Transducer tables for finite irreducible Coxeter groups by Fokko du Cloux (July 16, 1998) Institut Girard Desargues UPRES-A CNRS 5028 43, boulevard du 11 novembre 1918 69622 Villeurbanne Cedex, FRANCE e-mail : ducloux@desargues.univ-lyon1.fr The tables in this file are the transducer tables for the finite irreducible Coxeter groups, as used in the author's program "Coxeter" (available from this same site), and as documented in the paper "A transducer approach to Coxeter groups", to appear in the Journal of Symbolic Computation. The tables have been generated automatically from the tables used in Coxeter with the help of a small utility function (such modifications are designed to be easy in version 2.0 of Coxeter, currently under development.) What is given for each of the types and ranks listed below is the "last" transducer table, i.e. the one corresponding to the quotient of the group by the special subgroup generated by all the generators but the last, in the following numberings of the generators (where n is always the rank of the group) : Type A (n >= 1): 1 -- 2 -- ... -- n Type B (n >= 2): 1 == 2 -- ... -- n Type D (n >= 2): 1 -- 3 -- ... -- n | 2 Type E (3 <= n <= 8): 1 -- 3 -- 4 -- ... -- n | 2 Type F3 : 1 -- 2 == 3 Type F4 : 1 -- 2 == 3 -- 4 6 Type G2 : 1 -- 2 5 Type H2 : 1 -- 2 5 Type H3 : 1 -- 2 -- 3 5 Type H4 : 1 -- 2 -- 4 -- 5 Some unconventional "types" appearing here, such as F3, D3, E4, E5, are isomorphic to other Coxeter groups (B3, A3, A4, D5 respectively), but with a different numbering of the generators, hence with a different last automaton; other "types" such as D2 or E3 are non-irreducible, but have to be dealt with as special subgroups of irreducible groups. All the other special subgroups that come up are isomorphic (with the numbering of the generators included) to one of the groups shown here (F2 would be A2, E2 would be D2, and of course in rank one we have only A1). Finally, for the three series of classical groups, it is easy to find a "closed formula" for the table in the general case; the reader should have no difficulty in extrapolating the general case from a careful inspection of the low rank cases. We recall briefly the notational conventions and the meaning of the table entries. Let W be the Coxeter group under consideration, and let W' be the special subgroup generated by the generators numbered 1 through n-1. The last transducer table represents the effect of the right multiplication of a shortest-length representative x in a left