IGD -  Séminaire de Théorie des Modèles
Archives 2003-2004


Programme


jeudi 1 juillet (à  14h, salle 112 bâtiment Braconnier)
"A la recherche de la structure intrinsèque de l'univers."
Par Bruno Poizat (IGD)

Summary.
Definitions. A selftransformation of a structure is a permutation of its base which permutes its parametrically definable sets and relations. The universe of a structure is formed by the sets and relations which are definable in it with parameters. Two universes are similar if they have a common elementary extension (the notion of elementary extension does not depend of the structure chosen to generate the small universe).
Problem 1. Consider an omega-one-compact structure, any permutation of its base being a selftransformation ; is the structure interpretable in the language of equality ?
Problem 2. Is any complement of the group of permutations with finite support in the group of selftransformations of the ordering of the rationnals n-transitive for every n ?
Problem 3. Learn French, read the definitions in Section 4, and find two non isomorphic but similar narcissic universes.
Problem 4. Use the skill gained in the solution of the preceding problem to understand the meaning of Question 4 in this paper.
Problem 5. Find a non narcissic cat, that is, a non trivial universal second order theory for which Craig's Interpolation Lemma remains valid.
Problem 6. Find two similar universes which are not the universes of two elementarily equivalent structures.
Problem 7. Classify the universes which are similar to the universe of an omega-one-categorical relation, or more generally the universes which are similar to the universe of a classifiable relation.
Problem 8. Define a meaningful notion of second order forking.
Problem 9. Unicity of the intrinsecal structure of the universe, provided it has one (see the block of definitions opening Section 9).
Problem 10. Necessity of the stability hypothesis in Proposition 9.6.


jeudi 24 juin (à  13h, salle 112 bâtiment Braconnier)
"Countable coverings of groups and weak generic types."
Par Ludomir Newelski (Wroclaw)

Abstract : We consider a covering of a (saturated) group G by countably many type-definable sets. It turns out that in this case the group is generated by finitely many of them in 2 or 3 steps. There are variants of this result for coverings of types and (outside model theory) colourings of groups and graphs. Involved here are weak generic types, amenable groups and in general extensions of some core notions of stability theory to the unstable context. There may be some interactions with descriptive set theory. The results show some similarity between a saturated group and a compact topological group.


jeudi 17 juin (à  10h, salle 112 bâtiment Braconnier)
"Négation grammaticale versus négation logique dans l'apprentissage des mathématiques. Exemple dans l'enseignement secondaire tunisien."
Par Imed Ben Kilani (Tunis)

Résumé: La négation dans la langue française revêt traditionnellement deux formes : la négation totale qui affecte toute la phrase et qui correspond à  la paraphrase  "il est faux que" et la négation partielle qui n'affecte qu'une partie de la phrase. En mathématiques c'est l'opérateur de négation logique qui échange le vrai et le faux qui est en jeu ; il correspond à  la négation totale. Les logiciens, et en tout premier lieu Aristote, insistent sur les difficultés liées à  la négation des énoncés comportant une quantification. Par ailleurs, les linguistes de la langue française mettent en évidence un certain nombre d'ambiguïtés sémantiques lorsqu'un opérateur de négation et un opérateur de quantification sont en jeu. Ceci permet de prévoir des difficultés dans l'activité mathématique en particulier dans les raisonnements s'appuyant explicitement sur la négation d'un énoncé, comme le raisonnement par l'absurde.
L'originalité de l'enseignement des mathématiques en Tunisie, c'est qu'il se fait tout d'abord en langue arabe jusqu'à  la fin de la 9ème année de l'école de base (enseignement obligatoire) puis en langue française pour les quatre années du Lycée. Il faut noter que la négation logique ne fait pas l'objet d'un enseignement explicite en mathématiques. Par contre, la négation est au programme de l'enseignement du français (langue étrangère obligatoire) et de l'arabe (langue maternelle). Nos analyses des programmes officiels et des guides méthodologiques à  l'usage des enseignants montrent d'une part que, en ce qui concerne l'enseignement de la langue française, l'insistance est mise sur la forme négative des énoncés qui renvoie pour les énoncés universels à  la négation partielle. Elles montrent d'autre part que, en ce qui concerne la langue arabe, les énoncés proposés sont exclusivement des énoncés singuliers pour lesquels la particule de négation est placé en tête de l'énoncé. La non-congruence entre les trois registres Arabe/Français/Logique mathématique et les choix didactiques tels qu'ils apparaissent dans les programmes permettent de faire des hypothèses didactiques concernant l'appropriation et la mobilisation du concept de négation dans la classe de mathématiques qui donnent lieu à  des expérimentations en cours d'analyse.



