Séminaire de Théorie des Nombres et Combinatoire


Le séminaire a lieu sauf mention contraire le mardi à 10h45
(10h30 pour le café, salle Fokko du Cloux - 1er étage - Bât. Doyen Jean Braconnier - Université Claude Bernard Lyon1 - La Doua)

Accès au site de la Doua


Exposés à venir


  • Mardi 21 septembre 2010
  • Mardi 30 mars 2010
  • Mercredi 17 mars 2010
  • Mardi 23 février 2010 Résumé : Le polynôme de Bollobas et Riordan est une généralisation du polynôme de Tutte aux graphes à rubans (ou graphes cycliques ou cartes combinatoires). On peut le définir récursivement par ses relations de réduction ou bien par une fonction génératrice du type rang-corang. Récemment, trois théoriciens des noeuds (A. Champanerkar, I. Kofman et N. Stoltzfus) ont obtenu une nouvelle caractérisation du polynôme de Bollobas et Riordan en tant que fonction génératrice des cartes unicellulaires. Dans cet exposé, nous présenterons leur résultat, reformulé à l'aide d'une nouvelle forme de dualité pour les graphes à rubans appelée dualité partielle. Nous expliquerons ensuite comment l'améliorer et ainsi généraliser le travail d'O. Bernardi sur la caractérisation du polynôme de Tutte par plongement des graphes.


  • Mardi 16 février 2010 Résumé : A closed subset W of {0,1}^N is called uniform if the cardinality of its restriction to any finite set of indices of N with cardinality k depends only on k, say p_W(k). The function p_W(k) of k=1,2,... thus defined is called a uniform complexity. This set W is called super- stationary if its restriction to any infinite set of indices n_0 < n_1 < n_2 <... of N, that is, {w(n_0)w(n_1)w(n_2)...; w in W} coincides with W itself. It is proved that any uniform complexity is realized by a super-stationary set. The family of super-stationary sets is characterized as the class of sets which is a finite union of sets with a prohibited super-subword, where u_1u_2...u_k is called a super-subword of w(0)w(1)... if there exist n_1 < ... < n_k such that w(n_1)...w(n_k)= u_1...u_k.


  • Mardi 9 février 2010 Résumé : Ce travail en collaboration avec Nicolas Templier concerne la répartition des points de Heegner sur une courbe elliptique fixée lorsque le discriminant tend vers l'infini.


  • Mardi 2 février 2010 Résumé : Les fonctions thêtas ont été introduites par Riemann dans son mémoire sur les fonctions abéliennes. Elles donnent un moyen pratique d'obtenir un plongement projectif pour une jacobienne de courbe donnée. Elles permettent aussi de calculer des équations pour des espaces paramétrisant des variétés abéliennes marquées. Dans cet exposé, nous faisons un survol de certains travaux récents qui revisitent la théorie des fonctions thêta d'un point de vue algorithmique afin de résoudre des problèmes liés à la cryptographie : il s'agit par exemple de trouver des modèles de courbes elliptiques ou de jacobiennes de courbes hyperelliptiques avec une loi de groupe particulièrement aisée à calculer, d'obtenir des algorithmes de comptage de points efficaces, de calculer des équations de courbes elliptiques ayant un nombre prescrit de points.


    Exposés précédents


  • Mardi 26 janvier 2010 14h30, salle 203, Gerland
  • Mardi 26 janvier 2010 Résumé : lorsque l'on cherche à améliorer la qualité des calculs en machine, il arrive fréquemment que l'on soit amené à modéliser la question posée à l'aide d'outils de théorie (algorithmique) des nombres. On illustrera ce phénomène à l'aide de l'exemple suivant.

