Gérard Besson (Grenoble 1), « Courbure de Ricci et rigidité »
Résumé :

Michaël Bulois (Brest), « Nappes des algèbres de Lie symétriques »
Résumé : Si g est une algèbre de Lie et G son groupe adjoint, l'action de G sur g permet de définir une stratification g=⋃_{m ∈ ℕ} g(m) où chaque g(m) est l'union des G-orbites de dimension m. Les nappes sont alors définies comme étant les composantes irréductibles de ces sous-variétés g(m). Les nappes apparaissent naturellement dans l'étude de certaines propriétés géométriques des algèbres de Lie et une bonne description de ces objets est très utile à ce titre. Par ailleurs, la notion de nappe se généralise très bien dans le cadre des algèbre de Lie symétriques. Cependant, La littérature est très peu fournie dans ce contexte-là. J'essaierai de présenter quelques résultats et quelques applications obtenus récemment sur ces nappes des algèbres de Lie symétriques.

Pierre-Henri Chaudouard (Paris 11), « Géométrie de la fibration de Hitchin tronquée »
Résumé : Selon une stratégie due à Langlands, les fonctorialités endoscopiques devraient pouvoir se démontrer à l'aide de la formule des traces d'Arthur-Selberg. Il faut auparavant disposer de deux énoncés combinatoires, l'un entre intégrales orbitales et l'autre entre intégrales orbitales pondérées, qui sont le "lemme fondamental" de Langlands-Shelstad et le "lemme fondamental pondéré" d'Arthur. Ngo a démontré le premier par une étude cohomologique de la partie elliptique de la fibration de Hitchin. Avec Gérard Laumon, j'ai étendu la preuve de Ngo au cas pondéré. Dans cet exposé, j'introduirai la variante tronquée de la fibration de Hitchin sur laquelle repose notre démonstration.

François Dahmani (Toulouse 3), « Une propriété de point fixe dans les arbres pour les groupes aléatoires »
Résumé : (avec P. Przytycki et V. Guirardel) Les groupes admettant une action sur un arbre sans point fixe entrent dans le cadre d'étude de la théorie de Bass-Serre, et ont une structure d'amalgame ou d'extension HNN. Lorsqu'on définit « aléatoirement » un groupe de présentation finie (au sens du modèle dit « à densité » de Gromov), on obtient, avec forte probabilité, un groupe dont toutes les actions sur un arbre ont un point fixe global. On en déduit la structure topologique de leur bord à l'infini, ainsi que la finitude de l'ensemble des solutions d'un système d'équations « aléatoire » dans un groupe hyperbolique quelconque.

Jean-François Dat (Paris 6), « Théorie de Lubin-Tate non-abélienne modulo ℓ »
Résumé : En 1999, Harris et Taylor ont montré comment la cohomologie ℓ-adique de certains analogues p-adiques du demi-plan de Poincaré réalise simultanément la correspondance de Langlands et une correspondance de Jacquet-Langlands pour les représentations ℓ-adiques « supercuspidales » de GL_n(F) avec F corps p-adique. Après avoir expliqué tous les termes de la phrase précédente, on présentera un analogue « modulo ℓ » de leur théorème.

Sorin Dumitrescu (Paris 11), « Connexions affines holomorphes sur les variétés complexes compactes »
Résumé : Nous présentons une classification des connexions affines et projectives holomorphes sur les surfaces complexes compactes. Nous exhibons également des variétés complexes compactes qui admettent des connexions affines holomorphes, mais aucune connexion affine holomorphe plate et sans torsion (structure affine complexe).

Laurent Fargues (Paris 11), « Filtration de Harder-Narasimhan des schémas en groupes finis et plats. Application aux espaces de modules p-adiques de variétés abéliennes et de groupes p-divisibles »
Résumé : J'expliquerai ce qu'est la filtration de Harder-Narasimhan des schémas en groupes finis et plats sur un anneau de valuation p-adique. Je montrerai ensuite comment appliquer cela aux groupes p-divisibles afin de définir des stratifications des espaces analytiques p-adiques de variétés abéliennes ainsi que des domaines fondamentaux pour l'action des correspondances de Hecke en p sur ces espaces.

Loïc Foissy (Reims), « Équations de Dyson-Schwinger combinatoires dans les algèbres de Hopf d'arbres »
Résumé : Les équations de Dyson-Schwinger combinatoires sont de la forme X=B⁺(f(X)), où X est une série formelle en les arbres, B⁺ l'opérateur de greffe et f une série formelle. Une telle équation possède une unique solution, engendrant une sous-algèbre de l'algèbre des arbres de Connes-Kreimer. Nous allons caractériser les séries formelles donnant une sous-algèbre de Hopf puis nous donnerons quelques éléments sur les systèmes de Dyson-Schwinger.

