Séminaire d'analyse Lyon-(Grenoble)



Organisé par Stéphane Attal (Lyon), Nadine Badr (Lyon), Gilles Cassier (Lyon), Ivan Gentil (Lyon), Petru Mironescu (Lyon) et Emmanuel Russ (Grenoble)

Année 2013-2014

Une double séance tous les mois, le mardi 14h-15h et 15h15-16h15, Salle Fokko du Cloux, Bâtiment Braconnier, Doua.

               Stéphane Attal :10h-10h50 Des interactions quantiques répétées aux interactions quantiques continues.
               Louis Dupaigne : 11h-11h50 Grandes solutions d'équations aux dérivées partielles elliptiques.
               Repas : 12h-13h
               Olivier Druet : 13h-13h50 Equations de contrainte en relativité générale.

Année 2012-2013 

Organisé par Stéphane Attal (Lyon), Nadine Badr (Lyon), Gilles Cassier (Lyon), Ivan Gentil (Lyon), Petru Mironescu (Lyon) et Emmanuel Russ (Grenoble)


        Title: On extremizers for Fourier restriction inequalities

        Abstract: This talk will focus on extremizers for a family of Fourier restriction inequalities on planar curves. It turns out that, depending on whether or not a certain geometric condition related to the curvature is satisfied, extremizing sequences of nonnegative functions may or may not have a subsequence which converges to an extremizer. We hope to describe the method of proof, which is of concentration compactness flavor, in some detail. Tools include bilinear estimates, a variational calculation, a modification of the usual method of stationary phase and several explicit computations.
          Titre : Some news on Shannon's Theorem

          Abstract : Let us assume that a function $F\in L^2(\R^n)$ has a ``small support". More precisely we are given a small number $\beta$ and we assume that $F$ is supported by a compact set $K$ whose measure $|K|$ does not exceed $\beta.$ The problem which is addressed today is to take advantage of this property in order to sample efficiently the Fourier transform of $F.$ Following the paradigm of ``compressed sensing" the sampling rate should match the sparsity of the signal (or of the image). Our main Theorem gives a solution to this problem. A new class of frames (wealthy frames) are defined and studied in order to prove this theorem.

Let $f$ be the inverse Fourier transform of $F.$ Then $f$ is a generalized band-limited function. We will prove that an efficient sampling of $F$ is obtained by $f(\lambda),\,\lambda \in \Lambda,$ where $\Lambda$ is a simple quasicrystal whose density $d$ satisfies $d>\beta.$ This result is sharp.

            Titre : Sur les valeurs singulières d'un ensemble de matrices rectangulaires.

            Résumé : On étudie les valeurs singulières des matrices dans un sous-espace typique de M_{k \times n}. On montre que l’ensemble des valeurs singulières a un comportement asymptotique intéressant à l’aide d’une norme qui vient des probabilités libres. Enfin, on montre comment ces résultats sont reliés au problème d’additivité de l’entropie minimale de sortie des canaux quantiques.             Titre : Bounded vorticity, bounded velocity (Serfati) solutions to the incompressible 2D Euler equations
           
            Résumé : The incompressible 2D Euler equations are a system of partial differential equations which model the flow of an ideal -- non-viscous -- fluid whose flow is planar and preserves volume. A central problem is to determine criteria for existence and uniqueness of solutions to these PDE.

In 1963 V. I. Yudovich proved existence and uniqueness of weak solutions of the incompressible 2D Euler equations in a bounded domain assuming that the vorticity, which is the curl of velocity, is bounded. This result was later extended by A. Majda to vorticities which are bounded and integrable in the full plane. A few further extensions of this result have been
obtained, most notably by Yudovich himself and, also, by M. Vishik, always assuming some decay of vorticity at infinity. These decay hypothesis are unnatural, from both a physical and mathematical point of view, yet they play an important technical role. In a short note from 1995, Philippe Serfati gave an incomplete, yet brilliant, proof of existence and uniqueness of solutions to the 2D Euler equations in the whole plane when the initial vorticity and initial velocity are bounded, without the need for decay at infinity. In this talk I will report on work in progress aimed at extending Serfati's result to flows in a domain exterior to an obstacle.

This is joint work with David Ambrose (Drexel Univ, USA), Jim Kelliher (Univ. California, Riverside, USA) and Milton C. Lopes Filho (Fed Univ Rio de Janeiro, Brazil).             Titre : Entropie minimale et transport optimal sur un graphe

            Résumé : Grâce au transport optimal quadratique, la théorie de Lott, Sturm et Villani (LSV) permet, entre autres choses,  de généraliser la notion de courbure de Ricci minorée des variétés riemanniennes aux espaces géodésiques. Les graphes n'étant pas géodésiques, il est naturel de modifier la théorie LSV pour obtenir des résultats analogues dans ce nouveau cadre. Parmi les premières questions qui se posent, nous rencontrons:
         Comment voir un graphe comme un espace métrique mesuré ?
         Quelle notion de géodésique à vitesse constante peut-on définir ?
         Quelles sont les règles de calcul des vitesses et des accélérations ?
         Comment modifier le carré du champ itéré ?

