Institut Camille Jordan

L'inégalité de Smith-Thom nous dit que la somme des nombres de Betti des points réels d'une variété algébrique réelle est toujours inférieure ou égale à la somme des nombres de Betti de ses points complexes. Dans le cas de l'égalité, la variété algébrique réelle est appelée maximale. Etant donné un fibré en droites holomorphes réel L au dessus d'une variété algébrique réelle X, je vais prouver que la probabilité qu'une section holomorphe réelle de L^d définisse une hypersurface maximale tend vers 0 exponentiellement vite lorsque d tend vers l'infini.

Given a totally nonholonomic distribution of rank two $\Delta$ on a three-dimensional manifold $M$, it is natural to investigate the size of the set of points $\mathcal{X}^x$ that can be reached by singular horizontal paths starting from a same point $x \in M$. In this setting, the Sard conjecture states that $\mathcal{X}^x$ should be a subset of the so-called Martinet surface of 2-dimensional Hausdorff measure zero.

I will present a recent work in collaboration with A. Figalli, L. Rifford and A. Parusinski, where we show that the (strong version of the) conjecture holds in the analytic category in dimension 3. Our methods rely on resolution of singularities of surfaces, foliations and metrics; regularity analysis of Poincare transition maps; and on a symplectic argument.

On présentera (de manière accessible) un invariant fonctoriel d'enchevêtrements dans des variétés de dimension 3.
Cet invariant, qui compte des configurations de graphes, généralise un invariant de Vassiliev universel des entrelacs et un invariant universel de type fini des sphères d'homologie de dimension 3 introduit par Maxim Kontsevich, et étudié par Greg Kuperberg et Dylan Thurston, après l'étude de Witten du développement perturbatif de la théorie de Chern-Simons.

Je présenterai les idées principales ayant mené à la démonstration récente de ce résultat.  Celle-ci s'appuie sur des techniques de topologie symplectique C⁰ et sur une théorie sophistiquée, l'homlogie de Floer périodique, due à Hutchings. Il s'agit d'un travail en commun avec Dan Cristofaro-Gardiner et Sobhan Seyfaddini.

Dans cet exposé, je donnerai la structure des feuilletages réguliers dont le fibré anti-canonique est semi-positif. J'expliquerai en particulier que leur étude se réduit à celle des feuilletages réguliers dont la première classe de Chern est nulle. Je décrirai enfin la structure (en grande partie conjecturale) de ces derniers. 

Je vais discuter de travaux très préliminaires étudiant
l'action de Z_2 sur les invariant legendriens standards lorsque les
legendriennes étudiées sont des revêtements doubles de legendriennes
pour une structure de contact non-corientable. Je me concentrerai sur la
structure d'involution apparaissant sur la catégorie d'augmentations
dans ce contexte et sur une version Z_2 équivariante de l'homologie de
contact legendrienne. Dans une dernière partie plus spéculative je veux
parler de conjectures reliant cette homologie à d'autres théories et de
certains problèmes naturelle pour lesquels ces considérations peuvent
être utiles.

 According to Thurston, elements in the mapping class group can be Pseudo-Anosov, reducible, or finite order. In the particular case of the once punctured torus, where the mapping class group is nothing other than SL_2Z, Pseudo-Anosov elements correspond to diagonalisable elements whose eigenvalues have norm other than 1. Anyways, it is suspected that Pseudo-Anosov elements are generic. In fact, is known that a random walk (of say full support) in the mapping class group produces pseudo-Anosov elements with probability tending to 1, but there are many other ways in which pseudo-Anosov elements are suspected to be generic. In this talk I will explain why they are generic when we remember that the mapping class group is made out of mapping classes. This is joint work with V. Erlandsson and J. Tao. 

Nous montrons que diverses classes de variétés réelles, comme les
hypersurfaces cubiques lisses de dimension au moins 2, ou les groupes
algébriques linéaires et leurs espaces homogènes, vérifient la propriété
suivante: tout lacet peut être approché par une courbe algébrique
rationnelle.  Pour ce faire, nous introduisons la notion d'approximation
fine pour les variétés définies sur le corps des fonctions d'une courbe
complexe ou réelle, et établissons des théorèmes de descente et de
fibration pour cette dernière.  Il s'agit d'un travail en commun avec
Olivier Benoist.

