Institut Camille Jordan

Résumé : 

Soit G un groupe réductif sur un corps local non-archimédien. À tout ouvert compact K de G, on peut attacher une algèbre de Hecke. Ces algèbres sont un outil important dans l'étude des représentations lisses de G. Deux de ces algèbres sont particulièrement intéressantes : l'algèbre de Hecke sphérique, associée au sous-groupe sphérique et l'algèbre d'Iwahori-Hecke, associée au sous-groupe d'Iwahori. Par des théorèmes de Satake et de Bernstein, l'algèbre de Hecke sphérique est isomorphe au centre de l'algèbre d'Iwahori-Hecke.

Soit maintenant G un groupe de Kac-Moody sur un corps local non archimédien. Des travaux récents de Braverman, Kazhdan et Patnaik (dans le cas affine) puis de Bardy-Panse, Gaussent et Rousseau (dans le cas général) permettent d'associer une algèbre de Hecke sphérique et une algèbre d'Iwahori-Hecke à G. Avec Abdellatif, nous avons montré que le centre de l'algèbre d'Iwahori-Hecke est alors plus ou moins trivial et n'est donc plus isomorphe à l'algèbre de Hecke sphérique. Nous introduisons alors une « complétion » de l'algèbre d'Iwahori-Hecke, dont le centre est isomorphe à l'algèbre de Hecke sphérique.

Résumé : 

La conjecture de Kottwitz décrit la cohomologie des espaces de Rapoport-Zink basiques à l'aide des correspondances de Langlands locales. Par voie globale via l'étude de la géométrie de certaines variétés de Shimura de type Kottwitz, on prouve cette conjecture pour des espaces de Rapoport-Zink de type PEL unitaires non ramifiés simples basiques de signature (1, n-1).

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Soutenance de thèse

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Soutenance d'habilitation

Résumé : 

Le premier exposé sera introductif et tournera autour des divers problèmes apparaissant lorsque l’on veut faire l=p dans des énoncés classiques en théorie de Langlands et Jacquet-Langlands. Dans le second exposé on expliquera quelques résultats nouveaux, obtenus en collaboration avec Pierre Colmez et Wieslawa Niziol, concernant la tour de Drinfeld: des résultats de finitude concernant la cohomologie modulo p, ainsi que la cohomologie complétée de la tour de Drinfeld et le lien avec la correspondance de Jacquet-Langlands p-adique proposée par Scholze.

Résumé : 

(En commun avec D. Patel, T. Schmidt, M. Strauch).

Soit L une extension finie du corps des nombres p-adiques, V son anneau d'entiers, G l'ensemble des points L-rationnels d'un schéma en groupes réductif \mathbb{G} déployé sur V. Je commencerai par expliquer comment on peut localiser les représentations localement analytiques admissibles de G à caractère central trivial en utilisant les D-modules coadmissibles sur l'espace de Zariski-Riemann de la variété de drapeaux de \mathbb{G}.

J'expliquerai ensuite comment Patel-Schmidt et Strauch ont utilisé ce théorème de localisation et certains résultats de la théorie des D-modules arithmétiques pour montrer l'admissibilité des représentations fournies par le premier revêtement de la tour de Drinfeld.

Résumé : 

We give a brief introduction to the Manin-Mumford Conjecture and related problems, which roughly describe when the intersection of a subvariety of a (semi-)abelian variety with an arithmetically defined subset is larger than expected on dimension grounds. We then present some p-adic versions of these results, and outline an application to the study of Hida families of Bianchi modular forms.

Résumé : 

Résumé : 

https://semtournant-tdn.sciencesconf.org/resource/page/id/25

Résumé : Rencontre théorie des nombres, projet inter-laboratoires de la FRMRAA

Résumé : 

Résumé : 

Pendant la stabilisation de la formule des points fixes pour
la cohomologie (d'intersection) des variétés de Shimura, on est amené
à prouver des identités de caractères de séries discrètes qui peuvent
être assez compliquées. Dans cet exposé, j'expliquerai comment, dans
le cas particulier des variétés modulaires de Siegel, on peut réduire
ces identités à un problème beaucoup plus simple sur la géométrie des
complexes de Coxeter des groupes symétriques, puis comment résoudre ce
problème. L'un des arguments principaux est un résultat de Björner sur
la structure des complexes de Coxeter.

Résumé : 

Le premier exposé sera introductif et tournera autour des divers problèmes apparaissant lorsque l’on veut faire l=p dans des énoncés classiques en théorie de Langlands et Jacquet-Langlands. Dans le second exposé on expliquera quelques résultats nouveaux, obtenus en collaboration avec Pierre Colmez et Wieslawa Niziol, concernant la tour de Drinfeld: des résultats de finitude concernant la cohomologie modulo p, ainsi que la cohomologie complétée de la tour de Drinfeld et le lien avec la correspondance de Jacquet-Langlands p-adique proposée par Scholze.

Résumé : 

Hasse et Weil conjecturent que les fonctions Zeta des variétés définies sur les corps de nombres admettent un prolongement méromorphe au plan complexe et satisfont une équation fonctionnelle. Pour les courbes de genre 1 sur les rationnels, cela résulte des travaux de Wiles et   Breuil, Conrad, Diamond, Taylor  qui expriment la fonction Zeta à l'aide d'une forme modulaire de poids 2 ... On expliquera comment prouver un résultat analogue pour les courbes de genre 2 en utilisant des formes modulaires sur des groupes de rang supérieur. Travail en commun avec G. Boxer, F. Calegari, T. Gee.

Résumé : 

Cet exposé se consacre aux valeurs spéciales des séries L introduites par David Goss dans les années 70s. Les valeurs aux entiers positifs sont étroitement liées aux objets introduits par Greg Anderson en 1986 : les t-modules. Ils généralisent les modules de Drinfeld en dimension supérieure. Je présente des résultats récents sur ce sujet et explique un travail en commun avec Bruno Anglès et Floric Tavares Ribeiro autour d'une conjecture de Lenny Taelman en 2009.

Résumé : 

On commence par rappeler la théorie (due à Deligne-Langlands)
des facteurs epsilon locaux de représentations l-adiques sur des corps
locaux à corps résiduel fini. On explique ensuite comment définir des
facteurs locaux pour des représentations l-adiques sur des corps de séries
de Laurent k((t)), avec k un corps parfait de caractéristique positive p
différente de l.
On dispose alors d'une décomposition du déterminant de la cohomologie d'un
faisceau l-adique sur une courbe lisse sur un tel corps k, en un produit
de contributions locales.
Lorsque k est fini, on retrouve ainsi la théorie classique de Dwork,
Deligne, Langlands et Laumon.

Résumé : 

Résumé : 

Soit G un groupe réductif sur un corps local non-archimédien et H son algèbre d'Iwahori-Hecke.
 On peut induire tout morphisme de source le réseau des cocaractères de G et à valeurs dans C^* en une représentation de H.
 Ces représentations, appelées représentations de la série principale de H ont été introduites par
 Matsumoto à la fin des années 70 et jouent un rôle important dans la théorie des représentations de H
et notamment, toute représentation complexe irréductible est le quotient d'une représentation de la série
 principale et s'injecte dans une représentation de la série principale.
S. Kato a donné au début des années 80 un critère d'irréductibilité pour ces représentations.

Soit maintenant G un groupe de Kac-Moody sur un corps local non-archimédien. En 2014,
Braverman, Kazhdan et Patnaik, puis Bardy-Panse, Gaussent et Rousseau ont associé une
algèbre d'Iwahori-Hecke H à G. On peut alors définir des représentations de la série principale de H.
 Je parlerai de ces représentations et d'une généralisation partielle du critère de Kato dans ce cas là.

Résumé : 

Soit k un corps de type fini sur F_p et soit A une variété abélienne sans facteurs d'isogénie isotriviaux. Soit k^{perf} la clôture parfait de k. Motivé par ses applications à la conjecture de Mordell-Lang, on étudie le groupe A(k^{perf}). Si tous les facteurs simples de A ont p-rang>0, on montre que tous les éléments infiniment p-divisibles de A(k^{perf}) sont de torsion et on donne des conditions qui garantissent sa génération finie. La démonstration est basée sur l'étude des certains groupes p-divisibles associés à certains 1-motifs et sur leur incarnation cristalline et surconvergente.

Résumé : Pour un module de Drinfeld défini sur l’anneau des entiers d’un corps global de caractéristique positive, L. Taelman a construit un module d’ « unités » et un module de classes et a prouvé une formule de classes liant ces objets à une valeur spéciale de fonction $L.$ Inspirés par les travaux de G. Anderson sur la « log-algébricité des séries A-harmoniques twistées » , nous présenterons quelques propriétés arithmétiques d’un sous-module naturel et d’ « indice » fini du module des unités de Taelman. Cet exposé est basé sur un travail en commun avec F. Tavares Ribeiro.

Résumé : 

This talk will be a survey of work in progress with Carlos Piquero de Vera that aims to generalize the construction of harmonic cocycles on the upper half plane associated to Steinberg representations to the case of depth zero supercuspidal representations, with the eventual goal of generalizing the work of Bertolini-Darmon to the case of supercuspidal representations.

Résumé : We show that an étale motivic analogue of the Rost nilpotence principle holds for all smooth projective schemes over a perfect field. This provides a new approach to the question of Rost nilpotence and allows us to show that Rost nilpotence holds for surfaces, as well as for birationally ruled 3-folds over a field of characteristic 0. The talk is based on joint work with Andreas Rosenschon.

Résumé : We show that there is a well-behaved notion of a "potentially automorphic component" of a potentially semi stable universal deformation ring of an n-dimensional mod p representation of the absolute Galois group of a finite extension of Q_p, whenever n is odd (or n=2) and p>2(n+1). This is joint work with Frank Calegari and Matthew Emerton.

Résumé : 

Résumé : I will explain a conjecture concerning values of GL(n) automorphic L-functions twisted by Dirichlet characters, with emphasis on the case of cohomological representations. After that, I will explain the situation with characters of prime-power modulus, and how one can use certain calculations with the Voronoi summation formula for GL(n) to obtain some results in this direction.

Résumé : Rencontre théorie des nombres, projet inter-laboratoires de la FRMRAA

Résumé : Le théorème de Kashiwara classique relie les D-modules sur une variété complexe lisse et les D-modules sur une sous-variété lisse. Dans la situation p-adique, Berthelot a établi une variante de ce théorème pour les D-modules arithmétiques. Dans cet exposé, nous généralisons le théorème de Berthelot à un niveau de congruence quelconque et discutons une application pour les représentations des groupes de Lie p-adiques. Il s'agit d'un travail en commun avec Christine Huyghe et Matthias Strauch.