Dans cet exposé, nous présenterons quelques résultats qui apportent des réponses, parfois partielles, à ces questions. Notre approche consiste à minimiser l'entropie relative  de marches aléatoires paresseuses conditionnées à avoir des distributions initiale et finale fixées. Dans la limite du ralentissement complet, ces problèmes d'entropie minimale convergent vers un problème de transport optimal.
        Titre : Régularité des équations de transport cinétiques : lemmes de moyennes, dispersion, hypoellipticité et concentrations.

        Résumé : Nous allons parcourir différents résultats de régularité et de compacité des équations de transport cinétiques. Les lemmes de moyennes, notamment, qui s’apparentent à l’effet régularisant de Kato des équations dispersives, établissent les propriétés de base de régularité d’une solution de l’équation de transport. Nous verrons cependant, que l’interaction des variables cinétiques (x,v), “mélangées” par le transport, fournit de nombreux cas variés de régularisation. Certains de ces cas (limites ou non) donnent lieu à des questions d’optimalité qui demeurent ouvertes. Nous verrons également comment les différentes propriétés de certains cas limites dégénérés s’appliquent à l’étude des limites hydrodynamiques des équations de Boltzmann.
           Titre : Opérateurs de composition sur l’espace de Dirichlet
          Titre : Recent advances about analysis on spaces with Ricci curvature bounded from below

        Résumé : I will review some recent result about analysis on Lott-Sturm-Villani spaces with Ricci curvature bounded from below and geometric consequences that can be derived. A crucial role in the discussion will be played by the definition of spaces with Riemannian Ricci curvature bounded from below (introduced in collaboration with Ambrosio and Savare'): this is a class of spaces strictly smaller than the one of CD(K,\infty) spaces which is still stable w.r.t. measured-Gromov-Hausdorff convergence and rules out Finsler geometries.

           Titre : Conjecture de Matsaev et Opérateurs de Ritt.

          Résumé : On décrira l'état des connaissances concernant la conjecture de Matsaev pour les espaces Lp classiques ou non commutatifs. On 
présentera aussi des critères de dilatations pour certains opérateurs  de Ritt.
           Titre : Entropy production for quantum markov semigroups                            Titre : Noise Prevents Singularities in Linear Transport Equations
          Titre : Etude de problèmes à courbure moyenne prescrite par approche variationnelle.

          Résumé : On s'intéressera à un problème à courbure moyenne prescrite avec conditions de Dirichlet au bord. Je présenterai des théorèmes d'existence et de multiplicité pour des solutions qui changent de signe. La preuve de ces résultats fait intervenir une perturbation de la partie dégénérée $1/\sqrt{1+|\nabla u|^2}$ de l'opérateur différentiel, permettant l'utilisation de méthodes variationnelles classiques. J'expliquerai aussi comment cette technique s'adapte à certaines équations à courbure moyenne prescrite dans l'espace de Minkowski. On verra que l'existence de solutions est étroitement liée à la meilleure constante dans une inégalité de type Sobolev entre l'énergie et la norme L^p.
             Titre : Régularité SBV pour les équations de Hamilton-Jacobi
         
             Résumé : On presente deux résultats sur la régularité des solutions de viscosité de l'équation de Hamilton-Jacobi obtenus en collaboration avec Stefano Bianchini. Quand l'hamiltonien est strictement convexe l'unique solution de  viscosité est semiconcave, donc son gradient est BV. Premièrement on montre la régularité SBV du gradient de la solution de viscosité de l'équation  u_t+ H(t,x,D_x u)=0  dans un ensemble ouvert de R^(n+1), sous l'hypothèse de convexité uniforme de l'hamiltonien dans la dernière variable. Deuxièmement on enleve l'hypothèse de convexité uniforme, considerant une solution de viscosité de l'équation u_t+ H(D_x u)=0 quand H est régulier et convexe. Dans ce cas la solution de viscosité est seulement localement lipschitzienne.  Cependant, une sorte de régularité SBV peut être établie  pour le champ vectoriel d(t,x):=H_p(D_xu(t,x)). Lorsque le champ vectoriel d est BV  et que des hypothèses supplémentaires  sur le lagrangien L sont données, la divergence de d a une partie cantorienne seulement pour un nombre dénombrable de t. Ces resultats généralisent un resultat de Bianchini, De Lellis et Robyr pour un hamiltonien uniformément convexe dépendant seulement du gradient de la solution de viscosité.

            Titre : Mesures de Carleson "inverses" pour les espaces de de Branges-Rovnyak.
      