mardi 8 juin (à  16h30 dans le cadre du Colloquium, salle 112 bâtiment Braconnier)

        "Arc spaces for PDEs."
        Par Thomas Scanlon (Berkeley)
Abstract: The study of partial differential equations is notariously difficult and that of nonlinear PDEs even more so.  However, there are well-known analytic reparametrizations which convert general PDEs into linear PDEs so that at the level of the analytic theory of PDEs, the complexity of the general equations can be  reduced to that of linear PDEs.  When studying algebraic differential equations, such changes of variables are not possible.  Nevertheless, by employing methods from mathematical logic and an adaptation of the arc space construction to differential equations, we give a precise sense in which even for algebraic differential equations, the geometric complexity is reducible to that of linear PDEs.
mercredi 9 juin (à  10h, salle 112 bâtiment Braconnier)

"A local version of the André-Oort conjecture."
Par Thomas Scanlon (Berkeley)

Abstract: We prove a p-adic version of a conjecture of Yves André. More precisely, let p be a prime number, $R$ the maximal unramified extension of ${\mathbb{Z}}_p$, and $n \geq 3$ a natural number prime to p. Fix an embedding $R \hookrightarrow {\mathbb{C}}$. The moduli space of principally polarized abelian varieties with full level $n$ structure ${\mathcal A} = {\mathcal A}_{g,1,n}$ is defined over ${\mathbb{Z}}[\frac{1}{n}]$. Let $\pi:{\mathcal X} \to {\mathcal A}$be the universal abelian variety over ${\mathcal A}$. We say that a point $\xi \in {\mathcal X}(R)$ is p-special if $\xi$ is a torsion point of ${\mathcal X}_{\pi(\xi)}$ and ${\mathcal X}_{\pi(\xi)}$ is the canonical lift of its special fibre. We show that if $Y \subseteq {\mathcal X}_{\mathbb{C}}$ is an irreducible subvariety containing a Zariski dense set of p-special points, then $Y$ is a ``special'' subvariety, which in this case means essentially that with respect to the usual complex analytic uniformization of ${\mathcal X}({\mathbb{C}})$ that $Y({\mathbb{C}})$ is uniformized by a homogeneous space for a Lie group.

The proof combines the corresponding result for ${\mathcal A}$ (due to Ben Moonen) with the model theory of difference fields and valued difference fields.


jeudi 13 mai (à  10h à  la Doua en salle 112 du bâtiment Braconnier)
"Sous-groupes superstables de SL(2,K)."
Par Yerulan Mustafin (UQAM - Québec)

Résumé : Avec B. Poizat, on a démontré un résultat sur les groupes  superstables et non définissables de SL(2,K) o๠K est un corps algébriquement clos. La motivation de cette recherche était le travail de Jaligot et Ould Houcin sur les groupes à  centralisateur disjoints existentiellement clos ; comme ils ont trop de sous-groupes pour être omega-stables, Jaligot suggérait d'amalgamer dans la théorie universelle du groupe libre : un des nos corollaires montre que ça ne marche pas.