Résumé : Computations done by Buzzard and Kilford (among others) of slopes of overconvergent modular forms over the rationals has led to great insights into the geometry of the associated eigenvarieties. This is currently an area of great interest in number theory, yet not much is known in the case of Hilbert modular forms. In my talk I wish to discuss some recent computations of slopes of overconvergent Hilbert modular forms and what they suggest about the geometry of the associated eigenvarieties.

Résumé : Nous allons décrire un travail en commun avec Minac, Topaz, Tan et Wittemberg, dans lequel nous montrons que le produit de Massey de 4 classes de degré 1, dans la cohomologie d'un corps de nombres, vaut toujours zéro. On conjecture que ça reste vrai pour n'importe quel nombre de classes, et pour n'importe quel corps.

Résumé : Rencontre théorie des nombres, projet inter-laboratoires de la FRMRAA

Résumé : 

Résumé : Il y a une quinzaine d'années, Bellaïche et Chenevier ont montré comment retrouver un cas particulier de la conjecture de Bloch-Kato pour un caractère de Hecke d’un corps quadratique imaginaire, en utilisant les familles de formes automorphes pour un groupe unitaire en 3 variables U(3), compact à l’infini, et un résultat de transfert endoscopique du à Rogawski. Le transfert en question nécessite que le caractère de Hecke ait comme signe au centre de son équation fonctionnelle -1 pour se transférer à U(3). Lorsque ce signe est +1, Rogawski a aussi construit une representation automorphe pour U(2,1), un groupe unitaire non compact à l’infini. Dans cet exposé nous construirons des familles p-adiques de formes automorphes pour U(2,1), en particulier lorsque p est inerte, et donc que le lieu (p-)ordinaire est vide dans la variété de Picard, et montrerons que l’on peut appliquer (en supposant p non ramifié) la méthode de Bellaïche et Chenevier aussi dans ce cas, pour construire des classes dans un groupe de Selmer, lorsque prédit par la conjecture de Bloch-Kato.

Résumé : We investigate the shape of the reductions of certain crystalline representations of the Galois group of Q_p. The answer is now essentially completely known for slopes less than 2, thanks to joint work with Bhattacharya for slopes in the range (1,2) and also with Rozensztajn for slope 1. This builds on earlier work of Breuil for small weights and of Buzzard-Gee for slopes in the range (0,1). The proof uses the compatibility between the mod p and p-adic Local Langlands Correspondences with respect to the process of reduction.

Résumé : I will report on an on-going joint project with Ruochuan Liu and Bin Zhao, studying the p-adic slopes of modular forms. Recently, Bergdall and Pollack, based on computer calculation, raised a very interesting conjecture on the slopes of overconvergent modular forms, which asserts that the Newton polygons of the characteristic power series of Up are the same as the Newton polygons of another explicit characteristic power series, which they call ghost series. This conjecture would imply many well-known conjectures regarding slopes of modular forms, like Gouvea’s conjecture, Gouvea-Mazur conjecture, and etc. I will discuss a reformulation using completed homology, and give some theoretical evidence to this conjecture, and possibly some other applications of the conjecture.

Résumé : 

There are 16 K3 surfaces (defined over \mathbb{Q}) that Livné-Schütt-Yui have shown are modular, in the sense that the transcendental part of their cohomology is given by an algebraic Hecke character.  Using this modularity result, we show that for two of these K3 surfaces X, the variety X^n satisfies the Hodge and Tate Conjectures for any positive integer n.  In the talk, we will discuss the details of the Tate Conjecture for X^2. This is joint work in progress with Laure Flapan.

Résumé : 

Résumé : Let $U$ be a smooth geometrically connected affine curve over $\mathbb{F}_p$ with compactification $X$. Following Dwork and Katz, a $p$-adic representation $\rho$ of $\pi_1(U)$ corresponds to an etale F-isocrystal. By work of Tsuzuki and Crew an F-isocrystal is overconvergent precisely when $\rho$ has finite monodromy. However, in practice most F-isocrystals arising geometrically are not overconvergent and instead have logarithmic decay at singularities (e.g. characters of the Igusa tower over a modular curve). We give a Galois-theoretic interpretation of these log decay F-isocrystals in terms of asymptotic properties of higher ramification groups. We apply this theory to a conjecture of Daqing Wan.

Résumé : Le foncteur D_cris de Fontaine nous permet de passer des représentations crystallines aux isocrystaux. Pour un groupe reductif G, on veut étudier la réduction des réseaux dans une représentation cristalline avec G-structure V, vers les cristaux avec G-structure contenus dans D_cris(V). En utilisant la théorie des modules de Kisin, on peut donner une description de cette réduction en termes du groupe G, dans le cas où la représentation est G-ordinaire. Pour cela, il faut d'abord généraliser la construction de la filtration de Harder-Narasimhan des groupes p-divisibles, donnée par Fargues, aux modules de Kisin.

Résumé : Étant donné un groupe unitaire G sur un corps totalement réel, déployé aux places p-adiques et compact à l'infini, les représentations de Galois p-adiques associée aux formes automorphes p-adiques surconvergentes pour G sont trianguline en p, au sens des (phi,Gamma)-modules ou des B-paires. Il est conjecturé que cette propriété caractérise cette classe de représentations. On montre qu'une représentation de Galois est trianguline en p si et seulement si sa composition avec un foncteur de Schur est trianguline. On donne une application de ce résultat à l'étude de fonctorialités de Langlands p-adiques entre groupes unitaires.

Résumé : Let L/K be an extension of number fields and let J_L and J_K be the associated groups of ideles. Using the diagonal embedding, we view L* and K* as subgroups of J_L and J_K respectively. The norm map N: J_L--> J_K restricts to the usual field norm N: L*--> K* on L*. Thus, if an element of K* is a norm from L*, then it is a norm from J_L. We say that the Hasse norm principle holds for L/K if the converse holds, i.e. if every element of K* which is a norm from J_L is in fact a norm from L*. The original Hasse norm theorem states that the Hasse norm principle holds for cyclic extensions. Biquadratic extensions give the smallest examples for which the Hasse norm principle can fail. One might ask, what proportion of biquadratic extensions of K fail the Hasse norm principle? More generally, for an abelian group G, what proportion of extensions of K with Galois group G fail the Hasse norm principle? I will describe the finite abelian groups for which this proportion is positive. This involves counting abelian extensions of bounded discriminant with infinitely many local conditions imposed, which is achieved using tools from harmonic analysis.

Résumé : We discuss application of Dwork cohomology to construction of the unit-root crystal attached to a Laurent polynomial and prove congruences of Atkin and Swinnerton-Dyer type relating coefficients of powers of a Laurent polynomial and L-function of its toric exponential sums. This is work in progress jointly with Frits Beukers.

Résumé : Il est conjecturé que les points rationnels des espaces homogènes de groupes algébriques linéaires, sur les corps de nombres, sont contrôlés par l'obstruction de Brauer-Manin. Cet énoncé représente une vaste généralisation du problème de Galois inverse. Je présenterai un travail en commun avec Yonatan Harpaz dans lequel nous établissons la conjecture analogue pour les zéro-cycles. La méthode employée redonne aussi une réponse positive au problème de Galois inverse, sur tout corps de nombres, dans le cas des groupes finis nilpotents.

Résumé : Le théorème de Brauer-Siegel classique donne un encadrement asymptotique du produit du nombre de classes par le régulateur des unités d'un corps de nombres, en termes du discriminant de celui-ci. Dans cet exposé, je parlerais d'un résultat analogue, dans un contexte plus géométrique. Si F est une surface de Fermat définie sur un corps fini, on donnera un encadrement asymptotique du produit de l'ordre de son groupe de Brauer par le déterminant de Gram d'une base de son groupe de Néron-Severi, en termes du genre géométrique de F (lorsque ce dernier tend vers l'infini). La stratégie de preuve de ces bornes est calquée sur celle du théorème de Brauer-Siegel: on utilise une méthode analytique, basée sur l'étude des fonctions zeta de ces surfaces et un encadrement de leur valeurs spéciales.

Résumé : Soit X une courbe de Berkovich quasi-lisse, et une équation différentielle F sur X, sans aucun opérateur ni autres restrictions. L'étude d'une telle équation, et en particulier le fait que sa cohomologie soit de dimension finie, était un problème essentiellement peu exploré jusqu'à 2010. Les résultats dans ce sens sont essentiellement dus à Dwork et Robba, puis Christol et Mebkhout, et sont (sauf des exceptions) de nature locale au sens de la géométrie de Berkovich. C'est à dire que l'espace sous-jacent était le voisinage d'un point, ou un germe de couronne (anneau de Robba). En 2010, F.Baldassarri (à la suite d'un travail commun avec L.Di Vizio) a démontré la continuité d'un invariant fondamentale de ces équations: le rayon de convergence. Il a également proposé dans des exposés plusieurs pistes de travail. En particulier il a suggéré la possibilité de démontrer la finitude dimensionnelle de la cohomologie de de Rham des équations différentielles sur les courbes de Berkovich. Dans une suite de travaux récents en commun avec J.Poineau on a généralisé le résultat de 2010 de Baldassarri; établi des théorèmes de décompositions de nature globale; et finalement démontre la finitude dimensionnelle de la cohomologie de de Rham. Après avoir exposé ces résultats, je parlerai d'une application récente qui fait l'objet d'un travail de prochaine parution qui montre que la formule de type Grothendieck-Ogg-Shafarevich qu'on a démontrée permet de re-démontrer la formule de Riemann-Hurwitz pour les morphismes finis entre courbes quasi lisses de Berkovich (de caractéristique nulle), un résultat conjecturé par Baldassarri, puis démontré avec des méthodes non différentiels par son élève V.Bojkovich à peu près au même temps que A.Cohen-M.Temkin-D.Trushin. D'autre part la formule de Riemann-Hurwitz peut être utilisée pour affaiblir certaines hypothèses du théorème d'indice dans certain cas. Bien que l'idée derrière cette application soit très facile à imaginer, sa preuve demande un contrôle du comportement par push-forward des rayons de convergence de l'équation et de ses exposants au bord de la courbe, ce qui est un fait hautement non trivial.

