Institut Camille Jordan

Résumé : 

Cet exposé présentera des dynamiques aléatoires associés à des modèles de gaz de particules en interaction, issus ou inspirés des matrices aléatoires et de la physique statistique. Ces dynamiques sont à la fois des objets d'intérêt naturels et des outils pour l'échantillonnage. Les phénomènes de grande dimension y jouent un rôle important.

Résumé : In view of some recent results concerning the Euler system, the measure valued solutions reappeared as a suitable alternative to weak solutions for problems in fluid mechanics. We introduce the concept of dissipative measure-valued solutions to both Euler and the Navier-Stokes system and show some applications: Weak strong uniqueness and stability. Finally, some examples of numerical schemes will be given, where this technique leads to positive convergence results.

Résumé : 

I discuss  (the full range of) Caffarelli, Kohn, Nirenberg's inequalities for fractional Sobolev spaces and improvements of Hardy's and Caffarelli, Kohn, Nirenberg's inequalites for (standard integer order) Sobolev spaces with  proofs. Interestingly, the proofs are quite elementary and mainly based on the Poincaré and Sobolev inequalities for an annulus; the integration-by-part arguments are not required. This is joint work with Marco Squassina.

Résumé : 

Formellement, les inégalités de plongement de Sobolev suggèrent qu'une fonction dans  l'espace W^{1,n}, où n est la dimension de l'espace, serait essentiellement bornée. Bien que cela soit faux en général, de telles fonctions satisfont néanmoins une propriété d'intégrabilité exponentielle : c'est l'inégalité de Trudinger-Moser. Les inégalités de Adams sont similaires, elles concernent les espaces de Sobolev d'ordre  supérieur. Cependant, contrairement aux inégalités Trudinger-Moser, il y a peu d'espaces non-compacts où ces inégalités sont connues ; il s'agit essentiellement de l'espace euclidien et de l'espace hyperbolique. Dans cet exposé, j'expliquerai pourquoi elles sont valables pour toute métrique riemannienne sur R^n de courbure négative pincée. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Sandeep Kunnath (TIFR CAM, Bangalore).

Résumé : 

Résumé : 

Résumé : 

Lesson 5: Asymptotic models for the Muskat problem and for the water waves. Derivation and well-posedness.

Résumé : 

Résumé : 

L’objectif de cet exposé est de présenter quelques  résultats récents autour des équilibres relatives  pour les équations d’Euler 2d. Les équilibres relatives qui vont nous intéresser sont des tourbillons animés d’un mouvement de rotation uniforme  (qui sont des solutions périodiques en temps assez particulières). On présentera d’abord le cas des tourbillons uniformément distribués et ensuite on abordera le cas des tourbillons non uniformes. Cette dernière partie découle d’un travail récent avec Claudia Garcia et Juan Soler.

Résumé : 

Inégalités et non inégalités d’interpolation à la Gagliardo-Nirenberg-Sobolev

Résumé : 

Résumé : 

Les propriétés ergodiques des équations de Navier-Stokes perturbées par une force aléatoire ont été largement étudiées dans la littérature au cours des deux dernières décennies. Le problème a été toujours étudié dans des domaines bornés afin d'avoir des propriétés spectrales appropriées pour l'opérateur de Stokes et des propriétés de compacité pour les espaces fonctionnels et pour l'opérateur résolvant le système. Dans cet exposé, nous considérons les équations de Navier-Stokes dans un domaine non borné satisfaisant l'inégalité de Poincaré. En supposant que le système est perturbé par un bruit borné non dégénéré, nous établissons l'unicité de la mesure stationnaire et la propriété de mélange exponentiel. La preuve est basée sur une approche de contrôlabilité.

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Résumé : 

La fonctionnelle de Griffith est une variante de la fonctionnelle de Mumford-Shah, qui met en compétition l’énergie élastique d’un déplacement u dans un domaine fissuré de type $\Omega \setminus K$, avec une énergie de surface, i.e. la mesure $H^1$ (i.e. longueur en $2$D) de l’ensemble K. Cette fonctionnelle intervient dans certains modèles variationnels de propagation de fissures, basés sur les postulats de A.A. Griffith (1893-1963) en rupture fragile. L’énergie élastique ressemble à une énergie de type Dirichlet sur la fonction  u, à valeurs vectorielles ($\mathbb{R}^2$), mais où seule la partie symétrique du gradient apparaît. Comparée à l’énergie « classique » de Mumford-Shah (1989), cette fonctionnelle donne lieu a des difficultés techniques majeures. En particulier l’inégalité de Korn dans le domaine irrégulier $\Omega \setminus K$ n’est pas disponible et de nombreux outils classiques du cas scalaire ne fonctionnent plus en vectoriel. Ceci explique par exemple que l’existence d’un minimiseur, établi en 1989 pour Mumford-Shah, n’ait été démontré que très récemment (2017) pour Griffith avec des outils nouveaux. Dans cet exposé je présenterai un résultat de régularité $C^{1,\alpha}$ sur l’ensemble singulier $K$, comparable au théorème de Bonnet (1996) ou David (1997) concernant Mumford-Shah, en essayant d’expliquer les difficultés rencontrées et l’approche utilisée pour les contourner. Le cas de la dimension $N>2$ reste encore largement ouvert. Ceci est un travail en collaboration avec J.-F. Babadjian et F. Iurlano.

Résumé : 

Lesson 4: Arbitrary Lagrangian-Eulerian formulation of the Muskat problem. Lagrangian formulation of the water waves problem. Well-posedness of the one-phase Muskat equation and the water waves problem.

Résumé : 

Résumé : 

Résumé : 

On étudie la stabilité d'une famille de solutions stationnaires de l'équation d'Euler dans R^3 qui décrivent des tourbillons à symétrie cylindrique : le champ de vitesse est contenu dans le plan horizontal, et ne dépend que de la distance à l'axe vertical. Ces solutions ont été étudiées notamment par Kelvin et Rayleigh au 19ème siècle, mais les seuls résultats de stabilité obtenus jusqu'ici concernent des perturbations très particulières (bidimensionnelles ou axisymétriques). On donne une condition suffisante sur le profil de vitesse du tourbillon garantissant la stabilité spectrale vis-à-vis de perturbations arbitraires.
Il s'agit d'un travail en collaborationa avec Didier Smets.

Résumé : 

Dans cet exposé, on s'intéressera à la propriété de la restriction sur des espaces de fontions peu régulières.
Par exemple, étant donné une fonction dans $H^1$, on peut motnrer que presque toutes ses restrictions appartiennent
encore à $H^1$. Ce type de propriété joue un rôle crucial en théorie du relèvement et, par extension, dans certains
problèmes de réaction-diffusion du type Ginzburg-Landau. On montrera de nouveaux résultats exhibant une large classe
d'espaces de Besov pour lesquels, surprenamment, cette propriété n'est pas vérifiée. De plus, on présentera une
caractérisation "optimale" de la perte de régularité ainsi observée en terme d'espaces dits à "régularité généralisée"
récemment introduits par D. Edmunds et H. Triebel en connection avec la géométrie fractale.

Résumé : 

Dans cet exposé on va construire des mesures de Gibbs et des mesures quasi-invariantes pour l'équation de Benjamin-Bona-Mahony avec dispersion fractionnaire (sur le tore). En collaboration avec Giuseppe Genovese et Nikolay Tzvetkov.

Résumé : 

The floating structure problem describes the interaction between surface water waves and a floating body, generally a boat or a wave energy converter. As shown by Lannes, the equations for the fluid motion can be reduced to a set of two evolution equations on the surface elevation and the horizontal discharge. The presence of the object is accounted for by a constraint on the discharge under the object. We address the shallow water approximation under the assumption that the flow is axisymmetric without swirl and we consider a solid which moves only vertically. In the second part of the talk, we deal with the decay test. It consists in releasing the solid body in a fluid initially at rest and letting it evolve towards its equilibrium position. It turns out that our previous theory does not work in this particular configuration. For this reason, we use a linear-nonlinear hydrodynamic model and we show that the solid equation can be written as a nonlinear second order integro-differential equation.

Résumé : We will introduce the results of a recent joint work with Cinti and Valdinoci, in which we study stable and minimizing nonlocal minimal surfaces. First, we will explain some new quantitative flatness and BV type estimates for stable and minimizing nonlocal minimal surfaces. We will also explain the key ingredients in the proofs of these estimates, which do not have a counterpart in the theory of classical minimal surfaces. Second, we will discuss the same type of estimates for stable solutions to nonlocal Allen Cahn equations, and the implications they have in classification of entire solutions ---which we study in a forthcoming paper with Cabré and Cinti.

Résumé : 

Je présenterai des travaux avec Didier Bresch, Nicolas Meunier et Didier Smets sur la dynamique d'une surface libre transportée par un écoulement incompressible obéissant à la loi de Darcy. Cet exposé se concentre sur les propriétés de monotonicité de différents types : principe du maximum, fonctions de Lyapunov et entropies. L'analyse est basée sur des identités exactes qui permettent à leur tour d'étudier le problème de Cauchy.

Résumé : 

Résumé : 

Dans cet exposé, je montrerai les différentes définitions de l’opérateur de Stokes avec conditions au bord de Dirichlet. On s’intéressera au comportement de ces opérateurs lorsque l’on approche un domaine quelconque par l’intérieur ou par l’extérieur. C’est un travail en collaboration avec Tom ter Elst, Université d’Auckland, Nouvelle Zélande.

Résumé : 

Résumé : 

Résumé : Dans cet exposé, je présenterai des résultats de régularité höldérienne de solutions faibles d'équations cinétiques dont la diffusion n'intervient que dans la variable vitesse. Même si les coefficients sont peu réguliers, la structure hypoelliptique permet de combiner les techniques de lemmes de moyenne et transfert de régularité de la théorie cinétique avec la théorie classique de la régularité elliptique de de Giorgi, Nash et Moser.

