie rho de G (agissant sur un espace V).

Alors W a une action bien définie sur le sous-espace V^L formé par les vecteurs de V fixés par le centralisateur de A, appelé MA ou L. Nous nous intéressons en particulier à l'action sur V^L du mot le plus long w_0 du groupe de Weyl (l'unique élément qui envoie les racines restreintes positives sur les racines restreintes négatives). Nous nous posons la question suivante : dans quels cas cette action est-elle non triviale ? (Cette question est motivée par une certaine question en dynamique des groupes de transformations affines.)

Cette question se décompose naturellement en deux parties : quelles sont les représentations pour lesquelles, déjà, V^L est non trivial ? et puis, parmi celles-ci, quelles sont celles où, en plus, w_0 agit non-trivialement sur V^L ? Dans le cas particulier où G est déployé, la première question est très facile, et nous avons trouvé la réponse à la deuxième, qui est : “presque toutes”. Dans le cas général, j’ai récemment obtenu la réponse à la première question, et pour la deuxième
question je dispose de résultats expérimentaux. Je vais présenter tous ces travaux.

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On dit qu'une action birationnelle d'un groupe est régularisable si, sur un modèle convenable, elle est par automorphismes de variété. Ici un modèle n'est pas supposé projectif/complet. Pour un groupe ayant la propriété FW, on montre que toute action birationnelle est régularisable. La propriété FW (qu'on introduira) est une restriction combinatoire/géométrique sur les actions (abstraites) d'un groupe donné, et est notamment satisfaite par SL(n,Z) pour n>2. Notre approche consiste à montrer (grâce au formalisme des actions partielles) que l'action birationnelle de Bir(X) sur X, pour toute variété X, s'étend en une action par automorphisme sur une complétion X' de X, qui est un schéma (non séparé) localement isomorphe à X, et contenant X comme ouvert dense. Pour un sous-groupe G de Bir(X) avec la propriété FW, on construit dans X' un ouvert G-invariant dense qui est une "vraie" variété.

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Étant donné un groupe de type fini G,  une question naturelle consiste à demander si G admet une action non-triviale sur la droite réelle par homéomorphismes. Lorsque une telle action existe, on peut s'intéresser à décrire  l'espace de ses représentations dans le groupe d'homéomorphisme de la droite (à semi-conjugaison près). Après une introduction au sujet, je vais expliquer comment on peut comprendre cet espace pour certains groupes d'homéomorphismes de la droite, en commençant par des cas simples, et en suite pour des groupes plus compliqués, tels que le groupe Thompson et des groupes liés. Pour ces derniers on en déduira des résultats de rigidité. L'exposé sera basé sur des travaux en cours avec Joaquín Brum, Cristóbal Rivas, et Michele Triestino.

 

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We describe an algorithm which takes as input any pair of permutations and gives as output two permutations lying in the same right cell. The main feature of such an algorithm is that the Kazhdan-Lusztig variety corresponding to the input pair is isomorphic to the Kazhdan-Lusztig variety of the output pair, hence preserves the singularity type. This implies a negative answer to a question by Borho-Brylinki and Joseph from the Eighties. A negative answer had been already obtained by Williamson and relied on a computer calculation. Our algorithm provides an elementary way to recover Williamson's example and allows to show methodically that there is an infinite family of permutations
for which (a variant of) the property expected by Borho-Brylinki and Joseph fails. This is joint work with P. McNamara.
 

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Let Phi be a finite root system. A Phi-grading of a group G is
a family of subgroups of G satisfying certain axioms that
are inspired by the family of root subgroups in a Chevalley group.

In the 1990s Shi showed that the root subgroups of Phi-grading
are coordinatized by an associative ring if Phi is
simply laced, irreducible and of rank at least three.
For the remaining types there are only partial results available.

In my talk I will present some recent results about
Phi-gradings of groups which are motivated by the theory
of buildings and applications to rank one groups
of exceptional type. This is joint work with Richard Weiss.

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Abstract: le problème de Gelfand et Kirillov dans sa forme initiale étudie sous quelles conditions
l'algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie de dimension finie est rationnellement
équivalente à une algèbre de Weyl sur une extension transcendante pure du corps de base.
Des transpositions dans le contexte des groupes quantiques algébriques ont été aussi largement étudiées.
Le but de l'exposé est de présenter une formulation des problèmes d'équivalence birationnelle dans
la catégorie des superalgèbres. La condition d'intégrité conduit à centrer les résultats sur les algèbres
enveloppantes des superalgèbres de Lie orthosymplectiques osp(1,2n) et leurs formes quantifiées.
Il s'agit d'un travail en collaboration avec Jacques Alev.

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«Dans un travail en commun avec Roland Berger (ArXiv:1905.07906), nous avons adapté le calcul de
Koszul des algèbres quadratiques introduit par Berger-Lambre-Solotar aux algèbres de carquois, de façon à étudier le calcul de Koszul des algèbres préprojectives. Le calcul de Koszul des algèbres préprojectives a plusieurs
propriétés remarquables, dont une dualité sur tout le calcul de Koszul et des propriétés de type
Calabi-Yau. Cela nous a permis de généraliser la notion d'algèbre Calabi-Yau dans le cadre des
algèbres quadratiques, et d'obtenir une dualité de Poincaré entre homologie et cohomologie de Koszul pour ces algèbres. Enfin, nous avons calculé explicitement le calcul de Koszul des algèbres préprojectives qui ne sont pas Koszul.»