Résumé : Nous prouvons des résultats de compatibilité local-global dans le cadre des formes automorphes p-adiques sur un groupe unitaire compact à l'infini et déployé en p. A une forme automorphe (classique) sur un tel groupe, on peut associer une représentation galoisienne p-adique. Lorsque la forme automorphe est de niveau premier à p, la représentation galoisienne est cristalline en p. Nous prouvons, dans un grand nombre de cas, une réciproque partielle de ce résultat : une représentation galoisienne p-adique cristalline en p associée à une forme automorphe p-adique de pente finie est en fait associée à une forme automorphe classique. Dans un tel cas, il peut exister des formes automorphes p-adiques (de pente finie) de poids non classiques associées à la même représentation galoisienne. Nous identifions de plus tous les poids non classiques qui apparaissent de cette façon. La preuve de ces résultats est basée sur une étude locale d'une variété rigide analytique p-adique, la variété trianguline, en ses points singuliers. Il s'agit d'un travail en commun avec Christophe Breuil et Eugen Hellmann.

Résumé : Dans cet exposé, nous allons présenter trois invariants d'une représentation p-adique: les fonctions L p-adiques, les systèmes d'Euler, et les (phi,Gamma) modules. Dans le cas non-ordinaire, ces objets sont un peu barbares, mais en utilisant une matrice -- la matrice de logarithme -- on peut en construire de versions integrals (et plus sympathiques). Je vais expliquer un peu comment ces objects integrals aident à démontrer la conjecture principale en théorie d'Iwasawa de formes modulaires de poids 2.

Résumé : Dans un travail conjoint avec H. Hida, nous montrons, sous certaines hypothèses, l'égalité entre un module de congruence et l'idéal caractéristique du groupe de Selmer minimal-ordinaire pour les puissances symétriques supérieures paires (jusqu'à 16 au moins) des représentations galoisiennes associées à des formes modulaires ou des familles de Hida de telles formes.

Résumé : Let E/F be a finite Galois extension of totally real number fields and let p be a prime. The `p-adic Stark conjecture at s=1' relates the leading terms at s=1 of p-adic Artin L-functions to those of the complex Artin L-functions attached to E/F. When E=F this is equivalent to Leopoldt’s conjecture for E at p and the ‘p-adic class number formula’ of Colmez. In this talk we discuss the p-adic Stark conjecture at s=1 and applications to certain cases of the equivariant Tamagawa number conjecture (ETNC). This is joint work with Andreas Nickel.

Résumé : Un problème récurrent en théorie des nombres consiste à étudier le comportement asymptotique du nombre de points de hauteur bornée sur des variétés algébriques. La conjecture de Manin, qui suggère une formule asymptotique générale pour ce nombre de points, a été vérifiée pour un grand nombre de variétés. L'objet de ce exposé est de présenter une démonstration de cette conjecture pour les hypersurfaces de certaines variétés toriques dont le rang du groupe de Picard est 2. La méthode utilisée est inspirée de celles développées par Schindler pour le cas des hypersurfaces de l'espace biprojectif et par Blomer et Brüdern pour certaines hypersurfaces d'espaces multiprojectifs, qui sont elles-mêmes inspirées de la méthode du cercle de Hardy-Littlewood.

Résumé : Si f est une forme cuspidale de poids 2 satisfaisant certaines hypothèses, on peut alors lui associer une fonction L p-adique, interpolant p-adiquement les valeurs spéciales de la fonction L complexe de f, dûment interprétées p-adiquement. Ces fonctions satisfassent une équation fonctionnelle du même genre que celle de la fonction L complexe. Grâce aux travaux de Kato et Perrin-Riou, on dispose d'une interprétation de ces résultats en termes de la théorie de Hodge p-adique. En utilisant la correspondance de Langlands p-adique pour GL_2(Q_p), on démontrera une équation fonctionnelle dans la théorie d'Iwasawa d'une représentation p-adique de de Rham du groupe de Galois absolu de Q_p. Comme application de cette équation fonctionnelle, on obtiendra des équations fonctionnelles des fonctions L p-adiques de formes modulaires dans un cas plus général, et des résultats concernant la conjecture epsilon locale de Kato en dimension 2.

Résumé : Après quelques rappels sur la théorie de l’homologie cyclique classique de Connes et Tsygan et ses liens à la cohomologie de de Rham en caractéristique nulle, j'expliquerai quelques résultats analogues concernant l’homologie cyclique topologique en caractéristique non nulle et ses liens à la cohomologie cristalline et à la théorie de Hodge p-adique. Travail en commun avec Bhargav Bhatt et Peter Scholze.

Résumé : On reinterprete la construction du système d'Euler de Kato en utilisant la compatibilité locale-globale pour GL_2/Q à la Emerton. Ceci nous donne une autre construction du système d'Euler de Kato sur la courbe de Hecke.

Résumé : Je parlerai du problème de la réduction modulo p des représentations cristallines de dimension 2 du groupe de Galois de Q_p, et en particulier, de la situation suivante: on fixe des poids de Hodge-Tate et une représentation résiduelle, et on regarde le lieu paramétrant les représentations cristallines dont la réduction modulo p est égale à cette représentation résiduelle. Que dire de ce lieu en général, et peut-on le calculer numériquement ?

Résumé : I will sketch the proof that every connected affine scheme in positive characteristic is a K(pi,1) space for the etale topology. The key technical ingredient is a “Bertini-type” statement regarding the wild ramification of l-adic local systems on affine spaces. Its proof uses in an essential way recent advances in higher ramification theory due to T. Saito. Time permitting, I will discuss some "anabelian" and "irregular" ramifications of the result.

Résumé : Les congruences entre les coefficients de Fourier des formes cuspidales paraboliques propres ont été remarqué depuis les travaux de Ramanujan au début du XX-ième siecle. Pour retrouver une justification simple à ce comportement il a fallu attendre la vision de J-P. Serre, qui proposait l'existence d'une représentation Galoisienne associée de manière naturelle aux formes modulaires propres. En particulier le \emph{poids} des formes modulaires produisant une congruence (modulo un nombre premier $p$ fixé) devait satisfaire des condition très restrictives : c'est la partie poids des conjectures de Serre sur la modularité des représentations Galoisiennes de dimension 2 sur $\mathbf{Q}$. Ce sujet a depuis connu un développement rapide et éblouissant. Vastes généralisations des conjectures de Serre ont été proposés dans les derniers années, parmi lesquelles la conjecture de Breuil-Mézard géométrique et la conjecture de Breuil cristalline: le \emph{poids} est désormais une représentation algébrique reliant la fibre spéciale des espaces de déformation potentiellement semistables avec une partie des espaces des formes automorphes algébriques pour $U(n)$ avec niveau infini en $p$. Dans cet exposé on donnera une présentation de ces phénomènes et conjectures, en introduisant des techniques nouvelles en théorie de Hodge $p$-adique et théorie de représentation modulaires, permettant la preuve de plusieurs cas de ces conjectures pour $U(3)$. Il s'agit de travaux en commun avec Bao-Viet Le Hung, Daniel Le et Brandon Levin.

Résumé : En 1986, Kato et Kuzumaki ont émis des conjectures concernant les liens entre la dimension cohomologique des corps, la K-théorie de Milnor et les hypersurfaces projectives de petit degré. Ces conjectures sont fausses en toute généralité, mais elles restent ouvertes pour les corps qui apparaissent usuellement en arithmétique et en géométrie algébrique. Dans cet exposé, je présenterai plusieurs résultats en lien avec les conjectures de Kato et Kuzumaki pour les corps globaux et pour certains corps de fonctions.

Résumé : Parahoric local models describe the singularities in terms of linear algebra which arise in the reduction of Shimura varieties (or Shtuka spaces) with a parahoric level structure. For arithmetic applications, one is interested in determining the semisimple trace of Frobenius function on their sheaf of nearby cycles. A conjecture of Kottwitz -proven by Pappas and Zhu- asserts that the function is naturally a central function in the corresponding parahoric Hecke algebra. In joint work with T. Haines, we characterize this central function uniquely by its action on weakly unramified principal series representations in terms of traces of their Satake parameters. The new ingredient in the proof is the study of fiberwise G_m-actions on local models, and an application of the geometric Satake equivalence.

Résumé : 

I will introduce the ordinary part (in the sense of Hida) of the higher coherent cohomology of Hilbert modular varieties and explain what we know about it: vanishing results and Hida style control theorems.  This is joint work in progress with Vincent Pilloni.

Résumé : On se donne un groupe semi-simple G défini sur un corps local K non-archimédien, typiquement SLn(Qp), de caractéristique résiduelle p. On peut interpréter les sous-groupes pro-p maximaux de G(K) au moyen de l'action du groupe G(K) sur son immeuble de Bruhat-Tits. Ces sous-groupes jouent un rôle analogue à celui des p-Sylow d'un groupe fini et sont, en particulier, deux à deux conjugués. Dans cet exposé, en s'appuyant sur les immeubles et les modèles entiers des groupes réductifs, introduits par Bruhat et Tits, on va décrire les sous-groupes pro-p maximaux de G(K). Sous de bonnes hypothèses, on pourra alors décrire explicitement une famille minimale de générateurs topologiques d'un sous-groupe pro-p maximal. Le nombre minimal de ces générateurs topologiques est alors linéaire en une certaine donnée combinatoire définie à partir de G, à savoir le rang d'un certain système de racines bien choisi.

Résumé : 

Let E be an elliptic curve over the rationals and p a prime such that E admits a rational p-isogeny satisfying some assumptions. In a joint work with J. Lee and C. Skinner, we prove the anticyclotomic Iwasawa main conjecture for E/K for some suitable quadratic imaginary field K. I will explain our strategy and how this, combined with complex and p-adic Gross-Zagier formulae, allows us to prove that if E has rank one, then the p-part of the Birch and Swinnerton-Dyer formula for E/Q holds true.

Résumé : Le but de mon exposé est d’expliquer des cas du lemme d’Ihara pour certains groupes unitaires. La stratégie repose sur l’étude de la torsion dans la cohomologie des variétés de Shimura de type Kottwitz-Harris-Taylor et sur une propriété de diminution du niveau.