jeudi 6 mai (à  10h à  la Doua en salle 112 du bâtiment Braconnier)
"Abelian profinite groups."
Par Krzysztof Krupinski (Wroclaw / IGD)
Abstract: We can consider a profinite grup $X$ as a profinite structure in the sense of Newelski. More precisely, we consider such a group $X$ together with the standard structural group of automorphisms of $X$, which is the group of all topological automorphisms of $X$ respecting the inverse system defining $X$.
We say that $X$ is small iff for every natural number $n>0$, on the set $X^{n}=X\times \dots \times X$ ($n$-many times) there are countably many orbits under the action of the standard structural group of $X$. We also consider two other model theoretic notions: $m$-normality and $m$-stability.
First we fully describe which products of countably many finite groups (regarded as profinite groups with the standard structural group) are small. We also ivestigate $m$-normality and $m$-stability of such products.
Then we generalize our results to the case of arbitrary abelian profinite groups, showing that each abelian profinite group (being the inverse limit of a system indexed by $\omega$) of finite exponent is small $m$-normal and $m$-stable.


jeudi 29 avril (à  10h à  la Doua en salle 112 du bâtiment Braconnier)
"Sur quelques problèmes relatifs aux structures o-minimales".
Par Rémi Soufflet (Université de Genève)
Résumé : Je présenterai, d'un point de vue essentiellement géométrique, la théorie des structures o-minimales au travers de différentes conjectures dans les domaines suivants : intégration, lien avec les corps de Hardy et les équations différentielles, stratifications et développement asymptotique des fonctions définissables. Après avoir rappelé les résultats connus (ou classiques), j'exposerai mes avancées et résultats récents concernant ces conjectures.

jeudi 22 avril (à  10h à  la Doua en salle 112 du bâtiment Braconnier)
"Une borne sur le 2-rang de Prufer dans les groupes simple minimaux."
Par Eric Jaligot (Paris 7)

Résumé : J'expliquerai un argument récent qui élimine certains groupes simples minimaux de rang de Morley fini et de 2-rang de Prà¼fer supérieur ou égal à  deux. De telles configurations étaient considérées comme assez "désespérées" il y a peu.
jeudi 15 avril : vacances.

jeudi 8 avril (à  11h à  la Doua en salle 112 du bâtiment Braconnier)
"Théorie des modèles des corps de différence génériques, quelques résultats et  questions."
Par Zoé Chatzidakis (Paris 7)
        
Résumé: Un corps de différence générique est un corps avec un automorphisme, qui est existentiellement clos (dans la classe des corps avec automorphisme). Ces corps de différence forment une classe élémentaire, dont la théorie est décidable. Je rappellerai quelques résultats maintenant bien connus, d'autres plus récents en caractéristique positive, et énoncerai quelques problèmes ouverts.
Si j'ai le temps, je mentionnerai quelques résultats obtenus par Bustamante sur la théorie des corps différentiellement clos avec automorphisme générique.

jeudi 1 avril (à  10h à  la Doua en salle 112 du bâtiment Braconnier)
"Espaces vectoriels et finie-axiomatisation."
Par Thomas Blossier (IGD)
Résumé : Hrushovski a montré q'une théorie aleph_1-catégorique finiment axiomatisable a nécessairement une géométrie localement modulaire. L'existence d'une telle théorie ayant une géométrie non triviale est une question ouverte et Hrushovski a conjecturé que cette question est équivalente à  celle de l'existence d'un corps gauche infini de présentation finie (en tant qu'anneau).
Je vais présenter une preuve du fait que si la classe des espaces vectoriels sur un corps a une axiomatisation finie, alors ce corps est de  présentation finie.
jeudi 25 mars (à  9h15 à  la Doua en salle 112 du bâtiment Braconnier)
"Sur les théories élémentaires des groupes abéliens réticulés libres de type fini."
Par Françoise Point (Paris 7 - Mons)
Résumé : Ce travail a été réalisé en collaboration avec A.M.W. Glass et A.J. Macintyre. Etant donné n un entier positif, soit $FA\l(n)$ le groupe abélien réticulé libre à  n générateurs.
 Nous prouvons que si n et m sont deux entiers distincts strictement positifs, alors $FA\l(n)$ et $FA\l(m)$ ne sont pas élémentairement équivalents (dans le langage des groupes abéliens réticulés).
Par ailleurs, pour $n$ égal $1$ ou $2$, alors $FA\l(n)$ a une théorie décidable et si $n$ est superieur ou égal à  $3$ alors $FA\l(n)$ a une théorie indécidable. Pour prouver le resultat de décidabilité, nous utilisons la décidabilité de l'arithmétique de Presburger et ceux d'indécidabilité des résultats de Grzegorczyk sur l'indécidabilité de certaines théories topologiques.