Vincent Guirardel (Toulouse 3), « Problème d'isomorphie pour les groupes hyperboliques, et scindements JSJ »
Résumé : Je présenterai une solution au problème d'isomorphie pour les groupes hyperboliques en présence de torsion. Ceci comprend le calcul de certaines structures canoniques naturelles associées à ces groupes : certains espaces de déformations de scindements au-dessus de groupes finis et des décomposition JSJ appropriées. Les décompositions JSJ qu'on est amenés à considérer sont nouvelles et donnent par exemple une décomposition canonique et non triviale des 2-orbifolds à miroirs. C'est un travail en commun avec François Dahmani.

David Hernandez (École polytechnique), « Géométrie du groupe des lacets analytiques »
Résumé : On étudie une notion de « groupe de lacets analytiques », possédant une factorisation de Riemann-Hilbert. Ceci donne un cadre adapté à l'étude des représentations des algèbres affines quantiques aux racines de l'unité. En effet on construit par triplet de Manin une structure naturelle d'algèbre de Hopf-Poisson sur l'anneau de coordonnées, ce qui donne une réalisation géométrique du centre de l'algèbre quantique. Comme application on obtient une paramétrisation des feuillets symplectiques, ainsi que de classes d'équivalence de représentations, par certains G-fibrés sur une courbe elliptique. Il s'agit d'un travail en commun avec C. De Concini et N. Reshetikhin.

Pascal Hivert (Versailles-Saint Quentin), « Equations définissant certaines compactifications merveilleuses plongée dans une grassmannienne »
Résumé : De Concini et Procesi ont défini la compactification merveilleuse de l’espace symétrique G/H , où G est un groupe semi-simple algébrique, et H est le sous-groupe des points fixes par une involution σ. Nous rappelerons les propriétés de cette compactification. Pour une algèbre de Lie simple g, les équations définissant la compactification merveilleuse de rang maximum sous son groupe adjoint G de g dans un grassmanienne convenable de g sont linéaires. Nous introduirons une variété dont les points sont des sous-espaces vectoriels de g où s’annule la forme trilinéaire invariante de g, w = κ([., .], .), (κ la forme de Killing). Dans le cas de sl(3), la compactification merveilleuse correspond aux coniques complètes.

Benoît Kloeckner (Grenoble 1), « Espace de Chabauty de ℝⁿ »
Résumé : L'ensemble des sous-groupes fermés d'un groupe de Lie est naturellement muni d'une topologie, introduite par Chabauty pour généraliser le critère de compacité de Mahler. On ne connais la topologie de cet espace de Chabauty que pour une poignée de groupes ; en particulier on ne sait presque rien dans le cas de ℝⁿ si n>2. L'objectif de l'exposé est d'expliquer en quoi l'espace de Chabauty de ℝⁿ, à défaut d'être une variété, est un espace assez docile (c'est un espace stratifié) et de montrer qu'il est simplement connexe.

Michaël Le Barbier (MPI Bonn), « Une famille universelle pour les sous-groupes connexes d'un groupe algébrique complexe »
Résumé : Je montre comment construire une famille universelle pour les sous-groupes connexes d'un groupe algébrique. Je montre sur l'exemple de SL₃ l'allure de l'espace de modules correspondant puis présente les théorèmes qui rendent possible la construction proprement dite : ils sont de deux sortes. La première comprend des théorèmes, disons « d'approximation », selon lesquels il suffit de construire la famille universelle sur une partie de l'espace de modules pour la définir partout. La deuxième comprend des théorèmes de semi-continuité pour certains invariants des groupes. Couplés aux premiers, ces derniers permettent de contourner les difficultés liées à l'analyticité de l'exponentielle pour construire effectivement une famille universelle.

Ivan Marin (Paris 7), « Algèbres de Hecke infinitésimales »
Résumé : La construction par monodromie des représentations des algèbres de Hecke (cyclotomiques) associées à un groupe de réflexions complexes fait naturellement apparaître une algèbre de Lie réductive complexe. Nous montrerons comment interpréter cette algèbre de Lie et décrirons sa structure. Elle admet une forme compacte naturelle qui est reliée à l'unitarisabilité des représentations de ces algèbres de Hecke.

Claire Levaillant (Caltech), « Réductibilités des représentations de Krammer en type A et D et semisimplicité des algèbres de Birman-Murakami-Wenzl dites algèbres BMW »
Résumé : L'algèbre BMW est une déformation de l'algèbre de Brauer. Elle dépend de deux paramètres l et m et est définie sur le corps ℚ(l,m). Ses générateurs sont ceux du groupe de tresses. Il est connu que l'algèbre BMW est génériquement semisimple. Dans cet exposé, on construit une représentation du groupe de tresses qui se factorise par l'algèbre BMW. On utilise cette représentation pour montrer que lorsque les paramètres l et m prennent certaines valeurs complexes, l'algèbre BMW n'est plus semisimple. La représentation construite est équivalente à la représentation de Krammer. Elle nous permet de donner un critère de réductibilite pour la représentation de Krammer. Cette dernière représentation devenue célèbre servit à montrer la linéarité du groupe de tresses en 2001 (Bigelow et indépendamment Krammer lui-même). On généralise ces résultats au type de Coxeter D.

