Institut Camille Jordan

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Lesson 5: Asymptotic models for the Muskat problem and for the water waves. Derivation and well-posedness.

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Lesson 4: Arbitrary Lagrangian-Eulerian formulation of the Muskat problem. Lagrangian formulation of the water waves problem. Well-posedness of the one-phase Muskat equation and the water waves problem.

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on se placera dans le cadre d'un ouvert borné de R^2 avec condition de Dirichlet homogène au bord, où ces inégalités ont été originellement introduites par Trudinger et Moser. On commencera par décrire quelques résultats (maintenant plus ou moins classiques) donnant l'existence d'une extrémale sous certaines hypothèses (Carleson, Chang, Flucher, Lu, Struwe, Yang). On décrira ensuite un certain nombre de travaux plus récents discutant plus précisément ces hypothèses  et donnant des exemples de telles inégalités sans extrémales (Ibrahim, Nakanishi, Masmoudi, Martinazzi, Mancini, Pruss, Sani, T.).

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Dans cet exposé de type « survol », on va décrire trois problèmes de perturbation singulière. Le premier est un problème scalaire, proposé par  Cahn et Hilliard, pour des transitions de phase. Le deuxième est un problème vectoriel, motivé par le modèle de Ginzburg-Ladau, qui a été étudié par Bethuel, Brezis et Hélein. Le troisième est un problème vectoriel motivé par la théorie des cristaux liquides, dans lequel la composante scalaire joue un rôle important (la troisième partie est basée sur un travail récent avec Dmitry Golovaty).

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On étudie la stabilité d'une famille de solutions stationnaires de l'équation d'Euler dans R^3 qui décrivent des tourbillons à symétrie cylindrique : le champ de vitesse est contenu dans le plan horizontal, et ne dépend que de la distance à l'axe vertical. Ces solutions ont été étudiées notamment par Kelvin et Rayleigh au 19ème siècle, mais les seuls résultats de stabilité obtenus jusqu'ici concernent des perturbations très particulières (bidimensionnelles ou axisymétriques). On donne une condition suffisante sur le profil de vitesse du tourbillon garantissant la stabilité spectrale vis-à-vis de perturbations arbitraires.
Il s'agit d'un travail en collaborationa avec Didier Smets.

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Dans cet exposé, on s'intéressera à la propriété de la restriction sur des espaces de fontions peu régulières.
Par exemple, étant donné une fonction dans $H^1$, on peut motnrer que presque toutes ses restrictions appartiennent
encore à $H^1$. Ce type de propriété joue un rôle crucial en théorie du relèvement et, par extension, dans certains
problèmes de réaction-diffusion du type Ginzburg-Landau. On montrera de nouveaux résultats exhibant une large classe
d'espaces de Besov pour lesquels, surprenamment, cette propriété n'est pas vérifiée. De plus, on présentera une
caractérisation "optimale" de la perte de régularité ainsi observée en terme d'espaces dits à "régularité généralisée"
récemment introduits par D. Edmunds et H. Triebel en connection avec la géométrie fractale.

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Inégalités et non inégalités d’interpolation à la Gagliardo-Nirenberg-Sobolev

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I discuss  (the full range of) Caffarelli, Kohn, Nirenberg's inequalities for fractional Sobolev spaces and improvements of Hardy's and Caffarelli, Kohn, Nirenberg's inequalites for (standard integer order) Sobolev spaces with  proofs. Interestingly, the proofs are quite elementary and mainly based on the Poincaré and Sobolev inequalities for an annulus; the integration-by-part arguments are not required. This is joint work with Marco Squassina.

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La meilleure constante dans l'injection de $W^{N,1}({\mathbb R}^N)$ dans $L^\infty$ et des sujets connexes

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The floating structure problem describes the interaction between surface water waves and a floating body, generally a boat or a wave energy converter. As shown by Lannes, the equations for the fluid motion can be reduced to a set of two evolution equations on the surface elevation and the horizontal discharge. The presence of the object is accounted for by a constraint on the discharge under the object. We address the shallow water approximation under the assumption that the flow is axisymmetric without swirl and we consider a solid which moves only vertically. In the second part of the talk, we deal with the decay test. It consists in releasing the solid body in a fluid initially at rest and letting it evolve towards its equilibrium position. It turns out that our previous theory does not work in this particular configuration. For this reason, we use a linear-nonlinear hydrodynamic model and we show that the solid equation can be written as a nonlinear second order integro-differential equation.

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Les propriétés ergodiques des équations de Navier-Stokes perturbées par une force aléatoire ont été largement étudiées dans la littérature au cours des deux dernières décennies. Le problème a été toujours étudié dans des domaines bornés afin d'avoir des propriétés spectrales appropriées pour l'opérateur de Stokes et des propriétés de compacité pour les espaces fonctionnels et pour l'opérateur résolvant le système. Dans cet exposé, nous considérons les équations de Navier-Stokes dans un domaine non borné satisfaisant l'inégalité de Poincaré. En supposant que le système est perturbé par un bruit borné non dégénéré, nous établissons l'unicité de la mesure stationnaire et la propriété de mélange exponentiel. La preuve est basée sur une approche de contrôlabilité.