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Travail en commun avec I. Kazhuba, voir

https://arxiv.org/abs/1910.06841

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Il est classiquement connu que les actions algébriques du groupe additif sur les variétés algébriques affines définies sur un corps de caractéristique nulle sont uniquement déterminées par leurs champs des vecteurs tangents aux orbites. Ces champs de vecteurs sont en correspondance bijective avec certaines dérivations de l'anneau de fonctions de la variété, appelées dérivations localement nilpotentes, caractérisées par la propriété d'être "algébriquement intégrables" au sens que leurs séries exponentielles formelles associées sont à valeurs polynomiales. La riche théorie algébrique des dérivations localement nilpotentes qui a été développée durant les trente dernières années fournit des outils puissants permettant de comprendre la structure des variétés affines. Je commencerai par dresser un panorama des principaux résultats structurels et applications désormais classiques de cette théorie et de quelques développements plus récents. On verra ensuite comment certaines modifications adéquates de la notion d'intégrabilité permettent d’étendre ce type de correspondance algébro-géométrique pour décrire en terme de dérivations les actions du groupe additif d'une part de façon uniforme sur toutes les variétés semi-affines (donc en particulier sur les variétés complètes) et d'autre part, de façon pour l'instant encore un peu "expérimentale", sur certaines classes de ind-schémas affines.

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Joint work with S. Alsaody and A. Pianzola. In the first part of the talk we remind the definition of an R-equivalence (introduced by Manin), state the Tits-Weiss   conjecture on generation of structure groups of Albert algebras by U-operators and the Kneser-Tits conjecture for isotropic groups. In the second part of the talk we focus on computation of R-equivalence classes for groups of type E_6. As corollaries of our result we prove the Tits-Weiss conjecture and the Kneser-Tits conjecture for some isotropic groups of type E_7 and E_8.

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The Hecke category is a categorification of the Hecke algebra
that plays an important role in (geometric) representation theory. Using this categorification, I will introduce a positive characteristic analogue of the famous Kazhdan-Lusztig basis of the Hecke algebra, called the p-canonical or p-Kazhdan-Lusztig basis. If time permits, I will mention connections between the p-Kazhdan-Lusztig basis and the representation theory of reductive algebraic groups.
Motivated by the very rich theory of Kazhdan-Lusztig cells,
I study cells with respect to the p-Kazhdan-Lusztig basis.
Throughout the talk, I will use SL_2 as a running example. In the end, I will give a complete description of p-Cells in finite type A and mention some interesting results in finite types B and C.

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Travail en commun avec Cyril Demarche. Soit F un corps. Soit G le groupe de Galois absolu de F. Soit i>=2 un entier, M un G-module fini, et c une classe dans le groupe de cohomologie galoisienne H^i(F,M). On se demande s'il existe une F-variété X, vérifiant la propriété suivante. Pour toute extension finie E/F, la présence d'un E-point sur X équivaut à l'annulation de la restriction de c à H^i(E,M). Supposons pour simplifier que F contienne assez de racines de l'unité, et que M=Z/dZ. Lorsque i=2, la réponse est bien connue, et fournie par les variétés de Severi-Brauer. Pour i arbitraire, et pour c un symbole pur, elle est donnée par les variétés de normes de Rost. Elles sont un ingrédient principal de la démonstration de la conjecture de Bloch-Kato par Voevodsky. J'expliquerai comment, dans le contexte général de la question ci-dessus, on peut construire une ind-variété X possédant la propriété requise.

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 The first part of the talk will be a recollection of facts  
arising from the work of Drinfeld, Etingof-Kazhdan and  
Belavin-Drinfeld, outlining the connection between (classical) quantum  
groups and Lie bialgebras. In the second part of the talk I will  
explain how this connection allows Galois cohomology to be used in the  
classification of quantum groups.
 

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Les espaces de Calogero-Moser (CM), introduits par Wilson en 1998, sont des variétés algébriques complexes lisses munies d’une structure de Poisson obtenue par réduction hamiltonienne. Grace à cette réduction, on peut aisément prouver que chacune de ces variétés coïncide avec l’espace de phase d’un système intégrable classique, appelé système de CM rationnel, qui définit les équations du mouvement de particules interagissant avec un potentiel rationnel.
Du point de vue de la physique mathématique, il est bien connu que ces systèmes intégrables peuvent être définis en toute généralité à partir d’un potentiel elliptique. Des lors, quel est l’analogue des espaces de CM dans le cas elliptique? Pour attaquer ce problème, j’introduirai la géométrie de Poisson non-commutative à la Van den Bergh, qui utilise la notion de crochets de Poisson doubles. J’expliquerai ensuite comment comprendre les espaces de CM dans ce cadre en terme d’une algèbre non-commutative. Je finirai par décrire la version elliptique de cette dernière algèbre, et j’expliquerai comment cela répondra à notre question de départ. Cette dernière partie est basée sur un travail en commun avec Oleg Chalykh.

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Travail commun avec Welleda Baldoni et Michael Walter.

Nous donnons des conditions inductives qui caractérisent les positions de Schubert de sous-représentations de la représentation générale d'un carquois de vecteur dimension donnée.

Ce critère généralise le critère de Horn  sur les conditions d'intersection de cellules de Schubert dans une grassmanienne.

Nous donnons  des applications géométriques à l'image de l'application moment.

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Cohomological operations on generalized cohomology theories   (e.g. Steenrod, Adams, Landweber-Novikov) have been extensively  studied during the past decade (Brosnan, Levine, Merkurjev, Vishik).   They turned out to be extremely useful in generating interesting   rational cycles in higher codimension (e.g. idempotents or $0$-cycles  on twisted flag varieties), hence, in computing various geometric  invariants of torsors (incompressibility, canonical dimension,  torsion, motivic decomposition type, etc.).

