Les trinités remarquables

Cette page est un recueil de ce que Vladimir Arnol'd appelle des trinités mystérieuses en mathématiques.

Corps K
H
Sphère unité de K S0 S1 S3
Espace projectif KP1 S1 S2 S4
Classes caractéristiques  Whitney Chern Pontrjagin
Polytopes réguliers simpliciaux, 
Nombre de faces 
Homologie IP
Tetraèdre
(4,6,4,1)
(1,0)
Octaèdre
(6,12,8,1)
(1,2)
Icosaèdre
(12,30,20,1)
(1,8)
Polytopes réguliers simples, 
Nombre de faces 
Homologie IP
Tetraèdre
(4,6,4,1)
(1,0) 
Cube
(8,12,6,1)
(1,4)
Dodécaèdre 
(20,30,12,1)
(1,16)
Groupes de symétrie dans SO(3,ℝ) 
Cardinal 
Alt4
12
Sym4
24
Alt5
60
Groupes binaires dans SU(2,ℂ) 
Cardinal
Chambres 
Dim. des représentations irréductibles 
Somme 
A3
24
2(1+3+3+5)
(1,1,1,2,2,2,3)
12
B3
48
2(1+5+7+11)
(1,1,2,2,3,3,4,2)
18
H3
120
2(1+11+19+29)
(1,2,3,4,5,6,2,3,4)
30
Posets des racines positives A3
Racines pour A3
B3
Racines pour B3
H3
Racines pour H3
Polytopes dans ℝ4
Nombre de faces 
Homologie IP
24-cellule
(24,96,96,24,1)
(1,19,10) 
96-cellule
(48,240,288,96,1)
(1,43,?)
600-cellule
(120,720,1200,600,1)
(1,115,250)
Polytopes duaux 
Nombre de faces 
Homologie IP
24-cellule
(24,96,96,24,1)
(1,19,10)
48-cellule
(96,288,240,48,1)
(1,91,?)
120-cellule
(600,1200,720,120,1)
(1,595,250)
Groupes de Coxeter
Nombre de Coxeter
A3 4
D4 6
G2 6
D4 6
E6 12
Diagramme E6
Poset E6
B3 6
F4 12
F4 12
E6 12
E7 18
Diagramme E7
Poset E7
H3 10
H4 30
E8 30
E8 30
E8 30
Diagramme E8
Poset E8
Groupes de réflexions
Degrés des invariants
Groupe de symétrie
D4
(2,4,4,6)
Sym3
F4
(2,6,8,12)
Sym2
H4
(2,12,20,30)
Sym1
Associaèdres généralisés 
Groupe de symétrie
Exposants
Grassmanniennes
D4
Sym3
1,3,3,5
Gr(3,6)
E6
Sym2
1,4,5,7,8,11
Gr(3,7)
E8
Sym1
1,7,11,13,17,19,23,29
Gr(3,8)
Diagramme de Dynkin affine
Coefficients de ρ ?
Groupe de symétrie
Ê6
(1,1,1,2,2,2,3)
Sym3
Ê7
(1,1,2,2,3,3,4,2)
Sym2
Ê8
(1,2,3,4,5,6,2,3,4)
Sym1
Triangles euclidiens 
Groupe de symétrie
(π/3,π/3,π/3)
A2 affine
Sym3
triangle A2
(π/2,π/4,π/4)
C2 affine
Sym2
triangle B2
(π/2,π/3,π/6)
G2 affine
Sym1
triangle G2
Singularités 
Nombre de Milnor
x3+y3+z3
8
x2+y4+z4
9
x2+y3+z6
10
Groupes de réflexions
Dim. des représentations irréductibles
Somme
G2
(2,1,3)
6
F4
(2,4,3,2,1)
12
E8
(1,2,3,4,5,6,2,3,4)
30
Groupes de réflexions complexes
Cardinal
Degrés des invariants
Dim. des représentations irréductibles
A2(3)=G4
24
(4,6)
(1,1,1,2,2,2,3)
A2(4)=G8
96
(8,12)
2x(1,1,2,2,3,3,4,2)
A2(5)=G16
600
(20,30)
5x(1,2,3,4,5,6,2,3,4)
Groupes sporadiques  Groupe de Fischer F24 Bébé Monstre B Monstre M
Groupes de réflexions complexes  G4
G5
G7
G6
G8
G10
G11
G9
G16
G18
G19
G17
Systèmes de racines elliptiques 
Poids & nombre de Coxeter (Saito)
Écriture comme produit
E6(1,1)
1,1,1 & 3
A2×D4
E7(1,1)
1,1,2 & 4
A3×A3
E8(1,1)
1,2,3 & 6
A2×A5
Groupes de Coxeter hyperboliques
Forme du diagramme
E6h
(3,3,4)
E7h
(2,4,5)
E8h
(2,3,7)
Repliements non standards
Nombre de Coxeter
A4 → H2
5
pliage de A4 vers H2
D6 → H3
10
pliage de D6 vers H3
E8 → H4
30
pliage de E8 vers H4
Singularités unimodales exceptionnelles
Nombres de Gabrielov et Dolgachev
Fonction
Décomposition
U12
4,4,4
x3+y3+z4
A3×D4
1,3,4,4 & 12
W12
2,5,5
x2+y4+z5
A3×A4
1,4,5,10 & 20
E12
2,3,7
x2+y3+z7
A2×A6
1,6,14,21 & 42
Singularités unimodales exceptionnelles
Nombres de Gabrielov et Dolgachev
E14 & Q10
3,3,4 & 2,3,9
E13 & Z11
2,4,5 & 2,3,8
E12 & E12
2,3,7 & 2,3,7
Espaces projectifs à poids
Miroir des singularités elliptiques
(3,3,3) (2,4,4) (2,3,6)
Suites d'entiers
Séries génératrices algébriques
(12n)! n! / (6n)! (4n)! (3n)! (18n)! n! / (9n)! (6n)! (4n)! (30n)! n! / (15n)! (10n)! (6n)!
Exposants particuliers (1,5,7,11) (1,5,7,11,13,17) (1,7,11,13,17,19,23,29)
Suites d'entiers
Coefficients multinomiaux
Fonction hypergéometrique 2F1
(3n)! / (n)! (n)! (n)!
2F1(1/3,2/3;1;27 x)
(4n)! / (2n)! (n)! (n)!
2F1(1/4,3/4;1;64 x)
(6n)! / (3n)! (2n)! (n)!
2F1(1/6,5/6;1;432 x)
Nombre de parties exceptionnelles
et nombre de modules basculants
E6 : 5844
418=11×38
E7 : 61866
2431=17×143
E8 : 808005
17342=29×598
Posets de type affine-minuscule
f-vecteur
Antichaines
ordre
f-vecteur
exposants
E6 : 20
(20,30,12,1)=B3
66
12
(66,120,65,10)
(1,5,7,11)=F4
E7 : 32
(32,48,18,1)=H3
119
18
(119,224,126,20)
(1,7,11,17)
E8 : 56
(56,84,30,1)
232
30
(232,448,259,42)
(1,11,19,29)=H4
Triangles (surfaces de translation)
Kenyon & Smillie, Puchta
(3 π/12, 4 π/12, 5 π/12) (4 π/18, 6 π/18, 8 π/18) (6 π/30, 10 π/30, 14 π/30)
Référence : Vladimir Arnol'd, Polymathematics : is mathematics a single science or a set of arts? dans Mathematics: Frontiers and Perspectives.

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