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\title{Projet}
\author{Dalissier Eric}
\date{}


%opening

\begin{document}
\maketitle
\vspace*{2cm}
% 
% 
%
\section{Mise en oeuvre de la m\'ethode des \'el\'ements finis en 1D}
\mbox{}\\
Trouver $u$ une fonction de l'ouvert connexe born\'e $\Omega \subset \mathbb R \mapsto \mathbb R$ telle que:
\begin{equation}
- div ( a\ \textbf{grad}(u)) + (\textbf{b grad}u) + cu = f\  \text{dans}\  \Omega \\
%\ref{cl}
\end{equation}
\begin{equation}
u = u_{d}\ \text{sur}\ \Gamma
\end{equation}
\mbox{} \\
On multiplie par $v \in V_{h}$, avec $V_{h}=\{ v\in H^{1}(\Omega) $ telque $ v=v_{d} \}$ puis on intègre sur $\Omega$:
\begin{center}
$\int_\Omega (- div ( a\ \textbf{grad}(u)) v + (\textbf{b grad}u)v + cuv)(x)dx = \int_{\Omega} (fv)(x)dx$
\end{center}
Puis on fait une int\'egration par partie du premier membre:
\begin{center}
 $-[(a\ \textbf{grad}(u) v)(x) ]_{\Omega} + \int_\Omega (a\ \textbf{grad}(u)\ \textbf{grad}(v)) v + (\textbf{b grad}u)v + cuv)(x)dx = \int_{\Omega} (fv)(x)dx$
\end{center}
Comme $u_{d}$ est une constante connue, on a de même pour $v_{d}$. Si on se place dans un cas aux limites de Dirichlet, on aura :\\
$-[(a\ \textbf{grad}(u) v)(x) ]_{\Omega}$ = $0$   car $u_{d}$ = $v_{d}$ = $0$\\ \mbox{} \\
Donc dans ce cas l\`a, la formulation variationnelle du probl\`eme (1) est :
\begin{equation}
 \int_\Omega (a\ \textbf{grad}(u)\ \textbf{grad}(v)) v + (\textbf{b grad}u)v + cuv)(x)dx = \int_{\Omega} (fv)(x)dx
\end{equation}
Dans le cas contraire, on aura une formulation variationnelle :\\ \mbox{}\\
\begin{tabular}{l l}
$\int_\Omega (a\ \textbf{grad}(u)\ \textbf{grad}(v)) v + $&$(\textbf{b grad}u)v + cuv)(x)dx$=\\
&= $ \int_{\Omega} (fv)(x)dx + \ \textbf{grad}(u)(l1) v(l1) -\ \textbf{grad}(u)(l0) v(l0)$
\end{tabular}
\newpage
Ensuite on est amen\'e \'a programmer $Mesh1D.cpp$ qui nous rend un fichier $pas.dat$ avec notre intervalle $[l0,l1]$ , discr\'etis\'e soit de fa\c{c}on uniforme ($x_{i}=l0 + ihL$), soit de fa\c{c}on variable ($x_{i} = sin(\varepsilon \frac{\pi}{2}ih)/sin(\varepsilon \frac{\pi}{2})$ ).\\
Avec $h=\frac{1}{N}$ , $i=0,\ldots,N$ , $\varepsilon = 3/4$ ,  $L=\Vert l1-l0\Vert$.\\ \mbox{} \\
%
%