In the present talk, we explain how to extend the Landweber-Novikov  operations on algebraic cobordism to the setup of equivariant   generalized cohomology theories via the localization techniques of  Kostant-Kumar. The operations we obtain we call localized operations.  These operations can be viewed as operations on global sections of the  so called structure sheaves on moment graphs (corresponding to  arbitrary Coxeter groups). They satisfy several natural properties,  e.g. they commute with characteristic map and restrict to usual  Landweber-Novikov operations.
 

Résumé : 

 We will look at representation theory of a complete Kac-Moody group G over a finite field. G is a locally compact totally disconnected group, similar, yet slightly different to the group of points of a reductive group scheme over a local field.
  After defining the group we will prove that the category of smooth representations  has finite homological dimension. At the end we discuss localisation and homological duality for this category.
 

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Nous introduirons, de façon algébrique et géométrique une famille de groupes quantiques de dimension infinies, associés à des analogues 'continus' des algèbres de Kac-Moody. Ces groupes quantiques ont quelques propriétés exotiques, telles que l'absence de racines simples ou l'existence d'une présentation quadratique (quelque soit le type de Kac-Moody). Nous introduirons pour un exemple particulier d'un tel groupe quantique (attaché à un cercle) une famille de représentations $V_{g,r}$ ainsi qu'un espace de Fock. C'est un travail en commun avec A. Appell et F. Sala.

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Soit W un groupe de réflexion fini avec S des générateurs de Coxeter, et c un élément de Coxeter standard. A la donnée de (W,c) est associé un certain nombre de structures combinatoires qui sont toutes énumérées par le nombre de Coxeter-Catalan Cat(W): partitions non croisées généralisées, facettes du complexe d'amas, éléments c-triables de W, treillis cambrien... 

Nous établissons un lien nouveau entre les deux premières structures via la dualité de Koszul: plus précisément, nous montrerons qu'une certaine algèbre liée aux partitions non croisées est Koszul, et que son algèbre duale est en relation avec le complexe d'amas. Les constructions seront explicitées dans le cas où W est le groupe symétrique Sn et c le long cycle (1,2,...,n)

Travail en commun avec M. Josuat-Vergès.

 

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Reporté pour une date ultérieure :  La notion de nombre entier quantique est une notion bien établie et utilisée dans différents domaines des mathématiques et physique. En revanche celle de nombre rationnel quantique n’existe pas vraiment. On propose une définition de nombre rationnel quantique basée sur des propriétés combinatoires des fractions continues. L’idée est de déformer les développements des rationnels en fractions continues de façon à preserver les liens avec la géométrie hyperbolique et le groupe modulaire PSL(2,Z). La définition des q-rationnels étend naturellement celle des q-entiers et fait apparaitre des polynômes à coefficients entiers positifs. On donne une interprétation énumérative des coefficients de ces polynômes en termes de graphes et de représentations de carquois. On remarque aussi un lien avec les polynômes de Jones. Il s’agit d’un travail en commun avec V.Ovsienko.

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Le théorème de Pitman (1975) est un joli résultat en calcul des probabilités, derrière lequel se cache de la théorie des représentations. Pour être plus précis, il s'agit de la théorie des représentations du groupe quantique U_q(sl_2), dans le régime cristallin c'est à dire à q=0.

Beaucoup de preuves existent, et je m'intéresserai à une preuve de Bougerol et Jeulin - vraie pour tout groupe semi-simple. Ces derniers considèrent le mouvement brownien sur l'espace symétrique avec courbure r, et font tendre cette courbure vers l'infini. 

Pourquoi donc le régime cristallin q=0 est-il relié à un régime de courbure infinie r=\infty? Le but de cet exposé sera donc de vous convaincre que le paramètre q, du point de vue de la quantification et la méthode de l'orbite de Kirillov, n'est pas un paramètre quantique mais bel et bien un paramètre de courbure. La relation étant q=e^{-r}.

Résumé : 

 Avec Thierry Lambre et Andrea Solotar, nous avons défini un  calcul dit de Koszul pour les algèbres associatives définies par des relations quadratiques homogènes (Glasg. Math. J. 2018). L'objet de cet exposé est de montrer comment j'ai pu étendre ce calcul  aux algèbres cubiques, quartiques,..., N-homogènes en général (J. Algebra, à paraître). La principale différence quand N>2 est que le cup produit (et les cap produits) ne sont pas donnés, mais sont à trouver par des formules spécifiques. Avec les  formules ainsi trouvées, on a bien une algèbre différentielle graduée pour le cup et des bimodules  différentiels gradués pour les cap, au niveau des classes de (co)homologie de Koszul. Autre différence quand  N>2 : le cup produit n'est pas associatif sur les cochaînes comme le montre l'exemple explicite de l'algèbre  Artin-Schelter régulière cubique de dimension 3 de type A. Se pose alors la question de trouver une structure A-infinie sous-jacente.

Résumé : I will explain a point of view which allows to treat functions with isolated singularities as geometric objects ("non-commutative spaces") as nice as smooth projective varieties. It is based on the theory of differential-graded categories and, in particular, on categories of matrix factorizations. This approach leads to interesting geometric invariants of singularities, both classical (similar to de Rham cohomology and Chern classes) and quantum (analogs of Gromov-Witten invariants and quantum cohomology).