Résumé : 

Résumé : 

Je présenterai une inégalité aussi générale qu'inattendue concernant le transport optimal: si f et g sont deux densités lisses de probabilité,  φ et ψ les potentiels de Kantorovich (pour le coût quadratique |x-y|^2) associés au transport de f à g, et H est une fonction convexe quelconque, alors on a ∫⟨Df,DH(Dφ)⟩ + ⟨Dg,DH(Dψ)⟩ ≥ 0. On pourrait l'appeler "inégalité des cinq gradients" (I5G). Cette inégalité (obtenue en collaboration avec G. De Philippis, A. Mészáros et B. Velichkov pour une application aux mouvements de foule) a plusieurs applications intéressantes dans la discrétisation temporelle (schéma de Jordan-Kinderlehrer-Otto) des EDP obtenues comme flot-gradient d'une énergie par rapport à la distance W_2 induite par le transport optimal. Par exemple, elle permet de retrouver la décroissance en temps de la variation totale le long des trajectoires des équations de type milieux poreux, mais également la décroissance exponentielle des quantités ∫|D(ρ/ρ_∞)|ρ_∞ de la solution d'une équation de Fokker Plank avec potentiel convex V, ρ étant la solution et ρ_∞ la solution stationnaire ρ_∞=exp(-V). Ces derniers aspects sont étudiés en collaboration avec S. Di Marino, avec qui on cherche à généraliser ces estimations au cas de l'équation de Keller-Segel (où le potentiel V dépend de ρ elle même).

Résumé : Can the fluid equations be used to model pedestrian motion or traffic? In this talk, I will present the compressible-incompressible two phase system describing the flow in the free and in the congested regimes. I will show how to approximate such system by the compressible Navier-Stokes equations with singular pressure for the fixed barrier densities, together with some recent developments for the barrier densities varying in the space and time. At the end, I will present the numerical results showing that our macroscopic system captures some features characteristic for microscopic models of collective behaviour. This is a talk based on several papers in collaboration with: D. Bresch, C. Perrin, P. Degond, P. Minkowski, and L. Navoret.

Résumé : 

Résumé : 

L'équation de Camassa-Holm a la particularité de posséder des ondes solitaires non lisses appelées "peakons". Après avoir présenté quelques résultats classiques sur cette équation, on montrera un résultat de rigidité pour les solutions uniformément presque localisées  ayant une densité de moment positive. Plus précisément, on montrera qu'une telle solution est un peakon. Un résultat de stabilité asymptotique du peakon en découle en suivant la stratégie développée par Martel et Merle.

Résumé : 

La meilleure constante dans l'injection de $W^{N,1}({\mathbb R}^N)$ dans $L^\infty$ et des sujets connexes

Résumé : 

Dans cet exposé de type « survol », on va décrire trois problèmes de perturbation singulière. Le premier est un problème scalaire, proposé par  Cahn et Hilliard, pour des transitions de phase. Le deuxième est un problème vectoriel, motivé par le modèle de Ginzburg-Ladau, qui a été étudié par Bethuel, Brezis et Hélein. Le troisième est un problème vectoriel motivé par la théorie des cristaux liquides, dans lequel la composante scalaire joue un rôle important (la troisième partie est basée sur un travail récent avec Dmitry Golovaty).

Résumé : 

on se placera dans le cadre d'un ouvert borné de R^2 avec condition de Dirichlet homogène au bord, où ces inégalités ont été originellement introduites par Trudinger et Moser. On commencera par décrire quelques résultats (maintenant plus ou moins classiques) donnant l'existence d'une extrémale sous certaines hypothèses (Carleson, Chang, Flucher, Lu, Struwe, Yang). On décrira ensuite un certain nombre de travaux plus récents discutant plus précisément ces hypothèses  et donnant des exemples de telles inégalités sans extrémales (Ibrahim, Nakanishi, Masmoudi, Martinazzi, Mancini, Pruss, Sani, T.).

Résumé : 

Dans cet exposé je me pencherai sur le problème de remplacer une courbe dans l’espace des mesures de probabilités par une probabilité sur l’espace des courbes. Il s’agira de réaliser cela en gardant une énergie cinétique moyenne faible ou en préservant un certain ordre. Si ce problème ressort de la théorie du transport optimal, ll rencontre aussi celui des `peacocks’ (ou PCOC: Processus Croissant pour L’Ordre Convexe) introduit dans un contexte plus probabiliste.

Travail en collaboration avec Charles Boubel.

Résumé : Consider three partitions of integers $\alpha=(\alpha_1\ge\alpha_2\ge\dots\ge\alpha_n\ge 0)$, $\beta=(\beta_1\ge\beta_2\ge\dots\ge \beta_n\ge 0)$, and $\gamma=(\gamma_1\ge\gamma_2\ge\dots\ge\gamma_n\ge 0)$. Such a triple of partitions $(\alpha,\beta,\gamma)$ that satisfies the so-called Horn inequalities, a set of inequalities conjectured by A. Horn in 1960 and later the conjecture was proved by the work of Klyachko and Knutson-Tao, describes the eigenvalues of the sum of $n$ by $n$ Hermitian matrices, i.e., Hermitian matrices $A$, $B$, and $C=A+B$ with eigenvalues $\alpha$, $\beta$, and $\gamma$ respectively. Such triple also describes the Jordan decompositions of a nilpotent matrix $T$, $T$ resticted to an invariant subspace $\cal{M}$, and $T$ compressed to $\cal{M}^{\perp}$. More precisely, $T$ is similar to $J(\gamma):=J_{\gamma_1}\oplus J_{\gamma_2}\oplus\cdots\oplus J_{\gamma_n}$, and $T|\cal{M}$ is similar to $J(\alpha)$ and $T_{{\cal{M}^{\perp}}}$ is similar to $J(\beta)$. (Here $J_k$ denotes the Jordan cell of size $k$ with $0$ on the diagonal.) This result for nilpotent matrices also has an analogue for operators in the class of $C_0$. In this talk I will explain, through the intersection of certain Schubert varieties, why the same combinatorics solves the eigenvalue and the Jordan form problems. I will also describe the additional information that we can obtain whenever a Horn inequality saturates.

Résumé : Les inégalités de Strichartz jouent un rôle fondamental dans l'étude d'EDPs comme l'équation de Schrödinger. On rappellera pourquoi de bonnes estimations de dispersion sont la clé pour les obtenir. On présentera ensuite une méthode générale, qui repose sur le semi-groupe de la chaleur, pour établir de telles estimations dans des situations (géométriques) variées. On insistera sur le lien entre l'équation des ondes et l'équation de Schrödinger.

Résumé : We consider the vanishing viscosity limit of the Navier-Stokes equations in a half space, with Dirichlet boundary conditions. We prove that the inviscid limit holds in the energy norm if the Navier-Stokes solutions remain bounded in $L^2_t L^\infty_x$ independently of the kinematic viscosity, and if they are equicontinuous at $x_2 = 0$. These conditions imply that there is no boundary layer separation: the Lagrangian paths originating in a boundary layer, stay in a proportional boundary layer during the time interval considered. We then give a proof of the (numerical) conjecture of vanDommelen and Shen (1980) which predicts the finite time blowup of the displacement thickness in the Prandtl boundary layer equations. This shows that the Prandtl layer exhibits separation in finite time.

Résumé : The Whitham equation is a nonlocal, nonlinear dispersive wave equation introduced by G. B. Whitham as an alternative wave model equation to the Korteweg-de Vries equation, describing the wave motion at the surface on shallow water. In this talk we introduce the Whitham equation and focus on its solitary wave solutions. In particular, we show that any solitary-wave solution is symmetric with exactly one crest from which the surface decreases exponentially. Moreover, the structure of the Whitham equation allows to conclude that conversely any unique symmetric solution constitutes a traveling wave. In fact, the latter result holds true for a large class of partial differential equations sharing a certain structure.

Résumé : 

PROGRAMME

09h30: café de bienvenu

10h00: Luigia Ripani - Analogies entre transport optimal et minimisation entropique

11h00: Rafael Granero Belinchón - On the Keller-Segel model with fractional dissipation

12h00: déjeuner

13h30: Gilles Cassier - Sur le spectre étendu d'un opérateur

14h30: Simon Andreys - TBA

Résumé : 

Résumé : L'équation de Boltzmann, introduite en 1872, modélise la dynamique des gaz raréfiés hors équilibre. Malgré les nombreux résultats autour de la question de l'existence de solutions fortes proches de l'équilibre, très peu concernent le cas d'un domaine borné, situation pourtant fréquente dans les applications. Une raison de la difficulté du problème est l'irruption de singularités le long des trajectoires rasant le bord du domaine. On présente ici une étude de la régularité de l'équation de Boltzmann en domaine borné. Grâce à l'introduction d'une distance cinétique qui compense les singularités au bord, on montre la propagation de normes de Sobolev et la propagation C^1 en domaine convexe. En domaine non convexe, on montre la propagation de régularité BV.

Résumé : In the first part of the talk I will recall the notion of Ricci curvature lower bounds in non-smooth spaces via optimal transport introduced by Lott-Sturm-Villani, then I will discuss some basic properties of such spaces and finally I will discuss the non-smooth extension of the celebrated Levy-Gromov isoperimetric inequality.

Résumé : Dans cet exposé on étudie la régularité des solutions d'une équation de transport-diffusion dont l'opérateur de diffusion est donné par un opérateur de type Lévy et où le transport non-linéaire vérifie des conditions de stabilité dans les espaces de Besov ou dans les espaces de Morrey-Campanato. La régularité Höldérienne des solutions sera étudiée en utilisant des espaces de Hardy moléculaires et on verra comment il est possible de transformer un problème de régularité en un problème de déformation des molécules.

Résumé : Dans cet exposé, je commencerai par une présentation de quelques notions et outils pour le contrôle d'équations d'évolutions dans un formalisme semi-groupe. Je me concentrerai ensuite sur la notion de coût de la contrôlabilité à zéro et j'expliquerai comment obtenir des estimations sur ce coût dans le cas unidimensionnel pour l'équation de la chaleur avec conditions au bord de Dirichlet. La méthode utilisée est la méthode des moments, qui repose essentiellement sur l'application du théorème de Paley-Wiener, ce qui suppose d'étudier la croissance à l'infini de fonctions entières écrites sous forme de produit infini (faisant intervenir les valeurs propres de l'opérateur elliptique associé à l'équation considéré) ainsi que sur la construction de fonctions Gevrey à support compact adéquates.

