Institut Camille Jordan

Résumé : 

Selon Albert Einstein, "Dieu ne joue pas aux dés, enfin, sauf de temps en temps, par exemple en stat".  Dans cet exposé qui se voudra le plus accessible possible, on (re)verra avec le Pr. Shadoko quelques-uns des concepts de base de statistique inférentielle, qui n'ont rien de bien sorcier au-delà d'un formalisme un peu tordu. On parlera en particulier de la notion de test : décider entre deux hypothèses en observant un échantillon aléatoire, en se permettant de dire n'importe quoi mais seulement avec faible probabilité.

Le cœur de l'exposé sera consacré au risque minimax, qui est une quantification très pessimiste de ce que l'on peut faire de mieux dans un problème donné. C'est donc un descripteur assez théorique de la difficulté d'un problème statistique : montrer que votre test préféré atteint le risque minimax, c'est jurer que personne au monde, pas même avec la carte Kiwi, ne sait faire mieux. Vous avez alors gagné votre badge World's #1 Statistician, au moins dans votre catégorie !

Résumé : 

Algèbre au XIXème siècle. Le nom de Galois est sans doute celui qui nous vient le plus souvent à l'esprit quand on parle d'algèbre à cette période. Pourtant, la théorie des équations continuait, pendant tout le XIXème siècle, d'être un sujet beaucoup plus vaste que la seule théorie de Galois. Revenir sur ce qui nous semble aujourd'hui constituer les "marges" de l'algèbre nous permettra de discuter des conceptions mathématiques du XIXème siècle, d'une manière historique et sans anachronisme. Il sera traité de résolution des équations, du dénombrement des racines, de leur séparation et de leur approximation. On finira également par discuter de résolutions graphiques voire même de construction de dispositifs physiques permettant de résoudre des équations.

Résumé : 

Ah oui, c'est le truc avec les bulles de savon, là ?
Oui. Exactement.

Je vous propose, le temps d'un croissant, une brève excursion dans l'intéressante histoire de l'inégalité isopérimétrique, des Grecs jusqu'à aujourd'hui. On complètera la preuve de Zénodore, on parlera de dimension 2, et n, et puis finalement, on verra pourquoi elle est fameusement équivalente à l'inégalité de Sobolev (optimale !).

Résumé : 

Les dessins d'enfants, ou de manière plus pédante les revêtements ramifiés de la sphère de Riemann à trois points singuliers, sont des objets fondamentaux en géométrie énumérative. Mais ils apparaissent aussi en théorie des graphes sous la forme des hypercartes, et en combinatoire sous la forme des 3-constellations... Je définirai ces trois notions, et expliquerai pourquoi elles sont équivalentes. Cet exposé se veut parfaitement accessible, que vous veniez de l'un de ces domaines ou non, et sera l'occasion de voir un exemple de "traduction" entre différentes disciplines mathématiques.

* J'offre un bonbon à la première personne qui me donnera la référence culturelle subtilement cachée dans le titre.

Résumé : "Quand y en a une ça va, c'est quand il y en a beaucoup que ça crée des problèmes." Cette phrase abjecte a été prononcée par un mathématicien anonyme au beau milieu du XXème siècle. Il parlait bien sûr des sphères et de leurs structures différentiables. Car en effet, dans les années 50, un grand mathématicien, John Milnor, trouve avec stupeur des variétés différentiables homéomorphes à la sphère standard mais non difféomorphes à la sphère standard. C'est une véritable petite révolution dans le monde de la topologie différentielle. Au cours de l'exposé, nous verrons, sans prise de tête, les techniques développées qui ont pu amener de tels résultats, et qui ont forgé la topologie différentielle du XXème siècle. On redéfinira tout ce qu'il y a à définir pour que le plus grand nombre puisse profiter de cette histoire formidable.

Résumé : 

Vous êtes fan d'Iron Man* ? Vous ne manquez jamais Game of Thrones ? Tous les soirs dans votre fauteuil (conçu par un designer prénommé Philippe**) vous relisez avec nostalgie votre manga préféré Bleach ?

Ne manquez surtout pas le prochain épisode : l'unité de Stark !

* ou fan de lapins***
** je ne parle pas d'un siège automobile
*** ou fan de carottes

Résumé : 

Dans cet exposé, je vous parlerai, sans surprise, de calcul des variations, c'est-à-dire de la minimisation d'une fonctionnelle. Partant de problèmes historiques, je tâcherai de vous expliquer d'où vient le calcul des variations et comment il apparaît de nos jours. Ensuite, je vous montrerai comment ça fonctionne, sur des exemples très (ou trop) simples puis sur un sujet moins évident. Enfin, je terminerai par une application en imagerie médicale. Aucun lapin ne sera blessé pendant l'exposé.

Résumé : 

Quelle est la forme optimale d'un donut?

Il s'agit de la Conjecture de Willmore, une question demeurant ouverte chez les mathématiciens boulangers pendant un demi-siècle et résolue en 2012.