Résumé : Relaxed highest-weight modules play a central role in the study of many important vertex operator (super)algebras and their associated (logarithmic) conformal field theories, including the admissible-level affine models. Indeed, their structure and their (super)characters together form the crucial input data for the standard module formalism that describes the modular transformations and Grothendieck fusion rules of such theories. In this talk, we prove a character formula and some statements for relaxed highest-weight modules over affine sl(2) models conjectured by T. Creutzig and D. Ridout using coherent families of O. Mathieu. If time allows, we also consider the case of affine osp(1|2) models. This osp(1|2) results are believed to be new. This is a joint work with David Ridout, arXiv:1803.01989 [math.RT].

Résumé : We extend the theory of sheaves on moment graphs due to Braden-MacPherson and Fiebig to the context of an arbitrary oriented equivariant cohomology h (e.g. to algebraic cobordism). We introduce and investigate structure h-sheaves on double moment graphs to describe equivariant oriented cohomology of products of flag varieties. We show that in the case of a total flag variety X the space of global sections of the double structure h-sheaf also describes endomorphism ring of the equivariant h-motive of X. This is a joint project with Martina Lanini and Rostislav Devyatov. ________________________ Expose dans le cadre de trimestre « Groupes algébriques et géométrisation du programme de Langlands » http://math.univ-lyon1.fr/homes-www/gille/schedule_doua.pdf Heure inhabituel

Résumé : Expose dans le cadre de trimestre « Groupes algébriques et géométrisation du programme de Langlands » http://math.univ-lyon1.fr/homes-www/gille/schedule_doua.pdf Heure inhabituel

Résumé : Affine Coxeter groups have a natural presentation as reflection groups on some affine space. Hence the set R of all its reflections, that is all conjugates of its standard generators, is a natural (infinite) set of generators. Computing the reflection length of an element in an affine Coxeter group means that one wants to determine the length of a minimal presentation of this element with respect to R. In joint work with Joel Brewster Lewis, Jon McCammond and T. Kyle Petersen we were able to provide a simple formula that computes the reflection length of any element in any affine Coxeter group. In this talk I would like to explain this formula, give its simple uniform proof and allude to the geometric intuition behind it.

Résumé : Dans leurs travaux fondateurs, Khovanov et Seidel ont utilisé la nature polymorphe du groupe de tresses usuel (i.e. de type A fini) et ses diverses définitions (présentation diagrammatique, mapping class group...) pour construire une action catégorique de ce groupe qui catégorifie la célèbre représentation linéaire de Burau. Le fait notable est que cette action catégorique détecte des propriétés topologiques plus fines ce qui assure sa fidélité contrairement à la représentation linéaire. Le but de cet exposé est de décrire une généralisation de leur approche à un autre groupe d'Artin, celui de type B - alias groupe de tresses du cylindre ou de type A affine étendu. Travail en commun avec Agnès Gadbled et Emmanuel Wagner.

Résumé : An arrangement of hyperplanes is a finite set of hyperplanes in a vector space of finite dimension. Given a hyperplane arrangement A in a vector space V, the Lie algebra of derivations tangent to the arrangement Der A consist of the derivations of S, the coordinate ring of V, that preserve each of the hyperplanes of A. This Lie algebra is a very useful invariant of the arrangement, since it is closely related to the geometry and combinatorics of the arrangement and the topology of its complement. In this talk I will present the associative algebra of differential operators of A, which is the associative algebra generated by Der A and S inside the algebra of endomorphisms of S, and I will show the computation of its Hochschild cohomology in some particular cases.

Résumé : A une forme quadratique définie sur un corps de caractéristique différente de 2, on peut associer le motif de Chow de la quadrique projective définie par cette forme. Vishik a montré que les motifs de deux quadriques sont isomorphes si et seulement si les formes quadratiques sous-jacentes ont le même indice de Witt (c’est-à-dire contiennent le même nombre de plans hyperboliques) sur toute extension du corps de base. Le but de l’exposé, basé sur un travail commun avec Charles de Clercq et Maksim Zhykhovich, est d’expliquer comment on peut étendre ce résultat au contexte plus général des groupes algébriques, et pour les groupes de type classique, aux algèbres à involution associées.

Résumé : les produits de Massey ou de Toda sont présents en topologie, en homotopie rationnelle, en cohomologie des groupes... Il y a quelques années, Minac et Tan ont conjecturé que dans la cohomologie galoisienne d'un corps, les produits de Massey sont tous triviaux -- ce qui équivaut à une prédiction quant à l'existence d'une solution pour certains problèmes de type "Galois inverse". La conjecture est démontrée pour les produits de 3 classes de cohomologie, et dans cet exposé je vais parler du cas de 4 classes, pour les corps de nombres. Dans des travaux récents avec Topaz, Minac et Wittenberg, nous montrons la conjecture modulo 2, et nous avons ramené la conjecture modulo p (arbitraire) à l'existence d'un point rationnel sur une variété "simple", ayant des points rationnels en chaque place.

Résumé : A Malcev algebra is an algebra that satisfies the identities xx=0, J(xy,z,x)=J(x,y,z)x, where J(x,y,z)=(xy)z+(yz)x+(zx)y. Clearly, any Lie algebra is a Malcev algebra. If A is an alternative algebra then it forms a Malcev algebra A^{-} with respect to the commutator multiplication [a,b]=ab-ba. The most known examples of non-Lie Malcev algebras is the algebra O^{-} for an octonion algebra O and its subalgebra sl(O) consisting of octonions with zero trace. Every simple non-Lie Malcev algebra is isomorphic to sl(O). The problem of speciality, formulated by A.I.Malcev in 1955, asks whether any Malcev algebra is isomorphic to a subalgebra of A^{-} for certain alternative algebra A. In other words, it asks whether an analogue of the celebrated Poincare-Bikhoff-Witt theorem is true for Malcev algebras. We show that the answer to this problem is negative, by constructing a Malcev algebra which is not embeddable into an algebra A^{-} for any alternative algebra A. Observe that earlier a notion of a (non-alternative) universal enveloping algebra U(M) for a Malcev algebra M was introduced by J.M.Perez-Izquierdo and the speaker. The algebra U(M) has properties similar to those of the universal enveloping algebras of Lie algebras. It is a joint work with A.Buchnev, V.Filippov, and S.Sverchkov.

