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Résumé : Récemment, Benoist et Wittenberg ont introduit la « conjecture de Hodge entière réelle », une version de la conjecture de Hodge entière pour les variétés réelles. Malgré son nom, il s'agit d'une propriété qui tient pour certaines variétés projectives lisses, mais échoue en général. Il est difficile de comprendre la classe des variétés réelles qui satisfont la conjecture de Hodge entière réelle. Le but de cet exposé est de 1. Expliquer la conjecture de Hodge entière réelle. 2. Montrer qu'elle vaut pour plusieurs classes de variétés abéliennes réelles. 3. Expliquer pourquoi la preuve s'étend à d'autres corps non clos (tels que les corps finis), démontrant la version forte de la conjecture de Tate entière dans divers cas. 4. Terminer par quelques questions ouvertes. |
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Résumé : Les espaces projectifs sont les variétés projectives les plus simples, et leurs groupes des transformations birationnelles, appelé groupe de Cremona, sont très grand. En 1895 Enriques posait la question: est-ce que les groupes de Cremona contiennent des sous-groupes normaux non-trivials et propres? La réponse pour le groupe de Cremona du plan est positive (S. Cantat et S. Lamy, 2013), mais la preuve ne s’étend pas aux dimensions plus grandes. Je vais présenter le travail commun avec J. Blanc et S. Lamy, où construit des quotients des groupes de Cremona de l’espace projectif de dimension >3, qui nous donnes une infinité des sous-groupes normaux d’index 2. |
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Résumé : Dans cet exposé je présenterai un projet en commun avec Sara Angela, Filippini, Laurent Manivel et Fabio Tanturri sur les lieux de dégénérescence orbitaux. Ces lieux sont construits comme sous-variétés d'une variété ambiante à partir d'un modèle, qui est généralement une adhérence d'orbite dans un espace affine; ils généralisent les lieux de dégénérescence de morphismes entre fibrés vectoriels. Motivé par la construction de variétés de Fano, Calabi-Yau et hyperkhalériennes, je montrerai comment contrôler le fibré canoniques de ces lieux, en utilisant une résolution de leur faisceau structural. La construction sera rendue explicite par des exemples significatifs. |
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Résumé : Dans cet exposé nous étudierons les groupes algébriques connexes qui agissent sur des fibrations de Mori X \to Y avec X une variété rationnelle de dimension 3 et Y une courbe ou une surface. Nous verrons comment ces groupes algébriques peuvent être classifiés via l’application du programme du modèle minimal (MMP) et du programme de Sarkisov, et comment nos résultats permettent de retrouver l’essentiel de la classification des sous-groupes algébriques connexes de Bir(P^3) obtenue par Hiroshi Umemura lorsque le corps de base est le corps des nombres complexes. |
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Résumé : It has been known for some time that holomorphic symplectic varieties can be constructed from moduli of curves or sheaves on a four-dimensional hypersurface Y of degree 3 in projective space. By seminal work of Kuznetsov, this can be understood in terms of certain subcategories in the derived category of Y that behave like the derived category of a K3 surface. In the talk, I will try to give concrete geometric interpretations of these facts and, if time allows, report on more recent results of joint work with Nagai Y. and D. van Straten. |
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Résumé : For a compact manifold $M^m$ we shall consider the space |
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Résumé : Gaberdiel, Hohenegger and Volpato (GHV) characterized automorphism groups of K3 sigma models in terms of Mukai lattice and Leech lattice. Huybrechts gave a geometric interpretation of GHV Theorem in terms of derived categories of K3 surfaces and Bridgeland stability conditions on them. In this talk, I would like to characterize symplectic automorphism groups of cubic fourfolds as automorphism groups of certain K3 sigma models using Bridgeland stability conditions on Kuznetsov’s K3 categories due to Bayer, Lahoz, Macri and Stellari. |
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Résumé : Let $\mathbb{C}^*$ act on $\mathbb{C}^n$ with weights $(a_1, ..., a_n)$, such that the $a_i$'s are non-zero are not of the same sign. Then there are two non-empty stacky quotients $[\mathbb{C}^n / \mathbb{C}^*]$, denoted as $X(-)$ and $X(+)$. It is well-known that the spaces $X(+)$ and $X(-)$ are related by an elementary flip. The flip has a mirror description using Fukaya-Seidel category, developed by Kerr. Here, we give an alternative description of the flip, given by a window skeleton $L$ in the cotangent bundle of a cylinder $T^*( T^{n-1}\times R)$, that connects the skeleton $L(+)$ and $L(-)$ which are mirror to the quotient $X(-)$ and $X(+)$. This is inspired by the window-category approach to variation of GIT problem, following idea of Kontsevich and Diemer.
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Résumé : Le nombre de racines réelles d'un polynôme de degré d à coefficients réels dépend du choix du polynôme. Plus généralement, étant donné un fibré en droites L au dessus d'une courbe définie sur les réels, le nombre de zéros réels d'une section de L dépend du choix de la section. Dans l'exposé, on s'intéressera aux sections réelles d'un fibré en droites au dessus d'une courbe et on comptera les zéros réels d'une section choisie au hasard. |
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Résumé : I will discuss some questions in the cycle theory of moduli spaces of polarized irreducible holomorphic symplectic manifolds, such as generalized Frachetta conjecture and tautological conjecture. Besides, I will talk about the properties of the tautological ring and their applications. This is a joint work with Nicolas Bergeron. |
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Résumé : L’application d’Abel-Jacobi est un morphisme naturel qui associe à un cycle de codimension $n$ homologiquement trivial sur une variété complexe $X$, projective et lisse, un point d’un tore complexe défini en termes de la structure de Hodge sur la cohomologie singulière de $X$. Lorsque restreinte aux cycles algébriquement triviaux, l’image de l’application d’AJ définit un sous-tore naturellement équipé d’une polarisation, i.e. définit une variété abélienne complexe, appelée la jacobienne intermédiaire algébrique et dénoté $J^n_a(X)$. Si maintenant $X$ admet $K$ pour corps de définition, nous montrons que $J^n_a(X)$ est également définie sur $K$. Plus généralement, nous montrons que l’application d’Abel-Jacobi est $Aut(C/K)$-équivariante. Je mentionnerai plusieurs applications, notamment concernant l’étude du corps de définition du lieu d’annulation de fonctions normales associées à une famille de cycles algébriquement triviaux fibre-à-fibre. Il s’agit d’un travail en commun avec Jeff Achter et Yano Casalaina-Martin. |
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Résumé : Étant donnée une variété de contact V, on note G le revêtement universel du groupe des automorphismes isotopes à l'identité de V. Un théorème de Rybicki publié en 2010 affirme que G est un groupe parfait: tout élément f est le produit d'un nombre fini de commutateurs. Si ce nombre fini peut être majoré indépendamment de f, on dit que le groupe est uniformément parfait. La question qui nous occupe principalement est la suivante : pour quelles V le groupe G est-il uniformément parfait ? C'est le cas quand V est la sphère standard (à l'exception du cercle) d'après Fraser-Rosen-Polterovich 2017 et c'était le seul cas connu. En revanche, c'est faux si V est l'espace projectif d'après Givental 1990. J'expliquerai le résultat suivant obtenu avec Patrick Massot: G est uniformément parfait dès que V admet une décomposition en livre ouvert à pages flexibles. Cela fournit un lien entre les propriétés purement algébriques de G et la topologie de contact de V. Un ingrédient principal de la démonstration est le h-principe de Murphy concernant les plongements legendriens lâches. |
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Résumé : The formality conjecture for K3 surfaces, formulated by D.Kaledin and M.Lehn, states that on a complex projective K3 surface, the differential graded algebra RHom(F,F) is formal for any coherent sheaf F polystable with respect to an ample line bundle. In this talk, I will explain how to combine techniques from twistor spaces, dg categories and Fourier-Mukai transforms to prove this conjecture, and how to generalize it to derived objects. Based on joint work with Nero Budur. |
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Résumé : A morsification of a real plane singularity is a real deformation with the maximal possible number of hyperbolic nodes. Morsifications are an important tool for the study of Dynkin diagrams, monodromy, topology of the singularity link and other characteristics of singularities. In this talk I will address the problem of isotopy classification of morfisications of real semiquasihomogeneous singularities of type (3,k). I will show how to obtain this classification by combinatorial means via dessins d'enfants and how it can be encoded by wiring diagrams. I will also described the classification of these morsifications up to Reidemeister moves. |
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Résumé : Cohomology algebra of hyperkähler manifolds is Frobenius algebra and the total Lie algebra of Lefschetz sl(2)-triples acting on it is so(4,b_2-2) by results of Loojenga-Lunts and Verbitsky. I will discuss the generalization of the classic Kuga-Satake construction (joint with M.Verbitsky and A.Soldatenkov) which allows us to embed cohomology of hyperkähler manifolds to cohomology of some complex torus, and it is a morphism of Hodge structures . Also I will briefly explain some interesting corollaries. |
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Résumé : The “strong” Torelli problem asks whether a given isomorphism of Hodge structures between two compact Kähler manifolds X and Y is induced by a unique isomorphism between X and Y. The answer would be true if the action of the automorphism of X on its cohomology group is faithful. In this talk, we concerns the finite cyclic cover over a projective space branched along a smooth hypersurface. We will show that the automorphisms of cyclic coverings over complex numbers faithfully act on its cohomology group except a few cases. The proof is based on the deformation of automorphisms and the infinitesimal Torelli theorem for the cyclic coverings. In positive characteristic, the faithfulness problem can be reduced to characteristic zero. The reduction argument relies on the degeneration of the relative Hodge-de Rham spectral sequence for a smooth family of cyclic coverings.
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Résumé : A 3-manifold is said to be $SU(2)$-cyclic if every representation of its fundamental group into $SU(2)$ has cyclic image. We will use this notion to discuss several questions about Dehn surgery. These include a proof, free of any gauge theory or Floer homology, that infinitely many 3-manifolds with weight-one fundamental group cannot be constructed by Dehn surgery on a knot in $\mathbb{S}^3$ ; and the construction of one-cusped hyperbolic 3-manifolds that have many $SU(2)$-cyclic Dehn fillings. This is joint work with Raphael Zentner. |
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Résumé : En 1992, Viterbo proposa de nouveaux moyens d’étudier la dynamique hamiltonienne de $\mathbb{R}^{2n}$ en appliquant la théorie de Morse à l’étude des fonctions génératrices. Parmi ces résultats figurent une nouvelle preuve du théorème de non-tassement de Gromov (1985) ainsi que l’esquisse d’une preuve du théorème du chameau symplectique. Une partie importante de ce travail fut étendue à l’étude de la géométrie de contact de $\mathbb{R}^{2n}\times S^1$ par Sandon en 2011. Ceci permit à Sandon de retrouver le théorème de non-tassement de Eliashberg, Kim et Polterovich (2006). |
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Résumé : The derived category of coherent sheaves on a cubic fourfold has a subcategory which can be thought as the derived category of a non-commutative K3 surface. This subcategory was studied recently in the work of Kuznetsov and Addington-Thomas, among others. In this talk, I will present joint work with Bayer, Lahoz, Nuer, Perry, Stellari, on how to construct Bridgeland stability conditions on this subcategory. This proves a conjecture by Huybrechts, and it allows to start developing the moduli theory of semistable objects in these categories, in an analogue way as for the classical Mukai theory for (commutative) K3 surfaces. I will also discuss a few applications of these results. |
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Résumé : C'est connu que la structure de contact standard sur l'espace projectif réel de dimension cinq, obtenue par quotient de la structure de contact standard sur la sphère, est remplissable fortement mais pas de Weinstein. En étudiant les dégénérescences d'un espace de modules de sphères holomorphes, je montrerai qu'elle n'est pas remplissable de Liouville non plus, c'est à dire qu'elle n'admet pas de remplissage fort dont la forme symplectique est exacte. Il s'agit d'un travail en cours avec Klaus Niederkrüger. |
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Résumé : On present une demonstration directe du théoreme de Gromov sur non-squeezing symplectique. Notre approche n'utilise que des propriétés analytiques de l'integrale de Cauchy et se generalise dans le cas des espaces de Hilberts symplectiques. Ces resultats s'appliquent aux flow des operateurs de Schrödinger discrets. Il s'agit de travail en colaboration avec A.Tumanov (University of Illinois).
