V. Les premiers monstres de l'analyse…




L'escalier du diable (Cantor, 1885)



Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor
(1845–1918)
Mathématicien allemand


\(f_0(x)\!=\!\frac12\; \text{ si } x\!\in\![0,1]\)
\(f_{n+1}(x)\!=\!\begin{cases} \vphantom{\dfrac{b}{a}}\frac12 f_n(3x) & \text{si } x\!\in\![0,\!\frac13]\\[-1ex] \frac12 & \text{si } x\!\in\![\frac13,\!\frac23]\\ \frac12 f_n(3x\!-\!2) \!+\! \frac12 & \text{si } x\!\in\![\frac23,1] \end{cases}\)
\(\displaystyle f \!=\!\!\lim_{n\to\infty}f_n\)




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Fonction de Bolzano (1834)



Bernard Bolzano
(1781–1848)
Mathématicien, logicien, philosophe et théologien tchèque


\(f_0(x)\!=\!x \;\text{ si } x\!\in\![0,1]\)
\(f_{n+1}(x)\!=\!\begin{cases} \vphantom{\dfrac{b}{a}}\frac23 f_n(3x) & \text{si } x\!\in\![0,\!\frac13]\\[-1ex] \frac23\!-\!\frac13 f_n(3x\!-\!1)& \text{si } x\!\in\![\frac13,\!\frac23]\\ \frac23 f_n(3x\!-\!2) \!+\! \frac13 & \text{si } x\!\in\![\frac23,1] \end{cases}\)
\(\displaystyle f \!=\!\!\lim_{n\to\infty}f_n\)




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Courbe de Von Koch (1904)



Niels Fabian Helge von Koch
(1870–1924)
Mathématicien suédois


\( \big(f_0(t),g_0(t)\big)\!=\!(t,0) \text{ si } t\!\in\![0,1]\)
\( \big(f_{n+1}(t),g_{n+1}(t)\big)\!=\!\)

\(\!=\!\begin{cases}\vphantom{\dfrac{b}{a}} \big(\frac13 f_n(4t),\frac13 g_n(4t)\big) & \!\!\text{si } t\!\in\![0,\!\frac14]\\[0.1ex] \big(\frac13\!+\!\frac16 f_n(4t\!-\!1)\!-\!\frac{\sqrt3}{6} \,g_n(4t\!-\!1),&\\ \;\frac{\sqrt3}{6} \,f_n(4t\!-\!1)\!+\!\frac16 g_n(4t\!-\!1)\big) & \!\!\text{si } t\!\in\![\frac14,\!\frac12]\\[1ex] \big(\frac12\!+\!\frac16 f_n(4t\!-\!2)\!+\!\frac{\sqrt3}{6}\,g_n(4t\!-\!2),\\ \;\frac{\sqrt3}{6}\!-\!\frac{\sqrt3}{6}\,f_n(4t\!-\!2)\!+\!\frac16 g_n(4t\!-\!2)\big) & \!\!\text{si } t\!\in\![\frac12,\!\frac34]\\[1ex] \big(\frac23\!+\!\frac13 f_n(4t\!-\!3),\frac13 g_n(4t\!-\!3)\big) & \!\!\text{si } t\!\in\![\frac34,1] \end{cases}\)
\(\displaystyle (f,g)\!=\!\!\lim_{n\to\infty}(f_n,g_n)\)




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Fonction de Riemann (1861)



Georg Friedrich Bernhard Riemann
(1826–1866)
Mathématicien allemand


\(\begin{array}{rl} f(x)\hspace{-1em}&=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}\sin(k^2x)\\ &=\displaystyle\sin(x)\!+\!\tfrac14 \sin(4x)\!+\!\tfrac19 \sin(9x)\!+\!\cdots \end{array}\)




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Fonction de Weierstrass (1872)



Karl Theodor Wilhelm Weierstrass
(1815–1897)
Mathématicien allemand


\(\begin{array}{rl} f(x)\hspace{-1em}&=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^k}\sin(3^kx)\\ &=\displaystyle\sin(x)\!+\!\tfrac12 \sin(3x)\!+\!\tfrac14 \sin(9x)\!+\!\cdots \end{array}\)




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Courbe de Takagi (1903)



Teiji Takagi
(1875–1960)
Mathématicien japonais


\(\begin{array}{rl} f(x)\hspace{-1em}&=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k}|2^kx\!-\!\mathrm{round}(2^kx)|\\ &=\displaystyle|x\!-\!{\scriptstyle\mathrm{round}}(x)|\!+\!\tfrac12 |2x\!-\!{\scriptstyle\mathrm{round}}(2x)|\!+\!\tfrac14 |4x\!-\!{\scriptstyle\mathrm{round}}(4x)|\!+\!\cdots \end{array}\)




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Courbe de Wen (2002)



Lin Wen
(Contemporain)
Mathématicien chinois


\(\begin{array}{rl} f(x)\hspace{-1em}&=\displaystyle\prod_{k=0}^{\infty} \left[1+\frac{1}{2^k}\sin(6^{k(k+1)/2}x)\right]\\ &=\big[1\!+\!\sin(x)\big]\big[1\!+\!\tfrac12\sin(6^3x)\big]\big[1\!+\!\tfrac14\sin(6^6x)\big]\!\cdots \end{array}\)




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Quelques citations


« Je me détourne avec effroi et horreur de cette plaie lamentable
des fonctions continues qui n'ont point de dérivées. »

Charles Hermite (1893)



« La logique parfois engendre des monstres.
On vit surgir toute une foule de fonctions bizarres
qui semblaient s'efforcer de ressembler aussi peu que possible
aux honnêtes fonctions qui servent à quelque chose.
Plus de continuité, ou bien de la continuité, mais pas de dérivées[...]
Autrefois, quand on inventait une fonction nouvelle,
c'était en vue de quelque but pratique ;
aujourd'hui, on les invente tout exprès
pour mettre en défaut les raisonnements de nos pères,
et on n'en tirera jamais que cela. »

Henri Poincaré (1908)









Et pourtant, de nos jours…

Un peu de physique/chimie/botanique



Robert Brown
(1773–1858)
Botaniste écossais

Description de l'expérience
  • Un faisceau laser est envoyé dans une boîte contenant des particules de poussières enfermées dans une chambre de fumée.      
  • On observe ces particules au microscope.
  • On enregistre l'observation à l'aide d'une caméra.
Le mouvement désordonné et lent d'une grosse particule, grain de poussière ici, observable au microscope dans un gaz (fumée), est dû aux chocs des petites particules, atomes ou molécules du gaz, qui, elles, ne sont pas vues au microscope.

Si le mouvement du grain de poussière est désordonné, alors celui des atomes ou molécules de gaz l'est aussi. Ce mouvement aléatoire et erratique d'un gaz est appelé mouvement brownien.

Le mouvement brownien (1827)
Une trajectoire brownienne unidimensionnelle continue nulle part dérivable…



Albert Einstein
(1879–1955)
Physicien allemand

Divers contributeurs




Un peu de finance









Cours boursiers




Un peu de sismologie


À l'aide de sismographes…
…des sismogrammes

Séisme en Alaska
Séisme au Pakistan

Séisme en Allemagne
Séisme au Vanuatu



   
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