Résumé :
Cet exposé sera une introduction à la cohomologie d'intersection des
variétés de Schubert en caractéristique p.
Beaucoup de problèmes importants en théorie des représentations modulaires se traduisent dans le langage de la cohomologie d'intersection en caractéristique p. J'espère expliquer cela, donner quelques exemples et évoquer un travail récent en collaboration avec Daniel Juteau et Peter Fiebig sur le p-lieu lisse des variétés de Schubert.
Résumé : Soit G un groupe algébrique semi-simple connexe et simplement connexe sur un corps algébriquement clos, et g son algèbre de Lie. Dans cet exposé, nous présenterons une preuve du fait que, si la caractéristique du corps est assez grande, les blocs de l'algèbre enveloppante restreinte de g peuvent être munis d'une graduation de Koszul. L'outil principal de cette preuve est la théorie de la localisation en caractéristique positive.
Résumé : On va présenter deux interprétations de la fonction de dilogatrithme. Le dilogarithme classique peut être considéré comme une fonction de recollement qui définie un fibré en droites de préquantification sur une variété cluster. Des exemples des variétés cluster considerés incluent des espaces de Teichmueller et des groupes de Lie simples. Le dilogarithme quantique est une fonction méromorphe qui définit le noyau d'un opérateur intégral réalisant une représentation de l'algèbre des fonctions quantifiée par déformation sur la variété cluster duale.
Résumé : Il existe une classification des sous-groupes algébriques connexes maximaux du groupe des transformations birationnelles (groupe de Cremona) du plan et de l'espace. Je présenterai le cas non-connexe et exposerai la classification des sous-groupes algébriques maximaux du groupe de Cremona du plan. Ceci se fera du point de vue récent de la théorie de Mori et du programme de Sarkisov équivariants.
Résumé : Soit G un groupe algébrique complexe réductif qui opère fidèlement sur une variété X lisse et complète. Si l'action est transitive, c'est-à-dire si X est une «variété de drapeaux généralisée», alors un résultat de Demazure montre que G est égal à la composante neutre du groupe des automorphismes de X, sauf pour quelques cas bien connus. Dans l'exposé nous verrons une généralisation de ce résultat au cas où X est une variété magnifique.
Résumé : Etant donnée une famille de fonctions complexes analytiques en 0 (de Cn) parametrée par un espace lisse, nous étudions le polynome de Bernstein de la fibre sur une variété irréductible V de l'espace des paramètres et nous montrons qu'il est génériquement constant. Nous montrons que ce polynome b satisfait une équation fonctionnelle générique sur V et l'on dérive une stratification constructible de l'espace des paramètres par le polynome de Bernstein de la fibre. Lorsque l'hypersurface admet génériquement une singularite unique en 0, nous montrons que b est le polynome de Bernstein générique au sens de Briancon-Geandier-Maisonobe. Les outils utilisés sont une généralisation formelle d'un algorithme de Oaku calculant le polynome de Bernstein local et les bases standard à paramètres.
Résumé : We consider natural algebraic differential operations acting on tensor fields on smooth manifolds. We introduce a method of study and classification of such operations called IT-reduction. It reduces the study of natural operations to the study of polynomial maps between (vector) spaces of jets which are equivariant with respect to certain algebraic groups. Using the IT-reduction, we obtain short and conceptual proofs of some known results on the classification of natural operations (the Schouten theorem, etc) together with new results including a finiteness theorem for natural differential operations of bounded order and the non-existense of a universal deformation quantization on Poisson manifolds (joint work with P.I. Katsylo).
Résumé : On considère X l'espace des formes alternées sur CN (N pair) sur lequel opère le groupe GLN(C) avec N + 1 orbites. On se propose de classer les DX-modules holonômes réguliers dont la variété caractéristique est contenue dans la réunion des fibrés conormaux de ces orbites. Ou, de façon à peu près équivalente, ceux qui possèdent une bonne filtration stable par les générateurs infinitésimaux de GLN(C). Il y a une algèbre naturelle associée à cette situation : l'algèbre (graduée) A des opérateurs différentiels sur X (invariants par GLN(C)) opérant sur les polynômes du pfaffien. Le résultat principal dit quil y a une équivalence entre la catégorie des DX-modules h.r. comme ci-dessus et celle des A-modules gradués de type fini. Cette dernière catégorie se décrit comme une catégorie «élémentaire» despaces vectoriels et d'applications linéaires satisfaisant certaines relations (carquois).