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Résumé : The Green-Griffiths-Lang-Vojta conjectures relate the hyperbolicity of an algebraic variety to the finiteness of sets of "rational points" over number fields. For instance, it suggests a striking answer to the fundamental question "Why do some polynomial equations with integer coefficients have only finitely many solutions in the integers?". Namely, if the zeroes of such a system define a hyperbolic variety, then this system should have only finitely many integer solutions. In this talk I will explain how to verify some of the algebraic, analytic, and arithmetic predictions this conjecture makes. The talk will be a mixture of arithmetic geometry and complex geometry.
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Résumé : Soit X une variété kählerienne compacte à courbure holomorphe sectionnelle négative. Le lemme d'Ahlfors-Schwarz montre que toute fonction holomorphe f: \C \to X est constante, ie X est Brody hyperbolique. Une conjecture célèbre de S. Lang prédit alors que toute sous-variété irréductible de X doit être de type général, c'est-à-dire que son fibré canonique est de dimension de Kodaira maximale. Je présenterai une preuve de cette conjecture dans ce cas particulier, en généralisant des travaux de Wu-Yau et Tosatti-Yang. Si le temps le permet, je donnerais également une version quasi-projective de ce théorème. |
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Résumé : J'expliquerai comment borner supérieurement la topologie d'un sous-complexe aléatoire dans un complexe simplicial, comment un empilement de simplexes disjoints permet d'améliorer ces bornes et comment un pavage permet d'obtenir de bons empilements. Il s'agit d'un travail en commun avec Nermin Salepci |
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Résumé : (en collaboration avec Patrick Massot)
Je vais expliquer des exemples de variétés de contact où le groupe des difféomorphismes isotopes à l'identité contient plusieurs composantes connexes des contactomorphismes. |
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Résumé : Nous présenterons tout d'abord la notion de submersion symplectique, un type d'applications entre variétés symplectiques généralisant les symplectomorphismes. Une motivation pour l'étude de ces fonctions vient du fait que le théorème de non-tassement de Gromov et sa vaste généralisation par Lalonde et McDuff s'énoncent simplement en termes de submersions symplectiques. Ce constat suggère un phénomène de non-tassement plus général pour ces applications. Nous discuterons de cet espoir et de la façon dont il découlerait de l'existence conjecturée d'une « représentation normale » pour les submersions symplectiques. |
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Résumé : Abstract: Log-symplectic manifolds are manifolds with a symplectic form that has logarithmic singularities. In this talk we give a classification of log-symplectic 4-manifolds which admit a ruling, i.e. a symplectic fibration with fiber the complex projective line. The proof is based on the study of moduli spaces of holomorphic curves |
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Résumé : In this talk, I will discuss joint work with Chiodo and Veniani investigating the mirror symmetry of Calabi-Yau hypersurfaces in weighted projective spaces. I will show how given such a hypersurface endowed with a finite order automorphism of a specific type, the traditional cohomological mirror statement can be both specialised and broadened to take into account the weights of the action of the automorphism and the cohomology of its fixed locus. The main tool is Berglund-Hubsch-Krawitz duality. When the automorphism is an involution, this allows us to construct generalisations of Borcea--Voisin orbifolds in any dimension and with any number of factors. For odd prime order automorphisms and dimension 2 orbifolds, this implies mirror symmetry for the associated lattice polarised K3 surfaces. |
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Résumé : The Seshadri constant of a polarized variety (X,L) at a point x measures how positive is the polarization L at x. If x is very general, the Seshadri constant does not depend on x, and captures global information on X. Inspired by ideas from the Geometry of Numbers, we introduce in this talk successive Seshadri minima, such that the last one is the Seshadri constant at a point, and the first one is the width of the polarization at the point. Assuming the point is very general, we obtain two results: a) the product of the successive Seshadri minima is proportional to the volume of the polarization; b) if X is toric, the i-th successive Seshadri constant is proportional to the i-th successive minima of a suitable 0-symmetric convex body. Based on joint work with Atsushi Ito. |
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Résumé :
La théorie de l'intégration convexe a été inventée dans les années 70 par Gromov. Elle permet de résoudre de vastes familles de relations différentielles au moyen d'une succession d'"intégrations convexes" appliquées à des sous-solutions. Elle a conduit récemment à la construction explicite de plongements isométriques C^1. Dans cet exposé, nous proposerons une formule alternative aux intégrations convexes. Nous verrons quelles sont ses avantages et dans quel sens elle permet de faire disparaître l'intégrale. À titre d'application, nous construirons une nouvelle immersion de l'espace projectif dans l'espace ambiant. |
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Résumé : Dans cet exposé, je vais formuler et discuter d'un point de vue mathématique quelques problèmes et résultats concernant les surfaces de Riemann, les courbes tropicales et leurs espaces de modules, qui émergent de l'idée de réaliser les amplitudes de Feynman comme limite à basse énergie des amplitudes en théorie des cordes, ainsi suggéré par les physiciens. Le lien est fourni par la topologie hybride qui relie le monde non-archimédien et tropical au monde archimédien. Ceci est un travail en commun avec S. Bloch, J. Burgos et J. Fresan. |
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Résumé : Nous nous intéressons aux éléments du groupe des difféomorphismes holomorphes des variétés kähleriennes complexes qui ont une "basse complexité". Ils peuvent être étudiés sous différentes angles : étude des automorphismes sans orbite périodique, équicontinuité, comportement des dérivées des itérations, automorphismes d'entropie topologique nulle... Pour ces derniers, la notion plus fine d'entropie polynomiale peut être définie pour mesurer la complexité. Cette notion était déjà étudiée dans quelques contextes dynamiques : systèmes hamiltoniens intégrables, homéomorphismes de Brouwer, flots géodésiques, homéomorphismes du cercle, etc. Dans cet exposé, je formulerai des résultats et des conjectures concernant des applications "simples" et leur entropie polynomiale dans le cadre holomorphe. Ceci est un travail en cours avec Serge Cantat. |
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Résumé : (collaboration avec Aleksandra Marinkovic) Dans sa thèse Yael Karshon a classifié les variétés symplectiques fermées en dimension 4 qui admettent une action du cercle. Sa preuve se base fortement sur la théorie de Morse. Dans notre travail en cours on veut généraliser cette classification aux variété à bord. Le problème principal consiste à comprendre comment la fonction de Morse se comporte près du bord de la variété. |
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Résumé : Le degré de la variété des sécantes d'une courbe projective est un sujet très classique en géométrie algébrique, dont la réponse est aujourd'hui connue. La même question pour les surfaces est au contraire beaucoup plus difficile. Le but du séminaire est de montrer que si la surface est plongée dans un espace projectif par un fibré en droites suffisemment ample (au moins 2-très ample), alors on peut donner une formule simple pour le degré de sa variété des sécantes. |
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Résumé : En 1971, Ax avait démontré un énoncé géométrique de transcendance, analogue à la conjecture
de Schanuel sur l'indépendance algébrique des valeurs de la fonction exponentielle,
et qui admet comme cas particulier un analogue géométrique du théorème de Lindemann-Weierstrass.
Il a récemment retrouvé une nouvelle actualité dans l'approche de la conjecture d'André--Oort proposée par Pila et Zannier,
où interviennent de tels énoncés pour la fonction j de Weierstrass et, plus généralement, pour l'uniformisation
des variétés de Shimura.
Dans un travail avec François Loeser, nous explorons cette question dans un contexte non archimédien
et démontrons un analogue du théorème d'Ax-Lindemann pour les uniformisations à la Mumford
des courbes de Schottky p-adiques. |
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Résumé : La classification des types d’isotopie réalisés par les courbes algébriques réelles d’un degré fixé dans le plan projectif réel est un sujet classique qui a connu un essor considérable depuis les années 1970. En revanche, en dehors des études concernants les surfaces de Hirzebruch et les surfaces de degré au plus 3 dans l'éspace projectif réel, à peu prés rien n’est connu dans le cas de surfaces ambiantes plus générales. Dans cet éxposé on presentera des resultas qui élargissent l’étude des types d’isotopie réalisés par les courbes algébriques réelles aux surfaces réelles minimales de del Pezzo de degré 2 avec partie réelle homéomorphe à l'union disjointe de 4 spheres. La difficulté de classifier les courbes algébriques réelles dans ces surfaces est liée au fait que les surfaces réelles minimales de del Pezzo de degré 2 sont non-toriques et avec partie réelle non-connexe; en revanche, toute courbe algébrique réelle dans ces surfaces réalise en homologie un multiple de la classe anti-canonique. On expliquera les méthodes employées pour classifier les types topologiques réalisés par des courbes algébriques réelles de classe “petite” en homologie. En particulier, on combinera l’application de résultats classiques, l’application des invariants de type Welschinger et l’utilisation de méthodes de dégénérescence ayant récemment trouvé des applications en géométrie énumérative. |
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Résumé : Pour un C^1 difféomorphisme f de l'anneau isotope à l'identité, l'indice de Maslov asymptotique est la limite de la vitesse angulaire des images des vecteurs tangents sous l'action du système dynamique linéarisée. Après avoir introduit la définition de l'indice de Maslov asymptotique, on en discutera des propriétés et on donnera des exemples. Dans le cadre des applications twist de l'anneau on étudiera la relation entre les valeurs de ce indice et certaines caractéristiques dynamiques de f. |
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Résumé : Le théorème de Kazhdan-Margulis implique que dans un groupe de Lie semi-simple G, l'ensemble des covolumes des réseaux de G admet une borne inférieure strictement positive. Dans un travail en commun avec Pierre-Emmanuel Caprace, nous étudions ce problème et certaines variantes dans le cadre de produits de groupes simples totalement discontinus. Le but de l'exposé sera de présenter quelques uns de ces résultats, et peut être également certains résultats intermédiaires, notamment l'étude de l'approximation d'un groupe G par des réseaux dans l'espace de Chabauty Sub(G) des sous-groupes fermés de G. |
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Résumé : The relative irregularity of a fibration from a surface S to a curve B is defined to be the difference between the irregularity of S and the genus of B. What we call nowadays "Xiao's Conjecture" (a slight modification of the original conjecture of Xiao) predicts a sharp bound for the relative irregularity in terms of the genus of the generic fiber. The conjecture is known to be true in some cases but it is safe to say that is widely open. I will talk about some recent ideas in order to approach the conjecture in the cases where the genus of the general fiber is small. In particular, I will talk about a work in collaboration with J.C. Naranjo and G.P. Pirola in which we proved the conjecture for one of the open cases: fibrations whose general fiber is a plane quintic curve. |
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Résumé : Consider a moduli space M parametrizing stable pairs of the form $(X, \sum a_i D_i)$ with $a_i$ $n$ positive rational numbers. Consider $n$ positive rational numbers $b_i$ with $b_i \le a_i$, and assume that the objects on the interior of $M$ are pairs with $K_X +\sum b_i D_i$ big. Then on the interior of $M$ one can send a pair $(X, \sum a_i D_i)$ to the canonical model of $(X, \sum b_i D_i)$. If $N$ is a moduli space of stable pairs with coefficients $b_i$ this gives a set theoretic map from an open substack of $M$ to $N$. We investigate when such a map can be extended to the whole $M$. Our main result is if the interior of $M$ parameterizes klt pairs we can extend the map, up to replacing $M$ and $N$ with their normalizations. The extension does not exist if above we replace the word normalization with seminormalizaton instead. This is joint with Kenny Ascher, Dori Bejleri and Zsolt Patakfalvi. |
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Résumé : Travail avec L. Fantini et M. Ruggiero. Nous discuterons de la caractérisation des singularités de surfaces sandwich en termes de leur link (archimédien et non-archimédien). |
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Résumé : Soit C une courbe complexe avec n points marqués x1,...,xn. Étant donné n entiers a1,...,an de somme nulle on peut se demander si le diviseur ∑aixi est principal sur C. Le lieu des courbes où il l'est forme une sous-variété de codimension g dans l'espace des modules des courbes à n points marqués. Nous expliquerons comment calculer la class d'homologie de cette sous-variété. Ceci est un travail commun avec F. Janda, R. Pandharipande et A. Pixton. |
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Résumé : Dans cet exposé, je m'intéresserai aux espaces d'Alexandrov de courbure minorée. Ces espaces métriques apparaissent notamment comme limite -au sens de Gromov-Hausdorff- de variétés riemanniennes de courbure sectionnelle uniformément minorée. S'ils sont relativement bien compris du point de vue topologique, c'est moins le cas du point de vue métrique. Je présenterai, en m'appuyant sur le cas des (hyper-)surfaces convexes, quelques résultats analytiques sur la régularité locale de ces espaces, vus comme des variétés riemanniennes (très) singulières. Il s'agit d'un travail en cours, en collaboration avec L. Ambrosio (SNS). |
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Résumé : We shall present some results on the convergence of sequences of morphisms between analytic Berkovich spaces. We prove that under suitable conditions on the source, any sequence of maps to an affinoid space admits a subsequence pointwise converging to a continuous map. We shall give some applications of this result to the dynamics of endomorphisms of the projective space. |
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Résumé : La géométrie symplectique est létude des difféomorphismes qui laissent une certaine 2-forme (symplectique) invariante. Dans les années 80, Eliashberg et Gromov ont prouvé un résultat de rigidité C0, qui permet en particulier de définir la notion dhoméomorphisme symplectique. Ces homéomorphismes symplectiques partagent certaines propriétés avec leurs cousins lisses, mais présentent tout de même certaines différences frappantes. Jexpliquerai une série de travaux avec L. Bukovski et C. Membrez, qui complètent les résultats connus de rigidité des sous-variétés co-isotrope, mais établissent la flexibilité de la majorité des sous-variétés. Ces résultats se basent sur une version qualitative de h-principe, valable en géométrie symplectique, que jexpliquerai. |
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Résumé : la conjecture des trois cusps d'Arnol'd porte sur le front des legendriennes
du projectivisé du fibré cotangent de la sphère de dimension 2. Elle dit que le
front d'une déformation générique d'une fibre a au moins trois cusps.