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Formellement, les inégalités de plongement de Sobolev suggèrent qu'une fonction dans  l'espace W^{1,n}, où n est la dimension de l'espace, serait essentiellement bornée. Bien que cela soit faux en général, de telles fonctions satisfont néanmoins une propriété d'intégrabilité exponentielle : c'est l'inégalité de Trudinger-Moser. Les inégalités de Adams sont similaires, elles concernent les espaces de Sobolev d'ordre  supérieur. Cependant, contrairement aux inégalités Trudinger-Moser, il y a peu d'espaces non-compacts où ces inégalités sont connues ; il s'agit essentiellement de l'espace euclidien et de l'espace hyperbolique. Dans cet exposé, j'expliquerai pourquoi elles sont valables pour toute métrique riemannienne sur R^n de courbure négative pincée. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Sandeep Kunnath (TIFR CAM, Bangalore).

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L’objectif de cet exposé est de présenter quelques  résultats récents autour des équilibres relatives  pour les équations d’Euler 2d. Les équilibres relatives qui vont nous intéresser sont des tourbillons animés d’un mouvement de rotation uniforme  (qui sont des solutions périodiques en temps assez particulières). On présentera d’abord le cas des tourbillons uniformément distribués et ensuite on abordera le cas des tourbillons non uniformes. Cette dernière partie découle d’un travail récent avec Claudia Garcia et Juan Soler.

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Cet exposé présentera des dynamiques aléatoires associés à des modèles de gaz de particules en interaction, issus ou inspirés des matrices aléatoires et de la physique statistique. Ces dynamiques sont à la fois des objets d'intérêt naturels et des outils pour l'échantillonnage. Les phénomènes de grande dimension y jouent un rôle important.

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La fonctionnelle de Griffith est une variante de la fonctionnelle de Mumford-Shah, qui met en compétition l’énergie élastique d’un déplacement u dans un domaine fissuré de type $\Omega \setminus K$, avec une énergie de surface, i.e. la mesure $H^1$ (i.e. longueur en $2$D) de l’ensemble K. Cette fonctionnelle intervient dans certains modèles variationnels de propagation de fissures, basés sur les postulats de A.A. Griffith (1893-1963) en rupture fragile. L’énergie élastique ressemble à une énergie de type Dirichlet sur la fonction  u, à valeurs vectorielles ($\mathbb{R}^2$), mais où seule la partie symétrique du gradient apparaît. Comparée à l’énergie « classique » de Mumford-Shah (1989), cette fonctionnelle donne lieu a des difficultés techniques majeures. En particulier l’inégalité de Korn dans le domaine irrégulier $\Omega \setminus K$ n’est pas disponible et de nombreux outils classiques du cas scalaire ne fonctionnent plus en vectoriel. Ceci explique par exemple que l’existence d’un minimiseur, établi en 1989 pour Mumford-Shah, n’ait été démontré que très récemment (2017) pour Griffith avec des outils nouveaux. Dans cet exposé je présenterai un résultat de régularité $C^{1,\alpha}$ sur l’ensemble singulier $K$, comparable au théorème de Bonnet (1996) ou David (1997) concernant Mumford-Shah, en essayant d’expliquer les difficultés rencontrées et l’approche utilisée pour les contourner. Le cas de la dimension $N>2$ reste encore largement ouvert. Ceci est un travail en collaboration avec J.-F. Babadjian et F. Iurlano.

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Dans cet exposé, je montrerai les différentes définitions de l’opérateur de Stokes avec conditions au bord de Dirichlet. On s’intéressera au comportement de ces opérateurs lorsque l’on approche un domaine quelconque par l’intérieur ou par l’extérieur. C’est un travail en collaboration avec Tom ter Elst, Université d’Auckland, Nouvelle Zélande.

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Dans cet exposé je me pencherai sur le problème de remplacer une courbe dans l’espace des mesures de probabilités par une probabilité sur l’espace des courbes. Il s’agira de réaliser cela en gardant une énergie cinétique moyenne faible ou en préservant un certain ordre. Si ce problème ressort de la théorie du transport optimal, ll rencontre aussi celui des `peacocks’ (ou PCOC: Processus Croissant pour L’Ordre Convexe) introduit dans un contexte plus probabiliste.

Travail en collaboration avec Charles Boubel.

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Résumé : Les anyons sont des particules émergentes ayant des statistiques quantiques intermédiaires entre celles des bosons et des fermions, les seuls type de particules fondamentales connues. Elles se manifestent comme des quasi-particules dans certains systèmes de dimensionalité réduite, par exemple dans le cadre de l'effet Hall quantique fractionnaire. En 2D, les anyons sont formellement équivalents à des bosons ordinaires couplés à des tubes de flux magnétiques. Ce point de vue mène à un Hamiltonien contenant des interactions à longue portée assez spéciales. Dans cet exposé je présenterais un nouveau modèle de champ moyen décrivant cette physique de manière simplifiée. Il est basé sur une fonctionnelle d'énergie de type Schrödinger non-linéaire avec un champ magnétique auto-consistant, et sur l'EDP associée, hautement nonlinéaire et non-locale. Je présenterais la dérivation rigoureuse d'une approximation de densité locale (énergie de type Thomas-Fermi) dans une certaine limite. Travaux communs avec Michele Correggi, Romain Duboscq et Douglas Lundholm.

Résumé : In this talk, we focus on some mathematical results arising from the study of anisotropic complex fluids, the motion of which is complicated by the existence of mesoscale structures. We address in particular some recent developments on the dynamics of liquid crystals, materials exhibiting both solids and liquids properties. The main peculiarity of these media is a privileged orientation of the constitutive molecules, which we investigate both in the director and the order tensor theories. The anisotropic coupling and competition within the structure of these materials are modelled within the framework of the energetic variational approach, which reveals the entire system of PDE’s driving the motion. We then analyse the related Cauchy problem, presenting some results of global well-posedness, regularity propagation and stability of equilibria. These results are especially based on Fourier-analysis techniques and the functional settings of Sobolev and Besov regularities.