We are interested in electromagnetic billiards on an open bounded domain with smooth boundary in an n-dimensional connected closed Riemannian manifold. In particular, we study periodic orbits on a prescribed energy level. This is a generalization of the classical billiard game for nonvanishing potential. In this generalized situation we are able to show that for energy values above the Mañé critical value, there exists a magnetic bounce orbit. In my talk, I will first describe how I play billiards, in particular explain the notion of magnetic bounce orbits, and then give an idea of the proof of the existence of magnetic bounce orbits.

Je parlerai d'un travail en commun avec Ciliberto, Galati et Knutsen.
Dans un premier temps, je décrirai les composantes irréductibles des
espaces de modules de surfaces d'Enriques que nous avons récemment
identifiées, et prouverai leur unirationalité ou uniréglage selon les
cas. Si le temps le permet, j'étudierai ensuite les modules des
courbes sur les surfaces d'Enriques correspondantes. 

Dans cet exposé, nous commencerons par rappeler les formules classiques reliant la caractéristique d'Euler d'une fibre d'un polynôme à coefficients complexes f, à ses singularités et à son défaut d'équisingularité à l'infini dans une compactification. En utilisant les techniques de Denef-Loeser et Guibert-Loeser-Merle, nous définirons ensuite des invariants motiviques à l'infini de f. 
Ceux-ci sont construits à l'aide d'une compactification mais n'en dépendent pas. Ils se réalisent sur les invariants topologiques classiques à l'infini de f et sont génériquement nuls. Il est alors naturel de se demander si la nullité de l'invariant motivique à l'infini pour une valeur a implique la trivialité topologique de f au voisinage de a. En utilisant certains résultats de Parusinski, nous considérerons par exemple le cas des singularités isolées à l'infini. Nous traiterons par exemple le cas à deux variables où les calculs peuvent être formulés en termes des polygones de Newton de f. Techniquement, lorsque le polynôme est non dégénéré pour son polygone de Newton, le calcul est aisé, dans le cas contraire, nous proposons un raisonnement par induction utilisant des transformations de Newton et des polygones itérés à hauteur décroissante. Enfin, si le temps le permet nous donnerons une version analytique à la Berkovich des invariants motiviques à l'infini. 

Travail en commun avec Pierrette Cassou-Nogues (Bordeaux) et Lorenzo Fantini (Frankfurt)

Le cotangent d'une variété différentielle $M$ a une structure symplectique
naturelle. Une sous-variété est lagrangienne si son tangent en chaque point est
un sous-espace lagrangien, c'est-à-dire égal à son orthogonal pour la forme
symplectique. Une conjecture d'Arnold dit qu'une sous-variété lagrangienne
exacte de $T^*M$, pour $M$ compacte, est isotope à la section nulle. Il existe
des obstructions topologiques à l'existence d'une telle isotopie. On montrera
l'annulation de certaines de ces obstructions.
 

Journée topologie et géométrie - Fédération Auvergne-Rhône-Alpes

Martin Deraux a récemment montré que l'on pouvait obtenir certains quotients orbifolds de la boule de dimension 2 par des réseaux non arithmétiques, comme quotients de la jacobienne de la courbe de Bolza (à transformation birationnelle près). Dans cet exposé, je montrerai, comme l'avait prédit Deraux, que ce dernier quotient est l'espace projectif à poids P(1,3,8). J'expliquerai aussi comment ces quotients de la boule sont reliés à des configurations intéressantes de courbes de petit degré dans l'espace projectif de dimension 2.
Il s'agit d'un travail en commun avec Carlos Rito et Xavier Roulleau.

Il s'agit d'un travail en collaboration avec Guillarmou, Rivière et Shen et d'un travail en cours avec Chaubet. Soit $M$ une variété de dimension 2d+1 munie d'un flot $\varphi^t$ Anosov et $\rho:\pi_1(M)\mapsto GL_n(C)$ une représentation du groupe fondamental. On considère la fonction zeta de Ruelle tordue définie comme un produit infini
$\zeta(\rho,z)=\Prod_\gamma \det(Id-\rho(\gamma)e^{-\ell(\gamma)z})^{(-1)^{d}} $
pris sur les orbites périodiques primitives du flot. Je vais parler des progrès récents sur une conjecture de Fried qui cherche à relier la valeur en zéro de cette fonction et un invariant topologique appelé "torsion de Reidemeister".