Je rappellerai rapidement des résultats de théorie microlocale des faisceaux
et je montrerai comment on peut en déduire la conjecture. |
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Résumé : Je commencerai par décrire le groupe des automorphismes polynomiaux de $\mathbb{C}^3$ qui préservent la structure de contact standard $\omega$; j'en déduirai quelques propriétés de groupe. Puis je m'intéresserai au groupe des transformations birationnelles de $\mathbb{P}^3_\mathbb{C}$ qui préservent $\omega$, je donnerai entre autres des propriétés géométriques de ses éléments. Il s'agit d'un travail en collaboration avec D. Cerveau. |
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Résumé : The canonical zero-cycle on a K3 surface S is the class of a point on a rational curve. Beauville and Voisin showed that the intersection of two divisors is proportional to the canonical cycle. They also showed that the second Chern class of S is proportional to the canonical class as well. Our goal is to give a new proof of the last fact. |
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Résumé : Je discuterai dans quelle mesure la géométrie d'une variété
algébrique pose des contraintes sur les actions de p-groupes dont elle
peut être munie, en particulier concernant le nombre de points fixes. |
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Résumé : A toute fonction génératrice pour une sous-variété legendrienne est associée un faisceau
dont le microsupport est la sous-variété en question. Dans le cas des noeuds legendriens dans l'espace
de contact standard R^3, j'expliquerai la réciproque : tout faisceau se relève en une fonction génératrice.
La démonstration n'utilise essentiellement que des énoncés bien connus de la théorie de Morse.
C'est un travail en commun avec Vivek Shende. |
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Résumé : Les périodes exponentielles sont une classe des nombres complexes incluant les valeurs spéciales de la fonction gamma et les fonctions de Bessel, la constante γ d'Euler, ainsi que d'autres nombres intéressants qui ne sont pas censés être des périodes au sens usuel de la géométrie algébrique. Cependant, on peut les interpréter comme les coefficients d'un isomorphisme de comparaison entre deux théories cohomologiques : la cohomologie de de Rham d'une connexion à singularités irrégulières et une cohomologie dite « à décroissance rapide ». Dans cet exposé, j'expliquerai comment ce point de vue permet de définir une catégorie tannakienne des motifs exponentiels « à la Nori » et de produire des groupes de Galois qui contrôlent conjecturalement les relations algébriques entre ces nombres. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Peter Jossen. |
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Résumé : Nous donnerons une définition du sous-gradient homologique d'une fonction à valeur réelle que nous comparerons à d'autres sous-gradients. Nous rappelerons ses principales propriétés et son intérêt pour les équations d'Hamilton-Jacobi ainsi que pour la géométrie symplectique. Enfin, nous étudierons le cas particulier des différences de fonctions convexes. Ce travail est une application de l'analyse microlocale des faisceaux introduite par Kashiwara et Schapira. On parlera en particulier de transformée de Legendre "toujours involutive" et de "différence" de Minkowski sur les convexes. |
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Résumé : La théorie de Hodge étudie les relations entre invariants topologiques et
holomorphes d'une variété projective complexe X. Les fibrés harmoniques
occupent un rôle central dans la correspondance entre invariants non
abéliens : représentations du groupe fondamental et fibrés de Higgs.
Dans mon exposé, j'exposerai les objets de la théorie de Hodge classique
et j'introduirai la notion de structure de Hodge lacée, qui offre un cadre
nouveau pour l'étude des fibrés harmoniques. |
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Résumé : J'exposerai des resultats en commun avec Mingmin Shen ou nous montrons que l'anneau de Chow de certaines variétés hyperKaehlériennes a une structure similaire a l'anneau de Chow des variétés abéliennes. Je commencerai par rappeler les resultats de Beauville concernant les variétés abéliennes et les résultat de Beauville et Voisin concernant les surfaces K3. Je me concentrerai ensuite sur deux exemples de variétés hyperKaehlériennes, a savoir le schéma de Hilbert des points de longueur n sur une surface K3 et la variété des droites sur une cubique lisse de dimension 4. |
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Résumé : Dans cet exposé je vais présenter une série de résultats, applications et problèmes ouverts liés à la hiérarchie de ramification double, un système intégrable associé à une théorie cohomologique des champs sur l'espace des modules des courbes qui utilise la théorie de l'intersection du cycle de ramification double. On va toucher la théorie de Gromov-Witten, la symétrie miroir, la théorie des champs quantiques intégrables et la quantification par déformations. La plupart du matériel vient d'une collaboration avec A. Buryak, B. Dubrovin et J. Guéré. |
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Résumé : In this talk, I will present some applications of convex integration — the tool used in order to prove
the celebrated Nash-Kuiper theorem. I will show how convex integration can be used to describe parallel parking
explicitly, what it has to do with an optimality question related to a „coin trick“ and how it leads to the construction
of knots with prescribed curvature. |
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Résumé : Un carquois Q est de type de représentation fini si il n'y a qu'un nombre fini de modules indécomposables sur Q - ces carquois correspondent aux graphes ADE d'après un théorème de Gabriel. Le type de Q est apprivoisé si, à rang fixé, ces modules forment des familles de dimension 1 au plus - ces carquois correspondent aux graphes ADE étendus. On sait que, sinon, Q est de type sauvage i.e. ces modules varient en familles de dimension arbitrairement grande.
Avec les mêmes définitions, si X est une sous variété fermée de l'espace projectif, on peut étudier le type de représentation (fini / apprivoisé / sauvage) de X selon le comportement des modules indécomposables sur l'anneau K[X] des coordonnés homogènes de X, ceci quitte à imposer une condition de minimalité de la cohomologie de ces modules (modules de Cohen-Macaulay).
J'illustrerai une méthode faisant appel à la géométrie de certains fibrés (dits "de Ulrich") ayant une propriété de génération extrémale pour classifier les variétés de type fini et modéré, avec quelques hypothèses sur K[X]. |
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Résumé : La torsion analytique holomorphe est un invariant spectral défini par Ray et Singer. Bismut et Vasserot ont calculé le comportement asymptotique de la torsion holomorphe associée à des puissances tensorielles croissantes d'un fibré en droites positif, puis ils ont ensuite étendu leur résultat au cas où les puissances du fibré en droites sont remplacées par les puissances symétriques d'un fibré positif (de rang quelconque). Ces résultats ont joué un rôle en géométrie d'Arakelov. La torsion holomorphe admet une généralisation dans le cas des familles de variétés : les formes de torsion analytique holomorphe. Dans cet exposé, nous généralisons les résultats de Bismut et Vasserot en présentant une formule asymptotique des formes de torsion associées à une famille de fibrés vectoriels holomorphes donnés par l'image directe de Lp, où L est un fibré en droites vérifiant une hypothèse de positivité le long des fibres. Une des clefs pour obtenir ce résultat est l'utilisation de la théorie des opérateurs de Toeplitz. |
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Résumé : On s'intéressera à un modèle naturel de sous-variété algébrique aléatoire de $\R \P^n$, obtenue comme lieu d'annulation d'un polynôme $P_d$ aléatoire de degré $d$. Nous présenterons deux résultats qui donnent les asymptotiques de l'espérance et de la variance du volume de ces sous-variétés, lorsque $d$ tend vers l'infini. Nous montrerons également que $(P_d)^{-1}(0)$ s'équidistribue dans $\R \P^n$ asymptotiquement, en un sens à préciser.
Plus généralement, ces résultats sont valables pour des sous-variétés aléatoires d'une variété projective réelle. Les asymptotiques ne dépendent alors de la variété ambiante que par sa dimension et son volume. |
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Résumé : On rapelle des résultats concernant la fonction zeta dynamique $\zeta(s)$ liée aux périodes des trajectoires périodiques d'un flot hyperbolique. Dans beaucoup de cas cette fonction admet un prolongement analytique pour $s_0-\epsilon < \Re s < s_0$, où $s_0$ est l'abscisse de convergence absolue de $\zeta(s)$. Comme exemples on traite le flot géodesique sur des variétés à courbure négative, le billard dans l'extérieur des obstacles disjoints strictement convexes, les surfaces hyperboliques etc. Cela implique une asymptotique de la fonction de comptage des périodes des trajectoires périodiques avec un reste exponentiellement petit. On étudie aussi la repartition des périodes dans des intervalles exponentiellement petits. Pour examiner des problèmes plus compliqués on doit étudier une function zeta $\zeta(s, z)$ dépendant de deux paramètres complexes et on présent des résultats concernant le prolongement analytique de $\zeta(s, z)$ obtenus en collaboration avec L. Stoyanov. |
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Résumé : La conjecture de la négativité bornée a été formulée par l'école italienne dès le début de la théorie des surfaces algébriques. Elle prévoit que pour une surface projective complexe lisse X, il existe une constante b telle que pour toute courbe C (réduite) sur X, l'auto-intersection de C vérifie C^2 >b. Même si on sait que cette conjecture est vérifiée par une surface donnée (par exemple le plan), on ne sait en général rien dire pour un éclatement (multiple) de cette surface. Les constantes de Harbourne ont été récemment introduites pour aborder cette question. Dans cet exposé, nous ferons le point des connaissances actuelles sur cette conjecture et présenterons nos résultats sur les surfaces abéliennes contenant des courbes elliptiques. |
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Résumé : Les variétés hyperkählériennes sont des généralisations en dimensions (paires) supérieures des surfaces K3. Verbitsky a démontré récemment un théorème de Torelli pour ces variétés, qui sont donc (dans certains cas) caractérisées par leurs périodes. Ce théorème permet de trouver des isomorphismes a priori inattendus entre certaines de ces variétés, comme les carrés de Hilbert des surfaces K3, les variétés de droites contenues dans une hypersurface cubique de dimension 4, les doubles sextiques EPW. Certains de ces isomorphismes étaient déjà connus grâce à des constructions géométriques directes, d'autres sont nouveaux. |
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Résumé : Considérons l’action d’un groupe de Lie compact connexe sur une variété complexe compacte $M$, ainsi que deux fibrés vectoriels équivariants $L$ et $E$ sur $M$, avec $L$ de rang 1. Le but de cet exposer est de donner des inégalités de Morse, dans l’esprit de celles de Demailly, pour la partie invariante de la cohomologie de Dolbeault des grandes puissances tensorielles de $L$, tordues par $E$. Pour cela, nous définissons une application moment par la formule de Kostant et puis la réduction de $M$ sous une hypothèse naturelle sur $\mu^{-1}(0)$. Nos inégalités font alors intervenir la courbure du fibré induit par $L$ sur cette réduction, et sont obtenues grâce à une étude du noyau de la chaleur. |
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Résumé : Cet exposé portera sur les variétés Lorentziennes de dimension au moins 3, localement modelées sur l'espace d'Einstein (analogue Lorentzien de la sphère conforme). Ces variétés sont appelées espace-temps conformément plats. Je m'intéresserai, en particulier, à celles qui sont globalement hyperboliques et maximales, deux propriétés naturelles en relativité générale. Les espace-temps conformément plat portent une structure conforme naturelle. Il s'avère que les seules géodésiques préservées, en tant que lieux géométriques, par transformations conformes sont les géodésiques isotropes appelées photons. Dans ce cadre, je définirai une notion de complétude des photons puis je décrirai des exemples d'espace-temps conformément plats contenant des photons complets. Je terminerai en énonçant quelques résultats de mon travail de thèse sur ces espace-temps.