Résumé : Cet exposé a pour but de présenter un travail effectué en commun avec Phung Ho Hai et Martin Lorenz (N-homogeneous superalgebras, J. Noncommutative Geometry, 2008). J'expliquerai comment la propriété de Koszul généralisée des superalgèbres permet de démontrer des généralisations du «MacMahon Master Theorem», important résultat de combinatoire.
Résumé : Admissible modules for affine Lie algebras were introduced by V. Kac and M. Wakimoto in 1988. These are simple hightes weight modules with a non-critical highest weight which is «enough integral» and maximal in its orbit. In my talk I will discuss different results, old and new, about admissible modules.
Abstract: I will describe the concept of Lie pseudoalgebra and explain how it is related to representations of (simple) linearly compact Lie algebras. The goal of the talk is to generalize the concept of representation of a pseudoalgebra so as to treat other cases such as the Lie algebras of formal functions with respect to the Poisson bracket and (hopefully) linearly compact Lie superalgebras. This involves some Hopf-theoretic constructions.
Résumé : Dans son article «Homologies associated with Poisson structures» (Deformation theory and symplectic geometry, 1996), Oliver Mathieu définit, pour les variétés de Poisson, une homologie dépendant d'un paramètre τ∈PC1. Lorsque τ=∞, cette homologie devient l'homologie de Poisson classique. Nous déterminons l'homologie de Poisson classique, ainsi que cette homologie de Poisson à paramètre pour des familles de variétés de Poisson en dimensions trois. Pour chaque polynome φ∈F[x,y,z], (quasi)-homogène, à singularité isolée, nous considé;rons en effet l'espace affine de dimension 3 F3, équipé de la structure de Poisson donnée par les trois dérivées partielles de φ et nous donnons alors les résultats d'homologie de Poisson, classique à paramètre, pour cette variété de Poisson.
Résumé :
La variété duale à une variété
projective peut être considérée comme une
manière de récupérer celle-ci à partir de la
donnée des hyperplans tangents à la
variété ; elle est une généralisation
de la transformée de Legendre de la mécanique classique
vers la géométrie algébrique.
De façon générale, si X⊆P(V) est une
variété projective, alors la variété duale
associée Xv⊆P(V*) est une
variété de codimension 1 on dit que X est
défective si codim(X)≠1. Une variété
autoduale est une variété X telle que X est isomorphe
à Xv comme variétés immergées
dans des espaces projectifs.
Ein a établi la liste des variété lisses
autoduales ; cette liste contient toutes les hypersurfaces lisses
et une petite liste d'autres exemples. Dans cet exposé, on
montrera comment classifier les variétés toriques
projectives qui sont autoduales ; l'étude de cette famille
est reliée à l'étude des A-discriminants (Gelfand,
Kapranov, Zelevinsky).
Soit T un tore algébrique et V un T-module rationnel de dimension
finie. Soit X⊆P(V) l'adhérence d'une T-orbite dans
P(V) -une variété torique projective. On
établira, en fonction des données combinatoires
associées à X, quand est-ce que X est autoduale. De cette
façon, on construira une large famille d'exemples de
variétés autoduales.
Ceci est un travail en collaboration avec M. Bourel et A. Dickenstein.
Résumé :
An affine Hecke algebra associated to a root datum is
a q-analogue of its affine Wely group. In general, it admits several (up
to three) parameters. The classification of irreducible representations
of affine Hecke algebras with equal-parameters is given by
Kazhdan-Lusztig (and Ginzburg) as a modification of the
Deligne-Langlands conjecture. Their approach is based on the geometry of
the nilpotent cone of the corresponding Lie algebra over complex
numbers. This approach is later deepened by Lusztig in order to deduce
similar results for (various) integrally-weighted one-parameter cases.