Planar contact manifolds, those that correspond to an open book decomposition with genus zero pages, have been intensively studied to understand several aspects of 3-dimensional contact topology. In this talk, we present a higher-dimensional notion of planarity, iterated planarity, and provide several generalizations of results for planar contact 3- manifolds, to higher dimensions. This is partly joint work with A. Moreno.

Etant donnés une variété projective (ou compacte kahlerienne) X et un automorphisme (ou transformation birationnelle) $f \colon X \to X$, l’étude de la dynamique de $f$ consiste par exemple à déterminer la densité des orbites et d’autres mesures de la chaoticité du système; une autre question intéressante est de déterminer l’existence de structures géométriques invariantes (feuilletages, structures principales…). Lorsque ces structures (qui dans les systèmes dynamiques typiques sont différentiables ou même juste continues) sont en fait algébriques ou holomorphes, de nombreux résultats de rigidité permettent essentiellement de classifier la situation. Dans cet exposé je donnerai un panoramique de ce genre de résultats et je parlerai d’un travail en cours et des différentes techniques qui peuvent jouer un rôle dans les preuves: cohomologie et théorie de l’intersection, notions de positivité des formes, structures principales et structures géométriques “à la Gromov”, résultats d’hyperbolicité issus des systèmes dynamiques...

Une structure causale sur une variété consiste en la donnée d’un champ de cônes tangents: un cône convexe saillant dans l’espace tangent de tout point. Nous nous intéressons au groupe d’automorphismes d’une telle structure et particulièrement au cas où ce groupe agit non-proprement.

A 3-manifold is said to be $SU(2)$-cyclic if every representation of its fundamental group into $SU(2)$ has cyclic image.  We will use this notion to discuss several questions about Dehn surgery.  These include a proof, free of any gauge theory or Floer homology, that infinitely many 3-manifolds with weight-one fundamental group cannot be constructed by Dehn surgery on a knot in $\mathbb{S}^3$ ; and the construction of one-cusped hyperbolic 3-manifolds that have many $SU(2)$-cyclic Dehn fillings.  This is joint work with Raphael Zentner.

Le théorème de Kazhdan-Margulis implique que dans un groupe de Lie semi-simple G, l'ensemble des covolumes des réseaux de G admet une borne inférieure strictement positive. Dans un travail en commun avec Pierre-Emmanuel Caprace, nous étudions ce problème et certaines variantes dans le cadre de produits de groupes simples totalement discontinus. Le but de l'exposé sera de présenter quelques uns de ces résultats, et peut être également certains résultats intermédiaires, notamment l'étude de l'approximation d'un groupe G par des réseaux dans l'espace de Chabauty Sub(G) des sous-groupes fermés de G.

Le premier but des techniques asymptotiques de Donaldson-Auroux  était de transposer dans le cadre général
de la géométrie symplectique certains résultats classiques de géométrie projective. Néanmoins, Donaldson avait
noté que ces techniques avaient aussi des applications dans le cadre projectif. On présentera de nouveaux
exemples de telles applications.

Le degré de la variété des sécantes d'une courbe projective est un sujet très classique en géométrie algébrique, dont la réponse est aujourd'hui connue. La même question pour les surfaces est au contraire beaucoup plus difficile. Le but du séminaire est de montrer que si la surface est plongée dans un espace projectif par un fibré en droites suffisemment ample (au moins 2-très ample), alors on peut donner une formule simple pour le degré de sa variété des sécantes.
En particulier, après avoir rappellé la notion de fibré en droites k-très ample, on peut plonger le schéma de Hilbert des deux points de la surface dans une variété  grassmannienne, et utiliser ce plongement pour calculer le degré.

I will discuss some questions in the cycle theory of moduli spaces of polarized irreducible holomorphic symplectic manifolds, such as generalized Frachetta conjecture and tautological conjecture. Besides, I will talk about the properties of the tautological ring and their applications. This is a joint work with Nicolas Bergeron.

Cohomology algebra of hyperkähler manifolds is Frobenius algebra and the total Lie algebra of Lefschetz sl(2)-triples acting on it is so(4,b_2-2) by results of Loojenga-Lunts and Verbitsky. I will discuss the generalization of the classic Kuga-Satake construction (joint with M.Verbitsky and A.Soldatenkov) which allows us to embed cohomology of hyperkähler manifolds to cohomology of some complex torus, and it is a morphism of Hodge structures . Also I will briefly explain some interesting corollaries.