    Quand on implante des fonctions en machine, on utilise presque toujours des approximations polynomiales. Dans la plupart des cas, le polynôme qui approche le mieux (pour une norme et un intervalle donnés) une fonction a des coefficients qui ne sont pas exactement représentables sur un nombre fini de bits. Or, les polynômes que nous devons utiliser doivent satisfaire des contraintes du type : si n désigne le degré maximal des polynômes considérés, le i-ème coefficient, pour i = 0, ..., n, de l'approximant doit tre un nombre rationnel de dénominateur 2mi, o (mi)i = 0, ..., n est une suite d'entiers donnée ou à déterminer, suivant l'application considérée. Nous présenterons une méthode heuristique utilisant l'algorithmique des réseaux euclidiens et notamment l'algorithme LLL qui permet de produire une très bonne (voire la meilleure) approximation polynomiale sous ce type de contraintes quand la norme considérée est la norme sup. Des techniques similaires fonctionnent pour la norme L2. [Travaux de B., Chevillard, Hanrot, Muller, Tisserand et Torres]

    S'il reste quelques secondes, on parlera aussi de questions, encore assez largement ouvertes, autour de l'arrondi correct des fonctions et qui soulèvent un problème diophantien difficile.




  • Jeudi 21 janvier 2010 14h30, salle Fokko du Cloux Résumé : ici.


  • Mardi 19 janvier 2010 Attention exposé supplémentaire, horaire exceptionnel : 14h, salle Fokko du Cloux ! Résumé : We call two permutations of the first n naturals colliding if they map at least one number to consecutive naturals. We give bounds for the exponential asymptotics of the largest cardinality of any set of pairwise colliding permutations of [n]. We relate this problem to the determination of the Shannon capacity of an infinite graph and initiate the study of analogous problems for infinite graphs with finite chromatic number. (En collaboration avec : Janos Korner)


  • Mardi 19 janvier 2010 Résumé : We show that a certain subset of alternating sign matrices are in bijection with a subset of totally symmetric self-complementary plane partitions. These subsets are easily characterized in terms on the conditions on monotone triangles (gogs) and fundamental domains of Mills, Robbins and Rumsey (magogs), which are in bijection with the former. However, the characterization in terms of the original objects is more nontrivial. We show that on the ASM side, those which are in bijection, in a certain sense to be defined, avoid the pattern 312. The characterization on the TSSCPP side is unknown and seems to be an interesting open problem. This is joint work with Robert Cori and Florent Le Gac.


  • Mardi 12 janvier 2010 Résumé : Lors de l'exposé, on abordera la notion factorielle d'une partie de Z introduite par Bhargava. Cette factorielle préserve les propriétés de la factorielle classique et se généralise à des parties d'un anneaux de Dedekind. On donnera des exemple de calcul de cette factorielle ainsi qu'une généralisation de la formule de Legendre.


  • Mardi 15 décembre 2009 Résumé : We establish two general q-exponential operator identities by solving two simple q-difference equations, which contain two well-known operator identities as special cases. These operator identities allow us to derive naturally the q-Mehler formulas for the Rogers-Szegö polynomials. A simple proof of Bailey's _6ψ_6 summation is also given.


  • Mardi 8 décembre 2009 Résumé : Il s'agit d'un travail en commun avec Antal Balog, Valentin Blomer et Gérald Tenenbaum.

    On désigne par P^+(n) le plus grand facteur premier de l'entier n. Soit F un polynôme homogène en deux variables. Une conjecture naturelle est que pour tout epsilon >0 donné, P^+(F(a,b))< max (a,b)^{epsilon} pour une proportion positive d'entiers (a,b). Nous démontrons cela dans le cas où F est une forme cubique réductible. Lorsque F est une forme cubique irréductible ou une forme de degré au moins 4 nous déterminons un exposant non trivial alpha_F tel que pour tout epsilon > 0 on ait | { 0 < a,b <= x : P^+(F(a,b)) < x^{alpha _F + epsilon}} | \asymp x^2. En particulier dans le cas où F est une forme binaire irréductible de degré d > 2, nous montrons que la valeur alpha_F = d - 2 est admissible.


  • Mardi 24 novembre 2009 Résumé : Hall's conjecture is a Diophantine problem that asks how small |x3-y2| can be (compared to x), ignoring the trivial case where x3=y2. The polynomial analogue asks how small the degree of f(t)3-g(t)2 can be, compared to the degree of f. Work of Davenport, and Mason in general, gives an explicit answer. Moreover, via work of Stothers and others, we are able to count (up to symmetries) the number of (f,g) pairs that minimise this degree. This relies on a group theory reinterpretation and the Riemann existence theorem, and the answer involves the Catalan numbers.

