Institut Camille Jordan

Résumé : 

Nous introduirons, de façon algébrique et géométrique une famille de groupes quantiques de dimension infinies, associés à des analogues 'continus' des algèbres de Kac-Moody. Ces groupes quantiques ont quelques propriétés exotiques, telles que l'absence de racines simples ou l'existence d'une présentation quadratique (quelque soit le type de Kac-Moody). Nous introduirons pour un exemple particulier d'un tel groupe quantique (attaché à un cercle) une famille de représentations $V_{g,r}$ ainsi qu'un espace de Fock. C'est un travail en commun avec A. Appell et F. Sala.

Résumé : 

Résumé : 

Reporté pour une date ultérieure :  La notion de nombre entier quantique est une notion bien établie et utilisée dans différents domaines des mathématiques et physique. En revanche celle de nombre rationnel quantique n’existe pas vraiment. On propose une définition de nombre rationnel quantique basée sur des propriétés combinatoires des fractions continues. L’idée est de déformer les développements des rationnels en fractions continues de façon à preserver les liens avec la géométrie hyperbolique et le groupe modulaire PSL(2,Z). La définition des q-rationnels étend naturellement celle des q-entiers et fait apparaitre des polynômes à coefficients entiers positifs. On donne une interprétation énumérative des coefficients de ces polynômes en termes de graphes et de représentations de carquois. On remarque aussi un lien avec les polynômes de Jones. Il s’agit d’un travail en commun avec V.Ovsienko.

Résumé : 

Résumé : 

Soit W un groupe de réflexion fini avec S des générateurs de Coxeter, et c un élément de Coxeter standard. A la donnée de (W,c) est associé un certain nombre de structures combinatoires qui sont toutes énumérées par le nombre de Coxeter-Catalan Cat(W): partitions non croisées généralisées, facettes du complexe d'amas, éléments c-triables de W, treillis cambrien... 

Nous établissons un lien nouveau entre les deux premières structures via la dualité de Koszul: plus précisément, nous montrerons qu'une certaine algèbre liée aux partitions non croisées est Koszul, et que son algèbre duale est en relation avec le complexe d'amas. Les constructions seront explicitées dans le cas où W est le groupe symétrique Sn et c le long cycle (1,2,...,n)

Travail en commun avec M. Josuat-Vergès.

 

Résumé : 

Travail commun avec Welleda Baldoni et Michael Walter.

Nous donnons des conditions inductives qui caractérisent les positions de Schubert de sous-représentations de la représentation générale d'un carquois de vecteur dimension donnée.

Ce critère généralise le critère de Horn  sur les conditions d'intersection de cellules de Schubert dans une grassmanienne.

Nous donnons  des applications géométriques à l'image de l'application moment.

Résumé : Relaxed highest-weight modules play a central role in the study of many important vertex operator (super)algebras and their associated (logarithmic) conformal field theories, including the admissible-level affine models. Indeed, their structure and their (super)characters together form the crucial input data for the standard module formalism that describes the modular transformations and Grothendieck fusion rules of such theories. In this talk, we prove a character formula and some statements for relaxed highest-weight modules over affine sl(2) models conjectured by T. Creutzig and D. Ridout using coherent families of O. Mathieu. If time allows, we also consider the case of affine osp(1|2) models. This osp(1|2) results are believed to be new. This is a joint work with David Ridout, arXiv:1803.01989 [math.RT].

Résumé : 

 We will look at representation theory of a complete Kac-Moody group G over a finite field. G is a locally compact totally disconnected group, similar, yet slightly different to the group of points of a reductive group scheme over a local field.
  After defining the group we will prove that the category of smooth representations  has finite homological dimension. At the end we discuss localisation and homological duality for this category.
 

Résumé : 

Cohomological operations on generalized cohomology theories   (e.g. Steenrod, Adams, Landweber-Novikov) have been extensively  studied during the past decade (Brosnan, Levine, Merkurjev, Vishik).   They turned out to be extremely useful in generating interesting   rational cycles in higher codimension (e.g. idempotents or $0$-cycles  on twisted flag varieties), hence, in computing various geometric  invariants of torsors (incompressibility, canonical dimension,  torsion, motivic decomposition type, etc.).

In the present talk, we explain how to extend the Landweber-Novikov  operations on algebraic cobordism to the setup of equivariant   generalized cohomology theories via the localization techniques of  Kostant-Kumar. The operations we obtain we call localized operations.  These operations can be viewed as operations on global sections of the  so called structure sheaves on moment graphs (corresponding to  arbitrary Coxeter groups). They satisfy several natural properties,  e.g. they commute with characteristic map and restrict to usual  Landweber-Novikov operations.
 

Résumé : 

 Avec Thierry Lambre et Andrea Solotar, nous avons défini un  calcul dit de Koszul pour les algèbres associatives définies par des relations quadratiques homogènes (Glasg. Math. J. 2018). L'objet de cet exposé est de montrer comment j'ai pu étendre ce calcul  aux algèbres cubiques, quartiques,..., N-homogènes en général (J. Algebra, à paraître). La principale différence quand N>2 est que le cup produit (et les cap produits) ne sont pas donnés, mais sont à trouver par des formules spécifiques. Avec les  formules ainsi trouvées, on a bien une algèbre différentielle graduée pour le cup et des bimodules  différentiels gradués pour les cap, au niveau des classes de (co)homologie de Koszul. Autre différence quand  N>2 : le cup produit n'est pas associatif sur les cochaînes comme le montre l'exemple explicite de l'algèbre  Artin-Schelter régulière cubique de dimension 3 de type A. Se pose alors la question de trouver une structure A-infinie sous-jacente.

Résumé : 

Les espaces de Calogero-Moser (CM), introduits par Wilson en 1998, sont des variétés algébriques complexes lisses munies d’une structure de Poisson obtenue par réduction hamiltonienne. Grace à cette réduction, on peut aisément prouver que chacune de ces variétés coïncide avec l’espace de phase d’un système intégrable classique, appelé système de CM rationnel, qui définit les équations du mouvement de particules interagissant avec un potentiel rationnel.
Du point de vue de la physique mathématique, il est bien connu que ces systèmes intégrables peuvent être définis en toute généralité à partir d’un potentiel elliptique. Des lors, quel est l’analogue des espaces de CM dans le cas elliptique? Pour attaquer ce problème, j’introduirai la géométrie de Poisson non-commutative à la Van den Bergh, qui utilise la notion de crochets de Poisson doubles. J’expliquerai ensuite comment comprendre les espaces de CM dans ce cadre en terme d’une algèbre non-commutative. Je finirai par décrire la version elliptique de cette dernière algèbre, et j’expliquerai comment cela répondra à notre question de départ. Cette dernière partie est basée sur un travail en commun avec Oleg Chalykh.

Résumé : 

 The first part of the talk will be a recollection of facts  
arising from the work of Drinfeld, Etingof-Kazhdan and  
Belavin-Drinfeld, outlining the connection between (classical) quantum  
groups and Lie bialgebras. In the second part of the talk I will  
explain how this connection allows Galois cohomology to be used in the  
classification of quantum groups.
 

Résumé : 

Étant donné un groupe de type fini G,  une question naturelle consiste à demander si G admet une action non-triviale sur la droite réelle par homéomorphismes. Lorsque une telle action existe, on peut s'intéresser à décrire  l'espace de ses représentations dans le groupe d'homéomorphisme de la droite (à semi-conjugaison près). Après une introduction au sujet, je vais expliquer comment on peut comprendre cet espace pour certains groupes d'homéomorphismes de la droite, en commençant par des cas simples, et en suite pour des groupes plus compliqués, tels que le groupe Thompson et des groupes liés. Pour ces derniers on en déduira des résultats de rigidité. L'exposé sera basé sur des travaux en cours avec Joaquín Brum, Cristóbal Rivas, et Michele Triestino.

 

Résumé : L’étude des algèbres de Hall de carquois trouve son origine dans le théorème de Gabriel (’72), qui met en bijection les dimensions des représentations indécomposables des carquois de type fini et les racines positives de l’algèbre de Lie simple associée. Kac généralise plus tard (’80) ce résultat aux carquois Q arbitraires, et c’est finalement Ringel (’90) - puis Green (’95), qui donnent corps à cette correspondance en démontrant l’inclusion (en général stricte!) du groupe quantique de Q dans l’algèbre de Hall associée. Après avoir fait quelques rappels sur ces notions, j’expliquerai et tenterai de motiver un résultat de Sevenhant & Van Den Bergh (’01) qui dit qu’en général l’algèbre de Hall entière du carquois est elle-même réalisée par un (très gros) groupe quantique construit sur les fonctions dites cuspidales de Q : celles qui correspondent aux éléments primitifs vis-à-vis du coproduit de l’algèbre de Hall. Je donnerai quelques exemples, résultats et conjectures sur la dimension de l’espace des fonctions cuspidales. Je montrerai notamment que cette dimension est polynômiale en la caractéristique du corps de base, et soulèverai la question de la définition de fonctions absolument (ou géométriquement) cuspidales dans ce contexte. Travail réalisé avec Olivier Schiffmann.

Résumé : Les espaces de Fock sont des objets qui jouent, via des phénomènes de catégorification, un rôle essentiel en théorie des représentations de certaines structures algébriques comme les groupes de réflexions (et leurs algèbres de Hecke), les groupes classiques finis (linéaires, unitaires, symplectiques, orthogonaux) ou encore les algèbres de Cherednik. Ils possèdent une triple structure de module : pour deux groupes quantiques de type A affine ainsi que pour une algèbre d'Heisenberg. De manière classique, chacun des deux groupes quantiques produit une structure de "cristal" sur les espaces de Fock, dont les interprétations sont particulièrement riches. Dans cet exposé, j'expliquerai comment, en jonglant avec les différentes combinatoires, on peut définir une notion de cristal pour l'algèbre d'Heisenberg qui entremêle les deux autres cristaux. Il se trouve que cette approche est compatible avec de récents travaux de Shan-Vasserot et de Losev, et permet ainsi d'obtenir de nouveaux résultats concernant les algèbres de Cherednik, que j'évoquerai.

Résumé : 

The first example of a quantum group was discovered by P. Kulish and N. Reshetikhin. In their paper "Quantum linear problem for the sine-Gordon equation and higher representations" published in Zap. Nauchn. Sem. LOMI, 1981, Volume 101 (English version: Journal of Soviet Mathematics, 1983, 23:4), they found a new algebra which was later called U_q (sl₂). Their example was developed independently by V. Drinfeld and M. Jimbo to a general notion of quantum group.

