Journées du GdR "Analyse Fonctionnelle, Harmonique et Probabilités"

Le sujet est issu d'une collaboration avec El-Maati Ouhabaz. On s'intéressera aux équations d'évolution de la forme

 x'(t) + A(t) x(t) = f(t)  x(0)=x_0

dans un espace de Hilbert. On dit que le problème ci-dessus a la régularité maximale L_p si pour x_0=0 et f ∈ L_p(0,τ), la solution satisfait

 x ∈ W_p^1(0,τ) et t → A(t)x(t) ∈ L^p(0,τ).

Pour des opérateurs A(t) qui proviennent de formes uniformément bornées et quasi-coercives a(t,·,·) dont les domaines de forme D(a(t,·,·)) = V sont constants on montre la régularité maximale L_p sous l'hypothèse d'une régularité α-Hölderienne par morceaux des fonctions a(·,u,u) pour tout u ∈ V et un α>1/2. De plus on montre qu'on peut choisir x_0 ∈ (H, D(A(0)))_{1/p, p}, donc dans l'espace d'interpolation réelle qui est déjà connu d'être optimal pour le problème homogène x'+Ax=f, x(0)=x_0.

Nos résultats répondent (en partie) positivement à des conjectures de J.L. Lions sur la régularité maximale.

Pour M un espace métrique pointe, on définit Lip0(M) comme étant l'espace des fonctions Lipschitziennes sur M, a valeurs réelles, s'annulant en 0. Muni de la norme correspondant à la constante de Lipschitz, cet espace est un espace de Banach. Sa boule-unité étant compacte pour la topologie de la convergence simple, l'espace Lip0(M) est un espace dual : par définition son prédual est l'espace Lipschitz-libre sur M, noté F(M). Le but de cet exposé sera de montrer que l'espace Lipschitz-libre sur tout espace métrique compact et dénombrable est un espace dual. Nous pourrons alors en déduire, en utilisant un résultat dû à Nigel Kalton, que pour tout M espace métrique compact dénombrable, F(M) a la propriété d'approximation métrique.

Dans cet exposé, on examinera certaines propriétés des semi-groupes d'opérateurs agissant sur des espaces L^p non commutatifs vectoriels. On présentera des résultats fournissant un calcul fonctionnel borné pour les générateurs de certains semi-groupes de diffusion non commutatifs. On traitera le cas du semi-groupe de Poisson non commutatif sur le groupe libre et le cas de certains semi-groupes de multiplicateurs de Schur.

Après avoir donné quelques notions et exemples de groupes quantiques compacts, je rappellerai quelques résultats de Banica sur les règles de fusion des coreprésentations irréductibles du groupe quantique de permutation S_N^+. Puis je décrirai les règles de fusion des produits en couronnes libres de groupes discrets (classiques) avec S_N^+ (un analogue quantique du produit en couronne classique par le groupe de permutation). Je donnerai alors quelques applications et ouvertures telles que les propriétés d'approximation.

Nous donnerons un aperçu des études récentes sur les spectres discrets des perturbations complexes d'opérateurs de Schrödinger, Schrödinger magnétique, Pauli, Dirac, Klein-Gordon, etc. Ces travaux utilisent, entre autre, les résultats de Borichev-Golinskii-Kupin et Golinskii-Favorov sur les ensembles des zéros des fonctions holomorphes des certaines classes.

Dans un long article à paraître dans « Inventiones Mathematicae », avec Mathew Johnson (Kansas), Pascal Noble (INSA Toulouse) et Kevin Zumbrun (Indiana), nous avons répondu pour les systèmes d'équations aux dérivées partielles dissipatifs à l'une des vieilles questions ouvertes de l'analyse de stabilité : en quel sens une solution spatialement périodique peut-elle être stable ?

La formulation même du problème est longtemps restée mystérieuse. En effet, l'une des difficultés réside précisément dans la détermination d'un bon cadre fonctionnel :

• autorisant suffisamment de données initiales pour inclure les perturbations localisées ;
• demandant assez peu de localisation spatiale pour être compatible avec la dynamique non linéaire mais suffisamment pour permettre de contrôler la décroissance temporelle.

L'objectif de ce court exposé est de présenter brièvement la structure de notre démonstration.

Le problème du sous espace hyper-invariant, pour un opérateur $T \in \mathcal{B}(H)$, $T \ne \lambda I$, porte sur l'existence ou non d'un sous espace fermé non trivial, qui est invariant pour tous les opérateurs qui commutent avec $T$. Ce problème est encore ouvert pour des opérateurs de la forme $N+K$ ou $D+K$, avec $N$ un opérateur normal, $D$ un opérateur diagonal et $K$ un opérateur compact.

Dans cet exposé, on discutera l'existence de sous espaces hyper-invariants non triviaux pour certains opérateurs de la forme $N+K$ et $D+K$.

Partant de similitudes que présentent l'inégalité de Brunn-Minkowski et l'inégalité de l'entropie exponentielle en théorie de l'information, Max Costa et Thomas Cover ont conjecturé que la fonction volume parallèle de tout ensemble compact est 1/n-concave, comme analogue de la concavité de l'entropie exponentielle. Dans cet exposé, on traite cette conjecture et ses possibles généralisations.

Let X be a separable Banach space, T a continuous and linear operator on X. Consider F a non-empty set of subsets of N. An operator T satisfies property P_F if for any U non-empty open set in X there exists x ∈ X such that N(x,U) = {n ∈ N : T^n(x) ∈ U} ∈ F . Let BD the collection of sets in N with positive upper Banach density. Our aim is to generalize the main result of [2] using a very strong result of Bergelson and Mccutcheon [1] in the vein of Szemerédi’s theorem, leading us to a characterization of those operators satisfying property P_{BD} . It turns out that operators having property P_{BD} satisfy a kind of recurrence described in terms of essential idempotents of βN (the Stone-Čech compactification of N), i.e. idempotents ultrafilters in which every element has positive upper Banach density. On the other hand, as a consequence we obtain a characterization of syndetic weighted backward shifts on l_p(N), 1 ≤ p ≤ ∞ or c_0(N).

[1] Vitaly Bergelson and R. McCutcheon, Idempotent ultrafilters, multiple weak mixing and Szemerédi’s theorem for generalized polynomials, Journal D’Analyse Mathema- tique 111 (2010) 77-130.

[2] George Costakis and Ioannis Parissis, Szemerédi’s Theorem, frequent hypercyclicity and multiple recurrence, arXiv:1008.4017v2 [math.FA] 11 Aug 2011.

A result of L. Weis shows that the negative generator of a bounded holomorphic C_0-semigroup on L^p which is positive and contractive on the real line has a bounded H^{\infty}-calculus of angle better than \pi/2. We show that conversely each semigroup on L^p with such an H^{\infty}-calculus can be obtained after similarity transforms and passing to invariant subspaces and quotients from a positive and contractive semigroup.