Résumé : On commencera par introduire le système elliptique de Moser-Trudinger avec une non-linéarité exponentielle critique. On donnera notamment des motivations variationnelles et les principaux résultats existants sur le sujet. Enfin, on présentera notre résultat, obtenu en collaboration avec Olivier Druet, sur l'analyse de blow-up pour cette équation. Ce résultat répond à des questions posées par Adimurthi-Struwe, Druet, Martinazzi-Malchiodi, et Del Pino-Musso-Ruf.

Résumé : La courbure de Gauss d’un convexe peut être vue comme une mesure (avec certaines propriétés) sur la sphère unité, le problème d’Alexandrov consistant, à partir d’une telle mesure, à reconstruire le convexe. Pour les convexes euclidiens, ce problème d’Alexandrov est équivalent à un problème de transport optimal sur la sphère. Pour les convexes de l’espace hyperbolique, ce problème de prescription de la courbure de Gauss est tout aussi naturel. Je montrerai comment l’approche par transport de mesure amène à considérer un problème de Kantorovich non linéaire sur la sphère, je décrirai ce problème et expliquerai comment le résoudre. Travail en commun avec Jérôme Bertrand.

Résumé : We study global solutions $u:{\mathbb R}^3\to{\mathbb R}^2$ of the Ginzburg-Landau equation $-\Delta u=(1-|u|^2)u$ which are local minimizers in the sense of De Giorgi. We prove that a local minimizer satisfying the condition $\liminf_{R\to\infty}\frac{E(u;B_R)}{R\ln R}<2\pi$ must be constant. The main tool is a new sharp $\eta$-ellipticity result for minimizers in dimension three that might be of independent interest. This is a joint work with Etienne Sandier (Université Paris-Est).

Résumé : 

Consider a general semilinear elliptic equation with Neumann boundary conditions. A seminal result of Casten, Holland (1978) and Matano (1979) states that, if the domain is convex and bounded, any stable solution is constant. In this talk, we will investigate whether this result extends either to convex unbounded domains, or to non-convex domains

Résumé : Joint work with Laura Abatangelo, Veronica Felli and Benedetta Noris. Let Ω be an open, simply connected set in R2. We perturb the problem by introducing a singular magnetic field, i.e. for every a = (a1, a2) ∈ Ω, we let A_a be a singular magnetic potential, corresponding to a singular magnetic field at a, orthog- onal to the plane and vanishing in Ω \ {a}. We are interested in the spectrum of an Aharonov-Bohm operator. We know that such a spectrum is composed of a positive and diverging sequence of eigenvalues of finite multiplicity. From previous results, we already know that the map a a→ λ^a_k has a continuous extension up to the boundary, i.e. λ^_ak → λ_k as a → ∂Ω, where λ_k is the k-th eigenvalue of the Dirichlet Laplacian. We will give the exact asymptotic estimate when the pole a converges to a point of the boundary. This exact estimate depends on the number of nodal lines ending at the boundary point of the limit eigenfunction, that is the eigenfunction of the Dirichlet Laplacian. The proof relies on the construction of a suitable limit profile (which gives a good approximation of the magnetic eigenfunctions at the limit) and makes use of an Almgren type monotonicity formula adapted to magnetic eigenfunctions.

Résumé : On considère une variété compacte ayant une partie isométrique à un cylindre fini, et on fait tendre la longueur de ce cylindre vers l’infini. On étudie alors l'asymptotique du spectre du Laplacien de Hodge et de la métrique L^2 de la cohomologie de de Rham de cette variété « étirée ». On parle dans ce contexte de limite adiabatique de ces objets. Ces asymptotiques font intervenir des matrices de diffusion. Comme application, on donne une nouvelle démonstration, purement analytique, de la formule de recollement pour la torsion analytique.

Résumé : Dans cet exposé on s’intéressera à l’observation et au contrôle de l’équation des ondes dans certains cas « pathologiques ». Plus précisément, nous étudierons dans un premier temps la stabilité du processus de contrôle HUM lorsque les coefficients de l’équation sont mal connus ( disons bruités). Puis on donnera des résultats d’observation/contrôle pour des équations à coefficients très peu réguliers. Une partie des ces résultats a été obtenue en collaboration avec Sylvain Ervedoza ( I.M. Toulouse ).

Résumé : Dans un article de 2002, Jabin, Otto et Perthame avaient exhibé une formulation cinétique régularisante pour certains champs de rotationnel nul à valeur dans la sphère unité de la norme euclidienne en 2d. Nous parlerons de la généralisation de ce résultat dans le cas d'une norme quelconque modulo des hypothèses de convexité. Nous montrerons en particulier comment cette formulation cinétique agit comme un principe de sélection interdisant les singularités de ligne.

Résumé : Dans le plan complexe, le lien entre les fonctions harmoniques et le système de Cauchy-Riemann pour les fonctions holomorphes, composé de deux équations aux dérivées partielles du premier ordre, est bien connu. Grâce aux solutions des conjectures de la racine carrée de Kato, les problèmes aux limites pour les équations elliptiques (et plus récemment paraboliques) sous forme divergence peuvent être étudiés de façon similaire dans une optique du premier ordre, en utilisant le calcul fonctionnel holomorphe de certains opérateurs de Dirac perturbés au bord. Dans mon exposé j'expliquerai les idées centrales de cette approche. En particulier, celle-ci permet de traiter des problèmes aux limites pour des équations paraboliques non-autonomes sur le demi-espace avec des coefficients supposés seulement mesurables en temps.

Résumé : 

We present some recent results in the study of the fractional Allen-Cahn equation. In particular, we are interested in the analogue, for the fractional case, of a well known De Giorgi conjecture about one-dimensional symmetry of bounded  monotone solutions. In dimension $n=2$ and for any fractional power $0<s<1$ of the Laplacian, the conjecture is known to be true. In this seminar, we will address the $3$-dimensional case. Depending wheter $s$ is below or above $1/2$, we need to exploit different techniques and ingredients in the proof of the one-dimensional symmetry. In particular, when $s<1/2$, some properties of the so-called nonlocal minimal surfaces, will play a crucial role. This talk is based on several papers in collaboration with X. Cabré, J. Serra, and E. Valdinoci.

Résumé : Dans cet exposé, je présenterai un résultat obtenu avec Olivier Glass et Jozsef Kolumban sur le mouvement d’un solide immergé dans une cavité bornée remplie d’un fluide potentiel. Dans ce travail nous montrons qu’en contrôlant une partie du bord extérieur (laissant rentrer et sortir du fluide dans la cavité) il est possible d’amener le solide d’une position initiale donnée à n’importe quelle autre position finale prescrite (dans la même composante connexe des configurations possibles) et ceci en prescrivant aussi des vitesses initiales et finales quelconques et en n’importe quel temps strictement positif, tout en assurant qu’au cours de son évolution le solide immergé ni ne touche la partie imperméable du bord ni ne sort par la partie contrôlée du bord. La méthode de preuve utilise une reformulation de la dynamique du solide immergé en une équation différentielle de type géodésique pour la métrique donnée par la masse ajoutée et avec des termes forces dues au contrôle et à la circulation de la vitesse fluide autour du solide. Grâce à des contrôles impulsifs bien choisis on peut guider approximativement la trajectoire du solide le long de bouts de géodésiques libres et le résultat de contrôlabilité exacte en découle par un argument de degré topologique.

Résumé : 

L'inégalité de l'entropie exponentielle, fondamentale en théorie de l'information de Shannon, affirme que pour tous vecteurs aléatoires à densité $X,Y$ dans $\mathbb{R}^n$ indépendants, $$ N(X+Y) \geq N(X) + N(Y), $$ où $N(X) = e^{\frac{2}{n} h(X)}$ désigne l'entropie exponentielle d'un vecteur aléatoire $X$ dans $\mathbb{R}^n$. Ici, $h(X) = - \int f \log(f)$ représente l'entropie usuelle de $X$ ayant une densité de probabilité $f$. L'inégalité de l'entropie exponentielle a également des applications intéressantes en dehors de la théorie de l'information, notamment en concentration de la mesure puisqu'elle implique l'inégalité de log-Sobolev de Gross, ainsi qu'en EDP puisqu'elle implique l'inégalité de Nash. En théorie de l'information, un autre type d'entropie, l'entropie de Rényi, a tout autant de l'importance que l'entropie de Shannon. Dans cet exposé, nous montrons qu'une inégalité de type entropie exponentielle est valable pour l'entropie de Rényi. (Basé sur une collaboration avec Sergey Bobkov)

Résumé : 

Résumé : Nous étudierons dans cet exposé la limite grand nombre de Reynolds pour un fluide visqueux en présence d'un bord rugueux. Plus précisément, nous considérerons les équations de Navier-Stokes (incompressible et 2D) avec la condition au bord de glissement de Navier, dans un domaine où le bord admet des oscillations rapides de la forme $x_2 = \epsilon^{1+\alpha} \eta(x_1/\epsilon)$, $\alpha > 0$. Sous certaines conditions entre le paramètre d'oscillation $\epsilon$ et de viscosité $\nu$, nous démontrerons que les solutions du système de Navier-Stokes convergent vers des solutions du système d'Euler dans la limite simultanée $(\nu,\epsilon)\to (0,0)$. Le principal problème est que la courbure du domaine est non bornée quand $\epsilon \to 0$, ce qui exclut l'utilisation des méthodes classiques pour la limite faible viscosité. Tout d'abord, nous construirons une couche limite précise approchant les solutions d'Euler dans un domaine rugueux, puis nous dériverons des estimations de stabilité de cette approximation par l'évolution de Navier-Stokes. Ce travail est en collaboration avec D. Gérard-Varet, T. Nguyen et F. Rousset.

Résumé : 

TBA

Résumé : 

14h00. Michèle Romanos : "Multi-tissue viscous models for tissue growth: incompressible limit, qualitative behaviour at the limit, and applications to the elongation of the vertebrate embryo."

14h45. Maria Eugenia Martinez : " The soliton problem for the Zakharov water waves system with a slowly varying bottom."

15h30. Pause.

15h45. Laurent Laflèche : "On Semiclassical Sobolev inequalities."

16h30. Billel Guelmame : "On some regularized nonlinear hyperbolic equations."

 

 

Title: Multi-tissue viscous models for tissue growth: incompressible limit, qualitative behaviour at the limit, and applications to the elongation of the vertebrate embryo.