Résumé : Dans cet exposé, nous revisitons la formulation géométrique des equations Euler-alpha vues comme équations géodésiques sur les groupes de diffeomorphismes par rapport à une métrique de type H^1. Nous montrons comment utiliser cette propriété pour prouver que les équations sont bien posées sur des variétés Riemanniennes à bords, avec conditions de bord de type Dirichlet, Navier, ou mixtes. Nous considérons aussi ces mêmes questions pour une version compressible de ces équations qui généralise les équations de Camassa-Holm.

Résumé : A singular semilinear hyperbolic approximation to the Euler and the incompressible Navier-Stokes equations in 2D, inspired by the kinetic theory, is considered. We show the convergence of the vector-BGK model to the Euler equations under the hyperbolic scaling, and to the incompressible Navier-Stokes equations in the diffusive scaling. The latter result deeply relies on the dissipative properties of the system and on the use of an energy which is provided by a symmetrizer whose entries are weighted in a suitable way with respect to the diffusive parameter. This convergence is valid for smooth solutions and it is local in time. Some possible strategies to obtain the global in time convergence will be illustrated on a toy model.

Résumé : On s'intéresse à la question de prolongement unique suivante : l'observation de l'intensité d'une onde sur un petit sous-domaine pendant un intervalle de temps détermine t-elle l'énergie totale de l'onde ? Résolu dans un cadre analytique par le célèbre théorème de Holmgren-John (1949), ce problème reste ouvert dans le cadre général jusqu'aux travaux de Tataru-Robbiano-Zuily-Hörmander (1995-1998). Dans cet exposé, on donnera l'estimée de stabilité optimale associée à ces résultats. Ce faisant, on répondra aussi à la question suivante : quelle est l'intensité de l'onde que l'on perçoit dans l'ombre d'un obstacle ? Si le temps le permets, on donnera une conséquence de ce résultat sur le coût de la contrôlabilité approchée de l'équation des ondes. Il s'agit un travail en collaboration avec Camille Laurent.

Résumé : Dans R^n, l'inégalité isopérimétrique est équivalente à l'inégalité de Sobolev optimale, pour p=1. La théorie de Brunn-Minkovski permet de démontrer l'inégalité isopérimétrique plutôt naturellement, et c'est donc un bon cadre pour prouver des inégalités de Sobolev (éventuellement à trace) optimales. Dans cet exposé, nous verrons comment cela est possible, en utilisant une version plus forte du théorème de Borell-Brascamp-Lieb. Cette démarche, reposant sur le transport optimal, est à contre-pied des méthodes traditionnelles par le calcul des variations.

Résumé : Dans cet exposé, je présenterai un problème qui modélise le mouvement d'un solide dans un fluide visqueux incompressible. On s'intéresse ici à l'évolution d'un seul obstacle qui se rétrécit en une particule ponctuelle dans un fluide de R^2 ou R^3. On montrera la convergence des solutions du système fluide-solide vers une solution des équations de Navier-Stokes sans obstacle grâce aux estimations d'énergie.

Résumé : Cet exposé commencera par une revue d’une technique développée (avec T. Rivière) pour prouver des identités d’énergie pour les limites de suites de solutions de problèmes conformément invariants en dimension 2. Contrairement aux résultats existants, la preuve repose exclusivement sur l’invariance conforme. J'expliquerai dans la suite comment on a pu (avec L. Lin et R. Petrides) la transposer des problèmes ouverts en dimension supérieure ou encore à bord libre et comment on peut en déduire la convexité de certaine fonctionnelle autour de leur point critique de basse énergie.

Résumé : We consider a class of three-dimensional CR manifolds which are modelled on the Heisenberg group. We prove positivity of the mass under the condition that the Webster curvature is positive and that the manifold is embeddable. We apply this result to the CR Yamabe problem, and we discuss the properties of Sobolev-type quotients, giving some counterexamples for Rossi spheres. This is joint work with J.H.Cheng and P.Yang.

Résumé : La transformation de Aluthge joue un rôle important dans l’étude des opérateurs linéaires bornés sur les espaces de Hilbert. Dans la première partie de l'exposé, je vais introduire la transformation de Aluthge et je parlerai de quelques propriétés centrales de cette transformation. Dans la deuxième partie, je vais présenter quelques résultats récents sur les applications qui commutent avec la transformation de Aluthge de différentes manières et je donnerai la forme explicite de ces applications.

Résumé : Can the fluid equations be used to model pedestrian motion or traffic? In this talk, I will present the compressible-incompressible two phase system describing the flow in the free and in the congested regimes. I will show how to approximate such system by the compressible Navier-Stokes equations with singular pressure for the fixed barrier densities, together with some recent developments for the barrier densities varying in the space and time. At the end, I will present the numerical results showing that our macroscopic system captures some features characteristic for microscopic models of collective behaviour. This is a talk based on several papers in collaboration with: D. Bresch, C. Perrin, P. Degond, P. Minkowski, and L. Navoret.

Résumé : De nombreux modèles physiques mettent en jeu des champs de matrices symétriques, dont chaque ligne (un champ de vecteurs) est à divergence nulle. Lorsque ces matrices sont positives, on établi un gain d'intégrabilité pour le déterminant. Ce résultat est d'une certaine manière dual de l'existence de solutions de l'équation de Monge-Ampère. Il généralise l'inégalité fonctionnelle de Gagliardo. En géométrie, il permet de retrouver l'inégalité isopérimétrique ainsi que son cas d'égalité. En dynamique des gaz (équations d'Euler, de Boltzmann ou de Vlasov), il implique une nouvelle estimation fondamentale, en termes d'une intégrale en espace-temps.