    Our new work, joint with Noam Elkies, allows us to go beyond merely counting the number of solutions, but in many cases to exhibit them explicitly. The main tool we use is solving a polynomial system of equations, for which we find the most useful technique to be multi-dimensional p-adic Newton iteration. However, as with many problems in commutative algebra, to achieve the greatest impact from this method, we also need to precondition this system of equations.


  • Mardi 17 novembre 2009 Résumé : Le célèbre théorème d'irréductibilité de Hilbert, dans sa version originale, affirme que pour tout polynome irréductible P(X,Y) dans Q[X,Y] il existe une infinité d'entiers naturels n tels que le polynome spécialisé P(n,Y) reste irréductible dans l'anneau Q[Y]. On peut le reformuler en termes de groupes algébriques linéaires, en voyant les entiers naturels comme les éléments d'un semi-groupe Zariski-dense. Ce point de vue amène à une vaste généralisation de l'énoncé, dont la preuve utilise des résultats sur les équations diophantiennes en suites récurrentes linéaires.


  • Mardi 10 novembre 2009 Résumé : suite à un travail de l'IREM de Lyon relatif aux "problèmes ouverts", je me suis mis à travailler sur la conjecture d'Erdös-Straus qui stipule que pour tout entier n >1, 4/n est somme de trois fractions égyptiennes. Le but de cet exposé est, outre de rappeler des résultats partiels "bien connus", de donner une identité qui les synthétise. Cette identité permet en plus de donner de nouveaux énoncés conjecturaux équivalents à celui d'Erdös et Straus. Mais, malgré cette pierre apportée, la conjecture résiste.


  • Mardi 3 novembre 2009 Résumé : Motivés par la conjecture de Razumov-Stroganov, nous nous intéressons à l'énumération des configurations de Fully Packed Loops (FPL) sur une grille carrée dont le couplage des artes externes est fixé. Cette énumération peut se ramener à étudier certaines configurations FPL dans un triangle (TFPL). Ces dernières permettent notamment d'exprimer l'énumeration de configurations FPL sur la grille de taille n, comme combinaison linéaire de configurations FPL sur la grille de taille n-1. Nous exhiberons également diverses propriétés énumératives de ces configurations TFPL ; en particulier, nous montrerons que pour certaines conditions aux bords du triangle, les configurations TFPL sont comptées par les coefficients de Littlewood-Richardson.


  • Mardi 27 octobre 2009 Résumé : Dans cet exposé, nous étudierons quelques formules reliant les nombres de permutations alternantes en fonction de leur dernier terme. Ces formules sont à la base de la table de Kempner où apparaissent les nombres tangents et sécants. Nous donnerons également un q-analogue de cette table, basée sur le nombre d'inversions d'une permutation, ainsi que des interprétations combinatoires pour les formules qui en découlent.


  • Mardi 20 octobre 2009 Résumé : Dans cet exposé on esquisse une nouvelle preuve, et un raffinement, du critère d'indépendance linéaire de Nesterenko (utilisé notamment pour montrer que la fonction zeta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs); il s'agit d'un travail en commun avec Zudilin. Dans le cas d'une variable, on peut démontrer une sorte de réciproque qu'on énoncera (travail en commun avec Rivoal).


  • Mardi 13 octobre 2009 (à Grenoble, Institut Fourier)
  • Mardi 6 octobre 2009 Résumé : Nous expliquerons les bases de la théorie des hauteurs dans les variétés projectives et nous aborderons surtout les questions de minoration de hauteur dans les groupes algébriques. Ces résultats ont été utilisés pour répondre à des questions importantes comme la conjecture de Manin-Mumford et ses généralisations, et plus récemment, la conjecture de Zilber-Pink.




    Exposés de la saison 2008/2009

    Exposés de la saison 2007/2008

    Exposés de la saison 2006/2007

    Exposés de la saison 2005/2006