Résumé : 

Récemment, Colmez et Niziol ont prouvé un théorème de comparaison entre les cycles proches p-adiques arithmétiques et la cohomologie des faisceaux syntomiques. Ils ont pour cela donné une construction locale utilisant des (\phi, \Gamma)-modules qui permet de réduire l'isomorphisme de période à un théorème de comparaison entre des algèbres de Lie. Dans la première partie de l'exposé, je donnerai une version géométrique de cette construction.
Ce morphisme de période est utile pour décrire la cohomologie étale d'espaces analytiques rigides. On peut notamment en déduire la conjecture semi-stable de Fontaine-Jannsen qui relie la cohomologie étale de la variété analytique rigide associée à un schéma formel semi-stable propre à sa cohomologie de Hyodo-Kato. Ce résultat a également été prouvé par (entre autres) Tsuji, via l'application de Fontaine-Messing, et par Cesnavicius et Koshikawa, qui généralisent la preuve de la conjecture cristalline de Bhatt, Morrow et Scholze. J'expliquerai comment utiliser l'application construite dans la première partie pour montrer que les morphismes de période de Tsuji et de Cesnavicius-Koshikawa sont égaux.

Résumé : 

Mazur a conjecturé, après la démonstration de la conjecture de Mordell-Weil par Faltings, que le nombre de points rationnels sur une courbe de genre g définie sur un corps de nombres de degré d est borné par g, d et le rang de Mordell-Weil. Dans cet exposé je vais expliquer comment démontrer cette conjecture. J'insisterai sur les applications de la théorie de transcendence sur les corps de fonctions et de la théorie d'intersections atypiques dans la preuve.

Résumé : 

It is an old idea of Serre that the classical Jacquet-Langlands correspondence between modular forms and quaternion modular forms can be realised geometrically. In this talk I will discuss an extension of these ideas to Siegel modular forms of genus two and paramodular level. We use this to prove the weight-monodromy conjecture for the Siegel threefold of paramodular level. Moreover we construct a geometric Jacquet-Langlands correspondence between GSp4 and a `definite' inner form, proving a conjecture of Ibukiyama.

Résumé : 

On présentera la construction de classes de cohomologie motivique en degré moitié pour les variétés de Siegel de presque toute dimension et le calcul de leur image par le régulateur en cohomologie de Deligne en termes d'intégrales adéliques de type Rankin-Selberg. Pour la variété de Siegel de dimension 6, on verra comment un travail de Pollack-Shah permet de montrer la non-nullité du régulateur (sous certaines hypothèses sur la forme automorphe cuspidale apparaissant dans l'intégrale). Il s'agit de résultats obtenus en collaboration avec Antonio Cauchi et Joaquin Rodrigues Jacinto.

Résumé : 

Soit X une courbe projective lisse définie sur un corps fini, p un point fermé de X et K_p la complétion du corps des fonctions rationnelles de X par p. On peut définir l'arbre de Bruhat-Tits T a partir de K_p et SL_2. Tout sous-groupe de Gl_2(K_p) agit sur T et définit un graphe quotient. Un ordre d'Eichler est un type spécifique de sous-groupe de Gl_2(K_p), qui est un analogue des sous-groupes de congruences de Sl_2(Z) dans le cadre des corps des fonctions. Le but de cet exposé est d'étudier l'action des groupes d'Ecihler sur l'arbre de Bruhat-Tits et appliquer cette information à l'étude des présentations de groupes.

Résumé : 

Elliptic curves with complex multiplication have historically formed a fertile test ground for many conjectures on the arithmetic of elliptic curves. In this talk, we will explore one instance of this phenomenon by looking at the conjectures relating special values of L-functions to the Mahler measure of polynomials in multiple variables. These conjectures, initiated by the work of Boyd on Lehmer’s problem, can be approached for elliptic curves with complex multiplication using the proof of the Beilinson conjectures for CM elliptic curves, due to Deninger and Rohrlich.

Résumé : 

Artin et Pfister ont démontré que tout polynôme réel en n variables qui ne prend que des valeurs >=0 est somme de 2^n carrés de fonctions rationnelles. Dans cet exposé, je considérerai des variantes locales de cet énoncé. J'expliquerai notamment une preuve d'une conjecture de Choi, Dai, Lam et Reznick : une série entière réelle en n variables qui converge et prend des valeurs >=0 au voisinage de l'origine est somme de 2^{n-1} carrés de fonctions méromorphes réelles au voisinage de l'origine.

Résumé : 

Résumé : 

Francis Brown a introduit récemment la notion de fonction L multiple, dans le but d'exprimer les périodes des motifs mixtes obtenus par extensions itérées. 

J'expliquerai pourquoi certains régulateurs pour le groupe K_4 des courbes modulaires sont effectivement des valeurs L multiples, associées à des séries d'Eisenstein. 

Je donnerai une application à la mesure de Mahler du polynôme (1+x)(1+y)+z.

Il s'agit d'un travail en commun avec Wadim Zudilin

Résumé : 

In a program to study Picard-Fuchs differential equations controlling regulators in pencils of algebraic varieties, we investigate hypergeometric variations of rank 4 weight 3 Calabi--Yau motives.  We write down explicit hypergeometric expressions for their Birch--Swinnerton-Dyer volumes, and compare them numerically to the first derivative of the $L$--functions of these motives at the central argument $s=2$ in analytic rank 1 cases.

Résumé : 

La correspondance de Langlands locale "en familles"  a été d'abord formulée par Emerton et Helm comme une correspondance conjecturale "Galois vers automorphe" qui interpole autant que possible la correspondance de Langlands locale classique de GL_n(Q_p) en familles entières l-adiques, où l est différent de p.   Helm a par la suite reformulé le problème d'une manière qui, d'une part a permis de résoudre la conjecture, d'autre part se généralise naturellement à tout groupe réductif p-adique quasi-déployé.  L'énoncé obtenu  apparaît de nos jours  comme une approximation fonction-théorique des versions catégoriques de la correspondance de Langlands locale dues à Fargues-Scholze, Zhu, Hellmann etc.  Dans l'exposé, on formulera la conjecture, on expliquera quelques résultats récents et travaux en cours, ainsi qu'un analogue pour les groupes réductifs finis, prouvé par Li et Shotton-Li.
 

Résumé : 

Résumé : 

We provide an explicit and algorithmic version of a theorem of Momose classifying isogenies of prime degree of elliptic curves over number fields, which we implement in Sage and PARI/GP. Combining this algorithm with recent work of Box-Gajović-Goodman we determine the first instances of isogenies of prime degree for cubic number fields, as well as for several quadratic fields not previously known. While the correctness of the general algorithm relies on the Generalised Riemann Hypothesis, the algorithm is unconditional for the restricted class of semistable elliptic curves. This is joint work with Maarten Derickx.

Link to the preprint: https://arxiv.org/pdf/2203.06009.pdf

Résumé : 

Dans cet exposé, je vais parler de la catégorie des représentations de niveau zéro d'un groupe p-adique à coefficients dans ℤ̅[1/p]. Quand ce groupe est quasi-déployé et modérément ramifié, la catégorie de niveau zéro sur ℤ̅[1/p] est indécomposable. En général, pour un groupe quasi-déployé, nous verrons que les blocs (facteurs directs indécomposables) de cette catégorie sont en bijection naturelle avec les composantes connexes de l'espace des paramètres de Langlands modérés. Enfin, j'expliquerai les applications potentielles de ces résultats aux correspondances de Langlands semi-simples de Fargues-Scholze et Genestier-Lafforgue. Ce travail est en collaboration avec Jean-François Dat.

Résumé : 

La théorie des familles de formes modulaires classiques a été développée par Hida, Coleman, Mazur et cie, et inclut des formes modulaires p-adiques telles que les formes surconvergentes. 
Dans cet exposé, nous expliquerons des éléments-clefs d'une théorie analogue du côté des corps de fonctions c’est-à-dire pour les formes modulaires de Drinfeld. Par exemple, il existe pour GL(n) une théorie des familles de Hida des formes modulaires ordinaires, ainsi qu’un analogue continu des familles de Coleman en pente finie. Un théorème de classicité stipule qu’une forme modulaire de Drinfeld surconvergente de petite pente est forcément classique. 
Le temps le permettant, nous montrerons que la théorie des variétés de Shimura perfectoïdes de Scholze se généralise au contexte des variétés modulaires de Drinfeld. En guise d’application, on peut avec l’approche perfectoïde récupérer les formes modulaires de Drinfeld surconvergentes d’une façon alternative, tout le moins pour GL(2) où nous avons vérifié les détails avec soin.

Travaux en commun avec G. Rosso, Univ. Concordia (Montréal)

Résumé : 

Perrin-Riou proposed a p-adic analogue of Beilinson's conjecture which
describes a relation between special values of p-adic L-functions and
arithmetic invariants.
In this talk, we will introduce a reformulation of Perrin-Riou's conjecture for
elliptic curves using syntomic regulators and we will give some numerical
evidences for Perrin-Riou's conjecture including critical slope case.
For numerical computations of p-adic regulators, we use a variant of p-adic
hypergeometric functions. This is a joint work with Masanori Asakura.

Résumé : 

Résumé : 

A scheme X is a topological space -which we denote by |X|- and a sheaf of rings on the open subsets of |X|.  We study the following natural but seldom considered questions. How to read off properties of X from |X|? Does |X| alone determine X? Joint work with  Max Lieblich, Martin Olsson, and Will Sawin.

Résumé : 

Langlands’s functoriality conjectures predict the existence of “liftings” of automorphic representations along morphisms of L-groups. A basic case of interest comes from the irreducible algebraic representations of GL(2), thought of as the L-group of the reductive group GL(2) over Q. I will discuss the proof, joint with James Newton,  of the existence of the corresponding functorial liftings for a broad class of holomorphic modular forms, including Ramanujan’s Delta function.

Résumé : 

Soient N>2 un entier et X(Np^n) la courbe modulaire adique compactifiée de niveau Γ(Np^n). Scholze à donné un sens à la limite projective  des courbes X(Np^n) comme un espace perfectoïd X(Np^∞). Dans cet exposé on construira un modèle formel entier de cette courbe en utilisant les modèles entiers de Katz-Mazur, puis on verra que cette courbe formelle est intégrale perfectoïde. 

Résumé : 

We fix a prime integer p>0. By an overconvergent Eichler-Shimura map we understand the description of the module of finite slope, weight k elliptic modular symbols in terms of overconvergent, weight k+2 elliptic modular forms of finite slope. Here k is a p-adic weight.

In this talk I will explain some recent progress we (Fabrizio Andreatta and I) made on understanding these overconvergent Eichler-Shimura maps and some arithmetic applications.