It has been known for some time that holomorphic symplectic varieties can be constructed from moduli of curves or sheaves on a four-dimensional hypersurface Y of degree 3 in projective space. By seminal work of Kuznetsov, this can be understood in terms of certain subcategories in the derived category of Y that behave like the derived category of a K3 surface. In the talk, I will try to give concrete geometric interpretations of these facts and, if time allows, report on more recent results of joint work with Nagai Y. and D. van Straten.

Dans cet exposé je présenterai un projet en commun avec Sara Angela, Filippini, Laurent Manivel et Fabio Tanturri sur les lieux de dégénérescence orbitaux. Ces lieux sont construits comme sous-variétés d'une variété ambiante à partir d'un modèle, qui est généralement une adhérence d'orbite dans un espace affine; ils généralisent les lieux de dégénérescence de morphismes entre fibrés vectoriels. Motivé par la construction de variétés de Fano, Calabi-Yau et hyperkhalériennes, je montrerai comment contrôler le fibré canoniques de ces lieux, en utilisant une résolution de leur faisceau structural. La construction sera rendue explicite par des exemples significatifs.
 

C'est connu que la structure de contact standard sur l'espace projectif réel de dimension cinq, obtenue par quotient de la structure de contact standard sur la sphère, est remplissable fortement mais pas de Weinstein. En étudiant les dégénérescences d'un espace de modules de sphères holomorphes, je montrerai qu'elle n'est pas remplissable de Liouville non plus, c'est à dire qu'elle n'admet pas de remplissage fort dont la forme symplectique est exacte. Il s'agit d'un travail en cours avec Klaus Niederkrüger.

The relative irregularity of a fibration from a surface S to a curve B is defined to be the difference between the irregularity of S and the genus of B. What we call nowadays "Xiao's Conjecture" (a slight modification of the original conjecture of Xiao) predicts a sharp bound for the relative irregularity in terms of the genus of the generic fiber. The conjecture is known to be true in some cases but it is safe to say that is widely open. I will talk about some recent ideas in order to approach the conjecture in the cases where the genus of the general fiber is small. In particular, I will talk about a work in collaboration with J.C. Naranjo and G.P. Pirola in which we proved the conjecture for one of the open cases: fibrations whose general fiber is a plane quintic curve.

Nous nous intéressons aux éléments du groupe des difféomorphismes 
holomorphes des variétés kähleriennes complexes qui ont une "basse 
complexité". Ils peuvent être étudiés sous différentes angles : étude 
des automorphismes sans orbite périodique, équicontinuité, comportement 
des dérivées des itérations, automorphismes d'entropie topologique nulle...

Pour ces derniers, la notion plus fine d'entropie polynomiale peut être 
définie pour mesurer la complexité. Cette notion était déjà étudiée dans 
quelques contextes dynamiques :  systèmes hamiltoniens intégrables, 
homéomorphismes de Brouwer, flots géodésiques, homéomorphismes du 
cercle, etc. Dans cet exposé, je formulerai des résultats et des 
conjectures concernant des applications "simples" et leur entropie 
polynomiale dans le cadre holomorphe. Ceci est un travail en cours avec 
Serge Cantat.

Dans cet exposé, je vais formuler et discuter d'un point de vue mathématique quelques problèmes et résultats concernant les surfaces de Riemann, les courbes tropicales et leurs espaces de modules, qui émergent de l'idée de réaliser les amplitudes de Feynman comme limite à basse énergie des amplitudes en théorie des cordes, ainsi suggéré par les physiciens. Le lien est fourni par la topologie hybride qui relie le monde non-archimédien et tropical au monde archimédien. Ceci est un travail en commun avec S. Bloch, J. Burgos et J. Fresan.

The Seshadri constant of a polarized variety (X,L) at a point x measures how positive is the polarization L at x. If x is very general, the Seshadri constant does not depend on x, and captures global information on X. Inspired by ideas from the Geometry of Numbers, we introduce in this talk successive Seshadri minima, such that the last one is the Seshadri constant at a point, and the first one is the width of the polarization at the point. Assuming the point is very general, we obtain two results: a) the product of the successive Seshadri minima is proportional to the volume of the polarization; b) if X is toric, the i-th successive Seshadri constant is proportional to the i-th successive minima of a suitable 0-symmetric convex body. Based on joint work with Atsushi Ito.