En partant de la recherche de géodésiques fermées, l'exposé vise à présenter un cadre variationnel pour construire des surfaces d'aire minimales dans la sphère tridimensionnelle via la technique de min-max mise en oeuvre par Codá Marques et Neves, à qui l'on doit la preuve de cette conjecture.

Résumé : 

Les mots Sturmiens constituent la classe de mots les plus simples, au sens de leur nombre de facteurs, juste au-dessus des mots ultimement périodiques. Cette condition de non-complexité, très rigide, permet de les caractériser à l'aide de deux paramètres : leur pente et leur intercept. Constituant une classe relativement bien comprise de mots infinis, nous nous intéresserons au calcul de leur graphes des facteurs (graphes de Rauzy), ainsi que de leur fonction de répétition (temps avant la première répétition d'un facteur), pour s'approcher du calcul de leur exposant diophantien.

Dans une première partie, nous définirons et donnerons les principales propriétés des mots Sturmiens. Dans une seconde partie, nous définirons la notion d'intercept qui paramétrise les mots Sturmien d'une même pente. Enfin, nous donnerons la valeur explicite de la fonction de répétition d'un mot Sturmien en fonction des valeurs de ses paramètres, et en nous appuyant sur leur lecture dans leur graphes des facteurs. Nous conclurons en indiquant l'intérêt de ce calcul dans l'étude de l'exposant diophantien des mots Sturmiens.

Résumé : 

La théorie cinétique, formalisée par Boltzmann, a pour but d'expliquer le comportement macroscopique d'un système à partir du mouvement des particules qui le composent.
Dans cet exposé, après avoir présenté quelques modèles d'EDP cinétiques pour des applications en physique, biologie et sociologie, nous discuterons de la justification de ces modèles à partir des lois d’interaction entre particules. Nous nous concentrerons ensuite sur quelques propriétés mathématiques remarquables des équations de Vlasov décrivant la dynamique de plasmas ou de galaxies.

Résumé : 

Si vous avez tout compris au titre, vous n'avez pas besoin de venir. Sinon, à lundi !

Résumé : 

Dans un article à paraître dans Biological Conservation , S Jenouvrier, J Garnier, F Patout, L Desvillettes ont proposé  et analysé un modèle de dispersion des manchots empereurs. Cet exposé présentera le modèle, en tentant d'expliquer biologiquement chaque étape. Nous essaierons également d'expliquer les conclusions des projections du nombre de manchot empereurs en 2100 avec des outils simples de maths.

Résumé : 

Un concept important dans l'étude des groupes est la notion de représentation. Il s'agit de voir les éléments d'un groupe comme des matrices inversibles, la loi du groupe correspondant au produit matriciel.

On s'intéressera dans cet exposé aux cas de groupes bien connus : le groupe symétrique et le groupe linéaire. On verra que, dans ces deux cas, on peut décrire les représentations irréductibles (qui permettent de construire toutes les représentations) de ces groupes, et que la dualité de Schur-Weyl offre un joli lien entre les deux.

Le but sera ensuite de présenter un lien entre les représentations irréductibles du groupe linéaire et les fibrés en droites sur des variétés de drapeaux (tout sera bien sûr défini dans l'exposé) pour aboutir, s'il reste assez de temps, à une application à des coefficients issus de la théorie des représentations du groupe symétrique : les coefficients de Kronecker. 

Résumé : Partant d'un modèle de déplacement et transformation introduit dans le chef-d'oeuvre [Wright, Pegg, Frost et al. (2004)], je chercherai à donner une idée intuitive des raisons pour lesquelles les équations de Hamilton-Jacobi sont un bon outil pour étudier la propagation de fronts de réaction-sous-diffusion. Je ferai sommairement le lien avec un principe de grandes déviations et introduirai le formalisme Hamilton-Jacobi en partant de 0. N'ayez crainte, il ne mord pas ! Je finirai par montrer quelques complications que j'ai dû affronter récemment.

Résumé : 

Le but de cet exposé est de parler de l'efficacité des pots-de-vin (après tout, on est en période d'élections). L'outil principal sera un théorème génial : le « théorème KKL ».

J'espère que cet exposé intéressera : (i) les personnes qui aiment l'analyse fonctionnelle (le théorème KKL est une amélioration d'une inégalité de type Poincaré), (ii) les personnes qui aiment les probabilités (ce sera un exposé de probabilités discrètes), (iii) les personnes qui aiment les pots-de-vin et (iv) les personnes qui n'aiment ni l'analyse fonctionnelle ni les probabilités ni les pots-de-vin.