Abstract: during vertebrate embryo elongation, neural and muscular tissues grow in contact while remaining segregated, and the live imaging of these tissues reveals cellular turbulent behavior. To understand such behaviors, we introduce two 2D mechanical models modeling the evolution of two viscous tissues in contact. Their main property is to model the swirling cell motions while keeping the tissues segregated, as observed during embryonic development. Segregation is encoded differently in the two models: by passive or active segregation (based on a mechanical repulsion pressure). We formally compute the incompressible limits of the two models, and obtain strictly segregated solutions. The two models thus obtained are compared and a well-posedness and regularity analysis is conducted. Two striking features in the active segregation model are revealed: the persistence of the repulsion pressure at the limit (ghost effect) and a pressure jump at the tissues' boundaries. The results are supported by numerical simulations in 2D and confronted to the biological data. Inspired by these models, we exhibit a final model which incorporates additional biological terms such as the addition of new cells into the tissues. We calibrate this model using the biological data at hand, and simulate the elongation of the vertebrate embryo. Interesting biological hypotheses arise from the numerical exploration of the model parameters, which we then confirm experimentally on quail embryos.
 

Title: The soliton problem for the Zakharov water waves system with a slowly varying bottom.

 

Abtract: Zakharov water waves arises as a free surface model for an irrotational and incompressible fluid under the influence of gravity. Such fluid is considered in a domain with rigid bottom (described as ha(x)) and a free surface. When considering the pressure over the surface, Amick-Kirchgässner proved the existence of solitary waves Qc (solutions that maintain its shape as they travel in time) of speed c for the flat-bottom case (a=1). 

In this talk, we are interested in the analysis of the behavior of the solitary wave solution of the flat-bottom problem when the bottom actually presents a (slight) change at some point. We construct a solution to the Zakharov water waves system with non-flat bottom that is time assympotic (as time t tends to - infinity) to the Amick-Kirchgässner soliton Q_c.

 

 

Title: On Semiclassical Sobolev inequalities.

Abstract: in the context of combined mean-field and semiclassical limits, such as the limit from the N-body Schrödinger equation to the Hartree--Fock and Vlasov equations, it is useful to obtain inequalities uniform in the Planck constant and the number of particles. It is therefore important to obtain analogous tool and inequalities in the context of quantum mechanics, such as operator versions of Wasserstein, Lebesgue and Sobolev distances, and the corresponding classical inequalities.
In this talk, I will present the quantum version of the phase space Sobolev spaces, as well as the corresponding Sobolev inequalities, other related inequalities and some applications to quantum optimal transport, and mean-field and semiclassical limits.

 

Title: On some regularized nonlinear hyperbolic equations.

Abstract: it is known that the solutions of nonlinear hyperbolic partial differential equations develop discontinuous shocks in finite time even with smooth initial data. Those shock are problematic in the theoretical study and in the numerical computations. To avoid these shocks, many regularizations have been studied in the literature. For example, adding diffusion and/or dispersion to the equation. In this talk, we present and study some non-diffusive and non-dispersive regularizations of the Burgers equation and the barotropic Euler equations that have similar properties as the classical equations.

Résumé : 

Programme:

09h00 - 10h00: Piotr Biler - Large self-similar solutions of the parabolic-elliptic Keller-Segel model in higher dimensions;

Abstract: We construct radial self-similar solutions of the, so called, minimal parabolic-elliptic Keller-Segel model in several space dimensions with radial, nonnegative initial conditions which are below the Chandrasekhar solution - the singular stationary solution of this system.

10h00 - 11h00: Laurent Bétermin - Fekete points, vortices and crystallization problems;

Abstract: The main goal of this talk is to explain the connection between the discrete minimizers of the logarithmic energy on the 2-sphere (i.e. Fekete points) with the so-called ‘Vortex Conjecture’ (or Wigner/Abrikosov Conjecture) about the optimality of the triangular lattice at fixed density for a Coulombian two-dimensional renormalized energy. Other strongly related crystallization problems will be discussed in two and higher dimensions: Universal Optimality (Cohn-Kumar), crystallization for one-well potentials (e.g. Lennard-Jones type potentials) and minimization of energies among Bravais lattices.

11h00 - 11h15: pause café;

11h15 - 12h15: Oscar Dominguez Bonilla - Sparse John--Nirenberg spaces;

Abstract: We introduce John--Nirenberg-type spaces where oscillations of functions are controlled via sparse families of cubes. This construction gives new surprising results and clarifies classical inequalities. It is joint work with Mario Milman.

(pause déjeuner)

14h00 - 15h00: Gauthier Clerc - Longtime behaviour of entropic interpolations;

Abstract: The Schrödinger problem is an entropy minimisation problem on the space of probability measures. From a physical point of view, it consist to find the most likely evolution of a cloud of Brownian particles, given the two endpoints. Optimal curves of this problem are called entropic interpolations. In this talk I will introduce the Schrödinger problem, then I will present some new results about the longtime behaviour of entropic interpolations.

15h00 - 15h15: pause café;

15h15 - 16h15: Mickael De La Salle - Questions on the harmonic analysis on the sphere;

Abstract: One of my long-term projects is to develop tools to perform analysis with higher rank Lie and arithmetic groups (for example SL(3,R) and SL(3,Z)). Thanks to amazing discoveries by Vincent Lafforgue and other later progresses obtained by various authors, many of the questions can be reduced to simple-looking inequalities concerning vector-valued harmonic analysis on the euclidean spheres. I will try to explain all that and some progresses that I have made so far.

Résumé : Allard’s celebrated rectifiability theorem asserts that for d-dimensional varifold V whose first variation is a Radon measure, the restriction of V to points where the lower d density is positive is rectifiable. I will outline the proof of the analogous result when one considers the first variation of an anisotropic functional, for which monotonicity formulas are not known, under appropriate conditions on the Lagrangian. This is joint work with G. De Philippis and A. De Rosa.

Résumé : Nous nous intéresserons dans cet exposé à la modélisation macroscopique de mélanges formés par des particules solides en immersion dans un fluide. Une question ouverte à l'heure actuelle est de savoir s'il existe une éventuelle transition entre deux régimes d'écoulement : le régime de suspension dominé par les interactions entre les grains et le régime granulaire dominé par les collisions entre les grains. Le but de cet exposé est de présenter un cadre mathématique et des modèles d'équations aux dérivées partielles permettant d'établir un tel lien entre les deux régimes d'écoulement. Nous illustrerons enfin ces résultats par des simulations numériques.

Résumé : 

We present rigorous results about the vanishing-mass limit of
the classical problem to find a shape with minimal elastic compliance. Contrary to all previous results in the mathematical literature, which utilize a soft mass constraint by introducing a Lagrange multiplier, we here consider
the hard mass constraint. Our results are the first to establish the convergence of approximately optimal shapes of (exact) size $\varepsilon\to0$ to a limit generalized shape represented by a (possibly diffuse) probability measure. This limit generalized shape is a minimizer of the limit compliance, which involves a new integrand, namely the one conjectured by Bouchitté in 2001 and predicted heuristically before in works of Allaire & Kohn and Kohn & Strang from the 1980s and 1990s. This integrand gives the energy of the limit generalized shape understood as a fine oscillation of (optimal) lower-dimensional structures. Its appearance is surprising since the integrand in the original compliance is just the Euclidean norm and the non-convexity of the problem is not immediately obvious. In fact, it is the interaction of the
mass constraint with the requirement of attaining the loading (in the form of a divergence-constraint) that gives rise to this new integrand. Our proofs rest on compensated compactness arguments applied to an explicit family of (symmetric) divquasiconvex quadratic forms, computations involving the Hashin-Shtrikman bounds for the Kohn-Strang integrand, and the characterization of limit minimizers due to Bouchitté & Buttazzo.

This is a joint work with J.-F. Babadjian and F. Rindler.

Résumé : 

Let $\Omega$ a bounded domain of $\mathbb{R}^D$. We discuss here the uniqueness of classical solutions of equation $\Delta u= \sin u$ that vanish on $\partial\Omega$. We give some applications to the global attractor of sine-Gordon equations.

Résumé : 

The optimal transportation of one measure into another, leading to the notion of their Wasserstein distance, is a problem in the calculus of variations with a wide range of applications. The regularity theory for the optimal map is subtle and was pioneered by Caffarelli. That approach relies on the fact that the Euler-Lagrange equation of this variational problem is given by the Monge-Ampère equation. The latter is a prime example of a fully nonlinear (degenerate) elliptic equation, amenable to comparison principle arguments.

We present a purely variational approach to the regularity theory for optimal transportation, introduced with M. Goldman. Following De Giorgi's philosophy for the regularity theory of minimal surfaces, it is based on the approximation of the displacement by a harmonic gradient through the construction of a variational competitor, which leads to a "one-step improvement lemma", and feeds into a Campanato iteration on the $C^{1,\alpha}$-level for the optimal map, capitalizing on affine invariance.

On the one hand, this allows to reprove the $\epsilon$-regularity result (Figalli-Kim, De Philippis-Figalli) bypassing Caffarelli's celebrated theory. This also extends to boundary regularity (Chen-Figalli), which is joint work with T. Miura, and to general cost functions, which is joint work with M. Prodhomme and T. Ried, based on the notion of almost minimality.

On the other hand, due to its robustness, it can be used as a large-scale regularity theory for the problem of matching the Lebesgue measure to the Poisson measure in the thermodynamic limit. This is joint work with M. Goldman and M. Huesmann.

Résumé : 

Dans cet exposé , on discutera du problème de la dérivation des équations dites cinétiques dans le cadre de la turbulence faible. On étudie la dynamique des corrélations des coefficients de Fourier de la solution d'une équation de Schrödinger quintique lorsque ceux là sont pris initialement indépendant et à un échelle de temps où des effets non-linéaires apparaissent. On montrera que cette dynamique présente un nombre de points infini de discontinuité.
 

