Problème
On note
A=44444444,
B = la somme des chiffres de A,
C = la somme des chiffres de B,
D = la somme des chiffres de C.
Problème : calculer D.
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Deux indications
Première indication
Comme chacun sait ou devrait savoir, quand on fait la somme des chiffres
d'un nombre, le reste de la division par 9 ne change pas.
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En effet, le reste r de la division d'un entier
A par 9 est caractérisé par les propriétés suivantes :
il existe m tel que A = 9m + r et
0≤r<9.
Dans la suite, étant donné deux entiers n et n', on
dira qu'ils sont congrus modulo 9 et on notera n ≡
n' pour exprimer qu'ils ont le même reste par division
par 9. On aura besoin des deux propriétés suivantes de cette
relation :
- si B est la somme des chiffres de A, on a :
A ≡ B ;
- étant donné des entiers n, n', p et
p', si n ≡ n' et p≡
p', alors np ≡ n'p'.
Il s'agit de calculer le reste de la division de 44444444 par
9.
Pour commencer, par la propriété 1., on a :
4444 ≡ 4+4+4+4 ≡ 16 ≡ 1+6 ≡ 7.
A présent, on utilise la propriété 2., qui exprime la multiplicativité
des restes. On a :
On en déduit par application répétée de la propriété 1. :
D ≡ C ≡ B ≡ A ≡ 7.
Seconde indication
La somme des chiffres d'un nombre est beaucoup plus petite que
ce nombre.
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Des majorations simples permettent de montrer que D est en fait
déterminé par son reste modulo 9. En effet, on a
successivement :
- A = 44444444 ≤ 100004444 =
105x4444 ≤ 1025000 ;
- B ≤ 9x25000 = 225000, car A a au plus 25000
chiffres, qui valent chacun au plus 9 ;
- C ≤ 2+9x5 = 47, car B a au plus 6 chiffres, le
premier est au plus 2, et chacun des autres est au plus 9 ;
- D ≤ 4+9 = 13, car C a au plus 2 chiffres, le
premier est au plus 4, l'autre est au plus 9.
Il n'existe qu'un seul nombre compris entre 1 et 13, congru à 7 modulo
9. On en déduit que