 

Résumé : 

Drinfeld a construit deux tours de revêtements $(\mathcal{M}_{LT}^n)_n$ et $(\mathcal{M}_{Dr}^n)_n$ d'espaces de déformation. On sait que la partie supercuspidale de la cohomologie étale géométrique $l$-adique à support compact de ces espaces fournit des réalisations géométriques des correspondances de Langlands et de Jacquet-Langlands locales. Nous souhaitons prouver les mêmes correspondances en cohomologie de De Rham à support compact. Nous parvenons à donner une réponse positive pour les premiers revêtements $\mathcal{M}_{LT}^1$ et $\mathcal{M}_{Dr}^1$. Ce travail s'inspire des thèses de Yoshida et Wang qui prouvent le résultat du côté étale $l$-adique et nécessite la généralisation d'un théorème de Grosse-Klönne sur la cohomologie de De Rham des espaces analytiques admettant un modèle semi-stable.

Résumé : 

L'étude des régulateurs revêt une importance toute particulière dans la compréhension de la variation du nombre du classes dans les familles de corps de nombres, et dans la compréhension de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer dans le cas des variétés abéliennes. On présentera dans cet exposé trois inégalités, et les corollaires qui leur sont associés. La première, initiatrice de cet axe de recherche, est une minoration du régulateur des corps de nombres en fonction de leur discriminant et de leur degré : elle repose sur des travaux de Silverman et Friedman. La seconde concerne le régulateur des groupes de Mordell-Weil et la hauteur de Faltings des variétés abéliennes de dimension quelconque : elle est encore conjecturale. La troisième est inconditionnelle et concerne plus particulièrement les courbes elliptiques, elle fait l'objet d'un article récent en collaboration avec Pascal Autissier et Marc Hindry.

Résumé : 

Soit p un nombre premier et K un corps p-adique. Afin d’étudier les représentations p-adiques du groupe de Galois absolu de K, Caruso a introduit une variante des (phi,Gamma)-modules cyclotomiques de Fontaine, les (phi,tau)-modules, en remplaçant l’extension cyclotomique dans la théorie de Fontaine par une extension de Kummer.

La surconvergence des (phi,Gamma)-modules étales s’est révélée fondamentale pour récupérer divers invariants associés à une représentation p-adique à partir de son (phi,Gamma)-module et en lire certaines des propriétés, et on verra dans cet exposé comment faire de même à partir du (phi,tau)-module. On rappellera brièvement la théorie des (phi,tau)-modules et la surconvergence des (phi,tau)-modules étales, puis on expliquera comment retrouver certains invariants et comment déterminer qu’une représentation est potentiellement semi-stable à partir de son (phi,tau)-module. Pour finir, on fera le lien avec les représentations de E-hauteur finie.

Résumé : 

Le lemme fondamental de Jacquet-Rallis est une identité entre intégrales orbitales (relatives) locales issue d'une approche à la conjecture de Gan-Gross-Prasad pour les groupes unitaires (qui relie les valeurs centrales de certaines fonctions L à des périodes automorphes) via une comparaison de formules des traces relatives. C'est d'ailleurs un ingrédient essentiel dans la preuve récente par Wei Zhang de nombreux cas de cette conjecture. Le lemme fondamental en question a été démontré peu après sa formulation par Zhiwei Yun en caractéristique positive par des méthodes géométriques inspirées du travail de Ngô puis transféré en caractéristique nulle par Julia Gordon via des techniques de théorie des modèles. Dans cet exposé, je présenterai une preuve alternative de ce lemme fondamental en caractéristique zéro qui est purement locale et basée sur des outils élémentaires d'analyse harmonique (transformation de Fourier). Combiné avec le travail récent de Jingwei Xiao, ceci fournit une preuve totalement élémentaire du lemme fondamental endoscopique pour les groupes unitaires (théorème de Laumon-Ngô).

Résumé : 

Artin et Pfister ont démontré que tout polynôme réel en n variables qui ne prend que des valeurs >=0 est somme de 2^n carrés de fonctions rationnelles. Dans cet exposé, je considérerai des variantes locales de cet énoncé. J'expliquerai notamment une preuve d'une conjecture de Choi, Dai, Lam et Reznick : une série entière réelle en n variables qui converge et prend des valeurs >=0 au voisinage de l'origine est somme de 2^{n-1} carrés de fonctions méromorphes réelles au voisinage de l'origine.

Résumé : 

Consider a CM extension E/F of a totally real number field, and a conjugate self-dual regular algebraic cuspidal automorphic representation Pi of GL_n(A_E). We know that, for each prime l, there is a conjugate self-dual mod l Galois representation of E attached to Pi.  Let S be a finite set of nonarchimedean places of E containing all ramified places for  Pi and E/F. In this talk, I will explain that, if Pi is supercuspidal at one nonarchimedean place,  the mod l Galois representation attached to Pi is rigid for S for almost all primes l, i.e., its restriction of the mod l representation to the local Galois group of any place v in S admits only minimally ramified deformations. As an application, one can get a R=T theorem for l-adic cohomology of unitary Shimura varieties for almost all primes l without too much restrictions. This talk is based on Appendix E of my joint work with Yifeng Liu, Liang Xiao, Wei Zhang and Xinwen Zhu on Beilinson-Bloch-Kato conjecture for Rankin-Selberg motives. 

Résumé : 

I will show how to determine the geometric p-adic pro-étale cohomology of the Drinfeld symmetric spaces defined over a p-adic field, using the relative fundamental exact sequence of p-adic Hodge theory, thus giving an alternative proof of a theorem of Colmez-Dospinescu-Nizioł. A key new ingredient is the condensed mathematics recently developed by Clausen-Scholze.

Résumé : 

Soit X une courbe projective lisse géométriquement connexe sur un corps fini. Soit G un groupe réductif connexe sur le corps de fonctions de X. Pour tout ensemble fini I et toute représentation de (LG)^I, où LG est le L-groupe de G, on associe un champ de chtoucas sur X^I. Pour chaque degré, on a un faisceau de cohomologie l-adique à support compact, qui est une limite inductive de faisceaux constructibles sur X^I.
Dans cet exposé, je montrerai que les faisceaux de cohomologie sont ind-lisses sur X^I. La démonstration utilise le lemme de Drinfeld et les opérateurs de création et d’annihilation. Ensuite je donnerai quelques applications.

Résumé : 

The geometric Satake equivalence is by now an indispensable tool in the Langlands program. Several versions of this equivalence for different cohomology theories are known, such as Betti cohomology, D-modules and étale cohomology. In this talk, I explain how to apply recent advances in the theory of motives to the construction of a geometric Satake equivalence via Tate motives. One recovers the aforementioned geometric Satake equivalences under suitable realization functors. This is joint work with Jakob Scholbach from Münster.

Résumé : 

Résumé : 

Résumé : 

The generalized Serre question asks whether algebraic vector bundles over topologically contractible smooth affine complex varieties are always trivial. The question has been answered in the affirmative in dimensions 1 and 2 and general classification results for vector bundles over threefolds yield a necessary and sufficient criterion in dimension 3. In this talk, I will explain a sufficient criterion for the triviality of all vector bundles over smooth affine complex fourfolds. Assuming a conjecture by Asok-Østvær, this criterion would imply that vector bundles over topologically contractible smooth affine complex fourfolds are trivial.

Résumé : 

Résumé : 

Les fonctions E sont des séries entières à coefficients algébriques qui satisfont à une équation différentielle et à certaines conditions de croissance ; elles ont été introduites par Siegel dans un article révolutionnaire de 1929 avec le but de généraliser les théorèmes de transcendance pour les valeurs de la fonction exponentielle. Outre l'exponentielle, des exemples incluent les fonctions de Bessel et une famille riche de séries hypergéométriques. Siegel a posé la question : est-ce que toute fonction E peut s'écrire comme une expression polynomiale en des fonctions hypergéométriques ? Dans un travail récent, Fischler et Rivoal montrent qu'une réponse positive à cette question contredirait une forme de la conjecture de périodes de Grothendieck. Dans mon exposé, j'expliquerai comment la théorie de Galois différentielle fournit une réponse négative inconditionnelle à la question de Siegel, et même des exemples explicites de fonctions E qui ne sont pas de type hypergéométrique. Il s'agit d'un travail en commun avec Peter Jossen.

Résumé : 

Soient F un corps local, G un groupe réductif connexe déployé sur F et H l'algèbre d'Iwahori-Hecke de G(F), à coefficients dans le corps C des nombres complexes. Dans les années 1980, Kazhdan et Lusztig ont montré que les H-modules simples se réalisent en famille dans la K-théorie équivariante de la variété de drapeaux du groupe dual de G, et que cette famille vit au-dessus d'un espace de paramètres de Langlands modérés. Dans cet exposé, je vais expliquer un analogue de cette théorie, pour G=GL_2, lorsque le corps C des coefficients est remplacé par une clôture algébrique du corps résiduel de F. Il s'agit d'un travail en commun avec Cédric Pépin.

Résumé : 

In a recent article, Farb, Kisin and Wolfson proved that principal

p-congruence covers of Siegel modular varieties (and certain subvarieties

thereof) are incompressible, i.e., are not (rationally) the base change of covers

of lower dimensional varieties. In joint work with Patrick Brosnan we

found a different proof, which also applies to some exceptional Shimura

varieties, and our results suggest that incompressibility should hold for

all Shimura varieties and almost all primes p. In my talk I will discuss the

case of p-congruence covers of some unitary Shimura varieties for primes

p at which the special fibre of Kottwitz's integral model has no ordinary points.

(Based on joint work with Rijul Saini.)

Résumé : 

Soit \phi un caractère de Hecke algébrique d'un corps quadratique imaginaire E et considérons la structure de Hodge H_{\phi} qui lui est associée. Supposons que le signe de l'équation fonctionnelle de la fonction L de \phi soit -1. Par conséquent, L(\phi,s) s'annule au point central, et les conjectures de Bloch-Beilinson prédisent alors l'existence d'une extension non triviale de 1 par un twist de H_{\phi}. Dans cet exposé, je décrirai un travail en cours avec J. Bajpai (Dresden), dans lequel nous construisons l'extension voulue pour une certaine famille de caractères \phi vérifiant les hypothèses ci-dessus, lorsqu'on suppose de plus que l'ordre d'annulation de L(\phi,s) au point central soit 1. L'extension est construite en employant des résultats sur la cohomologie d'Eisenstein des surfaces de Picard attachées à E, dus à G. Harder.

Résumé : 

Résumé : 

Je vais parler de trois types de résultats: questions de type Linnik sur l'idéal premier de norme minimale ayant un Frobenius donné, ordre de grandeur générique du terme d'erreur dans le théorème de densité de Chebotarev, et biais de Chebyshev inconditionnels dans des corps de nombres.
Il s'agit d'un travail en commun avec Florent Jouve.