Gaberdiel, Hohenegger and Volpato (GHV) characterized automorphism groups of K3 sigma models in terms of Mukai lattice and Leech lattice. Huybrechts gave a geometric interpretation of GHV Theorem in terms of derived categories of K3 surfaces and Bridgeland stability conditions on them. In this talk, I would like to characterize symplectic automorphism groups of cubic fourfolds as automorphism groups of certain K3 sigma models using Bridgeland stability conditions on Kuznetsov’s K3 categories due to Bayer, Lahoz, Macri and Stellari.

L’inégalité de Smith-Thom borne la somme des nombres de Betti de la partie réelle d’une variété algébrique réelle par la somme des nombres de Betti de sa partie complexe. Dans cet exposé, nous expliquerons une preuve d’une conjecture d’Itenberg qui raffine cette borne pour une classe particulière d’hypersurfaces réelles projectives en termes de ses nombres de Hodge. Les hypersurfaces considérées proviennent de la construction du patchwork de Viro, qui est une méthode combinatoire puissante de construction d’hypersurfaces algébrique réelles. Pour démontrer la conjecture d’Itenberg, nous développons un analogue réel de l’homologie tropicale et, à l’aide d’une suite spectrale, nous la comparons à l’homologie tropicale définie par Itenberg, Katzarkov, Mikhalkin et Zharkov. L’homologie tropicale redonne les nombres de Hodge d’une variété projective complexe, et sa version réelle détermine les nombres de Betti de sa partie réelle. Comprendre plus en détail la suite spectrale apparaissant dans la preuve est une des clefs pour contrôler la topologie de l’hypersurface réelle provenant d’un patchwork.

La théorie de l'intégration convexe a été inventée dans les années 70 par Gromov. Elle permet de résoudre de vastes familles de relations différentielles au moyen d'une succession d'"intégrations convexes" appliquées à des sous-solutions. Elle a conduit récemment à la construction explicite de plongements isométriques C^1. Dans cet exposé, nous proposerons une formule alternative aux intégrations convexes. Nous verrons quelles sont ses avantages et dans quel sens elle permet de faire disparaître l'intégrale. À titre d'application, nous construirons une nouvelle immersion de l'espace projectif dans l'espace ambiant.

Soit X une variété kählerienne compacte à courbure holomorphe sectionnelle négative. Le lemme d'Ahlfors-Schwarz montre que toute fonction holomorphe f: \C \to X est constante, ie X est Brody hyperbolique. Une conjecture célèbre de S. Lang prédit alors que toute sous-variété irréductible de X doit être de type général, c'est-à-dire que son fibré canonique est de dimension de Kodaira maximale. Je présenterai une preuve de cette conjecture dans ce cas particulier, en généralisant des travaux de Wu-Yau et Tosatti-Yang. Si le temps le permet, je donnerais également une version quasi-projective de ce théorème.

En 1992, Viterbo proposa de nouveaux moyens d’étudier la dynamique hamiltonienne de $\mathbb{R}^{2n}$ en appliquant la théorie de Morse à l’étude des fonctions génératrices. Parmi ces résultats figurent une nouvelle preuve du théorème de non-tassement de Gromov (1985) ainsi que l’esquisse d’une preuve du théorème du chameau symplectique. Une partie importante de ce travail fut étendue à l’étude de la géométrie de contact de $\mathbb{R}^{2n}\times S^1$ par Sandon en 2011. Ceci permit à Sandon de retrouver le théorème de non-tassement de Eliashberg, Kim et Polterovich (2006).
Dans cet exposé, je rappellerai les points essentiels de ces théories et donnerai une idée de la façon dont la preuve esquissée par Viterbo permet d’obtenir une démonstration du théorème du chameau symplectique s’étendant facilement au cas de la géométrie de contact.

Étant donnée une variété de contact V, on note G le revêtement universel du groupe des automorphismes isotopes à l'identité de V. Un théorème de Rybicki publié en 2010 affirme que G est un groupe parfait: tout élément f est le produit d'un nombre fini de commutateurs. Si ce nombre fini peut être majoré indépendamment de f, on dit que le groupe est uniformément parfait. La question qui nous occupe principalement est la suivante : pour quelles V le groupe G est-il uniformément parfait ? C'est le cas quand V est la sphère standard (à l'exception du cercle) d'après Fraser-Rosen-Polterovich 2017 et c'était le seul cas connu. En revanche, c'est faux si V est l'espace projectif d'après Givental 1990. J'expliquerai le résultat suivant obtenu avec Patrick Massot: G est uniformément parfait dès que V admet une décomposition en livre ouvert à pages flexibles. Cela fournit un lien entre les propriétés purement algébriques de G et la topologie de contact de V. Un ingrédient principal de la démonstration est le h-principe de Murphy concernant les plongements legendriens lâches.