             Résumé :  Dans cet exposé, après avoir (ré)introduit les espaces de de  Branges-Rovnyak $\mathcal{H}(b)$ et quelques unes de leur propriétés, je présenterai une caractérisation des mesures boréliennes positives (sur le disque unité fermé) $\mu$ pour lesquelles on un plongement "inverse" dans l'espace  :

\Vert f\Vert_{b} \lesssim \Vert f\Vert_{\mu},\quad f\in $\mathcal{H}(b)$,

lorsque la fonction $b$ est un élément non extrême de la boule unité de $H^\infty$.

Le plongement "direct" sera également abordé de manière analogue ainsi que l'equivalence des normes ou encore le cas des plongements isométriques.

C'est un travail commun avec A. Blandignères (Lyon), E. Fricain (Lille), A. Hartmann (Bordeaux) et W. Ross (Richmond).



            Titre : Existence issues for semilinear wave equations with damping and source terms

                Titre  : Low-Order Partial Regularity for Vectorial Problems




Année 2011-2012, commune avec IJF à Grenoble 


Deux séances le jeudi de 11h-12h et 13h30-14h40. Organisé par Nadine Badr (Lyon), Ivan Gentil (Lyon), Petru Mironescu (Lyon) et Emmanuel Russ (Grenoble)




                 Titre : Applications de la localisation à la géométrie des  mesures convexes et discrètes.

        Jan Kristensen (Oxford) 11h-12h (salle 112) : Localization principles for Young measures


                Abstract: In this talk we review some recent results about characterization and localization of gradient Young measures in the context of mappings of bounded variation. The utility of these results, and in particular the localization principle, is illustrated with an example.


         Séverine Rigot (Nice)  13h30-14h30 (salle Fokko du Cloux) : Inégalité isodiamétrique dans les groupes de Carnot.

                    Titre : Distances entre mesures en formulation dynamique : Flots de gradient, inégalités fonctionnelles, géodésiques

                    Titre : Optimisation de forme et convexité


                    Résumé : L'optimisation de forme consiste à comprendre les problèmes d'optimisation dont l'inconnue est une domaine de $\R^d$ (une forme !). En premier lieu, on passera en revue les questions et les outils mathématiques pour traiter ces problèmes. Nous verrons ainsi comment étudier l'existence, la régularité, la symétrie d'un optimum, comment écrire des conditions d'optimalité, et calculer numériquement la forme optimale, en évoquant les notions de théorie géométriques de la mesure, de capacité électrostatique, de régularité de frontières libre, de dérivées de forme. On se concentrera ensuite sur le cas où l'inconnue est restreinte aux domaines convexes.


On s'appuiera sur des exemples classiques (isopérimétrie pour des exemples géométriques, problèmes spectraux pour des exemples de type EDP) et des problèmes ouverts (conjecture de Mahler en géométrie convexe, conjecture de Polyà-Szegö en EDP) pour illustrer nos propos.


        Nicola Gigli (Nice) 11h-12h

                

                Titre : Differential structure of metric measure spaces and applications.

                

                Résumé :  I will show that on arbitrary metric measure space a first order Sobolev calculus is always possible. In particular, it is possible to define what is the action of the differential of a function on the gradient of another one. As an application, an abstract definition of distributional Laplacian can be given, and on spaces with Ricci curvature bounded from below and dimension bounded from above, the Laplacian of the distance function has the standard sharp comparison properties.


        El Maati Ouhabaz (Bordeaux) 13h30-14h30


                    Titre : Multiplicateurs et  transformées de Riesz partiels  pour des opérateurs dégénérés.


                    Résumé : Les problèmes des multiplicateurs spectraux $m(L)$ et transformées de Riesz $\nabla L^{-1/2}$  pour les opérateurs elliptiques $L$ sous forme divergence sont globalement bien compris.  Si la fonction $m$ vérifie une condition de type "multiplicateur de Fourier"  alors $m(L)$ est borné sur tous les espaces de Lebegue $L^p$, 1 < p < \infty$ et la transformée de Riesz est bornée sur $L^p, 1 < p \le 2$. La situation est en revanche très differente lorsque l'opérateur $L$ est dégénéré, c-à-d  la matrice des coefficients est semi-definie positive.  Si  cette matrice est elliptique sur un domaine $\Omega$,  nous montrons alors que les restrictions  de $m(L)$ et $\nabla L^{-1/2}$ à $L^p(\Omega)$ sont bornées.



        Itaï Shafrir (Technion-Israel Institute of Technologie) 11h-12h (Grignard 11)


          Vitali Vougalter (University of Toronto) 13h30-14h30 (Grignard 11)

              

                Titre : Sharp semiclassical bounds for the moments of eigenvalues for some Schroedinger type operators with unbounded potentials


                Résumé : We establish sharp semiclassical upper bounds for the moments of some negative powers for the eigenvalues of the Dirichlet Laplacian. When a constant magnetic field is incorporated in the problem, we obtain sharp lower bounds for the moments of positive powers not exceeding one for such eigenvalues. When considering a Schroedinger operator with the relativistic kinetic energy and a smooth, nonnegative, unbounded potential, we prove the sharp Lieb-Thirring estimate for the moments of some negative powers of its eigenvalues.