Résumé : A survey of some recent classification results for gradings by abelian groups on finite dimensional simple Lie algebras over algebraically closed fields will be given. This will require the classification of gradings on matrix algebras, on the algebra of octonions and on the Albert algebra (exceptional simple Jordan algebra). The tools needed from affine group schemes will be reviewed too.

Résumé : Les tableaux de Young portent une multiplication associative, décrite par l'algorithme de Schensted. Le monoïde ainsi obtenu est appelé plaxique. Il joue un rôle fondamental dans de nombreuses applications combinatoires et algébriques. On montrera que cette multiplication sur les tableaux est entièrement déterminée par un tressage sur l'ensemble (bien plus simple !) des colonnes. Ici un tressage est une solution ensembliste de l'équation de Yang-Baxter. Ce tressage s'inscrit également dans le cadre de la réécriture. Comme application, on identifiera la cohomologie de Hochschild du monoïde plaxique, qui résiste à toutes les approches classiques, à la cohomologie tressée des tableaux-colonnes, beaucoup plus accessible. Toutes les notions et constructions seront rappelées.

Résumé : En commençant par expliquant la théorie de Brieskorn et Slodowy pour les singularités de type A_l, D_l, E_6, E_7, E_8, je vais présenter un programme liant une singularité isolée de surface avec une algèbre de Lie et un de ses objectifs. A la fin, je présenterai mes petites contributions en cours.

Résumé : The Hilbert scheme of n points on a smooth projective surface is again a smooth projective variety, of dimension 2n. It turns out that for del Pezzo surfaces their deformation theory is governed by (non)commutative deformations of the surface. To make this relationship precise one can use fully faithful functors between the derived categories of the surface and the Hilbert scheme. I will explain how these functors are supposed to interact with the Hochschild-Kostant-Rosenberg decomposition, and how noncommutative surfaces give new information about deformations of Hilbert schemes of points.

Résumé : 

The first example of a quantum group was discovered by P. Kulish and N. Reshetikhin. In their paper "Quantum linear problem for the sine-Gordon equation and higher representations" published in Zap. Nauchn. Sem. LOMI, 1981, Volume 101 (English version: Journal of Soviet Mathematics, 1983, 23:4), they found a new algebra which was later called U_q (sl₂). Their example was developed independently by V. Drinfeld and M. Jimbo to a general notion of quantum group.

Recently, the so-called Belavin-Drinfeld cohomologies (twisted and untwisted) have been introduced in the literature to study and classify certain families of quantum groups and Lie bialgebras. Later, Pianzola and Stolin have interpreted non-twisted Belavin-Drinfeld cohomologies in terms of non-abelian Galois cohomology H¹(F, H) for a suitable algebraic F-group H. Here F is an arbitrary field of zero characteristic. So, the untwisted case is now fully understood in terms of Galois cohomologies, while the twisted case has only been studied for the so-called ("standard") Drinfeld-Jimbo structure.

The aim of the talk is to establish a Galois cohomology interpretation for all twisted Belavin-Drinfeld cohomologies and thus, to present the classification of quantum groups in terms of Galois cohomologies. Our results show that there exist yet unknown quantum groups for Lie algebras of types A_n, D_2n+1 and E₆ .

Résumé : Soit G un groupe réductif sur un corps local. Les algèbres de Hecke de G sont un outil important pour l'étude des représentations de G. Ces algèbres sont associées à chaque sous-groupe ouvert compact de G. Deux algèbres jouent un rôle particulièrement important : l'algèbre de Hecke H_s sphérique, associée à un compact maximal et celle d'Iwahori-Hecke H_i, associée au sous-groupe d'Iwahori. Les groupes de Kac-Moody sont des généralisations des groupes réductifs. Grâce à des travaux de Braverman, Kazhdan et Patnaik puis à ceux de Bardy-Panse, Gaussent et Rousseau, ces deux algèbres ont été définies dans le cas des groupes de Kac-Moody sur des corps locaux. Dans cet exposé, on étudiera le centre de H_i. Lorsque G est réductif, des théorèmes de Bernstein et Satake montrent que le centre de l'algèbre de H_i est isomorphe à H_s. Lorsque G n'est plus réductif, le centre de H_i est plus ou moins trivial. On peut alors «compléter» H_i de manière à ce que son centre soit isomorphe à H_s.

Résumé : On se donne un groupe algébrique G défini sur un corps local k, de caractéristique résiduelle p. Lorsque G est réductif, la théorie de Bruhat-Tits définit un complexe poly-simplicial X(G,k), ayant des propriétés de symétrie remarquables, appelé immeuble et une action de G(k) sur X(G,k) ayant de bonnes propriétés. En outre, la construction de Bruhat-Tits introduit des modèles entiers de G dont les points entiers correspondent à certains sous-groupes remarquables décrits par l'action de G(k) sur l'immeuble X(G,k). Dans cet exposé, après avoir introduit la théorie de Bruhat-Tits, on verra comment interpréter les sous-groupes compacts ou pro-p maximaux de G(k) au moyen de l'action de G(k) sur son immeuble et de ses modèles entiers. On évoquera quelques généralisations récentes de la théorie pour des groupes non réductifs.