Résumé : 

The free surface Euler equations or water wave equations model the evolution of a non viscous fluid under the gravity force, over a seabed and under a free surface that separates the fluid from the air. These equations capture all the motion of the fluid and are too complicated in general if one wants to study a specific physical phenomenon. When dealing with the propagation of large oceanic currents, oceanographers reasonably assume that the water surface is flat (still-water level) and use the Euler equations in a flat strip as a model. The goal of this talk is to rigorously derive this asymptotic regime. We will see that it will lead to a singular limit : the free surface tends to 0 but the time scale also has to tend +\infty. The small parameter involved in this regime is the ratio between the amplitude of the typical water waves (that are very small for wave currents) and the typical water depth. First we will explain how we can get an existence time that is uniform with respect to the small parameter, and secondly, how the physical quantities involved (free surface, velocity) converge when the small parameter goes to 0. We will see that we can only hope a weak convergence and we will carefully study the lack of strong convergence.

Résumé : 

Dans cet exposé, après une introduction des problèmes quantiques, nous rajoutons un terme de pression froide pour montrer un résultat d'existence de solutions faibles globales et passons à la limite quand la constante de Planck tend vers 0. Puis nous reformulons ces équations par un système augmenté et introdusons une entropie relative qui permet de justifier mathématiquement la convergence entre les solutions globales faibles du système quantique de Navier-Stokes et les solutions dissipatives du système quantique d’Euler lorsque le coefficient de viscosité tend vers zéro.

Résumé : 

In the first part of the talk there will be described some lower bounds for the maximum of functions representable as convolutions of bounded probability densities on the Euclidean space, together with the extension of these bounds to the Renyi entropies. In the second part, we focus on more sensitive non-uniform upper bounds of such functions and discuss some applications to the central limit theorem and to the scheme of Bernoulli convolutions.

Résumé : 

In this talk we will discuss a generalization of monotone functions as well as those of bounded variation. Some applications to various problems of harmonic analysis, including embedding theorems of smooth function spaces (Besov, Sobolev), will be considered. The talk does not require any prior knowledge of the topic.

Résumé : 

Dans cet exposé, je parlerai de la construction d’un vecteur propre pour un opérateur issu de l’équation de Fokker Planck à équilibre à queue lourde. Je me placerai en dimension 1 et expliquerai les difficultés que nos rencontrons en dimension supérieure. C’est un problème de reconnexion à l’origine de deux branches issues d’un profile du type Airy à l’infini. Je montrerai aussi comment nous utilisions ce résultat dans l’étude asymptotique de l’équation de Fokker Planck dans un scaling de diffusion anormale. C’est un travail en collaboration avec G. Lebeau.

Résumé : 

Je présenterai une synthèse de différents travaux réalisés en collaborations avec J. Brasseur, F.Hamel, et E. Valdinoci  sur l'étude des phénomènes de propagation nonlocale dans des  environnements comportant un obstacle. J'aborderai différent aspect du problème :  la  modélisation,  l' étude  du problème stationnaire et enfin l'étude du problème d'évolution.

Résumé : 

Titre : Structure analytico-géométrique des limites de variétés à courbure de Ricci dans une classe de Kato uniforme.

Résumé : une borne inférieure sur la courbure de Ricci d’une variété riemannienne lisse fournit de nombreuses propriétés analytico-géométriques. Sur la base de cette observation, à la fin des années 1990, Jeff Cheeger et Tobias Colding ont développé une célèbre théorie de structure pour les espaces limites de variétés riemanniennes lisses à courbure de Ricci uniformément minorée. Dans cet exposé, je présenterai des travaux récents obtenus avec Gilles Carron (Nantes Université) et Ilaria Mondello (Université Paris-Est Créteil) dans lesquels nous montrons que cette théorie de structure reste essentiellement la même si on suppose que la courbure de Ricci satisfait une hypothèse analytique plus faible, à savoir que la partie négative de sa borne inférieure optimale se trouve dans une classe de Kato uniforme. J’expliquerai notamment comment nous obtenons nos derniers résultats sur la stabilité torique des variétés riemanniennes fermées à constante de Kato petite.

 

Title: Schur multipliers in Schatten von Neumann classes.
Abstract: We will introduce Schur multipliers and present some new 
results related to the boundedness of Schur multipliers in the 
Schatten classes. We also establish some relationships of them with 
the theory of Fourier multipliers in noncommutative groups and with 
the theory of operator valued functions. This is a joint work with 
José Conde Alonso, Adrián González-Pérez and Javier Parcet.
 

Résumé : 

Dans son article Über elektrostatische Gitterpotentiale, publié en 1921, Max Born posa la question suivante à propos des cristaux ioniques : Comment peut-on distribuer des charges positives et négatives sur un réseau cubique simple de telle sorte que l’énergie électrostatique du système soit minimal ? Il conjectura qu’une distribution alternée de charges +1 et -1 devrait être la structure ionique optimale.
Dans cet exposé, j’expliquerai le lien entre les fonctions thêtas des réseaux et la distribution optimale de charges sur un réseau fixé, quand l’énergie d’interaction est complètement monotone. Je montrerai ensuite comment, en collaboration avec Hans Knüpfer (Université de Heidelberg) nous avons démontré la conjecture de Born ainsi que ses généralisations pour certains types de réseaux. De plus, un résultat de polarisation 2d concernant le maximum parmi les réseaux du minimum parmi les distributions de charges, obtenu récemment avec Markus Faulhuber (Université de Vienne) et Stefan Steinerberger (Université de Washington), et donnant une nouvelle caractérisation du réseau triangulaire, sera présenté.  Les techniques utilisées pour démontrer cette conjecture vont de l’Analyse de Fourier à la formule sommatoire d’Ewald en passant par les propriétés des fonctions thêtas.
 

Résumé : 

10h-11h C. Villani
11h-12h G. Cassier
12h-14h Pause déjeuner
14h-15h L. Berlyand
15h-16h F. Fanelli

Titres et résumés :

L. Berlyand : Asymptotic stability in a free boundary PDE model of cell
motion

Résumé : We study the onset of motion of a living cell (e.g., a keratocyte) driven by myosin contraction with focus on a transition from unstable radial stationary states to stable asymmetric moving states. We introduce a two-dimensional free-boundary PDE  model that generalizes a previous one-dimensional model  by combining a Keller-Segel model, Hele-Shaw boundary condition, and the Young-Laplace law with a  novel nonlocal  regularizing term. This nonlocal term  precludes blowup or collapse by ensuring that membrane-cortex interaction is sufficiently strong. We found a family of asymmetric traveling solutions bifurcating from stationary solutions. Our main result is the nonlinear asymptotic stability of traveling wave solutions that model observable steady cell motion. We derived and rigorously justified  an explicit asymptotic formula for the stability determining eigenvalue via asymptotic expansions in a small   speed of cell. This formula greatly simplifies the computation of this eigenvalue and shows that stability is determined by the change in total myosin mass when stationary solutions bifurcate to traveling solutions. Our spectral analysis reveals the physical mechanisms of stability. If time permits, we will discuss work in progress on  fingering instability in multicellular tissue spreading. This is joint work with  V. Rybalko and C. Safsten.

G. Cassier : Image numérique et propriétés spectrales pour certains champs analytiques d'opérateurs.

Résumé : La transformation de Aluthge fut introduite en 1990, elle a ensuite été étudiée par de nombreux auteurs car elle possède des propriétés remarquables. Après avoir fixé le cadre et illustré les notions mises en jeu, nous commencerons par une analyse spectrale détaillée du champ de Aluthge (voir [2]). Nous montrerons ensuite comment un résultat portant sur ce champ, inclus dans [2], permet de démontrer une conjecture formulée par Jung, Ko et Pearcy en 2000. Nous terminerons en exposant des résultats de [1], relatifs à des champs analytiques de retournement plus généraux, qui offrent de nouvelles perspectives.
[1] G. Cassier,  Numerical range properties of some analytic operator fields, en cours de rédaction.
[2] G. Cassier, T. Perrin, Aluthge operator field and its numerical range and spectral properties, Integral Equations and Operator Theory, 93, 2021.

F. Fanelli : Hyperbolicité en mécanique des fluides incompressibles 

Résumé : Dans cet exposé on s'intéresse au caractère bien posé de certains systèmes d'EDP de la mécanique des fluides qui présentent une structure hyperbolique. On va se concentrer en particulier sur un système décrivant la dynamique d'un fluide incompressible et non-homogène, qui possède une viscosité impaire ("odd viscosity" en anglais). C'est le cas, par exemple, de certains écoulements fortement tourbillonnaires. Au niveau mathématique, le terme de viscosité impaire fait apparaître une perte de dérivées dans les estimations a priori classiques. On va alors introduire de bonnes inconnues, qui permettent de récupérer une structure hyperbolique sous-jacente au système et, en conséquence, d'établir une théorie de caractère bien posé dans des espaces de Sobolev à régularité suffisamment élevée. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Rafael Granero-Belinchón (Universidad de Cantabria) et Stefano Scrobogna (Università degli Studi di Trieste).

 

C. Villani : Panorama non exhaustif de problèmes mathématiques en théorie cinétique classique des plasmas.

Résumé : l'amortissement Landau proche de l'équilibre, pour des solutions très lisses, que j'ai étudié avec Mouhot, n'était qu'une brique dans un vaste ensemble de problèmes liés à la théorie cinétique des plasmas, dont la plupart sont toujours ouverts. Petit tour d'horizon de ce qui est connu et inconnu - beaucoup d'inconnu, même en se limitant aux cas les plus fondamentaux.

Résumé : We study the motion of an incompressible, inviscid two-dimensional fluid in a rotating frame of reference. There the fluid experiences a Coriolis force, which we assume to be linearly dependent on one of the coordinates. This is a common approximation in geophysical fluid dynamics and is referred to as beta-plane. In vorticity formulation the model we consider is then given by the Euler equation with the addition of a linear anisotropic, non-degenerate, dispersive term. This allows us to treat the problem as a quasilinear dispersive equation whose linear solutions exhibit decay in time at a critical rate. Our main result is the global stability and decay to equilibrium of sufficiently small and localized solutions. Key aspects of the proof are the exploitation of a “double null form” that annihilates interactions between waves with parallel frequencies and a Lemma for Fourier integral operators, which allows us to control a strong weighted norm and is based on a non-degeneracy property of the nonlinear phase function associated with the problem. Joint work with Fabio Pusateri; prior work with Tarek Elgindi.