Résumé : On parlera dans cet exposé de plusieurs équations de Fokker-Planck homogènes en espace avec diffusion classique, fractionnaire ou discrète. On présentera un résultat de convergence vers l'équilibre dans un cadre unifié pour ces équations. Un des points clés de cette étude est la compréhension des propriétés régularisantes de ces opérateurs. Dans un second temps, nous aborderons cette question de régularisation dans le cas non homogène en espace. Travail en collaboration avec Stéphane Mischler et Frédéric Hérau, Daniela Tonon.

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Résumé : Sur un cône, la diffraction géométrique a lieu le long des géodésiques qui passent par le sommet du cône en étant limite de géodésiques qui l'évitent. J'expliquerai comment une nouvelle expression du propagateur de l'équation des ondes au voisinage de ces rayons permet de traiter le cas de diffractions géométriques multiples sur une surface plate à singularités coniques. Collaboration avec A. Ford et A. Hassell.

Résumé : We consider the inviscid incompressible limits of the rotating compressible Navier–Stokes system for a barotropic fluid. We show that the limit system is representedby the rotating incompressible Euler equation on the whole space.

Résumé : Les équations d'Hamilton-Jacobi avec Hamiltonien coercif possèdent une régularité inattendue. Un tel résultat a d'abord été obtenu par Capuzzo Dolcetta, Leoni et Porretta, qui ont démontré que les sous-solutions des équations d'Hamilton-Jacobi stationnaires du deuxième ordre avec croissance sur-quadratique sont hölderiennes. Cette régularité a ensuite été démontrée (par Cardaliaguet et ses co-auteurs) dans le cas d'évolution en utilisant des techniques assez différentes. Dans cet exposé je démontrerai des estimations dans des espaces de Sobolev pour les solutions des équations d'Hamilton-Jacobi du premier ordre avec Hamiltonien sur-linéaire, et la différentiabilité presque partout de ces solutions. Ce résultat de régularité permet de montrer que les solutions faibles des équations des jeux à champ moyen satisfont l'équation d'Hamilton-Jacobi en un sens plus classique que prévu.

Résumé : On considère des systèmes d'EDP du premier ordre, faiblement hyperboliques: le spectre du symbole principal est réel mais des croisements de valeurs propres peuvent se produire. A proximité d'un tel croisement, les termes linéaires d'ordre inférieur peuvent induire une croissance en fréquence typiquement Gevrey. On étudiera des estimations d'énergie en régularité Gevrey en utilisant un symétriseur du symbole principal. Le symbole d'un tel symétriseur appartient à une classe de symboles spécifique, associée à une métrique dans l'espace des phases caractéristique du problème étudié. Pour de tels symboles, la composition des opérateurs associés entraîne des termes d'erreur qui peuvent être contrôlés par l'énergie Gevrey.

Résumé : The stationary Keller-Segel system, which is a classical model for chemotaxis, leads (with some specific choice in the model) to the Lin-Ni-Takagi equation \begin{equation}\label{lnt} \begin{cases} -\varepsilon^2 \Delta v+v=v^p, \quad v>0 \quad & \text{in }\Omega,\\ \partial_\nu v=0 &\text{on } \partial \Omega, \end{cases} \end{equation} and the Keller-Segel equation \begin{equation}\label{ks} \begin{cases} -\varepsilon^2 \Delta v+v=\lambda e^v, \quad v>0 \quad & \text{in }\Omega,\\ \partial_\nu v=0 &\text{on } \partial \Omega. \end{cases} \end{equation} In this talk, I will show how to build radial multi-layer solutions, assuming $\Omega$ is a ball, of those equations using either bifurcations, the Lyapunov-Schmidt method or a variational gluing method. It is a remarkable fact that even if those solutions are obtained in an asymptotic regime $p\to \infty$ or $\lambda\to 0$, the layers do not accumulate on the boundary of the ball. Instead they solve an optimal partition problem. The talk is based on several joint works with Massimo Grossi (Roman), Susanna Teracinni (Torino), Benedetta Noris (Amiens), Christophe Troestler (Mons), Jean-Baptiste Casteras (Bruxelles) and Carlos Roman (UPMC).

Résumé : We study the motion of an incompressible, inviscid two-dimensional fluid in a rotating frame of reference. There the fluid experiences a Coriolis force, which we assume to be linearly dependent on one of the coordinates. This is a common approximation in geophysical fluid dynamics and is referred to as beta-plane. In vorticity formulation the model we consider is then given by the Euler equation with the addition of a linear anisotropic, non-degenerate, dispersive term. This allows us to treat the problem as a quasilinear dispersive equation whose linear solutions exhibit decay in time at a critical rate. Our main result is the global stability and decay to equilibrium of sufficiently small and localized solutions. Key aspects of the proof are the exploitation of a “double null form” that annihilates interactions between waves with parallel frequencies and a Lemma for Fourier integral operators, which allows us to control a strong weighted norm and is based on a non-degeneracy property of the nonlinear phase function associated with the problem. Joint work with Fabio Pusateri; prior work with Tarek Elgindi.