Résumé : 

Several tools for studying degenerations can be applied to a motivic setting: The nearby cycles functor of Ayoub in the motivic stable homotopy category; nearby cycles in the context of motivic integration; computing the Euler characteristics of the singular and generic fibers. In that context we report on a recent work by Levine, Pepin Lehalleur and Srinivas developing a quadratic conductor formula for hypersurfaces, using a motivic version for the Euler characteristic, which takes values at the Grothendieck-Witt ring of the base field, i.e. in quadratic forms. We discuss how reinterpreting  the formula in terms of motivic nearby cycles and computing it on a semi-stable reduction, allows us to extend the formula to a more general degeneration with a few (quasi-)homogeneous singularities.

Résumé : 

Cohomology of arithmetic subgroups, with algebraic representations as coefficients, has played an important role in the construction of Langlands correspondence. Traditionally the first step to access these objects is to view them as cohomology of sheaves on locally symmetric spaces and hence connect them with spaces of functions. However, sometimes infinite dimensional coefficents also naturally arise, e.g. when you try to attach elliptic curves to weight 2 eigenforms on GL_2/an imaginary cubic field, and the sheaf theoretic viewpoint might no longer be fruitful. In this talk we'll explain a very simple alternative understanding of the connection between arithmetic group cohomology (with finite dimensional coefficients) and function spaces, and discuss its application to infinite dimensional coefficients.

Résumé : 

I will give a definition of a certain category of "log quasicoherent" sheaves on a logarithmic variety which uses Falting's "almost mathematics" and which has the property that log differential forms and log polyvector fields are the Hochshild homology (appropriately understood) and Hochschild cohomology, respectively, of this category. This implies a certain "noncommutative Hodge theory" associated to a log variety in mixed characteristic. I will also explain (if there is time left over) a relationship of the proof of the main results to mirror symmetry.

Résumé : 

In this talk, we will define rigid analytic families of representations of topological compact groups and we will study the existence of integral subfamilies. The obtained results will be applied to the study of lattices in trianguline (in particular, semi-stable and crystalline) representations of generic dimension which is one of the main topic in integral $p$-adic Hodge theory.

Résumé : 

Résumé : 

La validité des relations de Hodge-Riemann et du théorème de Lefschetz « vache » pour une cohomologie de Weil quelconque sont parmi les problèmes les plus difficiles en géométrie algébrique, et font partie des célèbres conjectures standard.
Gillet et Soulé ont conjecturé que des propriétés analogues devrait être valides pour l'anneau de Chow arithmétique d'une variété définie sur les entiers.

Dans cet exposé, basé sur un travail en commun avec Paolo Dolce et Roberto Gualdi, j'expliquerai notre stratégie pour montrer une version forte de ces conjectures pour les Grassmanniennes arithmétiques, en généralisant les travaux de Künnemann, Maillot, Takeda, Kresch et Tamvakis.
Un point crucial de cette stratégie est une nouvelle description explicite de l'anneau de Chow d'Arakelov de ces Grassmanniennes arithmétiques.

Résumé : 

Résumé : 

In a supersingular isogeny graph, the vertices are supersingular elliptic curves (up to isomorphism) over some finite field, and the edges are isogenies between them. Given two vertices in this graph, can one efficiently find a path connecting them? In other words, given two supersingular elliptic curves, can one find an isogeny between them?
The presumed hardness of this problems leads to cryptographic protocols that may resist even an adversary equipped with a quantum computer. We will present this problem and the underlying arithmetic theory, and discuss its difficulty. We will explain its equivalence (under the generalised Riemann hypothesis) with the endomorphism ring problem (given a supersingular elliptic curve, compute its endomorphism ring).

Résumé : 

Les fonctions super-Hölder sont des analogues en caractéristique p des fonctions localement analytiques. J’expliquerai leur définition, et je
donnerai des exemples de vecteurs super-Hölder dans certaines représentations. Travail en commun avec Sandra Rozensztajn.
 

Résumé : 

Drinfeld shtukas on curves over finite fields played a crucial role in the
 proof of the Langlands correspondence over global function fields. Although we do not know the definition of shtukas over Spec(Z), there is a category analogous to the category of isoshtukas (i.e., generic fibers of shtukas). The construction of this category is based on the work of Kottwitz on B(F, G) and the idea of Scholze to consider the representations of Kottwitz gerbes over global fields. I will explain the construction of the latter, the aforementioned analogy and the conjectural existence of a Weil cohomology theory taking values in Rep(Kt_Q). If time permits, I will also formulate a couple of related open questions.

Résumé : 

A celebrated result of Duke from the 80's says that closed geodesics on the modular curve equidistribute as the discriminant tends to infinfity. This is the real quadratic analogue of the  equidistribution of CM-points on the modular curve associated to class groups of imaginary quadratic fields. In this talk I will talk about a number of recent generalizations of the result of Duke including; the distribution of the homology classes of closed geodesics, and hyperbolic orbifolds associated class groups of real quadr. fields (as defined by Duke-Imamouglu-Toth and extended by Humphries-N.). I will emphasize the similarities and differences with the imaginary case. If time permits I will also discuss a $q$-orbit analogue.

 

This is partly based on joint with Peter Humphries, and Ser Tan Peow (in progress).

Résumé : 

Un problème classique dû à Abel est de déterminer si une équation différentielle y′ = ηy admet une solution non triviale y algébrique sur C(x) lorsque η est une fonction algébrique donnée sur C(x). Risch a produit un algorithme qui, étant donné η, détermine s'il existe une solution algébrique ou non. Dans un travail en commun avec Eric Delaygue (Lyon), nous avons donné un point de vue différent lorsque η admet un développement de Puiseux à coefficients rationnels en 0 : il existe une solution algébrique non triviale de y′=ηy si et seulement si les coefficients du développement de Puiseux de η en 0 satisfont les congruences de Gauss pour presque tous les nombres premiers. Nous avons appliqué notre critère afin de déterminer complètement les équations y′=ηy avec une solution algébrique lorsque xη(x) est une série hypergéométrique algébrique à paramètres rationnels, ce qui nous a permis de prouver une prédiction de Golyshev.

Résumé : 

Dans la fin des années 1990, Voevodsky amorça une unification des méthodes algébriques et topologiques. Mélangeant géométrie algébrique et théorie
de l'homotopie, Morel et Voevodsky développèrent ce que l'on appelle aujourd'hui la théorie de l'homotopie motivique dont l'idée maîtresse était
d'appliquer les techniques de topologie algébrique classique à l'étude des schémas (la droite affine A1 jouant alors le rôle de l'intervalle unité [0,1]).
L'objectif principal de cette nouvelle théorie se concrétisa par la démonstration de la conjecture de Milnor par Voevodsky (notamment grâce aux travaux de
Rost sur la théorie des modules de cycles), ce qui lui a valu la médaille Fields en 2002.
Dans cet exposé, on commencera par des rappels d'A1-homotopie pour ensuite présenter quelques conséquences de l'étude des faisceaux et des modules de
Milnor-Witt : invariance birationnelle, conjecture de Morel sur l'existence de transferts, coeur delta-homotopique, calculs de multiplicités d'intersection
quadratiques, etc.

Résumé : 

D'après l'un des principes de pureté les plus profonds, l'extension intermédiaire d'un faisceau pur est pur du même poids.

On va employer ce principe dans le contexte des compactifications de
Baily-Borel, pour obtenir des résultats d'annulation concernant la cohomologie des groupes d'inertie des strates de cette compactification.

Le premier exemple non trivial concerne le H^1 de sous-groupes arithmétiques de SL_3, où l'on obtient une preuve géométrique du Théorème de Bass-Milnor-Serre.

Résumé : 

We solve Conjecture 10 in Voevodsky's list of open problems in stable motivic homotopy theory. The new ingredient is, surprisingly, prismatic cohomology. My talk will focus on prismatic techniques rather than specifics about motivic homotopy theory.

This is joint work with Tom Bachmann and Matthew Morrow.

Résumé : 

Based on a recent joint work with Rostislav Devyatov and Alexander Merkurjev, the sharp upper bounds on indexes of twisted flag varieties under the spin groups Spin(n) are being established.

Equivalently, for every integer m of the interval [1,n/2], we are looking for the sharp upper bound on the greatest common divisor of degrees of the finite base field extensions over which the Witt index of an n-dimensional quadratic form of trivial discriminant and Clifford invariant becomes at least m.

The case of m=[n/2] is done by Burt Totaro in 2005.

Résumé : 

Résumé : 

The very general formalisms of realization functors for the heart of a t-structure and weight complex functors lead to inverse equivalences of derived categories under purity assumptions, which can be satisfied by working with special types of motives. This helps in geometric representation theory.

Résumé : 

Résumé : 

ll s’agit d’un travail en commun avec Parimala et Suresh (Université Emory).

Soit C/R une courbe plate projective au dessus d’un anneau hensélien 𝑅.
Soit G un C-schéma en groupes réductifs.

Sous des hypothèses techniques assez faibles, on se propose de montrer qu’un G-torseur sur C, qui est trivial sur la fibre spéciale de C, est localement trivial pour la topologie de Zariski.

Résumé : 

I will report on a joint work with Klingler and Ullmo. Given a polarizable variation of Hodge structure on a smooth quasi projective variety S (e.g. the one associated to a family of pure motives over S), Cattani, Deligne and Kaplan proved that its Hodge locus (the locus of closed points of S where exceptional Hodge tensors appear) is a countable union of closed algebraic subvarieties of S. In this talk I will discuss when this Hodge locus is actually algebraic. 

If time permits I will explain how such algebraicity result complements the Lawrence-Venkatesh method.

Résumé : 

In this talk we will discuss two central problems in algebraic number theory and their interconnections: explicit class field theory and the special values of L-functions.  The goal of explicit class field theory is to describe the abelian extensions of a ground number field via analytic means intrinsic to the ground field; this question lies at the core of Hilbert's 12th Problem.  Meanwhile, there is an abundance of conjectures on the special values of L-functions at certain integer points.  Of these, Stark's Conjecture has special relevance toward explicit class field theory.  I will describe two recent joint results with Mahesh Kakde on these topics.  The first is a proof of the Brumer-Stark conjecture away from p=2. This conjecture states the existence of certain canonical elements in CM abelian extensions of totally real fields.  The second is a proof of an exact formula for Brumer-Stark units that has been developed over the last 15 years.  We show that these units together with other easily written explicit elements generate the maximal abelian extension of a totally real field, thereby giving a p-adic solution to the question of explicit class field theory for these fields.

