Sur les groupes CSA superstables

Abderezak OULD HOUCINE

Objectif global : Comprendre les propriétés locales des groupes simples de rang de Morley fini, plus particulièrement dans le cas des groupes CSA.

Théorème 1 Soit G un groupe superstable. Soit H un sous-groupe ⋀-définissable infini n’ayant pas de sous-groupe normal abélien (non-trivial). Alors H a un sous-groupe infini simple et définissable dans G.

On aura besoin du

Théorème 2 [F.Wagner, Stables groups.]

• Soit G un groupe sous-stable n’ayant pas de sousgroupe normal abélien (non-trivial). Alors tout sousgroupe normal de G n’a pas non plus de sous-groupe normal abélien (non-trivial).

• Un sous-groupe simple ⋀-définissable d’un groupe superstable est définissable.

Les groupes CSA

• Un groupe G est dit CSA si le centralisateur de tout élément non-trivial est abélien et autonormalisant.

• La classe des groupes CSA est axiomatisable par :

(i) ∀x∀y∀z (x ≠ 1 ∧ [x, y] = 1 ∧ [x, z] = 1) ⇒ [y, z] = 1. (ii) ∀x∀y (x ≠ 1 ∧ [x, x^{y}] = 1) ⇒ [x, y] = 1. Donc un sous-groupe d’un groupe CSA est CSA.

• Un groupe CSA non-abélien n’a pas de sous-groupe normal abélien non-trivial.

• Un groupe CSA et résoluble-par-fini est abélien. En particulier un groupe fini et CSA est abélien.

Exemples :

• Les groupes abéliens, les groupes libres,

• les groupes hyperboliques sans-torsion,

• les groupes qui agissent librement sur les Λ-arbre,

• les modèles de la théorie universelle des groupes libres,

• les mauvais groupes simples de rang de Morley 3.

Théorème 3 Tout groupe CSA non-abélien et superstable possède un sous-groupe définissable simple infini dont tout sous-groupe propre et définissable est abélien.

Corollaire : Un groupe CSA, supertsbale et résiduellementfini est abélien. □

Problème 1 Peut-on dire la même chose pour les groupes locallement-résiduellement-fini ?

Groupes de type fini fortement déterminés

Définitions : Soit T une théorie dénombrable universelle.

• Une formule ψ(x̄) est dite atomique-complète ( relativement à T) si T ∪ {∃x̄ψ(x̄)} est consistante et pour toute formule atomique ϕ(x̄) on a :

T ⊢ ∀x̄(ψ(x̄) ⇒ ϕ(x̄)) ou T ⊢ ∀x̄(ψ(x̄) ⇒ ¬ϕ(x̄)).

• Un modèle M de T de type fini est dit fortement déterminé s’il existe une formule sans-quantificateurs et atomique-complète ψ(x̄) et un uplet générateur ā de M tels que M ⊧ ψ(ā).

• Un modèle M de T est dit localement-fortement-déterminé si pour tout sous-modèle de type fini A de M il existe un modèle B fortement déterminé tel que A ≤ B ≤ M.

Exemples :

• Si T = la théorie des groupes :

- Les groupes finis sont fortement déterminés,

- Les groupes de présentation fini et simple le sont aussi.

• Si T = la théorie des groupes abéliens : un groupe est fortement déterminé ssi il est fini.

• Si T = la théorie universelle des groupes libres :

- Un groupe fortement déterminé est libre,

- F_{2} est fortement déterminé et on peut prendre pour ψ la formule [a, b] ≠ 1.

Théorème 4 Soit T une théorie universelle dénombrable et consistante.

(1) Supposons que T vérifie : (*) pour toute formule sans-quantificateurs ϑ(x̄) telle que T ∪ {∃x̄ϑ(x̄)} est consistante, il existe une formule sans-quantificateurs et atomique-complète ψ(x̄) telle que T ⊢ ∀x̄(ψ(x̄) ⇒ ϑ(x̄)).