Résumé : Il est bien connu que pour les équations de Navier-Stokes incompressibles homogènes, c’est-à-dire à densité constante, il y a existence et unicité de solutions régulières globales en temps en dimension deux, ou en dimension trois si la vitesse initiale est petite. Dans un travail en collaboration avec P.B. Mucha (Université de Varsovie), nous avons obtenu des résultats similaires pour le système de Navier-Stokes incompressible à densité variable seulement bornée. En particulier, la densité peut s’annuler et aucune condition de compatibilité ne doit être vérifiée par la vitesse sur les bords de la zone de vide. Comme application, nous démontrons qu’en dimension deux (ou en dimension trois si la vitesse est petite) la structure de goutte de liquide incompressible visqueux dans le vide, ou au contraire de bulle de vide dans un liquide, est préservée pour tout temps, avec conservation de la régularité höldérienne de la frontière.

Résumé : In this talk, I will present some aspects of dispersion for the Dirac operator. I will start by partially reviewing what is known for the Dirac operator in a Minkowkski space-time. Then, I will introduce the Dirac operator in a curved space-time, and present a result of dispersion for specific cases such as assymptotically flat or warped product geometries. This is a joint work with F. Cacciafesta (Padova).

Résumé : 

Dans ce travail, en collaboration avec Jacopo Bellazzini (Universit\` a di Sassari), Louis Jeanjean (Université de Bourgogne Franche-Comté) et Nicola Visciglia (Università Degli Studi di Pisa), nous montrons l'existence d'états fondamentaux orbitalement stables pour une équation de Schrödinger non linéaire en dimension 3, en présence d'un confinement partiel.

Nous donnons également quelques unes de leurs propriétés qualitatives et certaines symétries. L'autointeraction non linéaire est de type masse surcritique et inclus le cas physiquement pertinent : le cas cubique.

Résumé : 10 h : Pierre-Damien Thizy, "Analyse a priori pour l'équation de Moser-Trudinger et quelques conséquences." 11 h : Stéphane Attal, “Marches aléatoires quantiques de toutes sortes” 13 h 30 : Ivan Gentil, "Inégalité de Poincaré pour les mesures de Cauchy" 14 h 30 : Rafael Granero Belinchon, "On certain instabilities for perfect fluids"

Résumé : Dans cet exposé on s’intéressera à l’observation et au contrôle de l’équation des ondes dans certains cas « pathologiques ». Plus précisément, nous étudierons dans un premier temps la stabilité du processus de contrôle HUM lorsque les coefficients de l’équation sont mal connus ( disons bruités). Puis on donnera des résultats d’observation/contrôle pour des équations à coefficients très peu réguliers. Une partie des ces résultats a été obtenue en collaboration avec Sylvain Ervedoza ( I.M. Toulouse ).

Résumé : We study global solutions $u:{\mathbb R}^3\to{\mathbb R}^2$ of the Ginzburg-Landau equation $-\Delta u=(1-|u|^2)u$ which are local minimizers in the sense of De Giorgi. We prove that a local minimizer satisfying the condition $\liminf_{R\to\infty}\frac{E(u;B_R)}{R\ln R}<2\pi$ must be constant. The main tool is a new sharp $\eta$-ellipticity result for minimizers in dimension three that might be of independent interest. This is a joint work with Etienne Sandier (Université Paris-Est).

Résumé : 

Résumé : Dans cet exposé on étudie la régularité des solutions d'une équation de transport-diffusion dont l'opérateur de diffusion est donné par un opérateur de type Lévy et où le transport non-linéaire vérifie des conditions de stabilité dans les espaces de Besov ou dans les espaces de Morrey-Campanato. La régularité Höldérienne des solutions sera étudiée en utilisant des espaces de Hardy moléculaires et on verra comment il est possible de transformer un problème de régularité en un problème de déformation des molécules.

Résumé : On considère une variété compacte ayant une partie isométrique à un cylindre fini, et on fait tendre la longueur de ce cylindre vers l’infini. On étudie alors l'asymptotique du spectre du Laplacien de Hodge et de la métrique L^2 de la cohomologie de de Rham de cette variété « étirée ». On parle dans ce contexte de limite adiabatique de ces objets. Ces asymptotiques font intervenir des matrices de diffusion. Comme application, on donne une nouvelle démonstration, purement analytique, de la formule de recollement pour la torsion analytique.

Résumé : Dans le plan complexe, le lien entre les fonctions harmoniques et le système de Cauchy-Riemann pour les fonctions holomorphes, composé de deux équations aux dérivées partielles du premier ordre, est bien connu. Grâce aux solutions des conjectures de la racine carrée de Kato, les problèmes aux limites pour les équations elliptiques (et plus récemment paraboliques) sous forme divergence peuvent être étudiés de façon similaire dans une optique du premier ordre, en utilisant le calcul fonctionnel holomorphe de certains opérateurs de Dirac perturbés au bord. Dans mon exposé j'expliquerai les idées centrales de cette approche. En particulier, celle-ci permet de traiter des problèmes aux limites pour des équations paraboliques non-autonomes sur le demi-espace avec des coefficients supposés seulement mesurables en temps.

Résumé : The Whitham equation is a nonlocal, nonlinear dispersive wave equation introduced by G. B. Whitham as an alternative wave model equation to the Korteweg-de Vries equation, describing the wave motion at the surface on shallow water. In this talk we introduce the Whitham equation and focus on its solitary wave solutions. In particular, we show that any solitary-wave solution is symmetric with exactly one crest from which the surface decreases exponentially. Moreover, the structure of the Whitham equation allows to conclude that conversely any unique symmetric solution constitutes a traveling wave. In fact, the latter result holds true for a large class of partial differential equations sharing a certain structure.