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Résumé : Dans cet exposé, je vais annoncer une généralisation de la conjecture de Weinstein sur l'existence d'orbites périodiques de Reeb dans le cas où la forme de contact admet certaines singularités le long d'une surface de codimension 1. Je vais démontrer une version faible de cette conjecture pour des formes "génériques". Ceci est fait en reliant la dynamique de ces champs à la dynamique des champs de Beltrami (étudiés en hydrodynamique). Les résultats de Uhlenbeck sur les propriétés génériques des fonctions propres du Laplacian joueront aussi un rôle important. L'exposé est basé sur des travaux avec Eva Miranda (Universtiat Politècnica de Catalunya) et Daniel Peralta-Salas (ICMAT Madrid). |
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Résumé : |
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Résumé : Flows of G2-structures have been used as tools in the study of G2-geometry. The talk will focus on some principal results of the Laplacian coflow giving some general preliminaries on Contact Calabi-Yau 7-manifolds which was used in the Laplacian coflow with the initial coclosed G2-structure by Habib and Vezzoni finding a singularity and show that the metric and the volume collapse at this singularity. |
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Résumé : Les automorphismes de groupes fondamentaux de surfaces (fermées orientables) de genre \geq 2 sont bien connus, classifiés, comme éléments des "Mapping Class Groups". On s'interesse à leurs classes de conjugaison, et, dans cet exposé, à une variante concernant les revetements finis : leurs classes de conjugaison dans le commensurateur abstrait du groupe de surface : c'est le groupe des "isomorphismes entre sous-groupes d'indice fini à égalité près sur un sous groupe plus petit d'indice fini". Cette situation est assez familiere dans le cas du tore : si on considere un automorphisme de Z^2, écrit comme élément de GL_2(Z), sa classe de conjugaison commensurée est sa classe de similitude dans GL_2(Q) qui est le commensurateur abstrait de Z^2. Pour le groupe fondamental d'une surface de genre >2, on discutera une propriété de finitude pour les classes de conjugaison commensurées, et on donnera un exemple de phénomène associé. T.ravail avec Mahan Mj |
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Résumé : Les automorphismes de groupes fondamentaux de surfaces (fermées orientables) de genre \geq 2 sont bien connus, classifiés, comme éléments des "Mapping Class Groups". On s'interesse à leurs classes de conjugaison, et, dans cet exposé, à une variante concernant les revetements finis : leurs classes de conjugaison dans le commensurateur abstrait du groupe de surface : c'est le groupe des "isomorphismes entre sous-groupes d'indice fini à égalité près sur un sous groupe plus petit d'indice fini". Cette situation est assez familiere dans le cas du tore : si on considere un automorphisme de Z^2, écrit comme élément de GL_2(Z), sa classe de conjugaison commensurée est sa classe de similitude dans GL_2(Q) qui est le commensurateur abstrait de Z^2. Pour le groupe fondamental d'une surface de genre >2, on discutera une propriété de finitude pour les classes de conjugaison commensurées, et on donnera un exemple de phénomène associé. Travail avec Mahan Mj |
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Résumé : En 1637, dans son fameux "Discours de la méthode", René Descartes a formulé la règle de Descartes qui borne le nombre de racines positives d'un polynôme réel en une variable en fonction des signes des coefficients du polynôme. Cette règle peut être interprétée comme la version réelle du théorème fondamental de l'algèbre disant qu'un polynôme complexe (non nul) a d racines complexes, où d est le degré du polynôme. La règle de Descartes est l'un des résultats fondateurs de la géométrie algébrique réelle. Des généralisations (partielles) au cas multivarié ont été obtenues très récemment. Dans cet exposé je dresserai un panorama de ces diverses avancées et mentionnerai quelques travaux en cours sur le sujet. Une bonne partie de cet exposé repose sur des résultats en commun avec Alicia Dickenstein, Jens Forsgard et Frank Sottile. |
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Résumé : Une capacité symplectique est une fonction qui associe à toute variété symplectique X (éventuellement dans une classe restreinte) un nombre c(X) \in [0,\infty], satisfaisant certaines conditions; en particulier que c(X)\leq c(U) si X se plonge symplectiquement dans U. Ces capacités sont utilisées pour obtenir des obstructions non-triviales à l'existence de plongements symplectiques. Une version forte de la conjecture de Viterbo affirme que toutes les capacités "normalisées" coïncident sur les domaines convexes. Nous montrons cette conjecture pour les domaines toriques monotones en dimension quatre, qui incluent tous les domaines toriques dynamiquement convexes. Ceci est un travail en collaboration avec M. Hutchings et V. Ramos |
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Résumé : La correspondance de Giroux établit qu'une structure de contact en dimension 3 est portée par une décomposition en livre ouvert de la variété. Il existe alors un champ de Reeb qui est tangent à la reliure et transverse à l'intérieur des pages. Dans ce cas, une page est une section de Birkhoff du flot et on peut étudier la dynamique en étudiant le difféomorphisme induit sur la page. Cette correspondance est peu utile quand on veut étudier la dynamique de tous les champs de Reeb associés à une structure de contact fixée. Nous avons montré que tout champ de Reeb, est portée par un livre brisé (une généralisation de la notion de livre ouvert). Grâce à cette construction, nous avons étudié certains aspects de la dynamique des flots de Reeb. Dans l’exposé je vais présenter deux résultat sur l’entropie topologique des flots de Reeb. Ceci est un travail en collaboration avec Vincent Colin et Pierre Dehornoy. |
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Résumé : Weinstein a montré que toute variété de Poisson holomorphe est localement le produit d'une variété symplectique et d'une variété de Poisson dont le crochet de Poisson est nul au point considéré. Je présenterai un analogue global de ce résultat pour les variétés de Poisson compactes kählériennes. Il s'agit d'un travail en commun avec J. V. Pereira, B. Pym and F. Touzet. |
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Résumé : Les travaux sur les feuilletages algébriques du plan projectif complexe depuis les années 1970 avaient pu laisser penser qu’il ne pouvait pas se former d’ensembles limites non triviaux pour des feuilletages génériques. On sait désormais que la situation est beaucoup plus riche ; c’est ce que nous présenterons dans cet exposé. |
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Résumé : Je donnerai quelques propriétés pour certaines bien anciennes du groupe Diff(C,0) := {f holomorphes à une variable complexe telle que f(0)=0 et f'(0) non nul} ainsi que quelques résultats récents. J'essaierai que l'exposé soit accessible à tous. |
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Résumé : Dans beaucoup de situations géométriques on est amené à travailler avec familles de variétés. Dans cet exposé on va se concentrer sur des familles de métriques de Kähler-Einstein singulières. En particulier on étudie le cas d’une famille de variétés kählériennes singulières et on développe les premières étapes de la théorie du pluripotentiel en famille, qui nous permet d’avoir un control (très précis) sur l’éstimée C^0 quand la structure complexe bouge. Ce type de résultat va s’appliquer à plusieurs contexte géométriques. Cela est un travail en collaboration avec V. Guedj et H. Guenancia. |
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Résumé : We will present an overview of our results concerning the Sard Conjecture in sub-Riemannian manifolds (M,D), where M is a Riemannian manifold and D is a non-holonomic distribution. More precisely, we will explain how the Conjecture can be interpreted as a geometrical problem concerning the behavior of a characteristic singular foliation in the cotangent bundle. Under the hypothesis of analyticity of M and D, we can study this singular foliation via methods of singularity theory, subanalytic geometry and control measure theory. This approach was used in our proof of the (strong) Sard Conjecture when M is of dimension 3 (in collaboration with Figalli, Parusinski and Rifford) and has recently been used to provide a proof of the minimal rank Sard conjecture in arbitrary dimensions, under an additional qualitative property of the foliation which we call “splittable” (in collaboration with Parusinki and Rifford). |
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Résumé : In this talk, we will show that sufficiently fast convergence in Hofer/spectral metric forces $C^0$^^ convergence. We achieve this by proving a Hölder-type inequality for Hamiltonian diffeomorphisms relating the $C^0$ norm, the $C^0$ norm of the derivative, and the Hofer/spectral norm. As an application of our Hölder-type inequality, we prove $C^0$^^ rigidity for a certain class of pseudo-rotations. |
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Résumé : L'hydrodynamique, est-elle capable de calcul universel? Cette question a été formulée par Moore en 1991 et récemment revisitée par Tao en relation avec le problème de régularité globale pour les équations d'Euler et de Navier-Stokes. Dans cet exposé, nous allons introduire les systèmes dynamiques « complets de Turing » et montrerons comment construire une solution stationnaire aux équations d'Euler sur une sphère Riemannienne de dimension 3 qui est complète de Turing. Ceci est basé sur un travail, en collaboration avec E. Miranda, D. Peralta-Salas et F. Presas, qui exploite la connexion entre l'hydrodynamique et la géométrie de contact établie par Etnyre et Ghrist. Une caractéristique surprenante d'un système dynamique complet de Turing est qu'il possède des trajectoires indécidables, dévoilant ainsi une complexité différente de la classique sensibilité aux conditions initiales. Des variations de cette construction nous permettent de construire des flots d'Euler (qui sont aussi de Reeb) possédant des orbites dont la périodicité est indécidable. Si le temps le permet, on parlera d'autres travaux en collaboration avec E. Miranda et D. Peralta-Salas qui étudient l'existence de flots d'Euler complets de Turing qui sont soit dépendants du temps dans des variétés de haute dimension, soit stationnaires dans l'espace tridimensionnel euclidien. |
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Résumé : Il y a beaucoup de groupes algébriques qui agissent birationnellement sur le plan, et on aimerait bien les classifier à conjugaison près. Il se trouve qu'une telle action est conjuguée à une action sur une surface spéciale, ce qui nous permet d'attaquer la classification. Je vais préciser ce qu'est une action birationnelle et comment obtenir la classification des groupes algébriques infinis qui agissent birationnellement sur le plan sur un corps parfait arbitraire. |
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Résumé : Viterbo a défini des "invariants spectraux" et une distance pour |
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Résumé : Dans son article 'Higgs bundles and local systems’ de 1992, C. Simpson laisse ouverte la question de la construction de fibrés de Higgs associés aux systèmes locaux "tordus", pour lesquels le groupe fondamental agit non-trivialement sur le groupe de structure du revêtement correspondant. Le but de l’exposé est de donner les grandes lignes d'une correspondance de Hodge non abélienne tordue dans le cas où la variété de base est de dimension complexe 1. |
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Résumé : Pour un flot dans une variété de dimension 3, une section de Birkhoff est une surface dont l’intérieur est plongé et transverse au flot, le bord constitué d’orbites périodiques, et la surface coupe toute orbite en temps fini. Une telle surface permet de réduire la dynamique, en particulier ses propriétés topologiques, à celle d'un difféomorphisme de surface. Dans un travail en commun avec V Colin, U Hryniewicz et A Rechtman, on montre que l’ensemble des flots de Reeb en dimension 3 qui admettent une section de Birkhoff est ouvert et dense pour la topologie C-infini. La construction s’appuie sur les courbes pseudo-holomorphes fournies par l’homologie de contact plongée, des techniques de chirurgie dues à Fried, et un résultat de densité des orbites périodiques d’Irie. |
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Résumé : Etant donné une action Hamiltonienne d'un groupe de Lie G sur une variété symplectique, le principe de Quantification commute à la Réduction de Guillemin-Sternberg énonce que l'espace des G-invariants de la quantification de cette variété coincide avec la quantification de sa réduction symplectique par G. Ce principe fournit en particulier une approche géométrique à l'étude la théorie des représentations de G. Dans cet exposé, je vais considérer le cas où G est un cercle et où la réduction symplectique est un espace symplectique singulier, et présenter une approche pour établir ce principe basé sur l'asymptotique de l'intégrale de Witten. Il s'agit d'un travail en cours en collaboration avec Benjamin Delarue et Pablo Ramacher. |
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Résumé : In a joint work with V. Kharlamov, we proposed a real enumerative invariant for del Pezzo surfaces based on a signed count of real rational curves, in which the signs are Welschinger invariants combined with certain Pin-weights. It has strong invariance property (independence of the real structures) and recurrence relations which allowed to produce explicit formulas for out invariants. |
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Résumé : Soient a et b des entiers. La courbe elliptique $E:\,y^2=x^3+ax+b$ a bonne réduction modulo p si et seulement si p ne divise pas le discriminant $\Delta(E)=-16(4a^3+27b^2)$. En plus, grâce à Tate on sait que la courbe E a potentiellement bonne réduction si et seulement si p ne divise pas le dénominateur du j-invariant de E. Pour les courbes de genre 2, Liu donne des résultats équivalents en terme des invariants d'Igusa et en plus il caractérise toutes les possibilités pour le type de réduction (i.e. pour le fibre spéciale du modèle stable de la courbe). Dans cet exposé je ferai un résumé de ces résultats et je présenterai mes résultats pour les courbes de genre 3. Les difficultés dans ce cas-là ne viennent pas seulement du fait qu'il y a beaucoup plus de possibilités pour les types de mauvaise réduction mais aussi pour un nouvelle phénomène qui apparaît en genre 3 : la réduction hyperelliptique. On utilisera des modèles spéciaux pour les courbes, un peu de théorie des invariants, des action des groupes, fonctions thetas de Mumford, de la théorie de revêtements admissibles et des octets de Cayley parmi des autres outils.
