Problème

On note
A=44444444,
B = la somme des chiffres de A,
C = la somme des chiffres de B,
D = la somme des chiffres de C.
Problème : calculer D.

Deux indications

Première indication

Comme chacun sait ou devrait savoir, quand on fait la somme des chiffres d'un nombre, le reste de la division par 9 ne change pas.

En effet, le reste r  de la division d'un entier A par 9 est caractérisé par les propriétés suivantes :

il existe m tel que A = 9m + r et 0≤r<9.
Dans la suite, étant donné deux entiers n et n', on dira qu'ils sont congrus modulo 9 et on notera nn'  pour exprimer qu'ils ont le même reste par division par 9. On aura besoin des deux propriétés suivantes de cette relation :
  1. si B est la somme des chiffres de A, on a : AB ;
  2. étant donné des entiers n, n', p et p', si nn' et pp', alors npn'p'.
Il s'agit de calculer le reste de la division de 44444444 par 9.

Pour commencer, par la propriété 1., on a :

4444 ≡ 4+4+4+4 ≡ 16 ≡ 1+6 ≡ 7.
A présent, on utilise la propriété 2., qui exprime la multiplicativité des restes. On a : On en déduit par application répétée de la propriété 1. :
D ≡ C ≡ B ≡ A ≡ 7.

Seconde indication

La somme des chiffres d'un nombre est beaucoup plus petite que ce nombre.
Des majorations simples permettent de montrer que D est en fait déterminé par son reste modulo 9. En effet, on a successivement : Il n'existe qu'un seul nombre compris entre 1 et 13, congru à 7 modulo 9. On en déduit que
D = 7.