jeudi 18 mars : pas de séance.


jeudi 11 mars (à  9h15 à  la Doua en salle 112 du bâtiment Braconnier)
"Education géométrique"
Par Jean-Francois Quint (IGD)
Résumé : Jean-Francois Quint nous introduira aux sujets de l'exposé de géométrie par Emmanuel Breuillard. (cf séminaire de géométrie)

jeudi 4 mars (à  10h à  la Doua en salle 112 du bâtiment Braconnier)

           "Exponential sums in pseudofinite fields and applications (2)"
           Par Ivan Tomasic (IGD)

           Abstract : In this continuation of a previous talk, we show particular examples of "random" structures intrepretable in pseudofinite fields.

jeudi 26 février : pas de séance. (Journée science en berne)

jeudi 19 février : vacances.

jeudi 12 février (à  10h à  la Doua en salle 112 du bâtiment Braconnier)
"Exponential sums in pseudofinite fields and applications."
Par Ivan Tomasic (IGD)

Abstract : We show how to apply the exponential sums/integrals to study random reducts of pseudofinite fields similar to the random graph.

jeudi 5 février (à  10h30 à  la Doua en salle 112 du bâtiment Braconnier)
"Interpreting structures of finite Morley Rank in strongly minimal sets."
Par Assaf Hasson (Jérusalem)

Abstract: Uncountably categorical first order theories support a well behaved (a priori - ordinal) rank, called Morley Rank. Irreducible structures of Morley rank 1 are called strongly minimal. It is well know that uncountably categorical  structures have finite Morley Rank, and moreover, are controlled - in a  strong sense - the structure of a strongly minimal substructure.
It is therefore natural to inquire whether all uncountably categorical structures actually arise from strongly minimal ones - i.e. can every uncountably categorical struture be realized as a definable set in $D^n$ for some strongly minimal set $D$.
In the lecture we will try to classify the class of structures of finite MR, which can be interpreted in a strongly minimal, set. We will show that a weak version of DMP is a necessary conditions for such an interpretation to exist, and using a Hrushovski type construction will give a concrete interpretation under somewhat stronger conditions, concluding that every totally categorical theory is interpretable in a strongly minimal one.
If time allows we will try to discuss in breif the gap - which we were not able to overcome yet - between the weak DMP and the DMP cases.

jeudi 29 janvier (à  10h30 à  la Doua en salle 112 du bâtiment Braconnier)
 "Pseudofinite fields and measure."
Par Ivan Tomasic (IGD)

Abstract : We will touch upon several interesting applications of the measure defined by Chatzidakis, Macintyre and van den Dries, like exponential sums, (fancy) Cebotarev, probabilistic Independence Theorem. Time permitting, we may mention the motivic side of the above.
jeudi 22 janvier (séance commune avec le séminaire de Géométrie, à  10h30 à  la Doua  en salle 112 du bâtiment Braconnier)
"Théories des groupes libres et groupes limites de Sela."
 Par Christophe Champetier (Grenoble)

Résumé : Dans ses articles sur la théorie élémentaire des groupes libres et la conjecture de Tarski, Z. Sela introduit la notion de groupe limite. Nous verrons ces groupes comme des limites de groupes libres pour une topologie naturelle sur l'espace des groupes de type fini. Cette approche topologique établit des liens entre les notions équivalentes de groupes limites, de groupes pleinement résiduellement libres et de groupes ayant la même théorie universelle que des groupes libres. Par ailleurs, nous verrons comment des propriétés de finitude des suites de Makanin-Razborov s'expriment simplement en terme de compacité de l'espace des groupes limites.
jeudi 15 janvier (à  10h30 à  la Doua en salle 112 du bâtiment Braconnier)
"Theories n-simples"
Par Frank Wagner (IGD)