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Résumé : Let G be a group acting freely in codimension 1 on an abelian variety A. Terminalizations (and, if any, crepant resolutions) of the singular quotient A/G are K-trivial varieties which, depending on A and G, may be symplectic or not, simply-connected or not... Assuming that G acts freely in codimension 2 however, singular quotients A/G very rarely admit crepant resolutions. In this talk, I will recall K. Oguiso's classification of those singular threefolds with a crepant resolution, expose the classification in dimension 4, and present partial results in arbitrary dimension.
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Résumé : En 1637, dans son fameux "Discours de la méthode", René Descartes a formulé la règle de Descartes qui borne le nombre de racines positives d'un polynôme réel en une variable en fonction des signes des coefficients du polynôme. Cette règle peut être interprétée comme la version réelle du théorème fondamental de l'algèbre disant qu'un polynôme complexe (non nul) a d racines complexes, où d est le degré du polynôme. La règle de Descartes est l'un des résultats fondateurs de la géométrie algébrique réelle. Des généralisations (partielles) au cas multivarié ont été obtenues très récemment. Dans cet exposé je dresserai un panorama de ces diverses avancées et mentionnerai quelques travaux en cours sur le sujet. Une bonne partie de cet exposé repose sur des résultats en commun avec Alicia Dickenstein, Jens Forsgard et Frank Sottile. |
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Résumé : Due to a theorem of Passare and Rullg\aa rd, the area of the amoeba of a degree $d$ algebraic curve in the complex projective plane is bounded above by $\pi^2 d^2/2$. A theorem of Mikhalkin generalizes this result to half-dimensional complete intersections as follows: Let $V$ be a complete intersection of hypersurfaces of degrees $d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{n}$ in $\mathbb{CP}^{n}$ and let $\mathcal{A}(V)$ denote its amoeba. Then $Vol(\mathcal{A}(V))\leq \pi^{2n}(d_{1}d_{2}\ldots d_{n})^{2}/2$. My goal in this talk will be to show that if the defining polynomials of the complete intersection are chosen at random with respect to Kostlan distribution, then there exists a constant $c$ independent of the $d_{i}$'s such that the expected volume of the amoeba satisfies the inequality $\mathbb{E}(\mathcal{A}(V))\leq cd_{1}d_{2}\ldots d_{n}$. This result generalizes to other Newton polytopes as well. This is joint work with Turgay Bayraktar. |
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Résumé : Après avoir introduit le théorème d'hyperbolisation de Thurston, j'en évoquerais la démonstration en mettant l'accent sur l'application d'épluchage et le théorème de l'image bornée. Je présenterais ensuite un travail en collaboration avec Ken'ichi Ohshika dans lequel nous donnons une preuve du théorème de l'image bornée dans sa plus grande généralité. |
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Résumé : La classification des automorphismes birationnels d'un schéma de Hilbert de points sur une surface K3 algébrique, dont le rang de Picard est un, a été récemment complétée dans un travail en collaboration avec Al. Cattaneo. Cela permet d'établir l'existence d'une involution birationnelle sur le schéma de Hilbert de trois points sur une surface K3 de genre 10 ; la preuve ne donne aucun aperçu sur la construction géométrique de cette involution, et cela est tipiquement un problème assez compliqué. Dans cet exposé, on va décrire explicitement cette involution, en termes du modèle de Mukai de la surface K3. Il s'agit d'un travail en collaboration avec L. Manivel. |
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Résumé : L'espace projectif complexe $\mathbb C P^n$ est le lieu d'un phénomène particulièrement frappant et propre au monde complexe : si $P$ est polynôme homogène complexe générique de degré $d$, alors la topologie de son lieu d'annulation $Z(P)\subset \mathbb C P^n$ ne dépend que de $d$ et pas de $P$. Un second phénomène encore plus étonnant est que seul le $(n-1)$-ème nombre de Betti de $Z(P)$ dépend de $d$. En particulier, toutes les hypersurfaces complexes sont connexes, dès que $n$ est plus grand que 2. Si maintenant on fixe une boule $B$ dans $\mathbb C P^n$, il est bien évident qu'on ne peut rien dire, par exemple, du nombre de composante connexes de $B\cap Z(P)$. Mais si l'on prend $P$ au hasard, on pourrait imaginer que les propriétés miraculeuses globales de $Z(P)$ susmentionnées s'expriment plus faiblement et statistiquement dans $B$. J'expliquerai que c'est bien le cas.
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Résumé :
Dans cette exposé je présenterai deux résultats recents, prouvés en collaboration avec Gonzalo Contreras.
Je commencerai par rappeler la notion de surface de section globale d'un champ de vecteurs non-singulier dans une 3-variété fermée. Le premier résultat, dont j'esquisserai la preuve, donne l'existence d'une surface de section globale pour toute champ de Reeb satisfaisant la condition de Kupka-Smale.
J'esquisserai ensuite la preuve du deuxième résultat, qui emploie les surfaces de section globales pour donner une caractérisation des champs de Reeb Anosov, c'est à dire hyperboliques, dans les 3-variétés fermées. Ce résultat donne une confirmation de la conjecture de stabilité de Palis et Smale pour les flots géodésiques des surfaces riemanniennes fermées : un tel flot géodésique qui est C^2 structurellement stable est forcement Anosov.
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Résumé : Nous classifions les classes de conjugaison des éléments d’ordre 2 dans le groupe de Cremona réel Bir_R(P^2). Contrastant avec la classification analogue sur les complexes (due à E. Bertini, G. Castelnuovo, F. Enriques, L. Bayle and A. Beauville), qui contient quatre classes d’involutions, il y a douze classes sur les réels. Dans cet exposé, nous expliquerons en particulier comment classifier les involutions birationnelles qui fixent une courbe irrationnelle. Travail en collaboration avec Ivan Cheltsov, Egor Yasinsky et Susanna Zimmermann. Voir https://arxiv.org/abs/2208.00217 |
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Résumé : Une structure projective complexe compacte P est une courbe localement modelée sur la sphère de Riemann CP1. À un tel objet géométrique, modulo isomorphisme, est associé un objet algébrique : une représentation de son groupe fondamental dans PGL(2,C), à conjugaison près. Celle-ci est définie comme la monodromie des prolongements analytiques d'une carte de P. L'application de monodromie, qui a une structure projective sur une surface compacte orientée fixée S associe sa monodromie, n'est ni injective ni surjective. Néanmoins, Hejhal a montré en 1975 qu'il s'agit d'un difféomorphisme local. Dans cet exposé, j'introduirai le sujet avant de présenter une généralisation du théorème de Hejhal aux structures projectives méromorphes obtenue pendant ma thèse sous la supervision de Frank Loray. |
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Résumé : We look at the following chain of symplectic embedding problems in dimension four.
E(1,a) \to Z^4(A) E(1,a) \to P(A,bA) (b \in \NN) E(1,a) \to T^4(A)
Here $E(1,a)$ is a symplectic ellipsoid, $Z^4(A)$ is the symplectic cylinder $D^2(A) \times R^2$,
$P(A,bA) = D^2(A) \times D^2(bA)$ is the polydisc, and $T^4(A) = T^2(A) \times T^2(A)$,
where $T^2(A)$ is the torus of area $A$.
In each problem we ask for the smallest $A$ for which $E(1,a)$ symplectically embeds.
The answer is very different in each case: total rigidity, total flexibility, and a two-fold subtle transition
between them.
The talk is based on works by Cristofaro-Gardiner, Frenkel, Latschev, McDuff, Müller and myself. |
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Résumé : The complement of the binodal conic in the projective plane is a
standard neighbourhood of a Lagrangian sphere with one transverse double
point (e.g. the standard Whitney sphere). We classify all Lagrangian tori
as well as immersions of spheres with one transverse double point inside
this space up to Hamiltonian isotopy, under the assumption that their
Maslov classes vanish. |
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Résumé : Dans une variété de contact coorientée, une isotopie legendrienne est dite positive si elle évolue dans la direction positive transverse à la structure de contact. Les comportements globaux des isotopies positives diffèrent de ceux des isotopies legendriennes. Dans cet exposé j'expliquerai comment extraire de l'information dans le complexe de Floer associé à une paire de cobordismes lagrangiens (récemment défini en collaboration avec G. Dimitroglou Rizell, P. Ghiggini et R. Golovko) pour donner des obstructions à l'existence de certaines isotopies positives. Cette méthode permet de retrouver toutes les obstructions connues à ce jour et donne de nouveaux exemples. Collaboration avec V. Colin et G. Dimitroglou Rizell. |
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Résumé : Etant données une fonction lisse et une métrique riemannienne lisse sur une variété compacte sans bord, on peut définir un champs de vecteur de type gradient. Sous certaines hypothèses de type Morse-Smale, j'expliquerai comment on peut déterminer explicitement le spectre de la dérivée de Lie associée et agissant sur des espaces de Sobolev anisotropes de courants. En guise de motivation, je donnerai des applications de ces résultats à la théorie des systèmes dynamiques (décroissance des corrélations) et à la topologie différentielle (interprétation spectrale du complexe de Morse).
Il s'agit d'un travail avec Nguyen Viet Dang (Université Lyon 1). |
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Résumé : La catégorie dérivée des faisceaux cohérents sur une cubique lisse de dimension 4 a une sous-catégorie qui peut être pensée comme la catégorie dérivée d'une surface K3 non-commutative. Cette sous-catégorie a été étudiée récemment dans les travaux de Kuznetsov et Addington-Thomas, entre autres. Dans cet exposé, je présenterai mes travaux en cours avec Bayer, Macrì et Stellari sur la construction de conditions de stabilité de Bridgeland sur cette sous-catégorie. Ceci permet de commencer à développer la théorie des modules des objets semi-stables dans ces catégories, d'une manière analogue à la théorie classique de Mukai pour les surfaces K3 (commutatives). |
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Résumé : This talk is about the existence of periodic obits of exact magnetic flows on the cotangent bundle of closed surfaces. The dynamics of these Hamiltonian systems on high energy levels is well known: it is conjugated to a Reeb flow, and actually to a Finsler geodesic flow. In the talk, I will focus on low energies, more precisely on energies below the so-called Mañé critical value of the universal covering. After introducing the setting, I will present a recent result asserting the existence of infinitely many periodic orbits on almost all energy levels in this range. This is a joint work with A. Abbondandolo, L. Macarini, and G. P. Paternain. |
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Résumé : I will give an introduction to Legendrian contact homology, which is an invariant of Legendrian submanifolds that is defined by using pseudo-holomorphic disk techniques. In particular, I will explain how one can define this homology with integer coefficients by orienting the moduli spaces of the pseudo-holomorphic disks. I will also discuss how one can make this invariant more easy to compute by replacing the pseudo-holomorphic disks with gradient flow trees, and how the moduli spaces of these trees can be oriented in a computable way. |
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Résumé : Dans un billard elliptique, il existe une famille à un paramètre des trajectoires 3-périodiques tangentes à une ellipse de Poncelet. On considère les cercles inscrits dans les triangles correspondants. Ils s'avère que les centres de ces cercles parcourent un ellipse. Je vais raconter une preuve de ce théorème qui utilise l'approche complexe, l'idée étant de complexifier la loi de réflexion. |
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Résumé : Je présenterai trois problèmes de construction de courbes algébriques sur des surfaces algébriques réelles (courbes à classe d'homologie réelle prescrite, courbes de genre pair, fibrés en droites Galois-invariants sans structure réelle), et expliquerai des résultats nouveaux d'existence pour ces trois problèmes. Je mentionnerai également les analogues de ces questions en dimension supérieure.