Résumé : 

La variété des caractères est un objet important en théorie de Fourier p-adique (Schneider, Tetelbaum).
Je rappellerai sa construction et certaines de ses propriétés, ainsi qu'une question naturelle concernant son anneau de fonctions bornées.
Faute de pouvoir répondre à la question, j'expliquerai au moins pourquoi elle est intéressante.
Travail en commun avec Konstantin Ardakov et Peter Schneider.

Résumé : 

Soit X-->S un morphisme de F_p-schémas.
Quels sont les fibrés vectoriels E --> X, les courbes C --> X (ou autres types d'objets) qui sont Frobenius-divisés, c'est-à-dire qui sont des tirés-en-arrière par le Frobenius itéré F^i_{X/S} pour tout i ?
Cette question est liée à l'ètude de la perfection de l'espace de modules des objets et de la coperfection de la base X. Nous rappellerons les définitions de ces notions puis expliquerons divers résultats les concernant.
Le résultat principal est que si X --> S est plat, de présentation finie et séparable alors sa coperfection comme schéma (resp. comme 1-champ) est le schéma des composantes connexes π_0(X/S) (resp. le « pro-groupoïde étale fondamental Π_1(X/S) » que nous définissons).
Il s'agit d'un travail en commun avec Yuliang Huang et Giulio Orecchia (https://arxiv.org/abs/1906.05072).

Résumé : 

La philosophe des motifs suggère l'existence d'une théorie de Galois des périodes, qui peut se calculer explicitement pour certaines familles, comme les valeurs aux entiers de la fonction zêta. Dans cet exposé on s'intéressera aux périodes qui apparaissent dans les développements en série de transformées de Mellin algébriques, comme la fonction bêta ou les intégrales hypergéométriques. On expliquera comment leur théorie de Galois est contrôlée par des groupes algébriques à coefficients dans les séries de Laurent, et on donnera des exemples de calculs. En particulier, on donnera une application à la théorie de Galois des intégrales de Feynman. Il s'agit d'un travail en cours avec Francis Brown, Javier Fresán, et Matija Tapušković.

Résumé : 

Soit K une extension finie de ℚ_p, et soit G_K le groupe de Galois absolu de K. Fontaine a construit certains anneaux de périodes, notamment les anneaux B_cris, B_st et B_dR, afin de classifier les représentations p-adiques de G_K. En particulier, il définit les représentations cristallines (resp. semi-stables, resp. de de Rham) comme celles qui sont admissibles pour B_cris (resp. B_st, resp. B_dR).

Les représentations triangulines, dont la définition fait intervenir la théorie des (φ,γ)-modules, forment une catégorie tannakienne, et on peut se demander s'il existe un anneau de périodes B_tri permettant de classifier ces représentations dans l'esprit de la théorie classique de Fontaine.

Dans cet exposé, je rappellerai la définition des représentations triangulines, j'expliquerai les difficultés qui apparaissent lorsqu'on cherche à construire un tel anneau B_tri, et j'expliquerai quels genres d'anneaux apportent une solution (partielle) à la question posée.

Résumé : 

Soit G un groupe réductif semi-simple défini et déployé sur un corps de fonctions. On s'intéresse à la somme des multiplicités des représentations irréductibles contenant une représentation régulière de niveau zéro de G(O), où O est l'anneau des adèles entières, dans le spectre automorphe cuspidal. Cette somme est donnée en termes du nombre de F_q-points d'espaces de modules de Hitchin de groupes associés aux G. Je discuterai également des implications pour la conjecture de Deligne de compter des systèmes locaux l-adiques sur une courbe. 

Résumé : 

Étant donné un groupe réductif sur un corps non archimédien complet, les techniques de géométrie analytique non archimédienne fournissent un plongement de l'immeuble affine correspondant dans l'espace analytique associé au groupe. En composant ce plongement avec des applications à valeurs dans des analytifés de variétés propres convenables, cela conduit finalement à diverses compactifications des immeubles. Avec Amaury Thuillier et Annette Werner, nous donnons une caractérisation intrinsèque du plongement dans le groupe analytique.
 

Résumé : 

La première partie de l’exposé sera consacrée à un rapide  bilan comparé de deux « théories transcendantes » : celle des  M-fonctions de Mahler et celle des E-fonctions de Siegel. Ces théories, qui ont toutes deux émergé dans des articles publiés la même  année, en 1929, ont récemment abouti à des des résultats qui, pour  l’essentiel, sont définitifs.  

Je présenterai ensuite un théorème d’un  genre nouveau pour les M-fonctions, ainsi que ses principales  conséquences. Celles-ci portent sur des problèmes liés aux  développements des nombres réels (ou entiers) dans des bases entières qui prennent notamment leur source dans des conjectures de Borel et Furstenberg. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Colin Faverjon.
 

Résumé : 

Sur un corps, le tableau motivique conjectural factorise les cohomologie l-adiques par une catégorie abélienne dite des motifs purs. Ce tableau est bien compris dans le cas des représentation l-adiques d'Artin. Dans cet exposé, on s'intéresse à des analogues dans le cas d'un schéma de base. En petite dimension, on remplacera les représentations d'Artin par les faisceaux pervers qui proviennent de schémas finis sur la base. On verra que cette approche ne fonctionne pas en dimension plus grande que 3.

Résumé : 

L’enchevêtrement d'une famille des corps de nombres « mesure » à quel point cette famille ne parvient pas à être linéairement disjointe. Dans cet exposé, basé sur deux travaux en commun avec Francesco Campagna, nous montrerons que la famille de corps engendrés par les points de torsion d'une courbe elliptique à multiplication complexe est très peu enchevêtrée. En outre, nous donnerons une formule explicite pour l'indice de l'image de la représentation galoisienne associée à une telle courbe, et nous montrerons comment construire une courbe elliptique à multiplication complexe dont l'image est minimale.

Résumé : 

Hilbert schemes of smooth surfaces are well-studied geometric objects, however not much is known about Hilbert schemes of higher dimensional varieties. In this talk, we will speak about topological properties of Hilbert schemes of affine spaces. In particular, we will compute the homotopy type of the Hilbert scheme of infinite affine space. Time permitting, we will discuss a generalization of this computation for certain Quot schemes. This is joint work with Marc Hoyois, Joachim Jelisiejew, Denis Nardin, and Burt Totaro.

Résumé : 

Les applications miroirs de la symétrie miroir sont les inverses (pour la composition) de séries de la forme q(z) = exp(ω2(z)/ω1(z)), appelées coordonnées canoniques, où ω1(z) et ω2(z) sont des solutions particulières d'équations de Picard-Fuchs associées à certaines familles de variétés de Calabi-Yau. Dans cet exposé, nous passerons en revue certaines propriétés d'intégralité des coefficients de ces applications miroirs dans le cas hypergéométrique.

Résumé : 

Dans cet exposé, pour A une variété abélienne fixée sur un corps de nombre K, on s'intéresse à la  croissance du groupe de torsion de A(L) pour L une extension finie de K. Une conjecture de Hindry-Ratazzi prédit cette croissance avec un exposant optimal dépendant du groupe de Mumford-Tate. On formulera et prouvera ici un résultat sans admettre la conjecture de Mumford-Tate mais portant seulement sur la torsion ℓ-primaire pour tout premier ℓ, avant d'expliquer quels sont les espoirs pour prouver le résultat sur la torsion complète. Ceci est basé sur un travail de David Zywina et en collaboration avec Davide Lombardo.

Résumé : 

Un ensemble de nombres algébriques possède la propriété de Northcott
(N) s'il ne contient qu'un nombre fini d'éléments de hauteur de Weil
bornée. Alors que pour les corps de nombres la propriété (N) suit
immédiatement
du théorème de Northcott, établir sa validité pour une extension
infinie des rationnels est, en général, un problème difficile.

Cette propriété a été introduite en 2001 par Bombieri et Zannier, qui
ont soulevé la question de savoir si elle est valable pour les corps à
degrés locaux uniformément bornés. Ils ont également remarqué que,
pour une extension galoisienne (éventuellement infinie) des rationnels
ayant degrés locaux bornés en (au moins) un premier, la propriété (N)
est impliquée par la divergence d'une certaine somme, mais ils ont
suggéré que ce phénomène ne se produit que pour les corps de nombres.
En 2011, Widmer a donné un critère pour qu'un
extension infinie des rationnels ait la propriété (N) basé sur
certaines conditions de croissance des discriminants des
sous-extensions finies du corps.

Dans cet exposé, je présenterai plusieurs résultats obtenus dans ce
contexte avec Arno Fehm. En particulier, nous montrons l'existence
d'extensions galoisiennes infinies des rationnels pour lesquelles la
somme considérée par Bombieri et Zannier est divergente et auxquelles
le critère de Widmer ne s'applique pas. Nous montrons également
l'existence de corps sans la propriété (N) et ayant degrés locaux (non
uniformément) bornés en tous les nombres premiers. Ce dernier résultat
est un corollaire d'un théorème de Fili sur les nombres p-adiques de
petite hauteur, dont, si le temps le permet, je présenterai une
version effective.

Résumé : 

For a homogeneous space of a semisimple, simply connected linear algebraic group, the quotient of its "unramified algebraic" Brauer group by its subgroup of constants injects into a certain subgroup of the first Galois cohomology of its geometric Picard group. This inclusion is an isomorphism if either the homogeneous space has a rational point or the third Galois cohomology of the multiplicative group over the base field vanishes. In my talk, I construct an example where this inclusion is strict. This is the text https://arxiv.org/abs/2204.10967.

Résumé : 

In the theory of reductive groups over local fields, Bruhat-Tits buildings are the analogues of symmetric spaces in the theory of Lie groups.
By Goldman-Iwahori, the Bruhat-Tits building of the general
linear group GL_n over a local field k can be described as the set of non-archimedean norms on the vector space k^n.
I will explain how via a Tannakian formalism this can be generalized to a concrete description of the Bruhat-Tits building of an arbitrary reductive group.
This also gives a description of the functor of points of Bruhat-Tits group schemes.

Résumé : 

Half-integral weight modular forms give rise to automorphic forms on the metaplectic cover of GL(2,A) -- a central extension by \mu_2. For an odd prime p, we consider the corresponding covering of GL(2,Qp) and study its smooth mod-p representation theory as well as its relation to Galois representations. This contains the well-known mod-p local Langlands correspondence for GL(2,Qp), part of which we will review, but is new for the so-called genuine representations (i.e. \mu_2 acts via the non-trivial character). This includes a complete classification result of the smooth irreducible genuine mod-p representations.