Alors pour toute suite de types universelles (p_{n} : n < ω) non-principaux, T a un modèle dénombrable existentiellement clos et localement fortement déterminé qui omet chaque p_{n}.

(2) Si T a au plus ℵ_{0} modèles de type fini alors T vérifie (∗).

Remarques :

• La théorie universelle des groupes libres non-abéliens a exactement ℵ_{0} modèles de type fini.

• La théorie universelle d’un groupe ω-stable a au plus ℵ_{0} modèles de type fini.

Modèles de la théorie universelle des groupes libres non-abéliens.

Théorème 5 Un modèle de la théorie universelle des groupes libres non-abéliens n’est pas simple.

On note Γ la théorie des groupes libres non-abéliens. Γ a exactement ℵ_{0} modèles de type fini. Première démonstration : Soit, pour chaque suite σ = (σ_{1}, …, σ_{n}) de nombres ±1, la formule

ψ_{σ}(x, y) = ∀z_{1} … ∀z_{n}(x ≠ (y^{σ_{1}})^{z_{1}} … (y^{σ_{n}})^{z_{n}})

et soit

p(x, y) = {ψ_{σ}(x, y) : σ est une suite de nombres ±1}

∪{y ≠ 1}

Alors un modèle qui omet p est simple. Supposons que p n’est pas principal. Alors d’après le théorème 4, il existe un modèle localement libre qui omet p, donc un modèle localement libre et simple. Cela contredit le résultat de Fouxe-Rabinovitch qui dit qu’un groupe localement libre n’est pas simple. Donc p n’est pas principal. D’où il existe une formule existentielle ϕ consistante avec Γ telle que tout modèle de Γ qui vérifie ϕ réalise p. Donc tout modèle de ϕ contient deux éléments a, b tels que a n’est pas dans la clôture normale de b. Si M est un modèle non-abélien de Γ alors M vérifie ϕ est donc il n’est pas simple. Seconde démonstration : On utilise directement l’argument de Fouxe-Rabinovitch qui se base sur le théorème suivant :

Théorème 6 (Karrass-Magnus-Solitar)

Soit G = ⟨X|r^{n}⟩ où n ≥ 2 et r ≠ 1 dans le groupe libre de base X et r n’est pas une puissance propre. Alors l’ordre de r dans G est n. En particulier r ≠ 1 dans G. □

Donc pour tout élément non-trivial a, a n’est pas dans la clôture normale de a^{2} dans un groupe libre, et cela était l’argument de Fouxe-Rabinovitch pour démontrer qu’un groupe localement-libre n’est pas simple. Mais la propriété : pour tout a ≠ 1 a n’est pas dans la clôture normale de a^{2} est exprimable par des formules universelles du premier ordre, d’où le résultat. □

Remarques

On a

Théorème 7 Soit G un groupe ω-stable et simple. Soit T = T h_{∀∃}(G). Alors T a un modèle existentiellement clos localement-fortement-déterminé et simple.

Ce qui conduit à :

Problème 2 : Quels sont les groupes G qui vérifient :

- G est CSA et simple,

- G est localement-fortement-déterminé et e.c. par rapport à sa théorie ∀∃.

Rang sans-quantificateurs

Rang de Morley : Définitions Soit M une L-structure et ϕ(x̄) une L_{M}- formule.

(1) On définit RM_{qf}^{M}(ϕ) le rang de Morely sq de ϕ dans M. On définit par induction RM_{qf}^{M}(ϕ) ≥ α sur les ordinaux α comme suit :

• RM_{qf}^{M}(ϕ) ≥ 0 ssi ϕ(M) n’est pas vide.

• Si α est un ordinal limite, alors RM_{qf}^{M}(ϕ) ≥ α ssi RM_{qf}^{M}(ϕ) ≥ β pour tout β < α.

• RM_{qf}^{M}(ϕ) ≥ α + 1 ssi il existe des L_{M}-formules sansquantificateurs ψ_{1}(x̄), ψ_{2}(x̄), … telles que ψ_{1}(M), ψ_{2}(M), … est une famille infinie deux à deux disjointe de ϕ(M) et RM_{qf}^{M}(ψ_{i}) ≥ α pour tout i.