Résumé : L’étude des algèbres de Hall de carquois trouve son origine dans le théorème de Gabriel (’72), qui met en bijection les dimensions des représentations indécomposables des carquois de type fini et les racines positives de l’algèbre de Lie simple associée. Kac généralise plus tard (’80) ce résultat aux carquois Q arbitraires, et c’est finalement Ringel (’90) - puis Green (’95), qui donnent corps à cette correspondance en démontrant l’inclusion (en général stricte!) du groupe quantique de Q dans l’algèbre de Hall associée. Après avoir fait quelques rappels sur ces notions, j’expliquerai et tenterai de motiver un résultat de Sevenhant & Van Den Bergh (’01) qui dit qu’en général l’algèbre de Hall entière du carquois est elle-même réalisée par un (très gros) groupe quantique construit sur les fonctions dites cuspidales de Q : celles qui correspondent aux éléments primitifs vis-à-vis du coproduit de l’algèbre de Hall. Je donnerai quelques exemples, résultats et conjectures sur la dimension de l’espace des fonctions cuspidales. Je montrerai notamment que cette dimension est polynômiale en la caractéristique du corps de base, et soulèverai la question de la définition de fonctions absolument (ou géométriquement) cuspidales dans ce contexte. Travail réalisé avec Olivier Schiffmann.

Résumé : Back in 2005, Berenstein, Fomin and Zelevinsky discovered a cluster structure in the ring of regular functions on a double Bruhat cell in a semisimple Lie group, in particular, SL_n. This structure can be easily extended to the whole group. The compatible Poisson bracket is given by the standard r-matrix Poisson-Lie structure on SL_n. The latter is a particular case of Poisson-Lie structures corresponding to quasi-triangular Lie bialgebras. Such structures where classified in 1982 by Belavin and Drinfeld. In 2012, we have conjectured that each Poisson-Lie structure on SL_n gives rise to a cluster structure, and gave several examples of exotic cluster structures corresponding to Poisson-Lie structures distinct from the standard one. In my talk I will tell about the progress in the proof of this conjecture and its modifications. Joint with M.Gekhtman and M.Shapiro.

Résumé : 

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Résumé : The talk will present an introduction to affine Lie algebras and describe an important class of representations for them, the so-called integrable hightest weight modules. The talk is for non-experts. I will assume the basic structure and representation theory of semisimple finite-dimensional complex Lie algebras, but no prior knowledge of affine Lie algebras. C'est un premier exposé d'une série de 4. Les trois suivants auront lieu du 26 au 30 et seront fait par Shrawan Kumar on the Verlinde formula.

Résumé : A classical construction of Atiyah assigns to a (real or complex) Lie group G and principal G bundle P over a manifold M, a Lie algebroid over M. The spirit behind our work is to put this work within an algebraic context, replace M by a scheme X and G by a ”simple” reductive group scheme over X (in the sense of Demazure-Grothendieck) that arise naturally with an attached torsor (which plays the role of P) in the study of Extended Affine Lie Algebras. Lie algebroids in an algebraic sense were also considered by Beilinson and Bernstein. We will explain how the present work relates to theirs. This is joint work with J. Kuttler and F. Quallbrunn.

Résumé : We establish extensions of some important features of affine theory to A1-type affine reflection systems (extended affine root systems). We present a positivity theory which decomposes in a natural way the non-isotropic roots into positive and negative roots, give an extended version of the well-known exchange condition for the corresponding Weyl group, and finally give an extended version of the Bruhat ordering and the Z-Lemma. Furthermore, a new presentation of the Weyl group in terms of the parity permutations is given, this in turn leads to a parity theorem which gives a characterization of the reduced words in the Weyl group. All root systems involved in this work appear as the root systems of certain well studied Lie algebras.

Résumé : Dans le cadre d’une G-variété projective M polarisée par un fibré en droites ample L, un résultat classique de Guillemin-Sternberg (1982) identifie l’espace vectoriel H^0(M,L)^G des sections holomorphes invariantes avec H^0(M//G,L//G) où M//G est le quotient GIT. Ce résultat a été étendu aux autres groupes de cohomologie H^k(M,L)^G par Teleman (2000). Lorsque le fibré en droites L n’est plus ample, nous expliquerons un résultat similaire pour la caractéristique d’Euler équivariante Euler(L)= \sum_k (-1)^k H^k(M,L). C’est un travail en commun avec Michèle Vergne.

Résumé : L'étude des plongements équivariants des tores algébriques dans les variétés algébriques, aussi connues sous le nom de variétés toriques, est un sujet classique en géométrie algébrique. Dans un travail récent, Geraschenko et Satriano ont considéré les plongements équivariants de tores dans les champs algébriques et prouvé que ce sont toujours des champs quotients de variétés toriques. Dans cet exposé, j'expliquerai l'idée de leur preuve, je donnerai quelques exemples, et enfin j'expliquerai comment leur résultat peut s'étendre à la classe plus large des plongements équivariants d'espaces homogènes horosphériques dans les champs algébriques. (Cet exposé est basé sur un travail en collaboration avec Ariyan Javanpeykar et Kevin Langlois.)

Résumé : 

Let G be a connected, simply connected, simple, complex, linear algebraic group. Let P  be an arbitrary parabolic subgroup of G.  Let X= G/P be the G-homogeneous projective space attached to this situation. Let d ∈ H₂(X) be a degree. Let M_0,3 (X,d) be the (coarse) moduli of three pointed genus zero stable maps to X of degree d. We prove under reasonable assumptions on d that M_0,3 (X,d) is quasi-homogeneous under the action of G.

