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Tournoi:
Second Tournoi EnigMyster
(Auteur : EnigMyster | Modérateur : Michel GAYDIER)
Le Second Tournoi Open s'est déroulé du 14 janvier au 31 Octobre 2003. 766 participants dont 506 classés. 3506 bonnes réponses sur un total de 66948 tentatives. Pour les nouveaux : les Khongs vivent sur une île au milieu de nulle part (de toute façon on se demande bien qui pourrait avoir envie d'y aller). C'est une tribu particulièrement sanguinaire, qui passe son temps à décréter des lois iniques et à prononcer des condamnations arbitraires, juste pour rigoler. Et aussi un peu pour le plaisir des chercheurs d'énigmes. Encore que... Cette année-là, le Grand Khong eut une idée géniale. Enfin, c'est lui qui décréta qu'elle était géniale et personne ne s'aventura à le contredire. Un jour, il y a bien longtemps, les anciens affirment que quelqu'un s'était aventuré à contredire le Grand Khong, et le soir-même, à la veillée, on raconte encore aux petits Khongs pour les endormir, comment il fut décapité avec une hache émoussée... Le Grand Khong avait décidé de lever un impôt sur le blé. Pour cela, il fit rassembler dans la cour du palais toutes les récoltes, et mandata son Grand Khomptable pour effectuer le recensement des grains de blés. Il faut dire que le Grand Khong ne portait pas particulièrement le Khomptable dans son cœur, et cela n'était pas neutre dans la méthode de prélèvement qu'il avait imaginée : il fallait compter les grains un par un, et chaque fois que le numéro du grain contenait le nombre "666" (qui comme chacun le sait est le nombre du Grand Khong), alors ce grain-là devait être prélevé pour le trésor royal. Le Grand Khomptable commença donc à compter : 1, 2, 3... Arrivé à 666, il préleva le grain et le mit dans un sac, puis continua : 667, 668... préleva le 1666, puis le 2666... Cela prit évidemment un certain temps, et même un temps certain... Pendant ce temps, le peuple Khong maudissait ces idiots de chiffres six, qui, dès qu'ils apparaissaient dans le numéro du grain, déclenchaient son prélèvement pour l'impôt. On ne l'appela bientôt plus que l'"impôt sur les sots six y étaient". Enfin un jour, le Grand Khomptable présenta au Grand Khong le résultat de son labeur. Il avait prélevé ainsi 123 456 789 grains de blé. Le Grand Khong souligna que c'était son deuxième nombre fétiche, et appela à y voir une preuve, s'il en était besoin, que cet impôt était juste et légitime. Le Grand Khomptable présenta aussi sa note d'honoraires, et il apparut que l'impôt prélevé suffisait à peine à en couvrir le montant. Le Grand Khong se dit que finalement l'idée n'était peut-être pas si bonne. Heureusement qu'il lui restait la satisfaction d'avoir obligé le Khomptable à compter tous les grains de blé un par un, et cette idée à elle seule suffisait à le ragaillardir ! L'année prochaine, il recommencerait, cette fois avec les grains de farine... Au fait, combien de grains de blé y avait-il dans la cour du palais (sachant qu'un Grand Khomptable ne se trompe jamais dans ses khomptes...) ? La solution :
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Réponse : 16668597788 ---------------------------- Soyons méthodiques... Dans un premier temps, posons-nous la question suivante : combien de nombres à n chiffres contiennent 666 ? Dans les nombres à n chiffres, on peut distinguer 4 catégories :
Pour passer à n+1, il suffit d'ajouter un chiffre (0 à 9) à un nombre de n chiffres. (On considère que par exemple 000...001 est un nombre de n chiffres, ce qui nous arrange bien ! On en a donc 10n.)
On tire Xn+1 = 9 × (Xn + Xn-1 + Xn-2) ce qui donne une sorte de suite de Fibonacci en plus tordu. Avec cela on peut monter un tableau simple U-V-W-X (et pas forcément un tableur !) :
Le premier terme (U) s'obtient au prix d'une multiplication par 10 et une addition, les termes V et W sont de simples reports des valeurs W et X de la ligne précédente, X au choix en additionnant V, W et X de la ligne précédente et en les multipliant par 9, ou en retranchant de 10n les U, V et X déjà écrits sur la ligne. Donc rien de très compliqué comme calcul... On obtient :
On a donc affaire à un nombre à 11 chiffres... Considérons son premier chiffre.
Comme il n'en faut plus que 8 597 789, ce sera largement suffisant. Le premier étant 16 660 000 000, le dernier sera 16 668 597 788, qui est donc le nombre recherché. On a donc fait en tout, une fois posée la ligne 1. 0 - 0 - 1 - 9 (et en ne comptant pas les multiplications par 1 et par 0 et les additions de 0 !) :
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