Recently, the so-called Belavin-Drinfeld cohomologies (twisted and untwisted) have been introduced in the literature to study and classify certain families of quantum groups and Lie bialgebras. Later, Pianzola and Stolin have interpreted non-twisted Belavin-Drinfeld cohomologies in terms of non-abelian Galois cohomology H¹(F, H) for a suitable algebraic F-group H. Here F is an arbitrary field of zero characteristic. So, the untwisted case is now fully understood in terms of Galois cohomologies, while the twisted case has only been studied for the so-called ("standard") Drinfeld-Jimbo structure.

The aim of the talk is to establish a Galois cohomology interpretation for all twisted Belavin-Drinfeld cohomologies and thus, to present the classification of quantum groups in terms of Galois cohomologies. Our results show that there exist yet unknown quantum groups for Lie algebras of types A_n, D_2n+1 and E₆ .

Résumé : We address the problem of defining Schubert classes independently of a reduced word in equivariant cohomology theory corresponding to a hyperbolic formal group law, based on the Kazhdan-Lusztig basis of a corresponding Hecke algebra. We study some basic properties of these classes, and make two important conjectures about them: a positivity conjecture, and the agreement with the topologically defined Schubert classes in the smooth case. We prove some special cases of these conjectures.

Résumé : 

Résumé : Travail en commun avec François Costantino, Nathan Geer et Bertrand Patureau. Les invariants quantiques des entrelacs et des variétés de dimension 3 dits de Witten-Reshetikin-Turaev sont obtenus à partir des représentations du groupe quantique sl(2) aux racines de l'unité. Il existe plusieurs versions de ce groupe quantique , celle qui est utilisé pour les invariants WRT est le petit groupe quantique et plus précisément sa semisimplification. Le groupe sl(2) quantique déroulé est une extension du groupe quantique restreint qui permet de construire une catégorie enrubannée dans laquelle les modules simples sont indexés par des poids complexes. Nous définirons cette catégorie et décrirons ses modules projectifs indécomposables. Costantino, Geer et Patureau ont défini pour chaque entier p>1, non congru à 0 modulo 4, des invariants en dimension 3 basés sur ce groupe quantique déroulé. Nous présenterons les TQFTs, non semisimples, qui étendent ces invariants et décrirons algébriquement les espaces vectoriels gradués obtenus, ainsi que l'action des Mapping Class Groups.

Résumé : Une algèbre (non nécessairement associative ou unifère) sur un corps est dite de composition si elle est munie d'une forme quadratique multiplicative non dégénérée. Les quaternions et les octonions en font des exemples classiques. Les algèbres de composition apparaissent par exemple dans la construction des groupes exceptionnels. Remarquablement, leur dimension, si finie, est 1, 2, 4 ou 8. En dimension 8, le problème de classification des algèbres de composition est toujours ouvert, même sur le corps des réels. Je vais parler de quelques approches au problème, qui utilisent les groupoïds des transformations, la théorie des représentations des algèbres de Lie, et les automorphismes des schémas en groupes affines. Les octonions et le phénomène de trialité, lié à eux, y sont omniprésents.

Résumé : 

On étudiera la cohomologie de Chevalley-Eilenberg de l'algèbre de Lie 
des champs de vecteurs sur les variétés algébriques complexes lisses, 
à l'aide de méthodes topologiques (en particulier la notion d'homologie 
de factorisation que j'introduirai). On présentera au passage le
 cas des variétés différentiables, établi au cours des années 70-80, 
en donnant une nouvelle perspective sur la démonstration.

Résumé : 

We introduce a super version of the Schützenberger's jeu de taquin on super Young tableaux over a signed alphabet. We show that this procedure which transforms super skew tableaux into super Young tableaux is confluent and it is compatible with the super plactic monoid of type A, which is related to the representations of the general linear Lie superalgebra. We deduce properties relating the super jeu de taquin to insertion algorithms on super tableaux. Moreover, we introduce a super version of the Robinson—Schensted—Knuth correspondence for super tableaux and we give a combinatorial version of the super Littlewood--Richardson rule. Finally, we show how the super plactic monoid of type A can be studied by a rewriting approach.
 

Résumé : In recent work with Schumann we have proven a conjecture of Naito-Sagaki giving a branching rule for the decomposition of the restriction of an irreducible representation of the special linear Lie algebra to the symplectic Lie algebra, therein embedded as the fixed-point set of the involution obtained by the folding of the corresponding Dyinkin diagram. This conjecture had been open for over ten years, and provides a new approach to branching rules for non-Levi subalgebras in terms of Littelmann paths. In this talk I will introduce the path model, explain the setting of the problem, our proof, and provide some examples of other non-Levi branching situations.

Résumé : L'étude des plongements équivariants des tores algébriques dans les variétés algébriques, aussi connues sous le nom de variétés toriques, est un sujet classique en géométrie algébrique. Dans un travail récent, Geraschenko et Satriano ont considéré les plongements équivariants de tores dans les champs algébriques et prouvé que ce sont toujours des champs quotients de variétés toriques. Dans cet exposé, j'expliquerai l'idée de leur preuve, je donnerai quelques exemples, et enfin j'expliquerai comment leur résultat peut s'étendre à la classe plus large des plongements équivariants d'espaces homogènes horosphériques dans les champs algébriques. (Cet exposé est basé sur un travail en collaboration avec Ariyan Javanpeykar et Kevin Langlois.)

Résumé : C'est un travail commun avec Piotr Pragacz. Nous donnons des formules de push-forward pour tous les fibrés de drapeaux en types A, B, C, D. Les formules (et aussi leurs preuves) n'impliquent que les classes de Segre du fibré de départ et les classes caractéristiques des fibrés universels.

Résumé : 

ATTENTION, EXCEPTIONNELLEMENT, LE SÉMINAIRE AURA LIEU EN SALLE 125 !

(exposé en anglais) Let V be a bi-graded vector space. We consider graded nilpotent pairs of V up to Levi-base change, that is, base change which respects the bi-grading of V. Our main goal in this talk is to prove and approach certain finiteness conditions. In order to do so, we define a class of finite-dimensional algebras, the so-called «Staircase algebras» parametrized by Young diagrams. We develop a complete classification of representation types of these algebras and look into finite, tame (concealed) and wild cases briefly. Furthermore, we discuss possible generalizations and translate all results to the setup of graded nilpotent pairs in order to get the mentioned finiteness criteria.

Résumé : Quiver mutations play important role in definition of cluster algebra and also appeared independently in form of symmetries of some physical theories (Seiberg duality).​ Mutation class of a quiver Q is the set of all quivers obtained by a finite sequence of mutations from Q.​ In this talk I will discuss quivers with finite mutation class, more exactly, classification result and its application. ​This is a joint work with A.Felikson and P.Tumarkin.

Résumé : 

Résumé : Il s'agit d'un travail en collaboration avec Andrea Solotar et Thierry Lambre (arXiv1512.00183). Nous présentons un calcul, dit de Koszul, adapté aux algèbres quadratiques homogènes A. Ce calcul est organisé suivant une homologie et une cohomologie de Koszul munies de cup et cap produits. Si l'algèbre A est Koszul, le calcul de Koszul est isomorphe au calcul de Hochschild, mais il ne l'est pas sur un exemple de A non Koszul explicite. Nous donnerons les principales propriétés du calcul de Koszul en comparaison avec le calcul de Tamarkin-Tsygan. Nous appliquerons ce calcul à la dualité de Koszul en montrant qu'il y a un isomorphisme entre l'algèbre de cohomologie de A et l'algèbre de cohomologie modifiée de sa duale, valable pour toute algèbre quadratique A, Koszul ou non. Cet isomorphisme est complété en homologie par un isomorphisme de bimodules.

Résumé : Given an integer n, the three flag Hilbert scheme is the variety that parametrizes flags of nested subschemes of the affine plane that are supported on only one point and that have length, respectively, n, n+1 and n+2. We will show that these varieties admit an affine paving given by attracting cells for a natural torus action. This, in turns, allows the computation of the homology groups and the description of their Poincaré polynomials in a combinatorial way. Moreover it possible to find a generating function for all such Poincaré polynomials as we consider all non negative integers. Similar results for the standard Hilbert scheme (only one subscheme at the time) and for the two flag Hilbert scheme, are classical results, of, respectively, Goettsche (for the generating function) + Ellingsrud-Stromme (for the paving and the homology) and Cheah.

Résumé : 

Motivés par l'étude des posets différentiels, G. Benkart et T. Roby ont introduit la notion des algèbres down-up. Il s'agit d'une famille d'algèbres paramétrisées par trois scalaires α,β,γ, et dans le cas γ= 0 elles sont des algèbres homogènes cubiques. Dans cet exposé je vais présenter les calculs de la cohomologie et de l'homologie de Hochschild pour certaines valeurs des paramètres avec γ= 0, qui incluent le cas où ces algèbres sont Calabi-Yau. Il s'agit d'un travail en collaboration avec S. Chouhy et A. Solotar (voir https://arxiv.org/abs/1609.09809).

Résumé : Nous considérons les configurations de N points dans l’espace symplectique de dimension 2n telles que n points consécutifs engendrent un sous-espace Lagrangien. L’espace de modules de telles configurations est une généralisation intéressante de l’espace de modules classique de N points sur la droite projective. Le premier cas non trivial est N = 2n+2, nous montrons alors que les n+1 birapports de ces N points satisfont une relation remarquable, liée aux fractions continues, friezes de Coxeter et d’autres notions combinatoires. C’est un travail commun avec Charles Conley.

Résumé : We consider an algebra of polynomials (or a free associative algebra) on n variables (generators) and its group of automorphisms. An automorphism is called elementary if it transforms one of the variables (generators) into a new one by multiplying the old one by a non-zero constant and adding to it an element of the algebra depending only on other variables (generators). The subgroup generated by such automorphisms is called Tame, and its elements are called tame automorphisms. In 1942 Jung proved that, for the case of polynomials in two variablesall automorphisms are tame. In the beginning of 70-s, Makar-Limanov and Czerniakiewicz proved the same result for free associative algebras with two generators. In both cases, it remained an open question whether the same is true for algebras with more than two variables (generators). In 1972 Nagata constructed an automorphism of the algebra of polynomials with three variables A3 which he suggested to be non-tame (wild). Later Anick provided a candidate for a wild automorphism in the free associative algebra on 3 generators. In 2004, Umirbaev and the speaker solved the problem of wild automorphisms in the algebra of polynomials A3 by proving that the Nagata automorphism is wild. Lately, Umirbaev has proved that the Anick automorphism is wild as well. In our talk, we will give some ideas and methods of the proofs of these results and will formulate some new results and conjectures. In particular, we present a wild automorphism in the free Jordan algebra on three generators.