Résumé : 

Un système dynamique est un ensemble de composantes qui évoluent dans le temps dont on connaît l'ensemble possible d'états, la règle d'évolution et l'état initial. Les équations différentielles sont entre autre utilisées comme système dynamique. Je rappellerai comment trouver la solution de systèmes d'équations différentielles linéaires et comment étudier la stabilité des équilibres des systèmes non linéaires. Certains systèmes contiennent un ou des paramètres. La théorie des bifurcations permet d'étudier le comportement qualitatif et quantitatif à l'équilibre. Je montrerai différents diagrammes de bifurcation et expliquerai comment les interpréter.

Je terminerai par présenter comment mettre en équations un phénomène biologique (ici un modèle de l'interaction entre prions et A-bêta dans la maladie d'Alzheimer) et comment étudier le système résultant.

Résumé : 

Les réseaux sont des objets de nature à la fois algébrique et géométrique qui interviennent de manière naturelle dans divers domaines des mathématiques de la géométrie arithmétique à la cryptographie, en passant par la combinatoire et la théorie des graphes. Il est possible de comparer ces objets en regroupant les réseaux "semblables" sur le même sommet d’un graphe planaire, qui se révèle être un arbre. La distance entre deux sommets de l’arbre traduit alors à quel point deux réseaux sont différents au vu de cette classification. L’action d’un sous-groupe G du groupe linéaire de rang 2 s’observe directement sur l’arbre. Le graphe quotient obtenu, lorsque c’est possible de le définir, nous renseigne sur les propriétés algébriques et géométriques de G, mais permet également de classifier des objets de nature plus géométrique, comme les fibrés vectoriels de rang 2 sur une courbe projective ou encore les courbes elliptiques...

Dans cet exposé je construirai l’arbre des réseaux et m’attacherai à décrire l’action de G sur celui-ci, avant d’énoncer quelques applications d’une telle construction dans la preuve de résultats divers.

Résumé : 

Je vais expliquer les bases de la théorie des espaces de modules en géométrie complexe et algébrique. Un espace de modules, ce n'est rien d'autre qu'un espace de paramètres d'une classe d'objets, par exemple l'espace de modules de droites qui passent par l'origine est l'espace projectif.

Je vais rappeler la définition et quelques propriétés des surfaces de Riemann et puis je vais décrire leur espace de modules.

Résumé : 

 Une préoccupation centrale des arithméticiens est la résolution d’équations polynomiales, avec la restriction que les solutions soient entières, ou au moins rationnelles. Une idée directrice est de voir l'ensemble des solutions d'une telle équation comme une courbe (ou une hypersurface), et d'utiliser des méthodes géométriques pour déterminer les solutions : par exemple, un seul point à coordonnées rationnelles sur un cercle permet d'obtenir tous les autres, en considérant les points d'intersection de ce cercle avec les droites passant par notre point de base.
 À l'inverse, l'algèbre enrichit la géométrie et permet d'étudier des surfaces dans un sens plus large que celui communément admis ; par exemple, une courbe définie par une équation polynomiale à coefficients entiers est, sous de bonnes hypothèses, apparentée à une «surface arithmétique», et mon exposé tentera d'expliquer comment, en développant une théorie de l'intersection sur ces surfaces d'un nouveau genre, on peut obtenir des informations sur la taille de ses points à coefficients entiers.

Résumé : 

Physique, Biologie, chimie, économie et même propagation de zombies : les équations aux dérivées partielles (EDP) offrent un champ d’applications très vaste pour modéliser des phénomènes naturels ou sociaux. À première vue, pourtant, la proposition précédente est très paradoxale. En effet, elle suppose que tous ces phénomènes présentent les régularités nécessaires pour pouvoir les modéliser par des fonctions ayant des dérivées. Ainsi, donc, les cours de la bourse seraient des courbes parfaitement lisses et la transition entre l’eau et l’huile se ferait de manière continue…

Les EDPistes ont résolu ce problème en introduisant la notion de formulation faible. La formulation faible la plus célèbre est celle au sens des distributions, mais il en existe également d’autres, parmi lesquelles la formulation au sens des viscosités, très utile dans le cadre des équations de Hamilton-Jacobi.

Je vous propose dans cet exposé de vous rappeler comment résoudre des EDP très simples et de voir pourquoi la notion de solutions faibles s’est avérée nécessaire. J’expliquerai ensuite ce qu’est une équation de Hamilton-Jacobi et présenterai la formulation au sens des viscosités.

Résumé : Une carte est un graphe dessiné sur la sphère. Choisir au hasard une carte avec beaucoup de sommets permet de construire des réseaux aléatoires infinis. À travers l’exemple des triangulations et quadrangulations à bord, on s’intéressera à deux techniques permettant d’étudier ces objets. La première, introduite par Angel, porte le nom d'«épluchage» et consiste à révéler successivement les faces du réseau. La seconde, popularisée par Schaeffer, a pour principe de mettre en bijection les cartes avec certains arbres munis d’étiquettes sur leurs sommets. On verra que la première technique est bien adaptée à l’étude de la percolation, alors que la seconde fournit des informations sur la géométrie de ces réseaux aléatoires.