congruence class modulo W', by a generator s. Here x is represented by an integer between 0 and |W/W'|-1, and s by an integer between 1 and n. The result is either of the form x', where x' is some other shortest-length representative, either longer or shorter by 1 than x, or of the form tx, where t is a generator between 1 and n-1. In the first case, the table contains the entry x' in row x, column s; in the second case it contains -t; hence the sign of the entry allows us to distinguish between the two situations (this is a small computational convenience, allowing us to keep all the transducer data in a single table instead of two). Notice that the rows *and* columns are numbered from 0; the 0th column, labelled "last", contains the last generator in the normal form of x (by convention, this last generator is 0 iff x is the identity). This makes it possible to reconstruct from right to left the normal form of any shortest-length representative. The table entries carrying an asterisk correspond to the Knuth-Bendix relations for the presentation, involving the last generator, and other than the reduction relation (s,s) -> (). As explained in the paper mentioned above, these relations are necessarily of the form (x,s) -> (t,x) for some shortest-length reresentative x and generator s; the condition is that if x is of length p >= 1, xs should be rewritable as tx *and* the right subword of length p extracted from (x,s) should be a normal form. These situations are all encountered in the course of the construction of the transducer tables. To obtain all the Knuth-Bendix relations for the group, it is of course enough to run through the tables of the successive subquotients (and to add the reduction relations). * * Type A, 1 <= rank <= 8 * Last transducer table for type A1 x\s last 1 0 : 0 1 1 : 1 0 Last transducer table for type A2 x\s last 1 2 0 : 0 -1 1 1 : 2 2 0 2 : 1 1 -1* Last transducer table for type A3 x\s last 1 2 3 0 : 0 -1 -2 1 1 : 3 -1* 2 0 2 : 2 3 1 -2* 3 : 1 2 -1 -2* Last transducer table for type A4 x\s last 1 2 3 4 0 : 0 -1 -2 -3 1 1 : 4 -1* -2* 2 0 2 : 3 -1 3 1 -3* 3 : 2 4 2 -2 -3* 4 : 1 3 -1 -2 -3* Last transducer table for type A5 x\s last 1 2 3 4 5 0 : 0 -1 -2 -3 -4 1 1 : 5 -1* -2* -3* 2 0 2 : 4 -1 -2 3 1 -4* 3 : 3 -1 4 2 -3 -4* 4 : 2 5 3 -2 -3 -4* 5 : 1 4 -1 -2 -3 -4* Last transducer table for type A6 x\s last 1 2 3 4 5 6 0 : 0 -1 -2 -3 -4 -5 1 1 : 6 -1* -2* -3* -4* 2 0 2 : 5 -1 -2 -3 3 1 -5* 3 : 4 -1 -2 4 2 -4 -5* 4 : 3 -1 5 3 -3 -4 -5* 5 : 2 6 4 -2 -3 -4 -5* 6 : 1 5 -1 -2 -3 -4 -5* Last transducer table for type A7 x\s last 1 2 3 4 5 6 7 0 : 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 1 1 : 7 -1* -2* -3* -4* -5* 2 0 2 : 6 -1 -2 -3 -4 3 1 -6* 3 : 5 -1 -2 -3 4 2 -5 -6* 4 : 4 -1 -2 5 3 -4 -5 -6* 5 : 3 -1 6 4 -3 -4 -5 -6* 6 : 2 7 5 -2 -3 -4 -5 -6* 7 : 1 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6* Last transducer table for type A8 x\s last 1 2 3 4 5 6 7 8 0 : 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 1 1 : 8 -1* -2* -3* -4* -5* -6* 2 0 2 : 7 -1 -2 -3 -4 -5 3 1 -7* 3 : 6 -1 -2 -3 -4 4 2 -6 -7* 4 : 5 -1 -2 -3 5 3 -5 -6 -7* 5 : 4 -1 -2 6 4 -4 -5 -6 -7* 6 : 3 -1 7 5 -3 -4 -5 -6 -7* 7 : 2 8 6 -2 -3 -4 -5 -6 -7* 8 : 1 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7* * * Type B, 2 <= rank <= 8 * Last transducer table for type B2 x\s last 1 2 0 : 0 -1 1 1 : 2 2 0 2 : 1 1 3 3 : 2 -1* 2 Last transducer table for type B3 x\s last 1 2 3 0 : 0 -1 -2 1 1 : 3 -1* 2 0 2 : 2 3 1 -2* 3 : 1 2 4 -2* 4 : 2 -1 3 5 5 : 3 -1 -2* 4 Last transducer table for type B4 x\s last 1 2 3 4 0 : 0 -1 -2 -3 1 1 : 4 -1* -2* 2 0 2 : 3 -1 3 1 -3* 3 : 2 4 2 -2 -3* 4 : 1 3 5 -2 -3* 5 : 2 -1 4 6 -3* 6 : 3 -1 -2 5 7 7 : 4 -1 -2 -3* 6 Last transducer table for type B5 x\s last 1 2 3 4 5 0 : 0 -1 -2 -3 -4 1 1 : 5 -1* -2* -3* 2 0 2 : 4 -1 -2 3 1 -4* 3 : 3 -1 4 2 -3 -4* 4 : 2 5 3 -2 -3 -4* 5 : 1 4 6 -2 -3 -4* 6 : 2 -1 5 7 -3 -4* 7 : 3 -1 -2 6 8 -4* 8 : 4 -1 -2 -3 7 9 9 : 5 -1 -2 -3 -4* 8 Last transducer table for type B6 x\s last 1 2 3 4 5 6 0 : 0 -1 -2 -3 -4 -5 1 1 : 6 -1* -2* -3* -4* 2 0 2 : 5 -1 -2 -3 3 1 -5* 3 : 4 -1 -2 4 2 -4 -5* 4 : 3 -1 5 3 -3 -4 -5* 5 : 2 6 4 -2 -3 -4 -5* 6 : 1 5 7 -2 -3 -4 -5* 7 : 2 -1 6 8 -3 -4 -5* 8 : 3 -1 -2 7 9 -4 -5* 9 : 4 -1 -2 -3 8 10 -5* 10 : 5 -1 -2 -3 -4 9 11 11 : 6 -1 -2 -3 -4 -5* 10 Last transducer table for type B7 x\s last 1 2 3 4 5 6 7 0 : 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 1 1 : 7 -1* -2* -3* -4* -5* 2 0 2 : 6 -1 -2 -3 -4 3 1 -6* 3 : 5 -1 -2 -3 4 2 -5 -6* 4 : 4 -1 -2 5 3 -4 -5 -6* 5 : 3 -1 6 4 -3 -4 -5 -6* 6 : 2 7 5 -2 -3 -4 -5 -6* 7 : 1 6 8 -2 -3 -4 -5 -6* 8 : 2 -1 7 9 -3 -4 -5 -6* 9 : 3 -1 -2 8 10 -4 -5 -6* 10 : 4 -1 -2 -3 9 11 -5 -6* 11 : 5 -1 -2 -3 -4 10 12 -6* 12 : 6 -1 -2 -3 -4 -5 11 13 13 : 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6* 12 Last transducer table for type B8 x\s last 1 2 3 4 5 6 7 8 0 : 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 1 1 : 8 -1* -2* -3* -4* -5* -6* 2 0 2 : 7 -1 -2 -3 -4 -5 3 1 -7* 3 : 6 -1 -2 -3 -4 4 2 -6 -7* 