Dynamique des Populations I

Master Maths En Action - Université Lyon 1 - 2017-2018

Projet Nouveau

À propos du cours

Cette UE permet d’acquérir des bases solides sur les modèles usuels en dynamique des populations cellulaires. Les formalismes de systèmes dynamiques les plus courants seront introduits : Processus stochastiques, équations différentielles ordinaires et stochastiques, systèmes discrets. L’accent sera mis sur l’étude qualitative des systèmes dynamiques et des méthodes de résolution et d’analyse numérique.

Plan du cours

  • Chapitre 1: Processus stochastiques de naissance et de mort
    Équation maîtresse, Équation de Fokker-Planck, Algorithme de simulation stochastique. Lien avec les systèmes déterministes. Exemples de modèles de prolifération cellulaire
  • Chapitre 2: Systèmes d’EDO nonlinéaires
    Existence/unicité des solutions, Théorème de Hartman-Grobman, Linéarisation et stabilité linéaire, Classification des points fixes, Bifurcations de co-dimension 1 pitchfork, col-nœud, transcritique, Hopf, bifurcations de co-dimension 2*, systèmes bistables. Étude numérique avec logiciels d’analyse de stabilité et de continuation de bifurcation. Exemples de la dynamique des populations cellulaires (dynamique du HIV, croissance tumorale, cycle cellulaire) et en écologie/épidémiologie (Lotka-Volterra, modèles SIR,…).
  • Chapitre 3: Systèmes discrets
    Existence/unicité des solutions, Linéarisation et stabilité linéaire, comparaison avec les EDO, Application de Poincaré, Bifurcations de doublement de périodes, Chaos. Applications : Équation logistique, Matrices de Leslie.
  • Chapitre 4: Systèmes couplés en grande dimension
    Oscillateurs (oscillateur de phase, modèle de Goodwin), Réseaux, Synchronisation d’oscillateurs. Étude du Modèle de Kuramoto, Entrainement de systèmes périodiques. Exemples et étude numérique de modèles pour la synchronisation d’oscillateurs circadiens, synchronisation du cycle cellulaire par l’horloge circadienne.
  • Chapitre 5: Thématiques sélectionnées

Evaluations

  • 1 Projet (~2/3)
  • Fiches de lecture (~1/3)

Livres de références

  • L Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Texts in Applied Mathematics Volume 7, 1991, Springer
  • S Strogatz, Nonlinear Dynamics And Chaos: With Applications To Physics, Biology, Chemistry, And Engineering, Studies in Nonlinearity, Westview Press
  • J Guckenheimer, P Holmes Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, Applied Mathematical Science, Springer

Références supplémentaires

Logiciels/Numérique

Les codes utilisés dans le cours sont déposés en libre accès sur GITHUB (github/samubernard/popdyn). Plusieurs codes utilisés dans le cours seront sous Matlab, mais aussi XPPAUT, en C ou Python.

Modèle de fiche de lecture

Pour les comptes-rendus de lecture vous pouverz utiliser cette fiche de lecture.

Contact/Questions

Samuel Bernard à bernard@math.univ-lyon1.fr

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Projet

Le projet portera sur un article récent de modélisation. Pour le projet, chaque étudiant devra rendre un rapport complet ainsi que les codes/programmes nécessaires à la reproduction des résultats présentés dans le projet.

Le projet se décompose en 3 parties. 1/ Prise en main du modèle (compréhension, dérivation), 2/ son analyse (stabilité, bifurcation, ...), 3/ extension du modèle (version stochastique, discrète)

(29/01) Le projet est en ligne.

Liste des fiches de lecture à rendre

Template de fiche de lecture.

Rédigez les fiches de lectures pour vous-mêmes, afin qu'elles puissent vous servir plus tard. Si une question ne semble pas pertinente pour un article donné, n'y répondez pas. Par exemple, les questions sur les modèles et leurs hyopthèses ne s'appliquent pas aux articles mathématiques. La dernière question permet de commenter l'article de façon générale. Même les articles de maths sont relus avant d'être publiés ! Si la critique sur le fond n'est pas toujours facile, vous pouvez toujours commenter sur la clarté de l'article, la présence ou non d'applications/exemples pour faciliter la compréhension, etc.

1. Fiche de lecture à rendre le 19 janvier par e-mail (.doc ou scan)

Variation du risque de cancer.

2. Fiche de lecture à rendre le 26 janvier par e-mail (.doc ou scan)

Approche raisonnée du processus de modélisation

3. Pas de fiche de lecture cette semaine. Lisez l'article du projet

Interaction tumeur-système immunitaire

4. Fiche de lecture à rendre le 16 février.

Chaos dans les systèmes discrets

5. Fiche de lecture à rendre le 1er mars.

C1 (11/01-12/01) - Dynamique stochastique vs dynamique déterministe

Processus de naissance-mort, théorie

Kendall (1948) On the Generalized "Birth and Death" Process

Processus de naissance-mort, algorithme de simulation stochastique

SSA: Stochastic simulation of chemical kinetics

Schéma numerique pour la simulation d'équations stochastiques

Introduction pratique (avec codes Matlab) à la simulation d'équations stochastiques: An algorithmic introduction to numerical simulation of stochastic differential equations

C2 (18/01-) EDO

Pour des méthodes numériques de continuation de bifurcation:

C3 (08/02-) Systèmes discrets et chaos

4. Fiche de lecture à rendre le 16 février.

Chaos dans les systèmes discrets

C4 (16/02-) Systèmes couplés et dynamique collective

5. Fiche de lecture à rendre le 1er mars.