Résumé : The p-th Hilbert symbol from characteristic not p has two analogues in characteristic p namely [ -, - ) and the less known ((-, - )). The symbol [ -, - ) generalizes via Witt vectors to an analogue of the p^n-th Hilbert symbol. We prove that ((-, - )) enjoys a similar generalization by means of Weyl algebras and Witt vectors.

Résumé : 

Résumé : Les algèbres (de Lie) de Kac-Moody permettent de produire des théories des champs conformes de dimension 2, elles-mêmes modélisant certains phénomènes physiques. Dans cet exposé, nous introduirons des algèbres de Kac-Moody "en dimension supérieure" (avec l'espoir de produire un jour des théories des champs conformes de plus haute dimension). Ces nouvelles algèbres de Kac-Moody seront alors des algèbres de Lie à homotopie près, et nous les étudierons grâce aux outils issus de la topologie algébrique et de la géométrie algébrique dérivée. (travail en collaboration avec G. Faonte et M. Kapranov).

Résumé : En commençant par expliquant la théorie de Brieskorn et Slodowy pour les singularités de type A_l, D_l, E_6, E_7, E_8, je vais présenter un programme liant une singularité isolée de surface avec une algèbre de Lie et un de ses objectifs. A la fin, je présenterai mes petites contributions en cours.

Résumé : 

Résumé : Dans le cadre d’une G-variété projective M polarisée par un fibré en droites ample L, un résultat classique de Guillemin-Sternberg (1982) identifie l’espace vectoriel H^0(M,L)^G des sections holomorphes invariantes avec H^0(M//G,L//G) où M//G est le quotient GIT. Ce résultat a été étendu aux autres groupes de cohomologie H^k(M,L)^G par Teleman (2000). Lorsque le fibré en droites L n’est plus ample, nous expliquerons un résultat similaire pour la caractéristique d’Euler équivariante Euler(L)= \sum_k (-1)^k H^k(M,L). C’est un travail en commun avec Michèle Vergne.

Résumé : Le modèle des chemins de Littelmann est un modèle combinatoire qui permet de calculer les décompositions des produits tensoriels dans les algèbres de Lie complexes semi-simples. Dans cet exposé, nous montrerons, sur un exemple, comment ce modèle apparaît naturellement dans le théorie de Kazhdan-Lusztig lorsque l'on décompose certains éléments d'une algèbre de Hecke affine dans la base de Kazhdan-Lusztig.

Résumé : les produits de Massey ou de Toda sont présents en topologie, en homotopie rationnelle, en cohomologie des groupes... Il y a quelques années, Minac et Tan ont conjecturé que dans la cohomologie galoisienne d'un corps, les produits de Massey sont tous triviaux -- ce qui équivaut à une prédiction quant à l'existence d'une solution pour certains problèmes de type "Galois inverse". La conjecture est démontrée pour les produits de 3 classes de cohomologie, et dans cet exposé je vais parler du cas de 4 classes, pour les corps de nombres. Dans des travaux récents avec Topaz, Minac et Wittenberg, nous montrons la conjecture modulo 2, et nous avons ramené la conjecture modulo p (arbitraire) à l'existence d'un point rationnel sur une variété "simple", ayant des points rationnels en chaque place.

Résumé : The talk will present an introduction to affine Lie algebras and describe an important class of representations for them, the so-called integrable hightest weight modules. The talk is for non-experts. I will assume the basic structure and representation theory of semisimple finite-dimensional complex Lie algebras, but no prior knowledge of affine Lie algebras. C'est un premier exposé d'une série de 4. Les trois suivants auront lieu du 26 au 30 et seront fait par Shrawan Kumar on the Verlinde formula.

Résumé : A Malcev algebra is an algebra that satisfies the identities xx=0, J(xy,z,x)=J(x,y,z)x, where J(x,y,z)=(xy)z+(yz)x+(zx)y. Clearly, any Lie algebra is a Malcev algebra. If A is an alternative algebra then it forms a Malcev algebra A^{-} with respect to the commutator multiplication [a,b]=ab-ba. The most known examples of non-Lie Malcev algebras is the algebra O^{-} for an octonion algebra O and its subalgebra sl(O) consisting of octonions with zero trace. Every simple non-Lie Malcev algebra is isomorphic to sl(O). The problem of speciality, formulated by A.I.Malcev in 1955, asks whether any Malcev algebra is isomorphic to a subalgebra of A^{-} for certain alternative algebra A. In other words, it asks whether an analogue of the celebrated Poincare-Bikhoff-Witt theorem is true for Malcev algebras. We show that the answer to this problem is negative, by constructing a Malcev algebra which is not embeddable into an algebra A^{-} for any alternative algebra A. Observe that earlier a notion of a (non-alternative) universal enveloping algebra U(M) for a Malcev algebra M was introduced by J.M.Perez-Izquierdo and the speaker. The algebra U(M) has properties similar to those of the universal enveloping algebras of Lie algebras. It is a joint work with A.Buchnev, V.Filippov, and S.Sverchkov.

Résumé : The Hilbert scheme of n points on a smooth projective surface is again a smooth projective variety, of dimension 2n. It turns out that for del Pezzo surfaces their deformation theory is governed by (non)commutative deformations of the surface. To make this relationship precise one can use fully faithful functors between the derived categories of the surface and the Hilbert scheme. I will explain how these functors are supposed to interact with the Hochschild-Kostant-Rosenberg decomposition, and how noncommutative surfaces give new information about deformations of Hilbert schemes of points.

Résumé : A survey of some recent classification results for gradings by abelian groups on finite dimensional simple Lie algebras over algebraically closed fields will be given. This will require the classification of gradings on matrix algebras, on the algebra of octonions and on the Albert algebra (exceptional simple Jordan algebra). The tools needed from affine group schemes will be reviewed too.

Résumé : We establish extensions of some important features of affine theory to A1-type affine reflection systems (extended affine root systems). We present a positivity theory which decomposes in a natural way the non-isotropic roots into positive and negative roots, give an extended version of the well-known exchange condition for the corresponding Weyl group, and finally give an extended version of the Bruhat ordering and the Z-Lemma. Furthermore, a new presentation of the Weyl group in terms of the parity permutations is given, this in turn leads to a parity theorem which gives a characterization of the reduced words in the Weyl group. All root systems involved in this work appear as the root systems of certain well studied Lie algebras.

Résumé : A classical construction of Atiyah assigns to a (real or complex) Lie group G and principal G bundle P over a manifold M, a Lie algebroid over M. The spirit behind our work is to put this work within an algebraic context, replace M by a scheme X and G by a ”simple” reductive group scheme over X (in the sense of Demazure-Grothendieck) that arise naturally with an attached torsor (which plays the role of P) in the study of Extended Affine Lie Algebras. Lie algebroids in an algebraic sense were also considered by Beilinson and Bernstein. We will explain how the present work relates to theirs. This is joint work with J. Kuttler and F. Quallbrunn.

Résumé : A une forme quadratique définie sur un corps de caractéristique différente de 2, on peut associer le motif de Chow de la quadrique projective définie par cette forme. Vishik a montré que les motifs de deux quadriques sont isomorphes si et seulement si les formes quadratiques sous-jacentes ont le même indice de Witt (c’est-à-dire contiennent le même nombre de plans hyperboliques) sur toute extension du corps de base. Le but de l’exposé, basé sur un travail commun avec Charles de Clercq et Maksim Zhykhovich, est d’expliquer comment on peut étendre ce résultat au contexte plus général des groupes algébriques, et pour les groupes de type classique, aux algèbres à involution associées.

Résumé : 

Let G be a connected, simply connected, simple, complex, linear algebraic group. Let P  be an arbitrary parabolic subgroup of G.  Let X= G/P be the G-homogeneous projective space attached to this situation. Let d ∈ H₂(X) be a degree. Let M_0,3 (X,d) be the (coarse) moduli of three pointed genus zero stable maps to X of degree d. We prove under reasonable assumptions on d that M_0,3 (X,d) is quasi-homogeneous under the action of G.

 

The essential assumption on d is that d is a minimal degree, i.e. that  d is a degree which is minimal with the property that q^d occurs with non-zero coefficient in the quantum product σ_u* σ_v  of two Schubert cycles σ_u and σ_v  where * is the product in the (small) quantum cohomology rinq QH*(X) attached to X. We prove our main result on quasi-homogeneity by constructing an explicit morphism which has a dense open G-orbit in M_0,3 (X,d) . To carry out the construction of this morphism, we develop a combinatorial theory of generalized cascades of orthogonal roots which is interesting in its own right.

Résumé : An arrangement of hyperplanes is a finite set of hyperplanes in a vector space of finite dimension. Given a hyperplane arrangement A in a vector space V, the Lie algebra of derivations tangent to the arrangement Der A consist of the derivations of S, the coordinate ring of V, that preserve each of the hyperplanes of A. This Lie algebra is a very useful invariant of the arrangement, since it is closely related to the geometry and combinatorics of the arrangement and the topology of its complement. In this talk I will present the associative algebra of differential operators of A, which is the associative algebra generated by Der A and S inside the algebra of endomorphisms of S, and I will show the computation of its Hochschild cohomology in some particular cases.

Résumé : Back in 2005, Berenstein, Fomin and Zelevinsky discovered a cluster structure in the ring of regular functions on a double Bruhat cell in a semisimple Lie group, in particular, SL_n. This structure can be easily extended to the whole group. The compatible Poisson bracket is given by the standard r-matrix Poisson-Lie structure on SL_n. The latter is a particular case of Poisson-Lie structures corresponding to quasi-triangular Lie bialgebras. Such structures where classified in 1982 by Belavin and Drinfeld. In 2012, we have conjectured that each Poisson-Lie structure on SL_n gives rise to a cluster structure, and gave several examples of exotic cluster structures corresponding to Poisson-Lie structures distinct from the standard one. In my talk I will tell about the progress in the proof of this conjecture and its modifications. Joint with M.Gekhtman and M.Shapiro.

Résumé : Les tableaux de Young portent une multiplication associative, décrite par l'algorithme de Schensted. Le monoïde ainsi obtenu est appelé plaxique. Il joue un rôle fondamental dans de nombreuses applications combinatoires et algébriques. On montrera que cette multiplication sur les tableaux est entièrement déterminée par un tressage sur l'ensemble (bien plus simple !) des colonnes. Ici un tressage est une solution ensembliste de l'équation de Yang-Baxter. Ce tressage s'inscrit également dans le cadre de la réécriture. Comme application, on identifiera la cohomologie de Hochschild du monoïde plaxique, qui résiste à toutes les approches classiques, à la cohomologie tressée des tableaux-colonnes, beaucoup plus accessible. Toutes les notions et constructions seront rappelées.