4 : 5 -1 -2 -3 5 3 -5 -6 -7* 5 : 4 -1 -2 6 4 -4 -5 -6 -7* 6 : 3 -1 7 5 -3 -4 -5 -6 -7* 7 : 2 8 6 -2 -3 -4 -5 -6 -7* 8 : 1 7 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7* 9 : 2 -1 8 10 -3 -4 -5 -6 -7* 10 : 3 -1 -2 9 11 -4 -5 -6 -7* 11 : 4 -1 -2 -3 10 12 -5 -6 -7* 12 : 5 -1 -2 -3 -4 11 13 -6 -7* 13 : 6 -1 -2 -3 -4 -5 12 14 -7* 14 : 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6 13 15 15 : 8 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7* 14 * * Type D, 2 <= rank <= 8 * Last transducer table for type D2 x\s last 1 2 0 : 0 -1 1 1 : 2 -1* 0 Last transducer table for type D3 x\s last 1 2 3 0 : 0 -1 -2 1 1 : 3 2 3 0 2 : 1 1 4 -1* 3 : 2 4 1 -2* 4 : 2 3 2 5 5 : 3 -2* -1* 4 Last transducer table for type D4 x\s last 1 2 3 4 0 : 0 -1 -2 -3 1 1 : 4 -1* -2* 2 0 2 : 3 3 4 1 -3* 3 : 1 2 5 -1 -3* 4 : 2 5 2 -2 -3* 5 : 2 4 3 6 -3* 6 : 3 -2 -1 5 7 7 : 4 -2 -1 -3* 6 Last transducer table for type D5 x\s last 1 2 3 4 5 0 : 0 -1 -2 -3 -4 1 1 : 5 -1* -2* -3* 2 0 2 : 4 -1 -2 3 1 -4* 3 : 3 4 5 2 -3 -4* 4 : 1 3 6 -1 -3 -4* 5 : 2 6 3 -2 -3 -4* 6 : 2 5 4 7 -3 -4* 7 : 3 -2 -1 6 8 -4* 8 : 4 -2 -1 -3 7 9 9 : 5 -2 -1 -3 -4* 8 Last transducer table for type D6 x\s last 1 2 3 4 5 6 0 : 0 -1 -2 -3 -4 -5 1 1 : 6 -1* -2* -3* -4* 2 0 2 : 5 -1 -2 -3 3 1 -5* 3 : 4 -1 -2 4 2 -4 -5* 4 : 3 5 6 3 -3 -4 -5* 5 : 1 4 7 -1 -3 -4 -5* 6 : 2 7 4 -2 -3 -4 -5* 7 : 2 6 5 8 -3 -4 -5* 8 : 3 -2 -1 7 9 -4 -5* 9 : 4 -2 -1 -3 8 10 -5* 10 : 5 -2 -1 -3 -4 9 11 11 : 6 -2 -1 -3 -4 -5* 10 Last transducer table for type D7 x\s last 1 2 3 4 5 6 7 0 : 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 1 1 : 7 -1* -2* -3* -4* -5* 2 0 2 : 6 -1 -2 -3 -4 3 1 -6* 3 : 5 -1 -2 -3 4 2 -5 -6* 4 : 4 -1 -2 5 3 -4 -5 -6* 5 : 3 6 7 4 -3 -4 -5 -6* 6 : 1 5 8 -1 -3 -4 -5 -6* 7 : 2 8 5 -2 -3 -4 -5 -6* 8 : 2 7 6 9 -3 -4 -5 -6* 9 : 3 -2 -1 8 10 -4 -5 -6* 10 : 4 -2 -1 -3 9 11 -5 -6* 11 : 5 -2 -1 -3 -4 10 12 -6* 12 : 6 -2 -1 -3 -4 -5 11 13 13 : 7 -2 -1 -3 -4 -5 -6* 12 Last transducer table for type D8 x\s last 1 2 3 4 5 6 7 8 0 : 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 1 1 : 8 -1* -2* -3* -4* -5* -6* 2 0 2 : 7 -1 -2 -3 -4 -5 3 1 -7* 3 : 6 -1 -2 -3 -4 4 2 -6 -7* 4 : 5 -1 -2 -3 5 3 -5 -6 -7* 5 : 4 -1 -2 6 4 -4 -5 -6 -7* 6 : 3 7 8 5 -3 -4 -5 -6 -7* 7 : 1 6 9 -1 -3 -4 -5 -6 -7* 8 : 2 9 6 -2 -3 -4 -5 -6 -7* 9 : 2 8 7 10 -3 -4 -5 -6 -7* 10 : 3 -2 -1 9 11 -4 -5 -6 -7* 11 : 4 -2 -1 -3 10 12 -5 -6 -7* 12 : 5 -2 -1 -3 -4 11 13 -6 -7* 13 : 6 -2 -1 -3 -4 -5 12 14 -7* 14 : 7 -2 -1 -3 -4 -5 -6 13 15 15 : 8 -2 -1 -3 -4 -5 -6 -7* 