On veut ramener la r\'esolution du probl\`eme (1) \`a une r\'esolution d un syst\`eme matricielle de la forme $AX=F$. On a donc cod\'e un programme $fctF.ccp$ ,qui a partir d'une fonction rentr\'ee avant la compilation, nous rend un fichier $second.dat$ qui contient en premi\`ere colonne, l'intervalle discr\'etis\'ee et en deuxi\'eme colonne la valeur de F, calculer \`a partir de la m\'ethode des trap\`ezes.\\
La \textit{m\'ethode des trap\`ezes}:
\begin{equation*}
\int^{b}_{a} f(x) dx \approx (b-a) \frac{f(b)+f(a)}{2}
\end{equation*}
On aurait pu utiliser la \textit{m\'ethode de Simpson}:
\begin{equation*}
\int^{b}_{a} f(x) dx \approx \frac{(b-a)}{6} (f(b)+4f(\frac{a+b}{2})+f(a))
\end{equation*}
Ici on a $x\in[q_{k-1};q_{k+1}]$:\\ \mbox{}\\
$v_{h}(x)$=$v_{h}\omega^{0}_{k}(x) + v_{h}\omega^{1}_{k}(x) $\\ \mbox{} \\
avec:
\begin{center}
\begin{tabular}{||llr}
$\omega^{0}_{k}(x)=\dfrac{q_{k+1}-x}{q_{k+1}-q_{k}}$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & $(\omega^{0}_{k}(x))'=-\dfrac{1}{q_{k+1}-q_{k}}$&\ \ \ sur $[q_{k+1};q_{k}]$\\
\\
$\omega^{1}_{k}(x)=\dfrac{x-q_{k-1}}{q_{k}-q_{k-1}}$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & $(\omega^{1}_{k}(x))'=\dfrac{1}{q_{k}-q_{k-1}}$&\ \ \ sur $[q_{k};q_{k-1}]$\\
\end{tabular}
\end{center}
\mbox{} \\ \mbox{} \\ \mbox{} \\ \mbox{} 
\begin{tabular}{ll}
$\displaystyle \int^{q_{k+1}}_{q_{k-1}} fv_{h}(x) dx$&$\approx (q_{k}-q_{k-1}) \dfrac{(v_{h}f)(q_{k})+(v_{h}f)(q_{k-1})}{2} +(q_{k+1}-q_{k}) \dfrac{(v_{h}f)(q_{k+1})+(v_{h}f)(q_{k})}{2}$\\
&$= \dfrac{(q_{k}-q_{k-1})}{2}(f(q_{k-1})\ \dfrac{q_{k-1}-q_{k-1}}{q_{k}-q_{k-1}} + f(q_{k})\  \dfrac{q_{k}-q_{k-1}}{q_{k}-q_{k-1}})$\\
&$\ \ \  +\dfrac{(q_{k+1}-q_{k})}{2}(f(q_{k})\ \dfrac{q_{k+1}-q_{k}}{q_{k+1}-q_{k}} + f(q_{k+1}) \ \dfrac{q_{k+1}-q_{k+1}}{q_{k+1}-q_{k}})$\\
&$= \dfrac{(q_{k}-q_{k-1})}{2} f(q_{k}) +\dfrac{(q_{k+1}-q_{k})}{2} f(q_{k})$
\end{tabular} \mbox{} \\ \mbox{} \\
Une fois que \textbf{F} est construit, il reste a construire la matrice $A$ de taille $N$x$N$. On \'ecrit d'abord un programme qui va l'initialiser \`a z\'ero, puis apr\`es on va lui rajouter des $N$ matrices \'el\'emtaires.Car en partant de la formulation variationnelle (3), on remarque :
\[\int_\Omega (a\ \textbf{grad}(u)\ \textbf{grad}(v)) v + (\textbf{b grad}u)v + cuv)(x)dx = \int_{\Omega} (fv)(x)dx\]