Il s'agit d'un travail en collaboration avec Olivier Wittenberg. |
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Résumé : Nous décrirons quelques problématiques liées au théorème de Drinfeld-Grinberg-Kazdhan,
qui éclaire la structure du voisinage formel dans l'espace des arcs d'une variété d'un arc non entièrement contenu dans le lieu singulier de la variété. Les résultats originaux sont issus d'un travail en commun avec Julien Sebag. |
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Résumé : Considérons une fibration lisse, à fibres compactes, munie d'un fibré vectoriel plat. La forme de torsion analytique associée, définie par Bismut et Lott, est une forme différentielle sur la base, qui provient de la transgression de la formule de Riemann-Roch-Grothendieck en géométrie plate. D'autre part, Igusa et Klein ont défini la torsion topologique supérieure, qui est une version topologique de la torsion analytique. La question de la relation entre ces deux objets est alors naturelle. Pour une seule variété, le théorème de Cheeger-Müller/Bismut-Zhang compare les torsions analytique et topologique, et l'on s'attend à ce qu'une version "supérieure" de ce théorème, pour les familles de variétés, soit vraie. Dans cette optique, Igusa conjectura en 2003 que la torsion analytique devrait satisfaire une formule de recollement. Dans cet exposé, nous confirmons cette conjecture, et nous l'utilisons pour obtenir une formule de comparaison entre les torsion de Bismut-Lott et d'Igusa-Klein. Cet exposé est basé sur des travaux en communs avec Yeping Zhang et Jialin Zhu. |
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Résumé : Toute variété fermée de dimension 3 admet un feuilletage de codimension 1, c'est-à-dire une partition en surfaces immergées (les feuilles) qui ressemble localement à la partition triviale de l'espace R^3 par ses plans affines horizontaux. Wood et Thurston ont même montré que tout champ de plans sur une telle variété pouvait être déformé en champ tangent à un feuilletage. Il est alors naturel, en vue de classifier ces objets, de se demander si deux feuilletages dont les champs de plans tangents sont homotopes peuvent être reliés par un chemin continu de feuilletages. Nous montrerons que la réponse est essentiellement oui, après avoir exposé en images le procédé de déformation de Thurston et ses variantes plus récentes. |
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Résumé : D'après une célèbre conjecture d'Arnold le nombre de points fixes des difféomorphismes hamiltoniens d'une variété symplectique peut-être minoré en fonction de la topologie de la variété. Cette conjecture est maintenant établie grâce notamment à la théorie de Floer. Dans cet exposé, nous discuterons du devenir de cette conjecture dans le cadre des homéomorphismes: la conjecture devient fausse, mais certains résultats persistent. Travail en commun avec Lev Buhovsky et Sobhan Seyfaddini. |
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Résumé : Soient S une surface et V le Q espace vectoriel des diviseurs modulo équivalence numérique. Le produit d'intersection définit un accouplement parfait sur V. On sait depuis les années Trente qu'il est de signature (1,n).
Dans les années Soixante Grothendieck a conjecturé une généralisation de cet énoncé aux cycles de codimension quelconque sur des variétés générales. En caractéristique zéro cette conjecture est une conséquence des relations de Hodge Riemann. En caractéristique positive très peu est connu. Dans cet exposé nous démontrerons la conjecture pour les variétés abéliennes de dimension quatre. |
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Résumé : Le problème de Kodaira s’intéresse à la possibilité de déformer une variété compacte kählérienne vers une variété projective. Si nous autorisons des transformations biméromorphes avant la déformation, la conjecture de Peternell prédit que si la variété n’est pas recouverte par les droites projectives, une telle déformation existe toujours et peut être arbitrairement petite. L’exposé sera autour de l’origine de cette conjecture et ses progrès récents en dimension 3. |
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Résumé : Considérons un groupe semisimple réel G et une représentation rho de G sur un espace vectoriel V. On se pose la question suivante : le groupe affine G |x V (produit semidirect de G par V) contient-il un sous-groupe libre non abélien Zariski-dense qui agit proprement sur V ? Nous allons présenter un critère algébrique simple portant sur la représentation rho qui donne une condition suffisante (et conjecturalement nécessaire) pour que la réponse soit positive. Nous allons ensuite parler du problème de la classification explicite des représentations vérifiant ce critère. |
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Résumé : Une structure réelle sur une variété projective complexe X est une involution antiholomorphe sur cette variété. La donnée d'une telle structure équivaut à la donnée d'une variété réelle dont la complexification est isomorphe à X (i.e. une forme réelle de X).
Le but de cet exposé est de montrer comment l'étude des groupes d'automorphismes des surfaces rationnelles peut être utilisée en vue de donner des éléments de réponse à la question de la finitude du nombre de classes d'équivalence de structures réelles sur ces éclatés, i.e. la finitude du nombre de leurs formes réelles à isomorphisme près.
En particulier, nous montrerons qu'une surface rationnelle dont le groupe d'automorphismes ne contient pas un groupe libre non-abélien admet un nombre fini de formes réelles puis nous donnerons au moins un exemple de surface rationnelle ayant à la fois un nombre fini de formes réelles et un "grand" groupe d'automorphismes. |
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Résumé : Les sous-variétés lagrangiennes sont des objets très importants quand on veut étudier la géométrie symplectique d'une variété. Ceci a été résumé par Alan Weinstein dans son credo "Everything is a Lagrangian submanifold" qui exprime le fait que toute question dans cette géométrie peut être traduite et parfois généralisée en une question à propos de lagrangiennes. On manque cependant souvent d'exemples et de constructions.
Dans un travail précédent, j'ai prouvé que deux constructions très différentes de tores lagrangiens sont les mêmes dans le plan projectif complexe en les comparant à un troisième, appelé tore de Chekanov modifié. Ce dernier a une projection combinatoirement intéressante sous une bonne fibration pour le plan projectif (l'application moment standard) et nous a inspiré une méthode de construction de sous-variétés lagrangiennes (monotones) dans des variétés symplectiques toriques. Après avoir rappelé certaines définitions et exemples, j'expliquerai comment cette méthode permet de construire de nouvelles lagrangiennes monotones dans le plan projectif complexe et le produit de deux sphères de dimension 2.
Ceci est un travail en commun avec Miguel Abreu (IST, Lisbonne). |
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Résumé : Une variété de Weinstein est une variété symplectique exacte -- et donc ouverte -- qui admet une décomposition en anses compatible avec la structure symplectique. En particulier il se trouve que les anses d'une telle décomposition ont indice au plus la moitié de la dimension de la variété et que les co-âme des anses d'indice moitié sont des disques lagrangiens. Je montrerai que ces disques engendrent la catégorie de Fukaya enroulée d'une variété de Weinstein. L'util principale est une formule de chirurgie pour immersion lagrangiennes obtenue à partir de l'homologie de Cthulhu pour les cobordismes lagrangiens.
Il s'agit d'un travail en cours avec Baptiste Chantraine, Georgios Dimitroglou Rizell et Roman Golovko. |
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Résumé : Nous déterminons explicitement la frontière de Poisson du mouvement brownien relativiste pour une large classe de variétés lorentziennes. Nous comparons alors la compactification stochastique obtenue avec les compactifications purement géométriques classiques que sont les frontières conformes et causales. Les preuves de nos résultats reposent sur une analyse fine du comportement asymptotique des trajectoires browniennes et une utilisation intensive de la méthode de dévissage.
Travail en collaboration avec Camille Tardif (UPMC). |
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Résumé : Smooth quadric bundles over rational bases are frequently known to have rational deformation types and are often known to be unirational. On the other hand, for r>2, no smooth r-fold quadric bundle over a rational base has previously been known to be non-rational. In this talk we explain how to show that for any positive integer r, there is a wide class of smooth r-fold quadric bundles over rational bases which are not stably rational. In the proofs, we introduce a generalization of the specialization method of Voisin and Colliot-Thélène—Pirutka, which avoids explicit resolutions of singularities. This allows to apply the specialization method to many new situations which were not accessible before. |
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Résumé : Nous prouvons que le groupe fondamental d’un splicing de deux non-triviaux dans S^3 possède des représentations irréductibles dans SU(2). En utilisant des résultats de Boileau-Rubinstein-Wang, cela implique que le groupe fondamental de toute 3-sphère d’homologie différente de la 3-sphère possède des représentations irréductibles dans SL(2,C). Ce résultat utilise la théorie de jauge d’instantons. |
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Résumé : I will present a joint work with Dennis Eriksson, in which the Knudsen-Mumford expansion of the determinant of cohomology over the valuation ring of complete non-Archimedean field is used to define and study the transfinite diameter and the related notion of Fekete points in this setting. |
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Résumé : Soit M une variété riemannienne compacte. On peut munir son groupe des difféomorphismes (à régularité Sobolev) d’une structure de variété de Hilbert lisse, grâce à l’exponentielle riemannienne sur M. La loi de composition en fait alors un groupe topologique qui est "presque" un groupe de Lie. Par exemple, on peut construire des champs de vecteurs invariants à droite, mais ceux-ci sont seulement continus, et le crochet de Lie n’est défini que sur un sous-espace dense. Dans cet exposé, j’étudierai divers exemples de métriques riemanniennes et sous-riemanniennes invariantes à droite sur ce groupe.
On verra en particulier que les deux points de vues habituels de la mécanique cessent d’être équivalent: le point de vue lagrangien permet d’utiliser la structure lisse, et facilite par exemple la preuve d’existence de solutions à l’équation des géodésiques, alors que le point de vue eulérien permet d’utiliser la symétrie de la métrique pour obtenir une forme plus simple de cette équation. Les résultats les plus précis sont bien sûr obtenus lorsqu’on peut utiliser les deux points de vues à la fois: pour les métriques à la fois lisses invariantes à droite. |
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Résumé : |
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Résumé : Étant donné une variété algébrique X, on construit une action "commensurante" de X sur un ensemble convenable d'hypersurfaces. Cela donne, par des résultats généraux, une action sur un complexe cubique CAT(0) et permet de mieux comprendre certains sous-groupes de transformations birationnelles. (Travail en commun avec Serge Cantat) |
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Résumé : Dans cet exposé on va introduire un nouveau invariant des entrelacs colorés munis d’un caractère multiplicative. Cet invariant, le slope, apparaît comme terme de correction dans les formules pour le calcul de la signature du splice de deux entrelacs colorés. Il peut être exprimé comme un quotient de polynômes de Conway et on peut l’interpreter comme une extension multivariable de l’invariant eta de Kojima. Ce travail est une collaboration avec Alex Degtyarev et Vincent Florens. |
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Résumé : Je présenterai un travail en commun avec Mladen Bestvina et Vincent Guirardel, dans lequel nous montrons que le groupe Out(F_n) des automorphismes extérieurs d'un groupe libre est moyennable à l'infini, i.e. il admet une action moyennable sur un espace compact. Une conséquence est que le groupe Out(F_n) satisfait la conjecture de Novikov. Ces résultats se généralisent également à certains groupes d'automorphismes Out(G) pour des classes de groupes G plus larges que celle des groupes libres. |
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Résumé : The Radon transform in functional analysis is an integral transform evaluating hyperplanes in Euclidean space. In a similar spirit, we define a Radon transform for the microlocal sheaf categories and prove it is an equivalence after proper localizations. Then we relate the Radon transform to the projective duality, and we also give an application of the transform in contact geometry. |
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Résumé : A toute collection finie de courbes fermées sur une surface compacte, on associe une certaine norme sur le premier groupe d'homologie de la surface. Ces normes sont des cousines élémentaires des normes de Thurston sur le second groupe d'homologie des 3-variétés. En particulier, comme pour la norme de Thurston, la boule unité de la norme duale (sur la cohomologie) est l'enveloppe convexe d'un nombre fini de points entiers. On interprète ces points en termes d'orientations de la collection de courbes dont on est parti.
