Dynamique des Populations I

Master Maths En Action - Université Lyon 1 - 2016-2017

À propos du cours

Cette UE permet d’acquérir des bases solides sur les modèles usuels en dynamique des populations cellulaires. Les formalismes de systèmes dynamiques les plus courants seront introduits : Processus stochastiques, équations différentielles ordinaires et stochastiques, systèmes discrets. L’accent sera mis sur l’étude qualitative des systèmes dynamiques et des méthodes de résolution et d’analyse numérique.

Plan du cours

  • Processus stochastiques de naissance et de mort (1 séance)
    Équation maîtresse, Équation de Fokker-Planck, Algorithme de simulation stochastique. Lien avec les systèmes déterministes. Exemples de modèles de prolifération cellulaire
  • Systèmes d’EDO nonlinéaires (2 séances)
    Existence/unicité des solutions, Théorème de Hartman-Grobman, Linéarisation et stabilité linéaire, Classification des points fixes, Bifurcations de co-dimension 1 pitchfork, col-nœud, transcritique, Hopf, bifurcations de co-dimension 2*, systèmes bistables. Étude numérique avec logiciels d’analyse de stabilité et de continuation de bifurcation. Exemples de la dynamique des populations cellulaires (dynamique du HIV, croissance tumorale, cycle cellulaire) et en écologie/épidémiologie (Lotka-Volterra, modèles SIR,…).
  • Systèmes discrets (1 séance)
    Existence/unicité des solutions, Linéarisation et stabilité linéaire, comparaison avec les EDO, Application de Poincaré, Bifurcations de doublement de périodes, Chaos. Applications : Équation logistique, Matrices de Leslie.
  • Systèmes couplés en grande dimension (1 séance)
    Oscillateurs (oscillateur de phase, modèle de Goodwin), Réseaux, Synchronisation d’oscillateurs. Étude du Modèle de Kuramoto, Entrainement de systèmes périodiques. Exemples et étude numérique de modèles pour la synchronisation d’oscillateurs circadiens, synchronisation du cycle cellulaire par l’horloge circadienne.

Evaluations

  • 1 Projet (~2/3)
  • Fiches de lecture (~1/3)

Livres de références

  • L Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Texts in Applied Mathematics Volume 7, 1991, Springer
  • S Strogatz, Nonlinear Dynamics And Chaos: With Applications To Physics, Biology, Chemistry, And Engineering, Studies in Nonlinearity, Westview Press
  • J Guckenheimer, P Holmes Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, Applied Mathematical Science, Springer

Références supplémentaires

Logiciels/Numérique

Les codes utilisés dans le cours sont déposés en libre accès sur GITHUB (github/samubernard/popdyn). Plusieurs codes utilisés dans le cours seront sous Matlab, mais aussi XPPAUT, en C ou Python.

Modèle de fiche de lecture

Pour les comptes-rendus de lecture vous pouverz utiliser cette fiche de lecture.

Contact/Questions

Samuel Bernard à bernard@math.univ-lyon1.fr

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Projet à rendre le 9 février

Le projet est ici.

Le projet est à rendre le 9 février 2017 en début de classe au plus tard.

Liste des fiches de lecture à rendre

Template de fiche de lecture.

Rédigez les fiches de lectures pour vous-mêmes, afin qu'elles puissent vous servir plus tard. Si une question ne semble pas pertinente pour un article donné, n'y répondez pas. Par exemple, les questions sur les modèles et leurs hyopthèses ne s'appliquent pas aux articles mathématiques. La dernière question permet de commenter l'article de façon générale. Même les articles de maths sont relus avant d'être publiés ! Si la critique sur le fond n'est pas toujours facile, vous pouvez toujours commenter sur la clarté de l'article, la présence ou non d'applications/exemples pour faciliter la compréhension, etc.

1. Fiche de lecture à rendre le 19 janvier par e-mail (.doc ou scan)

Variation du risque de cancer.

Quelques documents pour mettre les résultats en perspective. Ne vous limitez pas à ces trois documents, vous pouvez utiliser toutes les resources que vous voulez.

2. Fiche de lecture à rendre le 2 février par e-mail ou en papier en début de séance

Processus de naissance-mort

3. Fiche de lecture à rendre le 2 février par e-mail ou en papier en début de séance

Contrôle de la prolifération cellulaire

4. Fiche de lecture à rendre le 2 février par e-mail ou en papier en début de séance

Dynamique de l'infection des lymphocyte par le VIH

5. Fiche de lecture à rendre le 15 février par e-mail

Equations discretes et chaos.

6. Fiche de lecture à rendre le 16 février par e-mail

Small-world networks.

7. Fiche de lecture à rendre le 8 mars par e-mail

Théorie des jeux biologiques.

S1 (11/01) - Dynamique stochastique vs dynamique déterministe

Processus de naissance-mort, théorie

Kendall (1948) On the Generalized "Birth and Death" Process

Processus de naissance-mort, algorithme de simulation stochastique

SSA: Stochastic simulation of chemical kinetics

Schéma numerique pour la simulation d'équations stochastiques

Introduction pratique (avec codes Matlab) à la simulation d'équations stochastiques: An algorithmic introduction to numerical simulation of stochastic differential equations

S2 (12/01) EDO - partie I

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S3 (02/02) EDO - partie II

Pour des méthodes numériques de continuation de bifurcation:

Modélisation et analyse d'une classe de modèles EDO pour la dynamique d'un virus oncolytic. Excellente présentation des étapes clé de choix des équations, de leur justification et d'analyse de robustesse de la dynamique qualitative des modèles:

Natalia L. Komarova and Dominik Wodarz (2011) ODE models for oncolytic virus dynamics J Theor Biol. 2010 263:530–543.

S4 (08/02) Modèles discrets

Codes pour explorer la dynamique de l'application logistique.
Application logistique avec Matlab

5. Fiche de lecture à rendre le 15 février par e-mail
Equations discretes et chaos: un résultat fascinant sur les orbites de périodes trois: Li and Yorke (1975) Period Three Implies Chaos

S5 (09/02) Systèmes en grande dimension

6. Fiche de lecture à rendre le 16 février par e-mail
Small-world networks Watts and Strogatz (1997) Collective dynamics of ‘small-world’ networks

Codes C/Matlab pour le modèle de Kuramoto: coupled_oscillators.

Démo oscillateurs couplés en javascript: oscillateurs.

S6 (01/03) Dynamique du réplicateur

7. Fiche de lecture à rendre le 8 mars par e-mail

Théorie des jeux biologiques.