Résumé :  Shelah (qui d'autre) a introduit une hiérarchie de propriétés plus fortes que la simplicité, la n-simplicité pour tout n>0, caractérisées par des possibilités d'amalgamation de plus en plus fortes. Cette hiérarchie a été etudie par Kolesnikov dans sa thèse ; récemment de Piro, Kim et Young ont démontré le théorème de configuration de groupe pour les théories 2-simples.
Je vais présenter la n-simplicité, et une preuve du théorème mentionné ci-dessus.

jeudi 18 décembre (à  10h30 à  la Doua en salle 112 du bâtiment Braconnier)
"Salut les copains."
 Par Mohammad Bagheri (IGD)
          Résumé: Je parlerai de la notion de transformation introduite dans ma thèse et dont les aspects élémentaires ont été présentés dans l'exposé du 2 octobre de Bruno Poizat.


jeudi 11 décembre (à  10h30 à  la Doua en salle 112 du bâtiment Braconnier)
"O-minimal structures as differential fields"
Par Alex Wilkie (Université d'Oxford)
Absract : We show how the fields of real (and complex) numbers may be equipped with a derivative that respects exponentiation. In this way we deduce versions of Schanuel's Conjecture for suitably generic reals (and complexes) from Ax's version of SC for differential fields. As an application we show how the use of SC may be avoided in Zilber's proofs of the stability of expansions of the complex field by power functions.

jeudi 4 décembre (à  10h30 à  la Doua en salle 112 du bâtiment Braconnier)
"Model theory, algebraic groups, and local fields"
Par Jamshid Derakhshan (Université Hébraique/IHES)
Abstract : I shall present some results on groups of rational points of reductive algebraic groups over local fields and their definable subgroups in analogy with real algebraic groups.
I then try to show how one can consider the family of all local fields, in adelic framework, and try to apply the theory to arithmetic of varieties beyond abelian varieties, for example  complex analytic or moduli varieties.

jeudi 27 novembre (à  10h30 à  la Doua en salle 112 du bâtiment Braconnier)
 
          "La fusion libre de deux theories fortement minimales"
          Par Martin Hils (IGD)
Résumé : Nous étudions la fusion libre de deux théories fortement minimales T_1 et T_2 (au-dessus d'une theorie T_0 omega-categorique et modulaire). Elle existe, s'axiomatise bien et est omega-stable. La construction se fait par la méthode d'amalgamation à  la Hrushovski.
Cette étude peut être considérée comme un travail préliminaire vers une fusion de T_1 et T_2 en une théorie fortement minimale (la, il faudra "collapser"), au-dessus d'un espace vectoriel    infini sur un corps fini. Si T_0 correspond à  l'ensemble infini sans structure, alors Hrushovski a demontré l'existence de telles théories collapsées.

jeudi 20 novembre (à  10h30 à  la Doua en salle 112 du bâtiment Braconnier)
"Definable and constructible properties in algebraic geometry"
Par Ivan Tomasic (IGD)
Abstract : We will give an introduction to van den Dries/Schmidt nonstandard method of obtaining bounds in polynomial ideals, and the relevance of these for constructibility and definability of certain properties of algebraic varieties and maps between them. We will also compare this "head-on" approach to somewhat more subtle methods of algebraic geometry.

jeudi 13 novembre (à  10h30 à  la Doua en salle 112 du bâtiment Braconnier)
"On elimination of imaginaries for generic omega-stable models."   
Par Viktor Verbovskiy (Almaty)
Abstract : We will discuss if a generic model admits elimination of imaginaries. In particular, we show a sufficient condition guaranteeing that an elementary theory of a generic omega-stable structure in an arbitrary relational language obtained by the Hrushovski's construction does not admit elimination of imaginaries.