Ceci est ensuite utilisé pour classifier les classes d'isotopie de sections de Birkhoff du flot géodésique sur une surface hyperbolique (c'est-à-dire les surfaces dans le fibré unitaire tangent de la surface qui sont transverses au flot géodésique et dont le bord est prescrit). |
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Résumé : En 2001 Huybrechts démontre un critère de projectivité pour les variété hyperkählériennes.
Une variété hyperkählérienne est projective si elle admet un diviseur dont l'image par la forme de Beauville-Bogomolov est strictement positif.
Dans cet exposé nous verrons que ce résultat peut être étendu au cas des orbifoldes. |
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Résumé : The Borcea-Voisin construction is a procedure allowing to construct a Calabi-Yau manifold starting from Calabi-Yau manifolds of lower dimension. After an introduction on the original construction, we will focus on one of its generalizations.
In particular, we will construct explicit examples of elliptic Calabi-Yau fourfolds, starting from a pair of K3 surfaces: the first being a double cover of a del Pezzo surface, and the second carrying an elliptic fibration. It is possible to describe the elliptic fibres in detail, showing the link between this fibration and the one we started with. Finally, we will show that these varieties have in a very natural way other fibrations. |
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Résumé : Après un rapide historique sur la topologie des courbes algébriques planes complexes, on présentera différents invariants reliés aux modules d'Alexander et leurs généralisations. On évoquera plus particulièrement le cas des arrangements complexes. |
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Résumé : We want to better understand the structure of metric spaces that are
locally compact, connected and isometrically homogeneous.
After the solution of the Hilbert 5th problem, we know that any such a
space is quasi-isometric to some Lie groups, which can be chosen to be
solvable.
Moreover, if in addition such spaces are locally connected and of
finite topological dimension, then they are in fact Lie-group
quotients.
We shall focus on those spaces that are either geodesic metric spaces,
or have polynomial growth, or admit self-similarities.
Respectively, we shall have Carnot groups, quasi-nilpotent groups, and
graded groups.
Joint work with M.Cowling, V.Kivioja, A.Ottazzi, and S.Nicolussi Golo. |
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Résumé : Soit Y une orbi-surface compacte connexe de caractéristique d'Euler négative et soit \Pi son groupe fondamental orbifold. Soit R(\Pi, n) l'espace des représentations orbifold de \Pi dans PGL(n;R). Le but de l'exposé est de montrer que R(\Pi, n) possède des composantes connexes homéomorphes à une boule dont on sait calculer explicitement la dimension (pour n=2 et 3, on retrouve des formules connues, dues respectivement à Thurston et à Choi et Goldman). On donne ensuite des applications à l'étude des propriétés de rigidité des groupes de Coxeter hyperboliques. Travail en commun avec Daniele Alessandrini et Gye-Seon Lee (Heidelberg). |
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Résumé : In this talk, I will discuss about new algebraic invariants for algebraic orbifolds: orbifold motivic cohomology and orbifold higher K-theory. These invariants come out as a consequence of the obstruction bundles and the virtual fundamental classes in Gromov-Witten theory. I will also explain how these invariants relate to motivic cohomology and K-theory of (crepant) resolutions of singularities of the coarse moduli spaces of orbifolds.
This is a joint work with Lie Fu. |
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Résumé : Cet exposé sera une brève introduction au problème de Calabi (et cscK) dans le cas des variétés polarisées. On considérera l'exemple des variétés Fano K-stable où la conjecture de Yau--Tian--Donaldson, maintenant vérifiée, nous a permis de faire de grands progrès dans notre compréhension de l'espace de modules de ces variétés. On verra comment des variétés kählériennes coniques (et donc des variétés sasakiennes) apparaissent naturellement dans cette histoire et comment la fonctionnelle d'Einstein-Hilbert pourrait nous aider à voir plus loin.
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Résumé : La version algébrique de la célèbre conjecture de Birkhoff (partiellement étudiée par Sergei Bolotin, Misha Bialy et Andrey Mironov) concerne un billard planaire dont le flot géodésique possède une intégrale première non triviale polynomiale en le vecteur de la vitesse. (L'integrale triviale est le module de la vitesse.)
Elle affirme, que s'il existe une intégrale polynomiale, qui est non constant le long de l'hypersurface de niveau unité du module de la vitesse,
alors la table du billard est une ellipse. Nous présenterons sa solution, avec la généralisation au cas d'une frontière lisse par morceaux et pas forcement convexe: la classification complète des billards polynomialement intégrables. Nous en présenterons une généralisation aux billards sur une surface quelconque à courbure constante.
Ceci est un résultat en commun avec Misha Bialy et Andrey Mironov,
de trois articles séparés: deux articles de Bialy et Mironov et le preprint du conférencier
(la preuve dans le cas Euclideen est disponible sur l'archive; la preuve dans le cas général de courbure
constante est en préparation). Nous ferons un survol de résultats concernant la conjecture originale
(non algébrique) de Birkhoff, avec les résultats remarquables récents de Vadim Kaloshin, Alphonso Sorrentino et al. |
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Résumé : Dans cet exposé, on s'intéressera au spectre de variétés hyperboliques
de volume infini et géométriquement finies. On verra comment la notion de résonance intervient dans
divers problèmes (equations d'ondes, comptage dans les groupes discrets, vitesse de mélange) et on passera en revue
des résultats récents obtenus sur ce sujet, au carrefour de l'analyse microlocale, des systèmes dynamiques et de la théorie des nombres. |
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Résumé : |
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Résumé : Si G est un groupe simple de rang au moins 2 et P un sous-groupe parabolique de G, Margulis a conjecturé que tout sous-groupe discret, Zariski-dense de G intersectant le radical unipotent de P en un réseau est un réseau arithmétique de G.
Au travers de deux exemples, je présenterai une preuve de cette conjecture qui utilise des travaux de G. Margulis, H. Oh et le théorème de Ratner. |
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Résumé : Dans cet exposé, on s’intéresse à l'étude de la topologie de l'espace
des transformations des contact par rapport à celle de l'espace des
difféomorphismes de la variété lisse sous-jacente. Après une introduction
générale à ce problème, on donnera un aperçu des résultats connus et on
décrira des nouveaux exemples de contactomorphismes de variétés vrillées
fermées de dimensions 2n+1 qui sont isotopes à l'identité de façon lisse mais
pas en tant que contactomorphismes. |
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Résumé : Les agencements de cercles sont une des façons d'uniformiser des graphes
sur des surfaces, en les plongeant de telle sorte que chaque face admette
un cercle circonscrit. Dans cet exposé, je décrirai un système
dynamique sur les agencements de cercles avec la combinatoire du réseau
carré, la dynamique de Miquel. Sa définition repose sur un théorème
classique de géométrie du plan, le théorème des six cercles de Miquel. Je
présenterai certaines propriétés de cette dynamique, suggérant son
caractère intégrable.
Travaux en partie en collaboration avec Alexey Glutsyuk (UMPA). |
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Résumé : Soit E un fibré plat de rang r au-dessus d'une variété kählérienne. On peut définir le spectre de Lyapunov de E : c'est un ensemble de r exposants réels contrôlant la croissance des sections plates de E, le long de trajectoires browniennes. J'expliquerai comment calculer ces exposants, en utilisant la notion de mesure harmonique sur un espace feuilleté. Je montrerai ensuite une inégalité reliant ces nombres aux degrés des sous-fibrés holomorphes de E, et je discuterai du cas d'égalité. |
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Résumé : I willl survey the classification of overtwisted contact
structures on $S^3$. This has implications for the contact mapping class
group. |
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Résumé : L'objectif de cet exposé est d'étudier des systèmes hamiltoniens encodant certains aspects de la géométrie des courbes complexes. Plus précisément, nous verrons la notion de théorie cohomologique des champs et je décrirai brièvement deux types de hiérarchies intégrables qui y sont naturellement attachés. De plus, une récente conjecture prédit l'équivalence entre ces deux types et j'expliquerai en quoi cela nous permet de conjecturer de nouveaux résultats sur la cohomologie des espaces de modules des courbes complexes. Il s'agit d'un travail en collaboration avec A. Buryak et P. Rossi. |
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Résumé : Le théorème de décomposition de Beauville - Bogomolov affirme que
toute variété compacte kählérienne dont la première classe de Chern
est nulle est - à un revêtement étale fini près - le produit d’un
tore, de variétés de Calabi-Yau et de variétés symplectiques
irréductibles. Je présenterai un analogue de ce résultat pour les
variétés complexes projectives (peu) singulières (d'après Druel /
Greb-Guenancia-Kebekus / Höring-Peternell). |
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Résumé : Soit S une surface projective complexe de genre geometrique p_g>0. Le groupe de Chow des 0-cycles de S est alors de dimension infinie. Une vieille conjecture de Voisin stipule neanmoins que les 0-cycles de S deviennent « controlables » sur la puissance S^m avec m>p_g. On expliquera les raisons d’etre de cette conjecture, et on donnera quelques nouveaux exemples de surfaces (avec p_g jusqu’a 45) ou la conjecture est verifiee. |
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Résumé : Dans la classification locale des équations différentielles, les torseurs
sous un certain faisceau en groupes algébriques (le faisceau de Stokes)
jouent un rôle fondamental. Pour une variété lisse sur un corps fini,
Deligne a introduit une notion de squelette de systèmes locaux l-adiques,
a prouvé l’existence d’une variété algébrique affine dont les points
paramètrent les squelettes et pose la question de savoir si tout tel
squelette provient d’un système local l-adique. Dans cet exposé, on
expliquera comment un analogue de cette question pour les torseurs de
Stokes permet de munir l'ensemble des torseurs d'une structure de variété algébrique, puis on donnera quelques applications de ce résultat. |
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Résumé : L'inégalité de Smith-Thom nous dit que la somme des nombres de Betti des points réels d'une variété algébrique réelle est toujours inférieure ou égale à la somme des nombres de Betti de ses points complexes. Dans le cas de l'égalité, la variété algébrique réelle est appelée maximale. Etant donné un fibré en droites holomorphes réel L au dessus d'une variété algébrique réelle X, je vais prouver que la probabilité qu'une section holomorphe réelle de L^d définisse une hypersurface maximale tend vers 0 exponentiellement vite lorsque d tend vers l'infini. |
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Résumé : Quel est le comportement dynamique de l'algorithme naïf de rotation d'images numériques ? Plus précisément, on aimerait comprendre le phénomène de perte d'information induit par cet algorithme. Le théorème principal est que pour "presque toute" matrice de SL_n(R), cette perte d'information est asymptotiquement arbitrairement grande. La preuve se fait en deux étapes. Tout d'abord, on transforme l'itération en une augmentation de la dimension ambiante, en utilisant des idées venues des quasi-cristaux ; on y voit apparaître des conditions algébriques de non-résonance des coefficients de la matrice. Ensuite, on résout ce problème en grande dimension, via des théorèmes de théorie géométrique des nombres. |
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Résumé : (Joint work with Olivier Benoist.) The Lüroth problem asks whether
unirational varieties are rational. It has a positive answer for complex
curves and surfaces; negative answers for complex threefolds have been
understood since the 70's. I will discuss the Lüroth problem for real
algebraic varieties that are geometrically rational and explain a
counterexample not accounted for by the topology of the real locus or by
a nontrivial unramified cohomology group over the reals. |
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Résumé : I will discuss two different approaches to systematically studying invariant sets of Hamiltonian systems. The first approach builds heavily on results due to Viterbo and Vichery. I will discuss how an analogue of Mather's alpha-function arises from homogenized Floer homological Lagrangian spectral invariants and how it gives rise to the existence of an analogue of Mather measures (from Aubry-Mather theory) to general symplectic manifolds. Unlike what happens in the Tonelli case, I will show that the support of these measures can be extremely "wild" in the non-convex case. I will explain how this phenomenon is closely related to diffusion phenomena such as Arnold' diffusion. The second approach builds on work due to Buhovsky-Entov-Polterovich and provides a C^0-analogue of Mather measures for Hamiltonians on "flexible" symplectic manifolds. I will discuss applications to Hamiltonian systems on twisted cotangent bundles and R^2n. |