Résumé : 

Les conjectures de Beilinson relient les valeurs spéciales non-critiques des fonctions L des motifs au régulateur supérieur de la cohomologie motivique dans la cohomologie de Deligne. On présentera une nouvelle description de la cohomologie de Deligne d'une variété analytique complexe quasi-projective en termes de courants tempérés, particulièrement bien adaptée au calcul des régulateurs supérieurs des variétés de Shimura. On en déduira un lien entre le régulateur supérieur des variétés de Siegel de dimension 6 et une valeur spéciale non-critique de la fonction L de degré 8 d'une représentation automorphe de GSp(6). Travail en commun avec Cauchi et Rodrigues Jacinto (arXiv:2204.05163).

Résumé : 

La fonction zêta d'une variété X sur un corps fini F_q est définie en termes des nombres de points de X dans toutes les extensions finies de F_q. Par les conjectures de Weil, elle est rationnelle et contient des informations sur la topologie des points complexes d'un relevé de X. Nous allons introduire une version enrichie de (la dérivée logarithmique de) la fonction zêta, à coefficients dans l'anneau de Grothendieck-Witt, définie dans le cadre de la théorie de la A^1-homotopie stable, et nous allons présenter un résultat de rationalité pour certains types de variétés. De plus nous allons montrer comment cette nouvelle fonction zêta permet de récupérer des informations sur la topologie des points réels. C'est un travail en collaboration avec W. Ho, P. Srinivasan, I. Vogt et K. Wickelgren.

Résumé : 

Many exponential sums over finite fields, such as Gauss or Salié-Kloosterman sums, appear as the Fourier-Melin transform of the trace function of an l-adic sheaf on a commutative algebraic group. We are interested in the equidistribution of such sums as the character varies. Generalizing work by Deligne and Katz in the cases of additive and multiplicative groups, a Tannakian formalism always controls the equidistribution. This is a collaboration with Javier Fresán and Emmanuel Kowalski.

Résumé : 

For a regular ring R, the Bass--Quillen conjecture predicts that every vector bundle on the relative affine space 𝔸^d_R descends to R.
I will discuss the generalization of this conjecture to torsors under more general reductive groups.

Résumé : 

Classically, Diophantine approximation deals with the problem of studying "good" approximations of a real number by rational numbers. I will explain the meaning of "good approximants" and the classical main results in this area of research. In particular, Klaus Roth was awarded with the Fields medal for his proof (in 1955) that the approximation exponent of a real algebraic number is 2. I will present a recent extension of Roth's theorem in the framework of adelic curves. These mathematical objects, introduced by Chen and Moriwaki in 2020, stand as a generalisation of global fields.

Résumé : 

Coleman's explicit version of Chabauty's p-adic approach to Mordell's conjecture gives a concrete bound for the number of rational points of a curve C of genus g >1 over the rationals, provided that the rank of its Jacobian is r< g. Namely, if p >2g is a prime of good reduction for C, the number of rational points of C is bounded by the number of mod-p points of C plus a contribution coming from the canonical sheaf of C. 

There have been several striking developments around this result, but at present such a precise bound has remained out of reach for higher dimensional varieties. In this talk we will outline the proof of an analogous result for surfaces of general type contained in abelian varieties of Mordell-Weil rank 0 or 1, under some assumptions on the reduction type at p. For this, we develop a method based on overdetermined w-integrality in positive characteristic. This is joint work with Hector Pasten.

Résumé : 

Étant donnée une suite infinie S de corps de nombres, on peut tenter de décrire le comportement asymptotique, lorsque K parcourt S, du produit du nombre de classes de K par son régulateur des unités, en termes du discriminant de K. Le théorème de Brauer-Siegel répond à cette question lorsque les corps de nombres de S sont de degré borné. Dans les années 2000, Tsfasman et Vladuts ont formulé une réponse conjecturale à cette question pour des suites S (presque) arbitraires: leur conjecture, qu'on appellera GBS, fournirait une vaste généralisation du théorème de Brauer-Siegel. On sait que GBS suivrait de l'hypothèse de Riemann généralisée. Par ailleurs, GBS est connue inconditionnellement pour quelques suites de corps de nombres. Par exemple, Lebacque et Zykin l'ont prouvée pour des familles asymptotiquement exactes de corps de nombres galoisiens par pas sur Q. 

Dans cet exposé, je parlerai d'un travail avec Philippe Lebacque dans lequel nous démontrons GBS pour de nouvelles familles de corps de nombres. J'expliquerai les grandes idées de notre preuve et, si le temps le permet, je donnerai quelques exemples concrets de familles pour lesquelles GBS est maintenant connue.
 

Résumé : 

L'arithmétique des corps de fonctions sur un corps fini possède elle aussi des valeurs zêta intéressantes. Ces valeurs peuvent être réalisées comme valeurs spéciales de A-Motifs. Un exploit récent de Anglès-Ngo Dac-Tavares Ribeiro fut de démontrer la formule de classes pour les modules d'Anderson (une large classe de A-Motifs), ce qui laisse présager la possibilité d'une reformulation motivique de leur résultat. Dans cet exposé, j’exposerai mes premiers pas en direction d'une conjecture de Beilinson dans ce cadre.

Résumé : 

Dans un travail en collaboration avec Damien Roy, nous développons de nouveaux outils qui permettent d'améliorer de manière significative la borne supérieure pour l'exposant d'approximation rationnelle simultanée uniforme des puissances successives 1, ξ, . . . , ξⁿ d'un nombre réel transcendant ξ donné. Comme application, nous obtenons une borne inférieure raffinée pour l'exposant d'approximation de ξ par des entiers algébriques de degré au plus n+1. La nouvelle borne est n/2 + a√n + 4/3 avec a = (1 − log(2))/2 = 0.153..., au lieu de l'ancienne borne n/2 + O(1). Dans cet exposé, nous présenterons quelques points historiques de ce problème, puis nous tâcherons d'expliquer les nouvelles idées derrière nos constructions.
 

Résumé : 

In this talk, we discuss a quaternionic Control Theorem, in the spirit of Hida and Greenberg-Stevens, considering a generalization of Eichler orders proposed by Pizer. These orders allow higher level structure at the primes where the quaternion algebra ramifies. Interestingly, the quaternionic modular forms associated with these orders live in Hecke-eigenspaces whose rank might be 2 and not necessarily 1, as in the Eichler case. The proved Control Theorem deals with this higher multiplicity situation. Time permitting, we will discuss some work-in-progress developments on recovering strong multiplicity 1, and an expected generalization of Chenevier's p-adic Jacquet-Langlands correspondence with these interesting level structures. This last part is joint work with Aleksander Horawa.

Résumé : 

Soit C une courbe de genre g > 2 plongée dans sa Jacobienne J. Le cycle de Ceresa C-[-1]*C est un cycle algébrique homologiquement trivial de dimension 1 dans J. Pour C hyperelliptique ce cycle est trivial modulo équivalence algébrique, alors que pour C générale il est non-trivial d'après Ceresa. Récemment, le premier exemple d'une courbe non-hyperelliptique pour laquelle le cycle de Ceresa est de torsion modulo équivalence algébrique a été obtenu par Beauville et Schoen. Inspirés de leur travail, nous obtenons deux nouveaux exemples de courbes non-hyperelliptiques pour lesquelles l'image du cycle de Ceresa par l'application d'Abel-Jacobi complexe est de torsion. Nos exemples, ainsi que celui de Beauville et Schoen, sont des quotients cycliques de courbes de Fermat. Dans chacun des trois cas, nous calculons l'ordre d'annulation centrale de la fonction L du motif concerné. Pour notre exemple de genre 3, la valeur centrale est non-nulle et le cycle est de torsion modulo équivalence algébrique, en accord avec la conjecture de Beilinson-Bloch. Ceci est un travail en commun avec Ari Shnidman.

Résumé : 

Résumé : 

Soit (C^n,0)->(C,0) un germe d'une fonction holomorphe avec une singularité isolée. La formule de Milnor calcule la différence des caractéristiques d'Euler de la fibre singulière et de la fibre générique en termes du nombre de Milnor, i.e. de la dimension (complexe) de l'algèbre Jacobienne.

Soit S un trait hensélien de caractéristique résiduelle p et soit X un S-schéma plat, séparé, de type fini et régulier. On suppose que le morphisme structurel n'a qu'une singularité isolée. La formule de Deligne-Milnor, conjecturée par P. Deligne, généralise la formule de Milnor au cas de caractéristique positive ou mixte. Elle calcule la différence des caractéristiques d'Euler (l-adiques, pour l un nombre premier différent de p) des fibres géométriques de X/S en termes d'un nombre de nature algébrique (qui s'appelle aussi nombre de Milnor) et d'un nombre de nature arithmétique (le conducteur de Swan de la cohomologie de la fibre générique géométrique).

Le cas où S est d'équi-caractéristique positive a été démontré par P. Deligne (aussi que le cas de dimension relative de X/S=0 et le cas des singularités quadratiques ordinaires).

En caractéristique mixte, la conjecture est ouverte en dehors des cas dessus et du cas de dimension relative de X/S égal à 1, obtenue par des théorèmes de S. Bloch et de F. Orgogozo.

Dans cet exposé, en suivant des idées de B. Toën et G. Vezzosi, on discutera comment démontrer la formule de Deligne-Milnor sous l'hypothèse additionelle d'action unipotente du groupe d'inertie sur la cohomologie de la fibre générique géométrique en utilisant la géométrie non commutative et la géométrie dérivée. Cela nous donne des nouveaux cas de la conjecture en caractéristique mixte.

Cet exposé est basé sur un travail en collaboration avec D. Beraldo: arXiv:2211.11717.

Résumé : 

Fargues a formulé en 2014 une conjecture de géométrisation de
la correspondance de Langlands locale pour un groupe réductif G sur un
corps p-adique, énoncé conjectural qui a été précisé et renforcé dans le
travail récent de Fargues-Scholze. Je rappellerai dans un premier temps
ce que dit la conjecture lorsque G=GL_n et que le paramètre choisi est
une représentation du groupe de Weil irréductible, puis j’expliquerai
comment en vérifier la validité dans ce cas particulier, en utilisant «
l’action spectrale » de Fargues-Scholze et un analogue dans ce cadre des
« foncteurs de moyennisation » de Frenkel-Gaitsgory-Vilonen. Cette
approche, qui utilise comme ingrédient la correspondance de Langlands
locale, est partiellement insatisfaisante ; si le temps le permet,
j’expliquerai comment on peut espérer aller plus loin.