Résumé : On se donne un groupe algébrique G défini sur un corps local k, de caractéristique résiduelle p. Lorsque G est réductif, la théorie de Bruhat-Tits définit un complexe poly-simplicial X(G,k), ayant des propriétés de symétrie remarquables, appelé immeuble et une action de G(k) sur X(G,k) ayant de bonnes propriétés. En outre, la construction de Bruhat-Tits introduit des modèles entiers de G dont les points entiers correspondent à certains sous-groupes remarquables décrits par l'action de G(k) sur l'immeuble X(G,k). Dans cet exposé, après avoir introduit la théorie de Bruhat-Tits, on verra comment interpréter les sous-groupes compacts ou pro-p maximaux de G(k) au moyen de l'action de G(k) sur son immeuble et de ses modèles entiers. On évoquera quelques généralisations récentes de la théorie pour des groupes non réductifs.

Résumé : 

Joint work with S. Alsaody and A. Pianzola. In the first part of the talk we remind the definition of an R-equivalence (introduced by Manin), state the Tits-Weiss   conjecture on generation of structure groups of Albert algebras by U-operators and the Kneser-Tits conjecture for isotropic groups. In the second part of the talk we focus on computation of R-equivalence classes for groups of type E_6. As corollaries of our result we prove the Tits-Weiss conjecture and the Kneser-Tits conjecture for some isotropic groups of type E_7 and E_8.

Résumé : Soit G un groupe réductif sur un corps local. Les algèbres de Hecke de G sont un outil important pour l'étude des représentations de G. Ces algèbres sont associées à chaque sous-groupe ouvert compact de G. Deux algèbres jouent un rôle particulièrement important : l'algèbre de Hecke H_s sphérique, associée à un compact maximal et celle d'Iwahori-Hecke H_i, associée au sous-groupe d'Iwahori. Les groupes de Kac-Moody sont des généralisations des groupes réductifs. Grâce à des travaux de Braverman, Kazhdan et Patnaik puis à ceux de Bardy-Panse, Gaussent et Rousseau, ces deux algèbres ont été définies dans le cas des groupes de Kac-Moody sur des corps locaux. Dans cet exposé, on étudiera le centre de H_i. Lorsque G est réductif, des théorèmes de Bernstein et Satake montrent que le centre de l'algèbre de H_i est isomorphe à H_s. Lorsque G n'est plus réductif, le centre de H_i est plus ou moins trivial. On peut alors «compléter» H_i de manière à ce que son centre soit isomorphe à H_s.

Résumé : Dans leurs travaux fondateurs, Khovanov et Seidel ont utilisé la nature polymorphe du groupe de tresses usuel (i.e. de type A fini) et ses diverses définitions (présentation diagrammatique, mapping class group...) pour construire une action catégorique de ce groupe qui catégorifie la célèbre représentation linéaire de Burau. Le fait notable est que cette action catégorique détecte des propriétés topologiques plus fines ce qui assure sa fidélité contrairement à la représentation linéaire. Le but de cet exposé est de décrire une généralisation de leur approche à un autre groupe d'Artin, celui de type B - alias groupe de tresses du cylindre ou de type A affine étendu. Travail en commun avec Agnès Gadbled et Emmanuel Wagner.

Résumé : Affine Coxeter groups have a natural presentation as reflection groups on some affine space. Hence the set R of all its reflections, that is all conjugates of its standard generators, is a natural (infinite) set of generators. Computing the reflection length of an element in an affine Coxeter group means that one wants to determine the length of a minimal presentation of this element with respect to R. In joint work with Joel Brewster Lewis, Jon McCammond and T. Kyle Petersen we were able to provide a simple formula that computes the reflection length of any element in any affine Coxeter group. In this talk I would like to explain this formula, give its simple uniform proof and allude to the geometric intuition behind it.

Résumé : Expose dans le cadre de trimestre « Groupes algébriques et géométrisation du programme de Langlands » http://math.univ-lyon1.fr/homes-www/gille/schedule_doua.pdf Heure inhabituel

Résumé : I will explain a point of view which allows to treat functions with isolated singularities as geometric objects ("non-commutative spaces") as nice as smooth projective varieties. It is based on the theory of differential-graded categories and, in particular, on categories of matrix factorizations. This approach leads to interesting geometric invariants of singularities, both classical (similar to de Rham cohomology and Chern classes) and quantum (analogs of Gromov-Witten invariants and quantum cohomology).

Résumé : We extend the theory of sheaves on moment graphs due to Braden-MacPherson and Fiebig to the context of an arbitrary oriented equivariant cohomology h (e.g. to algebraic cobordism). We introduce and investigate structure h-sheaves on double moment graphs to describe equivariant oriented cohomology of products of flag varieties. We show that in the case of a total flag variety X the space of global sections of the double structure h-sheaf also describes endomorphism ring of the equivariant h-motive of X. This is a joint project with Martina Lanini and Rostislav Devyatov. ________________________ Expose dans le cadre de trimestre « Groupes algébriques et géométrisation du programme de Langlands » http://math.univ-lyon1.fr/homes-www/gille/schedule_doua.pdf Heure inhabituel

Résumé : 

Sur les sous-groupes paraboliques associés à un groupe réductif en caractéristique
p > 0 par Marion Jeannin:
Dans cet exposé je présenterai des résultats obtenus au cours de ma thèse et qui répondent
en partie à la question suivante : soient k un corps et G un groupe réductif au-dessus d’une k-courbe X, peut-on, de manière canonique, associer à G un de ses sous-groupes paraboliques ?
Il s’agit ici d’étendre la notion de (semi-)stabilité, définie par la théorie géométrique des
invariants, pour les points de X aux schémas en groupes réductifs.
De nombreuses généralisations de cette notion à ce cadre ont été développées, en caractéristique 0 lorsqu’elles coexistent (ce qui dépend d’hypothèses sur k et G)
elles sont équivalentes, alors qu’en caractéristique p > 0 la situation est plus complexe :
lorsqu’elles peuvent être considérées, toutes ces théories associent à G un de ses sous-groupes paraboliques.
Il s’agit ici de comparer les différents candidats qu’elles définissent. L’obtention d’un analogue du Théorème de Morozov (qui fournit une caractérisation des sous-algèbres paraboliques de Lie(G) en fonction de leur nilradical) en caractéristique positive permet une telle comparaison. De récents travaux de V. Balaji, P. Deligne et A. J. Parameswaran, puis de A. Premet et D. I. Stewart permettent l’obtention d’un tel analogue, les premiers par une approche uniforme qui requiert toutefois des conditions assez fortes sur le groupe considéré et la caractéristique du corps, les seconds à l’aide d’une étude de cas qui permet d’affaiblir drastiquement ces hypothèses.
Dans cet exposé je présenterai des résultats qui permettent d’adapter les outils développés
par V. Balaji, P. Deligne et A. J. Parameswaran de manière à obtenir une démonstration
uniforme d’un résultat qui approche le degré de généralité de celui obtenu par A. Premet et D. I. Stewart.






 

Résumé : 

Let Phi be a finite root system. A Phi-grading of a group G is
a family of subgroups of G satisfying certain axioms that
are inspired by the family of root subgroups in a Chevalley group.

In the 1990s Shi showed that the root subgroups of Phi-grading
are coordinatized by an associative ring if Phi is
simply laced, irreducible and of rank at least three.
For the remaining types there are only partial results available.

In my talk I will present some recent results about
Phi-gradings of groups which are motivated by the theory
of buildings and applications to rank one groups
of exceptional type. This is joint work with Richard Weiss.

Résumé : 

Travail en commun avec I. Kazhuba, voir

https://arxiv.org/abs/1910.06841

Résumé : 

We describe an algorithm which takes as input any pair of permutations and gives as output two permutations lying in the same right cell. The main feature of such an algorithm is that the Kazhdan-Lusztig variety corresponding to the input pair is isomorphic to the Kazhdan-Lusztig variety of the output pair, hence preserves the singularity type. This implies a negative answer to a question by Borho-Brylinki and Joseph from the Eighties. A negative answer had been already obtained by Williamson and relied on a computer calculation. Our algorithm provides an elementary way to recover Williamson's example and allows to show methodically that there is an infinite family of permutations
for which (a variant of) the property expected by Borho-Brylinki and Joseph fails. This is joint work with P. McNamara.
 

Résumé : 

Résumé : 

«Dans un travail en commun avec Roland Berger (ArXiv:1905.07906), nous avons adapté le calcul de
Koszul des algèbres quadratiques introduit par Berger-Lambre-Solotar aux algèbres de carquois, de façon à étudier le calcul de Koszul des algèbres préprojectives. Le calcul de Koszul des algèbres préprojectives a plusieurs
propriétés remarquables, dont une dualité sur tout le calcul de Koszul et des propriétés de type
Calabi-Yau. Cela nous a permis de généraliser la notion d'algèbre Calabi-Yau dans le cadre des
algèbres quadratiques, et d'obtenir une dualité de Poincaré entre homologie et cohomologie de Koszul pour ces algèbres. Enfin, nous avons calculé explicitement le calcul de Koszul des algèbres préprojectives qui ne sont pas Koszul.»

Résumé : 

Résumé : 

"Compactifications magnifiques d'immeubles de Bruhat-Tits''

La théorie de Bruhat-Tits associe à un groupe réductif G sur un corps valué k un complexe polysimplicial muni d'une action de G(k), appelé un immeuble affine, encodant
une grande quantité d'information sur sa structure. Cet espace joue un rôle analogue dans le cas non-archimédien de l'espace symétrique d'un groupe de Lie semi-simple réel.
On s'intéressera dans cet exposé au problème de compactifier ces immeubles de manière équivariante. Après des rappels sur la théorie des immeubles, on présentera deux constructions de compactifications, l'une due originellement à Berkovich reposant sur les variétés de drapeaux associées à G et l'autre due à Rémy, Thuillier et Werner reposant sur la compactification magnifique de G, ainsi qu'un théorème de comparaison entre les deux constructions généralisant des résultats précédents de Rémy, Thuillier et Werner. On expliquera au passage comment définir la compactification magnifique d'un groupe semisimple adjoint non déployé.

Résumé : 

The Hecke category is a categorification of the Hecke algebra
that plays an important role in (geometric) representation theory. Using this categorification, I will introduce a positive characteristic analogue of the famous Kazhdan-Lusztig basis of the Hecke algebra, called the p-canonical or p-Kazhdan-Lusztig basis. If time permits, I will mention connections between the p-Kazhdan-Lusztig basis and the representation theory of reductive algebraic groups.
Motivated by the very rich theory of Kazhdan-Lusztig cells,
I study cells with respect to the p-Kazhdan-Lusztig basis.
Throughout the talk, I will use SL_2 as a running example. In the end, I will give a complete description of p-Cells in finite type A and mention some interesting results in finite types B and C.