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Résumé : Pour les surfaces K3, il est bien connu que les classes de
cohomologie de fibrés amples, ou les classes de Kähler dans le cas
non-projectif, sont les classes dont le carré, ainsi que le nombre
d'intersection avec toute (-2)-courbe, est positif. Je vais expliquer
comment cet énoncé se généralise en dimension supérieure et donner
quelques applications. |
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Résumé : La dualité de Poincaré est une symétrie remarquable entre quantités homologiques et cohomologiques, spécifique aux variétés de dimension finie. Une telle symétrie a été observée depuis longtemps pour les principes variationnels qui détectent les géodésiques fermées, formulés dans des espaces de lacets. J’expliquerai comment formaliser la dualité de Poincaré dans ce cadre. Il s’agit d’un travail en cours avec Kai Cieliebak et Nancy Hingston. Alors même que le problème d’origine est riemannien, notre solution utilise des méthodes symplectiques. |
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Résumé : Etant donnés une variété projective (ou compacte kahlerienne) X et un automorphisme (ou transformation birationnelle) $f \colon X \to X$, l’étude de la dynamique de $f$ consiste par exemple à déterminer la densité des orbites et d’autres mesures de la chaoticité du système; une autre question intéressante est de déterminer l’existence de structures géométriques invariantes (feuilletages, structures principales…). Lorsque ces structures (qui dans les systèmes dynamiques typiques sont différentiables ou même juste continues) sont en fait algébriques ou holomorphes, de nombreux résultats de rigidité permettent essentiellement de classifier la situation. Dans cet exposé je donnerai un panoramique de ce genre de résultats et je parlerai d’un travail en cours et des différentes techniques qui peuvent jouer un rôle dans les preuves: cohomologie et théorie de l’intersection, notions de positivité des formes, structures principales et structures géométriques “à la Gromov”, résultats d’hyperbolicité issus des systèmes dynamiques... |
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Résumé : Dans l'espace projectif complexe, les lieux de zéros de polynômes génériques complexes homogènes de même degré ont ceci de très particulier, qu'ils sont tous difféomorphes. En particulier, dans le plan projectif complexe, les courbes lisses complexes de même degré sont des surfaces de Riemann connexes de même genre. Si l'on équipe ces courbes de la restriction de la métrique ambiante et si l'on choisit au hasard la courbe, à quoi peut-on s'attendre concernant la taille de sa systole ? Je fournirai une réponse partielle à cette question, analogue à un résultat de M. Mirzakhani pour les surfaces hyperboliques aléatoires. En dimension supérieure, il s'avère que ce type d'argument probabiliste permet de démontrer un résultat \emph{déterministe} concernant les sous-variétés lagrangiennes et l'homologie des hypersurfaces projectives équipées de la restriction de la forme symplectique ambiante. |
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Résumé : A classical problem in enumerative geometry is the count of the number of linear spaces satisfying some geometric conditions (e.g. the number of lines meeting four generic lines in projective space). Problems of this type are usually approached with the technique of Schubert Calculus, which describes how cycles intersect in the Grassmannian. In this talk I will present a novel approach to these questions which comes after adopting a probabilistic point of view―the main idea is the replacement of the word generic with random. Of course over the complex numbers this gives the same answer, but it also allows to compute other quantities especially meaningful over the reals, where the generic number of solutions is not defined (e.g. the signed count or the average count).
(This is based on joint work with P. Bürgisser) |
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Résumé : According to Thurston, elements in the mapping class group can be Pseudo-Anosov, reducible, or finite order. In the particular case of the once punctured torus, where the mapping class group is nothing other than SL_2Z, Pseudo-Anosov elements correspond to diagonalisable elements whose eigenvalues have norm other than 1. Anyways, it is suspected that Pseudo-Anosov elements are generic. In fact, is known that a random walk (of say full support) in the mapping class group produces pseudo-Anosov elements with probability tending to 1, but there are many other ways in which pseudo-Anosov elements are suspected to be generic. In this talk I will explain why they are generic when we remember that the mapping class group is made out of mapping classes. This is joint work with V. Erlandsson and J. Tao. |
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Résumé : Une structure causale sur une variété consiste en la donnée d’un champ de cônes tangents: un cône convexe saillant dans l’espace tangent de tout point. Nous nous intéressons au groupe d’automorphismes d’une telle structure et particulièrement au cas où ce groupe agit non-proprement. |
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Résumé : Planar contact manifolds, those that correspond to an open book decomposition with genus zero pages, have been intensively studied to understand several aspects of 3-dimensional contact topology. In this talk, we present a higher-dimensional notion of planarity, iterated planarity, and provide several generalizations of results for planar contact 3- manifolds, to higher dimensions. This is partly joint work with A. Moreno. |
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Résumé : Dans cet exposé nous commencerons par rappeler la notion de fronts d'ondes de distributions dans le cadre de l'analyse réelle. Nous introduirons ensuite le cadre non archimédien et présenterons les constructions et propriétés analogues de ces objets géométriques sur un corps local non archimédien K, comme Qp ou Fp((t)). En utilisant l'intégration motivique à la Cluckers - Loeser, nous traiterons ensuite le cas motivique (K=C((t)) ), puis celui d'une famille de corps locaux non archimédiens. Nous expliquerons notamment en quoi la théorie des modèles des corps valués et la géométrie modérée des définissables utilisés, offrent des résultats d'uniformité en le corps local considéré, des résultats de finitude nécessaires aux constructions motiviques et de bonnes propriétés géométriques pour les fronts d'ondes de distributions définissables.
Ce travail est partiellement en commun avec R. Cluckers, I. Halupczok et F. Loeser |
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Résumé : La conjecture de Mahler postule que parmi les convexes symétriques, le produit volumique, c’est à dire le produit du volume du convexe par celui de son polaire, est minimum pour le cube. Dans leur article de 2017 de 70 pages, Iriyeh et Shibata ont démontré la conjecture de Mahler pour les convexes symétriques en dimension 3 en étendant une démonstration de Mathieu Meyer sur les convexes inconditionnels. Nous présenterons le problème, les solutions partielles et une preuve courte et simplifiée qui comprend aussi la stabilité autour du minimum. Travail commun avec Alfredo Hubard, Mathieu Meyer, Edgardo Golden-Pensado et Artem Zvavitch.
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Résumé : Je parlerai d'un travail en commun avec Ciliberto, Galati et Knutsen. Dans un premier temps, je décrirai les composantes irréductibles des espaces de modules de surfaces d'Enriques que nous avons récemment identifiées, et prouverai leur unirationalité ou uniréglage selon les cas. Si le temps le permet, j'étudierai ensuite les modules des courbes sur les surfaces d'Enriques correspondantes. |
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Résumé : Martin Deraux a récemment montré que l'on pouvait obtenir certains quotients orbifolds de la boule de dimension 2 par des réseaux non arithmétiques, comme quotients de la jacobienne de la courbe de Bolza (à transformation birationnelle près). Dans cet exposé, je montrerai, comme l'avait prédit Deraux, que ce dernier quotient est l'espace projectif à poids P(1,3,8). J'expliquerai aussi comment ces quotients de la boule sont reliés à des configurations intéressantes de courbes de petit degré dans l'espace projectif de dimension 2. |
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Résumé : On présentera (de manière accessible) un invariant fonctoriel d'enchevêtrements dans des variétés de dimension 3. |
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Résumé : Dans cet exposé, je donnerai la structure des feuilletages réguliers dont le fibré anti-canonique est semi-positif. J'expliquerai en particulier que leur étude se réduit à celle des feuilletages réguliers dont la première classe de Chern est nulle. Je décrirai enfin la structure (en grande partie conjecturale) de ces derniers. |
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Résumé : Journée topologie et géométrie - Fédération Auvergne-Rhône-Alpes |
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Résumé : Le cotangent d'une variété différentielle $M$ a une structure symplectique |
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Résumé : Je vais discuter de travaux très préliminaires étudiant l'action de Z_2 sur les invariant legendriens standards lorsque les legendriennes étudiées sont des revêtements doubles de legendriennes pour une structure de contact non-corientable. Je me concentrerai sur la structure d'involution apparaissant sur la catégorie d'augmentations dans ce contexte et sur une version Z_2 équivariante de l'homologie de contact legendrienne. Dans une dernière partie plus spéculative je veux parler de conjectures reliant cette homologie à d'autres théories et de certains problèmes naturelle pour lesquels ces considérations peuvent être utiles. |
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Résumé : Je présenterai les idées principales ayant mené à la démonstration récente de ce résultat. Celle-ci s'appuie sur des techniques de topologie symplectique C⁰ et sur une théorie sophistiquée, l'homlogie de Floer périodique, due à Hutchings. Il s'agit d'un travail en commun avec Dan Cristofaro-Gardiner et Sobhan Seyfaddini. |
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Résumé : Dans cet exposé, nous commencerons par rappeler les formules classiques reliant la caractéristique d'Euler d'une fibre d'un polynôme à coefficients complexes f, à ses singularités et à son défaut d'équisingularité à l'infini dans une compactification. En utilisant les techniques de Denef-Loeser et Guibert-Loeser-Merle, nous définirons ensuite des invariants motiviques à l'infini de f. Ceux-ci sont construits à l'aide d'une compactification mais n'en dépendent pas. Ils se réalisent sur les invariants topologiques classiques à l'infini de f et sont génériquement nuls. Il est alors naturel de se demander si la nullité de l'invariant motivique à l'infini pour une valeur a implique la trivialité topologique de f au voisinage de a. En utilisant certains résultats de Parusinski, nous considérerons par exemple le cas des singularités isolées à l'infini. Nous traiterons par exemple le cas à deux variables où les calculs peuvent être formulés en termes des polygones de Newton de f. Techniquement, lorsque le polynôme est non dégénéré pour son polygone de Newton, le calcul est aisé, dans le cas contraire, nous proposons un raisonnement par induction utilisant des transformations de Newton et des polygones itérés à hauteur décroissante. Enfin, si le temps le permet nous donnerons une version analytique à la Berkovich des invariants motiviques à l'infini. Travail en commun avec Pierrette Cassou-Nogues (Bordeaux) et Lorenzo Fantini (Frankfurt) |
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Résumé : Il s'agit d'un travail en collaboration avec Guillarmou, Rivière et Shen et d'un travail en cours avec Chaubet. Soit $M$ une variété de dimension 2d+1 munie d'un flot $\varphi^t$ Anosov et $\rho:\pi_1(M)\mapsto GL_n(C)$ une représentation du groupe fondamental. On considère la fonction zeta de Ruelle tordue définie comme un produit infini |
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Résumé : We are interested in electromagnetic billiards on an open bounded domain with smooth boundary in an n-dimensional connected closed Riemannian manifold. In particular, we study periodic orbits on a prescribed energy level. This is a generalization of the classical billiard game for nonvanishing potential. In this generalized situation we are able to show that for energy values above the Mañé critical value, there exists a magnetic bounce orbit. In my talk, I will first describe how I play billiards, in particular explain the notion of magnetic bounce orbits, and then give an idea of the proof of the existence of magnetic bounce orbits. |
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Résumé : Nous montrons que diverses classes de variétés réelles, comme les hypersurfaces cubiques lisses de dimension au moins 2, ou les groupes algébriques linéaires et leurs espaces homogènes, vérifient la propriété suivante: tout lacet peut être approché par une courbe algébrique rationnelle. Pour ce faire, nous introduisons la notion d'approximation fine pour les variétés définies sur le corps des fonctions d'une courbe complexe ou réelle, et établissons des théorèmes de descente et de fibration pour cette dernière. Il s'agit d'un travail en commun avec Olivier Benoist. |
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Source : Indico - Math évènementiel - GDS Mathrice |