Résumé : Je vous présenterai dans cet exposé mon sujet d'étude, les équations de Navier-Stokes stationnaires incompressibles. Je commencerai par expliquer ce qu'elles sont et d'où elles viennent, puis j'expliquerai les méthodes obtenues pour montrer l'existence et l'unicité de solutions "petites" (proches de la solution nulle). Enfin je donnerai une idée de la façon dont on peut déterminer le comportement asymptotique de ces solutions dans un domaine non borné.

Résumé : Deux observateurs (généralement prénommés Alice et Bob) effectuant des mesures binaires sur des sous-parties d'un système global peuvent obtenir des résultats plus fortement corrélés lorsqu'ils partagent un état quantique intriqué que lorsqu'ils ne partagent que de l'aléa commun. Ce phénomène bien connu, dit de violation d'inégalités de Bell (et dont la vérification expérimentale est un des grands succès de la mécanique quantique), peut précisément se caractériser mathématiquement. En effet, être une matrice de corrélations classique ou quantique correspond exactement à être dans la boule unité de certaines normes tensorielles. Je commencerai par expliquer tout cela en détail. Ensuite, je m'intéresserai au problème suivant: étant donnée une matrice aléatoire de taille n, peut-on estimer la valeur typique de ses normes "classique" et "quantique", lorsque n devient grand ? Pour une large classe de matrices aléatoires, la réponse est oui, et montre une séparation entre les deux valeurs. Ce résultat peut si on veut s'interpréter de la façon suivante : "typiquement", Alice et Bob ont strictement plus de pouvoir s'ils sont quantiques que classiques ! Sur le plan technique, nous aurons besoin pour montrer tout cela d'une pincée de propriétés sur les matrices aléatoires et d'une bonne dose de concentration de la mesure en grande dimension. Mais vous verrez, c'est très chouette... en tout cas c'est ce dont j'espère vous avoir convaincu à la fin de l'exposé... !

Résumé : Les Marches Quantiques Ouvertes furent définies en 2012 par, entre autres, Stéphane Attal et Christophe Sabot. Elles peuvent à la fois être décrites comme un processus stochastique sur un graphe, avec une règle très particulière pour calculer les probabilités de transition, ou bien comme un certain type de canal quantique. La plus grande partie de cette présentation concernera la définition de tous ces objets. Le temps restant, je parlerai d'un projet en commun avec Cécilia Lancien concernant ces marches.

Résumé : Le sujet de cet exposé est la limite de diffusion anormale de l'équation de Vlasov-Fokker-Planck fractionnaire dans un domaine borné. Je présenterai cette description cinétique du mouvement des particules dans un plasma et je montrerai comment on peut déduire de ce modèle le comportement macroscopique de ce plasma. Je m'intéresserai tout particulièrement à l'interaction entre le phénomène de diffusion non-locale décrit dans l'équation de Vlasov-Fokker-Planck fractionnaire et les conditions aux bords réflectives du domaine spatial.

Résumé : Depuis que les Hommes sont des Hommes, ils se sont posé la question de l'analyse p-adique... et ils ont eu raison ! Ils ne se sont pas forcément rendu compte tout de suite à quel point elle était particulièrement plus simple et agréable que l'analyse réelle, voire même que l'analyse complexe (au moins sur certains points), mais ils ont tout de suite compris l'intérêt et le potentiel de l'analyse p-adique. Dans cet exposé, je vous proposerai de découvrir quelques propriétés agréables de l'analyse p-adique, les différences majeures avec le cas réel et, si nous avons le temps, d'essayer de voir à quoi cela peut servir.

Résumé : Dans cet exposé nous allons nous intéresser à certaines propriétés des racines complexes de polynômes à coefficients aléatoires et dont le degré tend vers l'infini. Nous verrons quels sont les résultats et les questions importantes de ce domaine d'étude. Ensuite nous nous concentrerons sur le cas où les coefficients sont des variables gaussiennes centrées i.i.d. car ce modèle permet d'effectuer des calculs exacts. Pour ce modèle, nous énoncerons un principe de grandes déviations et tenterons de comprendre la "physique" de ce modèle, qui est relié au comportement de gaz de Coulomb dans C en présence d'un potentiel faiblement confinant (tout cela sera expliqué avec le moins de jargon possible). Enfin, si le temps le permet, nous essaierons de comprendre pourquoi la loi de la plus grande racine est toujours à queue lourde.

Résumé : Si l'on regarde un damier de près, on verra bien qu'il est constitué de cases blanches et de cases noires. En revanche, si on l'observe d'une distance très grande, il nous semblera gris. De la même manière, si le damier n'a pas été coloré de manière périodique mais que les cases ont été peintes en noir ou en blanc de manière indépendante et identiquement distribuée, le même phénomène se produira. Mais une question se pose alors naturellement : si les cases peintes en blanc ont une conductivité thermique donnée et celles en noir en ont une autre, pourra-t-on considérer que le damier obtenu se comporte à grande échelle comme un matériau homogène dont la conductivité est la moyenne de ces dernières ?