 

The essential assumption on d is that d is a minimal degree, i.e. that  d is a degree which is minimal with the property that q^d occurs with non-zero coefficient in the quantum product σ_u* σ_v  of two Schubert cycles σ_u and σ_v  where * is the product in the (small) quantum cohomology rinq QH*(X) attached to X. We prove our main result on quasi-homogeneity by constructing an explicit morphism which has a dense open G-orbit in M_0,3 (X,d) . To carry out the construction of this morphism, we develop a combinatorial theory of generalized cascades of orthogonal roots which is interesting in its own right.

Résumé : Le modèle des chemins de Littelmann est un modèle combinatoire qui permet de calculer les décompositions des produits tensoriels dans les algèbres de Lie complexes semi-simples. Dans cet exposé, nous montrerons, sur un exemple, comment ce modèle apparaît naturellement dans le théorie de Kazhdan-Lusztig lorsque l'on décompose certains éléments d'une algèbre de Hecke affine dans la base de Kazhdan-Lusztig.

Résumé : Les algèbres (de Lie) de Kac-Moody permettent de produire des théories des champs conformes de dimension 2, elles-mêmes modélisant certains phénomènes physiques. Dans cet exposé, nous introduirons des algèbres de Kac-Moody "en dimension supérieure" (avec l'espoir de produire un jour des théories des champs conformes de plus haute dimension). Ces nouvelles algèbres de Kac-Moody seront alors des algèbres de Lie à homotopie près, et nous les étudierons grâce aux outils issus de la topologie algébrique et de la géométrie algébrique dérivée. (travail en collaboration avec G. Faonte et M. Kapranov).

Résumé : C'est un travail commun avec Piotr Pragacz. Nous donnons des formules de push-forward pour tous les fibrés de drapeaux en types A, B, C, D. Les formules (et aussi leurs preuves) n'impliquent que les classes de Segre du fibré de départ et les classes caractéristiques des fibrés universels.

Résumé : Nous considérons les configurations de N points dans l’espace symplectique de dimension 2n telles que n points consécutifs engendrent un sous-espace Lagrangien. L’espace de modules de telles configurations est une généralisation intéressante de l’espace de modules classique de N points sur la droite projective. Le premier cas non trivial est N = 2n+2, nous montrons alors que les n+1 birapports de ces N points satisfont une relation remarquable, liée aux fractions continues, friezes de Coxeter et d’autres notions combinatoires. C’est un travail commun avec Charles Conley.

Résumé : The p-th Hilbert symbol from characteristic not p has two analogues in characteristic p namely [ -, - ) and the less known ((-, - )). The symbol [ -, - ) generalizes via Witt vectors to an analogue of the p^n-th Hilbert symbol. We prove that ((-, - )) enjoys a similar generalization by means of Weyl algebras and Witt vectors.

Résumé : Given an integer n, the three flag Hilbert scheme is the variety that parametrizes flags of nested subschemes of the affine plane that are supported on only one point and that have length, respectively, n, n+1 and n+2. We will show that these varieties admit an affine paving given by attracting cells for a natural torus action. This, in turns, allows the computation of the homology groups and the description of their Poincaré polynomials in a combinatorial way. Moreover it possible to find a generating function for all such Poincaré polynomials as we consider all non negative integers. Similar results for the standard Hilbert scheme (only one subscheme at the time) and for the two flag Hilbert scheme, are classical results, of, respectively, Goettsche (for the generating function) + Ellingsrud-Stromme (for the paving and the homology) and Cheah.

Résumé : In recent work with Schumann we have proven a conjecture of Naito-Sagaki giving a branching rule for the decomposition of the restriction of an irreducible representation of the special linear Lie algebra to the symplectic Lie algebra, therein embedded as the fixed-point set of the involution obtained by the folding of the corresponding Dyinkin diagram. This conjecture had been open for over ten years, and provides a new approach to branching rules for non-Levi subalgebras in terms of Littelmann paths. In this talk I will introduce the path model, explain the setting of the problem, our proof, and provide some examples of other non-Levi branching situations.

Résumé : We consider an algebra of polynomials (or a free associative algebra) on n variables (generators) and its group of automorphisms. An automorphism is called elementary if it transforms one of the variables (generators) into a new one by multiplying the old one by a non-zero constant and adding to it an element of the algebra depending only on other variables (generators). The subgroup generated by such automorphisms is called Tame, and its elements are called tame automorphisms. In 1942 Jung proved that, for the case of polynomials in two variablesall automorphisms are tame. In the beginning of 70-s, Makar-Limanov and Czerniakiewicz proved the same result for free associative algebras with two generators. In both cases, it remained an open question whether the same is true for algebras with more than two variables (generators). In 1972 Nagata constructed an automorphism of the algebra of polynomials with three variables A3 which he suggested to be non-tame (wild). Later Anick provided a candidate for a wild automorphism in the free associative algebra on 3 generators. In 2004, Umirbaev and the speaker solved the problem of wild automorphisms in the algebra of polynomials A3 by proving that the Nagata automorphism is wild. Lately, Umirbaev has proved that the Anick automorphism is wild as well. In our talk, we will give some ideas and methods of the proofs of these results and will formulate some new results and conjectures. In particular, we present a wild automorphism in the free Jordan algebra on three generators.

Résumé : 

Motivés par l'étude des posets différentiels, G. Benkart et T. Roby ont introduit la notion des algèbres down-up. Il s'agit d'une famille d'algèbres paramétrisées par trois scalaires α,β,γ, et dans le cas γ= 0 elles sont des algèbres homogènes cubiques. Dans cet exposé je vais présenter les calculs de la cohomologie et de l'homologie de Hochschild pour certaines valeurs des paramètres avec γ= 0, qui incluent le cas où ces algèbres sont Calabi-Yau. Il s'agit d'un travail en collaboration avec S. Chouhy et A. Solotar (voir https://arxiv.org/abs/1609.09809).