In this talk, we present a geometric realization of an affine Hecke
algebra H of type C with three parameters by replacing the nilpotent
cone of the Lie algebra with a certain Hilbert nilcone of a symplectic
group in the Kazhdan-Lusztig construction. This enables us to present a
Deligne-Langlands type classification of simple modules of H when the
parameters are sufficiently good. (The title Deligne-Langlands
means that our classification looks unmodified when compared with the
Kazhdan-Lusztig theorem.)
Soit X le produit direct de deux grassmanniennes des sous-espaces de dimensions m et n d'un espace vectoriel V. Nous étudions la décomposition de X en orbites sous l'action d'un sous-groupe de Borel B de GL(V) qui opère diagonalement dans X. Cette décomposition ressemble beaucoup à la décomposition de Schubert pour les grassmanniennes et les variétés de drapeaux ; son étude fait partie du programme sur les «variétés de drapeaux multiples» due à Magyar, Weyman et Zelevinsky. Nous obtenons un critère pour l'inclusion d'une orbite dans l'adhérence d'une autre orbite, et nous construisons des résolutions des adhérences de ces orbites, analogues aux désingularisations de Bott-Samelson des variétés de Schubert.
Résumé : Soit G un sous-groupe réductif connexe d'un groupe complexe réductif et connexe G'. On s'intéresse aux représentations irréductibles V(λ) de G qui apparaissent dans une représentation irréductible donnée V(λ') de G'. Plus précisément, on considère le cône convexe C engendré par les paires de poids dominants (λ,λ') comme ci-dessus. Berenstein et Sjamaar ont donné une liste redondante d'inégalités caractérisant C. On donne ici une liste presque minimale. On s'intéressera aussi aux faces de C de codimension supérieure à deux.
Résumé : Exposé préparatoire à l'exposé de Daniel Juteau du 15 novembre.
Jeudi 1er novembre : férié
Résumé : A finite partially ordered set (poset) X
is endowed with a natural topology allowing one to identify the
following three kinds of objects: sheaves of vector spaces, commutative
diagrams of vector spaces whose shape is the Hasse diagram of X, and
modules over the incidence algebra of X.
Two posets are said to be derived equivalent if their bounded derived
categories of sheaves are equivalent as triangulated categories. This
leads to an equivalence relation between posets, which is strictly
coarser than isomorphism, but still fine enough to be
interesting. However, there is no known algorithm that determines for
two posets whether they are derived equivalent or not.
In this talk I will explain the above notions and present several new
constructions producing derived equivalences between posets, and more
generally, between triangular matrix algebras. I will also outline
applications to the posets of tilting modules and cluster tilting
objects of path algebras of quivers without oriented cycles.
Résumé : Daan Krammer a montré en 2000, par des voies algébriques, que le groupe des tresses à n brins est linéaire ; Luis Paris a généralisé cela en 2002 à tous les monoïdes d'Artin-Tits de type simplement lacé et sans triangle. On rappellera dans un premier temps la construction de la représentation de Luis Paris et la preuve --très courte-- de sa fidélité obtenue par Jean-Yves Hée. On utilisera dans un second temps ces considérations pour construire des représentations «à la Krammer» de certains monoïdes d'Artin-Tits de type non simplement lacé, généralisant ainsi des premiers résultats dans ce sens par François Digne.
Résumé : Reineke introduced a multiplicative
structure on closed irreducible sets in the representation variety of
quivers. He called this the generic extension monoid.
On the other hand there is a multiplication on isomorphism classes given
by counting points over finite fields, the Hall algebra. If one takes
the generic version of this algebra then it is isomorphic to a twisted
version of the quantized universal enveloping algebra of the Lie algebra
of the same type.
In my talk I will explain these two structures and show the relations
between them.
Organisation du séminaire : Philippe Caldero, Frédéric Chapoton, Jérôme Germoni, Alexis Tchoudjem. Maintenance de la page web : Jérôme Germoni.
Ce séminaire participe à l'ACM.
Thème Algèbre, géométrie et logique à l'Institut Camille Jordan
Années antérieures : 2006-2007, 2005-2006, 2004-2005, 2003-2004 et 2002-2003.