Résumé : L'attracteur de Lorenz est un des objets des systèmes dynamiques les plus connus. Aux yeux des mathématiciens, il est une incarnation du chaos et a bouleversé la théorie en modifiant en profondeur la conception que l'on avait des systèmes dynamiques dits stables. Nous verrons comment il est étonnamment apparu, ce qu'il a apporté à la théorie des systèmes dynamiques, et ses propriétés fondamentales.

Résumé : On fera des rappels sur les espaces L^p dans un contexte assez général, puis l'énoncé, quelques conséquences classiques et non classiques, et la preuve du (fameux !) théorème de Riesz-Thorin.

Résumé : A l'ère des données dites massives, la structure particulière des données fonctionnelles est un sujet de recherche très étudié. Sur un jeu de données montrant les problèmes que l'on peut rencontrer, nous illustrerons dans cet exposé quelques réponses pour tirer partie de cette structure fonctionnelle sous-jacente, comme l'alignement des données, ou l'apport des modèles mixtes fonctionnels pour capturer la variabilité individuelle. Cet exposé sera aussi l'occasion de présenter le club lycéen Animaths de Pristina.

Résumé : Le but de cet exposé est de vous présenter une approche intuitive de la théorie des modèles, discipline largement abstraite et donc potentiellement obscure pour certains d'entre vous. Je m’appuierai donc sur des notions de géométrie algébrique bien connues pour mieux les généraliser. Je parlerai ensuite d'un exemple d'application de ces notions à un problème de combinatoire multiplicative : la classification des groupes approximatifs (qui a dit que c'était mon sujet de thèse ?).

Résumé : L'étude de structures combinatoires sur des espaces topologiques intéresse de nombreux mathématiciens, que ce soit pour faire de la classification, vérifier ou proposer des conjectures, ou pour définir des espaces aléatoires. Je vous présenterai une de ces structures, celle des espaces triangulés colorés, qui sont naturellement reliés à une classe particulière de graphes.

Résumé : La réécriture est une théorie orientée du calcul dans laquelle on voit les relations entre expressions mathématiques comme des règles de réduction. Une telle théorie trouve des applications algébriques pour trouver des règles de cohérence : on cherche des relations entre des relations ! Notre but sera de donner une porte d'entrée sur la réécriture et ce type d'application pour permettre à tous de s'amuser à calculer sur des calculs.

Résumé : Comment auriez-vous enseigné si vous aviez été à l’École polytechnique au XIXème siècle ? A l'époque, on ne parlait pas de "chargés de Tds" à l'X mais plutôt de répétiteurs. Parmi eux, on retrouve les noms de Poincaré, Laguerre, Hermite... Souvent recrutés jeunes, ils étaient en charge de l'organisation de colles, de séances d'exercices, de séances de révisions, parfois même de conférences. Cette activité d'enseignement était très réglementée par l’École. En parallèle, les répétiteurs menaient, pour la plupart, une activité de recherche en mathématiques. Au XIXème siècle il n'était d'ailleurs pas rare que la recherche et l'enseignement en mathématiques soient liés. A l'image de Cauchy et de son Cours d'Analyse, il était parfois possible qu'un professeur enseigne le sujet de ses propres recherches. Ces libertés pédagogiques valent en fait pour le cours de l’École polytechnique. Mais nous essayerons de montrer que cela pouvait être également le cas de l'activité des répétiteurs lorsqu'ils avaient à choisir un exercice ou le sujet d'une conférence par exemple. Pour ce faire, on s'intéressera à un sujet qui était à la mode à l'époque : la résolution numérique d'équations polynomiales.

Résumé : Cet exposé aura pour but d'introduire quelques modèles originaux adaptés des équations bien connues de Navier-Stokes utilisées pour décrire l'écoulement d'un fluide. Les applications envisagées concerneront par exemple les mouvements collectifs ou les milieux granulaires vus comme des fluides hétérogènes. En lien avec ces phénomènes d'hétérogénéités, on s'intéressera à la prise en compte de contraintes de concentrations maximales et aux phénomènes de congestion. On montrera comment les outils mathématiques, théoriques et numériques peuvent être adaptés pour aborder ces problèmes.

Résumé : Le problème de Schrödinger est un problème d'entropie minimale qui est une approximation régulière du problème de Monge-Kantorovich, à la base de la théorie du transport optimal. Dans cet exposé, je vais d'abord introduire les deux problèmes. Puis je décrirai des analogies entre eux, comme la formulation duale de Kantorovich, la représentation dynamique de Benamou-Brenier, et aussi des propriétés et une formule qui caractérisent les solutions respectives. Pour finir, je mentionnerai une application de ces analogies pour donner une idée de l'intérêt d'utiliser l'entropie minimale à la place du transport optimal.