The formality conjecture for K3 surfaces, formulated by D.Kaledin and M.Lehn, states that on a complex projective K3 surface, the differential graded algebra RHom(F,F) is formal for any coherent sheaf F polystable with respect to an ample line bundle. In this talk, I will explain how to combine techniques from twistor spaces, dg categories and Fourier-Mukai transforms to prove this conjecture, and how to generalize it to derived objects. Based on joint work with Nero Budur.
 

Les espaces projectifs sont les variétés projectives les plus simples, et leurs groupes des transformations birationnelles, appelé groupe de Cremona, sont très grand. En 1895 Enriques posait la question: est-ce que les groupes de Cremona contiennent des sous-groupes normaux non-trivials et propres? La réponse pour le groupe de Cremona du plan est positive (S. Cantat et S. Lamy, 2013), mais la preuve ne s’étend pas aux dimensions plus grandes. Je vais présenter le travail commun avec J. Blanc et S. Lamy, où construit des quotients des groupes de Cremona de l’espace projectif de dimension >3, qui nous donnes une infinité des sous-groupes normaux d’index 2.

On present une demonstration directe du théoreme de Gromov sur  non-squeezing symplectique. Notre approche n'utilise que des propriétés analytiques de  l'integrale de Cauchy et se generalise dans le cas des espaces de Hilberts symplectiques. Ces resultats s'appliquent aux flow des operateurs de Schrödinger discrets. Il s'agit de travail en colaboration avec A.Tumanov (University of Illinois).

J'expliquerai comment borner supérieurement la topologie d'un sous-complexe aléatoire dans un complexe simplicial, comment un empilement de simplexes disjoints permet d'améliorer ces bornes et comment un pavage permet d'obtenir de bons empilements. Il s'agit d'un travail en commun avec Nermin Salepci

Le nombre de racines réelles d'un polynôme de degré d à coefficients réels dépend du choix du polynôme. Plus généralement, étant donné un fibré  en droites L au dessus d'une courbe définie sur les réels, le nombre de zéros réels d'une section de L dépend du choix de la section. Dans l'exposé, on s'intéressera aux  sections réelles d'un fibré en droites au dessus d'une courbe et on comptera les zéros réels d'une section choisie au hasard.

For a compact manifold $M^m$ we shall consider the space
$Met_{H^\alpha}(M)$ of all Riemannian metrics of Sobolev class $H^\alpha$ for real $\alpha > m/2$. The $L^2$-me$tric on $Met_{C^\infty}(M)$ was considered by DeWitt, Ebin, Freed and Groisser, Gil-Medrano and Michor, Clarke. Sobolev metrics of integer order on $Met_{C^\infty}(M)$ were considered in [M.Bauer, P.Harms, and P.W. Michor: Sobolev metrics on the manifold of all Riemannian metrics. J. Differential Geom.,94(2):187-208, 2013.]
The main result in this talk will be that the mapping  $g\mapsto(1+\Delta^g)^{(r-s)/2}$ is a smooth mapping $Met_{H^\alpha}(M) \to L(\Gamma_{H^s}(E),  \Gamma_{H^r}(E))$ for $r,s\in [-\alpha,\alpha]$, and is real analytic into the larger space $ L(\Gamma_{H^s}(E), \Gamma_{H^{r-\epsilon}}(E))$ for any $\epsilon >0$ so that also $r-\epsilon \in  [-\alpha,\alpha]$.
This leads to wellposed-ness of the geodesic equation of the Sobolev $H^\alpha$-metric 
$$ G^\alpha_g(h,k) = \int_M Tr(g^{-1}((1+\Delta^g)^{\alpha/2}h)g^{-1}k)vol(g)$$
on $Met_{H^s}(M)$ for each $s\ge \alpha$.
This result is from the recent paper [ Martin Bauer, Martins Bruveris, Philipp Harms, Peter W. Michor: Smoothness of the fractional Laplacian on the space of Riemannian metrics of Sobolev order]