\newpage
On a pour $x\in[q_{k-1};q_{k}]$ :\\ \mbox{}\\
$v_{h}(x)$=$v_{h}(q_{k-1})\lambda^{0}_{k}(x) + v_{h}(q_{k})\lambda^{1}_{k}(x) $\\ \mbox{} \\
avec:
\begin{center}
\begin{tabular}{||ll}
$\lambda^{0}_{k}(x)=\dfrac{q_{k}-x}{q_{k}-q_{k-1}}$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & $(\lambda^{0}_{k}(x))'=-\dfrac{1}{q_{k}-q_{k-1}}$\\
\\
$\lambda^{1}_{k}(x)=\dfrac{x-q_{k-1}}{q_{k}-q_{k-1}}$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & $(\lambda^{1}_{k}(x))'=\dfrac{1}{q_{k}-q_{k-1}}$\\
\end{tabular}
\end{center}
En rempla\c{c}ant dans la formulation variationnelle:\\
\begin{tabular}{ll}
$\displaystyle \sum^{N+1}_{k=0} \int^{q_{k}}_{q_{k-1}}a( v_{h}(q_{k-1})\lambda^{0}_{k}(x) + v_{h}(q_{k})\lambda^{1}_{k}(x) )' ( u_{h}(q_{k-1})\lambda^{0}_{k}(x) + u_{h}(q_{k})\lambda^{1}_{k}(x) )'+ 
$\\
$\displaystyle \sum^{N+1}_{k=0} \int^{q_{k}}_{q_{k-1}}b( u_{h}(q_{k-1})\lambda^{0}_{k}(x) + u_{h}(q_{k})\lambda^{1}_{k}(x) )' ( v_{h}(q_{k-1})\lambda^{0}_{k}(x) + v_{h}(q_{k})\lambda^{1}_{k}(x) )+ 
$\\
$\displaystyle \sum^{N+1}_{k=0} \int^{q_{k}}_{q_{k-1}}c( v_{h}(q_{k-1})\lambda^{0}_{k}(x) + v_{h}(q_{k})\lambda^{1}_{k}(x) ) ( u_{h}(q_{k-1})\lambda^{0}_{k}(x) + u_{h}(q_{k})\lambda^{1}_{k}(x) )= F$\\
\\
Donc :\\
$\displaystyle \sum^{N+1}_{k=0} a \left\lbrack \begin{array}{l} 
v_{h}(q_{k-1})\\ v_{h}(q_{k})\end{array}\right\rbrack \int^{q_{k}}_{q_{k-1}} \left\lbrack \begin{array}{l}
-\dfrac{1}{q_{k}-q_{k-1}}\\
\dfrac{1}{q_{k}-q_{k-1}}
\end{array}
 \right\rbrack\left\lbrack  -\dfrac{1}{q_{k}-q_{k-1}},\dfrac{1}{q_{k}-q_{k-1}}\right\rbrack   dx \left\lbrack
u_{h}(q_{k-1}),
u_{h}(q_{k})
 \right\rbrack+$\\
%
$\displaystyle \sum^{N+1}_{k=0} b \left\lbrack \begin{array}{l} 
v_{h}(q_{k-1})\\ v_{h}(q_{k})\end{array}\right\rbrack \int^{q_{k}}_{q_{k-1}} \left\lbrack \begin{array}{l}
\dfrac{q_{k}-x}{q_{k}-q_{k-1}}\\
\dfrac{x-q_{k-1}}{q_{k}-q_{k-1}}
\end{array}
 \right\rbrack\left\lbrack  -\dfrac{1}{q_{k}-q_{k-1}},\dfrac{1}{q_{k}-q_{k-1}}\right\rbrack   dx \left\lbrack
u_{h}(q_{k-1}),
u_{h}(q_{k})
 \right\rbrack+$\\
%
$\displaystyle \sum^{N+1}_{k=0} c \left\lbrack \begin{array}{l} 
v_{h}(q_{k-1})\\ v_{h}(q_{k})\end{array}\right\rbrack \int^{q_{k}}_{q_{k-1}} \left\lbrack \begin{array}{l}