Résumé : Huygens énonce dans "Traité de la lumière" autour de 1680 un principe qui dicte toute une théorie de la propagation d'ondes issues d'une source. J'expliquerai que ce principe se reformule en un fait simple et général en géométrie de contact, tout en vous introduisant courtoisement à cette dernière, surnommée géométrie du patin à glace ou du satané créneau.

Résumé : La catégorie des EDP Hamiltoniennes comprend de nombreux modèles de physique mathématique comme les équations de Korteweg-de Vries (KdV) ou de Schrödinger non-linéaire (NLS). Ces équations sont connues pour admettre une grande variété de solutions périodiques et, dans cet exposé, nous nous intéresserons à la stabilité de ces ondes. Je commencerai par présenter différentes notions de stabilité, puis j’expliquerai comment on peut obtenir des critères à évaluer afin d’établir le caractère stable ou non d’une onde périodique. On présentera quelques résultats numériques concernant ces critères.

Résumé : Lundi prochain, venez découvrir un monde ultramagique dans lequel une petite graine plantée sous terre se retrouve immédiatement au centre de notre planète. Ce monde ne vous semble pas réel ? Et pourtant, il est complet... Alors, si vous aussi voulez savoir comment contrarier Archimède tout en plaisant à Newton, venez rejoindre la secte des p-addicts !

Résumé : Cet exposé abordera de façon accessible à toutes les notions d'aléa et de généricité, dans des contextes variés.

Résumé : Lors de cet exposé, je commencerai par présenter les notions et les outils de base de la Combinatoire (notamment les séries génératrices), et j'illustrerai par des exemples l'utilité de ces séries, en particulier pour l'énumération des chemins. J'introduirai ensuite les groupes de Coxeter, qui sont des groupes engendrés par un nombre fini de générateurs vérifiant certaines relations. Enfin, je montrerai comment on peut énumérer certains éléments des groupes de Coxeter, les éléments (cycliquement) pleinement commutatifs, à l'aide de chemins. Bien entendu, aucun prérequis ne sera nécessaire pour suivre l'exposé.

Résumé : 

Lors de cet exposé, je présenterai des outils et des notions issus de deux des facettes de l'Analyse. D'un côté, l'espace de Hardy et les opérateurs de composition sont issus de l'analyse complexe. De l'autre, les semigroupes sont des objets naturels notamment pour l'étude des EDPs. Ces deux clans n'ayant a priori rien à se dire, je les présenterai, les confronterai et les forcerai à dialoguer.

Résumé : 

La théorie mesurée des groupes s'intéresse aux actions de groupe dénombrable sur un espace de probabilité. Étant donné deux actions sur un même espace de probabilité, nous disposons de plusieurs manières de les comparer. Une première est de voir si ces actions sont conjuguées. Une seconde est de se demander si ces actions engendrent les mêmes orbites. Tout naturellement, deux actions conjuguées engendrent les mêmes orbites. Quid de l'autre sens ? Plus généralement, peut-on trouver des actions "rigides", dans le sens où il suffit qu'elles vérifient une propriété "faible" pour en vérifier une autre, plus "forte" ? Que peut-on dire au niveau des groupes eux-mêmes ?

Après avoir donné un aperçu de la théorie mesurée des groupes, voilà le type de questions que l'on se posera.

Résumé : Nous considérons une marche aléatoire aux plus proches voisins sur un arbre aléatoire (arbre de Galton-Watson). Quels sont les critères de récurrence/transience de la marche ? Quel est le comportement du marcheur en temps long ? À travers un exposé se voulant accessible au plus grand nombre, je présenterai une méthode très visuelle (la "méthode du peintre", basée sur l'étude des temps locaux de la marche) permettant d'obtenir un théorème central limite sur la hauteur du marcheur dans l'arbre.

Résumé : La dynamique complexe est l'étude de l'itération de fonctions holomorphes. On exposera (sans prérequis au delà de la L3!) les bases fondamentales de la théorie dans le cas de l'itération des fractions rationnelles, notamment la dichotomie Fatou/Julia, le théorème de non-errance de Sullivan et la classification des composantes de Fatou. On abordera dans une seconde partie la théorie de Teichmüller dynamique : étant donnée une fraction rationnelle, comment peut-on la déformer topologiquement pour obtenir de nouvelles fractions rationnelles ayant une dynamique similaire ?

Résumé : Un jeu répété à deux joueurs est décrit par un ensemble d'états, un ensemble d'actions pour chaque joueur, un ensemble de signaux, une fonction de paiement et un noyau de transition. A chaque étape, les joueurs choisissent simultanément une action, et reçoivent un paiement déterminé par les actions qu'ils viennent de jouer et l'état courant. Puis un nouvel état est tiré aléatoirement, suivant une distribution qui dépend des actions qui viennent d'être jouées et de l'état précédent. Les joueurs reçoivent alors un signal aléatoire corrélé au nouvel état. On s'intéressera à l'étude des stratégies optimales pour des jeux répétés un grand nombre de fois, ainsi qu'aux paiements qu'elles induisent. Aucune notion de théorie des jeux n'est requise pour suivre l'exposé, tous les concepts de base seront redéfinis et illustrés par des exemples.