Résumé : 

Résumé : 

Lower-order perturbations of the free Hamiltonians usually appear in Quantum Mechanics, as models describing the interaction of a free particle with an external field. In some cases, the perturbation lies at the same level as the free Hamiltonian, and the resulting conflict can generate interesting phenomena. We will introduce the Inverse Square and Coulomb potentials as toy models, and describe the main features of the complete Hamiltonians from the point of view of Fourier Analysis, Spectral Theory, and dispersive evolutions.

Résumé : 

I will talk about several recent results on Fourier uniqueness sets and Fourier interpolation formulas as well as their connection to the energy minimization problem in Euclidean spaces.

Résumé : Il est bien connu que pour les équations de Navier-Stokes incompressibles homogènes, c’est-à-dire à densité constante, il y a existence et unicité de solutions régulières globales en temps en dimension deux, ou en dimension trois si la vitesse initiale est petite. Dans un travail en collaboration avec P.B. Mucha (Université de Varsovie), nous avons obtenu des résultats similaires pour le système de Navier-Stokes incompressible à densité variable seulement bornée. En particulier, la densité peut s’annuler et aucune condition de compatibilité ne doit être vérifiée par la vitesse sur les bords de la zone de vide. Comme application, nous démontrons qu’en dimension deux (ou en dimension trois si la vitesse est petite) la structure de goutte de liquide incompressible visqueux dans le vide, ou au contraire de bulle de vide dans un liquide, est préservée pour tout temps, avec conservation de la régularité höldérienne de la frontière.

Résumé : On considère des systèmes d'EDP du premier ordre, faiblement hyperboliques: le spectre du symbole principal est réel mais des croisements de valeurs propres peuvent se produire. A proximité d'un tel croisement, les termes linéaires d'ordre inférieur peuvent induire une croissance en fréquence typiquement Gevrey. On étudiera des estimations d'énergie en régularité Gevrey en utilisant un symétriseur du symbole principal. Le symbole d'un tel symétriseur appartient à une classe de symboles spécifique, associée à une métrique dans l'espace des phases caractéristique du problème étudié. Pour de tels symboles, la composition des opérateurs associés entraîne des termes d'erreur qui peuvent être contrôlés par l'énergie Gevrey.

Résumé : 

Dans ce travail, en collaboration avec Jacopo Bellazzini (Universit\` a di Sassari), Louis Jeanjean (Université de Bourgogne Franche-Comté) et Nicola Visciglia (Università Degli Studi di Pisa), nous montrons l'existence d'états fondamentaux orbitalement stables pour une équation de Schrödinger non linéaire en dimension 3, en présence d'un confinement partiel.

Nous donnons également quelques unes de leurs propriétés qualitatives et certaines symétries. L'autointeraction non linéaire est de type masse surcritique et inclus le cas physiquement pertinent : le cas cubique.

Résumé : The stationary Keller-Segel system, which is a classical model for chemotaxis, leads (with some specific choice in the model) to the Lin-Ni-Takagi equation \begin{equation}\label{lnt} \begin{cases} -\varepsilon^2 \Delta v+v=v^p, \quad v>0 \quad & \text{in }\Omega,\\ \partial_\nu v=0 &\text{on } \partial \Omega, \end{cases} \end{equation} and the Keller-Segel equation \begin{equation}\label{ks} \begin{cases} -\varepsilon^2 \Delta v+v=\lambda e^v, \quad v>0 \quad & \text{in }\Omega,\\ \partial_\nu v=0 &\text{on } \partial \Omega. \end{cases} \end{equation} In this talk, I will show how to build radial multi-layer solutions, assuming $\Omega$ is a ball, of those equations using either bifurcations, the Lyapunov-Schmidt method or a variational gluing method. It is a remarkable fact that even if those solutions are obtained in an asymptotic regime $p\to \infty$ or $\lambda\to 0$, the layers do not accumulate on the boundary of the ball. Instead they solve an optimal partition problem. The talk is based on several joint works with Massimo Grossi (Roman), Susanna Teracinni (Torino), Benedetta Noris (Amiens), Christophe Troestler (Mons), Jean-Baptiste Casteras (Bruxelles) and Carlos Roman (UPMC).

Résumé : In this talk, I will present some aspects of dispersion for the Dirac operator. I will start by partially reviewing what is known for the Dirac operator in a Minkowkski space-time. Then, I will introduce the Dirac operator in a curved space-time, and present a result of dispersion for specific cases such as assymptotically flat or warped product geometries. This is a joint work with F. Cacciafesta (Padova).

Résumé : We consider the inviscid incompressible limits of the rotating compressible Navier–Stokes system for a barotropic fluid. We show that the limit system is representedby the rotating incompressible Euler equation on the whole space.

Résumé : Cet exposé commencera par une revue d’une technique développée (avec T. Rivière) pour prouver des identités d’énergie pour les limites de suites de solutions de problèmes conformément invariants en dimension 2. Contrairement aux résultats existants, la preuve repose exclusivement sur l’invariance conforme. J'expliquerai dans la suite comment on a pu (avec L. Lin et R. Petrides) la transposer des problèmes ouverts en dimension supérieure ou encore à bord libre et comment on peut en déduire la convexité de certaine fonctionnelle autour de leur point critique de basse énergie.

Résumé : Dans cet exposé, je présenterai un problème qui modélise le mouvement d'un solide dans un fluide visqueux incompressible. On s'intéresse ici à l'évolution d'un seul obstacle qui se rétrécit en une particule ponctuelle dans un fluide de R^2 ou R^3. On montrera la convergence des solutions du système fluide-solide vers une solution des équations de Navier-Stokes sans obstacle grâce aux estimations d'énergie.

Résumé : La transformation de Aluthge joue un rôle important dans l’étude des opérateurs linéaires bornés sur les espaces de Hilbert. Dans la première partie de l'exposé, je vais introduire la transformation de Aluthge et je parlerai de quelques propriétés centrales de cette transformation. Dans la deuxième partie, je vais présenter quelques résultats récents sur les applications qui commutent avec la transformation de Aluthge de différentes manières et je donnerai la forme explicite de ces applications.

Résumé : We consider a class of three-dimensional CR manifolds which are modelled on the Heisenberg group. We prove positivity of the mass under the condition that the Webster curvature is positive and that the manifold is embeddable. We apply this result to the CR Yamabe problem, and we discuss the properties of Sobolev-type quotients, giving some counterexamples for Rossi spheres. This is joint work with J.H.Cheng and P.Yang.

Résumé : 

In the first part of the talk, I will review key results on the asymptotic behavior of the simplified Ginzburg-Landau energy (no fields) and its minimizers. Then, using a combination of tools from Gamma-convergence, geometric measure theory and gradient flow analysis of the associated parabolic Ginzburg-Landau system, I will discuss a new result on construction of critical points for GL on a 3d Riemannian manifold that concentrate on a stationary (non-length minimizing) geodesic. This is joint work with Andrew Colinet and Bob Jerrard.

Résumé : 10 h : Pierre-Damien Thizy, "Analyse a priori pour l'équation de Moser-Trudinger et quelques conséquences." 11 h : Stéphane Attal, “Marches aléatoires quantiques de toutes sortes” 13 h 30 : Ivan Gentil, "Inégalité de Poincaré pour les mesures de Cauchy" 14 h 30 : Rafael Granero Belinchon, "On certain instabilities for perfect fluids"

Résumé : Les équations d'Hamilton-Jacobi avec Hamiltonien coercif possèdent une régularité inattendue. Un tel résultat a d'abord été obtenu par Capuzzo Dolcetta, Leoni et Porretta, qui ont démontré que les sous-solutions des équations d'Hamilton-Jacobi stationnaires du deuxième ordre avec croissance sur-quadratique sont hölderiennes. Cette régularité a ensuite été démontrée (par Cardaliaguet et ses co-auteurs) dans le cas d'évolution en utilisant des techniques assez différentes. Dans cet exposé je démontrerai des estimations dans des espaces de Sobolev pour les solutions des équations d'Hamilton-Jacobi du premier ordre avec Hamiltonien sur-linéaire, et la différentiabilité presque partout de ces solutions. Ce résultat de régularité permet de montrer que les solutions faibles des équations des jeux à champ moyen satisfont l'équation d'Hamilton-Jacobi en un sens plus classique que prévu.

Résumé : Sur un cône, la diffraction géométrique a lieu le long des géodésiques qui passent par le sommet du cône en étant limite de géodésiques qui l'évitent. J'expliquerai comment une nouvelle expression du propagateur de l'équation des ondes au voisinage de ces rayons permet de traiter le cas de diffractions géométriques multiples sur une surface plate à singularités coniques. Collaboration avec A. Ford et A. Hassell.

Résumé : 

Résumé : Dans R^n, l'inégalité isopérimétrique est équivalente à l'inégalité de Sobolev optimale, pour p=1. La théorie de Brunn-Minkovski permet de démontrer l'inégalité isopérimétrique plutôt naturellement, et c'est donc un bon cadre pour prouver des inégalités de Sobolev (éventuellement à trace) optimales. Dans cet exposé, nous verrons comment cela est possible, en utilisant une version plus forte du théorème de Borell-Brascamp-Lieb. Cette démarche, reposant sur le transport optimal, est à contre-pied des méthodes traditionnelles par le calcul des variations.

Résumé : On parlera dans cet exposé de plusieurs équations de Fokker-Planck homogènes en espace avec diffusion classique, fractionnaire ou discrète. On présentera un résultat de convergence vers l'équilibre dans un cadre unifié pour ces équations. Un des points clés de cette étude est la compréhension des propriétés régularisantes de ces opérateurs. Dans un second temps, nous aborderons cette question de régularisation dans le cas non homogène en espace. Travail en collaboration avec Stéphane Mischler et Frédéric Hérau, Daniela Tonon.

Résumé : In this talk, we focus on some mathematical results arising from the study of anisotropic complex fluids, the motion of which is complicated by the existence of mesoscale structures. We address in particular some recent developments on the dynamics of liquid crystals, materials exhibiting both solids and liquids properties. The main peculiarity of these media is a privileged orientation of the constitutive molecules, which we investigate both in the director and the order tensor theories. The anisotropic coupling and competition within the structure of these materials are modelled within the framework of the energetic variational approach, which reveals the entire system of PDE’s driving the motion. We then analyse the related Cauchy problem, presenting some results of global well-posedness, regularity propagation and stability of equilibria. These results are especially based on Fourier-analysis techniques and the functional settings of Sobolev and Besov regularities.