14 * * Type E, 3 <= rank <= 8 * Last transducer table for type E3 x\s last 1 2 3 0 : 0 -1 -2 1 1 : 3 2 -2* 0 2 : 1 1 -2* -1* Last transducer table for type E4 x\s last 1 2 3 4 0 : 0 -1 -2 -3 1 1 : 4 -1* 2 3 0 2 : 2 -1 1 4 -2* 3 : 3 5 4 1 -3* 4 : 3 6 3 2 7 5 : 1 3 6 -1 -3* 6 : 1 4 5 -1 8 7 : 4 8 -3* -2* 4 8 : 4 7 -3* 9 6 9 : 3 -2* -3 8 -1 Last transducer table for type E5 x\s last 1 2 3 4 5 0 : 0 -1 -2 -3 -4 1 1 : 5 -1* -2* -3* 2 0 2 : 4 -1 3 4 1 -4* 3 : 2 -1 2 5 -2 -4* 4 : 3 6 5 2 -3 -4* 5 : 3 7 4 3 8 -4* 6 : 1 4 7 -1 -3 -4* 7 : 1 5 6 -1 9 -4* 8 : 4 9 -3 -2 5 10 9 : 4 8 -3 11 7 12 10 : 5 12 -3 -2 -4* 8 11 : 3 -2 -3 9 -1 13 12 : 5 10 -3 13 -4* 9 13 : 5 -2 -3 12 14 11 14 : 4 -2 15 -4* 13 -1 15 : 2 -2 14 -4* -3 -1 Last transducer table for type E6 x\s last 1 2 3 4 5 6 0 : 0 -1 -2 -3 -4 -5 1 1 : 6 -1* -2* -3* -4* 2 0 2 : 5 -1 -2 -3 3 1 -5* 3 : 4 -1 4 5 2 -4 -5* 4 : 2 -1 3 6 -2 -4 -5* 5 : 3 7 6 3 -3 -4 -5* 6 : 3 8 5 4 9 -4 -5* 7 : 1 5 8 -1 -3 -4 -5* 8 : 1 6 7 -1 10 -4 -5* 9 : 4 10 -3 -2 6 11 -5* 10 : 4 9 -3 12 8 13 -5* 11 : 5 13 -3 -2 -4 9 14 12 : 3 -2 -3 10 -1 15 -5* 13 : 5 11 -3 15 -4 10 16 14 : 6 16 -3 -2 -4 -5* 11 15 : 5 -2 -3 13 17 12 18 16 : 6 14 -3 18 -4 -5* 13 17 : 4 -2 19 -4 15 -1 20 18 : 6 -2 -3 16 20 -5* 15 19 : 2 -2 17 -4 -3 -1 21 20 : 6 -2 21 -4 18 22 17 21 : 6 -2 20 -4 -3 23 19 22 : 5 -2 23 -4 -5* 20 -1 23 : 5 -2 22 -4 24 21 -1 24 : 4 -2 -5* 25 23 -3 -1 25 : 3 26 -5 24 -4 -3 -1 26 : 1 25 -5 -2 -4 -3 -1 Last transducer table for type E7 x\s last 1 2 3 4 5 6 7 0 : 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 1 1 : 7 -1* -2* -3* -4* -5* 2 0 2 : 6 -1 -2 -3 -4 3 1 -6* 3 : 5 -1 -2 -3 4 2 -5 -6* 4 : 4 -1 5 6 3 -4 -5 -6* 5 : 2 -1 4 7 -2 -4 -5 -6* 6 : 3 8 7 4 -3 -4 -5 -6* 7 : 3 9 6 5 10 -4 -5 -6* 8 : 1 6 9 -1 -3 -4 -5 -6* 9 : 1 7 8 -1 11 -4 -5 -6* 10 : 4 11 -3 -2 7 12 -5 -6* 11 : 4 10 -3 13 9 14 -5 -6* 12 : 5 14 -3 -2 -4 10 15 -6* 13 : 3 -2 -3 11 -1 16 -5 -6* 14 : 5 12 -3 16 -4 11 17 -6* 15 : 6 17 -3 -2 -4 -5 12 18 16 : 5 -2 -3 14 19 13 20 -6* 17 : 6 15 -3 20 -4 -5 14 21 18 : 7 21 -3 -2 -4 -5 -6* 15 19 : 4 -2 22 -4 16 -1 23 -6* 20 : 6 -2 -3 17 23 -5 16 24 21 : 7 18 -3 24 -4 -5 -6* 17 22 : 2 -2 19 -4 -3 -1 25 -6* 23 : 6 -2 25 -4 20 26 19 27 24 : 7 -2 -3 21 27 -5 -6* 20 25 : 6 -2 23 -4 -3 28 22 29 26 : 5 -2 28 -4 -5 23 -1 30 27 : 7 -2 29 -4 24 30 -6* 23 28 : 5 -2 26 -4 31 25 -1 32 29 : 7 -2 27 -4 -3 32 -6* 25 30 : 7 -2 32 -4 -5 27 33 26 31 : 4 -2 -5 34 28 -3 -1 35 32 : 7 -2 30 -4 35 29 36 28 33 : 6 -2 36 -4 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