jeudi 6 novembre (à  10h15 à  la Doua en salle 112 du bâtiment Braconnier)
"Les modèles ayant (*) dans le cas de la théorie des groupes et de la théorie des groupes commutatifs."   
Par Abderezak Ould Houcine (Paris 7)
Résumé : On donnera quelques nouvelles propriétés des groupes de type fini ayant un problème des mots résoluble. On donnera aussi la forme générale des groupes commutatifs ayant la propriété (*) dans la théorie des groupes commutatifs.

jeudi 30 octobre (à  10h30 à  la Doua en salle 110 du bâtiment Braconnier)
"Quelques propriétés des modèles qui se plongent dans tous les modèles existentiellement clos."
Par Abderezak Ould Houcine (Paris 7)
Résumé : On dit d'un modèle M d'une théorie T (dénombrable) qu'il a la propriété (*) s'il existe une théorie existentielle P telle que M se plonge dans tout modèle de T qui vérifie P. On s'intéresse aux modèles de type fini ayant (*)  et leurs plongements dans les modèles e.c.  On s'intéresse aussi aux modèles qui ne sont pas de type fini et on donnera une propriété qu'ils vérifient dans le cas o๠T a la propriété d'amalgamation.

jeudi 23 octobre (à  10h15 à  la Doua en salle 112 du bâtiment Braconnier)
"Quelques remarques sur les existentiellement clos chez les groupes aux centralisateurs abéliens et autonormalisants."
Par Eric Jaligot (Paris 7)
Résumé: La classe des groupes aux centralisateurs abéliens et autonormalisants est universelle. Je discuterai de la structure algébrique interne des existentiellement clos de cette classe.


jeudi 16 octobre (à  10h15 à  la Doua en salle 112 du bâtiment Braconnier)
"Une caractérisation de PSL_2."
Par Tuna Altinel (IGD)
Résumé:  Je parlerai d'une caractérisation de PSL_2(K) en caractéristique 2 qui s'avère utile dans l'étude des groupes simples de rang de Morley fini de type pair.


jeudi 9  octobre (à  10h15 à  la Doua en salle 112 du bâtiment Braconnier)
" Elimination des quantificateurs en arithmétique."
Par Vincent Clapies (ENS)

Résumé: Nous montrerons que la structure $(\nn,+,0,1,{\cal F},=)$, o๠${\cal F}$ est un ensemble fini de fonctions, constantes et relations, n'élimine pas les quantificateurs. Ensuite nous étudierons les structures qui ``contiennent'' $(\nn,+,0,1,=)$ et qui éliminent les quantificateurs.


 jeudi 2  octobre (à  10h15 à  la Doua en salle 112 du bâtiment Braconnier)
"Transformations."
Par Bruno Poizat (IGD)
Résumé:  Dans sa thèse, Bagheri a introduit la notion de transformation: si M est une structure, une autotransformation de M est une bijection de M sur M qui, pour chaque entier n, permute les parties définissables de M^n. En attendant qu'il soit là , je vais vous exposer les deux ou trois choses  immédiates qu'on peut dire de cette notion.




jeudi 25  septembre  (à  10h15 à  la Doua en salle 110 du bâtiment Braconnier)

"Groupes définissables dans les corps séparablement clos: ce qu'on sait et ce qu'on ne sait pas."
Par Elisabeth Bouscaren (Paris 7)

Résumé:  De nombreuses questions qu'on sait resoudre dans le cas des groupes superstables sont encore ouvertes dans le cas stable non superstable: existence d'un sous-groupe abélien définissable infini, rapport entre simplicité et définissable simplicité par exemple.
La classe des groupes définissables dans les corps separablement clos est un bon test pour ces questions.
nous rappelerons tout d'abord ce que l'on sait sur ces groupes et les propriétés qu'ils heritent des groupes algébriques. Puis nous indiquerons quelles questions restent ouvertes.



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