Résumé : Nous étudierons dans cet exposé la limite grand nombre de Reynolds pour un fluide visqueux en présence d'un bord rugueux. Plus précisément, nous considérerons les équations de Navier-Stokes (incompressible et 2D) avec la condition au bord de glissement de Navier, dans un domaine où le bord admet des oscillations rapides de la forme $x_2 = \epsilon^{1+\alpha} \eta(x_1/\epsilon)$, $\alpha > 0$. Sous certaines conditions entre le paramètre d'oscillation $\epsilon$ et de viscosité $\nu$, nous démontrerons que les solutions du système de Navier-Stokes convergent vers des solutions du système d'Euler dans la limite simultanée $(\nu,\epsilon)\to (0,0)$. Le principal problème est que la courbure du domaine est non bornée quand $\epsilon \to 0$, ce qui exclut l'utilisation des méthodes classiques pour la limite faible viscosité. Tout d'abord, nous construirons une couche limite précise approchant les solutions d'Euler dans un domaine rugueux, puis nous dériverons des estimations de stabilité de cette approximation par l'évolution de Navier-Stokes. Ce travail est en collaboration avec D. Gérard-Varet, T. Nguyen et F. Rousset.

Résumé : Dans cet exposé, je présenterai un résultat obtenu avec Olivier Glass et Jozsef Kolumban sur le mouvement d’un solide immergé dans une cavité bornée remplie d’un fluide potentiel. Dans ce travail nous montrons qu’en contrôlant une partie du bord extérieur (laissant rentrer et sortir du fluide dans la cavité) il est possible d’amener le solide d’une position initiale donnée à n’importe quelle autre position finale prescrite (dans la même composante connexe des configurations possibles) et ceci en prescrivant aussi des vitesses initiales et finales quelconques et en n’importe quel temps strictement positif, tout en assurant qu’au cours de son évolution le solide immergé ni ne touche la partie imperméable du bord ni ne sort par la partie contrôlée du bord. La méthode de preuve utilise une reformulation de la dynamique du solide immergé en une équation différentielle de type géodésique pour la métrique donnée par la masse ajoutée et avec des termes forces dues au contrôle et à la circulation de la vitesse fluide autour du solide. Grâce à des contrôles impulsifs bien choisis on peut guider approximativement la trajectoire du solide le long de bouts de géodésiques libres et le résultat de contrôlabilité exacte en découle par un argument de degré topologique.

Résumé : La courbure de Gauss d’un convexe peut être vue comme une mesure (avec certaines propriétés) sur la sphère unité, le problème d’Alexandrov consistant, à partir d’une telle mesure, à reconstruire le convexe. Pour les convexes euclidiens, ce problème d’Alexandrov est équivalent à un problème de transport optimal sur la sphère. Pour les convexes de l’espace hyperbolique, ce problème de prescription de la courbure de Gauss est tout aussi naturel. Je montrerai comment l’approche par transport de mesure amène à considérer un problème de Kantorovich non linéaire sur la sphère, je décrirai ce problème et expliquerai comment le résoudre. Travail en commun avec Jérôme Bertrand.

Résumé : 

L'inégalité de l'entropie exponentielle, fondamentale en théorie de l'information de Shannon, affirme que pour tous vecteurs aléatoires à densité $X,Y$ dans $\mathbb{R}^n$ indépendants, $$ N(X+Y) \geq N(X) + N(Y), $$ où $N(X) = e^{\frac{2}{n} h(X)}$ désigne l'entropie exponentielle d'un vecteur aléatoire $X$ dans $\mathbb{R}^n$. Ici, $h(X) = - \int f \log(f)$ représente l'entropie usuelle de $X$ ayant une densité de probabilité $f$. L'inégalité de l'entropie exponentielle a également des applications intéressantes en dehors de la théorie de l'information, notamment en concentration de la mesure puisqu'elle implique l'inégalité de log-Sobolev de Gross, ainsi qu'en EDP puisqu'elle implique l'inégalité de Nash. En théorie de l'information, un autre type d'entropie, l'entropie de Rényi, a tout autant de l'importance que l'entropie de Shannon. Dans cet exposé, nous montrons qu'une inégalité de type entropie exponentielle est valable pour l'entropie de Rényi. (Basé sur une collaboration avec Sergey Bobkov)

Résumé : 

We present some recent results in the study of the fractional Allen-Cahn equation. In particular, we are interested in the analogue, for the fractional case, of a well known De Giorgi conjecture about one-dimensional symmetry of bounded  monotone solutions. In dimension $n=2$ and for any fractional power $0<s<1$ of the Laplacian, the conjecture is known to be true. In this seminar, we will address the $3$-dimensional case. Depending wheter $s$ is below or above $1/2$, we need to exploit different techniques and ingredients in the proof of the one-dimensional symmetry. In particular, when $s<1/2$, some properties of the so-called nonlocal minimal surfaces, will play a crucial role. This talk is based on several papers in collaboration with X. Cabré, J. Serra, and E. Valdinoci.

Résumé : Dans un article de 2002, Jabin, Otto et Perthame avaient exhibé une formulation cinétique régularisante pour certains champs de rotationnel nul à valeur dans la sphère unité de la norme euclidienne en 2d. Nous parlerons de la généralisation de ce résultat dans le cas d'une norme quelconque modulo des hypothèses de convexité. Nous montrerons en particulier comment cette formulation cinétique agit comme un principe de sélection interdisant les singularités de ligne.