Résumé : 

Travail en commun avec Cyril Demarche. Soit F un corps. Soit G le groupe de Galois absolu de F. Soit i>=2 un entier, M un G-module fini, et c une classe dans le groupe de cohomologie galoisienne H^i(F,M). On se demande s'il existe une F-variété X, vérifiant la propriété suivante. Pour toute extension finie E/F, la présence d'un E-point sur X équivaut à l'annulation de la restriction de c à H^i(E,M). Supposons pour simplifier que F contienne assez de racines de l'unité, et que M=Z/dZ. Lorsque i=2, la réponse est bien connue, et fournie par les variétés de Severi-Brauer. Pour i arbitraire, et pour c un symbole pur, elle est donnée par les variétés de normes de Rost. Elles sont un ingrédient principal de la démonstration de la conjecture de Bloch-Kato par Voevodsky. J'expliquerai comment, dans le contexte général de la question ci-dessus, on peut construire une ind-variété X possédant la propriété requise.

Résumé : 

 

Soit G un groupe de Lie réel semisimple, A son sous-espace de Cartan (ou “tore déployé maximal”), W = N_G(A)/Z_G(A) son groupe de Weyl restreint. Considérons une représentation irréductible de dimension finie rho de G (agissant sur un espace V).

Alors W a une action bien définie sur le sous-espace V^L formé par les vecteurs de V fixés par le centralisateur de A, appelé MA ou L. Nous nous intéressons en particulier à l'action sur V^L du mot le plus long w_0 du groupe de Weyl (l'unique élément qui envoie les racines restreintes positives sur les racines restreintes négatives). Nous nous posons la question suivante : dans quels cas cette action est-elle non triviale ? (Cette question est motivée par une certaine question en dynamique des groupes de transformations affines.)

Cette question se décompose naturellement en deux parties : quelles sont les représentations pour lesquelles, déjà, V^L est non trivial ? et puis, parmi celles-ci, quelles sont celles où, en plus, w_0 agit non-trivialement sur V^L ? Dans le cas particulier où G est déployé, la première question est très facile, et nous avons trouvé la réponse à la deuxième, qui est : “presque toutes”. Dans le cas général, j’ai récemment obtenu la réponse à la première question, et pour la deuxième
question je dispose de résultats expérimentaux. Je vais présenter tous ces travaux.

Résumé : 

Abstract: le problème de Gelfand et Kirillov dans sa forme initiale étudie sous quelles conditions
l'algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie de dimension finie est rationnellement
équivalente à une algèbre de Weyl sur une extension transcendante pure du corps de base.
Des transpositions dans le contexte des groupes quantiques algébriques ont été aussi largement étudiées.
Le but de l'exposé est de présenter une formulation des problèmes d'équivalence birationnelle dans
la catégorie des superalgèbres. La condition d'intégrité conduit à centrer les résultats sur les algèbres
enveloppantes des superalgèbres de Lie orthosymplectiques osp(1,2n) et leurs formes quantifiées.
Il s'agit d'un travail en collaboration avec Jacques Alev.

Résumé : 

Résumé : 

Résumé : 

Lascoux and Schützenberger introduced the structure of plactic monoids after the works of Schensted and Knuth on the combinatorial study of Young tableaux. Using his jeu de taquin, Schützenberger gave the first correct proof of the Littelwood-Richardsonrule. This rule describes in a combinatorial way the multiplicity of a Schur polynomial in
a product of Schur polynomials. Recently, similar classes of monoids such as hypoplactic,  Chinese, Sylvester and patience sorting monoids are also introduced and have found several applications on algebraic combinatorics and representation theory.

 

In this talk, we define plactic-like monoids using the notions of string of columns constructed by insertion algorithms. We also introduce the notions of string data structures and morphism of string data structures and we explain how such a morphism can transfer combinatorial properties from a string data structure to another one, using sliding
algorithms and string of columns rewriting. Finally, we relate the string data structures of skew, Young and quasi-ribbon tableaux. In particular, we describe Schützenberger's jeu de taquin as a string of columns rewriting, showing that it is a morphism between the string data structures of skew and Young tableaux, using rewriting properties of the corresponding string of columns rewriting.

Résumé : 

Il est classiquement connu que les actions algébriques du groupe additif sur les variétés algébriques affines définies sur un corps de caractéristique nulle sont uniquement déterminées par leurs champs des vecteurs tangents aux orbites. Ces champs de vecteurs sont en correspondance bijective avec certaines dérivations de l'anneau de fonctions de la variété, appelées dérivations localement nilpotentes, caractérisées par la propriété d'être "algébriquement intégrables" au sens que leurs séries exponentielles formelles associées sont à valeurs polynomiales. La riche théorie algébrique des dérivations localement nilpotentes qui a été développée durant les trente dernières années fournit des outils puissants permettant de comprendre la structure des variétés affines. Je commencerai par dresser un panorama des principaux résultats structurels et applications désormais classiques de cette théorie et de quelques développements plus récents. On verra ensuite comment certaines modifications adéquates de la notion d'intégrabilité permettent d’étendre ce type de correspondance algébro-géométrique pour décrire en terme de dérivations les actions du groupe additif d'une part de façon uniforme sur toutes les variétés semi-affines (donc en particulier sur les variétés complètes) et d'autre part, de façon pour l'instant encore un peu "expérimentale", sur certaines classes de ind-schémas affines.

Résumé : 

Résumé : 

Résumé : 

Un système de racines elliptiques a été introduit par K. Saito
en 1985 et il a classifié certaines classes de tels systèmes. Après avoir faire un rappel bref, je présenterai notre résultat récent qui complète la classification des systèmes de racines elliptiques.

Résumé : 

Résumé : 

Résumé : 

Soit $\Lambda$ un groupe totalement ordonné non trivial.
En 1994, Bennett a introduit une notion de $\Lambda$-immeuble qui généralise celle des immeubles de Tits. Si K désigne un corps $\Lambda$-valué, Bennett a construit un $\Lambda$-immeuble de type $A_n$ sur lequel le groupe $\mathrm{SL}_{n+1}(\mathbb{K})$ agit naturellement.

Soit $\mathbf{G}$ un groupe réductif quasi-déployé sur un corps $\Lambda$-valué $\mathbb{K}$ (supposé hensélien lorsque $\mathbf{G}$ est non-déployé).
Le but des deux exposés est d'expliquer, d'une part pourquoi la construction de Bruhat-Tits se généralise pour la paire $(\mathbf{G},\mathbb{K})$ en un espace qui est un $\Lambda$-immeuble au sens de Bennett;
d'autre part, d'expliquer comment cette construction munit naturellement les $\Lambda$-immeubles ainsi obtenus de certaines projections naturelles dont les images et les fibres sont encore des $\Lambda'$-immeubles pour certains groupes totalement ordonnés $\Lambda'$ non triviaux.

Dans ce premier exposé, on s'intéressera plus spécifiquement à la construction du $\Lambda$-immeuble. suivant la méthode de Bruhat-Tits. Celle-ci repose sur l'utilisation de sous-groupes parahoriques et d'une décomposition de Bruhat. On expliquera comment construire un modèle d'appartement à partir d'un corps $\Lambda$-valué et ce qu'est l'action du tore maximal et de son normalisateur sur cet espace.
 

Résumé : 

Soit $\Lambda$ un groupe totalement ordonné non trivial.
En 1994, Bennett a introduit une notion de $\Lambda$-immeuble qui généralise celle des immeubles de Tits. Si K désigne un corps $\Lambda$-valué, Bennett a construit un $\Lambda$-immeuble de type $A_n$ sur lequel le groupe $\mathrm{SL}_{n+1}(\mathbb{K})$ agit naturellement.

Soit $\mathbf{G}$ un groupe réductif quasi-déployé sur un corps $\Lambda$-valué $\mathbb{K}$ (supposé hensélien lorsque $\mathbf{G}$ est non-déployé).
Le but des deux exposés est d'expliquer, d'une part pourquoi la construction de Bruhat-Tits se généralise pour la paire $(\mathbf{G},\mathbb{K})$ en un espace qui est un $\Lambda$-immeuble au sens de Bennett;
d'autre part, d'expliquer comment cette construction munit naturellement les $\Lambda$-immeubles ainsi obtenus de certaines projections naturelles dont les images et les fibres sont encore des $\Lambda'$-immeubles pour certains groupes totalement ordonnés $\Lambda'$ non triviaux.
 

Résumé : 

En théorie des représentations, de nombreuses familles de catégories linéaires sont définies par générateurs
et relations diagrammatiques. L'une des questions principales dans l'étude de ces catégories est de calculer des bases
linéaires des espaces de morphismes. Dans cet exposé, nous présentons une méthode issue de la théorie de la réécriture
algébrique permettant d'approcher ces problèmes. Nous introduirons les propriétés fondamentales de terminaison et de
confluence pour des systèmes de réécriture de mots, et nous expliquerons comment ces deux propriétés permettent de
calculer des bases dans un contexte linéaire. Nous illustrerons ces constructions sur une famille d'algèbres définies par Khovanov, Lauda et Rouquier apparaissant dans un processus de catégorification d'un groupe quantique associé à une algèbre de Kac-Moody symétrisable. Enfin, nous introduirons des extensions de ces méthodes au cadre de la réécriture modulo, autorisant une partie axiomatique des relations à être non-orientée.

Résumé : 

Si $L/k$ est une extension de corps de degr\'e $m$, on consid\`ere suivant Gabidulin la m\'etrique dans $L^n$ d\'efinie par le rang sur $k$ des $n$-uplets. Les codes associ\'es sont utilis\'es pour le codage en r\'eseau.

De nombreuses notions et r\'esultats concernant les codes pour la distance de Hamming ont un analogue pour la m\'etrique du rang. Ainsi, plusieurs d\'efinitions des {\sl $r$-poids g\'en\'eralis\'es} pour cette m\'etrique ont \'et\'e
propos\'ees depuis 2012, dans le cas des corps finis puis pour $L/k$ galoisienne.

G\'en\'eralisant aux extensions finies quelconques l'\'etude des {\sl Rsupports} initi\'ee par Jurrius-Pellikaan pour les extensions galoisiennes, nous pr\'esentons une preuve que ces diff\'erentes d\'efinitions co\"\i ncident si $n\leq m$.
Un argument cl\'e utilisera la g\'eom\'etrie alg\'ebrique.