Résumé : A singular semilinear hyperbolic approximation to the Euler and the incompressible Navier-Stokes equations in 2D, inspired by the kinetic theory, is considered. We show the convergence of the vector-BGK model to the Euler equations under the hyperbolic scaling, and to the incompressible Navier-Stokes equations in the diffusive scaling. The latter result deeply relies on the dissipative properties of the system and on the use of an energy which is provided by a symmetrizer whose entries are weighted in a suitable way with respect to the diffusive parameter. This convergence is valid for smooth solutions and it is local in time. Some possible strategies to obtain the global in time convergence will be illustrated on a toy model.

Résumé : 

résumé
 

Résumé : Les anyons sont des particules émergentes ayant des statistiques quantiques intermédiaires entre celles des bosons et des fermions, les seuls type de particules fondamentales connues. Elles se manifestent comme des quasi-particules dans certains systèmes de dimensionalité réduite, par exemple dans le cadre de l'effet Hall quantique fractionnaire. En 2D, les anyons sont formellement équivalents à des bosons ordinaires couplés à des tubes de flux magnétiques. Ce point de vue mène à un Hamiltonien contenant des interactions à longue portée assez spéciales. Dans cet exposé je présenterais un nouveau modèle de champ moyen décrivant cette physique de manière simplifiée. Il est basé sur une fonctionnelle d'énergie de type Schrödinger non-linéaire avec un champ magnétique auto-consistant, et sur l'EDP associée, hautement nonlinéaire et non-locale. Je présenterais la dérivation rigoureuse d'une approximation de densité locale (énergie de type Thomas-Fermi) dans une certaine limite. Travaux communs avec Michele Correggi, Romain Duboscq et Douglas Lundholm.

Résumé : On s'intéresse à la question de prolongement unique suivante : l'observation de l'intensité d'une onde sur un petit sous-domaine pendant un intervalle de temps détermine t-elle l'énergie totale de l'onde ? Résolu dans un cadre analytique par le célèbre théorème de Holmgren-John (1949), ce problème reste ouvert dans le cadre général jusqu'aux travaux de Tataru-Robbiano-Zuily-Hörmander (1995-1998). Dans cet exposé, on donnera l'estimée de stabilité optimale associée à ces résultats. Ce faisant, on répondra aussi à la question suivante : quelle est l'intensité de l'onde que l'on perçoit dans l'ombre d'un obstacle ? Si le temps le permets, on donnera une conséquence de ce résultat sur le coût de la contrôlabilité approchée de l'équation des ondes. Il s'agit un travail en collaboration avec Camille Laurent.

Résumé : Dans cet exposé, nous revisitons la formulation géométrique des equations Euler-alpha vues comme équations géodésiques sur les groupes de diffeomorphismes par rapport à une métrique de type H^1. Nous montrons comment utiliser cette propriété pour prouver que les équations sont bien posées sur des variétés Riemanniennes à bords, avec conditions de bord de type Dirichlet, Navier, ou mixtes. Nous considérons aussi ces mêmes questions pour une version compressible de ces équations qui généralise les équations de Camassa-Holm.

Résumé : De nombreux modèles physiques mettent en jeu des champs de matrices symétriques, dont chaque ligne (un champ de vecteurs) est à divergence nulle. Lorsque ces matrices sont positives, on établi un gain d'intégrabilité pour le déterminant. Ce résultat est d'une certaine manière dual de l'existence de solutions de l'équation de Monge-Ampère. Il généralise l'inégalité fonctionnelle de Gagliardo. En géométrie, il permet de retrouver l'inégalité isopérimétrique ainsi que son cas d'égalité. En dynamique des gaz (équations d'Euler, de Boltzmann ou de Vlasov), il implique une nouvelle estimation fondamentale, en termes d'une intégrale en espace-temps.

Résumé : 

On présentera une généralisation du critère de Bakry-Émery pour démontrer l’inégalité de Log-Sobolev de certaines dynamiques sur réseau quand l’Hamiltonien n’est pas strictement convexe. Cette procédure repose sur une méthode de renormalisation et sur l’équation de Polchinski.

 

Résumé : 

In this talk I will describe a new method to obtain uniform in
time rate of convergence from a system of interacting diffusion toward the McKean-Vlasov equation. This method is purely analytical, and is based on Brenier's polar factorization theorem. More precisely we estimate the dissipation of the Wasserstein 2 metric between the law of
the N interacting particles and the N times tensorized product of the solution to the McKean-Vlasov equation. We can obtain in this way, a result of Durmus, Eberle, Guillin, and Zimmer concerning particles in a double well confinement proved by a probabilistic approach.

Résumé : 

The vanishing viscosity limit for incompressible flows in the presence of rigid boundaries is an active area of research, with a classical open problem at its core: are limiting flows solution of the inviscid equations? There are many partial results, and one direction of progress has been to consider this limit for flows with symmetry. In this talk we examine the literature along this direction, presenting a few key ideas and some recent results.

Résumé : 

We will consider a fractional version of the classical Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequality. We first study the existence and nonexistence of extremal solutions. Our next goal is to show some results for the symmetry and symmetry breaking region for the minimizers. In order to get these  we reformulate the inequality in cylindrical variables and so that we can use the non-local ODE theory previously developed by the authors for radial solutions. We also get non-degeneracy of critical points and uniqueness of minimizers in the radial symmetry class.
 

Résumé : 

TBA

Résumé : 

Lecture 3: Dissipative solutions to the Euler system. Is this the right way to solve the problem? The existence of semigroup selection. Various selection principles.

Résumé : 

Le problème du transport optimal quadratique peut être obtenu comme la limite quand la diffusivité tend vers 0 des problèmes de grandes déviations de la densité en espace d'une grande population de particules browniennes indépendantes. Ce résultat relativement récent de Léonard a permis d'insuffler un nouvel élan dans l'étude d'un problème de minimisation entropique introduit par Schrödinger en 1931, à la fois pour sa pertinence en pratique et pour ses propriétés numériques. Par ailleurs, un grand nombre de phénomènes naturels, par exemple en dynamique des populations, présentent à la fois une évolution de type "transport" et une évolution de type "variation de masse". C'est donc naturellement que ces dernières années ont vu le  développement de modèles de transport optimal dit "non-équilibré"  proposant pour chacun d'entre eux un compromis quantitatif différent entre ces deux comportements. Dans cet exposé, élaboré sur la base d'un travail en cours en collaboration avec Hugo Lavenant de l'Université Bocconi à Milan, je montrerai comment dériver une version régularisée d'un modèle de transport optimal non-équilibré en partant  des grandes déviations du mouvement brownien branchant. Je présenterai également brièvement l'application en biologie du développement qui avait motivé cette étude.

Résumé : 

Les inégalités d'interpolation à la Borell-Brascamp-Lieb (ou sa version géométrique, l'inégalité de Brunn-Minkovski), peuvent se généraliser du cas euclidien au cas des variétés riemanniennes à l'aide de techniques de transport optimale. Ces inégalités peuvent en effet être utilisées comme définition de "Ricci bornée inférieurement" pour des espaces métriques plus générales.  

Une classe d'espaces qui ne satisfait pas cette définition plus générale est celle des variétés sous-Riemanniennes, qui peuvent être vues comme des limites de variétés Riemanniennes avec courbure de Ricci qui explose à $-\infty$. Dans cette exposé on rappellera le résultats connus et on discutera les généralisations possibles au cas sous-riemannien

[Travail en collaboration avec Luca Rizzi]

Résumé : 

In the nineteenth century Claude-Louis Navier and George Gabriel Stokes proposed the Navier-Stokes as a model for viscous incompressible fluids such as water. The question as to whether or not the equations form singularities (which would correspond to points where the speed of the fluid increases indefinitely) remains open. In this talk, we'll first look at some of the mathematical theory around the Navier-Stokes equations before discussing a potential pathway to obtaining singularities. This is a joint work with Dallas Albritton (University of Minnesota).

Résumé : 

Programme:

09h45 - 10h45: Baptiste Devyver - Espace de Hardy de formes différentielles sur les variétés;

10h45 - 11h45: Gabriele Sbaiz - Singular perturbation and multi-scale problems for fluids in fast rotation;

(pause déjeuner)

14h30 - 15h30: Havva Yoldaş - Analysis of a cross-diffusion model for rival gangs interaction in a city;

15h30 - 16h30: Lorenzo Brandolese - Structures géométriques des écoulements de fluides dans le plan.

Résumé : 

Lecture 1: The method of convex integration and its impact on solvability of the Euler system in the class of weak solutions. The existence of ``wild'' solutions and related topics.

Résumé : 

Lecture 2: Consistent approximation of the Euler system, basic properties and convergence.

Résumé : 

Lecture 4: Numerics and visualization of oscillatory solutions. K-convergence and its applications.

Résumé : 

TBA

Résumé : 

We study the Nakazawa-Ohta ternary inhibitory system, which describes domain morphologies in a triblock copolymer as a nonlocal isoperimetric problem for three interacting phase domains. The free energy consists of two parts: the local interface energy measures the total perimeter of the phase boundaries, while a longer-range Coulomb interaction energy reflects the connectivity of the polymer chains and promotes splitting into micro-domains. We consider global minimizers on the two-dimensional torus, in a limit in which two of the species have vanishingly small mass but the interaction strength is correspondingly large. In this limit there is splitting of the masses, and each vanishing component rescales to a minimizer of an isoperimetric problem for clusters in $\mathbb{R}^2$. Depending on the relative strengths of the coefficients of the interaction terms we may see different structures for the global minimizers, ranging from a lattice of isolated simple droplets of each minority species to double-bubbles, and coexistence of droplets and double-bubbles. This represents work with L. Bronsard, X. Lu, and C. Wang.

Résumé : 

Les barycentres dans l’espace de Wasserstein qui généralisent l’interpolation de McCann à plus de deux mesures sont fréquemment utilisés dans des champs appliqués comme le traitement d’images ou les statistiques et il y a des algorithmes efficaces pour les calculer. Dans cet exposé, je voudrais insister sur la caractérisation en termes de systèmes d’équations de Monge-Ampère, je donnerais quelques résultats de régularité ainsi que des estimations sur les moments et l’information de Fisher et en déduirai un TCL pour les barycentres de mesures aléatoires i.i.d.