Résumé : Joint work with Laura Abatangelo, Veronica Felli and Benedetta Noris. Let Ω be an open, simply connected set in R2. We perturb the problem by introducing a singular magnetic field, i.e. for every a = (a1, a2) ∈ Ω, we let A_a be a singular magnetic potential, corresponding to a singular magnetic field at a, orthog- onal to the plane and vanishing in Ω \ {a}. We are interested in the spectrum of an Aharonov-Bohm operator. We know that such a spectrum is composed of a positive and diverging sequence of eigenvalues of finite multiplicity. From previous results, we already know that the map a a→ λ^a_k has a continuous extension up to the boundary, i.e. λ^_ak → λ_k as a → ∂Ω, where λ_k is the k-th eigenvalue of the Dirichlet Laplacian. We will give the exact asymptotic estimate when the pole a converges to a point of the boundary. This exact estimate depends on the number of nodal lines ending at the boundary point of the limit eigenfunction, that is the eigenfunction of the Dirichlet Laplacian. The proof relies on the construction of a suitable limit profile (which gives a good approximation of the magnetic eigenfunctions at the limit) and makes use of an Almgren type monotonicity formula adapted to magnetic eigenfunctions.

Résumé : Nous nous intéresserons dans cet exposé à la modélisation macroscopique de mélanges formés par des particules solides en immersion dans un fluide. Une question ouverte à l'heure actuelle est de savoir s'il existe une éventuelle transition entre deux régimes d'écoulement : le régime de suspension dominé par les interactions entre les grains et le régime granulaire dominé par les collisions entre les grains. Le but de cet exposé est de présenter un cadre mathématique et des modèles d'équations aux dérivées partielles permettant d'établir un tel lien entre les deux régimes d'écoulement. Nous illustrerons enfin ces résultats par des simulations numériques.

Résumé : L'équation de Boltzmann, introduite en 1872, modélise la dynamique des gaz raréfiés hors équilibre. Malgré les nombreux résultats autour de la question de l'existence de solutions fortes proches de l'équilibre, très peu concernent le cas d'un domaine borné, situation pourtant fréquente dans les applications. Une raison de la difficulté du problème est l'irruption de singularités le long des trajectoires rasant le bord du domaine. On présente ici une étude de la régularité de l'équation de Boltzmann en domaine borné. Grâce à l'introduction d'une distance cinétique qui compense les singularités au bord, on montre la propagation de normes de Sobolev et la propagation C^1 en domaine convexe. En domaine non convexe, on montre la propagation de régularité BV.

Résumé : Dans cet exposé, je commencerai par une présentation de quelques notions et outils pour le contrôle d'équations d'évolutions dans un formalisme semi-groupe. Je me concentrerai ensuite sur la notion de coût de la contrôlabilité à zéro et j'expliquerai comment obtenir des estimations sur ce coût dans le cas unidimensionnel pour l'équation de la chaleur avec conditions au bord de Dirichlet. La méthode utilisée est la méthode des moments, qui repose essentiellement sur l'application du théorème de Paley-Wiener, ce qui suppose d'étudier la croissance à l'infini de fonctions entières écrites sous forme de produit infini (faisant intervenir les valeurs propres de l'opérateur elliptique associé à l'équation considéré) ainsi que sur la construction de fonctions Gevrey à support compact adéquates.

Résumé : In view of some recent results concerning the Euler system, the measure valued solutions reappeared as a suitable alternative to weak solutions for problems in fluid mechanics. We introduce the concept of dissipative measure-valued solutions to both Euler and the Navier-Stokes system and show some applications: Weak strong uniqueness and stability. Finally, some examples of numerical schemes will be given, where this technique leads to positive convergence results.

Résumé : Allard’s celebrated rectifiability theorem asserts that for d-dimensional varifold V whose first variation is a Radon measure, the restriction of V to points where the lower d density is positive is rectifiable. I will outline the proof of the analogous result when one considers the first variation of an anisotropic functional, for which monotonicity formulas are not known, under appropriate conditions on the Lagrangian. This is joint work with G. De Philippis and A. De Rosa.

Résumé : In the first part of the talk I will recall the notion of Ricci curvature lower bounds in non-smooth spaces via optimal transport introduced by Lott-Sturm-Villani, then I will discuss some basic properties of such spaces and finally I will discuss the non-smooth extension of the celebrated Levy-Gromov isoperimetric inequality.

Résumé : On commencera par introduire le système elliptique de Moser-Trudinger avec une non-linéarité exponentielle critique. On donnera notamment des motivations variationnelles et les principaux résultats existants sur le sujet. Enfin, on présentera notre résultat, obtenu en collaboration avec Olivier Druet, sur l'analyse de blow-up pour cette équation. Ce résultat répond à des questions posées par Adimurthi-Struwe, Druet, Martinazzi-Malchiodi, et Del Pino-Musso-Ruf.

Résumé : 

PROGRAMME

09h30: café de bienvenu

10h00: Luigia Ripani - Analogies entre transport optimal et minimisation entropique

11h00: Rafael Granero Belinchón - On the Keller-Segel model with fractional dissipation

12h00: déjeuner

13h30: Gilles Cassier - Sur le spectre étendu d'un opérateur

14h30: Simon Andreys - TBA

Résumé : 

Résumé : We consider the vanishing viscosity limit of the Navier-Stokes equations in a half space, with Dirichlet boundary conditions. We prove that the inviscid limit holds in the energy norm if the Navier-Stokes solutions remain bounded in $L^2_t L^\infty_x$ independently of the kinematic viscosity, and if they are equicontinuous at $x_2 = 0$. These conditions imply that there is no boundary layer separation: the Lagrangian paths originating in a boundary layer, stay in a proportional boundary layer during the time interval considered. We then give a proof of the (numerical) conjecture of vanDommelen and Shen (1980) which predicts the finite time blowup of the displacement thickness in the Prandtl boundary layer equations. This shows that the Prandtl layer exhibits separation in finite time.