Résumé : 

Résumé: En algèbre commutative ou en géométrie algébrique, on s’intéresse souvent au comportement asymptotique de la fonction de Hilbert d’une algèbre graduée sur un corps, qui associe à chaque entier naturel $n$ la dimension de la composante homogène de degré $n$. Dans le cas où l’algèbre est de type fini sur son corps de base, il est bien connu que la fonction de Hilbert est équivalente à un polynôme lorsque $n$ tend vers l’infini. Des subtilités apparaissent lorsque l’algèbre n’est pas de type fini — ceci se produit souvent en géométrie algébrique ou arithmétique. En utilisant une comparaison aux algèbres de semi-groupes, Kaveh-Khovanskii et Lazarsfeld-Mustaţă ont pu décrire le comportement asymptotique d’une sous-algèbre gradué d’une algèbre gradué de type fini et intègre, sous l'hypothèse que le corps des fractions de degré $0$ admet une valuation de feuilles unidimensionnelles. Cette hypothèse implique par exemple que ce corps des fractions de degré $0$ est géométriquement intègre sur le corps de base. Dans cet exposé, j’expliquerai comment la méthode arithmétique permet d’enlever cette hypothèse, où un variant birationnel du 14e problème de Hilbert joue un rôle techniquement important. Il s’agit d’un travail en commun avec Hideaki Ikoma (Université Shitennoji).

Résumé : 

Titre :Modèle des chemins de Littelmann et polytopes Mirkovic-Vilonen

Résumé : D'un côté, depuis 1994, le modèle des chemins de Littelmann est un outil combinatoire qui décrit la théorie des représentations d'une algèbre de Kac-Moody (symétrisable). Les chemins sont des applications continues linéaires par morceaux dans un espace vectoriel réel A de dimension finie dont une base est formé par les poids fondamentaux de l'algèbre. D'un autre côté, premièrement issus de travaux de Mirkovic et Vilonen, les polytopes MV sont aussi définis dans le cadre des algèbres de Kac-Moody par Baumann, Kamnitzer et Tingley en 2014, comme des polytopes dans A. Ces deux notions sont des exemples de la structure de cristal introduite par Kashiwara. Ainsi, abstraitement, il existe une bijection entre ces deux ensembles. Cependant, l'espace vectoriel A avec sa structure d'hyperplans est aussi l'appartement témoin de la masure associée à la situation. Les masures sont des généralisations des immeubles de Bruhat-Tits. Grâce à la structure géométrico-combinatoire de la masure, notamment la notion de rétraction, il est possible de décrire les polytopes MV directement à partir des chemins. Il s'agit d'un travail en commun avec Tristan Bozec.

 

Résumé : 

On dit qu'une action birationnelle d'un groupe est régularisable si, sur un modèle convenable, elle est par automorphismes de variété. Ici un modèle n'est pas supposé projectif/complet. Pour un groupe ayant la propriété FW, on montre que toute action birationnelle est régularisable. La propriété FW (qu'on introduira) est une restriction combinatoire/géométrique sur les actions (abstraites) d'un groupe donné, et est notamment satisfaite par SL(n,Z) pour n>2. Notre approche consiste à montrer (grâce au formalisme des actions partielles) que l'action birationnelle de Bir(X) sur X, pour toute variété X, s'étend en une action par automorphisme sur une complétion X' de X, qui est un schéma (non séparé) localement isomorphe à X, et contenant X comme ouvert dense. Pour un sous-groupe G de Bir(X) avec la propriété FW, on construit dans X' un ouvert G-invariant dense qui est une "vraie" variété.

Résumé : 

Superconformal algebras are simple Lie superalgebras with a centerless Virasoro subalgebra which are Z-graded by the Cartan element of the Virasoro and have a global bound on the dimensions of components. Superconformal algebras play an important role in Conformal Field Theories. Kac and van de Leur gave a conjectural list of superconformal algebras. We will review progress made towards this classification by Fattori-Kac and Kac-Lau-Pianzola. These partial results were obtained under an additional assumption of locality. Using the machinery of cuspidal modules developed by Billig-Futorny, we prove that superconformal algebras are indeed local.

Résumé : 

In the first part of my talk I am going to speak about Schubert calculus and present results on the decomposition  of Schubert divisors into a linear combination of Schubert varieties.
The second part deals with  applications of  these results to the theory of torsors and their canonical dimensions.

Résumé : 

es représentations irréductibles d'une algèbre de Lie semi-simple sont paramétrées par les points entiers d'un cône simplicial. Ainsi, le support de la décomposition du produit tensoriel de paires de telles représentations est une partie de ce cône qui a le bon goût de former un semi groupe. La description de ce semi-groupe est un sujet classique depuis les travaux de Weyl et Horn. On arrive aujourd'hui à une description satisfaisante de cet objet bien qu'incomplète.

                La situation analogue pour les algèbres de Kac-Moody symétrisables sera considérée dans cet exposé.

Nous tenterons de montrer le parallèle dans les résultats et de souligner quelques différences.

Résumé : 

Résumé : 

Titre : Schémas de contraction pour les algèbres différentielles graduées

En 1992, Kenneth Brown a introduit les schémas de contraction comme un mécanisme permettant, dans un CW complexe, d'éliminer des cellules qui sont redondantes, c'est-à-dire dont la suppression ne change pas le type d'homotopie. Cela lui a notamment permis de donner une interprétation plus topologique à la résolution d'Anick-Squier d'un monoïde admettant une bonne notion de formes normales. La méthode de Brown a ensuite été redécouverte sous le nom de théorie discrète (ou algébrique) de Morse.

Dans cet exposé, nous présenterons une version des schémas de contraction adaptée aux algèbres associatives différentielles graduées. Puis nous illustrerons cette méthode pour retrouver la résolution minimale des monoïdes d'Artin, un cas particulier d'une construction de Dehornoy-Lafont. Enfin, nous esquisserons une généralisation étendant cette dernière construction à une plus grande classe d'exemples.

Résumé : 

This is joint work with David Cushing and George Stagg.

Prolog is a very unusual programming language, which was developed by Alain Colmerauer in one of the buildings on the way to the CIRM in Luminy. It is not fundamentally iterative in the way that, for example, GAP and Magma are. Instead it operates by taking a list of axioms as input, and responds at the command line to queries asking the language to achieve particular goals. It gained some notoriety by beating contestants on the game show Jeopardy in 2011. It is also the world's fastest sudoku solver. I will describe some recent Prolog investigations to search for new simple Lie algebras over the field GF(2). We were able to discover some new examples in dimensions 15 and 31 and extrapolate from these to construct two new infinite families of simple Lie algebras.

Résumé : 

(attention horaire exceptionnel) 

Le but de cet exposé est de donner une réponse à la question suivante : Étant donné deux groupes algébriques lisses et connexes G et H, une variété lisse X, un G-torseur Y --> X et un H-torseur Z --> Y, peut-on trouver une extension E de G par H telle que la flèche composée Z --> X admette une structure de E-torseur ?

Cette question est apparue récemment dans divers contextes, mais malheureusement elle a été traitée à chaque fois de façon "ad hoc". Dans un travail en commun avec Diego Izquierdo et Mathieu Florence, on a fait une étude systématique de cette question, du moins sur un corps de caractéristique 0. On donnera alors dans l'exposé des exemples où la réponse est négative, ainsi que des hypothèses supplémentaires sur les groupes G et H qui font que la réponse soit positive.

Résumé : 

(travail avec Vladimiro Benedetti) Etant donnés un groupe algébrique réductif G, une G-variété homogène projective rationnelle X de groupe de Picard 1 et une G-representation V, quelles sont les paires (X,V) où X est plongé dans P(V) de maniere G-equivariante telles que la section hyperplane générale de X dans P(V) est stable par un tore maximal de G ? 

Dans mon exposé, j'expliquerai dans un premier temps comment obtenir toutes ces paires et dans un seconde partie comment utiliser l'action du tore maximal pour obtenir des informations sur la geometrie des sections hyperplanes ainsi obtenues. Nous obtenons notamment une description de l'algèbre de cohomologie et des formules de multiplication par la classe hyperplane en cohomologie quantique ce qui permet de déduire des résultats de semi-simplcité dans certains cas.

Résumé : 

Une caractérisation combinatoire d'algèbres d-Koszul et (D,A)-empilées dont la cohomologie satisfait aux conditions de finitude (Fg). 


Résumé : 
Les variétés de support pour les algèbres ont été introduites par Snashall et Solberg en 2004 en utilisant la cohomologie de Hochschild. Afin qu'elles aient de bonnes propriétés, telles que celles des variétés de support des groupes, Erdmann, Holloway, Snashall, Solberg et Taillefer ont ensuite introduit des conditions de finitude (Fg) sur la cohomologie de Hochschild. Par exemple, sous la condition (Fg), les variétés de support permettent de caractériser les modules périodiques et ceux dont la variété est une droite. 
La condition (Fg) a été étudiée et caractérisée de plusieurs manières depuis et des exemples d'algèbres qui satisfont à (Fg) ont été construits. Mais elle n'est pas facile à vérifier en pratique. Dans cet exposé, nous donnerons une condition nécessaire et suffisante facile à vérifier pour qu'une algèbre monomiale qui est d-Koszul ou, plus généralement, (D,A)-empilée, satisfasse à la condition (Fg). Ceci est un travail en commun avec Ruaa Jawad et Nicole Snashall. 
 

Résumé : 

Résumé : Un sous-groupe de Borel d’un groupe linéaire algébrique complexe
est défini comme étant un sous-groupe maximal parmi les sous-groupes
fermés connexes résolubles. Un résultat classique de Borel affirme
que de tels sous-groupes sont tous conjugués.
Le groupe de Cremona complexe est le groupe des transformations birationnelles
du plan projectif complexe. Algébriquement, ce groupe correspond au groupe
des C-automorphismes du corps des fractions rationnelles en deux indéterminées C(x,y).
Demazure et Serre ont expliqué comment munir ce groupe d’une topologie
naturelle (appelée la topologie de Zariski). Dès lors, on peut définir les sous-groupes
de Borel du groupe de Cremona en utilisant la même définition que dans le cas
des groupes linéaires algébriques. Nous décrirons ces sous-groupes.
Plus précisément, nous montrerons (dans les très grandes lignes) qu’un sous-groupe de Borel
du groupe de Cremona a pour rang 0,1 ou 2 (on définit le rang comme étant la dimension
maximale n d’un sous-tore (C^*)^n). Si le rang vaut 1 ou 2, il n’y a, à conjugaison près,
qu’un seul sous-groupe de Borel. Si le rang est nul, on a une bijection entre les classes
de conjugaison des sous-groupes de Borel de rang 0 et les courbes hyperelliptiques
(abstraites) de genre au moins un. Cette description répond "dans l’esprit" à une question
de Popov. Il s’agit d’un travail effectué en collaboration avec I. Hedén.

