On présentera en premier lieu une version effective du classique théorème de Kronecker sur la densité d'un sous-groupe en terme d'exposants d'approximation. Pour presque tout point, au sens de la mesure de Lebesgue, l'exposant qui mesure la qualité de l'approximation de ce point par des éléments du sous-groupe, possède une valeur constante. Il se pose donc naturellement le problème d'évaluer la dimension de Hausdorff de l'ensemble des points possédant une approximation exceptionnellement bonne. La question est largement ouverte et on décrira quelques résultats récents à ce sujet.