\dfrac{q_{k}-x}{q_{k}-q_{k-1}}\\
\dfrac{x-q_{k-1}}{q_{k}-q_{k-1}}
\end{array}
 \right\rbrack\left\lbrack \dfrac{q_{k}-x}{q_{k}-q_{k-1}},\dfrac{x-q_{k-1}}{q_{k}-q_{k-1}}\right\rbrack   dx \left\lbrack
u_{h}(q_{k-1}),
u_{h}(q_{k})
 \right\rbrack=F$\\
\\
Une fois les matrices calcul\'es:\\
$\displaystyle \sum^{N+1}_{k=0} a \left\lbrack \begin{array}{l} 
v_{h}(q_{k-1})\\ v_{h}(q_{k})\end{array}\right\rbrack \int^{q_{k}}_{q_{k-1}} \left\lbrack \begin{array}{ll}
\dfrac{1}{(q_{k}-q_{k-1})^{2}} & -\dfrac{1}{(q_{k}-q_{k-1})^{2}} \\
-\dfrac{1}{(q_{k}-q_{k-1})^{2}} & \dfrac{1}{(q_{k}-q_{k-1})^{2}}
\end{array}\right\rbrack dx \left\lbrack
u_{h}(q_{k-1}), u_{h}(q_{k}) \right\rbrack +$\\
%
$\displaystyle \sum^{N+1}_{k=0} b \left\lbrack \begin{array}{l} 
v_{h}(q_{k-1})\\ v_{h}(q_{k})\end{array}\right\rbrack \int^{q_{k}}_{q_{k-1}} \left\lbrack \begin{array}{ll}
\dfrac{x-q_{k}}{(q_{k}-q_{k-1})^{2}} & \dfrac{q_{k}-x}{(q_{k}-q_{k-1})^{2}}\\
\dfrac{q_{k-1}-x}{(q_{k}-q_{k-1})^{2}} & \dfrac{x-q_{k-1}}{(q_{k}-q_{k-1})^{2}}
\end{array}
 \right\rbrack dx 
\left\lbrack
u_{h}(q_{k-1}),
u_{h}(q_{k})
 \right\rbrack+$\\
%
$\displaystyle \sum^{N+1}_{k=0} c \left\lbrack \begin{array}{l} 
v_{h}(q_{k-1})\\ v_{h}(q_{k})\end{array}\right\rbrack \left\lbrack \begin{array}{ll}
\dfrac{(q_{k}-q_{k-1})}{3} & \dfrac{(q_{k}-q_{k-1})}{6} \\
\dfrac{(q_{k}-q_{k-1})}{6} & \dfrac{(q_{k}-q_{k-1})}{3}
\end{array}
 \right\rbrack \left\lbrack
u_{h}(q_{k-1}),
u_{h}(q_{k})
 \right\rbrack=F$\\
\end{tabular}
\\
\begin{tabular}{ll}
Finalement:\\
$\displaystyle \sum^{N+1}_{k=0} a \left\lbrack \begin{array}{l} 
v_{h}(q_{k-1})\\ v_{h}(q_{k})\end{array}\right\rbrack \left\lbrack \begin{array}{ll}
\dfrac{1}{q_{k}-q_{k-1}} & -\dfrac{1}{q_{k}-q_{k-1}} \\
-\dfrac{1}{q_{k}-q_{k-1}} & \dfrac{1}{q_{k}-q_{k-1}}
\end{array}\right\rbrack  \left\lbrack
u_{h}(q_{k-1}), u_{h}(q_{k}) \right\rbrack +$\\
%
$\displaystyle \sum^{N+1}_{k=0} b \left\lbrack \begin{array}{l} 
v_{h}(q_{k-1})\\ v_{h}(q_{k})\end{array}\right\rbrack \left\lbrack \begin{array}{cc}
-\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2}\\
-\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2}
\end{array}
 \right\rbrack
\left\lbrack
u_{h}(q_{k-1}),
u_{h}(q_{k})
 \right\rbrack+$\\
%
$\displaystyle \sum^{N+1}_{k=0} c \left\lbrack \begin{array}{l} 