Résumé : We will introduce the results of a recent joint work with Cinti and Valdinoci, in which we study stable and minimizing nonlocal minimal surfaces. First, we will explain some new quantitative flatness and BV type estimates for stable and minimizing nonlocal minimal surfaces. We will also explain the key ingredients in the proofs of these estimates, which do not have a counterpart in the theory of classical minimal surfaces. Second, we will discuss the same type of estimates for stable solutions to nonlocal Allen Cahn equations, and the implications they have in classification of entire solutions ---which we study in a forthcoming paper with Cabré and Cinti.

Résumé : Consider three partitions of integers $\alpha=(\alpha_1\ge\alpha_2\ge\dots\ge\alpha_n\ge 0)$, $\beta=(\beta_1\ge\beta_2\ge\dots\ge \beta_n\ge 0)$, and $\gamma=(\gamma_1\ge\gamma_2\ge\dots\ge\gamma_n\ge 0)$. Such a triple of partitions $(\alpha,\beta,\gamma)$ that satisfies the so-called Horn inequalities, a set of inequalities conjectured by A. Horn in 1960 and later the conjecture was proved by the work of Klyachko and Knutson-Tao, describes the eigenvalues of the sum of $n$ by $n$ Hermitian matrices, i.e., Hermitian matrices $A$, $B$, and $C=A+B$ with eigenvalues $\alpha$, $\beta$, and $\gamma$ respectively. Such triple also describes the Jordan decompositions of a nilpotent matrix $T$, $T$ resticted to an invariant subspace $\cal{M}$, and $T$ compressed to $\cal{M}^{\perp}$. More precisely, $T$ is similar to $J(\gamma):=J_{\gamma_1}\oplus J_{\gamma_2}\oplus\cdots\oplus J_{\gamma_n}$, and $T|\cal{M}$ is similar to $J(\alpha)$ and $T_{{\cal{M}^{\perp}}}$ is similar to $J(\beta)$. (Here $J_k$ denotes the Jordan cell of size $k$ with $0$ on the diagonal.) This result for nilpotent matrices also has an analogue for operators in the class of $C_0$. In this talk I will explain, through the intersection of certain Schubert varieties, why the same combinatorics solves the eigenvalue and the Jordan form problems. I will also describe the additional information that we can obtain whenever a Horn inequality saturates.

Résumé : Je présenterai dans une première partie les liens classiques entre les inégalités de transport entropie, introduites par Marton et Talagrand dans les années 90, et les inégalités de concentration de la mesure. Cette partie introductive sera l'occasion de rappeler quelques arguments clés permettant le passage des unes aux autres. Je rappellerai également comment les inégalités de transport se situent dans la hiérarchie des inégalités fonctionnelles. Une seconde partie sera consacrée à quelques développements récents en liens avec les inégalités de transport portant notamment sur la concentration et la courbure discrètes, les mesures moments ou la conjecture de la variance pour les probabilités log-concaves. Travaux en collaboration avec : S. Bobkov, D. Cordero-Erausquin, J. Fontbona, J-F Jabir, C. Roberto, P-M Samson, Y. Shu, P. Tetali.

Résumé : Les inégalités de Strichartz jouent un rôle fondamental dans l'étude d'EDPs comme l'équation de Schrödinger. On rappellera pourquoi de bonnes estimations de dispersion sont la clé pour les obtenir. On présentera ensuite une méthode générale, qui repose sur le semi-groupe de la chaleur, pour établir de telles estimations dans des situations (géométriques) variées. On insistera sur le lien entre l'équation des ondes et l'équation de Schrödinger.

Résumé : Dans cet exposé, je présenterai des résultats de régularité höldérienne de solutions faibles d'équations cinétiques dont la diffusion n'intervient que dans la variable vitesse. Même si les coefficients sont peu réguliers, la structure hypoelliptique permet de combiner les techniques de lemmes de moyenne et transfert de régularité de la théorie cinétique avec la théorie classique de la régularité elliptique de de Giorgi, Nash et Moser.

Résumé : 

Je présenterai une inégalité aussi générale qu'inattendue concernant le transport optimal: si f et g sont deux densités lisses de probabilité,  φ et ψ les potentiels de Kantorovich (pour le coût quadratique |x-y|^2) associés au transport de f à g, et H est une fonction convexe quelconque, alors on a ∫⟨Df,DH(Dφ)⟩ + ⟨Dg,DH(Dψ)⟩ ≥ 0. On pourrait l'appeler "inégalité des cinq gradients" (I5G). Cette inégalité (obtenue en collaboration avec G. De Philippis, A. Mészáros et B. Velichkov pour une application aux mouvements de foule) a plusieurs applications intéressantes dans la discrétisation temporelle (schéma de Jordan-Kinderlehrer-Otto) des EDP obtenues comme flot-gradient d'une énergie par rapport à la distance W_2 induite par le transport optimal. Par exemple, elle permet de retrouver la décroissance en temps de la variation totale le long des trajectoires des équations de type milieux poreux, mais également la décroissance exponentielle des quantités ∫|D(ρ/ρ_∞)|ρ_∞ de la solution d'une équation de Fokker Plank avec potentiel convex V, ρ étant la solution et ρ_∞ la solution stationnaire ρ_∞=exp(-V). Ces derniers aspects sont étudiés en collaboration avec S. Di Marino, avec qui on cherche à généraliser ces estimations au cas de l'équation de Keller-Segel (où le potentiel V dépend de ρ elle même).

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