Groupe de travail
Algèbres à clusters

Le jeudi à 14h30, salle 112,
bâtiment Braconnier (ex 101)
Accès

Depuis l'article fondateur de S. Fomin et A. Zelevinsky en 2001, la théorie des algèbres à clusters est devenue un sujet en pleine expansion, et dépasse largement le domaine de l'algèbre.
On peut en effet rencontrer des structures de Clusters dans des domaines aussi divers que :

• la théorie des représentations (base canonique, représentations de carquois, algèbres de fonctions sur les doubles cellules de Bruhat) ;
• la combinatoire (polytopes de Stasheff généralises, variétés toriques) ;
• La physique mathématique (conjecture de Zamolodchikov, géométrie de Poisson) ;
• la topologie (espaces de Teichmüller).

Le but du groupe de travail est d'étudier, d'une part les théorèmes de classification connus sur les algèbres à clusters, et d'autre part leurs connexions avec les sujets que nous venons de citer (au pro rata de l'intérêt des participants).

• Jeudi 2 octobre : Jérôme Germoni, IGD :
  "Introduction aux algèbres à clusters I."
  suivi d'une réunion courte et joyeuse. Notes d'exposé
• Jeudi 9 octobre : Jérôme Germoni, IGD :
  "Introduction aux algèbres à clusters II." Notes d'exposé
• Jeudi 23 octobre : Jérôme Germoni, IGD :
  "Introduction aux algèbres à clusters III."
• Jeudi 6 novembre : Frédéric Chapoton, IGD :
  "Algèbres à clusters de type fini."
• Jeudi 27 novembre : Frédéric Chapoton, IGD :
  "Algèbres à clusters de type fini (suite)."
• Jeudi 04 décembre : Lionel Richard, IGD :
  "Algèbres à clusters de rang 2."
• Jeudi 11 décembre : Lionel Richard, IGD :
  "Algèbres à clusters de rang 2 (suite)."
• Jeudi 18 décembre : Philippe Caldero, IGD :
  "Clusters et doubles cellules de Bruhat."
• Jeudi 5 février : Bernard Leclerc, Caen :
  "Algèbres à clusters et base canonique duale."
• Jeudi 25 mars : Vladimir Fock, ITEP Moscou :
  "Espaces de Teichmüller comme variétés cluster I"
• Jeudi 1er avril : Vladimir Fock, ITEP Moscou :
  "Espaces de Teichmüller comme variétés cluster II"
• Attention : jour non habituel Mercredi 16 juin : Sergey Fomin, University of Michigan :
  "Algèbres à clusters de type fini : une mise à jour."

Cluster algebras I: Foundations
Sergey Fomin, Andrei Zelevinsky.
http://front.math.ucdavis.edu/math.RT/0104151
J. Amer. Math. Soc. 15 (2002), no.2, 497--529.
L'article fondateur, où la notion d'algèbre cluster apparaît.

Y-systems and generalized associahedra
Sergey Fomin, Andrei Zelevinsky.
http://front.math.ucdavis.edu/hep-th/0111053
Annals of Mathematics 158 no.3 (2003) 977-1018.
Premier lien avec les systèmes de racines, définition d'un
éventail et preuve d'une conjecture de périodicité de Zamolodchikov.

From Littlewood-Richardson coefficients to cluster algebras in three lectures
Andrei Zelevinsky
http://front.math.ucdavis.edu/math.RT/0112062
Très bon exposé d'introduction.

Cluster algebras II: Finite type classification
Sergey Fomin, Andrei Zelevinsky 
Invent. Math. 154 (2003), no. 1, 63--121.
http://front.math.ucdavis.edu/math.RA/0208229
La classification des algèbres à clusters ayant un nombre fini de clusters : un remarquable résultat qui redonne les systèmes de racines.

Cluster algebras III: Upper bounds and double Bruhat cells
Arkady Berenstein, Sergey Fomin, Andrei Zelevinsky
http://front.math.ucdavis.edu/math.RT/0305434
Les derniers développements, avec en particulier la structure d'algèbre cluster sur les doubles cellules de Bruhat.

Notes du cours de Fomin en Norvège (été 2003)
http://www.math.lsa.umich.edu/~fomin/nordfjordeid.html

Autres articles :

The Laurent phenomenon
Sergey Fomin, Andrei Zelevinsky
http://front.math.ucdavis.edu/math.CO/0104241
Adv. in Appl. Math. 28 (2002), no.2, 119--144
Une incursion des clusters vers la combinatoire énumérative.

Polytopal realizations of generalized associahedra
Frederic Chapoton, Sergey Fomin, Andrei Zelevinsky
http://front.math.ucdavis.edu/math.CO/0202004
Bull. Canad. Math. 45 (2002), no.4, 537--566
Preuve de l'existence des polytopes de Stasheff généralisés, qui donne une réalisation des clusters et du graphe d'échange.

Generalized associahedra via quiver representations
Robert Marsh, Markus Reineke, Andrei Zelevinsky
http://front.math.ucdavis.edu/math.RT/0205152
Trans. Amer. Math. Soc. 355 (2003), no.10, 4171--4186
Interprétation des clusters en termes de représentations de carquois, lien avec les modules basculants.

Positivity and canonical bases in rank 2 cluster algebras of finite and affine types
Paul Sherman, Andrei Zelevinsky
http://front.math.ucdavis.edu/math.RT/0307082
Traitement complet du rang 2, y compris les cas affines.

Articles sans Fomin ni Zelevinsky :

Cluster algebras and Poisson geometry
M. Gekhtman, M. Shapiro, A. Vainshtein
http://front.math.ucdavis.edu/math.QA/0208033

Cluster algebras and Weil-Petersson forms
Michael Gekhtman, Michael Shapiro, Alek Vainshtein
http://front.math.ucdavis.edu/math.QA/0309138

Cluster ensembles, quantization and the dilogarithm
V. V. Fock, A. B. Goncharov
http://front.math.ucdavis.edu/math.AG/0311245