Résumé : 

Résumé : 

Sur les corps de caractéristique p>0, l'algèbre de Lie d'un groupe ne donne pas autant d'information qu'en caractéristique 0. 
Cependant, une structure supplémentaire appelée 'p-application' nous permet de reconstruire au moins les noyaux de Frobenius du groupe. 
Dans cet exposé, nous donnerons les définitions et les propriétés essentielles pour mieux comprendre les 'p-applications', puis nous allons 
décrire le lieu restreignable de l'algèbre de Lie universelle (i.e. le lieu où elle admet une p-application), et l'espace de modules des
p-algèbres de Lie sur la stratification applatissante de son centre (car nous verrons que ce dernier joue un rôle clé). Enfin, nous 
revisiterons l'exemple classique de l'espace de modules L_3 des algèbres de Lie de rang 3 en montrant qu'il est représentable sur l'anneau des entiers.
En utilisant la très jolie théorie de la liaison, nous montrerons qu'il est plat, de présentation finie, avec deux composantes irréductibles plates sur Z,
avec des fibres géométriques intègres et Cohen-Macaulay. Grâce à cette description de L_3 et grâce à une extension de l'équivalence de catégorie 
classique entre les groupes de hauteur 1 et les p-algèbres de Lie, nous pourrons décrire l'espace des modules des groupes algébriques de hauteur 1 d'ordre p^3.

Résumé : 

"Réécriture opéradique et Koszulité''

Résumé : 

Titre: Dualité de Poincaré pour les algébroïdes de Hopf.

 

Résumé: 
La notion d’algébroïde de Hopf généralise la notion d’algèbre de Hopf aux cas où la base n’est plus nécéssairement commutative. 
Nous expliquerons une dualité de Poincaré pour les algébroïdes de Hopf avec une antipode bijective. Cette dualité inclut la dualité de Poincaré pour la cohomologie de Hochschild due à Van Den Bergh. Elle permet aussi de retrouver et de généraliser   une  dualité de Poincaré  pour la cohomologie  de Poisson.

Résumé : 

Résumé:

Les bimodules de Soergel constituent une catégorie monoïdale remarquable qui catégorifie l’algèbre de Iwahori-Hecke d'un groupe de Coxeter arbitraire. Ces objets généralisent la cohomologie d’intersection équivariante d’une variété de Schubert et ont permis une preuve générale de la positivité des polynômes de Kazhdan-Lusztig, en interprétant ceux-ci comme dimensions graduées de certaines filtrations adéquates des bimodules en question. On peut également utiliser ces bimodules pour construire une catégorification du groupe d’Artin-Tits associé.

Il existe diverses motivations à la construction d’une catégorie de bimodules de Soergel pour les groupe de réflexions complexes (qui généralisent les groupes de Coxeter finis). On peut par exemple se demander si, comme dans le cas des groupes de Coxeter, l’on peut construire et utiliser une telle catégorie pour catégorifier le groupe de tresses associé au groupe de réflexions complexe.

Nous présentons la construction d’une catégorie de bimodules de Soergel pour la plus petite famille de groupes de réflexions complexes qui ne sont pas des groupes de Coxeter, à savoir les groupes cycliques. L’anneau de Grothendieck scindé de la catégorie obtenue fournit une extension, génériquement semi-simple, de l’algèbre de Hecke du groupe cyclique. Nous présentons également un résultat similaire en type A_2. Il s’agit d’un travail en commun avec Anne-Laure Thiel.
 

Résumé : 

 

Dans cet exposé je donnerai un procédé pour construire des sous-variétés lagrangiennes de variétés carquois. Je m'inspirerai d'outils de géométrie symplectique pour définir de telles sous-variétés, a priori nouvelles, par exemple dans le schéma de Hilbert de points sur le plan. La construction généralise les algèbres différentielles graduées de Ginzburg (analogue 'dérivé' des algèbres préprojectives), et on verra que le pendant algébrique des variétés lagrangiennes consiste en des structures dites Calabi-Yau.
Le travail reporté a été réalisé avec Damien Calaque et Sarah Scherotzke.

Pour rejoindre cet exposé, cliquez ici

 

Résumé : 

We provide a geometric construction for the equivalence between the category of smooth affine group schemes over the ring of dual numbers k[ε] and the category of
extensions 1 → Lie(G) → E → G → 1 where G is a smooth affine group scheme over k. The equivalence is given by Weil restriction, and we provide a quasi-inverse which we call Weil
extension. As an application, we establish a Dieudonné classification for smooth, commutative, unipotent group schemes over k[ε] when k is a perfect field.

Résumé : 

We introduce topological rewriting systems as a generalisation of abstract rewriting systems, where we replace the set of terms by a topological space. Abstract rewriting systems correspond to topological rewriting systems for the discrete topology. We introduce the topological confluence property as an approximation of the confluence property, and use it to characterise standard bases in terms of rewriting theory. Using a representation of linear topological rewriting systems with continuous reduction operators, we also interpret the topological confluence property in terms of lattice operations. Finally, we investigate duality for reduction operators that we relate to series representations and syntactic algebras, from which we deduce a duality for proving that an algebra is syntactic or not.

 

Résumé : 

On propose une construction de réseaux  à partir de codes polynomiaux (tordus), en associant une forme bilinéaire à des quotients d'une algèbre commutative ou  d'une algèbre cyclique. On donne également un critère pour obtenir l'unimodularité d'un tel réseau. Cela fournit des réseaux unimodulaires munis d'une structure multiplicative.

Résumé : 

Title: Calibrated representations of cyclotomic Hecke algebras 
at roots of unity 

Abstract: The cyclotomic Hecke algebra is a "higher level" version
 of the Iwahori-Hecke algebra of the symmetric group. It depends on
 a collection of parameters, and its combinatorics involves 
multipartitions instead of partitions. We are interested in the case
 when the parameters are roots of unity. In general, we cannot hope
 for closed-form character formulas of the irreducible representations.
 However, a certain type of representation called "calibrated" is
 more tractable: those representations on which the Jucys-Murphy 
elements act semisimply. We classify the calibrated representations 
in terms of their Young diagrams, give a multiplicity-free formula
 for their characters, and homologically construct them via BGG 
resolutions. This is joint work with Chris Bowman and José Simental. 

Résumé : 

Les groupes finis simples sont connus pour être engendrés par des paires d’éléments bien choisies. On peut se poser la même question avec des groupes topologiques : que peut-on espérer comme partie engendrant un sous-groupe dense ? Évidemment, la réponse dépend des groupes considérés ; on y répondra partiellement pour des groupes de matrices non archimédiens, et on évoquera les nombreuses questions ouvertes dans le domaine.

 

Résumé : 

Résumé :

Les surfaces affines normales complexes munies d'une action du tore complexe $\mathbb{C}^*$ sont décrites par Flenner et Zaidenberg en 2002 à l'aide de diviseurs à coefficients rationnels sur une courbe régulière. Ce résultat est étendu en 2006 par Altmann et Hausen au cas d'actions de $(\mathbb{C}^$)^n$ sur des variétés affines normales complexes à l'aide de diviseurs à coefficients polyédraux sur un certain quotient rationnel.

Dans le cas réel, un tore est un produit de copies de $\mathbb{R}^*$, du cercle $\mathbb{S}^1$ et de la restriction de Weil de $\mathbb{C}^*$. En utilisant la description de Altmann et Hausen et des outils de descente galoisienne, nous donnerons une description des variétés affines normales réelles munies d'une action d'un tore réel.

Résumé : 

We will review recent and classical results on the representations of finite dimensional Jordan algebras and superalgebras. We will weigh the pros against the cons of using the Tits-Kantor-Koecher construction for this problem.

Résumé : 

Titre: Structure des classes de conjugaison 
dans les groupes de Coxeter


Résumé: Dans cet exposé, je présenterai une solution définitive 
au problème de décrire les classes de conjugaison d'un groupe 
de Coxeter arbitraire en termes de permutations cycliques. 
Après avoir motivé le problème et passé en revue son histoire, 
j'expliquerai l'idée-clef, de nature géométrique, derrière la preuve
 de sa solution.

L'exposé sera accessible en ligne, via le lien suivant:

https://webconf.lal.cloud.math.cnrs.fr/b/flo-k3r-y9a

Résumé : 

Titre : décomposition atomique des caractères

Résumé : La notion de cristal associé à une représentation irréductible d'une algèbre de Lie, introduite dans les années 90 par Kashiwara, Lusztig et Littelmann, donne une description combinatoire simple du caractère associé à cette représentation. La partie dominante de ce caractère admet une graduation subtile où les dimensions des espaces de poids sont remplacées par leurs q-analogues naturels (polynômes de Kostka, q-analogues de Lusztig). Le but de l'exposé sera de présenter un modèle combinatoire pour la partie dominante de ces caractères. Ce modèle en donne une décomposition "atomique" : chaque atome étant la somme formelle des poids dominants inférieurs ou égaux à un poids dominant donné. Cette décomposition est conjecturalement compatible avec la graduation précédente pour les type classiques et j'expliquerai pourquoi la conjecture est vraie en type A. C'est un travail en commun avec C. Lénart (Albany USA).

 

Résumé : 

L'anneau des sections globales d'une variété polarisée sur laquelle agit un groupe algébrique réductif et connexe G est, dans le cas des variétés sphériques, un G-module sans multiplicité.
Cette propriété non seulement caractérise les variétés sphériques parmi les variétés projectives mais permet aussi d'encoder entièrement la structure de G-module de l'anneau total des variétés sphériques polarisées -- au moyen d'un objet combinatoire, le polytope moment.

Les variétés de drapeaux et les variétés toriques sont les exemples les plus connus et étudiés de variétés sphériques.

Dans mon exposé, je commencerai par rappeler, introduire proprement les notions et résultats mentionnés ci-dessus. Puis, j'expliquerai comment les polytopes moment permettent de classifier les variétés sphériques polarisées (travail en commun avec Pezzini & Van Steirteghem). Et pour finir, je mentionnerai quelques géneralisations possibles des polytopes moment conduisant, notamment, à devoir introduire la notion de champs sphériques (travail en cours).