Résumé : Dans le domaine de l'imagerie (étude systématique des images), de nombreux modèles probabilistes sont utilisés pour comprendre et exploiter les propriétés statistiques des images. Les applications pratiques sont nombreuses, citons par exemple la compression ou la restauration d'images. Le but de la présentation sera d'exposer un modèle récent pour les images, qui s'appuie sur la théorie des fonctions aléatoires de Gelfand. Concrètement, une image sera décrite comme une fonction aléatoire, solution d'une équation différentielle stochastique basée sur un bruit blanc non-Gaussien. Notre but sera d'introduire à la théorie de Gelfand et de donner un sens rigoureux aux termes de la phrase précédente. Enfin, on appliquera la théorie à un court problème de restauration d'image. L'exposé ne présuppose pas d'autre connaissance que la définition d'une variable aléatoire et de sa fonction caractéristique et l'on veillera à être accessibles aux non-probabilistes.

Résumé : Durant cet exposé, nous introduirons quelques outils (les plus classiques) pour étudier les espaces topologiques. Plus précisément, nous parlerons de groupe fondamental, de groupes d'homotopie supérieurs ainsi que d'homologie. Ce sont des invariants de type d'homotopie très utilisés en topologie algébrique. Nous illustrerons bien sûr tous ces concepts à travers plusieurs exemples. Nous finirons sur quelques applications classiques et peut-être parlerons-nous de la fameuse et indispensable question : Peut-on couper d'un seul coup de couteau un sandwich Jambon fromage de telle sorte qu'il soit parfaitement coupé en deux ? (c'est à dire qu'il y ait autant de fromage, autant de jambon et autant de pain de chaque côté !).

Résumé : On doit obligatoirement 'courber' un lacet de 4\pi pour le nouer, c'est le théorème de Fary-Milnor. Une jolie preuve de ce résultat utilise la formule de Cauchy-Crofton, cette dernière permet de mesurer la longueur d'une courbe du plan si l'on sait en combien de points une droite affine prise au hasard coupe cette courbe. La formule de Cauchy-Crofton permet également d'étudier la complexité des ensembles algébriques réels, par exemple l'espace des coniques singulières du plan.

Résumé : 

Résumé : The word "Operad" was used for the first time in "The Geometry of Iterated Loop Spaces" by J. Peter May as a mix between the words "operations" and "monad". Initially they were studied in homotopy theory but more recently they became fondamental tools in many different areas: homological algebra, category theory, algebraic geometry, mathematical physics, logic, and algebraic topology. The aim of this talk is to present a definition and possible motivations to these important objects, starting from the particular case of vector spaces and then generalizing it.

Résumé : Nous étudieront quelques propriétés d'une généralisation du jeu de pierre-feuille-ciseau. Cela nous permettra de présenter une curieuse intersection entre compétition sportive, théorie du choix social, probabilité et système dynamique. Au niveau mathématique ce sera l'occasion de voir comment la théorie des martingales peut être utilisée pour étudier des systèmes dynamiques aléatoires très simplement, presque avec des arguments de prépa. ps : Et un chocolat à qui aura compris le lien entre mon titre et mon résumé au début de l'exposé !

Résumé : Une nouvelle série d'algèbres réelles généralisant l'algèbre des octonions, tout comme les algèbres de Clifford prolongent l'algèbre des quaternions, a été introduite par Morier-Genoud & Ovsienko en 2011. Ces algèbres, qui ne sont ni commutative, ni associative, peuvent être vues comme des algèbres twistées sur le groupe $(Z_2)^n$ avec une fonction de twist cubique. Lors de ce séminaire, je replacerai dans un contexte général et historique ces algèbres pour les relier ensuite au problème d'Hurwitz-Radon. Par la suite, je parlerai de la classification de celles-ci qui est similaire à celle déjà connue sur les algèbres de Clifford. Enfin, j'aborderai certaines questions ouvertes.

Résumé : Les groupes d'automorphismes de structures homogènes dénombrables, comme celui du graphe aléatoire ou de l'ensemble ordonné des nombres rationnels, sont une source intéressante de groupes topologiques. Certaines propriétés de ces groupes, comme l'existence d'une classe de conjugaison comaigre (un automorphisme générique), peuvent être étudiées à partir des propriétés d'amalgamation de la classe des sous-structures finies de la structure homogène originale. On décrira ce lien et, si le temps le permet, on parlera des applications aux homéomorphismes minimaux de l'espace de Cantor.

