Séminaire d'analyse Grenoble-Lyon
Organisé par Nadine Badr (Lyon), Ivan Gentil (Lyon), Petru Mironescu (Lyon) et Emmanuel Russ (Grenoble)

Année 2011-2012 (deux séances le jeudi de 11h-12h et 13h30-14h40)



                  Titre : Applications de la localisation à la géométrie des  mesures convexes et discrètes.
         Jan Kristensen (Oxford) 11h-12h (salle 112) : Localization principles for Young measures

                Abstract: In this talk we review some recent results about characterization and localization of gradient Young measures in the context of mappings of bounded variation. The utility of these results, and in particular the localization principle, is illustrated with an example.

          Séverine Rigot (Nice)  13h30-14h30 (salle Fokko du Cloux) : Inégalité isodiamétrique dans les groupes de Carnot.                     Titre : Distances entre mesures en formulation dynamique : Flots de gradient, inégalités fonctionnelles, géodésiques                     Titre : Optimisation de forme et convexité

                    Résumé : L'optimisation de forme consiste à comprendre les problèmes d'optimisation dont l'inconnue est une domaine de $\R^d$ (une forme !). En premier lieu, on passera en revue les questions et les outils mathématiques pour traiter ces problèmes. Nous verrons ainsi comment étudier l'existence, la régularité, la symétrie d'un optimum, comment écrire des conditions d'optimalité, et calculer numériquement la forme optimale, en évoquant les notions de théorie géométriques de la mesure, de capacité électrostatique, de régularité de frontières libre, de dérivées de forme. On se concentrera ensuite sur le cas où l'inconnue est restreinte aux domaines convexes.
On s'appuiera sur des exemples classiques (isopérimétrie pour des exemples géométriques, problèmes spectraux pour des exemples de type EDP) et des problèmes ouverts (conjecture de Mahler en géométrie convexe, conjecture de Polyà-Szegö en EDP) pour illustrer nos propos.

        Nicola Gigli (Nice) 11h-12h
               
                Titre : Differential structure of metric measure spaces and applications.
               
                Résumé :  I will show that on arbitrary metric measure space a first order Sobolev calculus is always possible. In particular, it is possible to define what is the action of the differential of a function on the gradient of another one. As an application, an abstract definition of distributional Laplacian can be given, and on spaces with Ricci curvature bounded from below and dimension bounded from above, the Laplacian of the distance function has the standard sharp comparison properties.

        El Maati Ouhabaz (Bordeaux) 13h30-14h30

                    Titre : Multiplicateurs et  transformées de Riesz partiels  pour des opérateurs dégénérés.
                    Résumé : Les problèmes des multiplicateurs spectraux $m(L)$ et transformées de Riesz $\nabla L^{-1/2}$  pour les opérateurs elliptiques $L$ sous forme divergence sont globalement bien compris.  Si la fonction $m$ vérifie une condition de type "multiplicateur de Fourier"  alors $m(L)$ est borné sur tous les espaces de Lebegue $L^p$, 1 < p < \infty$ et la transformée de Riesz est bornée sur $L^p, 1 < p \le 2$. La situation est en revanche très differente lorsque l'opérateur $L$ est dégénéré, c-à-d  la matrice des coefficients est semi-definie positive.  Si  cette matrice est elliptique sur un domaine $\Omega$,  nous montrons alors que les restrictions  de $m(L)$ et $\nabla L^{-1/2}$ à $L^p(\Omega)$ sont bornées.


        Itaï Shafrir (Technion-Israel Institute of Technologie) 11h-12h (Grignard 11)           Vitali Vougalter (University of Toronto) 13h30-14h30 (Grignard 11)
             
                Titre : Sharp semiclassical bounds for the moments of eigenvalues for some Schroedinger type operators with unbounded potentials

                Résumé : We establish sharp semiclassical upper bounds for the moments of some negative powers for the eigenvalues of the Dirichlet Laplacian. When a constant magnetic field is incorporated in the problem, we obtain sharp lower bounds for the moments of positive powers not exceeding one for such eigenvalues. When considering a Schroedinger operator with the relativistic kinetic energy and a smooth, nonnegative, unbounded potential, we prove the sharp Lieb-Thirring estimate for the moments of some negative powers of its eigenvalues.