• RM_{qf}^{M}(ϕ) = −1 si ϕ(M) = ∅,

• RM_{qf}^{M}(ϕ) = α si RM_{qf}^{M}(ϕ) ≥ α et RM_{qf}^{M}(ϕ) ≱ α + 1,

• RM_{qf}^{M}(ϕ) = ∞ si RM_{qf}^{M}(ϕ) ≥ α pour tout ordinal α.

(2) On définit RM_{∗}^{M}(ϕ) par RM_{qf}^{N}(ϕ) où N est une extension élémentaire ℵ_{0}-saturée de M.

(3) On définit RM(M)=RM_{∗}^{M}(x = x)

Proposition 8 Soit G un groupe ω-stable. Alors tout sous-groupe de G a un rang de Morley sans-quantificateur ordinal.

Exemples :

• Les groupes linéaires ont un rang sans-quantificateur ordinal. En particulier un groupe libre dénombrable a un rang sans-quantificateur ordinal.

• Un groupe CSA^{∗} existentiellement clos a un rang ∞.

Théorème 9 Soit G un groupe de rang de Morley sans-quantificateurs ordinal.

(1) Soit H ≤ G un sous-groupe q-f-définissable. Alors RM_{H}^{∗}(H) = RM_{G}^{∗}(H), deg_{G}^{∗}(H) = deg_{H}^{∗}(H) et :

(i) si [G : H] est infini alors RM_{H}^{∗}(H) < RM_{G}^{∗}(G), (ii) si 1 < [G : H] < ℵ_{0} alors RM_{G}^{∗}(H) = RM_{G}^{∗}(G), deg_{G}^{∗}(G) = [G : H]deg_{G}^{∗}(H).

(2) Il n’existe pas de suite descendente de sousgroupes q-f-définissables.

(3) si {H_{i} : i ∈ I} est une collection de groupes q-f-définissable alors il existe I_{0} ⊆ I fini tel que ⋂_{i∈I} H_{i} = ⋂_{i∈I_{0}} H_{i}.

(4) si A ⊆ G alors le centralisateur C(A) est q-f-définissable. En particulier Z(G) est q-f-définissable.

(5) Il existe G_{∗}^{∘} ≤ G le plus petit sous-groupe q-f-définissable d’indice fini de G. En plus G_{∗}^{∘} est normal. On appel G_{∗}^{∘} q-f-composante connexe de G. Si G = G_{∗}^{∘}, on dit que G est q-f-connexe.

Une petite application :

Proposition 10 Tout sous-groupe q-f-définissable d’un groupe libre dénombrable est abélien. Un groupe libre dénombrable est q-f-connexe.

Problème : quel est le rang d’un groupe libre dénombrable ?

Théorème 11 Soit G un groupe ℵ_{0}-saturé et de rang de Morley sans-quantificateurs ordinal. Soit Y ⊆ G un sous-ensemble q-f-définissable. Soit stab_{G}(Y) = {g ∈ G : RM_{G}^{∗}(gY △Y) < RM_{G}^{∗}(Y)}. Alors stab_{G}(Y) est un sous-groupe de G et :

(1) Si Y est générique alors stab_{G}(Y) est d’indice fini dans G.

(2) Si deg_{M}^{∗}(Y) = 1 alors stab_{G}(Y) est q-f-définissable.

Remarque Finale

On a

Théorème 12 Soit G un groupe de rang de Morley fini et simple. Soit T = T h_{∀∃}(G). Alors T a un modèle existentiellement clos localement-fortement-déterminé, simple et de rang sans-quantificateurs fini.

Ce qui conduit à :

Problème : Quels sont les groupes G qui vérifient :

- G est CSA et simple,

- G est localement-fortement-déterminé et e.c. par rapport à sa théorie ∀∃.

- G a un rang de Morley sans-quantificateurs fini.