v_{h}(q_{k-1})\\ v_{h}(q_{k})\end{array}\right\rbrack \left\lbrack \begin{array}{ll}
\dfrac{(q_{k}-q_{k-1})}{3} & \dfrac{(q_{k}-q_{k-1})}{6} \\
\dfrac{(q_{k}-q_{k-1})}{6} & \dfrac{(q_{k}-q_{k-1})}{3}
\end{array}
 \right\rbrack \left\lbrack
u_{h}(q_{k-1}),
u_{h}(q_{k})
 \right\rbrack=F$\\
\end{tabular}
\\ \mbox{} \\
On a ainsi les matrices \'el\'ementaires en sommant les matrices 2x2, on aura :\\
\mbox{} \\ 
$A_{k}= \left\lbrack \begin{array}{ll}
\dfrac{a}{(q_{k}-q_{k-1})} -\dfrac{b}{2} + \dfrac{c(q_{k}-q_{k-1})}{3}\text{  }&
 \dfrac{-a}{(q_{k}-q_{k-1})} +\dfrac{b}{2} +\dfrac{c(q_{k}-q_{k-1})}{6}\\
\dfrac{-a}{(q_{k}-q_{k-1})} -\dfrac{b}{2}+\dfrac{c(q_{k}-q_{k-1})}{6}\text{  } &
 \dfrac{a}{(q_{k}-q_{k-1})} +\dfrac{b}{2} +\dfrac{c(q_{k}-q_{k-1})}{3} 
\end{array}
 \right\rbrack$\\ \mbox{}
\\ \mbox{} \\
Ensuite, il ne restait plus qu'a programm\'e une fonction qui somme tout les $A_{k}$. Le c++ offre la possibilit\'e plus commode de d\'efinir un op\'erateur pour cela. On l'a not\'e $+=$.\\
Avant de passer a la r\'esolution de notre syst\`eme lin\'eaire $Ax=F$, on veut prendre en compte les conditions aux limites de Dirichlet. Pour cela on met a z\'ero $A_{1,2}$ et $A_{N,N-1}$.
\\ \mbox{} \\
Dans la derni\`ere \'etape, on programme les fonctions $LU$ et $Solve$ pour r\'esoudre ce syst\`eme lin\'eaire. On peut faire cela car $A$ est tridiagonale.

\section{Deux Sch\'ema en temps}
On propose deux sch\'emas en temps de l'\'equation de Black-Scholes \textit{sous\ forme\ divergentielle}:\\
\textbf{Sch\'ema implicite}
\begin{equation*}
\frac{u^{n} - u^{n-1}}{\delta t} - \frac{\partial}{\partial x}(\frac{\sigma^{2}x^{2}}{2}\frac{\partial u^{n}}{\partial x}) - \beta x \frac{\partial u^{n}}{\partial x} + r u^{n} = 0
\end{equation*}
\mbox{} \\
\textbf{Sch\'ema semi-implicite}
\begin{equation*}
\frac{u^{n} - u^{n-1}}{\delta t} - \frac{\partial}{\partial x}(\frac{\sigma^{2}x^{2}}{2}\frac{\partial u^{n}}{\partial x}) - \beta x \frac{\partial u^{n-1}}{\partial x} + r u^{n} = 0
\end{equation*}
Avec comme condition initiale sur le temps : $u^{0}=(K-x)^{+}$\\
Il faut discr\'etiser en espace ces 2 \'equations. Pour cela on prendra la base de $V_{h}$ form\'ee par les fonctions ch\^apeaux.Soit $v_{h}\in V_{h}$ quelconque:
