Thèmes de recherche

Triangulations colorées aléatoires

Colored graph

Les graphes (D+1)-colorés sont des graphes (D+1)-réguliers, munis d'une coloration propre de leurs arêtes avec D+1 couleurs. Pezzana a montré dans les années 1970 que les graphes (D+1)-colorés encodent des structures topologiques linéaires par morceaux (PL). Les variétés PL sont de telles structures, et peuvent donc être décrites avec un vocabulaire venant de la combinatoire et de la théorie des graphes. Cette description a été plus amplement développée par Gagliardi et son groupe, menant notamment à des résultats de classification pour les variétés PL de dimensions 3 et 4 avec un petit nombre de cellules. Outre ces succès en topologie PL, les graphes (D+1)-colorés ont suscité l'intérêt de physiciens théoriciens, à commencer par Gurau à partir de 2010. En effet, ces graphes sont au cœur d'une nouvelle approche de la gravité quantique, les modèles de tenseurs colorés, qui généralise des modèles de matrices en dimensions supérieures. L'étude de distributions de probabilité sur les graphes (D+1)-colorés permet donc de définir des espaces PL aléatoires, et aussi de mieux comprendre l'espace-temps quantifié décrit par les modèles de tenseurs colorés.



Triangulations eulériennes

Eulerian triangulation

En dimension 2, les graphes 3-colorés sont duaux des triangulations eulériennes, c'est-à-dire des cartes dont toutes les faces sont des triangles, qu'on peut proprement bicolorer (en noir et blanc par exemple). Les triangulations eulériennes, par leur structure bicolorée, sont des objets plus complexes que d'autres familles de cartes comme les triangulations quelconques ou les quadrangulations. Une autre partie de ma recherche est consacrée à l'étude des triangulations eulériennes planes et d'autres familles de cartes qui leur sont associées.