L’exposé sera basé sur des travaux avec Martial Agueh et Katharina Eichinger et Alexey Kroshnin.

Résumé : 

Le but de cet exposé est de présenter deux modèles de congestion uni-dimensionnels : un modèle de congestion « douce » avec une pression singulière, et un modèle de congestion « dure » dans lequel la dynamique est différente dans les zones congestionnées (dynamique incompressible) et non-congestionnées (dynamique compressible). Le modèle de congestion dure est la limite du modèle de congestion douce lorsque le paramètre de la pression singulière tend vers zéro.

Résumé : 

Je présenterai un travail en collaboration avec L. Brasco (http://cvgmt.sns.it/paper/2891/). Dans ce travail le point de départ est une inégalité entre des normes de Sobolev négatives et des distances de Wasserstein, prouvée en utilisant la formulation dynamique (Benamou-Brenier) du transport optimal. En l'appliquant à des fonctions test et des mesures bien choisies, cela permet d'obtenir des variantes des inégalites de type Poincaré-Wirtinger (Poincaré pour les fonctions de moyenne nulle) sur des domaines convexes, avec des constantes explicites (bien qu'en général pas optimales).

Résumé : 

I present some results concerning the size of magnetic fields that support zero modes for the three dimensional Dirac equation and related problems for spinor equations. The critical quantity, is the 3/2 norm of the magnetic field B. The point is that the spinor structure enters the analysis in a crucial way. This is joint work with Rupert Frank at Caltech.

Résumé : 

L'équation cinétique des ondes apparaît en théorie de la turbulence faible d'ondes. Dans cet exposé nous nous intéressons à sa dérivation en tant qu'équation effective pour un système dont l'évolution au niveau microscopique est régie par l'équation de Schrodinger non linéaire (NLS). Plus précisément, nous considérons (NLS) dans un régime faiblement non linéaire sur un tore de dimension au moins égale à deux, et pour un champ gaussien fortement oscillant comme donnée initiale. Une conjecture en physique statistique est qu'il existe une échelle de temps cinétique sur laquelle, statistiquement, les modes de Fourier évoluent selon l'équation cinétique des ondes.

 

Il y a deux paramètres dans ce problème : la longueur d'oscillation du champ, et la force de la non linéarité. Le problème de savoir dans quel régime l'équation cinétique des ondes est rigoureusement valide est toujours ouvert. La relation de dispersion - de manière équivalente, la géométrie du tore - semble jouer un rôle important, puisque les propriétés de distribution de la forme quadratique sur les points à coordonnées entières qui lui est associée sont directement reliées à la structure des termes résonants dans la dynamique.

 

Dans le cas d'un tore standard, nous montrons qu'un seul régime particulier permet la convergence de la série de Dyson jusqu'au temps cinétique. Nous prouvons également, pour une relation de dispersion générique (tore non rectangulaire), que la série de Dyson converge pour des temps bien plus longs. Ceci nous permet dans un second temps de contrôler la solution complète jusqu'au temps cinétique, dans le régime particulier pour le tore standard, et pour un plus grand nombre de régimes pour des tores génériques, à erreur polynomial arbitrairement petite.

 

Ceci est un travail en collaboration avec P. Germain (Courant Institute, New York University).

Résumé : 

In this talk, we aim to study time periodic solutions for 3D inviscid quasi-geostrophic model. We show the existence of non trivial rotating patches by suitable perturbation of stationary solutions given by generic revolution shapes around the vertical axis. The construction of those special solutions are done through bifurcation theory. In general, the spectral problem is very delicate and strongly depends on the shape of the initial stationary solutions. Indeed, the spectral study can be related to an eigenvalue problem of a self-adjoint compact operator and we are able to implement the bifurcation only from the largest eigenvalues of such operator which are simple. This is a joint work with T. Hmidi and J. Mateu.

Résumé : 

Les barycentres dans l’espace de Wasserstein qui généralisent l’interpolation de McCann à plus de deux mesures sont fréquemment utilisés dans des champs appliqués comme le traitement d’images ou les statistiques et il y a des algorithmes efficaces pour les calculer.

Dans cet exposé, je voudrais insister sur la caractérisation en termes de systèmes d’équations de Monge-Ampère, je donnerai quelques résultats de régularité ainsi que des estimations sur les moments et l’information de Fisher et en déduirai un TCL pour les barycentres de mesures aléatoires i.i.d.

L’exposé sera basé sur des travaux avec Martial Agueh et Katharina Eichinger et Alexey Kroshnin.

Résumé : 

TBA

Résumé : 

Les EDPs elliptiques sont remarquables en ce qu'elles vérifient des théorèmes de régularisation, du type Calderón-Zygmund.  À la frontière de ces théorèmes, se trouvent les équations critiques. Dans cet exposé, j'étudierai deux classes d'équations elliptiques critiques liées à des problèmes physiques et géométriques. Je montrerai comment grâce à des phénomènes de compensation il est possible de s'appuyer sur la structure remarquable de ces équations pour prolonger la régularité elliptique,  à quelles familles d'équations on peut appliquer ces méthodes, et comment ces structures induisent des phénomènes de concentration remarquables.

Résumé : 

Unique continuation generalizes the well-known analytic continuation for holomorphic functions to solutions of more general PDEs. In this talk we will review this property for both local and nonlocal operators, focusing on its quantitative version. We will also see its crucial role for Runge-type approximations results and how it leads to stability results for inverse problems.

Résumé : 

Résumé : 

Etant donné un espace de Banach séparable $X$ de dimension infinie, on peut considérer sur l'algèbre $\mathcal{B}(X)$ des opérateurs linéaires continus sur $X$ plusieurs topologies naturelles qui font de la boule unité fermée $B_1(X)=\{T\in\mathcal{B}(X);||T||\le 1\}$ un espace Polonais, c'est-à-dire un espace séparable et complètement métrisable.
Dans cet exposé, je présenterai quelques résultats concernant les propriétés "typiques" au sens de Baire des opérateurs de $B_1(X)$ pour ces topologies quand $X$ est un espace $\ell_p$. Notre motivation principale pour cette étude est liée au Problème du sous-espace invariant, qui concerne l'existence de sous-espaces fermés invariants non-triviaux pour les opérateurs sur les espaces de Banach. Ainsi, il est intéressant d'essayer de déterminer si une contraction "typique" sur un espace $\ell_p$ a un sous-espace invariant non-trivial (ou pas).

Cet exposé sera basé sur un travail joint avec Etienne Matheron et Quentin Menet.

Résumé : 

The fractional Laplacian is the operator obtained by considering non-integer powers of the classical Laplacian. It appears in many models both from theoretical and applied mathematics. In this talk we are interested in particular to powers greater than one for which the theory is close to the one of polyharmonic operators. We will go over some recent results, obtained in collaboration with Sven Jarohs (Frankfurt am Main, Germany) and Alberto Saldaña (Mexico City, Mexico): these concern the loss of the maximum principle (also called in this context ``positivity preserving property'') and related issues, such as the oscillation of the first eigenfunction.

Résumé : 

In some functional inequalities, best constants and minimizers are known. The next question is stability: suppose that a function "almost attains the equality", in which sense it is close to one of the minimizers? In this lecture, I will address a recent result on the quantitative stability of a subfamily of Gagliardo-Nirengerg-Sobolev inequalities. The approach is based on the entropy method for the fast diffusion equation and allows us to obtain completely constructive estimates. The results are based on joint work with M. Bonforte, J. Dolbeault, and B. Nazaret.

Résumé : 

L’équation de Vlasov-Benney est un prototype d’équation de Vlasov non linéaire avec force singulière (dans le sens où la force perd une dérivée en espace). Dans cet exposé je présenterai des résultats récents sur le problème de Cauchy local sous une hypothèse optimale de stabilité pour la donné initiale.

Résumé : 

Let $(M,g)$ be a complete Riemannian manifold, $\Delta$ the Laplace Beltrami operator and $\nabla$ the gradient. We investigate the validity of the inequality $\left\Vert \Delta^{\frac 12}f\right\Vert_p\leq C \left\Vert \left\vert \nabla f\right\vert \right\Vert_p$, $1<p<\infty$, under various geometric assumptions. Some fractal-like situations will also be considered. This is joint work with Baptiste Devyver.

Résumé : 

Après une présentation rapide du modèle de Navier Stokes avec rotation et stratification (un petit paramètre $\varepsilon$ mesurant l'importance de ces deux phénomènes), on s'intéressera à l'existence globale et aux asymptotiques des solutions du système lorsque $\varepsilon$ est petit, et pour des données très mal préparées (de taille en une puissance négative de $\varepsilon$). On obtient aussi une estimation par une puissance positive de $\varepsilon$ de la vitesse de convergence vers le modèle quasi-géostrophique.

Résumé : 

The behavior of plasmas, or electrically conducting fluids, is often well-described by a set of hydrodynamic equations coupled with Maxwell’s equations, through the action of an electromagnetic force. Many aspects of the analysis of such models are met with important challenges due to the hyperbolic nature of Maxwell’s system. 

Résumé : 

The talk deals with the Korteweg-de Vries equation with variable coefficients and a small parameter at the highest derivative. These problems arise while studying wave processes in media with variable characteristics and a small dispersion.

An approach to the construction of asymptotic soliton-like solution of the equation is presented. The approach is based on the non-linear WKB technique. The algorithm for constructing the asymptotic soliton-like solution is described in detail, as well as its justification.

The constructed asymptotic solution is similar to the soliton solution of the Korteweg-de Vries equation $ u_t+uu_x+u_{xxx}=0 $. The solution contains regular and singular parts of asymptotic. The regular part of the solution forms the background of the wave process, and its singular part reflects the features associated with the specific properties of the soliton. Differential equations for the terms of the asymptotics are given and their solving is discussed.

The problem of the existence of a global asymptotic soliton-like solution of the equation is also considered.

The obtained results are illustrated by examples.

Résumé : 

We define a new rearrangement, called rearrangement by tamping, for non-negative measurable functions defined on R+. This rearrangement has many properties in common with the well-known Schwarz non-increasing rearrangement such as the Pólya–Szegő inequality. Contrary to the Schwarz rearrangement, the tamping also preserves the homogeneous Dirichlet boundary condition of a function.