\begin{equation*}
v_{h}= \displaystyle \sum^{N+1}_{j=0} v_{h}(x_{j})w_{j}
\end{equation*}
On a donc pour le sch\'ema implicite: $\forall x \in [q_{k-1};q_{k}]$\\
$\begin{array}{ll}
\displaystyle \sum^{N+1}_{j=0} \frac{( u^{n}_{h}(x_{j}) w_{j}(x) - u^{n-1}_{h}(x_{j}) w_{j}(x) )}{\delta t}
+\\
\begin{array}{ll}
\displaystyle \sum^{N+1}_{j=0} \int^{q_{k}}_{q_{k-1}} &
(\dfrac{\sigma^{2}x^{2}}{2} (v^{n}_{h}(q_{k-1})\lambda^{0}_{k}(x) + v^{n}_{h}(q_{k})\lambda^{1}_{k}(x) )'\ ( u^{n}_{h}(q_{k-1})\lambda^{0}_{k}(x) + u^{n}_{h}(q_{k})\lambda^{1}_{k}(x) )') + \\
& \beta x (v^{n}_{h}(q_{k-1})\lambda^{0}_{k}(x) + v^{n}_{h}(q_{k})\lambda^{1}_{k}(x) )'\ ( u^{n}_{h}(q_{k-1})\lambda^{0}_{k}(x) + u^{n}_{h}(q_{k})\lambda^{1}_{k}(x) )'+\\
& r (u^{n}_{h}(q_{k-1})\lambda^{0}_{k}(x) + u^{n}_{h}(q_{k})\lambda^{1}_{k}(x))\ (v^{n}_{h}(q_{k-1})\lambda^{0}_{k}(x) + v^{n}_{h}(q_{k})\lambda^{1}_{k}(x))\ dx =0
\end{array}
\end{array}
$\\
\mbox{} \\
avec:
\begin{center}
\begin{tabular}{||ll}
$\lambda^{0}_{k}(x)=\dfrac{q_{k}-x}{q_{k}-q_{k-1}}$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & $(\lambda^{0}_{k}(x))'=-\dfrac{1}{q_{k}-q_{k-1}}$\\
\\
$\lambda^{1}_{k}(x)=\dfrac{x-q_{k-1}}{q_{k}-q_{k-1}}$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & $(\lambda^{1}_{k}(x))'=\dfrac{1}{q_{k}-q_{k-1}}$\\
\end{tabular}
\end{center}
\mbox{}\\ \mbox{} \\
De fa\c{c}on analogue, on trouve la formulation variationnelle discr\'etis\'ee en espace :\\
\mbox{} \\
$\begin{array}{ll}
\displaystyle \sum^{N+1}_{j=0} \frac{( u^{n}_{h}(x_{j}) w_{j}(x) - u^{n-1}_{h}(x_{j}) w_{j}(x) )}{\delta t}
+\\
\begin{array}{ll}
\displaystyle \sum^{N+1}_{j=0} \int^{q_{k}}_{q_{k-1}} &
(\dfrac{\sigma^{2}x^{2}}{2} (v^{n}_{h}(q_{k-1})\lambda^{0}_{k}(x) + v^{n}_{h}(q_{k})\lambda^{1}_{k}(x) )'\ ( u^{n}_{h}(q_{k-1})\lambda^{0}_{k}(x) + u^{n}_{h}(q_{k})\lambda^{1}_{k}(x) )') + \\
& \beta x (v^{n-1}_{h}(q_{k-1})\lambda^{0}_{k}(x) + v^{n-1}_{h}(q_{k})\lambda^{1}_{k}(x) )'\ ( u^{n-1}_{h}(q_{k-1})\lambda^{0}_{k}(x) + u^{n-1}_{h}(q_{k})\lambda^{1}_{k}(x) )'+\\
& r (u^{n}_{h}(q_{k-1})\lambda^{0}_{k}(x) + u^{n}_{h}(q_{k})\lambda^{1}_{k}(x))\ (v^{n}_{h}(q_{k-1})\lambda^{0}_{k}(x) + v^{n}_{h}(q_{k})\lambda^{1}_{k}(x))\ dx =0
\end{array}
\end{array}
$


\end{document}