Nadir Matringe (Norwich), « Fonctions L et problèmes de distinction »
Résumé : Soit G un groupe réductif p-adique et H un sous-groupe fixe par une bonne involution. On dit qu'une représentation π de G est H-distinguée si elle admet sur son espace une forme linéaire H-invariante non nulle. On sait parfois définir pour des représentations irréductibles de G une fonction L dont le comportement analytique est controlé par la restriction à H de ces représentations. On s'intéressera en particulier au cas où G est le groupe linéaire général sur un corps p-adique, H est le sous-groupe des points fixes d'une involution galoisienne, et L la fonction L d'Asai définie à la Rankin Selberg. On montrera dans ce cas comment la classification en termes de séries discrètes des représentations génériques H-distinguées de G permet d'obtenir l'inductivité de la fonction L d'Asai.

Antoine Mériaux (Reims), « Diagrammes de Cauchon des algèbres enveloppantes quantifiées et groupe de Weyl »
Résumé : Les diagrammes de Cauchon (appelés diagrammes admissibles par Cauchon) ont été introduits dans le cadre de la théorie de l'effacement des dérivations. Cette théorie permet, pour certaines algèbres non commutatives, de donner une description combinatoire de la H-stratification du spectre premier au sens de K. Goodearl et E. Letzter.
Dans le cas de U_q(g) (algèbre enveloppante quantifiée associée à une algèbre de Lie simple complexe g), on a démontré qu'il existe une bijection naturelle entre les diagrammes de Cauchon de U[w] (sous-algèbre de U_q(g) associée à l'élément w du groupe de Weyl W) et W^{≤ w} = { u ∈ W | u ≤ w }. On explicitera cette bijection dans le cas général ainsi qu'un moyen d'obtenir explicitement les diagrammes de Cauchon pour l'algèbre U⁺_q(g) toute entière et certaines décompositions particulières de w₀ (élément de plus grande longueur de W).
On présentera enfin un moyen combinatoire d'exprimer cette bijection en utilisant des tresses planes dans le cas où g est de type A_n, B_n, C_n ou D_n et w = w₀.

Frédéric Palesi (Grenoble 1), « Composantes connexes des espaces de représentations de groupes de surfaces »
Résumé : Lorsque π est un groupe de surface et G un groupe de Lie, l'espace des représentations Hom(π , G) joue un rôle fondamental dans l'étude des structures géométriques sur la surface. Dans cet exposé, nous discutons de la topologie de cet espace et en particulier le nombre de composantes connexes, pour différents groupes de Lie. Lorsque G est compact, le nombre de composantes connexes ne dépend que du groupe fondamental de G et l'action naturelle du groupe modulaire est ergodique sur chacune des composantes. A l'opposé, lorsque G est PSL(2,ℝ) un résultat classique de Goldman nous dit que pour une surface orientable de genre g, l'espace des représentations possède 4g-3 composantes connexes, et sur certaines de ces composantes, l'action est propre. Nous étendons ce résultat aux surfaces non-orientables en montrant que l'espace des représentations n'a que 2 composantes connexes dans ce cas.

Yann Palu (Paris 7), « Interprétation K-théorique de la règle de mutation de Fomin-Zelevinsky »
Résumé : La mutation des carquois est un ingrédient essentiel à la définition des algèbres amassées de S. Fomin et A. Zelevinsky. Je rappellerai la définition de cette mutation et l'illustrerai par des exemples simples. J'expliquerai ensuite ce qu'est une algèbre amas-basculée et décrirai une forme bilinéaire antisymétrique définie sur le groupe de Grothendieck d'une telle algèbre. Enfin, je montrerai comment cette forme peut être utilisée pour interpréter la mutation de Fomin-Zelevinsky en termes K-théoriques. Si le temps le permet, je dirai quelques mots sur une généralisation partielle au cadre d-Calabi-Yau.

Olivier Schiffmann (Jussieu), « Un exemple de dualité de Langlands géométrique »
Résumé : Nous construisons une action de l'algèbre de Cherednik (sphérique) associée à GL(∞) dans les groupes de K-théorie des schémas de Hilbert de points du plan complexe. Nous expliquerons comment interpréter ceci en terme de dualité de Langlands géométrique pour les courbes elliptiques, et comment généraliser cet énoncé à toutes les courbes.