Les projections azimutales

En coordonnées polaires ( $\rho=g(\theta)$ , $\gamma=\phi$ ), les projections azimutales sont de la forme

$\gamma=\phi$ et $\rho=g(\theta)$

avec $g(\pi/2)=0$ , ou encore, en posant $z=\pi/2-\theta$ ( $z$ est la colatitude de $\theta$ et simplifie les calculs) :

$\gamma=\phi$ et $\rho=f(z)$

avec $f(0)=0$ .

Réécrivons les conditions 1,2,3 dans ce contexte.

Condition 1 (équivalence)

La condition $\rho\left(\frac{\partial \rho}{\partial \phi}\frac{\partial \gamma}{\partial \theta} -\frac{\partial \rho}{\partial \theta}\frac{\partial \gamma}{\partial \phi}\right)=\cos \theta$ s'écrit $f'(\theta)=\cos \theta$ .

Condition 2 (conformité)

Les conditions $\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial \phi}\frac{\partial \rho}{\partial \theta}+\rho^2\frac{\partial \gamma}{\partial \phi}\frac{\partial \gamma}{\partial \theta}=0\\ \null\\ \displaystyle\left(\frac{\partial \rho}{\partial \phi}\right)^2+\left(\frac{\partial \gamma}{\partial \phi}\right)^2 =\cos^2 \theta\left(\left(\frac{\partial \rho}{\partial \theta}\right)^2+\rho^2\left(\frac{\partial \gamma}{\partial \theta}\right)^2 \right)\end{array}\right.$ s'écrivent simplement $f(z)^2=\sin^2z\,f'(z)^2$ .

Condition 3 (équidistance)

La condition $\left(\frac{\partial \rho}{\partial \theta}\right)^2+\rho^2 \left(\frac{\partial \gamma}{\partial \theta}\right)^2=1$ s'écrit $(f'(\theta))^2=1$ .

Il existe une infinité de projections azimutales perspectives (comme de projections cylindriques perspectives). On n'étudiera donc que deux cas : le point de vue est soit au centre de la sphère, soit à l'infini. Pour les mêmes raisons que pour les projections cylindriques on considérera uniquement des projections sur un plan tangent, de manière à ne pas avoir de déformation au voisinage du point central (donc $f'(0)=1$ ).

La projection gnomonique

Dans le premier cas où $\rho=\tan z$ , on obtient la projection gnomonique (ou centrale). Elle est donnée par

$\gamma=\phi$ et $\rho=\tan z$
Elle ne peut représenter qu'un hémisphère et déforme beaucoup, mais elle est orthodromique : en effet le plan de tout grand cercle de la sphère passe par le centre de projection, et donc tout grand cercle sera représenté par une droite, et réciproquement.

Projection gnomonique

Projection gnomonique : indicatrices de Tissot

La projection orthographique

Dans le second cas où $\rho=\sin z$ , on obtient une projection orthogonale, appelée projection orthographique, donnée par

$\gamma=\phi$ et $\rho=\sin z$
Elle ne peut représenter qu'un hémisphère et aplatit considérablement les zones proches de l'équateur, mais les parallèles ont leur vraie grandeur. Surtout, elle correspond à la vision de la Terre pour un observateur placé dans l'espace, et est donc visuellement satisfaisante.

Projection orthographique

Projection orthographique : indicatrices de Tissot

La projection azimutale équidistante

Pour la projection azimutale équidistante, dite de Guillaume Postel, la condition 3 donne simplement (au signe près, qui n'est qu'une rotation), soit

$\gamma=\phi$ et $\rho=z$

Projection azimutale équidistante

Projection équidistante : indicatrices de Tissot

La projection azimutale de Lambert

Pour la projection azimutale équivalente, dite azimutale de Lambert, la condition 1 s'écrit $f(z)f'(z)=\sin z$ d'où (avec la condition , au signe près) $f(z)=\sqrt{2-2\cos z}$ , soit

$\gamma=\phi$ et $\rho=z$
Le rayon est égal à la longueur de la corde joignant A, point de tangence, à .

Projection azimutale équivalente

Projection équivalente : indicatrices de Tissot

La projection stéréographique

Pour la projection azimutale conforme, la première équation de la condition 2 est vérifiée par toutes les projections azimutales (et même coniques). La deuxième s'écrit $f(z)^2=\sin^2z\,f'(z)^2$ d'où l'on tire (avec la condition , au signe près) $f(z)=2\tan z/2$ , ce qui donne

$\gamma=\phi$ et $\rho=z$
Ceci est la projection stéréographique et elle correspond en fait à une projection perspective dont le point de vue serait diamétralement opposé au point de tangence.

Projection stéréographique

Projection conforme : indicatrices de Tissot

On peut trouver une relation dans le plan complexe entre la projection stéréographique et la projection de Mercator. En effet, rappelons que $\pounds= \log\left(\tan\left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right) = -\log\left(\tan\left(\frac{z}{2}\right)\right)$ . On a alors (au coefficient multiplicatif 2 près)

$\text{stéréographique}=e^{i\text{Mercator}}=e^{i\phi-\pounds}$

La projection d'Aïtoff-Hammer

Signalons enfin une transformation couramment utilisée pour les projections azimutales. La transformation d'Aïtoff-Hammer (Aïtoff l'a inventée pour la projection de G. Postel et Hammer n'a fait que l'appliquer telle quelle à d'autres projections). Elle se base sur l'aspect transverse de ces dernières (ce qui change totalement les aspects des parallèles et méridiens) et consiste à diviser les longitudes par un nombre supérieur à 1 (2 en général), à appliquer la projection transverse à la surface partielle de sphère ainsi obtenue, et à remultiplier les abscisses par ce nombre. De manière intéressante, cette transformation conserve la propriété d'équivalence.

Transformation d'Aïtoff appliquée à la projection azimutale équivalente, en aspect oblique

Projection d'Aïtoff : indicatrices de Tissot

Comparaison des projections azimutales

Les projections cylindriques

Les projections cartographiques

Les projections (tron)coniques