Résumé : 

Le théorème de la pizza est l'énoncé suivant : si on divise un disque fermé D en 4n parts en le coupant par 2n droites également espacées qui se croisent en un point de D, et si on distribue alternativement les parts à deux convives, alors on obtient un partage égal. Je parlerai de généralisations de ce résultat en dimension supérieure et pour d'autres formes de pizza, et du rapport entre leur preuve et le calcul des caractères stables des séries discrètes de groupes réels.

Résumé : 

Modèle topologique pour les catégories dérivées d’algèbres aimables.

Résumé : 

The R-equivalence is an equivalence relation on points of algebraic varieties that was introduced by Yuri Manin and
proved to be very fruitful in the study of groups of points of algebraic groups. We propose a generalization of the notion of R-equivalence to schemes over arbitrary commutative rings that leads to natural extensions of several well-known results on R-equivalence for algebraic tori and simple algebraic groups to the case of reductive group schemes.  

Résumé : 

Several enumeration problems of plane partitions
reduce to evaluation of determinants or Pfaffians.
We give an example of a certain class of plane portions,
and consider how to transform the enumeration determent
into a Hankel determinant using generating function.
We also study Hankel Pfaffian evaluation
by means of the Selberg integral.

Résumé : 

Résumé : 

This talk is based on joint work with E. Bayer-Fluckiger. Let k be a number field, and L be an étale algebra over k with one cyclic factor. In this talk we will discuss the unramified Brauer group of the torus defined by the norm-one equation of L over k.  We will end the talk  with an application to local-global principles of norm equations.

Résumé : 

Résumé : 

Many cohomological invariants of algebraic groups are related to trace forms of algebras, including all the invariants of PGL4, G2, and F4 in mod 2 Galois cohomology. In the talk, I will discuss some examples of nonassociative (structurable) algebras with involution that play a role in constructing groups of type E6, E7, and E8, and show how to extract cohomological invariants from their trace forms. The hope is for these invariants to survive the constructions and produce invariants of exceptional algebraic groups. I will present some partial progress in that direction, as well as a surprising discovery of a degree 5 cohomological invariant of PGSp8 (or symplectic involutions of degree 8). This is based on joint work with Victor Petrov.

Résumé : 

Depuis 1998, un thème intéressant plusieurs auteurs (Erdmann et Snashall, Crawley-Bovey, Etingof et Ginzburg, Etingof et Eu, Eu et Schedler) porte sur les algèbres préprojectives et le calcul explicite de leur cohomologie de Hochschild. Il était naturel de distinguer le cas d'un carquois Dynkin du cas non Dynkin. Le cas Dynkin est celui de la dimension finie des algèbres, et on a pu alors décrire le calcul de Tamarkin-Tsygan (incluant plus de structures algébriques, comme un cup-produit). Cependant la dualité de Poincaré-Van den Bergh se réalise seulement dans le cas non Dynkin, les algèbres étant alors Calabi-Yau.

Dans cet exposé, je montrerai comment mettre à profit le fait que les algèbres préprojectives sont définies par des relations quadratiques et comment leur calcul de Koszul associé satisfait à une dualité de Poincaré, indépendamment de l'hypothèse Dynkin ou non. On en déduira une notion de Calabi-Yau adaptée à toute algèbre quadratique, appelée Koszul complex Calabi-Yau, en terme de catégories dérivées.

 C'est un travail en commun avec Rachel Taillefer, paru au JLMS en 2021.

Résumé : 

Résumé : 

Résumé : 

Let \Phi be a finite root system. A \Phi-graded group is a group G together with a family of subgroups (U_\alpha)_{\alpha \in \Phi} satisfying some purely combinatorial axioms. The main examples of such groups are the Chevalley groups of type \Phi, which are defined over a commutative ring and which satisfy the well-known Chevalley commutator formula. We show that if \Phi is of rank at least 3, then every \Phi-graded group is defined over some algebraic structure (e.g. a ring, possibly non-commutative or, in low ranks, even non-associative) such that a generalised version of the Chevalley commutator formula is satisfied. A new computational method called the blueprint technique is crucial in overcoming certain problems in characteristic 2. This method is inspired by a paper of Ronan-Tits.
 

Résumé : 

Une valuation est un objet déjà très étudié, objet moins connu, les préordres sont pourtant très proches des valuations. Dans un travail en collaboration avec Guillaume Rond, nous avons créé un dictionnaire entre valuations et préordres. Nous parlerons ici d'une partie de ce dictionnaire et nous terminerons par démontrer, grâce aux valuations, que l'ensemble des préordres d'un groupe est compact pour les trois topologies que nous définirons durant l'exposé.

Résumé : 

Résumé : 

Résumé : 

Nous résolvons deux problèmes ouverts dans la combinatoire 
de Coxeter-Catalan.  Premièrement, nous introduisons une famille
 d'objets non-croisés rationnels pour tout groupe de Coxeter fini. 
 Deuxièmement, nous donnons une preuve uniforme pour les groupes 
de Weyl que ces objets non-croisés sont comptés par le nombre rationnel 
de Coxeter-Catalan, en utilisant la théorie des caractères de l'algèbre
 de Hecke associée.  Nous résolvons les mêmes problèmes pour les objets
 parking.  Ceci est un project joint avec Pavel Galashin, Thomas Lam,
 et Minh-Tam Trinh.

Résumé : 

Le premier objectif de cet exposé sera d'introduire le monde dendroidal, qui généralise le monde simplicial.
Au lieu de travailler avec la catégorie Delta, nous travaillerons avec la catégorie Omega, une catégorie d'arbres introduite par Moerdijk et Weiss. Les préfaisceaux sur Delta sont appelés ensembles dendroidaux et généralise les ensembles simpliciaux. J'expliquerai ensuite comment les opérades et les infini-opérades apparaissent dans ce contexte. Dans une seconde partie, j'introduirai une notion d'homologie pour les infini-opérades, via une construction bar.
Ceci est un travail en commun avec Ieke Moerdijk

Résumé : 

Les algèbres de Hecke constituent l'ingrédient algébrique commun aux principaux invariants de nœuds. Motivé par cette considération, j'expliquerai comment en donner une présentation agréable, qui s'appuie sur certains graphes trivalents plongés dans un carré. En écho à des considérations plus topologiques, il est intéressant de recoller deux côtés de ce carré pour obtenir des graphes sur un cylindre. Dans des travaux avec D. Rose et A. Sartori, nous avons conjecturé une certaine propriété de positivité pour ces graphes annulaires. Il s'avère que nous n'étions pas les premiers à conjecturer un tel phénomène : je tenterai de motiver les différentes versions de cette conjecture, tout en introduisant les notions d'algèbre diagrammatique nécessaires et en expliquant les conséquences en théorie des nœuds.

Résumé : 

 

Si G est un groupe algébrique simple, et X=G/P  une variété de drapeaux, on s'intéresse à l'adhérence des orbites d'un tore maximal T de G dans X.

Ceci est un travail en commun avec Alvaro Rittatore (Montevideo) .

Résumé : 

Résumé : 

Travail en commun avec G. Bellamy, B. Fu, D. Juteau, P. Levy & E. Sommers.
La notion de singularité symplectique a été introduite par Beauville en 2000 et
a depuis irrigué et influencé la théorie géométrique des représentations.
Dans cet exposé, nous renverserons la perspective et montrerons comment
la théorie des représentations permet de construire une nouvelle famille
de singularités symplectiques isolées de groupe fondamental local trivial.
Cela répond à une question posée par Beauville dans son article originel.

Résumé : 

Titre : On locally matrix algebras.

Abstract: Let F be a ground field. An associative F-algebra A is called a locally matrix algebra (after A.Kurosh) if for each finite subset of A there exists a subalgebra containing this finite subset which is isomorphic to the matrix algebra Mn(F) for some n.

We will discuss the tensor decompositions of locally matrix algebras and their Steinitz invariants, and
the properties of their automorphisms groups and their Lie algebras of derivations.

 

Résumé : 

Résumé : 

La notion algébrique de connexion, issue des travaux de A. Connes et M. Karoubi, permet de construire des morphismes de groupes de source le groupe des classes d’un anneau de Dedekind, à valeurs dans des quotients du
module des différentielles de Kähler de cet anneau. Pour construire ces mor-
phismes de groupes, une nouvelle description du groupe des classes est néces-
saire. Nous décrirons ces morphismes dans trois situations classiques de théo-
rie algébrique des nombres : réduction modulo un nombre premier, extension
et restriction des scalaires. Dans les trois cas, ces morphismes s’interprètent en terme de dérivées logarithmiques.

 

travail en collaboration avec A.J. Berrick (National University of Singapore).

Résumé : 

La variété permutoédrale Perm(n) est une sous-variété complexe de la variété de drapeaux complets Flags(n). C'est en fait la variété torique décrite par l'arrangement de tresses. Comme sous-variété,
Perm(n) possède une classe dans la cohomologie de Flags(n), classe que l’on peut alors développer dans la base des classes de Schubert. Les coefficients a_w obtenus, indexés par les permutations, sont des
entiers posittifs ou nuls car ils représentent la cardinalité de certaines intersections.  Déterminer explicitement les a_w est cependant délicat avec des méthodes géométriques. Notre but dans ce
travail est de donner une interprétation combinatoire pour ces coefficients, ainsi que certaines de leurs propriétés, en utilisant une approche algébrique et combinatoire. C'est un travail commun avec
Vasu Tewari (Université de Hawaï).

Résumé : 

 

Lifting G(q)-modules (joint work with Dr David Stewart)

 

Let G be a simple, simply connected algebraic group over an algebraically closed field k of

characteristic p > 0. Then, for the r^th Frobenius map F^r : G → G, the fixed point set of

the points, G(q) := G(k)^{F^r}, is a finite group of Chevalley type. Let {L_1, . . . , L_m} be a list of not

necessarily distinct simple G-modules which are G(q)-simple on restriction. Then by L_1/L_2 . . . /L_m we denote the finite length composition series of a finite-length module M.

 

We explicitly determine the bounds on r such that G(q)-modules with an arbitrary number of composition factors lift to the ambient algebraic group G. That is, we determine

r_0(p, \Phi, m), so that for any r >=r_0, any G(q)-module M of the form L_1/ . . . /L_m is the restriction of a G-module M^{\tilde} of the form L_1/ . . . /L_m.

Résumé : 

Joint work with A. Lourdeaux and A. Pianzola. We provide new evidence that Serre’s question whether cohomological invariants determine Albert algebras/groups of type F4 uniquely up to isomorphism might have a positive answer.

Résumé : 

Résumé : 

Titre : ``Attracteurs algébriques".

 

Résumé: Le but de cet exposé est d'introduire un formalisme simple et général dans le cadre d'actions de schémas en groupes diagonalisables sur des schémas ou des espaces algébriques.