Résumé : Une algèbre (non nécessairement associative ou unifère) sur un corps est dite de composition si elle est munie d'une forme quadratique multiplicative non dégénérée. Les quaternions et les octonions en font des exemples classiques. Les algèbres de composition apparaissent par exemple dans la construction des groupes exceptionnels. Remarquablement, leur dimension, si finie, est 1, 2, 4 ou 8. En dimension 8, le problème de classification des algèbres de composition est toujours ouvert, même sur le corps des réels. Je vais parler de quelques approches au problème, qui utilisent les groupoïds des transformations, la théorie des représentations des algèbres de Lie, et les automorphismes des schémas en groupes affines. Les octonions et le phénomène de trialité, lié à eux, y sont omniprésents.

Résumé : Il s'agit d'un travail en collaboration avec Andrea Solotar et Thierry Lambre (arXiv1512.00183). Nous présentons un calcul, dit de Koszul, adapté aux algèbres quadratiques homogènes A. Ce calcul est organisé suivant une homologie et une cohomologie de Koszul munies de cup et cap produits. Si l'algèbre A est Koszul, le calcul de Koszul est isomorphe au calcul de Hochschild, mais il ne l'est pas sur un exemple de A non Koszul explicite. Nous donnerons les principales propriétés du calcul de Koszul en comparaison avec le calcul de Tamarkin-Tsygan. Nous appliquerons ce calcul à la dualité de Koszul en montrant qu'il y a un isomorphisme entre l'algèbre de cohomologie de A et l'algèbre de cohomologie modifiée de sa duale, valable pour toute algèbre quadratique A, Koszul ou non. Cet isomorphisme est complété en homologie par un isomorphisme de bimodules.

Résumé : Travail en commun avec François Costantino, Nathan Geer et Bertrand Patureau. Les invariants quantiques des entrelacs et des variétés de dimension 3 dits de Witten-Reshetikin-Turaev sont obtenus à partir des représentations du groupe quantique sl(2) aux racines de l'unité. Il existe plusieurs versions de ce groupe quantique , celle qui est utilisé pour les invariants WRT est le petit groupe quantique et plus précisément sa semisimplification. Le groupe sl(2) quantique déroulé est une extension du groupe quantique restreint qui permet de construire une catégorie enrubannée dans laquelle les modules simples sont indexés par des poids complexes. Nous définirons cette catégorie et décrirons ses modules projectifs indécomposables. Costantino, Geer et Patureau ont défini pour chaque entier p>1, non congru à 0 modulo 4, des invariants en dimension 3 basés sur ce groupe quantique déroulé. Nous présenterons les TQFTs, non semisimples, qui étendent ces invariants et décrirons algébriquement les espaces vectoriels gradués obtenus, ainsi que l'action des Mapping Class Groups.

Résumé : 

ATTENTION, EXCEPTIONNELLEMENT, LE SÉMINAIRE AURA LIEU EN SALLE 125 !

(exposé en anglais) Let V be a bi-graded vector space. We consider graded nilpotent pairs of V up to Levi-base change, that is, base change which respects the bi-grading of V. Our main goal in this talk is to prove and approach certain finiteness conditions. In order to do so, we define a class of finite-dimensional algebras, the so-called «Staircase algebras» parametrized by Young diagrams. We develop a complete classification of representation types of these algebras and look into finite, tame (concealed) and wild cases briefly. Furthermore, we discuss possible generalizations and translate all results to the setup of graded nilpotent pairs in order to get the mentioned finiteness criteria.

Résumé : Les espaces de Fock sont des objets qui jouent, via des phénomènes de catégorification, un rôle essentiel en théorie des représentations de certaines structures algébriques comme les groupes de réflexions (et leurs algèbres de Hecke), les groupes classiques finis (linéaires, unitaires, symplectiques, orthogonaux) ou encore les algèbres de Cherednik. Ils possèdent une triple structure de module : pour deux groupes quantiques de type A affine ainsi que pour une algèbre d'Heisenberg. De manière classique, chacun des deux groupes quantiques produit une structure de "cristal" sur les espaces de Fock, dont les interprétations sont particulièrement riches. Dans cet exposé, j'expliquerai comment, en jonglant avec les différentes combinatoires, on peut définir une notion de cristal pour l'algèbre d'Heisenberg qui entremêle les deux autres cristaux. Il se trouve que cette approche est compatible avec de récents travaux de Shan-Vasserot et de Losev, et permet ainsi d'obtenir de nouveaux résultats concernant les algèbres de Cherednik, que j'évoquerai.

Résumé : Quiver mutations play important role in definition of cluster algebra and also appeared independently in form of symmetries of some physical theories (Seiberg duality).​ Mutation class of a quiver Q is the set of all quivers obtained by a finite sequence of mutations from Q.​ In this talk I will discuss quivers with finite mutation class, more exactly, classification result and its application. ​This is a joint work with A.Felikson and P.Tumarkin.

Résumé : We address the problem of defining Schubert classes independently of a reduced word in equivariant cohomology theory corresponding to a hyperbolic formal group law, based on the Kazhdan-Lusztig basis of a corresponding Hecke algebra. We study some basic properties of these classes, and make two important conjectures about them: a positivity conjecture, and the agreement with the topologically defined Schubert classes in the smooth case. We prove some special cases of these conjectures.