Résumé : Un polymère est une chaîne d'unités répétées, appelées monomères, chacune ayant un degré différent d'affinité avec certains solvants. Une des motivations physiques qui rend l'étude des polymères intéressante est la présence de phénomènes de localisation-délocalisation quand un polymère est proche de l'interface qui divise les deux solvants, et l'existence d'une transition de phase qui sépare le comportement localisé et délocalisé du polymère. Dans cet exposé on introduira les modèles mathématiques qui sont utilisés pour étudier ces phénomènes et les résultats classiques de cette théorie.

Résumé : La géométrie de contact concerne l'étude de certains champs d'hyperplans. Sans le savoir, vous faites face quotidiennement à cette géométrie : quand vous faites du patin à glaces ou quand vous garez votre voiture, votre mouvement est contraint à rester infinitésimalement dans un hyperplan. Je ne vous promets pas de savoir faire un créneau après mon exposé, mais plutôt d'avoir une petite idée de ce qu'est la géométrie de contact.

Résumé : Je présenterai la théorie des partitions d'entiers et certains résultats classiques sur la combinatoire de ces partitions (la bijection de Sylvester entre autre), qui est loin d'être connue parfaitement à l'heure actuelle, malgré la simplicité de cet objet. Ce sera aussi l'occasion d'introduire la notion de série génératrice et de constater sur des exemples simples comment cette notion peut alléger considérablement le travail d'énumération. Enfin, je montrerai une preuve simple d'une conjecture de Ambederhan sur des séries génératrices. Bien entendu, aucun prérequis ne sera nécessaire pour suivre l'exposé.

Résumé : Vous avez toujours voulu savoir ce qu'est l'homologie d'un poset, sans jamais oser le demander? Vous aimez les simplexes? Cet exposé est fait pour vous ! Après avoir défini les posets et les complexes simpliciaux qui y sont associés, nous introduirons un invariant des posets, appelés nombre de Möbius. Ce nombre de Möbius se trouve être lié à la caractéristique d'Euler du poset, qui est la somme alternée des dimensions des groupes d'homologie du poset. A l'aide d'exemples et de calculs explicites, nous vous ferons découvrir le monde merveilleux de l'homologie des posets.

Résumé : On cherche à estimer certaines probabilités pour des modèles très variés, des évènements dont les probabilités peuvent être approchées en regardant des tâches de Poisson appropriées dans l'espace. Cela nous permet d'avoir une intuition précise pour beaucoup de modèle. On commencera en introduisant l'idée avec un bébé exemple: la queue M/M/1, et on finira par une application à la percolation au premier passage sur l'arbre binaire. L'exposé sera accessible aux non probabilistes.

Résumé : Les variétés toriques compactes sont les compactifications équivariantes des tores algébriques (C*)^n. Elles forment une classe agréable de variétés algébriques ou kählériennes sur lesquelles on peut souvent faire des calculs explicites qu'on ne peut pas faire sur des variétés générales. J'expliquerai dans cet exposé comment le problème de l'existence de métriques de Kähler-Einstein sur des variétés toriques Fano se ramène à des équations de Monge-Ampère complexes sur (C*)^n puis à des équations de Monge-Ampère réelles sur R^n (les équations de Monge-Ampère sont des EDPs impliquant le déterminant de la hessienne). J'expliquerai tous les gros mots de ce résumé pendant l'exposé, de manière compréhensible pour un enfant de (vingt) deux ans.

Résumé : 

Résumé : Nous présenterons le modèle de dimers sur le réseau hexagonal. Ce modèle est remarquable par la diversité des points de vues sous lequel il peut être abordé, d'où l'apparente contradiction dans le titre. Nous nous intéresserons à résultat sur la vitesse de convergence d'une dynamique aléatoire. Ceci nous permettra de présenter sur un exemple un ensemble de méthodes classiques en probabilité discrète. L'exposé essayera d'être accessible à tous et ne demandera aucune connaissance en proba. En particulier nous travaillerons uniquement avec des ensembles finis et des tirages de pile ou face.

Résumé : Parmi les modèles du trafic routier congestionné, la notion d'équilibre de Wardrop est devenue populaire, depuis son introduction dans les années 50. Nous allons d'abord décrire le modèle discret et nous verrons que c'est aussi un problème de minimisation et d'analyse convexe. Nous montrerons ensuite comment on peut passer à un modèle continu, grâce notamment à la notion de \Gamma-convergence. Enfin, nous donnerons quelques résultats liés au modèle continu.

Résumé : Nous rappellerons tout d'abord brièvement le principe du calcul des variations, les problèmes de Dirichlet et de Neumann pour l'énergie de Dirichlet et la définition du degré topologique pour des applications de S¹ dans S¹. Nous considérerons ensuite la minimisation de l'énergie de Dirichlet, pour des applications de A (ouvert borné de C) dans C, avec des conditions de degré au bord. On donnera un résultat pour la minimisation de cette énergie dans le cas où A est simplement connexe et dans le cas où A est doublement connexe.